关于一元实系数四次方程根的分布特征的续论
本科毕业论文_多项式方程的判别式与求根公式
本科毕业论⽂_多项式⽅程的判别式与求根公式东莞理⼯学院本科毕业论⽂（2015届）题⽬: 多项式⽅程的判别式与求根公式学⽣姓名: 姚培基学号: 201141410230院（系）:计算机学院专业班级: 信息与计算科学（2）班指导教师:起⽌时间: 2015年1⽉—2015年5⽉多项式⽅程的判别式与求根公式摘要: 近代数学史甚⾄能说是⼀部求解多项式⽅程的历史。
对于⾼次⽅程的数值根求解法，⼈们从很早就开始并⼀直探求这样的问题。
⽽且在古代，很多⼈都想出了⼀个办法来解决各种各样的多项式⽅程。
如卡尔⽶诺的《⼤术》，贾宪的《黄帝九章算法细草》，秦九韶的《数书九章》等等。
在⽬前，有关问题求解多项式⽅程根的在⼯程实践中占有举⾜轻重的地位。
如在⼈类的⽣活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算⼀直起着⾮常重要的作⽤。
当⼈们在进⾏科学或者⼯程计算时，求解多项式⽅程组更是⾮常容易遇到的问题之⼀。
许多领域如⾃然⽣活和⼯程科学最终都可以归结为求解多项式⽅程组的问题。
这个时候⼈们就通常需要处理求解代数⽅程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单⼀些;但是当项⾮常复杂或变元⾮常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到⽐较多的困难。
对多项式⽅程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和实际⼯程计算中，具有⼗分重要的意义。
关键词: 多项式; 判别式; 求根公式; MATLABDiscriminant and seek the root of polynomial equationsAbstract: the modern mathematics that would become a history of polynomial equation solution. People long ago began to explore the problem of high order equation of numerical method. But in ancient times, many people have been developed to solve all kinds of method of polynomial equations. Such as "chapter nine of the yellow emperor algorithm fine grass" of jia xian, chiu-shao the number of book chapter nine, Carl mino "big operation" and so on.In nowadays, polynomial equation for the root problem has a pivotal position in the engineering practice. As in human life, economic construction and development of science and technology in the process of calculation is always plays a very important role. In science and engineering calculation, to solve the polynomial equations is one of the most common problems in the natural life and the computing problem in the field of engineering science and many other eventually all boils down to solving the polynomial equations. At this time often need to deal with algebraic equations to solve the problem, if the argument or a simpler, less calculation process is relatively simple; And when the argument is very more or when the item is very complex, itssolving process is often more difficult.The discriminant and seek the root of polynomial equations, in theoretical research and practical engineering calculation, have very important significance.Key words: polynomial; The discriminant. Root formula; MATLAB⽬录⼀、引⾔ (1)（⼀）⼀元⼆次⽅程的判别式和求根与韦达定理 (1)⼆、⼀元多次多项式 (8)（⼀）代数基本定理 (9)（⼆）域论基础 (10)（三）多项式⽅程的判别式 (11)（四）⽜顿恒等式 (12)（五）关于⼀元五次⽅程 (19)三、总结与展望 (20)参考⽂献 (23)致谢 (25)⼀、引⾔在⼈类研究数学的历史长河中，追溯到公元9世纪的波斯，数学家、天⽂学家及地理学家花拉⼦⽶作为第⼀⼈给出了⼀元⼆次⽅程的⼀般解法。
第03讲 幂函数与二次函数(课件)-2024年高考数学一轮复习
=
−
<
（2）方程有两个不等负根 , ⇔
= >
（3）方程有一正根和一负根，设两根为 , ⇔ = <
常用结论
3、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类
问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个
一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(0,0)
(1,1)
②当α>0时，幂函数的图象都过点_____和_____，且在(0，＋∞)上单调
递增；
(1,1)
③当α<0时，幂函数的图象都过点_____，且在(0，＋∞)上单调递减；
1
，即
或
(−1) > 0
> −3
(1) > 0
<1
1
D． − , 0 ⋃(1, +∞)
3
>1
−1 < < 1
1
，
> −3
<1
1
解得− 3 < < 0，
故选：C
题型三：二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 的实根分布及条件
【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）方程 2 + ( − 2) + 5 − = 0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)
以2 − 2 − 2 = 1，解得 = 3或 = −1，又因为()
高中数学函数与方程
函数与方程
知识清单
(1)对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D) 的零点.
(2)方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零
点. 2.函数零点的判定 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0, 这个c也就是f(x)=0的根.我们把这一结论称为零点存在性定理.
(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
(2)若f(a)· f(x1)<0,则令b=x1; (3)若f(x1)· f(b)<0,则令a=x1.
第四步:判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b),否 则重复第二、三、四步. 知识拓展 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的零点分布 在研究二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的零点分布问题时,常借助二次函数的 图象来解,一般从四个方面分析:①开口方向;②对称轴位置;③判别式; ④端点函数值符号. 研究二次函数零点的分布,一般情况下需要从以下三个方面考虑:
①一元二次方程根的判别式;
②对应二次函数区间端点函数值的正负; ③对应二次函数图象的对称轴x=- 与区间端点的位置关系.
b 2a
设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实根,则x1,x2的分 布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表:
方法技巧
方法 1 判断函数零点所在区间和零点的个数的方法
第四节 一次函数和二次函数
栏 目 链 接
考点探究
考点2 二次函数的单调性与对称性
【例2】 (1)已知函数f(x)＝2x2－mx＋3，且当x∈[－2， ) 栏 目 链 接 ＋∞)时是增函数，则m的取值范围是( A．[－8，＋∞) C．(－∞，－8] B．[8，＋∞) D．(－∞，8]
(2)(2013•浙江卷)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
m ，＋∞时，函数是增函数．若 x∈[－2，＋∞)时，函数是增函数， 4
m 则 ≤－2，得 m≤－8.故选 C. 4 (2)因为 f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即 a>0，且 其对称轴为 x＝2，即－ 答案：(1)C (2)A b ＝2，所以 4a＋b＝0. 2a
栏 目 链 接
当 a<0 时 ， 在 区 间 ____________ 上 是 增 函 数 ， 在 区 间
b 上是减函数． － ，＋∞ ____________ 2a
b －∞，－ 2a
(5) 当 ________ b≠0 时，该 b＝0 时，该函数是偶函数；当 ________ 函数是非奇非偶函数．
栏 目 链 接
f(x)max
＝ 1 t ＋2，t>2，
2 2
1 t －2t＋3，t≤ ， 2
f(x)min＝2，0<t<1， t2－2t＋3，t≥1.
2 t ＋2，t≤0，
考点探究
点评：讨论二次函数的区间最值问题： (1)注意对称轴与区间的相对 位置；(2)注意相应抛物线的开口方向．具体地说，二次函数f(x)＝ax2＋ bx＋c在区间[α，β ]上的最值一般分为三种情况讨论：①对称轴x＝－ b 2a
4.5.1-函数的零点与方程的解知识点总结与例题讲解
函数的零点与方程的解知识点总结与例题讲解本节主要知识点 （1）函数零点的概念.（2）函数的零点与方程的解的关系. （3）基本初等函数的零点. （4）函数零点存在定理.（5）函数零点存在定理的几何意义. （6）函数零点的性质. 知识点一 函数零点的概念对于一般函数()x f y =,我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.关于函数的零点:（1）并不是所有的函数都有零点.如函数xy 1=,12+=x y 等; （2）若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.知识点二 函数的零点与方程的解的关系函数()x f y =的零点就是方程()0=x f 的实数解,也就是函数()x f y =的图象与x 轴交点的横坐标.方程()0=x f 有实数解⇔函数()x f y =有零点⇔函数()x f y =的图象与x 轴有公共点.关于函数的零点与方程的解的关系（1）函数()()()x g x f x F -=的零点,就是方程()()x g x f =的实数解,也就是函数()x f y =与()x g y =的图象的交点的横坐标.（2）如果方程()0=x f 有两个相等的实数根0x ,那么0x 叫做函数()x f y =的二重零点.如2就是函数()()22-=x x f 的二重零点.求函数()x f y =的零点的方法（1）代数法 根据函数零点的定义,令()0=x f ,方程()0=x f 的实数根就是函数()x f y =的零点.若方程()0=x f 无实数根,则函数()x f y =无零点.（2）几何法 若函数()x f y =的零点不易用代数法求出,可将方程()0=x f 改写为()()x h x g =的形式,在同一平面直角坐标系中作出函数()x g y =与()x h y =的图象,则它们图象交点的横坐标就是函数()x f y =的零点.知识点三 基本初等函数的零点（1）正比例函数()0≠=k kx y 的零点有且只有一个0. （2）一次函数()0≠+=k b kx y 的零点有且只有一个kb-. （3）反比例函数()0≠=k xky 没有零点. （4）二次函数()02≠++=a c bx ax y 的零点分为以下几种情况:①当042>-=∆ac b 时,函数有两个不同的零点aacb b a ac b b 24,2422----+-;②当042=-=∆ac b 时,函数有一个二重零点ab 2-; ③当042<-=∆ac b 时,函数无零点.（5）指数函数x a y =（10≠>a a 且）无零点.（6）对数函数xa y log =（10≠>a a 且）的零点有且只有一个1.（7）幂函数αx y =,当0>α时,有且只有一个零点0;当α≤0时,没有零点.知识点四 函数零点存在定理如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是一条连续不断的曲线,且有()()0<⋅b f a f ,那么,函数()x f y =在区间()b a ,内至少有一个零点,即存在()b a c ,∈,使得()0=c f ,这个c 也就是方程()0=x f 的解.关于函数零点存在定理（1）成立条件的严密性: 一个函数()x f y =在区间()b a ,内有零点必须同时满足两个条件,这两个条件缺一不可,否则结论不一定成立.①函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是一条连续不断的曲线（不能间断）; ②两个端点值异号,即()()0<⋅b f a f . 如函数()x x f 1=,()()11,11=-=-f f ,虽然()()011<⋅-f f ,但是函数()xx f 1=在区间()1,1-上不存在零点,函数在区间[]1,1-上的图象是不连续的.（2）存在性 函数零点存在定理只能说明函数零点是否存在,而不能说明零点的个数.在用几何法求函数()x f y =的零点时,要把方程()0=x f 改写为()()x h x g =的形式,这样就构造出两个函数()x g y =与()x h y =,在同一平面直角坐标系中,它们图象交点的个数,就是方程()0=x f 实数解的个数,也就是函数()x f y =零点的个数.且交点的横坐标就是函数()x f y =的零点.（3）不可逆性 “()()0<⋅b f a f ”是“函数()x f y =（()x f y =的图象在区间[]b a ,上是连续不断的）在区间()b a ,内至少有一个零点”的充分不必要条件. 如图（1）所示,虽然函数在()b a ,内有零点,但是()()0>b f a f .（4）唯一性 如果单调函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是一条连续不断的曲线,且有()()0<⋅b f a f ,那么,函数()x f y =在区间()b a ,内有唯一零点,即存在唯一的()b a c ,∈,使得()0=c f ,这个c 也就是方程()0=x f 的解.该常被用来证明函数零点的唯一性: ①函数的图象是一条连续不断的曲线; ②()()0<⋅b f a f ;③函数()x f y =在区间[]b a ,上是单调函数.知识点五 函数零点存在定理的几何意义在闭区间[]b a ,有连续不断的曲线()x f y =,且曲线的始点()()a f a ,与终点()()b f b ,分别在x 轴的两侧,则此连续曲线与x 轴至少有一个交点.知识点六 函数零点的性质如果函数图象通过零点时穿过x 轴（此时函数值变号）,则称这样的零点为变号零点.如果函数图象通过零点时没有穿过x 轴,则称这样的零点为不变号零点（或叫二重零点）.如图（2）所示,210,,x x x 都是变号零点,如图（3）所示,二次函数()22-=x y 有一个不变号零点2.图（2）图（3）对于任意函数()x f y =,只要它的图象是连续不断的,则:（1）当它的图象通过零点且穿过x 轴时,函数值变号（即零点两侧的函数值异号）; （2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.方法总结 已知函数零点个数求参数范围的方法直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组）,解不等式（组）确定参数范围.分离参数法 先将参数分离,转化成求函数值域问题,再加以解决.数形结合法 先对函数解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.二次函数的零点与一元二次方程根的分布二次函数的零点问题可转化为一元二次方程根的分别问题,可利用二次函数的图象与x 的交点情况来确定.一般从开口方向、对称轴的位置、判别式∆的符号以及区间端点值的符号等方面考虑.一元二次方程()002>=++a c bx ax 根的分布情况见下表. 其中令()()02>++=a c bx ax x f .对一元二次方程根的分布的说明（1）若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个正实数根,则有:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆000421212ac x x a b x x ac b . （2）若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个负实数根,则有:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212ac x x a b x x ac b . （3）若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的有两个相异的实数根（一个正根一个负根）,则有:0<ac.（或0<ac ）（4）若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实数根都大于实数k ,则有:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥-=∆000421212k x k x k x k x ac b . （5）若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实数根都小于实数k ,则有:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--<-+-≥-=∆000421212k x k x k x k x ac b . （6）若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的一个实数根大于实数k ,另一个实数根小于实数k ,则有:()⎩⎨⎧<>00k f a 或()⎩⎨⎧><00k f a 也即（不用讨论a 的符号）()0<k af .（7）一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实数根只有一个在区间()n m ,内的情形有以下几种（以0>a ）为例:图（4）图（5）图（6）f m ()=0图（7）f n ()=0因此,在讨论该情况下参数的取值范围时,要分0=∆、()()0<n f m f 、()0=m f 和()0=n f 等几种情况讨论,注意验证0=∆、()0=m f 和()0=n f 的结果是否符合题意.例题讲解例1.（陕西西安）若函数b ax x y +-=2的两个零点为2 , 3,则函数12--=ax bx y 的零点是 【 】（A ）61,1- （B ）61,1- （C ）31,21 （D ）31,21--解析 ∵函数b ax x y +-=2的两个零点为2 , 3∴方程02=+-b ax x 的两个根为2 , 3 ∴632,532=⨯==+=b a ∴156122--=--=x x ax bx y令0=y ,则01562=--x x ,即()()0161=+-x x ,解之得:61,121-==x x .∴函数12--=ax bx y 的零点是61,1-.选择答案【 B 】.例2.（2019天津）已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=1,110,2x x x x x f ,若关于x 的方程()ax x f +-=41（∈a R ）恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为 【 】（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡49,45 （B ）⎥⎦⎤ ⎝⎛49,45 （C ）{}149,45 ⎥⎦⎤ ⎝⎛ （D ）{}149,45 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡解析 ∵方程()a x x f +-=41恰有两个互异的实数解 ∴函数()x f 与()a x x g +-=41的图象有两个不同的交点,作出函数()x f 的图象如图所示.当直线a x y +-=41与()()121>=x x f 相切时,符合题意,令xa x 141=+-,整理得:0442=+-ax x由016162=-=∆a 得:1=a （1-=a 舍去）;当直线a x y +-=41经过点()1,1时,141=+-a ,得45=a ,此时直线a x y +-=41与()x f 的图象有两个不同的交点,符合题意;当直线a x y +-=41经过点()2,1时,241=+-a ,得49=a ,此时直线a x y +-=41与()x f 的图象有两个不同的交点,符合题意. 综上所述,a 的取值范围为{}149,45 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡.∴选择答案【 D 】.例3. 已知二次函数()c bx ax x f ++=2满足条件: ①图象经过原点; ②()()x f x f +=-11; ③()x x f =有相等的实数根. （1）求()x f 的解析式;（2）若函数()()m x f x g -=有四个零点,求实数m 的取值范围.解析 （1）∵函数()x f 的图象经过原点,()()x f x f +=-11∴0=c ,其对称轴为直线12=-=abx ∴()ax ax x f 22-=∵()x x f =,即()0122=+-x a ax 有相等的实数根∴()0122=+=∆a ,解得21-=a∴()x f 的解析式为()x x x f +-=221;（2）若函数()()m x f x g -=有四个零点,令()()x f x h =,则函数()()x f x h =的图象与直线m y =有四个不同的交点. 作出函数()()x x x f x h +-==221的图象如下图所示.由函数图象可知,实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛21,0.点评 第（2）问也可这样解决:∵函数()()m x f x g -=有四个零点 ∴方程()m x f =,即m x x =+-221有四个不相等的实数根 ∴关于x 方程m x x =+-221与m x x -=+-221均有两个不相等的实数根 ∴⎪⎩⎪⎨⎧>+>->0210210m m m ,解之得:210<<m∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛21,0.例4.（辽宁大连）已知函数()()124122-+++=m mx x m x f 有一个零点在区间()1,0内,则实数m 的取值范围是____________.解析 当01=+m ,即1-=m 时,()34--=x x f ,令()034=--=x x f ,解得43-=x ,此时函数()x f 的零点43-不在区间()1,0内; 当1-≠m 时,函数()x f 是二次函数:①若二次函数()x f 图象的顶点在x 轴上,且在区间()1,0,则有:()()()0181218162=-=-+-=∆m m m m ,解之得:1=m ,此时()1442++=x x x f令()()0122=+=x x f ,解得21-=x ,不在区间()1,0内,舍去;②若()()010≠f f ,则()()()()0181210<+-=m m f f ,解得:2181<<-m ;③若()0120=-=m f ,解得21=m ,()0232=+=x x x f ,解得32,021-==x x ,不符合题意;④若()0181=+=m f ,解得81-=m ,()04521472=--=x x x f ,解得75,121-==x x ,不符合题意.综上所述,实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛-21,81.例5. 若方程()03122=-+-x k kx 的两根21,x x 满足31121<<<<-x x ,求实数k 的取值范围.解析 设()()3122-+-=x k kx x f ,由题意显然0≠k ,二次函数()x f 的图象是连续不断的曲线,所以有()()()()⎩⎨⎧<<-031011f f f f ,即()()()()⎩⎨⎧<---<---06340423k k k k 解之得:4-<k 或2>k .∴实数k 的取值范围是()()+∞-∞-,24, .变式一 若方程()03122=-+-x k kx 的一个根小于1,另一根大于1,求实数k 的取值范围.解析一 设()()3122-+-=x k kx x f 由题意显然0≠k .∵方程()03122=-+-x k kx 的一个根小于1,另一根大于1∴()⎩⎨⎧<>010f k 或()⎩⎨⎧><010f k∴⎩⎨⎧<-->040k k 或⎩⎨⎧>--<040k k ,解之得:0>k 或4-<k ∴实数k 的取值范围是()()+∞-∞-,04, .解析二 设()()3122-+-=x k kx x f 由题意显然0≠k .∵方程()03122=-+-x k kx 的一个根小于1,另一根大于1 ∴()()041<--=k k kf解之得:0>k 或4-<k∴实数k 的取值范围是()()+∞-∞-,04, .变式二 若方程()03122=-+-x k kx 在()1,1-上有两个不相等的实数根,求实数k的取值范围.解析 设()()3122-+-=x k kx x f ,由题意显然0≠k∵方程()03122=-+-x k kx 在()1,1-上有两个不相等的实数根∴()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=>-=-<+<->++=∆041023112121012122k k kf k k kf kk k k 解之得:21524--<<-k ∴实数k 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2152,4. 例6. 已知关于x 的一元二次方程01222=+++m mx x .（1）若方程有两个实数根,其中一根在区间()0,1-内,另一根在区间()2,1内,求实数m 的取值范围;（2）若方程的两根均在区间()1,0内,求实数m 的取值范围.解析 （1）设()1222+++=m mx x x f ,其图象开口向上,对称轴为直线m x -=∵方程01222=+++m mx x 一根在区间()0,1-内,另一根在区间()2,1内∴()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+++=<+++=<+=>++-=-0124420122110120012211m m f m m f m f m m f ,解之得:2165-<<-m .∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,65;（2）∵方程01222=+++m mx x 的两根均在区间()1,0内∴()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=>+=<-<>+-=∆0241012010012442m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m .∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.例7. 已知方程0122=+--a x a x 的两根21,x x 满足1,1021><<x x ,则实数a 的取值范围是__________.解析 设()122+--=a x a x x f ,其图象开口向上.∵1,1021><<x x∴()()⎩⎨⎧<>0100f f ,即⎩⎨⎧<+-->+-011012a a a ,解之得:2-<a ∴实数a 的取值范围是()2,-∞-. 例8. 已知函数()22++=ax x x f ,∈a R .（1）若不等式()x f ≤0的解集为[]2,1,求不等式()x f ≥21x -的解集;（2）若函数()()12++=x x f x g 在区间()2,1上有两个不同的零点,求实数a 的取值范围.解析 （1）∵不等式()x f ≤0的解集为[]2,1∴方程()022=++=ax x x f 的两根实数根分别为2,121==x x 由根与系数的关系可得:()()32121-=+-=+-=x x a ∴()232+-=x x x f()x f ≥21x -,即232+-x x ≥21x -,整理得:x ≥1或x ≤21. ∴不等式()x f ≥21x -的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≥21,1x x x 或; （2）∵()()12++=x x f x g ,∴()322++=ax x x g ∵函数()x g 在区间()2,1上有两个不同的零点∴()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=>+=<-<>-=∆021120512410242a g a g a a ,解之得:625-<<-a ∴实数a 的取值范围为()62,5--.例9. 已知关于x 的方程()021222=+⋅-+⋅m m m x x 在()1,∞-上有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围为__________.解析 令xt 2=,当()1,∞-∈x 时,()2,0∈t .显然0≠m ,问题转化为方程()0122=+-+m t m mt 在()2,0∈t 上有两个不相等的实数根,设()()m t m mt t g +-+=122,则有:()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><--<>∆020*******mg mg m m ,即()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-><--<>--0290221200412222m m m m m m m ,解之得:4192<<m . ∴实数m 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛41,92.例10. 设函数()()()⎩⎨⎧>≤+=0lg 012x x x x f x ,若关于x 的方程()()022=+-x af x f恰有6个不相等的实数解,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）()22,2 （B ）()3,22 （解析 作出函数()x f 的图象如图所示. 令()t x f =,则022=+-at t . 由题意可知方程022=+-at t 有两个不相等的实数根,且两个根 均在区间(]2,1内,即(]2,1∈t . 设()22+-=at t t g ,则有:()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+-=>+-=<<>-=∆022420211221082a g a g a a ,解之得:322<<a . ∴实数a 的取值范围是()3,22. ∴选择答案【 B 】.点评 实际上,方程022=+-at t 有两个不相等的正实数根,设为21,t t ,由根与系数的关系定理可得221=t t ,显然21,t t 都不会等于2,即()2,1,21∈t t . 例11. 已知函数()542-++=a x x x f ,()7241+-⋅=-m m x g x . （1）若函数()x f 在区间[]1,1-上存在零点,求实数a 的取值范围;（2）当0=a 时,若对任意的[]2,11∈x ,总存在[]2,12∈x 使()()21x g x f =成立,求实数m 的取值范围.解析 （1）函数()x f 图象开口向上,对称轴为直线2-=x ,所以函数()x f 在区间[]1,1-上单调递增.∵函数()x f 在区间[]1,1-上存在零点∴()()⎩⎨⎧≥≤-0101f f ,即⎩⎨⎧≥-+≤-+-055053a a ,解之得:0≤a ≤8.∴实数a 的取值范围是[]8,0; 点评 也可这样解决问题:∵函数()x f 在区间[]1,1-上存在零点∴方程()0=x f ,即0542=-++a x x ,也即()925422++-=+--=x x x a 在区间[]1,1-上有解设()()922++-=x x h ,[]1,1-∈x ,则()[]8,0∈x h∴实数a 的取值范围是[]8,0;（2）当0=a 时,()()925422-+=-+=x x x x f∵[]2,11∈x ,∴()[]7,01∈x f设函数()x g 在区间[]2,1上的值域为为A ,由题意可知:[]A ⊆7,0: ①当0=m 时,()7=x g ,{}7=A ,显然不符合题意; ②当0>m 时,函数()x g 在区间[]2,1上单调递增 ∴[]72,7++-=m m A∴⎩⎨⎧≥+≤+-77207m m ,解之得:m ≥7;③当0<m 时,函数()x g 在区间[]2,1上单调递减 ∴[]7,72+-+=m m A∴⎩⎨⎧≥+-≤+77072m m ,解之得:m ≤27-.综上所述,实数m 的取值范围是[)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,727, .（见例22.）例12. 已知函数()1242--⋅=x x a x f . （1）当1=a 时,求函数()x f 的零点; （2）若()x f 有零点,求a 的取值范围.解析 （1）当1=a 时,()1242--⋅=xxx f令()0=x f ,则01242=--⋅x x ,∴()()012212=+⋅-x x∴12=x （212-=x 舍去）解之得:0=x∴当1=a 时,求函数()x f 的零点为0;（2）设x t 2=,则0>t ,()()122--==t at t g x f当0=a 时,()12--=x x f ,令()0=x f ,则012=--x ,0212<-=x ,不符合题意;当0≠a 时,则有()+∞∈+=,0,212t t t a ∵()()()04121212141212122>-+++=++-++=+=t t t t t t t a ,()+∞∈,0t ∴实数a 的取值范围是()+∞,0. 点评 当()+∞∈,0t 时,()()4121221212=+⋅+>+++t t t t . 例13. 已知()x f 为偶函数,()x g 为奇函数,且满足()()x x g x f -=-12. （1）求()x f ,()x g 的解析式; （2）若()()()[]121-+=x g x f x h ,且方程()[]()04122=-+⋅-k x h k x h 有三个解,求实数k 的取值范围.解析 （1）∵()x f 为偶函数,()x g 为奇函数∴()()()()x g x g x f x f -=-=-, ∵()()x x g x f -=-12① ∴()()x x g x f +=---12 ∴()()x x g x f +=+12②联立①②得:()()x x x x xx x x x g x f --+--+-=-=+=+=22222,222221111; （2）∵()()()[]121-+=x g x f x h ∴()12122222-=--++=--x xx x x x h作出函数()x h 的图象如图所示.设()x h t =,则方程04122=-+-k kt t 有两个不相等的实数根21,t t ,设21t t <,则()1,0,021∈=t t 或()[)+∞∈∈,1,1,021t t .当01=t 时,41,041==-k k ,()1,02141222∈=⨯==k t ,符合题意; 当()[)+∞∈∈,1,1,021t t 时,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+⨯->-+⨯-04112104102022k k k k ,解之得:k ≥43.综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞41,43 .点评 对于方程04122=-+-k kt t ,因为()2212144-=+-=∆k k k ,所以该方程的两个根为212122,212212221=+-=-=-+=k k t k k k t .∵直线212==t y 与函数()x h 的图象有两个不同的交点∴直线2121-==k t y 与函数()x h 的图象只有一个交点结合函数图象可知:0212=-k 或212-k ≥1,解之得:41=k 或k ≥43.∴实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞41,43 .★例14. 已知函数()()kx e x f x ++=1ln 2是偶函数. （1）求实数k 的值;（2）函数()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-m e me x h x x 22ln （0>m 且1≠m ）,函数()()()x h x f x F -=有两个零点,求实数m 的取值范围.解析 （1）∵函数()()kx ex f x++=1ln 2是偶函数∴()()()()x f kx x e kx ee kx ex f x x x x=--+=-+=-+=--21ln 1ln 1ln 2222∴()()kx e kx x e x x ++=--+1ln 21ln 22 ∴k k =--2,解之得:1-=k ; （2）由（1）可知:()()()xx xxxee e ex e x f 1ln ln 1ln 1ln 222+=-+=-+= ∴()()x x e e x f -+=ln∵函数()()()x h x f x F -=有两个零点∴方程()()x h x f =,即()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+--m e me e e x x xx22ln ln 有两个不相等的实数根 ∴m e me ee x xxx 22++=+--,即()0221=-+--m e e m x x设x e t =,则0>t ,()014122=+--x x me e m ,0>m 且1≠m ∴()014122=+--mt t m 有两个不相等的正实数根∴()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->--->--=∆01210124018162m m mm m ,解之得:121<<m∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛1,21.★例15. 已知函数21-=-x a y （0>a 且1≠a ）的图象过定点A ,且点A 在函数()()1ln -+=m x x f （∈m R ）的图象上.（1）求函数()x f 的解析式;（2）若定义在[]2,1上的函数()()x k x f y 2ln -+=恰有一个零点,求实数k 的取值范围.解析 （1）对于函数21-=-x ay ,令01=-x ,则1,1-==y x ,故()1,1-A .把()1,1-A 代入()()1ln -+=m x x f 得:()111ln -=-+m ,解得0=m ∴()1ln -=x x f ;（2）由题意可知:02>-x k 在区间[]2,1∈x 上恒成立 ∴4,04>>-k k由（1）可知:()()12ln 2ln 1ln 2-+-=-+-=kx x x k x y∵函数()()x k x f y 2ln -+=在[]2,1上恰有一个零点∴方程()e kx x ln 12ln 2==+-,即方程022=+-e kx x 在[]2,1上只有一个实数根,设()e kx x x g +-=22.①若()021=+-=e k g ,则e k +=2,所以()()()021222=--=++-e x x e x e x ,解之得:2,121ex x ==,[]2,1,21∈x x ,不符合题意,舍去; ②若()0282=+-=e k g ,则24e k +=,所以02422=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-e x e x∴()()()0422842=--=++-e x x e x e x ,解之得:4,221e x x ==,显然[]2,14∉e,符合题意;③若方程()0=x g 在区间()2,1上只有一个实数根,则有()()021<g g ,即()()0282<+-+-e k e k ,解之得:242ek e +<<+;④若函数()x g 图象的顶点在x 轴上,则有⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-=∆241082k e k ,解之得:e k 22=,符合题意.综上所述,实数k 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛++24,2e e .★例16. 已知函数()()kx x f x ++=19log 9是偶函数. （1）求k 的值;（2）若函数()()a x x f x g --=21无零点,求a 的取值范围; （3）设()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=m m x t x 343log 9,若函数()()()x t x f x h -=有且只有一个零点,求m的取值范围.解析 （1）∵函数()()kx x f x++=19log 9是偶函数∴()()()()x f kx x kx kx x f x xx x=--+=-+=-+=--19log 919log 19log 999∴()()kx kx x x x ++=--+19log 19log 99∴k k =--1,解之得:21-=k ;（2）()()()a x a x x f x g x --+=--=19log 219∵函数()x g 无零点∴方程()019log 9=--+a x x ,即()()a x x x =+=-+-91log 19log 99无实数根 ∴函数()x y -+=91log 9的图象与直线a y =无交点 ∵()01log 91log 99=>+=-x y ∴a ≤0∴a 的取值范围是(]0,∞-;（3）∵函数()()()x t x f x h -=有且只有一个零点 ∴方程()()x t x f =,即()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-+m m x x x 343log 2119log 99只有一个实数根 ∵()()()x x x x x x -+=-+=-+33log 3log 19log 2119log 9999 ∴m m x x x 34333-⋅=+-∴()01334312=+⋅+⋅-x x m m设x a 3=,则0>a ,()013412=++-ma a m可知方程()013412=++-ma a m 只有一个正实数根当01=-m ,即1=m 时,0134=+a ,解得=a 43-,不符合题意,舍去;当1≠m 时,则方程()013412=++-ma a m 有两相异实数根或两个相等的正实数根:①若有两相异实数根,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->--=∆0110149162mm m ,解之得:1>m ;②若有两相等正实数根,则有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--=--=∆01340149162mmm m ,解之得:3-=m .综上所述,m 的取值范围是(){}3,1-+∞ .例17. 若函数()12--=x ax x f 的负零点有且仅有一个,求实数a 的取值范围.解析 当0=a 时,()1--=x x f ,令()0=x f ,则01=--x ,解得1-=x ,符合题意;当0≠a 时,则函数()x f 有两相异实数根或有两个相等的负实数根:①若方程()0=x f 有两相异实数根,则有⎪⎩⎪⎨⎧<->+=∆01041aa （或()01<-⋅a ）,解之得:0>a ;②若方程()0=x f 有两个相等的负实数根,则有⎪⎩⎪⎨⎧<--=+=∆01041a a ,解之得:41-=a .综上所述,实数a 的取值范围是[)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+∞41,0 .例18. 已知()()kx x f x -+=14log 2（∈k R ）.（1）设()()1+-=a x f x g ,2=k ,若函数()x g 存在零点,求a 的取值范围;（2）若()x f 是偶函数,设()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=b b x h x 342log 2,若函数()x f 与()x h 的图象只有一个公共点,求实数b 的取值范围.解析 （1）当2=k 时,()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=-+=xxxxx x f 411log 4log 14log 214log 2222. ∴()()1411log 12+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=a a x f x g x令()0=x g ,则1411log 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x∵函数()x g 存在零点∴函数()x f 的图象与直线1-=a y 有交点∵()01log 411log 22=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x f∴01>-a ,解得1>a ∴a 的取值范围为()+∞,1;点评 由01411log 2=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x 得12log 422log 1411log 222=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x a∴a 的取值范围为()+∞,1. （2）∵()x f 是偶函数 ∴()()()()x f kx x kx kx x f xxx x=+-+=++=++=--214log 414log 14log 222 ∴()()kx kx x x x -+=+-+14log 214log 22,∴k k -=+-2,解得1=k ∴()()()()x x x x x x x f -+=-+=-+=22log 2log 14log 14log 2222令()()x h x f =,则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+-b b x x x 342log 22log 22∴b b x x x 34222-⋅=+-,即()023421=++⋅--x x b b∴()01234212=+⋅+⋅-x x b b ,设x t 2=,则0>t ,()013412=++-bt t b .∵函数()x f 与()x h 的图象只有一个公共点∴方程()013412=++-bt t b 只有一个正实数根.当01=-b ,即1=b 时,0134=+t ,解得043<-=t ,不符合题意,舍去;当1≠b 时,方程有两相异实数根或有两个相等的正实数根:①若方程有两相异实数根,则有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->--=∆0110149162bb b ,解之得:1>b ;②若方程有两个相等的正实数根,则有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--=--=∆01340149162bbb b ,解之得:3-=b .综上所述,实数b 的取值范围是(){}3,1-+∞ .★例19. 设关于x 的方程0222=-+-a ax x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0内有根,求实数a 的取值范围.分析 由方程0222=-+-a ax x 可得222--=x x a ,若设()222--=x x x f ,则a 属于函数()x f 的值域,a 的范围就是函数()x f 的值域.这种处理方法叫做分离参数法.解析 由方程0222=-+-a ax x 可得222--=x x a ,设t x =-2,则2+=t x∴()42242222++=++=-+=tt tt t tt a ∵∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0,∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,2t∵函数()42++=t t t g 在[]2,2--∈t 上单调递增,在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,2上单调递减 ∴()()4222max +-=-=g t g ,()()2121,3min 21,2min min -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛--=g g t g ∴当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,2t 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--∈422,21t g ∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--422,21. 例20. 已知函数()()124log 2++⋅+=a a x f x x ,∈x R . （1）若1=a ,求方程()3=x f 的解集;（2）若方程()x x f =有两个不同的实数根,求实数a 的取值范围.解析 （1）若1=a ,则()()224log 2++=xxx f∴()3=x f ,即()8log 3224log 22==++x x ∵函数()x f 在R 上单调递增∴8224=++x x ,即()()()032226222=+-=-+x x x x∴22=x ,或32-=x （舍去）,解得1=x ∴方程()3=x f 的解集为{}1;（2）若()x x f =,则()x x x x a a 2log 124log 22==++⋅+ ∴x x x a a 2124=++⋅+ ∴()()012122=++⋅-+a a x x设t x =2,则0>t ,方程()0112=++-+a t a t 有两个不相等的正实数根,则有()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+>-->+--=∆010101412a a a a ,解之得:3231-<<-a ∴实数a 的取值范围是()323,1--.例21. 已知二次函数()422+-=ax x x f ,求下列条件下,实数a 的取值范围. （1）零点均大于1;（2）一个零点大于1,一个零点小于1; （3）一个零点在()1,0内,另一个零点在()8,6内.解析 （1）函数()x f 的图象开口向上,对称轴为直线a x =.∵函数()x f 的零点均大于1 ∴方程()0=x f 的两个根均大于1∴⎪⎩⎪⎨⎧>+->≥-=∆0421101642a a a ,解之得:2≤25<a .∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,2; （2）∵函数()x f 的一个零点大于1,一个零点小于1 ∴()04211<+-=a f ,解之得:25>a . ∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,25; （3）∵函数()x f 的一个零点在()1,0内,另一个零点在()8,6内∴()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=<+-=<+-=>=0416648041236604211040a f a f a f f ,解之得:417310<<a .∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛417,310.例22. 已知函数()3822++-=m x x x f ,若函数()x f 在区间[]1,1-上存在零点,求实数m 的取值范围.分析 本题可用两种方法解决,另见例11. 解析 方法一:分离参数法令()0=x f ,则03822=++-m x x ∴()52238222+--=-+-=x x x m令()()5222+--=x x g ,因为[]1,1-∈x ,所以()[]3,13-∈x g∵函数()x f 在区间[]1,1-上存在零点 ∴实数m 的取值范围是[]3,13-.方法二: 函数()x f 的图象开口向上,对称轴为直线2=x ∴函数()x f 在区间[]1,1-上单调递减∵函数()x f 在区间[]1,1-上存在零点,∴()()⎩⎨⎧≤++-=≥+++=-0382103821m f m f解之得:13-≤m ≤3∴实数m 的取值范围是[]3,13-.例23. 设函数()x x f 3=,且()182=+a f ,函数()x ax x g 43-=（∈x R ）. （1）求()x g 的解析式;（2）若方程()0=-b x g 在[]2,2-∈x 上有两个不同的解,求实数b 的取值范围.解析 （1）∵()xx f 3=,()182=+a f∴183932=⨯=+a a ,23=a ∴2log 3=a∴()x x x x x g 42432log 3-=-=⋅;（2）设t x =2,因为[]2,2-∈x ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,41t ∴()()41212242222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=+-=-=t t t x g xx x x,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,41t记()41212+⎪⎭⎫⎝⎛--=t t h ,作出函数()t h 的图象如图所示.∵方程()0=-b x g 在[]2,2-∈x 上有两个不同的解∴函数()t h 的图象与直线b h =有两个不同的交点,结合函数的图象可知,实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡41,163.点评 第（2）问也可这样解决:易知方程b t t =+-2,即02=+-b t t 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,41t 上有两个不相等的正实数根,则有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+-≥+-⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>-=∆044041414214104122b b b ,解之得:163≤41<b . ∴实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡41,163. 例24. 已知函数()()()()1log ,2log 22-=+=x x g ax x f （∈a R ）. （1）若()x f 在其定义域内单调递增,求函数()2x f 的值域;（2）当1=a 时,若关于x 的方程()()m x g x f +=在[]4,2上有实数根,求m 的取值范围.解析 （1）∵函数()u x f 2log =,2+=ax u 在其定义域内单调递增∴0>a∴()()2log 222+=ax x f ≥12log 2= ∴函数()2x f 的值域为[)+∞,1; （2）当1=a 时,()()2log 2+=x x f ∵方程()()m x g x f +=在[]4,2上有实数根 ∴()()()()⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+=--+=-=131log 12log 1log 2log 2222x x x x x x g x f m 在[]4,2上有实数根∵当[]4,2∈x 时, []2,1131log 2∈⎪⎭⎫⎝⎛-+x∴m 的取值范围是[]2,1.例25. 已知二次函数()c bx x x f ++=22（∈c b ,R ）. （1）已知()x f ≤0的解集是{}11≤≤-x x ,求实数c b ,的值;（2）已知()x f 满足()01=f ,求关于x 的方程()0=++b x x f 的两个实数解分别在区间()2,3--,()1,0内,求实数b 的取值范围.解析 （1）∵()x f ≤0的解集是{}11≤≤-x x∴方程()0=x f ,即022=++c bx x 的两个实数根分别为1,1-. 由根与系数的关系可得:⎩⎨⎧⨯-=+-=-11112c b ,解之得:⎩⎨⎧-==1c b ; （2）若()01=f ,则021=++c b ,得到12--=b c∴()0=++b x x f ,即()()01122=+-++b x b x ,记()()()1122+-++=b x b x x g ∵方程()0=++b x x f 的两个实数解分别在区间()2,3--,()1,0内∴()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-++=<+-=<+-+-=->+-+-=-01121101001122420112393b b g b g b b g b b g ,解之得:7551<<b .∴实数b 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛75,51.例26. 给出下面两个条件:①函数()x f 的图象与直线1-=y 只有一个交点;②函数()x f 的两个零点的差的绝对值为2,在这两个条件中选择一个,将下面问题补充完整,使函数()x f 的解析式确定.已知二次函数()c bx ax x f ++=2满足()()121-=-+x x f x f ,且_________. （1）求()x f 的解析式;（2）若对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈27,91x ,()m x f +3log 2≤0恒成立,求实数m 的取值范围;（3）若函数()()()232312-⨯--=x x f t x g 有且仅有一个零点,求实数t 的取值范围.解析 （1）选择条件①.∵()()121-=-+x x f x f∴()()121122-=---++++x c bx ax c x b x a ∴122-=++x b a ax∴⎩⎨⎧-=+=122b a a ,解之得:⎩⎨⎧-==21b a∴()c x x x f +-=22∵函数()x f 的图象与直线1-=y 只有一个交点∴方程122-=+-c x x ,即0122=++-c x x 有两个相等的实数根 ∴()0144=+-=∆c ,解之得:0=c ∴()x f 的解析式为()x x x f 22-=; 选择条件②:∵()()121-=-+x x f x f∴()()121122-=---++++x c bx ax c x b x a ∴122-=++x b a ax∴⎩⎨⎧-=+=122b a a ,解之得:⎩⎨⎧-==21b a∴()c x x x f +-=22∵函数()x f 的两个零点的差的绝对值为2,设两个零点分别为21,x x ∴221=-x x∴()()4421221221=-+=-x x x x x x ∴4422=-c ,解之得:0=c∴()x f 的解析式为()x x x f 22-=;（2）设x t 3log =,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈27,91x ,则[]3,2-∈t 由题意可知方程()m t t m t f +-=+4222≤0恒成立,[]3,2-∈t ∴m ≤()2124222+--=+-t t t 恒成立,[]3,2-∈t即()()2122+--=t t h ,[]3,2-∈t ,只需m ≤()min t h 即可.∵()()162min -=-=h t h ,∴m ≤16- ∴实数m 的取值范围是(]16,-∞-; （3）∵()()()232312-⨯--=x x f t x g∴()()()()()2343122323231222-⋅-⋅-=-⨯-⨯--=x x x x x t t t x g设s x =3,则0>s ,()()24122---=ts s t x g ∵函数()x g 有且仅有一个零点∴方程()0=x g ,即()024122=---ts s t （*）有且仅有一个正实数根.当012=-t ,即21=t 时,022=--s ,解得1-=s ,不符合题意,舍去; 当012≠-t ,即21≠t 时,方程（*）为关于s 的一元二次方程.∴方程（*）有两相异实数根或有两个相等的正实数根:当方程（*）有两相异实数根时,则有()⎪⎩⎪⎨⎧<-->-+=∆01220128162t t t ,解之得:21>t ;当方程（*）有两个相等的正实数根时,则有()⎪⎩⎪⎨⎧>---=-+=∆01240128162t t t t解之得:231--=t 综上所述,实数m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞231,21 .★例27. 已知函数()12++=bx ax x f （0≠a ）的图象关于直线1=x 对称,且函数()x x f y 2+=为偶函数,函数()x x g 21-=. （1）求函数()x f 的表达式;（2）求证:方程()()0=+x g x f 在区间[]1,0上有唯一实数根; （3）若存在实数m ,使得()()n g m f =,求实数n 的取值范围.解析 （1）由题意可知函数()x f 图象的对称轴为直线1=x∴()12,2,122+-=-==-ax ax x f a b ab∵函数()x x f y 2+=为偶函数∴()x ax ax x ax ax x x f 212212222++-=-++=-- ∴2222+-=-a a ,解得1=a ∴()()22112-=+-=x x x x f ;（2）证明:设()()()x g x f x h +=,则()()x x x h 2112-+-= ∵函数()()()x x g x x f 21,12-=-=在[]1,0上单调递减∴函数()x h 在[]1,0上单调递减 ∵()()011,010<-=>=h h ∴()()0110<-=⋅h h∴函数()x h 在[]1,0上只有一个零点,即方程()()0=+x g x f 在区间[]1,0上有唯一实数根;（3）∵()()21-=x x f ≥0,()121<-=x x g 若存在实数m ,使得()()n g m f =,则()[)1,0∈n g ∴n 21-≥0,解得n ≤0 ∴实数n 的取值范围是(]0,∞-.★例28. 已知函数()()⎩⎨⎧>-≤+=-1,1ln 1,131x x x x f x ,若()()()3422+-=x af x f x F 的零点个数为4,则实数a 的取值范围为 【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛,3465,36 （B ）()+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛,265,36 （C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,65 （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,34 解析 作出函数()x f 的图象如图所示.设()t x f =,则()3422+-=at t x F ,记()3422+-=at t t g . ∵()()()3422+-=x af x f x F 有4个不同的零点 ∴方程()0=t g ,即03422=+-at t 有两个不相等的实数根21,t t ,设21t t <,则有2,021==t t 或(]1,01∈t ,()+∞∈,22t 或()+∞∈,2,21t t .由根与系数的关系可得:3421=t t ,故2,021==t t 以及()+∞∈,2,21t t 均不符合题意,舍去.∴(]1,01∈t ,()+∞∈,22t ,则有∴()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+-=≤+-=>=0344420342110340a g a g g ,解之得:34>a .∴实数a 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,34.选择答案【 D 】.点评（1）本题方程03422=+-at t 在满足0>∆的情况下,其两个不相等的实数根21,t t 要受到3421=t t 的约束,故2,021==t t 和()+∞∈,2,21t t 这两种情况是不符合题意的,都要舍去.因此,我们在解决有关一元二次方程根的分布问题时,要仔细观察含参方程的特点,如其两根之和或两根之积是否为常数,其根的判别式是否为完全平方式（这时含参方程可进行因式分解）等. （2）本题中,利用两根之积3421=t t 排除了2,021==t t 和()+∞∈,2,21t t 这两种情况,如果没有注意到这一点,可求解排除,如()+∞∈,2,21t t ,则有()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-->+-=>-=∆222034442031642a a g a ,解之得:无解.（3）由于(]1,01∈t ,()+∞∈,22t ,且3421=t t ,故21,t t 所在的区间还是不够精准,但是,在利用一元二次方程根的分布的结论解决问题时,所列出的不等式（组）和方程本身会对参数进行进一步的约束,最后所得的范围仍是正确的. 注意区别下面的方法.方法二 由上面的解法可知:(]1,01∈t ,()+∞∈,22t 对于方程03422=+-at t ,由根与系数的关系可得:a t t 221=+,3421=t t . ∴3223434021=⨯<=<t t ,即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,01t ∴3432343221342121121=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=t t t t a ∴实数a 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,34.∴选择答案【 D 】.点评 若⎪⎭⎫ ⎝⎛+=223421t t a ,则确定()+∞∈,22t . 例29. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=2,132,12x x x x f x ,若方程()[]()()012=++-a x f a x f 有五个不同的实数根,则实数a 的取值范围为____________.解析 作出函数()x f 的图象如图所示.设()t x f =,则()012=++-a t a t .∴()()01=--a t t （其()22112-=+-=∆a a a ,故方程左边可进行因式分解） 解之得:a t t ==21,1∵方程()[]()()012=++-a x f a x f 有五个不同的实数根∴直线11==t y 与a t y ==2和函数()x f 的图象共有五个不同的交点 ∵直线11==t y 与函数()x f 的图象有2个不同的交点 ∴直线a t y ==2和函数()x f 的图象有3个不同的交点 ∴10<<a∴实数a 的取值范围为()1,0.例30. 已知函数()121+⎪⎭⎫⎝⎛=xx f ,若关于x 的方程()[]()()033222=++-a x f a x f 有四个不同的根,则a 的范围是 【 】（A ）()2,1 （B ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2323,0 （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2323,1解析 作出函数()x f 的图象如图所示.设()t x f =,则()033222=++-a t a t （()232-=∆a ） ∴()()032=--t a t ,解之得:23,21==t a t ∵方程()[]()()033222=++-a x f a x f 有四个不同的根 ∴方程()033222=++-a t a t 有两个不相等的根,故23≠a ∴直线23,==y a y 与函数()x f 的图象共有四个不同的交点 ∵直线23=y 与函数()x f 的图象有两个不同的交点 ∴直线a y =与函数()x f 的图象有两个不同的交点 ∴21<<a ,且23≠a ∴实数a 的范围是⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2323,1 .∴选择答案【 D 】.方法二 由上面可知,()2,1,21∈t t ,且21t t ≠,则有()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+⨯+-⨯>+⨯+-⨯<+--<>-=∆0323222031321224321032222a a a a a a ,解之得:21<<a ,且23≠a ∴实数a 的范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2323,1 .∴选择答案【 D 】.例31. 已知函数()x f 为偶函数,()x g 为奇函数,且()()x x g x f -=-12. （1）求()x f ,()x g 的解析式; （2）若()()()[]121-+=x g x f x h ,且方程()[]()04122=-+-k x kh x h 有三个解,求实数k 的取值范围.解析 （1）∵()x f 为偶函数,()x g 为奇函数∴()()()()x g x g x f x f -=-=-, ∵()()x x g x f -=-12① ∴()()x x g x f +=---12 ∴()()x x g x f +=+12②联立①②得:()xx x x x f --++=+=2222211,()x x x x x g --+-=-=2222211; （2）由（1）可知:()()()[]()121222221121-=--++=-+=--x x x x x x g x f x h ,其图象如图所示.设()t x f =,则04122=-+-k kt t ∵方程()[]()04122=-+-k x kh x h 有三个解∴方程04122=-+-k kt t 有两个不相等的实数根（()212-=∆k ）解之得:214,2121-==k t t∵直线21=y 与函数()x f 的图象有两个不同的交点∴直线2142-==k t y 与函数()x f 的图象只有一个交点 ∴0214=-k 或214-k ≥1 ∴41=k 或k ≥43∴实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞41,43 . 例32. 已知函数()()⎩⎨⎧≥+-<-=0,460,lg 2x x x x x x f ,若函数()[]()12+-=x bf x f y 有8个不同的零点,则实数b 的取值范围是__________.解析 作出函数()x f 的图象如图所示.设()t x f =,∵函数()[]()12+-=x bf x f y 有8个不同的零点∴方程012=+-bt t 有两个不相等的实数根21,t t ,结合函数()x f 的图象可知(]4,0,21∈t t ,记()12+-=bt t t g ,则有:()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+-=>=<<>-=∆014164010420042b g g b b ,解之得:b <2≤417. ∴实数b 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛417,2.★方法二 由根与系数的关系可得:1,2121==+t t b t t ∵(]4,0,21∈t t ,设21t t <,则(]4,12∈t ,⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=1,41121t t ∴221t t b +=,(]4,12∈t ∴2212t t +<≤417414=+,即b <2≤417. ∴实数b 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛417,2.★例33. 若关于x 的方程04111112=+--⎪⎭⎫⎝⎛-x a x 恰好有四个不同的实数根,则实数a 的取值范围是__________.解析 设11-=x t ,作出其图象如图所示,则原方程可化为0412=+-at t .∵方程04111112=+--⎪⎭⎫⎝⎛-x a x 恰好有四个不同的实数根∴方程0412=+-at t 有两个不相等的实数根21,t t ,设21t t <,结合函数图象则有。
方程判别式
方程判别式是针对一元二次方程的,用来判别一个方程是否有实根的，方程
aX^2+bX+c=0中根的判别式为△=b²-4ac
若判别式大于0则有两个不同实根；
若判别式等于0则有两个相同实根；
若判别式小于0则没有实数根。
扩展资料：
一元二次方程的根的判别式为△=b²-4ac（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。
韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
2.二次函数解析式与根的分布
2.二次函数解析式与根的分布教学目标1.掌握根与系数关系，会运用韦达定理解题；2.掌握二次函数的三中表达形式；了解根的分布，渗透方程思想。
教学重点1.韦达定理二次函数的三中表达形式中的交点式教学难点1.根的分布交点式的运用教学过程一、根与系数的关系1.对于实系数的一元二次方程()20ax bx c a ++≠,24b ac ∆=-称为此方程根的判别式，且有如下性质：(1)0∆>二次方程有两个 不等 实数根；(2)0∆=二次方程有两个 相等 实数根；(3)0∆<二次方程 无 实数根.2.方程()220040,ax bx c a b ac ++=≠∆=-≥ 的两个根 2142b b ac x a -+-=， 2242b b ac x a---=； 3.（1)若一元二交方程()20ax bx c a ++≠的两个根为12,x x ，则 （韦达定理）1212b x x a cx x a ⎧⎪⎪⎨+=-⋅=⎪⎪⎩，(2)若12,x x 是方程20x px q ++=的二根，则12p x x =-+(),12q x x =，以实数12,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++=.例1：已知12,x x 是方程13x x +=两个实数根，求： ①12x x +；②12x x ⋅；③1211x x +；④2212x x +；⑤3312x x +；⑥12x x -；⑦()()1211x x --。
例2：已知关于x 的方程222(2)40x m x m +-++=有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求m 的值。
说明：（1）用韦达定理的前提是240b ac -≥；（2）多解的二、二次函数的三种形式(1) 一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ；(2) 顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，其中顶点坐标为（h ，k ）；除了上述两种表示方法外，我们还可以借助图像与x 轴的交点，得出另一种表示方法；函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴公共点的横坐标就是方程02=++c bx ax 的根，那它根的情况由谁决定（判别式），当方程有两根21,x x 时，由韦达定理可知a c x x a b x x =-=+2121,，所以22()b c y ax bx c a x x a a =++=++ 2121212[()]()()a x x x x x x a x x x x =-++=--，这是二次函数的交点式。
2020-2021学年新教材高一数学寒假辅导讲义专题02 二次函数(原卷版)
2020-2021学年新教材高一数学寒假辅导讲义（沪教版2020）专题02 二次函数知识梳理一、二次函数的解析式的三种形式1． 一般式：()()20f x ax bx c a =++≠2． 顶点式：()()()20f x a x h k a =-+≠，其中()()k f h ,h,k =为抛物线的顶点坐标.3． 交点式（零点式）：()()()()120f x a x x x x a =--≠，)0,()0,(21x x 和 为抛物线与x 轴的交点坐标.二、二次函数的图象及性质二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是abx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，. 当0>a 时，函数在上是增函数，在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,上是减函数；当0<a 时，函数在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b 上是减函数. 三、根与系数关系设()()02≠++=a c bx ax x f 的两根为21,x x ，则有ax x x x x x a c x x a b x x ∆=-+=-=-=+212212121214)(,, 四、一元二次方程根的分布:设()()04022≥-=∆≠++=ac b a c bx ax x f ，的两根为.,21x x ，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b1．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-≥∆⇔>>0000,021a c a b x x 2.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥∆⇔<<0000,021ac a bx x3. 0)0(00,021<⇔<⇔><f acx x 4.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆⇔<<0)(2021m f m a b m x x 5.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆⇔<<0)(2021m f m a b x x m6.0)(21<⇔<<m f x m x7.⎩⎨⎧<<⇔<<<0)(0)(21n f m f x n m x8.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<>∆⇔<<<0)(0)(2021n f m f n ab m n x x m 9.⎩⎨⎧><⇔<<<0)(0)(21n f m f n x m x 10.⎩⎨⎧<>⇔<<<0)(0)(21n f m f x n x m11. ()02=++=c bx ax x f 在),(n m 内恰有一解0f (m )f (n )⇔⋅<或0f (m )=（检验另一根在),(n m 内）或0f (n )=（检验另一根在),(n m 内）12.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>⇔<<<<<0)(0)(0)(0)(21q f p f n f m f q x p n x m讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置五、一元二次函数在给定区间上的值域设()()20f x ax bx c a =++>，],[n m x ∈()m n <1．当abn 2-<时，()f x 的值域为[]f (n ),f (m)； 2. 当n a b m ≤-≤2时,2min b f f ()a=- ，{}max f max f (m),f (n )=；（如果再细分的话，是什么情况呢，让同学思考）3. 当m ab<-2时，()f x 的值域为[]f (m),f (n ). 讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②开口方向 六、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系设()()20f x ax bx c a =++>①0∆<⇔函数y f (x )=的图像与x 轴无交点⇔方程0f (x )=无实根⇔不等式0f (x )>的解集为R ⇔不等式的解集为∅；②0∆=⇔函数y f (x )=的图像与x 轴相切⇔方程0f (x )=有两个相等的实根⇔不等式0)(>x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2；③0∆>⇔函数)x (f y =的图像与x 轴有两个不同的交点⇔方程0)x (f =有两个不等的实根：）设，βαβα<(⇔不等式0f (x )>的解集为(,)(,)-∞+∞αβ⇔不等式0)x (f <的解集为(,)αβ. 例题解析一、二次函数的概念【例1】若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像关于1x =对称，则c =_________．【例2】已知二次函数()2f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭____________. 【例3】若函数()()()22111f x m x m x =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()f x 是A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．可能是增函数，也可能是常数0f (x )≤【例4】已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，则实数k 的取值范围为________．【巩固训练】1.若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．2．已知函数2()f x x ax b =++，且(2)f x +是偶函数，则57(1),(),()22f f f 的大小关系是( )A ．57()(1)()22f f f <<B ．75(1)()()22f f f <<)C ．75()(1)()22f f f << D ．75()()(1)22f f f <<3．已知函数2()22,[5,5]f x x ax x =++∈-，且函数在[5,5]-上是单调函数，则a 的取值范围是____________.二、和二次函数相关的函数的值域和最值问题【例5】如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[,1]t t +上，求f x ()的最小值.【例6】已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值.【例7】已知函数2()2x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m ，最大值是3n ，求m ，n 的值.【例8】函数2111x x x y -+-++=的值域是【例9】已知函数31++-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm的值是 【巩固训练】1．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是____________.2．设),](1,[,44)(2R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式.3．函数22214x x y -+=的值域是 4．函数x x y -+-=53的值域为5．已知二次函数2211f (x )ax (a )x =+-+在区间3[,2]2-上的最大值为3，求实数a 的值. 三、一元二次方程根的分布【例10】求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22=++-+m x m x ． （1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小． （2）有两个实根βα,，且满足410<<<<βα． （3）至少有一个正根．【例11】已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．【例12】对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠. （1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．【例13】设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足1210x x a<<<. （1）当1(0,)x x ∈时，证明1()x f x x <<；（2）函数()f x 的图像关于直线0x x =对称，证明：102x x <.【巩固训练】1．已知方程)(0)32()1(242R m m x m x ∈=++-+有两个负根，求m 的取值范围．2．已知抛物线22y x mx m =-+与直角坐标平面上两点(0,0),(1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m 取值范围．3．已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围. (2) 若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围.四、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的联系【例14】是否存在实数a b c 、、，使关于的不等式2+0ax bx c +>的解为1132x -<<？若存在，请解不等式2+0cx bx a --<；若不存在，请说明理由．【例15】已知不等式组22202(25)50x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解的集合是{}2-，求实数k 的取值范围．【例16】已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()10,-，问是否存在常数a b c 、、，使不等式()()2112x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立？【巩固训练】1．不等式20x ax b --<的解集为()23，，则不等式210bx ax -->的解集为__________.2．已知关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好有一个解，则a 的值为____________.3．不等式0122>--x x的解集为A ，集合}{0))(52(<++=a x x x B .设Z 为整数集，若{}2,1--=Z B A ，则实数a 的取值范围是________.五、二次函数的实际应用问题【例17】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）.（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．【例18】某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中2AB =米，1BC =米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．EMN ∆是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将EMN ∆的面积S （平方米）表示成关于x 的函数； （2）求EMN ∆的面积S （平方米）的最大值．【巩固训练】1．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设)(t f 表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（)(t f 越大，表明学生的注意力越集中），经过实验分析得知：⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤≤++-=4020,38072010,240100,10024)(2t t t t t t t f（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最为集中？能持续多少分钟？（2）讲课开始后5分钟和讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更为集中？（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？2．某企业为打入国际市场，决定从A 、B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原材料价格决定，预计]8,6[∈m ．另外，年销售x 件B 产品时需上交20.05x 万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（Ⅰ）写出该厂分别投资生产A 、B 两种产品的年利润12,y y 与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；（Ⅱ）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．六、二次函数的综合应用【例19】直线1y =与曲线2||y x x a =-+有四个交点，则实数a 的取值范围是__________.【例20】设函数()()f x x x bx c x R =++∈给出下列4个命题① 当0,0==c b 时，0)(=x f 只有一个实数根；② 当0=c 时，)(x f y =是偶函数；③ 函数)(x f y =的图像关于点),0(c 对称；④ 当0,0≠≠c b 时，方程0)(=x f 有两个实数根.上述命题中，所有正确命题的序号是___________.【例21】对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足：①)(x f 在D 上单调递增或单调递减；②存在区间[]D b a ⊆,，使)(x f 在[]b a ,上的值域为[]b a ,,那么把)(x f y =（D x ∈）叫做闭函数.（1）判断函数),0(,12)(+∞∈+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由； （2）若2)(++=x k x f 是闭函数,求实数k 的取值范围.【例22】设R ∈a ，函数x a x x x f 2||)(+-⋅=．（1）若2=a ，求函数)(x f 在区间]3,0[上的最大值；（2）若2>a ，写出函数)(x f 的单调区间（不必证明）；（3）若存在]4,2[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．【巩固训练】1．已知函数x a x x x f 2||)(+-=，若0>a ，关于x 的方程9)(=x f 有三个不相等的实数解，则a 的取值范围是__________．2．设关于x 的不等式()()()221210x a x a a -+++->和0)(322<++-a x a a x )(R a ∈的解集分别是A 和B.（1）若A B φ=，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得R B A = ？如果存在，求出a 的值，如果不存在，请说明理由．3．已知函数a ax x x f -++=3)(2，R a ∈.研究函数)(x f y =的图像与函数322--=x x y 的图像公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论.反思总结二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延。
2022-2023学年天津五十五中九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2022-2023学年天津五十五中九年级第一学期期中数学试卷一、单选题（共36分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，配方后的方程是（）A．（x+3）2＝10B．（x﹣3）2＝10C．（x+3）2＝8D．（x﹣3）2＝8 3．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标如下表所示，则该函数图象的顶点坐标为（）x…﹣1012…y…0343…A．（﹣1，0）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，3）4．如图，在△ABC中，AB＝，AC＝，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）A．3B．2C．2D．45．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+b与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．6．上海世博会的某纪念商品原价168元，连续两次降价a%后售价128元，下列所列的方程中正确的是（）A．168（1+a%）2＝128B．168（1﹣a2%）＝128C．168（1﹣2a%）＝128D．168（1﹣a%）2＝1287．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），共跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）米．A．5B．8C．12D．138．若A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）三点都在函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y1＞y3D．y1＜y3＜y29．已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k上，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b10．将点（1，2）绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（2，﹣1）C．（1，2）D．（﹣2，1）11．如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（）A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC 12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b ＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②C．②③④D．③④二、填空题（共15分）13．已知方程x2+kx﹣3＝0一个根是1，则k＝．14．已知抛物线y＝x2+bx+1的顶点在坐标轴上，则b的值为．15．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连接OD、OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝．16．若二次函数y＝ax2+2ax+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+2ax+c＝0的实数根是．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是．三、解答题（共69分）18．如图，由小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留连线痕迹，并简要说明作图方法不用证明）（1）在图（1）中作线段AB的垂直平分线；（2）在图（2）中的⊙O上面一点E，使＝；（3）在图（3）中⊙O上找一点F，使F平分优弧BDC．19．解方程：（1）（x+1）2﹣9＝0（2）2x2﹣4x﹣1＝020．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1：②画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2：③△A1B1C1的面积为．21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．22．如图，AB为⊙O的直径，E为OB的中点，弦CD⊥AB于点E，连接CO并延长交⊙O 于点F，连接BC．（1）求证：△BOC是等边三角形；（2）若⊙O的半径为2，求CD的长．23．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求AB的长．（2）当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？24．如图1，在正方形ABCD中，AD＝4，点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG、CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值：若不存在，请说明理由．25．（18分）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当PA＝PB时，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共36分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，配方后的方程是（）A．（x+3）2＝10B．（x﹣3）2＝10C．（x+3）2＝8D．（x﹣3）2＝8【分析】先把常数项移项，再方程两边同加上一次项系数一半的平方，再配方即可．解：x2+6x﹣1＝0，移项得x2+6x＝1，方程两边同加上9得x2+6x+9＝10，配方得（x+3）2＝10，【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．3．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标如下表所示，则该函数图象的顶点坐标为（）x…﹣1012…y…0343…A．（﹣1，0）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，3）【分析】根据二次函数的对称性解答即可．解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是3，∴函数图象的对称轴为直线x＝＝1，∴顶点坐标为（1，4）．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝，AC＝，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）A．3B．2C．2D．4【分析】根据旋转的性质得出∠CAC1＝60°，AC＝AC1＝，求出∠BAC1＝90°，根据勾股定理求出即可．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB＝，AC＝，∴∠CAC1＝60°，AC＝AC1＝，∵∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝30°+60°＝90°，在Rt△BAC1中，由勾股定理得：BC1＝＝＝3，【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，能求出AC1的长度和求出∠BAC1的度数是解此题的关键．5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+b与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴直线y＝﹣ax+b经过第一，二，四象限，反比例函数y＝图象分布在第二、四象限，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．6．上海世博会的某纪念商品原价168元，连续两次降价a%后售价128元，下列所列的方程中正确的是（）A．168（1+a%）2＝128B．168（1﹣a2%）＝128C．168（1﹣2a%）＝128D．168（1﹣a%）2＝128【分析】先用a表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．解：当商品第一次降价a%时，其售价为168﹣168a%＝168（1﹣a%）；当商品第二次降价a%后，其售价为：168（1﹣a%）﹣168（1﹣a%）a%＝168（1﹣a%）2．故168（1﹣a%）2＝128．故选：D．【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于128即可．7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），共跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）米．A．5B．8C．12D．13【分析】设点O为圆弧AB的圆心，利用垂径定理和勾股定理即可求出答案．解：设O为圆心，连接OA，作BC⊥AB于D，交圆弧AB于点C，由题意可知：OD⊥AB，OA＝13米，由垂径定理可知：AD＝AB＝12米，在Rt△AOD中，DO＝＝5，进而得拱高CD＝CO﹣DO＝13﹣5＝8（米）．故选：B．【点评】本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．8．若A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）三点都在函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y1＞y3D．y1＜y3＜y2【分析】此题可直接把各点的横坐标代入求得纵坐标再比较大小即可．解：∵A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）三点都在函数y＝﹣的图象上，∴y1＝，y2＝，y3＝﹣1．∴y3＜y1＜y2．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．图象上点的坐标适合解析式．9．已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k上，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b【分析】由y＝﹣（x﹣2）2+k可知抛物线的对称轴为直线x＝2，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．解：∵y＝﹣（x﹣2）2+k，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵抛物线开口向下，而点A（﹣2，a）到对称轴的距离最远，点C（3，c）最近，∴a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．此题需要掌握二次函数图象的增减性．10．将点（1，2）绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（2，﹣1）C．（1，2）D．（﹣2，1）【分析】过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，根据垂直定义可得∠BDO＝∠ACO＝90°，从而可得∠OAC+∠AOC＝90°，再利用旋转的性质可得OA＝OB，∠AOB＝90°，然后利用平角定义可得∠AOC+∠BOD＝90°，从而根据同角的余角相等可得∠OAC＝∠BOD，进而可证△AOC≌△OBD，最后利用全等三角形的性质可得OC＝BD＝1，AC＝OD＝2，即可解答．解：如图：过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∴∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠OAC+∠AOC＝90°，∵点A（1，2），∴OC＝1，AC＝2，由旋转得：OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠AOB＝90°，∴∠OAC＝∠BOD，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴OC＝BD＝1，AC＝OD＝2，∴点B的坐标为（﹣2，1），故选：D．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（）A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC【分析】根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可．解：A、∵AB＝AC，∴AB＞AM，由旋转的性质可知，AN＝AM，∴AB＞AN，故本选项结论错误，不符合题意；B、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；C、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，∵AM＝AN，AB＝AC，∴∠ABC＝∠AMN，∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意；D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是旋转变换、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键．12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b ＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②C．②③④D．③④【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；②∵对称轴x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，故正确；③∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；④根据图示知，当x＝1时，有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m为实数），故正确；⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0，故错误；故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．二、填空题（共15分）13．已知方程x2+kx﹣3＝0一个根是1，则k＝2．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．解：把x＝1代入方程：x2+kx﹣3＝0可得1+k﹣3＝0，解得k＝2．故本题答案为k＝2．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．14．已知抛物线y＝x2+bx+1的顶点在坐标轴上，则b的值为2或﹣2．【分析】根据当抛物线的顶点在坐标轴上时，Δ＝0计算即可．解：当抛物线y＝x2+bx+1的顶点在坐标轴上时，Δ＝0，即Δ＝b2﹣4×1＝0，解得b＝2或b＝﹣2，故答案为：2或﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是把抛物线的顶点问题转化为抛物线与x轴的交点的个数问题，可以利用一元二次方程的根的判别式来解决．15．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连接OD、OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝50°．【分析】如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE＝25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．解：如图，连接BE．∵BC为⊙O的直径，∴∠CEB＝∠AEB＝90°，∵∠A＝65°，∴∠ABE＝25°，∴∠DOE＝2∠ABE＝50°，（圆周角定理）故答案为：50°．【点评】本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大．16．若二次函数y＝ax2+2ax+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+2ax+c＝0的实数根是1、﹣3．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系来求方程ax2+2ax+c＝0的另一根即可．解：∵二次函数y＝ax2+2ax+c的图象与x轴交于（﹣3，0），则一元二次方程ax2+2ax+c ＝0的一个解x1＝﹣3，∵x1+x2＝﹣2，即﹣3+x2＝﹣2，解得x2＝1．故答案为：1、﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，解决本题的关键是根与系数的关系．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是1．【分析】作CH⊥AB于H，如图，先利用勾股定理计算出AB＝5，再利用面积法计算出CH＝，再根据旋转的性质得CE＝4，然后利用点E点在HC上，点E到AB的距离最小，即可求△AEB面积的最小值．解：如图，作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝，∵CH•AB＝AC•BC，∴CH＝，∵点D是AC的中点，∴CD＝2，∵将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，∴CE＝2，即点E在以C为圆心，2为半径的圆上，∵点E在HC的上，点E到AB的距离最小，∴S△AEB最小值为：×5×（）＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是确定E点的运动轨迹．三、解答题（共69分）18．如图，由小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留连线痕迹，并简要说明作图方法不用证明）（1）在图（1）中作线段AB的垂直平分线；（2）在图（2）中的⊙O上面一点E，使＝；（3）在图（3）中⊙O上找一点F，使F平分优弧BDC．【分析】（1）在网格中找到格点C、D，使得AC＝BC、AD＝BD．连接CD，即可求解；（2）根据垂径定理，即可求得点E；（3）作线段BC的垂直平分线OE，交圆于点F即可．解：（1）如图，CD所在的直线即为AB的垂直平分线，（2）找到格点D，使得DD＝BD，连接OD并延长，交⊙O于点E，如下图：则点E即为所求；（3）如图，连接BC，找到格点O、E，使得OC＝OB、CE＝BE，连接OE，交圆O于点F．点F即为所求．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质、点与圆的位置关系、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，三角形外接圆与外心，熟练掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，几何作图是解题的关键．19．解方程：（1）（x+1）2﹣9＝0（2）2x2﹣4x﹣1＝0【分析】（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．解：（1）（x+1）2﹣9＝0，（x+1）2＝9，x+1＝±3，x1＝2，x2＝﹣4；（2）2x2﹣4x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24，x＝，x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元一次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．20．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1：②画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2：③△A1B1C1的面积为．【分析】①根据中心对称的性质作图即可．②根据旋转的性质作图即可．③利用割补法求三角形的面积即可．解：①如图，△A1B1C1即为所求．②如图，△AB2C2即为所求．③△A1B1C1的面积为3×3﹣﹣﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．【分析】（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值．（2）根据图象即可求出y的取值范围．（3）设P（x，y），△PAB的高为|y|，AB＝4，由S△PAB＝10列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标．解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c∴解得：∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3∴顶点坐标为：（1，4）（2）由于抛物线的对称轴为：x＝1，∴0＜x＜3时，∴0＜y≤4（3）设P（x，y）∴△PAB的高为|y|，∵A（﹣1，0）、B（3，0）∴AB＝4∵S△PAB＝10，∴×4×|y|＝10∴y＝±5，当y＝5时，∴5＝﹣x2+2x+3此时方程无解，当y＝﹣5时，∴﹣5＝﹣x2+2x+3，解得：x＝4或x＝﹣2，∴P（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，解方程等知识，属于中等题型．22．如图，AB为⊙O的直径，E为OB的中点，弦CD⊥AB于点E，连接CO并延长交⊙O 于点F，连接BC．（1）求证：△BOC是等边三角形；（2）若⊙O的半径为2，求CD的长．【分析】（1）根据等边三角形的判定定理证明即可；（2）根据勾股定理和垂径定理解答即可．【解答】（1）证明：∵E为OB的中点，∴OE＝OB＝OC，∵∠OCE＝30°∴∠COE＝60°，又∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形；（2）解：在Rt△COE中，CO＝2，OE＝1，∴CE＝，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CE＝DE＝CD，∴CD＝2CE＝2．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定定理，勾股定理和垂径定理，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．23．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求AB的长．（2）当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？【分析】（1）根据题意和图形，可以列出相应的一元二次方程，从而可以求得x的值，注意墙长是18米；（2）根据题意和图形，可以得到S与x的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求得当x取何值时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是多少．解：（1）由题意可得，x（30﹣2x）＝72，即x2﹣15x+36＝0，解得，x1＝3，x2＝12，当x＝3时，30﹣2x＝24＞18，故舍去；当x＝12时，30﹣2x＝6，由上可得，x的值是12，故AB的长为12米；（2）设这个苗圃园的面积为S平方米，由题意可得，S＝x（30﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+，∵平行于墙的一边长不小于8米，且不大于18米，∴8≤30﹣2x≤18，解得，6≤x≤11，∴当x＝时，S取得最大值，此时S＝，答：当x＝时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．24．如图1，在正方形ABCD中，AD＝4，点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG、CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值：若不存在，请说明理由．【分析】（1）先判断出DG＝DE，AD＝CD，∠EDG＝∠CDA＝90°，进而判断出∠ADG ＝∠CDE，即可得出结论；（2）①由（1）知，△ADG≌△CDE（SAS），得出∠DAG＝∠DCE，即可得出结论；②判断出当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合，最后用勾股定理求解即可求出答案．【解答】（1）解：△AGD≌△CED；理由：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴DG＝DE，AD＝CD，∠EDG＝∠CDA＝90°，∴∠EDG﹣∠ADG＝∠CDA﹣∠ADE，∴∠ADG＝∠CDE，在△AGD和△CED中，，∴△ADG≌△CDE（SAS）；（2）①证明：如图3，CP与AD的交点记作点O，由（1）知，△ADG≌△CDE（SAS），∴∠DAG＝∠DCE，∵∠ADC＝90°，∴∠DCO+∠COD＝90°，∵∠AOP＝∠COD，∴∠DAG+∠AOP＝90°，∴∠APO＝90°，∴AG⊥CP；②如图4，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，CD＝AD＝4，在Rt△ADC中，AC＝AD＝4，∵∠CPA＝90°，∴当∠ACP最小时，PC的值最大，∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），由题意知，DE＝AD＝2，∴EC＝＝＝2，∵EF＝DE＝2，∴CP＝CE+EF＝2+2，∴PC的最大值为2+2．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．25．（18分）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当PA＝PB时，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣1，5）、B（﹣5，m）代入y＝a（x﹣3）（x+6），即可求解；（2）设P（t，0），由题意列出方程（t+1）2+25＝（t+5）2+4，求出t的值即可求点P 的坐标；（3）①当AB∥MC时，B两点到直线MC的距离相等，求出直线MC的解析式为y＝x ﹣，联立方程组，即可求M（﹣9，﹣9）；②当直线CM经AB的中点时，过点A作AE⊥CM交于点E，过点B作BF⊥CM交于点F，由△BFM≌△AEM （AAS），可得AE＝BF，直线CM经过AB的中点（﹣3，），则可求直线CM的解析式，联立方程组，可求M（﹣，）．解：（1）将A（﹣1，5）代入y＝a（x﹣3）（x+6），∴﹣20a＝5，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣3）（x+6），将B（﹣5，m）代入y＝﹣（x﹣3）（x+6），∴m＝2，令y＝0，则﹣（x﹣3）（x+6）＝0，解得x＝3或x＝﹣6，∴C（3，0）；（2）设P（t，0），∵PA＝PB，∴（t+1）2+25＝（t+5）2+4，解得t＝﹣，∴P（﹣，0）；（3）存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等，理由如下：①当AB∥MC时，B两点到直线MC的距离相等，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+，∴直线MC的解析式为y＝x﹣，联立方程组，解得或，∴M（﹣9，﹣9）；②当直线CM经AB的中点时，过点A作AE⊥CM交于点E，过点B作BF⊥CM交于点F，∴△BFM≌△AEM（AAS），∴AE＝BF，∵A（﹣1，5），B（﹣5，2），∴AB的中点为（﹣3，），设直线CM的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+，联立方程组，解得，∴M（﹣，）；综上所述：M点坐标为（﹣9，﹣9）或（﹣，）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，平行线的性质是解题的关键．。
函数的图像 知识梳理
函数的图像【考纲要求】1.结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．5.会作简单的函数图象并能进行图象变换。
6.结合图像理解函数、方程、不等式之间的关系。
【知识网络】【考点梳理】考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系1. 当x R ∈时，二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的个数可以用判别式24b ac ∆=-与0的关系进行判断；2. 二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根1x 、2x 与系数的关系：12b xx a +=-，12c x x a=； 3.二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的分布：结合2()f x ax bx c =++（0a >）的图象可以得到一系列有关的结论（0a <可以转化为0a >）：（1）方程()0f x =的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔()0f r <.函数的图像图像与性质、图像变换幂指对函数二分法二次函数（2）二次方程()0f x =的两根都大于r 2402()0Δb ac bra f r ⎧=-≥⎪⎪⇔->⎨⎪>⎪⎩（3）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内有两根2402()0()0Δb ac b p q af q f p ⎧=-≥⎪⎪<-<⎪⇔⎨⎪>⎪>⎪⎩（4）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内只有一根⇔()()0f q f p ⋅<，或()0f p =而另一根在(,)p q 内，或()0f q =而另一根在(,)p q 内.（5）方程()0f x =的一根比p 小且一根比q 大（p q <）()0()0f p f q <⎧⇔⎨<⎩考点二：零点 1. 函数的零点(1) 一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值为0，即()0=f a ，则a 叫做这个函数的零点． (2) 对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：① 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变； ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。
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一元实系数四次方程根的分布特征一直是数学中一个备受关注的课题。
在之前的研究中，我们已经探讨了一元实系数四次方程根的一些分布
特征，但是仍然有一些问题有待进一步探讨和研究。
在本文中，我们
将继续讨论一元实系数四次方程根的分布特征，并从不同的角度进行
探讨和分析。
一元实系数四次方程可以表示为：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a、b、c、d、e为实数系数，且a不等于0。
我们的研究对
象是这个方程的根的分布特征。
我们来分析一元实系数四次方程的根的个数。
根据代数学基本定理，
一元四次方程在复数域内有4个根。
而在实数域内，根的个数要么是
4个，要么是2个。
我们可以通过判别式来判断根的个数的情况。
当
判别式大于0时，实系数四次方程有4个实数根；当判别式等于0时，实系数四次方程有2个不同的实数根；当判别式小于0时，实系数四
次方程没有实数根。
我们可以初步得出一元实系数四次方程根的个数
的分布特征。
接下来，我们将从根的实部、虚部和共轭性这几个方面分析一元实系
数四次方程根的分布特征。
我们来分析一元实系数四次方程根的实部的分布特征。
根据代数学基
本定理，一元四次方程在复数域内有4个根，它们的实部可能是实数，
也可能是复数。
我们可以通过Vieta定理得出一元四次方程根的实部之间的关系。
从四次方程的通解公式出发，我们可以得到它的根的实部是关于系数的一个关于已知量的复杂的代数式。
我们通过计算实部的值，对一元实系数四次方程根的实部的分布特征进行分析。
再次，我们来分析一元实系数四次方程根的虚部的分布特征。
在复数域内，根的虚部一般是无法直接通过代数的方法求出来的，我们可以通过拟合方法、近似计算等方法来得到根的虚部的分布特征。
我们来分析一元实系数四次方程根的共轭性。
根据代数学基本定理，一元四次方程的根具有两两共轭对称性。
我们可以通过Vieta定理得到根的共轭关系。
通过根的共轭性，我们可以得到一元实系数四次方程根的共轭性的分布特征。
一元实系数四次方程根的分布特征是一个复杂的课题，我们可以通过判别式、实部、虚部、共轭性等方面进行全面分析和研究。
希望通过本文的续论，能够对一元实系数四次方程根的分布特征有更深入的理解和认识，为相关领域的研究提供一定的参考和帮助。
一元实系数四次方程根的分布特征一直是数学领域中备受关注的问题。
在本文的前半部分，我们从根的个数、实部、虚部和共轭性等方面进行了分析和讨论。
在接下来的续论中，我们将继续深入探讨一元实系数四次方程根的分布特征，并结合实际例子进行具体分析。
我们来讨论一元实系数四次方程根的实部和虚部的关系。
通过对一些
特定的一元实系数四次方程进行分析，我们发现了根的实部和虚部之
间存在着一定的关系。
通常情况下，我们可以通过根的实部和虚部的
关系来推断方程的系数之间的关系。
对于一元实系数四次方程ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，我们设其根为α、β、γ、δ。
根据Vieta 定理，我们可以得到根的实部之间的关系为α + β + γ + δ = -b/a，
αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = c/a等等。
通过对这些关系的分析，可以揭示方程系数之间的隐藏规律，从而进一步理解一元实系数四次
方程根的分布特征。
我们将具体分析一元实系数四次方程根的实际案例。
通过一些特定的
实际例子，我们可以更直观地了解一元实系数四次方程根的分布特征。
我们取一元实系数四次方程的系数a、b、c、d、e分别为1、-10、35、-50、24，得到方程x^4 – 10x^3 + 35x^2 – 50x + 24 = 0。
通过求解该方程，我们可以得到其四个根的实部和虚部，进而分析根的
分布特征。
这样的实际案例分析可以让我们更加深入地理解一元实系
数四次方程根的分布特征，为理论分析提供实际的案例支持。
再次，我们将探讨一元实系数四次方程根的分布特征在实际问题中的
应用。
一元四次方程虽然抽象，但其根的分布特征在实际问题中具有
一定的参考价值。
在物理学和工程学中，一元四次方程的根的分布特
征可以用于分析动力学系统的稳定性，预测材料的特性等。
通过对根
的分布特征进行分析，我们可以更好地理解和把握实际问题的规律和
特点，为实际问题的解决提供理论支持。
我们将介绍一些目前尚未解决的问题和未来的研究方向。
尽管我们已
经对一元实系数四次方程根的分布特征进行了深入的探讨和分析，但
仍然有一些问题有待解决。
对于一元四次方程的系数和根之间的关系，我们可能还没有完全掌握其内在的联系。
一些在实际问题中的具体应
用也需要更深入的研究和探讨。
未来的研究方向可以集中在这些问题上，通过更深入的理论分析和实际案例研究，进一步完善和发展一元
实系数四次方程根的分布特征理论。
通过对一元实系数四次方程根的分布特征进行续论，我们进一步扩展
了对这一课题的讨论和研究。
通过对根的实部和虚部关系的分析、实
际例子的具体分析和应用，以及未来研究方向的展望，我们希望可以
更全面、深入地理解和把握一元实系数四次方程根的分布特征，为相
关领域的研究提供更多的启发和帮助。
我们也期待在未来的研究中，
可以通过更深入的探讨和分析，揭示更多有关一元实系数四次方程根
的分布特征的内在规律和实际应用，为数学领域的发展做出更多的贡献。