2020版九年级北师大数学下册：第二章 二次函数第5课时 二次函数图象与性质
2020春北师大版九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图像与性质练习
2.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质1.填空：（1）y＝x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（2）y＝-x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（3）在抛物线y＝x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x 的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.（4）在抛物线y＝-x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x 的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.2.如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是_________ ．3.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=x与y=x2的图象有可能是（）A．B．C．D．4.已知正方形的边长为ccm，面积为Scm2.(1)求S与c之间函数关系式；(2)画出图象；(3)根据图象，求出S ＝1cm 2时，正方形的边长； (4)根据图象，求出c 取何值时，S ≥4cm 2.2.2 二次函数的图象与性质第2课时 二次函数y =ax 2和y =ax 2+c 的图象与性质1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____. 3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______. 4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x 2,向_____平移______个单位得到的.5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________. 6.抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.7.在同一坐标系中，二次函数y=－21x 2，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 8.在同一坐标系中，抛物线y ＝4x 2,y ＝41x 2,y ＝-41 x 2的共同特点是( )A.关于y 轴对称，抛物线开口向上;B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大 B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小;D.关于y 轴对称，抛物线顶点在原点. 9.如图，函数y ＝ax 2与y ＝-ax+b 的图像可能是( ).10.求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2);(2)与y=12x 2的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4.11..已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值.2.2 二次函数的图象与性质第3课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质1.把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. 32+=x yB. 32-=x yC. 2)3(+=x yD. 2)3(-=x y2.抛物线2)3(2--=x y 的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A.3),0,3(-=-x 直线 B. 3),0,3(=x 直线 C. 3),3,0(-=-x 直线 D. 3),3,0(-=x 直线3.已知二次函数2)1(3+=x y 的图象上有三点 ),2(),,2(),,1(321y C y B y A - ，则321,,y y y 的大小关系为（ ）A.321y y y >>B. 312y y y >>C. 213y y y >>D. 123y y y >>4.把抛物线2)1(6+=x y 的图象平移后得到抛物线26x y =的图象，则平移的方法可以是（ ）A.沿y 轴向上平移1个单位长度B.沿y 轴向下平移1个单位长度C.沿x 轴向左平移1个单位长度D.沿x 轴向右平移1个单位长度5.若二次函数12+-=mx x y 的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ）A. 2B. 2-C.0D. 2± 6.对称轴是直线2-=x 的抛物线是（ ）A.22+-=x yB.22+=x y C.2)2(21+=x y D.2)2(3-=x y 7.对于函数2)2(3-=x y ，下列说法正确的是（ ）A. 当0>x 时，y 随x 的增大而减小B. 当0<x 时，y 随x 的增大而增大C. 当2>x 时，y 随x 的增大而增大D. 当2->x 时，y 随x 的增大而减小8.二次函数132+=x y 和2)1(3-=x y ，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点（0,0）； ③当0>x 时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大； ④它们的开口的大小是一样的. 其中正确的说法有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9.抛物线2)1(3--=x y 的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
北师大版数学九年级下册2.2《二次函数图象与性质》教案3
北师大版数学九年级下册2.2《二次函数图象与性质》教案3一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.2《二次函数图象与性质》这一节主要让学生掌握二次函数的图象与性质。
内容包括：二次函数的图象、顶点、开口、对称轴等概念，以及如何通过观察图象来判断二次函数的性质。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握二次函数图象与性质的关系。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次函数的定义、标准式、顶点式等基本知识。
但学生对二次函数图象与性质的理解可能会受到以前学习经验的影响，需要通过实例来加深对二次函数图象与性质的认识。
三. 教学目标1.知识与技能：理解二次函数的图象与性质，学会通过观察图象来判断二次函数的性质。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生观察、思考、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象与性质。
2.难点：如何通过观察图象来判断二次函数的性质。
五. 教学方法采用讲解法、示范法、练习法、讨论法等，以学生为主体，教师为主导，引导学生通过观察、思考、讨论来理解和掌握二次函数图象与性质。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括二次函数的图象与性质的定义、例题和练习题。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
3.准备与本节课相关的辅导资料和练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的例子，引导学生回顾二次函数的定义和标准式，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）讲解二次函数的图象与性质，包括顶点、开口、对称轴等概念。
通过PPT展示相关的图象，让学生直观地理解二次函数的性质。
3.操练（15分钟）让学生根据二次函数的性质，判断给定的二次函数图象。
教师引导学生观察图象，找出顶点、开口和对称轴，从而判断二次函数的性质。
4.巩固（10分钟）让学生解决一些与二次函数图象与性质相关的练习题。
教师引导学生运用所学知识，解决实际问题。
九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图象与性质教学课件新版北师大版
2 x2 4x 4 - 8 7
（2 x - 2）2 1
提取二次项系数 配方：加上再减去一次项系 数绝对值一半的平方 整理：前三项化为平方形 式，后两项合并同类项
当 x 取哪些值时，函数 y=2（x-1）2 的值随 x 值的增大而增大？当 x 取哪些值时，函数 y=2（x-1）2 的值随 x 的增大而减少？
二次函数 y=2（x-1）2 与 y=2x2 的增减性类似.
在对称轴（直线：x=1）的左侧，即 x<1 时，函 数 y=2（x-1）2 的值随 x 的增大而减少. 顶点是最低点，函数有最小值. 当 x=1 时，最小值是 0.
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧，y 随 在对称轴的左侧，y 随
着 x 的增大而减小；在 着 x 的增大而增大；在
对称轴的右侧，y 随着 对称轴的右侧，y 随着
x 的增大而增大
x 的增大而减小
当 x=h 时，最小值为 k 当 x=h 时，最大值为 k
1. 指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标： （1）y= 2（x+3）2 - 1 ；
（- 3 ，-6）和（ 3 ，-6）.
2.填空： （1）抛物线 y=2x2 的顶点坐标是（0，0） ， 对称轴是 y 轴 ，在 对称轴的右 侧，y 随 着 x 的增大而增大；在 对称轴的左 侧，y 随着 x 的增大而减小，当 x= 0 时，函数 y 的值最小，最小值是 0 ，抛物线 y=2x2 在 x 轴的 上 方（除顶点外）.
（2）抛物线 y=- 2 x2 在 x 轴的 下 方（除顶点外），
3
在对称轴的左侧，y 随着 x 的 增大而增大 ，在对 称轴的右侧，y 随着 x 的 增大而减小 ，当 x=0
北师大版2020年九年级数学下册二次函数课件
(2)依题意得m2-m≠0，
…………二次项系数不
为0
∴m≠0且m≠1. …………解不等式
【学霸提醒】 判断一个函数是否是二次函数的“三步法”
【题组训练】
1.(概念应用题)(202X·上海嘉定区一模)下列函数
中，是二次函数的是 ( C )
A.y=2x+1
B.y=(x-1)2-x2
C.y=1-x2
【思路点拨】根据题意判断出重叠部分△AMH为等腰直 角三角形，用t表示出一条直角边便可求得三角形的面 积.
【自主解答】∵△ABC是等腰直角三角形， ∴重叠部分△AMH也是等腰直角三角形， 又∵AN=2t， ∴AM=MN-AN=20-2t， ∴MH=AM=20-2t，
∴重叠部分的面积为：y= 1(20-2t)2
解：由已知设宽为x cm，
由题意得，长方形的周长为800 cm，
∴长方形的长为 (800 2x ) cm，
2
∴y=x× 800 2x=-x2+400x(0<x<400).
2
y是x的二次函数.
2
=2t2-40t+200.
【学霸提醒】 实际问题中建立二次函数表达式的“三步法”
【题组训练】 1.(202X·南京鼓楼区模拟)下列函数关系中，是二次函数 的是 ( D ) A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关 系 B.当距离s一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D.半圆面积S与半径R之间的关系
2.在半径为4 cm的圆中，挖去一个边长为x cm的正
方形，剩下部分面积为y cm2，则y与x之间函数表达
式为 ( B )
A.y=πx2-4y
北师大版数学九年级下册《二次函数的图象及性质》课件
象.
y
8
7 6 5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
自学指导2（1分钟）
认真观察下图，思考二次函数 y ax2 ay 02x图2 象y 的性质
是什么？（从形状、开口方向、对称轴、顶点8、增减性、
最值、开口大小进行分析）
y x2
结论：
抛 物 线 y=ax2+c 的 图 象 相 当 于 把 抛 物 线
y=ax2的图象
（c＞0）或 10
y = 2x2＋
向上 8
1 y = 2x2－
向下 （c＜0）平
移 |c| 个单位. 6 1
4
2
－4 －2 －2
24
可以发现，把抛物线y=2x2 向 上 平移1个单位长 度，就得到抛物线 y=2x2+1 ；把抛物线 y=2x2 向 下 平
当a＜0时，a越大开口越大
a 越大，开口越小
学生自学，教师巡视（4分钟）
自学检测2 (5分钟)
1.函数 y ax a 是二次函数，当a＝ 2 时，其图象开口 向上；这时候函数有最__小___值___0___
2.已知二次函数 y1 3x2, y2 象开口由小到大的顺序是(
C
1x
3)
2
,
y3
3 x2 2
易错点： 当点所在象限不明确时，要分类讨论
小结（2分钟） 1、二次函数 y ax2的图象及性质
2、二比次较函y数值大小y的方ax法2 a 0
y ax2 a 0
图象①形代状入法
抛物线
图②象利及用增减性y
开口③方图向象法
向上
y o
2020版九年级北师大数学下册：第2章 二次函数小专题( 三 ) 二次函数的图象与性质
小专题( 三)二次函数的图象与性质本专题包括二次函数的图象及性质的简单应用、二次函数图象上点的坐标特点、二次函数图象的平移变换等内容,属于中考热点问题,熟练掌握二次函数的图象及性质、对称轴、顶点坐标、二次函数的最值等知识是解题的关键.类型1二次函数的图象及应用1.已知二次函数y=ax2+bx+c( a≠0)的图象如图所示,下列结论:①a>0;②该函数的图象关于直线x=1对称;③当x=-1或x=3时,函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是( B)A.3B.2C.1D.02.如图,二次函数的图象经过( -2,-1 ),( 1,1 )两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是( D)A.y的最大值小于0B.当x=0时,y的值大于1C.当x=-1时,y的值大于1D.当x=-3时,y的值小于03.( 湖州中考)已知a,b是非零实数,|a|>|b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数y1=ax2+bx 与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是( D)类型2二次函数性质的应用4.( 泸州中考)已知抛物线y=x2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F( 0,2 )的距离与到x轴的距离始终相等.如图,点M的坐标为( ,3 ),P是抛物线y=x2+1上的一个动点,则△PMF周长的最小值是( C)A.3B.4C.5D.6提示:过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y=x2+1于点P,此时△PMF周长最小.5.如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为( 3,0 ). ( 1 )求m的值及抛物线的顶点坐标;( 2 )P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.解:( 1 )把点B( 3,0 )代入y=-x2+mx+3,得0=-32+3m+3,解得m=2,∴y=-x2+2x+3=-( x-1 )2+4,∴抛物线的顶点坐标为( 1,4 ).( 2 )连接BC,交抛物线的对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最小.设直线BC的表达式为y=kx+b,∵直线BC经过点C( 0,3 ),点B( 3,0 ),∴3k+b=0,b=3,解得k=-1,∴直线BC的表达式为y=-x+3.∴当x=1时,y=-1+3=2,∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为( 1,2 ).6.( 安徽中考)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为( 1,2 ),另一个交点是该二次函数图象的顶点.( 1 )求k,a,c的值;( 2 )过点A( 0,m)( 0<m<4 )且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象交于B,C两点,点O为坐标原点,记W=OA2+BC2,求W关于m的函数表达式,并求W的最小值.解:( 1 )因为点( 1,2 )在一次函数y=kx+4的图象上,所以2=k+4,即k=-2.因为一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点,所以( 0,c)在一次函数y=kx+4的图象上,即c=4.又点( 1,2 )也在二次函数y=ax2+c的图象上,所以2=a+c,从而a=-2.( 2 )因为点A的坐标为( 0,m)( 0<m<4 ),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于B,C两点,所以可设点B的坐标为( x0,m),由对称性得点C的坐标为( -x0,m),故BC=2|x0|.又因为点B在二次函数y=-2x2+4的图象上,所以-2+4=m,即=2-,从而BC2=4=8-2m.又OA=m,从而W=OA2+BC2=m2-2m+8=( m-1 )2+7( 0<m<4 ).所以当m=1时,W有最小值7.类型3二次函数图象上点的坐标特点7.如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M( 1,1 ),则称此抛物线为定点抛物线.( 1 )张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的表达式.小敏写出了一个答案:y=2x2+3x-4,请你写出一个不同于小敏的答案;( 2 )张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时抛物线的表达式,请你解答.解:( 1 )y=x2-2x+2.( 答案不唯一,合理即可)( 2 )∵定点抛物线的顶点坐标为( b,c+b2+1 ),且-1+2b+c+1=1,∴c=1-2b.∵顶点的纵坐标为c+b2+1=2-2b+b2=( b-1 )2+1,∴当b=1时,c+b2+1最小,即抛物线顶点纵坐标的值最小,此时c=-1,∴抛物线的表达式为y=-x2+2x.类型4二次函数图象上的平移变换8.若将抛物线y=x2-x+1先向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,则所得抛物线的表达式为( A)A.y=x2+3x+6B.y=x2+3xC.y=x2-5x+10D.y=x2-5x+49.已知抛物线C1:y=( x+2 )2-5的顶点为P,与x轴正半轴交于点B,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P,M关于点B成中心对称时,求抛物线C3的表达式.解:点P的坐标为( -2,-5 ),令y=0,得( x+2 )2-5=0,解得x1=1,x2=-5.∴点B的坐标为( 1,0 ),∵点P,M关于点B成中心对称,∴点M的坐标为( 4,5 ),∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,抛物线C2向右平移得到C3,∴抛物线C3的表达式为y=-( x-4 )2+5.10.( 南通中考)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2( k-1 )x+k2-k( k为常数).( 1 )若抛物线经过点( 1,k2),求k的值;( 2 )若抛物线经过点( 2k,y1)和点( 2,y2),且y1>y2,求k的取值范围;( 3 )若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线,当1≤x≤2时,新抛物线对应的函数有最小值-,求k的值.解:( 1 )把点( 1,k2)代入抛物线y=x2-2( k-1 )x+k2-k,得k2=12-2( k-1 )+k2-k,解得k=.( 2 )把点( 2k,y1)代入抛物线y=x2-2( k-1 )x+k2-k,得y1=( 2k)2-2( k-1 )·2k+k2-k=k2+k.把点( 2,y2)代入抛物线y=x2-2( k-1 )x+k2-k,得y2=22-2( k-1 )×2+k2-k=k2-k+8.∵y1>y2,∴k2+k>k2-k+8,解得k>1.( 3 )将抛物线y=x2-2( k-1 )x+k2-k配方,得y=( x-k+1 )2+.将抛物线向右平移1个单位长度得到的新表达式为y=( x-k)2+.当k<1时,1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧,y随x的增大而增大,∴x=1时,y最小=( 1-k)2-k-1=k2-k,∴k2-k=-,解得k1=1,k2=,都不合题意,舍去;当1≤k≤2时,y最小=-k-1.∴-k-1=-,解得k=1;当k>2时,1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧,y随x的增大而减小,∴x=2时,y最小=( 2-k)2-k-1=k2-k+3,∴k2-k+3=-,解得k1=3,k2=( 舍去).综上所述,k=1或3.。
数学九年级北师大版2二次函数的图象与性质教案
3.培养学生的空间想象能力，通过二次函数图象的绘制和变换，使学生能够形象地理解二次函数的几何特征，提高直观想象素养。
4.培养学生的团队协作能力，课堂活动中鼓励学生相互讨论、交流，共同解决二次函数相关问题，提升学生的合作意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数图象的绘制与识别：重点掌握二次函数图象的开口方向、顶点、对称轴等特征，并能根据实际问题绘制相应的二次函数图象。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了二次函数的图象与性质这一章节。通过引导学生们思考日常生活中的实际案例，我希望能够帮助他们将抽象的数学概念与具体情境联系起来。在讲授过程中，我注意到了几个值得反思的方面。
首先，我发现学生在理解二次函数图象的变换规律方面存在一定难度。在今后的教学中，我需要更加形象、生动地展示图象的平移、压缩、拉伸等变换过程，通过更多实例让学生感受这些变换背后的数学原理。
举例：在给定实际问题中，如何从题目条件出发，列出二次函数解析式，并求解未知数。
（4）数学符号的理解与应用：难点在于对数学符号的理解，如a的正负表示开口方向，顶点坐标表示图象的平移等。
举例：理解二次函数y = ax² + bx + c中，a、b、c各自对图象的影响。
在教学过程中，教师要针对以上重点和难点内容，运用实例进行讲解和强调，确保学生能够理解透彻并掌握相关知识点。同时，结合学生的实际情况，采取适当的教学方法，帮助学生突破难点，提高数学素养。
二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
x
··· －2 －1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y =2 x2＋1 ··· 9
5.5
3
1
3
5.5
9
···
y = 2x2－1 ··· 7
3.5
1
－1
1
3.5
7
···
再描点，连线
10
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与
抛物线y=2x2
y = 2x2＋1
8
有什么关系？
y = 2x2－1
(2)将抛物线y= − + 先向左平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，得到一个新抛物线．直
接写出新抛物线的解析式．
【详解】（1）解：∵- ＜0
∴抛物线开口方向向下
2
∵y=- x +8
∴顶点坐标为（0,8）
（2）∵将抛物线y=−
+ 先向左平移3个单位
长度，再向下平移2个单位长度，
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的
图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质，学会画该函
数的抛物线；
2、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
3、学会区分y=ax2和y=ax2+c的联系与区别，并且掌握这两种
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
九年级数学下册 第二章 二次函数 小专题(三)二次函数
点坐标为( 1,2 ),
则
������ ������
= +
���-���2=������, 2,解得
������ ������
= =
- 的关系式为 y=-2x2+4x.
类型3 二次函数图象上点的坐标特点 7.如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M( 1,1 ),则称此抛物线为定点抛 物线. ( 1 )张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛 物线的一个表达式.小敏写出了一个答案:y=2x2+3x-4,请你写出一 个不同于小敏的答案; ( 2 )张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线 y=-x2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的表达式,请你 解答.
解:( 1 )y=x2-2x+2.( 答案不唯一 )
( 2 )∵定点抛物线的顶点坐标为( b,c+b2+1 ),且-1+2b+c+1=1, ∴c=1-2b, ∵顶点纵坐标c+b2+1=2-2b+b2=( b-1 )2+1, ∴当b=1时,c+b2+1最小,即抛物线顶点纵坐标的值最小,此时c=-1, ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x.
解:点 P 的坐标为( -2,-5 ),
令 y=0,得59( x+2 )2-5=0,解得 x1=1,x2=-5,
∴点 B 的坐标为( 1,0 ), ∵点 P,M 关于点 B 对称, ∴点 M 的坐标为( 4,5 ), ∵抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称,抛物线 C2 向右平移得到
C3,
解:( 1 )y=x2-2x-1=( x-1 )2-2,∴点 A 的坐标为( 1,-2 ).
第二章 二次函数-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
【答案】-4≤x≤1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，
主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
像的理解，谁大谁的图象在上面．
典例精析
12．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校
标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和
设备进行全面改造，2020年市政府已投资7.5亿元人
D．2≤m≤3或m≥6
【答案】D
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-4x+3，
∴对称轴为x=2，由二次函数的对称性可知，
当x=-1和x=5时，函数值y相等，
当x=1和x=3时，函数值y相等，
即当满足-1＜x＜1和3＜x＜5的函数值相同，
当-1＜x1＜1，存在一个正数m，当m-1＜x2＜m
时，都有y1≠y2，
知识点7 二次函数的应用
知识点总结
知识点一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝
c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
B，若点B关于( ,0)的对称点C恰好落在抛物线上，
则a值为_____．
【答案】−
【分析】先根据二次函数的性质及题意求出点B的
坐标，再根据对称的性质求出点C的坐标，最后将
点C的坐标代入二次函数解析式求解即可．
典例精析
11．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交
于A(-4,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式
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第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.能用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,从而确定其开口方向、
最值、对称轴和顶点坐标;
2.理解并能说出二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式,并以此求其对称轴和最值.
【过程与方法】
经历用配方法推导二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式的过程,进一步体验数学上的
转化思想,体会建立二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标公式的必要性.
【情感、态度与价值观】
丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,体会二次函数图象的
对称美以及二次函数的一般式与顶点式互相转化的和谐美.
◇教学重难点◇
【教学重点】
能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式,并能用其推导的顶点
坐标公式求二次函数的对称轴和顶点坐标.
【教学难点】
用配方法推导y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标公式.
◇教学过程◇
一、问题导入
1.请说出二次函数y=ax2,y=ax2+h,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k图象的开口方向、增减性、对称轴和
顶点坐标.
2.怎么求y=x2-8x+11的顶点坐标、对称轴和最值?y=2x2-4x+5呢?
3.对于更一般的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)又怎么求其顶点坐标、对称轴和最值呢?
二、合作探究
探究点1 用配方法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标和对称轴
典例1
已知二次函数y=x2-x-.
(1)用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标;
(2)在图中画出该函数的图象;
(3)观察图象后判断,当x满足什么条件时,y>0?
[解析] (1)y=x2-x-(x-1)2-2,所以顶点坐标为(1,-2).
(2)由表达式可知,开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-2),与y轴交点为,与x轴
的交点为(-1,0),(3,0).
图象如下.
(3)从图象可知,当x<-1或x>3时,y>0.
变式训练 已知二次函数y=2x2-4x+1.
(1)用配方法化为y=a(x-h)2+k的形式;
(2)写出该二次函数的顶点坐标;
(3)当0≤x≤3时,求二次函数y的最大值.
[解析] (1)y=2x2-4x+1=2(x2-2x)+1=2(x-1)2-2+1=2(x-1)2-1.
(2)二次函数的顶点坐标为(1,-1).
(3)∵a=2>0,对称轴为直线x=1,
∴
当x<1时,y随x的增大而减小,当x>1时,y随x的增大而增大,
∵
0≤x≤3,
∴
当x=3时,二次函数有最大值,最大值为2×(3-1)2-1=8-1=7,即最大值为7.
探究点2 用公式法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标
典例2
用公式法求二次函数y=-5x2+80x-319的顶点坐标和对称轴.
[解析] ∵a=-5,b=80,c=-319,
∴
-=-=8,=1,
∴
顶点坐标为(8,1),对称轴为直线x=8.
二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式是,将一般式中的相应系数代入公式
中,即可计算出其顶点坐标,相应的也就可以确定对称轴和最值.与直接用配方法求顶点坐标
相比,各有所长也各有所短,很难说是哪一种简单,但有一点是明确的,就是这两种方法都要熟
练掌握.
变式训练 请用顶点坐标公式确定二次函数y=-3x2+6x-2的顶点坐标.
[解析] ∵a=-3,b=6,c=-2,
∴
-=-=1,
=1,
∴
顶点坐标为(1,1).
探究点3 综合应用二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质解决问题
典例3
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛
物线可以用y=x2+x+10表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称.
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?
(3)写出右面钢缆的表达式.
[解析] y=x2+x+10=(x+20)2+1.
∴
这条抛物线的顶点坐标为(-20,1),
∴
钢缆的最低点到桥面的距离是1 m.
(2)两条钢缆最低点之间的距离是|-20-20|=40 m.
(3)右边钢缆的表达式是y=(x-20)2+1.
变式训练 已知抛物线y=-2x2+4x-1.
(1)该抛物线的对称轴是 ,顶点坐标为 ;
(2)选取适当的数据填入下表,并在图中的直角坐标系内描点,画出该抛物线的图象;
(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1
(2)填表如下:
(3)该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标
对称轴
直线x=- 直线x=-
位置 由a,b和c的符号确定 由a,b和c的符号确定
开口方向 向上 向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右
侧,y随着x的增大而减小
最值
当x=-时,最小值为 当x=-时,最大值为
◇教学反思◇
本节是二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,通过小组合作研究一个具体的二次函数
y=x2-8x+11的对称轴和顶点坐标,从而得出它的性质和图象,再由特殊到一般,以例题的形式
通过配方法推导出二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标和对称轴公式,再进行针对性的练习巩
固,同时通过一个具体的情境问题,使学生体会数学来源于生活,培养学生的数学能力,提高数
学修养.