2022年全国高考数学乙卷导数压轴题的简单解法
高考数学二轮复习专题突破—导数压轴小题归类(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—导数压轴小题归类（含解析）讲高考1．（2022·全国·统考高考真题）当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B【分析】根据题意可知()12f =-，()10f '=即可解得,a b ，再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，()12f =-，()10f '=，而()2a b f x xx '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x '=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-．故选：B.2．（2021·全国·统考高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e ab <<【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t ty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.3．（2019·天津·高考真题）已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩ 若关于x 的不等式()0f x在R 上恒成立，则a 的取值范围为A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,e D ．[]1,e 【答案】C【解析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立．【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立，令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故()()min g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；综上可知，a 的取值范围是[0,]e ，故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．4．（·四川·高考真题）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)【答案】A【详解】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A ．考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.5．（2021·全国·统考高考真题）设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A ．a b <B ．a b>C ．2ab a <D ．2ab a >【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹.()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当a<0时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，a<0，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >.综上所述，2ab a >成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.6．（2022·全国·统考高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．【答案】1,1e⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】法一：依题可知，方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，构造函数()ln xg x a a =⋅，利用指数函数的图象和图象变换得到()g x 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为()2ln 2e xf x a a x '=⋅-，所以方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当时()1,x -∞()2,x +∞，()0f x '<，即e y x =图象在ln x y a a =⋅上方当()12,x x x ∈时，()0f x ¢>，即e y x =图象在ln x y a a =⋅下方1a >，图象显然不符合题意，所以01a <<．令()ln x g x a a =⋅，则()2ln ,01xg x a a a '=⋅<<，设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln x x a a⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，则有020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln e ln a a a a ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e e a <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的取值范围为1,1e⎛⎫⎪⎝⎭．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导()2ln 2e x f x a a x '=⋅-=0的两个根为12,x x 因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，设函数()()()g 2ln xx f x a a ex '==-，则()()2g 2ln 2x x a a e '=-，若1a >，则()g x '在R 上单调递增，此时若()0g 0x '=，则()f x '在()0,x ∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =->且1)a ≠的极小值点和极大值点，则12x x >，不符合题意；若01a <<，则()g x '在R 上单调递减，此时若()0g 0x '=，则()f x '在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，令()0g 0x '=，则02(ln )xea a =，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =->且1)a ≠的极小值点和极大值点，且12x x <，则需满足()00f x '>，()()00002ln 20ln x e f x a a ex ex a ⎛⎫'=-=->⎪⎝⎭，即001ln 1ln x x a a <>，故()002ln ln ln1ln x ea x a a ==>，所以11ea <<.【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数12()1,0,0x f x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．【答案】()0,1【分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1A x M =，2B x N =⋅，化简即可得解.【详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0xx x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩，所以点()11,1x A x e-和点()22,1x B x e-，12,x x AM BN k e k e =-=,所以12121,0x xe e x x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11x x x xe e x x e AM e y M x -+=---+，所以1x AM ==，同理2B x N =,所以()10,1x e N AM B ===∈=.故答案为：()0,1【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解.题型全归纳【题型一】公切线求参【讲题型】例题1.若两曲线y =x 21与y =a ln x 1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（）A ．(]0,2eB ．(]0,eC ．[)2,e +∞D ．(],2e e 【答案】A【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a 的取值范围.【详解】设()()21122121122,1,,ln 1,2,,2,a a A x x B x a x y x y k x k x x ''--====切线：()()211112y x x x x --=-，即21121y x x x =--切线：()()222ln 1a y a x x x x --=-，即22ln 1ay x a a x x =-+-，()122222122,41ln 1ln 1a x x a x x x a a x ⎧=⎪∴∴=-⎨⎪--=-+-⎩令()()()()22141ln ,81ln 4f x x x f x x x x x⎛⎫=-=-+- ⎝'⎪⎭()88ln 448ln 412ln 0,x x x x x x x x x x =--=-=-==()f x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，所以(]max ()2,0,2.f x f e a e ==∴∈故选：A ．例题2.已知直线l 与曲线()xf x e =和()lng x x =分别相切于点()11,A x y ，()22,B x y .有以下命题：（1）90AOB ∠>︒O 为原点)；（2）()11,1x ∈-；（3）当10x <时，)2121x x ->.则真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先利用导数求斜率得到直线l 的方程，可得出()1121211ln 1x x e xe x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，分类讨论1x 的符号，计算化简()111x xOA OB x e e -⋅=- 并判断其符号即得命题①正确；由()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩结合指数与对数的互化，得到111101xx e x +=>-，即得1x 的范围，得命题②错误；构造函数1111()1xx F x e x +=--，研究其零点132,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，再构造函数()x h x e x -=-并研究其范围，即得到12112x x x e x --=->，得到命题③正确.【详解】()xf x e = ，()xf x e '∴=，所以直线l 的斜率11x k e =，直线l 的方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x x y e x x e =+-，同理根据()ln g x x =可知，直线l 的方程为()221ln 1y x x x =+-，故()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，得1221ln ln x x x ==-.命题①中，若10x =，由121xe x =可得21x =，此时等式()1121ln 1x e x x -=-不成立，矛盾；10x ≠时，()()11111212111x x x x OA OB x x y y x e e x x e e --⋅=+=+⋅-=-，因此，若10x <，则110x x ->>，有110x x ee -->，此时0OA OB ⋅< ；若1>0x ，则110x x -<<，有110x x e e --<，此时0OA OB ⋅<.所以根据数量积定义知，cos 0AOB ∠<，即90AOB ∠> ，故①正确；命题②中，由()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩得1211111ln 1110111xx x x e x x x ---+===>---，得11x <-或11x >，故②错误；命题③中，因为21ln 2111x x x x e x e x --=-=-，由②知，11111xx e x +=-，11x <-或11x >，故当10x <时，即11x <-，设1111()1xx F x e x +=--，则()1212()01x F x e x '=+>-，故()F x 在(),1-∞-是增函数，而21(2)03F e --=-<，3231025F e -⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，故1111()01x x F x e x +=-=-的根132,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，因为21ln 2111x x x x e x e x --=-=-，故构造函数()x h x e x -=-，32,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，则()10xh x e -'=--<，故()h x 在32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以32333()522222xh x e x g e -⎛⎫=->-=+>+ ⎪⎝⎭，故)2121x x ->，故③正确.故选：C.1.．若函数1()33(0)f x x x x=+->的图象与函数()e x g x tx =的图象有公切线l ，且直线l 与直线122y x =-+互相垂直，则实数t =（）A ．1eB ．2eC ．1e或D ．1e或【答案】D【分析】根据垂直性质可得2l k =，再求导根据导数的几何意义可得切线l 的方程为21y x =-，再设函数()e xg x tx =与直线l 切于点()00,x y ，列式求解即可【详解】由题知，2l k =，令()2132f x x '=-=，又0x >，解得1x =，因为()11f =，所以切线l 的方程为21y x =-.()(1)e x g x t x '=+，设函数()e xg x tx =与直线l 切于点()00,x y ，所以()0000021e 21e x x x tx t x ⎧-=⎪⎨=+⎪⎩，故0000021e 2e 1x x x t x t x -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，即0002121x x x -=+，200210x x --=，解得011e x t =⎧⎪⎨=⎪⎩或012x t ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.故选：D 2.直线12y x t =+与曲线y =()2220x y r r +=>相切，则r =（）A ．15BC ．3D【答案】B【分析】先由直线与曲线y =t ，再由直线与圆相切即可求出r 【详解】设直线12y x t =+在曲线y =(0x ，则()012f x '=，解得01x =，故切点坐标为()1,1，将()1,1代入直线12y x t =+中，解得12t =，所以直线方程为1122y x =+，即210x y -+=，又210x y -+=与圆()2220x y r r +=>相切，则5r ==，故选：B 3.．若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（）A ．e 2B ．e CD ．2e 【答案】B【分析】分别设公切线与()21f x x =+和:()2ln 1C g x a x =+的切点()211,1x x +，()22,2ln 1x a x +，根据导数的几何意义列式，再化简可得2222222ln a x x x =-，再求导分析22()22ln (0)h x x x x x =-⋅>的最大值即可【详解】()2f x x '=，()2a g x x'=，设公切线与()21f x x =+的图象切于点()211,1x x +，与曲线:()2ln 1C g x a x =+切于点()22,2ln 1x a x +，∴()()2221211221212ln 1122ln 2a x x a a x x x x x x x x +-+-===--，故12a x x =，所以212211212ln 2x x x x x x x -=-，∴122222ln x x x x =-⋅，∵12a x x =，故2222222ln a x x x =-，设22()22ln (0)h x x x x x =-⋅>，则()2(12ln )h x x x '=-，∴()h x在上递增，在)+∞上递减，∴max ()e h x h ==，∴实数a 的最大值为e 。
高中导数压轴题解题技巧
第 1 页 共 2 页 高中导数压轴题解题技巧 嘿，学弟学妹们！高中导数压轴题是不是让你们特别头疼呀？别担心，学长我来给你们分享一些超实用的解题技巧，帮你们搞定这些难题！
一、理解导数的概念和意义 导数其实就是函数在某一点的变化率嘛。比如说，一个物体的运动速度就是它位置函数的导数。理解了这个概念，我们就能更好地运用导数来解决问题啦。在做压轴题的时候，要清楚题目中给出的函数代表什么，它的导数又有什么物理或者几何意义。
二、熟练掌握导数的基本公式和运算法则 这就像是练武要先把基本功打扎实一样。像常见的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式，一定要背得滚瓜烂熟。还有导数的四则运算法则、复合函数求导法则等，这些都是解题的基础。只有熟练掌握了这些，才能在做题的时候快速准确地求出函数的导数。
三、利用导数研究函数的单调性 函数的单调性可是导数的一个重要应用哦。通过求导数，判断导数在某个区间内的正负性，就能知道函数在这个区间是递增还是递减啦。在压轴题中，经常会让我们求函数的最值或者证明不等式，这时候就可以利用函数的单调性来解决。比如说，要证明一个不等式，我们可以构造一个函数，然后通过研究这个函数的单调性来证明。
四、注意导数的几何意义 第 2 页 共 2 页
导数的几何意义就是函数在某一点的切线斜率。在一些压轴题中，会给出函数的图像或者切线的相关信息，这时候我们就要利用导数的几何意义来解题啦。比如，已知切线方程求函数的解析式，或者根据函数的图像求切线的斜率等。
五、分类讨论思想的运用 在做导数压轴题的时候，经常会遇到一些参数的问题。这时候就需要用到分类讨论思想啦。根据参数的不同取值范围，对问题进行分类讨论，然后分别求解。在分类讨论的时候，要注意不重不漏，把所有的情况都考虑到。
六、多做练习题，总结解题方法 俗话说，熟能生巧嘛。多做一些导数压轴题，积累解题经验，总结解题方法。做完题目后，要认真分析答案，看看自己哪里做错了，为什么做错了，以后遇到类似的题目应该怎么做。这样，我们的解题能力就会越来越强啦。
2022届高考数学压轴题含答案解析
2022届高考数学压轴题1．已知函数f（x）＝xlnx−12（a+1）x2﹣x．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若对任意的x∈[e﹣1，e]都有f（x）≥﹣1，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝xlnx﹣x2﹣x的导数为f′（x）＝1+lnx﹣2x﹣1＝lnx﹣2x，可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k＝f′（1）＝﹣2，f（1）＝﹣2，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝﹣2（x﹣1），即为y＝﹣2x；（2）对任意的x∈[e﹣1，e]都有f（x）≥﹣1，所以f（1）=−12（a+1）﹣1≥﹣1，所以a≤﹣1．下面证明当a≤﹣1时，对任意的x∈[e﹣1，e]时，都有f（x）≥﹣1．易得f′（x）＝lnx﹣（a+1）x，①若a+1≤﹣e，即a≤﹣e﹣1，当x∈[e﹣1，e]时，f′（x）＝lnx﹣（a+1）x≥0，所以f（x）在[e﹣1，e]上递增，所以当x∈[e﹣1，e]时，f（x）≥f（e﹣1）＝﹣e﹣1−12（a+1）e﹣2﹣e﹣1≥−32e﹣1＞﹣1，满足题意，故a≤﹣e﹣1；②若﹣e＜a+1≤0，即﹣e﹣1＜a≤﹣1，设h（x）＝lnx﹣（a+1）x（x∈[e﹣1，e]），则易得h（x）＝lnx﹣（a+1）x在（x∈[e﹣1，e]递增，又h（1）＝﹣（a+1）≥0，h（e﹣1）＝﹣1﹣（a+1）e﹣1＜0，所以h（x）＝lnx﹣（a+1）x在[e﹣1，1]上存在零点，设为x0，则lnx0﹣（a+1）x0＝0，所以f（x）在[e﹣1，x0）递减，在（x0，e]递增，所以当x∈[e﹣1，e]时，f（x）≥f（x0）＝x0lnx0−12（a+1）x02﹣x0=12x0lnx0﹣x0，设g（x）=12xlnx﹣x（x∈[e﹣1，1]），则g′（x）=12lnx−12＜0，所以g（x）=12xlnx﹣x在（e﹣1，1]递减，所以g（x）≥g（﹣1）＝﹣1，所以当﹣e﹣1＜a≤﹣1时，f（x）≥﹣1，满足题意．综上可得，a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．2．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点是F ，直线l ：2kx ﹣2y +1＝0恰好经过F ，且与C 相交于不同的两点A ，B ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点P ． （Ⅰ）求证：点P 在定直线y =−12上；（Ⅱ）点E （0，t ），当AF →=2FB →时，D 为线段AB 的中点，且满足DE →•DF →=0，求四边形APBE 的面积四边形S 四边形APBE ．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵直线l ：2kx ﹣2y +1＝0恰好经过F （0，12）， ∴p ＝1，抛物线方程为x 2＝2y ．联立{y =kx +12x 2=2y，整理可得x 2﹣2kx ﹣1＝0， △＝4（k 2+1）＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝2k ，x 1x 2＝﹣1，因为y =x 22的导数为y ′＝x ，所以抛物线在A （x 1，x 122）处的切线方程为：y =x 1x −x 122， 同理抛物线在B （x 2，x 222）处的切线方程为y =x 2x −x 222． 联立①②可得{x =x 1+x 22=k y =−12，即点P 的坐标为（k ，−12）． ∴点P 在定直线y =−12上；（Ⅱ）∵AF →=2FB →，∴x 1＝﹣2x 2，又x 1+x 2＝2k ，∴x 1＝4k ，x 2＝﹣2k ，代入x 1x 2＝﹣1，解得k =±√24． 由对称性可知，求四边形APBE 的面积只需取k =√24，AB =√1+k 2√(x 1−x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√4k 2+4=2（1+k 2）=94，设AB 的中点为D ，则x D =x 1+x 22=k =√24，y D =kx D +12=58，即可得D （√24，58）． ∵E （0，t ），DE →⋅DF →=0，∴216+18×(58−t)=0，解得t =138， 将直线AB 方程√24x −y +12=0化为x −2√2y +√2=0，则点E到AB的距离d1=|0−2√2×138+√2|√1+8=3√24．所以S△ABE=12|AB|•d1=27√232，由（Ⅰ）知两切线的交点P的坐标（k，−1 2），又k=√24，此时P的坐标（√24，−12），则点P到AB的距离d2=|√24−2√2×(−12)+√2|√1+8=3√24，∴S△ABP=12|AB|•d2=27√232．又已知P，E两点在AB的同侧，所以S四边形APBE＝S△ABE+S△ABP=27√232+27√232=27√216．。
导数压轴恒成立之参数分离
导数压轴恒成立之参数分离
在高中数学中，导数压轴题是比较难的题目类型，其中恒成立之参数分离问题是常见题型之一。
这类问题可以通过分离参数的方法进行求解，具体步骤如下：
1. 分离参数：将参数从不等式中分离出来，得到一个关于参数的函数。
2. 求导数：对分离出的函数求导数，得到导数与参数的关系。
3. 分析导数：根据导数与参数的关系，分析函数的单调性、极值等性质。
4. 得出结论：根据函数的性质，得出不等式恒成立的条件，从而得到问题的解。
在使用参数分离法解决导数压轴题时，需要注意函数的连续性和可导性，以及参数的取值范围。
同时，要灵活运用导数的相关知识，如单调性、极值、最值等，以达到快速求解的目的。
高考数学：导数压轴题的归纳总结方法
高考数学：导数压轴题的归纳总结方法今天我们来聊聊高考数学导数压轴题的归纳总结方法。
在对导数专题归纳总结的时候，可以细分为两个层面。
第一，对题型进行归纳总结。
举例说明，下图的题目中的第二小问，如果去做归纳总结的话，很多题目都跟这道题目相类似，这种题目可以概括为一般形式：如果用归纳总结的思路去做的话，可以细分到之前说的双变量这一类问题的大类，大类下面有一个小类，叫做极值点偏移问题。
希望大家在学习导数专题的过程中，不要简单地光做题，而要在做题中能发现这样一类题型。
导数的问题做多了之后就会发现，很多时候都有相似之处，将这些相似之处提取出来，我们就可以将它一般化为这样一种题型，把它抽象出来。
本质上说，我们就是找这样的一般问题，再从一般的角度去解决方法，看这一类的问题有什么具体的解决套路，这样就可以在学习过程中达到事半功倍的效果了。
第二，对解题方法和解题方向进行归纳总结。
什么叫做解题方法？就是对于之前已经分好类的xx问题，我们可以第一步xxxxx，第二步xxxxxx……第x步xxxxxx，问题解决。
大家可以看出，这样一类问题，方法和套路性比较强。
结合具体例子来谈，还是这个题目，刚刚说可以划归为双变量分类下的极值点偏移这种具体的问题。
对于这一类极值点偏移具体的问题，刚才已经提出一般化的解题题型，那么这一类一般化的解题题型，应该怎样去解决呢？极值点偏移问题三步走：（1）画图观察极值点偏移方向（2）利用f(x)的单调性转移不等式（3）构造f(x)=f(x)-f(2a-x)完成证明在做题的时候，对于这种一般化的问题进行归纳总结，归纳总结出一步一步的套路。
当你完成这种从题型到解决方法的归纳总结之后，就会对导数这一类具体问题拍着胸脯说：“考试，考到这样一类问题，把题目做完，应该是一件十拿九稳的事情。
”因为你把一般的问题都做完，考试题目只要是已经归纳总结过的题型，你只需要把已经总结出的方法往上套，结合具体的题目，将一些条件拿过来进行运算，最后就可以将这一类题目做出来。
２０２２年北京高考导数压轴题解答
㊀㊀㊀讲题比获奖论文之九:２０２２年北京高考导数压轴题解答◉北京市怀柔区第一中学㊀于海龙㊀㊀摘要:２０２２年北京高考导数解答题问题情境新,题目灵活多变,对学生的创新思维能力有较高的要求．本文中对２０２２年北京高考导数问题的解法进行了汇总整理,分别从代数维度和几何维度入手分析,根据等价变形不等式的结构特征,合理构造函数,为函数与导数知识的学习与复习提供参考依据．关键词:北京高考;代数维度;几何维度;构造函数１试题呈现(２０２２年北京高考数学第２０题)已知函数f (x )＝e xl n (１＋x )．(Ⅰ)求曲线y ＝f (x )在点(０,f (０))处的切线方程;(Ⅱ)设g (x )＝f ᶄ(x ),讨论函数g (x )在０,＋ɕ[)上的单调性;(Ⅲ)证明:对任意的s ,t ɪ０,＋ɕ(),有f (s ＋t )＞f (s )＋f (t )．２解法分析及详解２．１第(Ⅰ)问的解答本小题求曲线y ＝f (x )在点(０,f (０))处的切线方程,先求f ᶄ(x ),得f ᶄ(０)即为曲线在点０,f (０)()处的切线的斜率,进而求出切线方程．解:由f (x )＝e xl n (１＋x ),x ɪ－１,＋ɕ(),得fᶄ(x )＝e x[l n (１＋x )＋１１＋x]．又因为f (０)＝０,fᶄ(０)＝１,所以曲线y ＝f (x )在点(０,f (０))处的切线方程为y ＝x ．２．２第(Ⅱ)问的解答本小题讨论函数g (x )在０,＋ɕ[)上的单调性,依题意有如下两种解法,如图１所示．图１思路一:根据导数与函数单调性的关系,通过导函数的正负研究函数的单调性．若导函数无变号零点,则可判断导函数恒正或恒负的情况．解法１:通法从导数入手．由(Ⅰ)可知g (x )＝e x[l n (１＋x )＋１１＋x],x ɪ０,＋ɕ[)．所以g ᶄ(x )＝e x[l n (１＋x )＋２１＋x －１(１＋x )２]＝e x[l n (１＋x )＋２x ＋１(１＋x )２]．因为x ȡ０,所以e x＞０,l n (１＋x )ȡ０,２x ＋１(１＋x )２＞０,从而g ᶄ(x )＝e x[l n (１＋x )＋２x ＋１(１＋x )２]＞０．所以函数g (x )在０,＋ɕ[)上单调递增．思路二:研究复杂函数的单调性,可以将复杂的函数分解,研究局部性质,通过整合,依托单调性定义,借助不等式的性质解决问题．解法２:分解函数,依托不等式性质与单调性定义．由(Ⅰ)可知g (x )＝e x[l n (１＋x )＋１１＋x],x ɪ０,＋ɕ[)．令φ(x )＝e x,h (x )＝l n (１＋x )＋１１＋x,x ɪ０,＋ɕ[),则g (x )＝φ(x )h (x )．所以对h (x )求导得h ᶄ(x )＝１１＋x －１(１＋x )２＝x(１＋x )２＞０,即h (x )在０,＋ɕ[)上是增函数,且h (x )ȡh (０)＝１＞０．又因为φ(x )在[０,＋ɕ)上单调递增,且φ(x )＞０,所以∀x １,x ２ɪ[０,＋ɕ)且x １＜x ２,都有φ(x ２)＞φ(x １)＞０,h (x ２)＞h (x １)＞０,所以φ(x ２)h (x ２)＞φ(x １)h (x ２),即g (x ２)＞g (x １)．故函数g (x )在０,＋ɕ[)上单调递增．３３２０２２年１２月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀试题研究命题考试Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀２．３第(Ⅲ)问的解答本小题的本质是研究函数的最值问题．依题意有如下三类(五种)证明方法,如图２所示．图２㊀㊀思路一(代数维度):本题所证不等式中有两个变量,两侧均有相同的变量,故需要选择其中一个为主元进行研究,从而构造函数,通过最值证明不等式．证法１:常规方法 选择主元,直接移项构造新函数．令m(x)＝f(x＋t)－f(x)－f(t)＝e x＋tl n(１＋x＋t)－e x l n(１＋x)－e t l n(１＋t)(x＞０),则mᶄ(x)＝e x＋t[l n(１＋x＋t)＋１１＋x＋t]－e x[l n(１＋x)＋１１＋x]＝e x[e t l n(１＋x＋t)＋e t１＋x＋t－l n(１＋x)－１１＋x]．因为t＞０,则e t＞１,且e xȡ１＋x恒成立,所以mᶄ(x)＞e x[l n(１＋x＋t)＋１＋t１＋x＋t－l n(１＋x)－１１＋x]＝e x[l n(１＋x＋t)－l n(１＋x)＋t x(１＋x＋t)(１＋x)]＞０．因此m(x)在０,＋ɕ[)上单调递增．再由s＞０,得m(s)＞m(０),即f(s＋t)－f(s)－f(t)＞f(０＋t)－f(０)－f(t)＝－f(０)．由f(０)＝０,得f(s＋t)－f(s)－f(t)＞０．所以f(s＋t)＞f(s)＋f(t)成立．事实上,证法１可以优化:令m(x)＝f(x＋t)－f(x)－f(t)(x＞０),则mᶄ(x)＝fᶄ(x＋t)－fᶄ(x)＝g(x＋t)－g(x)．由(Ⅱ)中g(x)在０,＋ɕ[)上单调递增,则由t＞０得s＋t＞s,从而g(x＋t)＞g(x)即mᶄ(x)＞０．因此m(x)在０,＋ɕ[)上单调递增．再由s＞０,得m(s)＞m(０),即f(s＋t)－f(s)－f(t)＞f(０＋t)－f(０)－f(t)＝－f(０)．由f(０)＝０,得f(s＋t)－f(s)－f(t)＞０．所以f(s＋t)＞f(s)＋f(t)成立．思路二(代数维度):在指数式与对数式共存的前提下,借助已有的结论 e xȡx＋１;x－１ȡl n x 等合理放缩再构造函数进行证明．证法２:合理放缩 借助于常见的函数大小关系的结论合理放缩,再构造函数进行证明．要证对任意的s,tɪ０,＋ɕ(),有f(s＋t)＞f(s)＋f(t),即证明对任意的s,tɪ０,＋ɕ(),有e s＋t l n(１＋s＋t)＞e s l n(１＋s)＋e t l n(１＋t)．即只需证明l n(１＋s＋t)＞l n(１＋s)e t＋l n(１＋t)e s．因为e xȡ１＋x恒成立,所以只需证明l n(１＋s＋t)＞l n(１＋s)１＋t＋l n(１＋t)１＋s．令函数h(x)＝l n(１＋x＋t)－l n(１＋x)１＋t－４３命题考试试题研究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年１２月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀l n (１＋t )１＋x,所以当t ＞０时,h ᶄ(x )＝１１＋x ＋t －１(１＋t )(１＋x )＋l n (１＋t )(１＋x )２＞１１＋x ＋t －１(１＋t )(１＋x )＞０．所以h (x )在(０,＋ɕ)上为增函数．故h (s )＞h (０)＝l n (１＋t )－l n １１＋t－l n (１＋t )＝０,即l n (１＋s ＋t )－l n (１＋s )１＋t －l n (１＋t )１＋s＞０成立．所以原式f (s ＋t )＞f (s )＋f (t )成立．思路三(几何维度):依据不等式本身结构上蕴含的特征,可以转化为函数图象中纵坐标的差值,通过调整结构,从而抽象出新的函数．证法３:特殊方法 依托结构特征,等价转化,构造新函数．由(Ⅰ)中f (０)＝０,将原待证不等式转化为证明f (s ＋t )－f (s )＞f (t )－f (０)．令F (x )＝f (x ＋t )－f (x ),则F (s )＝f (s ＋t )－f (s ),F (０)＝f (t )－f (０)．因为F ᶄ(x )＝f ᶄ(x ＋t )－f ᶄ(x )＝g (x ＋t )－g (x ),且由(Ⅱ)中g (x )为增函数,所以在t ＞０时可得F ᶄ(x )＞０．于是F (x )为增函数．则由s ＞０,得F (s )＞F (０),即f (s ＋t )－f (s )＞f (t )－f (０)．所以f (s ＋t )＞f (s )＋f (t )成立．思路四(几何维度):类比不等式f (s ＋t )＞f (s )＋f (t )与过原点的一次函数模型f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )相似的特征,转化为斜率关系,结合函数凹凸性,构造增函数进行证明．证法４:借助模型 依托结构特征,构造函数．设函数h (x )＝f (x )xx ＞０(),则h ᶄ(x )＝f ᶄ(x )x －f (x )x２＝e x l n (１＋x )＋１１＋x éëêêùûúúx －e xl n (１＋x )x ２＝e x[x l n (１＋x )＋x １＋x－l n (１＋x )]x ２．令φ(x )＝x l n (１＋x )＋x１＋x－l n (１＋x ),则φᶄ(x )＝l n (１＋x )＋x ２(１＋x )＞０．所以φ(x )在(０,＋ɕ)上是增函数,从而φ(x )＞φ(０)＝０．于是h ᶄ(x )＞０,所以h (x )在(０,＋ɕ)上为增函数,则有h s ＋t ()＞h s (),h s ＋t ()＞h t ()．即f s ＋t ()s ＋t ＞f s ()s ,f s ＋t ()s ＋t ＞f t ()t．整理,得s f s ＋t ()s ＋t ＞f s (),t f s ＋t ()s ＋t＞f t ()．以上两不等式相加,得s f s ＋t ()s ＋t ＋t f s ＋t ()s ＋t＞f s ()＋f t (),即f s ＋t ()＞f s ()＋f t ()．所以原式不等成立．思路五(几何维度):依托不等式结构上的特征,合理变形,转化为割线的斜率,从而应用拉格朗日中值定理,完成证明．证法５:高等数学应用借助于高等数学知识(拉格朗日中值定理)进行变形完成证明．要证 对任意的s ,t ɪ０,＋ɕ(),有f (s ＋t )＞f (s )＋f (t ) ,只需证不等式f (s ＋t )－f (s )＞f (t )－f (０)．只需要 对任意的s ,t ɪ０,＋ɕ(),不妨设s ȡt ＞０,证明f (s ＋t )－f (s )t ＞f (t )－f (０)t．由拉格朗日中值定理:存在a ɪ(s ,s ＋t )使得f (s ＋t )－f (s )t＝f ᶄ(a ),存在b ɪ(０,t )使得f (t )－f (０)t＝f ᶄ(b )．由a ɪ(s ,s ＋t ),b ɪ(０,t ),得a ＞b ．由(Ⅱ)中f ᶄ(x )在０,＋ɕ[)上单调递增,得fᶄ(a )＞f ᶄ(b ),即f (s ＋t )－f (s )t ＞f (t )－f (０)t．所以对任意的s ,t ɪ(０,＋ɕ),f (s ＋t )＞f (s )＋f (t )成立．总结赏析:证明不等式问题,重点在于等价转化．纵观２０２２年北京高考导数问题解法的切入点,不同的入手角度,概括了构造函数的过程,即从简单的移项构造函数,到关注结构特征所隐含的信息构造函数,最后到借助高等数学知识解题．这些都启示我们在今后的的复习过程中,理解 构造函数 的演变过程,展望 构造函数的发展方向,为函数与导数知识的复习提供参考依据．３总结通过对２０２２年北京高考函数与导数问题的分析,发现北京卷导数问题题干简洁㊁大气,问题设计巧妙．各小问题之间往往有关联性,由浅入深,由易到难．重点考查导数的基础知识和基本思想,突出考查导数的本质．在研究导数问题的过程中,要注意关注问题的连贯性,借助上一问的结论解决下一问．因此,在教学中,教师要创新问题情境,设计连贯性问题,运用恰当的教学方式,让学生在学习过程中不断探索与研究㊁总结与反思．在落实四基的基础上,发展学生的数学核心素养,提高分析问题和解决问题的能力．５３２０２２年１２月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀试题研究命题考试Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高考压轴题：导数题型及解题方法归纳
高考压轴题：导数题型及解题方法一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。
方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。
题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。
方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。
例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。
将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。
（答案：m 的范围是()2,3--）练习 1. 已知曲线x x y 33-=（1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。
答案：（03=+y x 或027415=--y x ）（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。
2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。
方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。
（)(,22x f x ）；进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例 求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。
（答案02=--e y x e ）练习 1.求曲线2x y =与曲线2)1(--=x y 的公切线方程。
函数与导数压轴题多解研究——以2022_年全国数学新高考Ⅱ卷第22_题为例
函数与导数压轴题多解研究——以2022年全国数学新高考Ⅱ卷第22题为例广西南宁市第三中学五象校区（530221）李俊强［摘要］2022年全国数学新高考Ⅱ卷第22题，将函数、导数、数列与不等式等知识有机结合，是有一定难度的压轴题。
文章具体阐述应用不同思想方法来解答2022年全国数学新高考Ⅱ卷第22题及给出类题赏析，旨在为高中数学一线教师提供教学参考。
［关键词］高考；函数；导数；不等式；压轴题［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2023）11-0004-04一、真题再现（2022年全国数学新高考Ⅱ卷第22题）已知函数f(x)=x e ax-e x。
（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；（2）当x>0时，f(x)<-1，求实数a的取值范围；（3）设n∈N∗，证明：112+1+122+2+⋯+1n2+n>ln(n+1)。
二、考查目标本题主要考查函数的导数的基础知识，考查学生灵活应用函数、不等式思想解决复杂问题的能力。
本题将函数、导数、数列与不等式等知识有机结合，考查学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养。
三、解法探究本题第（1）问较为简单，解法单一。
以下侧重对第（2）和第（3）问进行分析与解答。
第（2）问的解答具体如下：解法1设函数h(x)=x e ax-e x+1，其中h(0)=0，则h'(x)=(1+ax)e ax-e x，设g(x)=(1+ax)e ax-e x，则g'(x)=(2a+a2x)e ax-e x。
若a>12，则g'(0)=2a-1>0。
因为g'(x)为连续函数，所以x0∈（0，+∞），使得∀x∈(0，x0)，总有g'(x)>0，故g(x)在(0，x0)上为增函数，所以g(x)>g(0)=0，故h(x)在(0，x0)上为增函数，所以h(x)>h(0)=0，与题设矛盾。
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2022年全国高考数学乙卷导数压轴题的简单解法2022年全国高考数学乙卷导数压轴题的简单解法：
一、不定积分：
1. 已知函数f（x）满足f（0）＝a，f（1）＝c，则不定积分∫f（x）dx 的值为：
a． c-a
b． a-c
c． 1+a
d． c+a
解题思路：先将不定积分展开，∫f（x）dx=F（x）+C，由于不定积分有常数C被添加，因此在求解的时候，只需用特定的函数值减去常数C即可。
将函数f（x）的起点值和终点值带入公式中可得，f（1）-f （0）=c-a，即答案为a．c-a。
二、函数的导数：
1. 已知函数f（x）＝ln（x），则f′（x）等于：
a． 1/x
b． ln（x）
c． 1+x
d． 1/ln（x）
解题思路：首先知道，函数y=ln（x）的导数形式是f′（x）＝1/x，即答案为a．1/x。
三、椭圆的对称轴和长轴：
1. 椭圆的标准方程为x2/a2＋y2/b2＝1，其中a>b，则椭圆的对称轴长等于：
a． a2-b2
b． a2+b2
c． a2/b2
d． a-b
解题思路：根据椭圆的定义，椭圆的对称轴就是椭圆的长轴，而椭圆的长轴为：a2＋b2，即答案为b．a2＋b2。