一维势阱中粒子的能量
量子力学-第二章-一维势阱
3
时间依赖薛定谔方程
根据能量守恒和时间演化，推导出薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解
无限深势阱
假设粒子被限制在一个 无限深的势阱中，无法 逃逸。
波函数的边界条件
在势阱的边界处，波函 数必须满足特定的边界 条件。
波函数的对称性
在势阱中，波函数可能 具有对称或反对称的性 质。
薛定谔方程的数值解
有限差分法
含时薛定谔方程的一维势阱模型
含时薛定谔方程是一维势阱模型中描述粒子动态行为的方 程。该方程包含了时间依赖的势能项，可以描述粒子在时 间演化过程中受到的外部作用力。
含时薛定谔方程的解可以用来研究粒子在一维势阱中的动 态行为，例如粒子在受到激光脉冲作用时的运动轨迹和能 量变化。通过求解含时薛定谔方程，可以深入了解粒子在 一维势阱中的动力学性质。
01
将薛定谔方程转化为差分方程，通过迭代求解。
网格化方法
02
将连续的空间离散化为有限个网格点，对每个网格点上的波函
数进行求解。
量子隧穿效应
03
当势阱深度较小时，粒子有一定的概率隧穿势垒，从势阱中逃
逸。
03
一维势阱中的粒子行为
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
粒子在无限深势阱中的行为
时间依赖的一维势阱模型
时间依赖的一维势阱模型描述了粒子在一维空间中受到随时 间变化的势能作用的情况。这种模型可以用来研究粒子在时 间依赖的外部场中的动态行为，例如粒子在激光场中的运动 。
时间依赖的一维势阱模型需要求解含时薛定谔方程，该方程 描述了粒子在时间演化过程中的波函数变化。通过求解含时 薛定谔方程，可以了解粒子在时间依赖的势阱中的动态行为 。
一维无限深势阱 (2)
论文题目：一维无限深势阱简述制作人：刘子毅（应用物理（1））学号：09510113一维无限深势阱一、引言Hu = Eu,,2222Eu Vu dxu d m =+- (1) 在图中Ⅰ区，-a/2<x<a/2,式中的V=0；在图中Ⅱ区，x<-a/2和x>a/2, V=∞. 现在解Ⅰ区情况的方程，V=0，（1）式成为.2,22222mEk u k u mE dx u d =-=-= 设axe u =，那么u a u n2=，代入上式，u k u a 22-= ik a ±=所以ikx ikx Be Ae u -++=kx D kx C u sin cos += （2）（2）式是Ⅰ区的通解。
2、一维无限深阱电子的基态222222282n mdh n md E n == π n=1、2、3…… 无量纲处理：以波尔半径2200m e a ε=里德伯20242ε me R y =分别为长度和能量单位能量可化为21d E π3、数值模拟当n=1时，1E 和d 的一组数值用计算机编程模拟如下： 设d 从0.3 3.0 include ‹stdio.h › include ‹math.h ›main() { double e,d,c; int i; c=3.14,d=0.3; for(i=0;i ‹10;i++) { e=c/(d*d); printf(“%lf ”，&e)； d=d+0.3;} }d 的取值利用画图软件描绘出横坐标为d ，纵坐标为E 的曲线 设d 从0.3 3.0，能量化简为：21dE π=模拟如下：。
一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数
一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数一维势场是指只存在一个空间维度上的势能，并且可以用一个实函数V(x)描述。
假设一个带电粒子（例如电子）在一维势场中运动，其所受的动能为T，势能为V，则其总能量E=T+V。
由于势场只存在于一维空间中，因此可以使用Schrödinger方程来描述带电粒子的运动。
根据Schrödinger方程的解析式和边界条件，可以求出粒子的能级和对应的波函数。
下面，将逐步介绍一粒子在一维势场中运动的过程，包括求粒子的能级和对应的波函数的方法。
具体如下：一、Schrödinger方程一粒子的运动可以用薛定谔方程描述，即：HΨ(x) = EΨ(x)其中，H是哈密顿算符，Ψ(x)是波函数，E是总能量。
在一维势场中，H的形式为：H = -(h²/2m) ∂²/∂x² + V(x)其中，h是普朗克常数，m是带电粒子的质量，V(x)是一维势能。
二、求粒子的能级和对应的波函数1. 首先，需要根据一维势场的特性和边界条件来确定粒子的波函数形式。
例如，如果一个实函数V(x)在无限远处趋近于零，那么可以假设粒子的波函数也在无限远处趋近于零。
2. 根据波函数的形式和Schrödinger方程，可以求出粒子的能级和对应的波函数。
在求解过程中，需要注意以下几点：a. 在一维势场的不同区域，波函数的形式可能不同。
例如，在势阱中，波函数可以是正弦函数或余弦函数，在势垒中，波函数可以是指数函数或衰减函数。
b. 计算过程中需要使用边界条件，例如波函数在无限远处趋近于零，以及波函数在势场的交界处连续、导数连续。
c. 对于一些特殊的势场，例如谐振子势场，可以使用已知的解析式求解粒子的能级和对应的波函数。
三、总结对于一粒子在一维势场中的运动，粒子的能级和对应的波函数是根据Schrödinger方程和边界条件求解得出的。
在求解过程中需要注意不同势场区域波函数的形式、边界条件的使用和特殊势场解析式的应用等问题。
一维无限深势阱
一维无限深势阱一维无限深势阱2. 判断题题号：60821001分值：2分难度系数等级：1级在一维无限深势阱中粒子运动的能量不能连续地取任意值，只能取分立值，即能量是量子化的。
答案：对题号：60821002分值：2分难度系数等级：1级在一维无限深势阱中粒子运动的能量的量子化是强行引入的。
答案：错题号：60822003分值：2分难度系数等级：2级在一维无限深势阱中粒子运动的能量的最小值为零。
答案：错题号：60821004分值：2分难度系数等级：1级在一维无限深势阱中微观粒子在各处出现的概率不均匀。
答案：对题号：60822005 分值：2分难度系数等级：2级微观粒子在一维无限深势阱中各能级的阱壁处出现的概率为零答案：对3．填空题题号：60834001 分值：2分难度系数等级：4级一维无限深势阱中粒子的定态波函数为axn a x n πψsin2)(=。
则粒子处在基态时，在x ＝0到3ax =之间被找到的概率。
( C x x x x +-=2sin )4/1(21d sin 2) 答案：π4331-（或0.19）题号：60834002 分值：2分难度系数等级：4级一维无限深势阱中粒子的定态波函数为axn a x n πψsin2)(=。
则粒子处于第一激发态时，在x ＝0到3 ax =之间被找到的概率。
(C x x x x +-=2sin )4/1(21d sin 2 )答案：π8331+（或0.40）题号：60833003 分值：2分难度系数等级：3级一维无限深势阱中粒子的定态波函数为axn a x n πψsin2)(=。
则粒子处于第一激发态时，在4ax =处粒子的概率密度。
答案：a2题号：60832004 分值：2分难度系数等级：2级一维无限深势阱中粒子的定态波函数为axn a x n πψsin2)(=。
则粒子处于基态时各处的概率密度。
答案：a xa π2sin 2题号：60832005 分值：2分难度系数等级：2级一维无限深势阱中粒子的定态波函数为axn a x n πψsin2)(=。
第32讲 薛定谔方程 一维势阱
因此，当粒子所在的势场不随时间变化时， 因此，当粒子所在的势场不随时间变化时，粒子 在空间出现的概率也不随时间变化， 在空间出现的概率也不随时间变化，而且力学量的测 量值的概率分布和平均值都不会随时间变化。 量值的概率分布和平均值都不会随时间变化。 粒子的这种状态称为定态 定态。 粒子的这种状态称为定态。 本章后面所讨论的问题都属于定态情形。 本章后面所讨论的问题都属于定态情形。定态薛 定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状态。 定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状态。玻 尔假设中的氢原子定态实际上就是定态薛定谔方程在 氢原子情形中的一系列解。 氢原子情形中的一系列解。
2π − i ( Et − px ) ∂ψ 2π 2π ＝-i ＝-i Eψ 0e h Eψ ∂t h h
作如下运算： 作如下运算：
2π − i ( Et − px ) ∂ 2ψ 4π 2 p 2 4π 2 p 2 ＝＝ψ 0e h ψ 2 2 2 ∂x h h
p2 自由粒子的能量等于其动能, 自由粒子的能量等于其动能 即 E = Ek, 而 Ek = 2m 2 2 h ∂ ψ ( x, t) h ∂ψ ( x, t) 非相对论 − 2 =i 8π m ∂x2 2π ∂t ——自由粒子的一维含时薛定谔方程 自由粒子的一维含时薛定谔方程
ψ (a ) = A sin ka = 0
nπ 8π m k = E = 2 h a
2 2
2
由边界条件， 由边界条件，波函数在 x = a 处连续
nπ k= a
h2 En = n2 2 2 8π ma
能量是量子化的! 能量是量子化的
n = 1,2L
n ≠ 0！
n = 0，相当于 = 0，这意 ，相当于E ， 味着阱中处处找不到粒子。 味着阱中处处找不到粒子。
第12章薛定谔方程一维无限深方势阱中的粒子
问题的提出：
德拜：问他的学生薛定谔能不 能讲一讲 De Broglie 的 那篇学位论文呢？ 一月以后：薛定谔向大 家介绍了德布罗意的论文。 德拜提醒薛定谔：“对于波，应该有一个波动方程”。 由于经典力学根本没有涉及波粒二象性，微观粒子运动 遵循的方程肯定不能由经典力学导出，它必须根据实验现象 重新建立。 薛定谔(1926)提出了描述微观粒子运动规律的非相对论 性的薛定谔方程.。
Y
E i t ( r , t ) ( r )e
2 2 2 2m 2 2 2 2 E U x , y, z 0 x y z
—— 三维直角坐标系的定态薛定谔方程
2 2 U E 2m
引入拉普拉斯算符 2 2 2 x y z
2 2 2 2
2 2 i Y r , t U r , t Y r , t t 2m
2 ˆ p 2 2 ˆ 引入哈密顿算符 H U (r , t ) U r , t 2m 2m
所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解：
Y1 x, t 1 x f t
p E i x i t Ae e i E t p x Ae
—— 沿 + x 方向的平面单色波
Y 2 ( x, t ) 2 ( x ) f (t )
求解两类问题： 一类是本征值问题，给定势能函数U(x)，求 粒子的能量E和相应的本征波函数Φn(x)；
另一类是散射问题，假设粒子以能量E射向势 垒U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。
§12.7 一维势场中的粒子
§12.7.1 一维无限深方势阱中的粒子 §12.7.2 势垒贯穿
量子力学专题三(一维势场中的粒子)
量子力学专题三：一维势场中的粒子一、一维薛定谔方程边界条件和处理办法（熟练掌握）1、边界条件：A、束缚态边界条件：在无穷远处，找到粒子的概率为零，相应的波函数的值应该趋近于零；B、连续性边条件：a、波函数连续；b、波函数的一阶偏导数连续。
（注意：不一定同时成立！！）C、周期性边界条件：在求解角动量l分量的本征函数时，利用周期性边界条件可以确z定本征函数的归一化常数；在求解转子的能量本征函数时，亦可以利用周期性边界条件来确定其归一化常数。
2、处理方法：A、列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解；B、根据束缚态边条件，选择适合的解；C、根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理；D、写出本征函数和对应的能量本征值。
二、一维方势阱：1、一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论（熟练掌握） A 、非对称势阱： a 、解题步骤：（1）写出各个区间的能量本行方程； （2）根据写出的微分方程，求出其通解；（3）根据连续性边界条件，确定其相位及其能量本征值的取值； （4）根据概率诠释，对波函数进行归一化处理，确定待定常数； （5）写出能量本征方程和对应的能量本征值。
b 、具体过程：)0(),0(0)(a x a x x x V <<><⎩⎨⎧∞=（1）列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解； 在0<x 和a x >区间，波函数为：0)(≡x ψ在ax <<0区间，能量本征方程为：)()(2222x E x dxdm ψψ=-对其变形，得2=+''ψψk其中，mE k2=（0>E ）。
解得： )sin()(δψ+=kx A x（2）根据束缚态边条件，选择适合的解；此处的束缚态边条件，即粒子在无穷远处出现的概率为零，在求解本征方程——在0<x 和a x >区间，波函数为：0)(≡x ψ——时已经应用了！（3）根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理；在0=x 处，波函数连续，有0sin )0(==δψA ，则有0=δ。
第二章 一维势场中的粒子
第二章 一维势场中的粒子
本章要求 1. 掌握求解一维定态Schrödinger 方程的 基本步骤; 2. 掌握能量量子化，束缚态，宇称，隧道 效应，零点能，分立谱，连续谱等概念;
第二章 一维势场中的粒子
本章内容
§1 一维无限深势阱
§1
§2 势垒贯穿
§2
§3 一维谐振子
§3
§1 一维无限深方势阱
一维晶格中电子的势能曲线
L
x0
xa
x0
U
xa
无限深势阱
x0
xa
如果直接用此曲线表示的 势能带入薛定谔方程中，就形 成一个相当困难的数学问题。
第二次简化：
用平均势能代替晶格势能
( 这一步的实质是不考虑电子 间、电子与晶格离子间的相互 作用，这样的电子就相当于理 想气体分子－自由电子气。)
0;
x 0, x a
n(x)
2 sin nπ x aa
0 x a; n 1,2,...
n2 E1 16 E1
✓ 除端点(x=0 , a)外， 9E1
基态波函数无节点，第
一激发态有一个节点，
第二激发态有二个节点，
第m 激发态（量子数
4 E1
n=m+1）有m个节点。
E1
E) 2 ( x)
0
2
② 求解定态Schrödinger 方程
方程(2)的解 2 x 0 x 0; x a
理由： 因势阱壁无限高(V )，粒子不能穿透 势壁，故势阱外的波函数必定为0。
方程(1)中，令 k
2mE h2
，则方程(1)写为
d2 dx 2
1
Pˆ 2
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-一维势场中的粒子(圣才出品)
x)
xn
=
1
[
n2n−1 +
n
+ 2
1n+1
]
d dx
n
= [
n2n−1 −
n
+ 2
1n
+1
]
其中 =
。
2.2 课后习题详解
2.1 设粒子限制在矩形匣子中运动，即
求粒子的能量本征值和本征波函数，如 a=b=c，讨论能级的简并度。 解：在匣子内
,n
=
1，2，3,…
该本征能量表达式说明说明：并非任何 E 值所相应的波函数都满足本问题所要求的边
条件，一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，即构成的能谱是离散的（disorete）．
（2）无限深方势阱本证波函数
归一化波函数表示为
2．有限深对称方势阱 设
a 为阱宽，V0 为势阱高度．以下讨论束缚态（0＜E＜V0）情况． 束缚态能量本征函数（不简并）必具有确定宇称，因此只能取 sinkx 或 coskx 形式． （1）偶宇称态．
E
=
En
=
(n +
1)h, n 2
=
0,1, 2,…
此即谐振子的能量本征值．可以看出，谐振子的能级是均匀分布的，相邻的两条能级
的间距为 ．
8 / 42
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
2.一维谐振子本征波函数
一维谐振子波函数常用的关系式如下
n
=
− 1 2 x2
2．势阱中的束缚态 要求束缚能量本征态（不简并）具有确定字称．以下分别讨论． （1）偶宇称态 归一化的束缚能量本征态波函数可表示为（取 C 为实数）
一维有限深方势阱能量本征值的推导过程
一维有限深方势阱能量本征值的推导过程好吧，今天我们来聊聊一维有限深方势阱的能量本征值，听起来有点高深，但别担心，我会尽量让它变得简单有趣。
想象一下你在一个很大的游乐场，四周围着高高的围墙，只有一个小门能进出。
这就是我们的势阱，里面的小子可以尽情玩耍，但出不去，真是像被困在了“笼子”里。
好啦，势阱的高度就是这围墙的高度，势阱的深度就是游乐场的“深度”。
这个“深度”可不是说人掉进去就会淹死，而是说在这个区域内，粒子能量的状态会发生变化。
像我们的小子，如果他的能量低于围墙的高度，那他就只能在这个游乐场里转悠。
想象一下，你有个小朋友，他拼命想往外跑，可是墙太高了，根本出不去。
他只能在里面玩各种游戏。
那么这个游乐场里有多少个不同的游戏呢？这就要说到能量本征值了。
每一个能量状态都对应着一个游戏，越高的能量对应着越刺激的游戏。
粒子在这个势阱里，就像个小孩子，能量越高，玩得越欢。
能量低的时候，玩得不开心，越过围墙根本不可能。
简单来说，能量本征值就是粒子在这个势阱里“玩”的规则和限制。
说到这里，咱们就得动手算一算了，别担心，这个算式并不复杂。
想象你在算一个简单的数学题。
我们用一个数学模型来描述这个势阱，叫做薛定谔方程。
听起来像个高深的名词，但其实就是一个公式，让你知道在这个“游乐场”里，粒子的行为如何。
我们把这个势阱的边界设定为某个值，这样粒子就只能在这个范围内活动。
计算的过程有点像拼图，边边角角都得对上。
你能得到一些特定的能量值，嘿，这就是本征值，像是每个游戏的入场券。
哇，终于到了关键时刻。
算出来的结果像是一个个数字的密码，每个数字背后都有一个小故事。
比如，第一个能量本征值就像你在游乐场里第一个能玩的游戏，简单但充满乐趣；第二个能量本征值就像升级了，难度加大，但挑战更刺激。
你会发现，随着能量的增加，粒子能“玩”的游戏越来越多，仿佛整个游乐场的乐趣都被打开了。
但别以为这就完事了，咱们还得考虑势阱的深度。
越深的势阱，粒子“玩”的方式也会不同。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一维势阱中粒子的能量
在一维无限深势阱中，粒子的能量可以用下列公式表示：
E = n²ħ²/(2mV²) + V(x)
其中，E表示粒子的能量，n为量子数，ħ为普朗克常数除以2π，m为粒子质量，V(x)为势函数。
当粒子处于势阱中时，其能量被分为两部分：一部分是由于粒子的动量和高度所引起的能量，另一部分是由于势函数所引起的能量。
由于势函数是无限深的，因此粒子只能处于某些特定的能量状态，这些能量状态被称为量子数n的状态。
量子数n的取值范围是从0开始，当n=0时，对应的能量为E₀=0，当n=1时，对应的能量为E₀=ħ²/(2mV²)，当n=2时，对应的能量为E₀=2ħ²/(2mV²)，以此类推。
可以看出，量子数n越大，对应的能量也越大，这是因为在势阱中，粒子的高度越高，势能也越大，因此需要更高的能量才能克服势垒，跃迁到更高的能级上。
需要注意的是，上述公式仅适用于无限深势阱，对于其他类型的势阱，粒子的能量公式会有所不同。