七数培优竞赛讲座第18讲乘法公式
数学培优竞赛新方法-第18讲 从三角形的内切圆谈起
第18讲从三角形的内切圆谈起数学是一个非常美的领域，这是因为它的主要部分是由人类的心灵构成的，你可以自由探索自己心中的数学世界，这不是很美吗？那里有真正自由，正是这种自由才是数学美的力量所在。
-----瑟斯顿知识纵横和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。
三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：1.三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；2.圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有内切圆的主要方法。
当圆外切三角形、四边形是特殊三角形、四边形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：例题求解【例1】如图，⊙O 是ABC Rt ∆内切圆，切点为F E D 、、，若BE AF 、的长度是方程030132=+-x x 的两个根，则ABC ∆的面积是【例2】如图，以正方形ABCD 的边BC 为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 于点E ，则DAE ∆与直角梯形EBCD 的周长的比值为（）A.43 B.54 C.65 D.76【例3】如图，已知过原点O 和)2,2(M 的动圆⊙1O 交坐标轴于B A 、两点，设BOA ∆的内切圆⊙I 的直径为d ，求AB d +的值.【例4】如图，在ABC Rt ∆中，其中3,4,90==︒=∠BC AC C ，其中⊙1O 、⊙2O ，...、⊙n O 为n 个相等的圆，⊙1O 与⊙2O 相外切，⊙2O 与⊙3O 相外切，……，⊙1-n O 与⊙n O 相外切，⊙1O 、⊙2O ，...、⊙n O 都与AB 相切，且⊙n O 与BC 相切，⊙1O 与AC 相切，求这些等圆的半径r （用n 表示）.圆与梯形的珠联璧合【例5】如图，的直径cm AB 8=，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切o O 于E，交AM 于D ，BN 于C ，设x AD =，y BC =，求y 与x 的函数关系式．对于例5，在条件不变的情况下，我们还可得出以下结论：（1）BC AD CD +=；（2）以AB 为直径的圆与CD 相切；（3）以CD 为直径的圆与AB 相切；（4）BC AD ⋅为一定值。
著名机构讲义暑假07-七年级培优版-乘法公式-学生版
知识模块Ⅰ：平方差公式1、平方差：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即()()22a b a b a b +-=-.公式中的a 、b 可以是任意的数或代数式（单项式、多项式）. 2、平方差公式的结构特征：（1）左边是两个两项式相乘，这两个二项式中，有一项是完全相同的，另一项是两个互为相反数. （2）右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反的项的平方差. 3、公式的应用：（1）公式中的字母a b 、可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，乘法公式（3）解方程：【例9】解不等式：【例10】计算下列各题：（1） （2） （3）【例11】（1）如果，则的值（2）已知：求的值（3） 若，求的值【例12】运用平方差公式计算:（1）()()()()()()132121232215+->+---+x x x x x x 22)3(x x -+22)(y x y +-9,3x y x y +=-=2222x y -,9,4522=+=-y x y x y x ,2,1222=-=-b a b a b a +222222100999897...21-+-++-（2）（3）（4） (1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)知识模块Ⅱ：完全平方公式1、完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.即()222a+2b a ab b =++，或()2222a b a ab b -=-+，公式中的a 、b 可以是任意的数或代数式（单项式、多项式）.2、平方差公式的结构特征：（1）左边是一个两项式的完全平方，右边都是一个二次三项式；（2）其中有两项是左边括号内二项式中每一项的平方，中间一项为左边两项式中两项乘积的两倍，其符号由左边括号内的符号决定；1111111...14925100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()32168422-121212123++++2212312412912101【例14】（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7）【例15】（1） （2）【例16】（1） （2） （3）【例17】（1）若 ，则k =_______________（2）若是完全平方式，则k = _______________（3）若 是完全平方式，则m = _______________（4）若是完全平方式，则k = _______________（5）若 是完全平方式，则k = _______________（6）若是一个完全平方式，则 = _______________()22b a +-()223b a --2)3110(29.19))((x y y x --))((b a a b +--22100+100×102×2-102222010+2009×4020-200922)3()3(b a b a +--()()2222a b a b --+()()2222b a b a +-22)2(4+=++x k x x k x x ++2222+6+m x x 962++x kx 92++kx x 223649x mxy y -+m（4）若，求；；的值（5）若，求的值。
【数学竞赛】七年级数学思维探究(19)乘法公式(含答案)
高斯 1777 1855 ，德国数学家、天文学家和物理学家，有“数学王子”之称，高斯的成就遍布数学的各个领域，在数论、非欧几何、重变函数论、椭圆函数论等方面均有创始性贡献，他十分着重数学的应用，并且在对天文学、大地丈量学和磁学的研究中也着重于用数学方法19．乘法公式解读课标多项式的形式是多种多样的，两个有必定关系的特别多项式相乘，结果经常简短而优美． 乘法公式是多项式相乘得出的既有特别性又有适用性的详细结论，学习乘法公式应注意： 1．理解公式，掌握公式的结构特点；2．认识公式的变形与发展；3．灵巧运用公式，既能正用、又能逆用，并且还可以适合变形或从头组合，综合运用公式； 4．掌握公式的几何意义，意会数形联合的思想．问题解决例 1 假如正整数 x ， y 知足方程 x 2 y 264 ，则这样的正整数对x , y 的个数是 ______．试一试 a 2b 2a b a b ， a b 以 a b 的奇偶性相同，这个十分简单的结论是解本例的基础．例 2 已知 a 、 b 、 c 知足 a 22b 7 ， b 22c 1， c 26a 17 则 ab c 的值等于（）A ． 9B ． 3C ． 4D ． 5试一试 由条件等式联想到完整平方式，解题的切入点是整体考虑． 例 3计算1 2 4 8 16 （ ） 212 12 1212112 1（ 2）200420032220042002 2004200433（ 3）45.1 13.945.1 13.931.2试一试关于（ 1），经过对待求式适合变形，使之切合平方差公式的结构特点；关于（ 2），用字母表示数，将数值计算转变为式的计算．例 4 老师在黑板上写出三个算式52328 2，927 2 8 4 ，152 32 8 27 ，王华接着又写了两个拥有相同规律的算式： 112 52 8 12 ， 152 7 2 8 22（ 1）请你再写出两拥有上述规律的版式； （ 2）用文字写出上述算式反应的规律；（ 3）证明这个规律的正确性．试一试 由特别到一般，用字母表示算式反应的规律并证明．5 1 ）已知 x 2y 2 z 2 2 x 4 y 6z 14 0 ，求 x y z的值．例 （（2）26 52 12，53 7 2 22， 26 53 1378 ， 1378 372 32随意精选此外两个近似 26 、 53 的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍旧是 两个平方数的和吗？你能说出此中的道理吗？x ， y， z ，的值：关于（ 2），剖析 关于（ 1），由平方和联想到完整平方公式及其逆用， 利用配方求出 从试验下手，而后给出一般情况的证明．解（ 1）由条件得x 22z20 ， x 1 ， y2 ， z3 ，原式 2．1y 23（ 2）一般地，设 m a 2b 2 ， nc 2d 2 ，则 mna 2b 2c 2d 2a 2c 2b 2d 2 b 2c 2 a 2d 2a 2c 2b 2 d 22abcd b 2 c 2 2abcd a 2 d 2ac bd或 ac bd22bc ad22bc ad智慧数例 6 整数问题常是饶有兴趣又发人思虑的，若对整数作一些特别的规定， 就会获得一些特别定义下的新数，并由此产生令人思虑的问题，我们规定：若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则把这个自然数称为“智慧数”，如16 52 32 ，则 16 称为智慧数．请判断：在自然数列中，从数 1起，第 2000 个智慧是哪个数？剖析与解 要确立第 2000 个智慧数，应先找到智慧数的特点及散布规律．由于 2k 24 ，并且是 4 的倍数的数也是智慧数．由此可知，被4除 2的1 k 1 k2 ，明显，每个大于 偶数都不是智慧数．所以， 自然数列中最小的智慧数是 3 ，第 2 个智慧数是 5 ，从 5 起，挨次是 5 ，7 ，8 ；9 ，11 ，12；13 ， 15 ， 16 ； 17 ， 19 ， 20 ； 即按 2 个奇数，一个 4 的倍数，三个一组地挨次摆列下去．依据这个结论，我们简单知道： 由于 2000 1 3 666 1 ，所以第 1999 个智慧数是 4 666 4 2668 ，故第 2000 个智慧数 是 2669 ． 数学冲浪知识技术广场 1．若 a 22ab b20 ，则代数式a a4ba 2b a 2b 的值为．2．已知 m 28， m n 2n2=______． n 2，则 m 23．已知 x 22x 2y1 0 ，则 xy 999=______ ．y4 ．已知 a 2 b 2 2a 4b5 0 ，则 2a 24b 3 的值为 _______．5．已知以 a 、 b 、 x 、 y 知足 ax by 3 ， ay bx 5 ，则 a 2 b 2 x 2 y 2 的值为 ______．6．如图，从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，而后将节余部分剪拼成一个长方形，上述操作所能考证的等式是（ ）ababA ． a 2 b 2ab a bB ． a 2a 2 2ab b 2bC ． a b 222ab b 2D ． a 2ab a a ba7．已知 a1 x 20 ， b 1 x 19 ， c 1 x 21 ，则代数式 a2 b 2c 2 ab bcac 的值是（）20 20 20 A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 8．已知xy 1 ， x 2 y 22 ，那么 x 4 y 4 的值是（ ）A ． 4B ． 3C ．7D ．5229．若 a、 b 为有理数，且 2a 22ab b 2 4a 4 0 ，则 a 2b ab 2 =（ ）A ． 8B ． 16C ． 8D ．1610．在 2004 ， 2005 ， 2006 ， 2007 这四个数中，不可以表示为两个整数平万的数是（ ）A ． 2004B ． 2005C ． 2006D ． 2007 11．计算（ 1）671721741781 1（ 2）24690 12345 12347 123462 （3） 20052004222220052003 2005200512 ． 一个自然数减去 45后是一个完整平方数，这个自然数加上 44后还是一个完整平方数，试求这个自然数． 思想方法天地13 ．已知 2007a 2005 a 222006 ，那么 2007 a2005 a =_____ ．14 ．已知 a b4 ， ab c 2 4 0 ，则 a b =______．n15．杨辉三角是一个由数字摆列成昀三角形数表， 一般形式如下图， 此中每一横行都表示 a b （此处 n 0 ， 1， 2 ， 3 ， 4， 5 ， 6 ）的睁开式中的系数，杨辉三角最实质的特点是，它的两条斜边都是由数字 1构成的，而其他的数则是等于它“肩”上的两个数之和．11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 51 01 0 5 1161 5 201 561a 01ba b 1 a ba 2a 2 2ab b 2ba 3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3ba 4 a 4 4a 3b 6a 2b 2 4ab 3 b 4ba 5a 5 5a 4b 10a 3 b 2 10a 2 b 3 5ab 4 b 5ba 6a 6 5a 5b 15a 4 b 2 20a 2 b 3 15a 2 b 4 6ab 5 b 6b上图的构成规律你看懂了吗？7______．请你直接写出 a b杨辉三角还有另一个特点（ 1）从第二行到第五行，每一行数字构成的数（如第三行为 121）都是上一行的数与 ______积．（ 2）由此你可写出 115 =______．（ 3）由第 _____行可写出 118 =______．16．假如 a 2b 3c 12 ，且 a 2 b 2 c 2ab bc ca ，则 a b 2c 3 的值是（ ）A ． 12B ． 14C 16D ． 18．17 ．假如 xy 1 ， x 2 y 2 3 ，那么 x 3 y 3 的值为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 518 ．把 2009 表示成两个整数的平方差的形式，则不一样的表示法有（ ）A ．16 种B ． 14种 C ． 12种 D ．10种 22 02 ，19 ．假如一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数” ，如 412 42 22，20 6242 ，所以 4 ， 12 ， 20这三个数都是神奇数．（ 1） 28 和 2012 这两个数是神奇数吗？为何？（2）设两个连续偶数为 2k 2 和 2k （此中 k 取非负整数），由这两个连续偶数结构的神奇数是 4 的倍数吗？为何？ （3）两个连续奇数的平方差（取正当）是神奇数吗？为何？ 20 ．已知 a b c 0 ， a 2 b 2 c 2 1（ 1）求 ab bc ca 的值；（4442）求 a b c 的值．应用研究乐园21 ．（ 1）证明：奇数的平方被 8除余 1．（ 2）请你进一步证明：2006不可以表示为 10 个奇数的平方之和．22．某校举行春天运动会时，由若干名同学构成一个 8 列的长方形行列．假如原行列中增 120 人，就能构成一个正方形行列；假如原行列中减少 120 人，也能构成一个正方形行列．问原长方形行列有多少名同学？19 乘法公式问题解决例 1 2 对 x y x y 64， x y xy 0 且xy 与 xy 的奇偶性相同，得x y 32 x y 16x y2 ， y 4 ， x 则 x 17 x 10y ， 615 y 例 2B 三等式相加得：a 3 2b1 2 c 1 2 0a3 ， b 1， c 1例 3（1）原式2 1 2 1 221 241 281 216 1122 1 22 1 241 28 1 216 11232 1 1232a 2（ 2）设 200420003a ，则原式1a 1 2a 21a211 2 a 2 12（ 3）原式45.1 13.9 45.12 45.1 13.9 13.9245.1 13.945.1 13.945.1213.93481例 4（1）略（ 2）规律：随意两个奇数的平方差等于 8 的倍数（ 3）设 m 、 n 为整数，2m 1 22n 24 m n m n 11当 m 、 n 同奇或同偶， 4 m n 是 8 的倍数，当 m 、 n 一奇一偶， 4 mn 1 是 8 的倍数．数学冲浪1． 0 2． 523． 1 由条件得 x y 14． 75． 34 原式 a 2 x 2 a 2 y 2 b 2 x 2 b 2 y 2ax2ay2bybx6． A17．B 原式ab 2b c 2c a 228． C9． Ba2a2 2b 10 ． C 形如 4k 或 2k 1 的数为“智慧数” 11 1 16 2 24690 3 1） 7 ；（ ）．（；（） 2 2①12．设这个自然为x ，由题意得 x 45 m x 44 n 2② ② -①得 n 2 m 2 89，即 n m n m 89 1 进而n m 89 ，解得n 45nm 1m44故 x452 44 198113． 4016 原式 2007 a22005 a2 2007 a 2005 a14． 0把 a b4 代入 ab c 24 0得 b 2c 2 0 ， b 2 ，2C 0 ， a24 2 ， a b 015．略（ 1） 11 （ 2） 161051 （ 3） 9 ； 21435888116． B 由 a 2 b 2 c 2 ab bc ac ，得1a b 2bc 2a c 2 0 ，进而 abc 22217． C2xyxx 2y 22yxy1 ， x 3 y 3x y x 2 xy y 2418 ． C提示：xy x y2009 241有 6 个正因数，分别是 1， 7，41，49，287和 2009 ，7 所以对应的方程组为：x y1,7 , 41, 49 , 2872009 , 1, 7 , 41, 49 , 287 , 2009x y2009 , 287 , 49 , 41,7 , 1,2009, 287, 49, 41, 7, 1故 x , y 共有 12 组不一样的表示19．（ 1） 28 4 7 82 62 ， 2012 4 503 5042 5022 故 28 和 2012 都是神奇数．（2） 2k 2 22k 24 2k1 ，为 4 的倍数．（ 3）神奇数是4 的倍数，但必定不是8 的倍数，但 2n 22n 1 28n ，1故两个连续奇数的平方差不是神奇数20 ．（ 1） a b c 2a 2 b2c22ab 2bc 2ac ，得 ab bc ca12（ 2）由 abbc ca 12，得 ab bc ca 21 ，即 a 2b2 b 2c 2 c 2a22abc a bc 144得 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 14又 a 2b 2c 2 1 ，平方得 a 4 b 4 c 42a 2b 2 2b 2c 2 2c 2a 2 1故44422 22 221 2 1 1a b c 1 2 a b b c c a4 2221 ．（ 1）2n 1 4n n 1 18| 4n n 1 ，故奇数的平方被 8 除余 1x 2 x 3x 10 2006．（ 此中 x ，x（ ）假定 2006 能够表示为 10 个奇数的平方之和， 也就是 x 1， ，2222212 x 10 是奇数）等式左侧被 8 除余 2 ，而 2006 被 8 除余 6 ，矛盾．故 2006 不可以表示为 10 个奇数的平方之和．8x120222．设m ①， m 、 n 均为正整数，且 m n ，① -②8x 120=n2②得 mn n n240 24 3 522都是8 的倍数，则 m 、 n 能被 4 整除， m n 、 m n 均能被 4 整除，m ， n。
七年级竞赛数学培优辅导——乘法公式(word打印版)
七年级竞赛数学培优辅导——乘法公式甲内容提要1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
人教版初一数学培优竞赛讲炼教程：乘法公式
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（14）乘法公式【知识精读】1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
七数培优竞赛讲座第18讲__乘法公式
第十八讲 乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式． 例题【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 。
(江苏省竞赛题)(2)已知1999)1998)(2000(=--a a ，那么=-+-22)1998()2000(a a 。
(重庆市竞赛题)思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法．乘法公式常用的变形有：(1)ab b a b a 2)(222±=+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++； (3) ab b a b a 4)()(22=--+；（4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++【例2】若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ）A 、N M >B 、 N M <C 、 N M =D 、无法确定 思路点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小． 【例3】计算：(1)1)17)(17)(17)(17(6842+++++；(天津市竞赛题) (2)22345.0345.1345.169.2345.0345.1⨯--⨯⨯思路点拨 若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表示数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特征． 【例4】(1)已知y x 、满足y x y x +=++24522，求代数式yx xy +的值。
七下乘法公式ppt课件
高阶练习题
总结词
挑战与拓展
VS
详细描述
高阶练习题着重于培养学生的创新思维和 解决问题的能力。题目设计为开放式，需 要学生自行分析问题、构建数学模型，并 创造性乘法公式的扩展知识
乘法公式的数学原理
乘法分配律
a×(b+c) = a×b+a×c
乘法结合律
乘法分配律
乘法分配律是指一个数与两个数的和相乘，等于这个数分 别与两个数相乘的和。
乘法分配律是七下乘法公式中一个重要的应用，它表明可 以将一个数拆分成两个数的和，然后分别与另一个数相乘 ，最后将得到的积相加。例如，a×(b+c)=a×b+a×c。
乘法反交换律
乘法反交换律是指两个数相乘，如果其中一个数不等于0，那么可以交换因数的位置，积不变。
时间计算
在计算时间时，我们使用 乘法公式来计算速度、距 离等。
数据分析
在数据分析中，我们使用 各种数学公式和定理来处 理数据、得出结论等。
THANKS
感谢观看
乘法反交换律是七下乘法公式中的一个特殊性质，它表明在两个数的积不等于0的情况下，可以交换因数的位置，积仍然不变 。这个性质在解决数学问题时非常有用，可以帮助简化计算过程。例如，a×b=b×a（其中a≠0）。
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七下乘法公式实例解析
实例一：简单乘法公式的应用
总结词：基础应用
详细描述：通过简单的乘法公式，如(a+b)×c=ac+bc，进行基本的乘法运算， 帮助学生理解乘法公式的原理和运用。
简化大数乘法
在计算大数乘法时，使用乘法 公式可以显著减少计算时间和
错误率。
解决实际问题
在解决实际问题时，如计算面 积、体积、路程等，使用乘法 公式可以简化计算过程。
广东省深圳市罗湖区望桐路七年级数学第18讲 二元一次方程组及其解法培优讲义
第18讲 二元一次方程组及其解法考点·方法·破译1．了解二元一次方程和二元一次方程组的概念； 2．解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义； 3．熟练掌握二元一次方程组的解法. 经典·考题·赏析【例1】 已知下列方程2x m －1＋3y n ＋3＝5是二元一次方程，则m ＋n ＝ . 【解法辅导】二元一次方程必须同时具备三个条件： ⑴这个方程中有且只有两个未知数； ⑵含未知数的次数是1；⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式.【解】根据二元一次方程的概念可知：⎩⎨⎧=+=-1311n m ，解得m ＝2,n ＝ －2,故m ＋n ＝0.【变式题组】01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.⑴2x ＋5y ＝16 (2)2x ＋y ＋z ＝3 (3)x1＋y ＝21 (4)x 2＋2x ＋1＝0 (5)2x ＋10xy ＝5 02．若方程2x a ＋1＋3＝y 2b－5是二元一次方程，则a ＝ ,b ＝ .03．在下列四个方程组①⎩⎨⎧=-=+94210342y x y x ，②⎩⎨⎧==+297124xy y x ，③⎪⎩⎪⎨⎧=+=-432021y x y x，④⎩⎨⎧=-=+045587y x y x 中，是二元一次方程组的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【例2】（十堰中考）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-52723y x y x 的解是 （ ）A ． ⎩⎨⎧==23y x B ．⎩⎨⎧==21y x C ． ⎩⎨⎧==24y x D ． ⎩⎨⎧==13y x 【解法辅导】二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解，根据此概念，此类题有两种解法：⑴若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是该方程组的解；⑵若方程组较易解，则直接解方程组可得答案.本例中，方程组较易解，故可直接用加减消元法求解，本题答案选D ． 【变式题组】01．（杭州）若x =1，y =2是方程ax －y ＝3的解，则a 的值是 （ ）A ．5B ．－5C ．2D ．1 02．（盐城）若二元一次方程的一个解为⎩⎨⎧-==12y x ，则此方程可以是 （只要求写一个）03.（义乌）已知：∠A 、∠B 互余，∠A 比∠B 大30°，设∠A 、∠B 的度数分别为x °,y °,下列方程组中符合题意的是 （ ）A ． ⎩⎨⎧-==+30180y x y x B ．⎩⎨⎧+==+30180y x y x C ． ⎩⎨⎧+==+3090y x y x D ． ⎩⎨⎧-==+3090y x y x 4．（连云港）若⎩⎨⎧==12y x ，是二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2523by ax by ax ，的解，则a ＋2b 的值为 .【例3】解方程组⎩⎨⎧=+=+17537y x y x【解法辅导】当二元一次方程组的一个方程中，有一个未知数的系数为1或－1时，可选用带入法解此方程，此例中①变形得y ＝7－x ③,将③带入②可消去y ,从而求解.解：由①得，y ＝7－x ③将③带入②，得 3x ＋5(7－x )＝17, 即35－2x ＝17 x ＝9 故此方程组的解是⎩⎨⎧-==29y x【变式题组】 1.解方程组：（南京）⑴⎩⎨⎧=+=-5242y x y x （海淀）⑵⎩⎨⎧=+-=-16214y x y x①②（花都）⑶⎩⎨⎧=+=-5242y x y x （朝阳）⑷⎩⎨⎧=+=-232553y x y x2．方程组⎩⎨⎧=-+=525y x y x 的解满足x ＋y ＋a ＝0,则a 的值为 （ ）A ．5B ．－5C ．3D ．－3 【例4】解方程组⎩⎨⎧=-=+115332y x y x【解法辅导】用加减法解二元一次方程组时，要注意选择适当的“元”来消去，原则上尽量选择系数绝对值较小的未知数消去，特别是如果两个方程中系数绝对值的比为整数时，就选择该未知数为宜，若两系数符号相同，则相减，若系数符号相反，则相加.本题中，y 的系数绝对值之比为5：1＝5，因此可以将①×5，然后再与②相家，即可消去y.解：①×5得，y ＝7－x ③③＋②,得 ，13x ＝26 ∴x ＝2 将x ＝2代入①得 y ＝－1 ∴此方程组的解是⎩⎨⎧-==12y x .【变式题组】01．(广州)以⎩⎨⎧-==11y x 为解的二元一次方程组是 （ ）A ．⎩⎨⎧=-=+10y x y x B ．⎩⎨⎧-=-=+10y x y x C ．⎩⎨⎧=-=+2y x y x D ．⎩⎨⎧-=-=+20y x y x02．解下列方程组：（日照）⑴⎩⎨⎧=-=-138332y x y x （宿迁）⑵⎩⎨⎧=+-=-1223532y x y x03．（临汾）已知方程组⎩⎨⎧=+=-24by ax by ax 的解为⎩⎨⎧==12y x ，则2a －3b 的值为 （ ）A ．4B ．6C ．－6D ．－4 04．已知⎩⎨⎧=+=+6252y x y x ，那么x －y 的值为 ，x ＋y 的值为 .①②①②【例5】已知二元一次方程组⎩⎨⎧+=-+=+243412223k y x k y x 的解满足x ＋y ＝6,求k 的值.【解法辅导】此题有两种解法，一中是由已给的方程组消去k 而得一个二元一次方程，此方程与x ＋y ＝6联立，求得x 、y 的值，从而代入①或②可求得k 的值；另一种是直接由方程组解出x 、y ，其中x 、y 含有k ,即用含k 的代数式分别表示x 、y ，再代入x ＋y ＝6得以k 为未知数的一元一次方程，继而求k 的值.解：①×2，得， 6x ＋4y ＝4k ＋24 ③ ③－②,得 2x ＋7y ＝22 ④ 由x ＋y ＝6，得2x ＋2y ＝12 ⑤，⑤－④,得 －5y ＝－10 ∴y ＝2 将y ＝2代入x ＋y ＝6得 x ＝4 将⎩⎨⎧==24y x 带入①得 3×4＋2×2＝2k ＋12 ∴k ＝2. 【变式题组】 01．已知⑴⎩⎨⎧-=-=+2513n ny x ny mx 与⑵⎩⎨⎧=+=-82463y x y x 有相同的解，则m ＝ ,n ＝ .02．方程组⎩⎨⎧=-+=525y x y x 的解满足方程x ＋y －a ＝0, 那么a 的值为 （ ）A ．5B ．－5C ．3D ．－3 03．已知方程组⎩⎨⎧+=+=+33223k y x ky x 的解x 与y 的和为8，求k 的值.【例6】解方程组⎩⎨⎧=--+=-++12)(5)3(316)(3)3(4y x y x y x y x【解法辅导】观察发现：整个方程组中具有两类代数式，即（x ＋3y ）和（x －y ）,如果我们将这两类代数式整体不拆开，而分别当作两个新的未知数，求解则将会大大减少运算量，当分别求出x ＋3y 和x －y 的值后，再组成新的方程组可求出x 、y 的值，此种方法称为换元法.解：设x ＋3y ＝a , x －y ＝b , 则原方程组可变形为⎩⎨⎧=-=+12531634b a b a ①②①② ③ ④③×3，得 12a ＋9b ＝12 ⑤ ④×4, 得 12a －20b ＝48 ⑥－⑤,得 29b ＝0,∴b ＝0 将b ＝0代入③，得 a ＝4 ∴可得方程组⎩⎨⎧=-=+043y x y x 故原方程组的解为⎩⎨⎧==11y x .【变式题组】 01．解下列方程组：⑴⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++2)(5)(4632y x y x y x y x ⑵（湖北十堰）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+5791034yxyx02．（淄博）若方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解是⎩⎨⎧==2.13.8b a ，则方程组⎩⎨⎧=--+=--+9.30)1(5)2(313)1(3)2(4y x y x 的解是 （ ） A ． ⎩⎨⎧==2.23.6y x B ．⎩⎨⎧==2.13.8y x C ． ⎩⎨⎧==2.23.10y x D ． ⎩⎨⎧==2.03.10y x 03．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-+-0121221136211y x x x 【例7】（第二十届“华罗庚杯”香港中学邀请赛试题）已知：方程组⎩⎨⎧-=+-=+2242016y cx by ax 的解应为⎩⎨⎧-==108y x ，小明解此题时把c 抄错了，因此得到的解是⎩⎨⎧-==1312y x ，则a 2＋b 2＋c 2的值为 .【解法辅导】⎩⎨⎧-==108y x 是方程组的解，则将它代入原方程可得关于c 的方程，由题意分析可知：⎩⎨⎧-==1312y x 是方程ax ＋by ＝－16的解，由此可得关于a 、b 的又一个方程，由此三个方程可求得a 、b 、c 的值.① ②解：34 【变式题组】 01．方程组⎩⎨⎧=-=+472dy cx y ax 时，一学生把a 看错后得到⎩⎨⎧==15y x ，而正确的解是⎩⎨⎧-==13y x ，则a 、c 、d 的值是 （ ）A ．不能确定B ．a ＝3, c ＝1, d ＝1C ． c 、d 不能确定D ． a ＝3, c ＝2, d ＝ －202．甲、乙良人同解方程组⎩⎨⎧-=-=+232y Cx By Ax ，甲正确解得⎩⎨⎧-==11y x ，乙因抄错C ，解得⎩⎨⎧-==62y x ，求A 、B 、C 的值.演练巩固 反馈提高01．已知方程2x －3y ＝5,则用含x 的式子表示y 是 ，用含y 的式子表示x 是 . 02．(邯郸)已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+241by x by ax 的解，则a ＋b ＝ .03．若(x －y )2＋|5x －7y －2|＝0, 则x ＝ , y ＝ . 04．已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+147by x by ax 的解，则a －b 的值为 .05．若x 3m －n ＋y 2n －m＝－3是二元一次方程，则m ＝ ,n ＝ .06.关于x 的方程（m 2－4）x 2＋(m ＋2)x ＋(m ＋1)y ＝m ＋5, 当m ＝ 时，它是一元一次方程，当m ＝ 时，它是二元一次方程. 07．（苏州）方程组⎩⎨⎧=-=+574973y x y x 的解是 （ ）A ． ⎩⎨⎧=-=12y x B ．⎪⎩⎪⎨⎧=-=732y x C ． ⎪⎩⎪⎨⎧-==732y x D ． ⎪⎩⎪⎨⎧==732y x 08．（杭州）已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程2x －ay ＝3的一个解，那么a 的值是 （ ）A ．1B ．3C ．－3D ． －1 09．（苏州）方程组⎩⎨⎧=-=+521y x y x 的解是 （ ）A ． ⎩⎨⎧=-=21y xB ．⎩⎨⎧=-=32y x C ． ⎩⎨⎧==12y x D ． ⎩⎨⎧-==12y x 10．（山东）若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+ky x ky x 95的解也是二元一次方程3x ＋3y ＝6的解，则k 的值为 （ ） A ．－43 B ． 43 C ．34 D ．－ 34 11．（怀柔）已知方程组⎩⎨⎧=-=+42by ax by ax 的解为⎩⎨⎧==23y x ，求b a ba 22-+的值为多少？12.解方程组：⑴（滨州）⎩⎨⎧-=+=-22622y x y x ⑵（青岛）⎩⎨⎧=-=+41943y x y x⑶⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=--+5)32(5)3(186)3(7)32(6y x x y13．已知方程组⎩⎨⎧=--=+1653652y x y x 和方程组⎩⎨⎧-=+-=-84ay bx by ax 的解相同，求代数式3a ＋7b 的值.14． 已知方程组⎩⎨⎧+=+=+33223k y x ky x 的解x 与y 的和为8，求k 的值.15．（希望杯试题）m 为正整数，已知二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+023102y x y mx 有整数解，求m 2的值.培优升级 奥赛检测 01．当k 、b 为何值时，方程组⎩⎨⎧+-=+=2)13(x k y b kx y⑴有唯一一组解 ⑵无解 ⑶有无穷多组解02．.当k 、m 的取值符合条件 时，方程组⎩⎨⎧+-=+=4)12(x k y mkx y 至少有一组解.03．已知：m 是整数，方程组⎩⎨⎧=+=+266634my x y x 有整数解，求m 的值.04．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0, (xyz ≠0),则式子222222103225z y x z y x ---+的值等于 （ ）A ．－21 B ．－219 C ．－15 D ．－13 05．（信利杯赛题）已知：三个数a 、b 、c 满足b a ab +＝31，c a bc +＝41，a c ca +＝51，则cabc ab abc ++的值为 （ ） A ．61 B ．121 C ．152D ．20106． （广西赛题）已知：满足方程2x －3y ＋4m ＝11和3x ＋2y ＋5m ＝21的x 、y 满足x ＋3y＋7m ＝20,那么m 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．307．（广西赛题）若|a ＋b ＋1|与（a －b ＋1）2互为相反数，则a 与b 的大小关系是 （ ）A ．a ＞bB ．a ＝bC ．a ＜bD ．a≥b08.（全国竞赛湖北赛区试题）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+612y x y x 的解的组数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．409．对任意实数x 、y 定义运算x ※y ＝ax ＋by ，其中a 、b 为常数，符号右边的运算是通常意义的加乘运算，已知1※2＝5且2※3＝8，则4※5的值为 （ ） A ．20 B ．18 C ．16 D ．14①②10．(华杯赛题）当m＝－5,－4,－3,－1,0,1,3,23,124,1000时，从等式（2m＋1）x＋(2－3m)y ＋1－5m＝0可以得到10个关于x和y的二元一次方程，问这10个方程有无公共解？若有，求出这些公共解.11．下列的等式成立：x1x2＝x2x3＝x3x4＝… ＝x99·x100＝x100·x101＝x101·x1＝1,求x1，x2，…x100，x101的值.。
人教版七年级暑假班七年级同步第18讲：分式的乘除-教师版
本节教材是初中数学的重要内容之一．一方面，这是在学习了分式基本性质、分式的约分和因式分解的之后，进一步学习分式的乘除法；另一方面，又为学习分式加减法和分式方程等知识奠定了基础．因此，本节课起着承前启后的作用．一、分式的乘除：1.分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示A C ACB D BD⋅=．2.分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即n nnA AB B⎛⎫=⎪⎝⎭．【例1】计算：（1）2234a ba⋅；（2）223y xx y⋅．【难度】★【答案】（1）ab61；（2）y32．【解析】考察分式的乘法法则，注意先约分，后计算．分式的乘除知识结构知识精讲内容分析模块一：分式的乘法例题解析【例2】 计算：()()2332339y x x x y +-⋅-． 【难度】★【答案】()yx y x 362332+=+． 【解析】考察分式的乘法法则，注意先约分，后计算．【例3】 计算：（1）323⎛⎫⎪⎝⎭；（2）222x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）278；（2）244x y ．【解析】考察分式乘方的法则．【例4】 计算：422ab a b ⎛⎫⎪⎝⎭．【难度】★【答案】44ab ．【解析】442424=ab b b a b a a ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查分式的乘方法则的运用．【例5】 计算：242212x x x x -+⋅+-． 【难度】★★ 【答案】42--x ．【解析】()()()22221422=241212x x x x x x x x x x+-+-+⋅⋅=--+-+-． 【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．【例6】 计算：224422x xy y xx y x y-+⋅+-．【难度】★★ 【答案】yx xyx 222+-．【解析】()()222222442222222x y x x y x xy y x xx xy x y x y x y x y x y x y---+-⋅=⋅==+-+-++．【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．【例7】 计算：2422368()(4x xx y y x y⋅-⋅． 【难度】★★ 【答案】236yx -．【解析】242422222368368()()3644x x x y x xx y x y y x y y x y⋅⋅⋅-⋅=-=-⋅． 【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．【例8】 计算：32422329yz xz x x y yz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅-⋅ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★★【答案】3432x z y -．【解析】324236224343244323481298812yz xz x y z x z x x z x y yz x y y z y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅-⋅=-⋅⋅=- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结】本题主要考查分式的乘方法则的运用．【例9】 计算：当99a =时，()221121614a a a-⋅-+的值是多少？【难度】★★★【答案】10750【解析】∵()()()()()()221111112161428128a a a a a a a a a +-⋅=+-⋅=-++-+，∴当99a =时，原式=()107508992199=+⨯+．【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．一、分式的除法法则：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用公式表示为A C A D ADB D BC BC ÷=⋅=．【例10】 计算：（1）25103m m n n -⎛⎫÷⎪⎝⎭；（2）2236102y y x x÷；（3）2222()()64y y x x÷-．【难度】★ 【答案】（1）m 23-；（2）y x 10；（3）2294yx ．【解析】主要考察分式的除法法则的运用．【例11】 计算：（1）211231x x x x x ++÷+--；（2）222222242a b a b a ab b ab a b--÷-+-； （3）221()1+1x x x -÷+． 【难度】★【答案】（1）31+x ；（2）(2)()ab a b b a +-；（3）142-x ．【解析】（1）()()2111112313113x x x x x x x x x x x +++-÷=⋅=+--+-++；（2）()()()()2222222242222(2)()ab b a a b a b a b aba ab b ab a b a b a b a b b a a b ----÷=⋅=-+-+-+--； （3）()()()222214144()1+111111x x x x x x x x x -+÷=⋅==+-+--+． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．模块二：分式的除法知识精讲例题解析【例12】 代数式211x xx x +÷--有意义，则x 的取值范围是（ ）． A 、1x ≠B 、10x x ≠≠且C 、21x x ≠-≠且D 、20x x ≠-≠且【难度】★ 【答案】B【解析】考察分式有意义的条件分母不为0．【例13】 计算：34222a ab a b c ac ⎛⎫⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【难度】★★ 【答案】()()47b a b a ca -+-．【解析】()()()()()34332224474443a ab a ab a b ac a cc ac c a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+-÷=-⋅=- ⎪ ⎪--+-+-⎝⎭⎝⎭． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．【例14】 计算：22222662x x x x x x x x --+-÷--+-．【难度】★★【答案】9122--x x ．【解析】()()()()()()()()()()()()222222212111261623232339x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+---+--÷=⋅==--+--++--+-．【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．【例15】 计算：222221211(()22x x x x x x x x --+÷÷---+． 【难度】★★ 【答案】xx -22．【解析】原式()()()()()222222121211x x x x x x x --=⋅⋅+-+-22x x=-． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．【例16】 求值：已知6,2a b ab +==-，求代数式()()224466a b a b a b ab+-÷÷-的值．【难度】★★★ 【答案】-2【解析】()()224466a b a b a b ab+-÷÷-()()()()()()6612222b a ab b a b a ab b a b a b a +=-⋅+⋅+-+=已知62a b ab +==-，，∴原式=2662-=⨯-． 【总结】本题一方面考查分式的除法的运算，另一方面考查整体代入思想的运用．一、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算． 【注意】1、在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算．2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．模块三：分式的乘除混合运算知识精讲【例17】 桶中装有液状纯农药a 升，刚好一满桶，第一次倒出8升后用水加满，第二次倒出混合药4升，则这4升混合药液中的含药量为（ ）升． A 、32aB 、4(8)a a -C 、24(8)a a - D 、48a - 【难度】★ 【答案】B【解析】这4升混合药液中的含药量百分比为aa 8-． 【总结】本题主要考查了学生对含药量的理解．【例18】 大拖拉机m 天耕地a 公顷，小拖拉机n 天耕地b 公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率（ ）倍． A 、a b B 、nmC 、anbmD 、ab mn【难度】★【答案】C【解析】bmann b m a =÷．【总结】本题主要考查分式的除法的运用．【例19】 在下列各式中：①222()mn a b -；②42528m n an a b bm -⋅；③2222()()m nb ab a-⋅；④2322mn a ab m ÷， 相等的两个式子是（ ）．A 、①②B 、①③C 、②③D 、③④【难度】★ 【答案】B【解析】①22224224(mn m n a b a b -=；②4223524288m n an m n a b bm a b-⋅=-；③2222222224242244(()m nb m n b m n ab a a b a a b -⋅=⋅=； ④2322222342222mn a mn m m n ab m ab a a b÷=⋅=．【总结】本题主要考查分式的乘除运算，在计算时要注意法则的准确运用．例题解析【例20】 下列各式计算正确的是（）． A 、1x y x y÷⋅=B 、1x y x y ⋅÷⋅=C 、21111x x x÷⋅=D 、211x x x÷÷= 【难度】★★ 【答案】C【解析】A 正确答案为211x xx y y y y y÷⋅=⋅=； B 正确答案为2x y x y y y y ⋅÷⋅=⋅=；D 正确答案为2221x x x x x x x÷÷=⋅÷=．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一定要注意运算顺序．【例21】 计算：31a a a÷⋅． 【难度】★★ 【答案】a ． 【解析】3211a a a a a a÷⋅=⋅=． 【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一定要注意运算顺序．【例22】 计算：()234a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-⋅-÷- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★【答案】6b a．【解析】()2323423461a a a a a a b b b b b a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-÷-=⋅-⋅-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一定要注意运算顺序．【例23】 计算：22222222222()()x y x xy y x xy xzx y z x y z x xy-+++-÷⋅-----． 【难度】★★【答案】x y zx y--+．【解析】22222222222()()x y x xy y x xy xzx y z x y z x xy -+++-÷⋅-----()()()()()()()()()2x y x y x y x x y z x y z x y z x y z x y z x x y -+++-=÷⋅-++----+-()()()()()()()()()2x y x y x y z x y z x x y z x y z x y z x x y x y -+---++-=⨯⋅-++--+ x y zx y--=+． 【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一要注意运算顺序，二要注意先约分后化简．【例24】 若1x x=，求234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭的值． 【难度】★★★ 【答案】1±【解析】234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭=()34334x x x x x x x -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪+-⎝⎭1x=． ∵1x x=， ∴1±=x ． ∴1=±原式． 【总结】本题是分式乘除的混合运算，在计算时注意法则的准确运用．【例25】 先化简，后求值：222221221()214841x x x x x x x --÷⋅++++-，其中13x =．【难度】★★★【答案】29．【解析】原式()()()()()()222112111()1141x x x x x x x +-+-=÷⋅-++()()()()()()22211411()21111x x x x x x x +-+=⋅⋅+--+()221x =-．当31=x 时，原式=22912(1)3=-． 【总结】本题是分式乘除的混合运算，在计算时注意法则的准确运用．【例26】 已知a ，b ，x ，y 是有理数，且2()0x a y b -++=，求代数式2222a ay bxb a ax by b x y a b+-+++-÷++的值．【难度】★★★【答案】21【解析】由题意有：a x =，b y -=． 原式()222222a a b ba b a a b b a ba b +⋅--++--=÷-+()()2222a b a b a ba b a b a b+--+=÷-+ ()()()22a b a b a ba b a b -+=⋅-+-12=．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在计算时注意法则的准确运用，另外还要注意几个非 负数的和为零时，则每个非负数都为零．【习题1】 下列计算中，错误的是（）．A 、332628y y x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭B 、2362441639b b c c ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ C 、22222x y x y x y x y ⎛⎫--=⎪++⎝⎭D 、22436n nn b b a a⎛⎫= ⎪-⎝⎭【难度】★ 【答案】C【解析】正确答案为2222222x y x y xyx y x y xy ⎛⎫-+-= ⎪+++⎝⎭． 【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用．【习题2】 计算：2361053x y y x-⋅． 【难度】★【答案】24xy-．【解析】考察分式的乘法法则，先约分后计算．【习题3】 下列运算中正确的是（ ）．A 、m n m m ÷⋅=B 、1m n m n÷⋅=C 、11m m m÷⋅=D 、n m m n ÷⋅=【难度】★ 【答案】D【解析】A 正确答案为2m m m n m m n n÷⋅=⋅= ；B 正确答案为211m mm n n n n n ÷⋅=⋅= ；C 正确答案为1111m m m m m m m÷⋅=⋅⋅=．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．随堂检测【习题4】 计算：（1）3222x x y y ⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）223328ab a bc cd-÷．【难度】★【答案】（1）y x 4；（2）234acbd-． 【解析】（1）322644232x x x y x y y y y x ⎛⎫⎛⎫-÷=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）222332238428233ab a b ab cd bdc cd c a b ac -÷=⨯=--． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．【习题5】 计算：（1）222222105x y a ba b x y +⋅-；（2）24334x x x x x -+⋅+-． 【难度】★ 【答案】（1）yx -4；（2）x ． 【解析】（1）()()()2222222221010455x y x y a b a b a b x y a b x y x y x y++⋅=⋅=-+--；（2）()244333434x x x x x x x x x x x --++⋅=⋅=+-+-．【总结】本题主要考查分式乘法法则的运用，在计算时要要注意先约分，后计算．【习题6】 计算：（1）；（2）45a b a a b a -⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★ 【答案】（1）122--a a ；（2）a b a-．【解析】（1）()()()()()()()()1211221331222333442222--=+--=++-⋅---+=++-⋅+--a a a a a a a a a a a a a a a a a a ；（2）()()445554a b a b a a a a b a a b a b a --⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭-． 【总结】本题主要考查分式乘法法则的运用，在计算时要要注意先约分，后计算．222434332a a a a a a --⋅-+++【习题7】 计算：11x y y y⋅÷⋅． 【难度】★★ 【答案】xy ． 【解析】111x y x y y xy y y y⋅÷⋅=⋅⋅⋅=． 【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题8】 计算：22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-．【难度】★★ 【答案】2 【解析】原式()()()2233(2)1(2)332x x x x x x x -+-=⋅⋅⋅-+--2=．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题9】 计算： 22222444121112x x x x x x x x x x +-+--⋅÷⋅-++--． 【难度】★★ 【答案】1【解析】22222444121112x x x x x x x x x x +-+--⋅÷⋅-++--()()()()()()222222111121x x x x x x x x x x --++-=⋅÷⋅++---()()()()()()222112112221x x x x x x x x x x -+-+-=⋅⋅⋅+-+--1=．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题10】 计算：若代数式1324x x x x ++÷++有意义，则x 的取值范围是_______． 【难度】★★【答案】2-≠x 且3-≠x 且4-≠x ． 【解析】考察分式有意义的条件【习题11】 计算：2111a b c d b c d÷÷÷⨯÷⨯．【难度】★★★【答案】222dc a ．【解析】2222211111111a a b c d a b b c d b c c d d c d ÷÷÷⨯÷⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题12】 已知x 为整数，且分式2221x x +-的值为整数，则x 可取的值有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【难度】★★★ 【答案】D 【解析】∵()()()2212221111x x x x x x ++==-+--， ∴要使分式值为整数，则11111212x x x x -=-=--=-=-或或或，∴x 的值为2，0，3，-1．【总结】本题主要考查分式值为整数的条件．【习题13】 已知2320x x --=，那么代数式()32111x x x --+-.的值是____________． 【难度】★★★ 【答案】2 【解析】()()()()()()3322211111113211x x x x x x x x x x x --+--+-==--+=-=--．【总结】本题一方面考查分式的化简，另一方面考查整体代入思想的运用．【习题14】 计算：已知234a b c==，求22a ab ac a b c a b c --⋅---+的值． 【难度】★★★【答案】34【解析】设k a 2=，k b 3=，k c 4=．则()22222242343a a b c a ab ac a k a b c a b c a b c a b c a b c k k k ----⋅⋅=⋅===---+---+-+-+．【总结】本题主要是考查利用设k 法求分式的值．【习题15】 阅读理解：符号“a cb d ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ac bd=ad bc -，例如32 54的计算方法为32 54=342512102⨯-⨯=-=.请根据阅读理解，化简下面的二阶行列式：1aaa-211a -．【难度】★★★ 【答案】a a 22+．【解析】1aa a-211a -()()a aa a a aa a a 211122+=++=-⋅--=．【总结】本题属于阅读理解题，计算时要注意对法则的正确理解和运用．【作业1】 下列各式计算正确的是（）． A 、222a ab b a b b a-+=--B 、2232()x xy y x y x y ++=++C 、23546x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭D 、11x y x y-=-+- 【难度】★ 【答案】D【解析】A 正确答案为()()2222a b a ab b a b b a a b --+==-+--- ；B 正确答案为()2223321()()x y x xy y x y x y x y+++==+++；C 正确答案为23648x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查分式的化简和分式乘法法则的运用．【作业2】计算：（1）232384xx y y⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭；（2）2221x x xx x +⋅-． 【难度】★【答案】（1）y x 36-；（2）11-x ． 【解析】（1）原式36x y =-；（2）原式2(1)(1)(1)x x x x x x +=⋅-+11x =-． 【总结】考察分式乘法的运算法则，注意先约分后计算．【作业3】 计算：（1）28123aba b x ÷ ；（2）2222111x x x x x x-+-÷-+． 【难度】★【答案】（1）ax92；（2）x ． 【解析】（1）2288121233129ab ab a b x x a b ax ÷=⋅=； （2）原式2(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x -+=⋅=+-- 【总结】考察分式乘法的运算法则，注意先约分后计算．课后作业【作业4】 计算：（1）()()222211x xy x yx x x x -+⋅--；（2）222()a b ab b ab b a b ⎡⎤++÷-⎢⎥--⎣⎦．【难度】★★ 【答案】（1）x y；（2）2bb a --． 【解析】（1）()()()()()()()222221111111x x xy x xy x yy x xx x x x x x x x --++⋅=⋅=-+---；（2）()()22222()()a b ab b a b a b a bab b a b b a b b a b b ⎡⎤⎡⎤+++--÷-=⋅-=-⎢⎥⎢---+⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【作业5】 计算：()()422222a a b a a b b b aa b +-÷⋅-．【难度】★★ 【答案】ba b -4．【解析】()()()()()()24222224222a a b a a b a b a a b b b b b b a a a b a a b a b a b +-+-÷⋅=⋅⋅=+---． 【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【作业6】 若某分式乘以2m m -所得的积为214m -，求这个分式．【难度】★★【答案】212m m +．【解析】()()()2211211422222m m m m m m m m m m m -÷=⋅==--+-++． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，注意对题意的理解．【作业7】 先化简后求值：()()()22515a a a a a a-+÷+-，其中13a =-．【难度】★★ 【答案】9 【解析】()()()22515a a a a a a-+÷+-()()()()51151a a a a a a -+=⨯-+21a =．当31-=a 时，原式=9．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【作业8】 阅读理解：计算1(2)2x x x ÷-⋅-时，小虎给出了他的解答过程如下：解：12(2)122x x x x x x x x -÷-⋅=÷=÷=--. 试说明小虎的求解过程是否正确？如果不正确，请你指出错误之处，并写出你认为正确的解答过程． 【难度】★★★【答案】不正确．运算顺序有错误．正确解答过程如下： ()2111(2)2222x x x x x x x x ÷-⋅=⋅⋅=----． 【解析】注意运算顺序是按照从左到右的顺序计算．【作业9】 先化简，再求值：22214121(1)a a a a a --⋅÷+-+，其中21a a =-． 【难度】★★★ 【答案】-1【解析】22214121(1)a a a a a --⋅÷+-+()()()()2221(1)211a a a a a a a -+-=⋅⋅++-+()()21a a =-+ 22a a =--．∵21a a =-， ∴21a a -=-．∴原式123=--=-．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查整体代入思想的运用．【作业10】 甲、乙两种茶叶，以:x y （重量比）相混合制成一种混合茶．甲种茶叶的价格每500克50元，乙种茶叶的价格每500克40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶的价格不变，求:x y 的比值． 【难度】★★★【答案】54【解析】()()yx yx y x y x +-++=++％％10140101504050 y x y x 36554050+=+ y x 45=54:=y x ． 【总结】本题主要是对之前所学知识的一个综合运用，注意解题方法的选择．。
初中数学培优竞赛讲座第18讲__乘法公式
初中数学培优竞赛讲座第18讲__乘法公式乘法公式是初中数学中非常重要的一个概念，它在解决很多数学问题中起着关键的作用。
本次讲座将详细介绍乘法公式的概念、应用以及相关的解题技巧。
一、乘法公式的概念在初中数学中，我们通常将两个数的乘积称为乘法。
而乘法公式则是指对特定形式的乘法运算提出的一种常用的计算方法。
常见的乘法公式有两个，即分配率和乘方公式。
1.1分配率分配率是指对于两个数a、b和一个数c来说，a与(b+c)的乘积等于a与b的乘积加上a与c的乘积。
数学表达式为：a×(b+c)=a×b+a×c。
分配率的应用非常广泛，常见的运用场景有列式展开、计算面积和周长等。
在列式展开中，我们可以根据分配率将一个较为复杂的数学表达式，通过拆分成多个简单的乘法运算来计算。
例如，(2x+3)×4x=2x×4x+3×4x=8x²+12x。
1.2乘方公式乘方公式也是乘法公式的一种，它是指一个数a的n次方等于a连乘n次的乘积。
数学表达式为：a^n=a×a×…×a(共n个a)。
乘方公式的应用也非常广泛，尤其在解决求幂问题时经常使用。
通过运用乘方公式，我们可以将复杂的指数运算转化成简单的乘法运算。
例如，2的3次方等于2×2×2=8二、乘法公式的应用乘法公式在实际应用中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的乘法公式应用场景。
2.1代数式展开在代数式展开中，我们经常需要将一个括号内含有多个项的式子，根据分配率拆分成多个简单的乘法运算。
通过这种方式，我们可以更方便地计算其值。
例如，(2x+3)×(4x+5)=2x×4x+2x×5+3×4x+3×5=8x²+10x+12x+15=8x²+22x+152.2计算面积和周长在计算面积和周长时，我们通常需要根据给定的条件，运用分配率进行计算。
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七数培优竞赛讲座第18讲乘法公式
乘法公式是数学中一种重要的运算法则，它能够帮助我们计算两个或
多个数的乘积。
在数学的学习过程中，乘法公式是一个非常基础和必须掌
握的知识点。
掌握了乘法公式，能够帮助我们更好地解决数学题目，提高
计算能力。
在初等数学中，我们学过了乘法公式的一些基本形式，如乘法分配律、乘法交换律、乘法结合律等。
乘法分配律告诉我们，当一个数与两个数的
和相乘时，可以先分别将这个数与两个加数相乘，然后将乘积相加。
乘法
交换律告诉我们，两个数的乘积与这两个数的顺序无关，即a*b=b*a。
乘
法结合律告诉我们，三个或三个以上数相乘时，可以先将其中两个数相乘，然后再将积与第三个数相乘，逐次进行下去，结果不变。
这些乘法公式在解决数学题目时经常用到。
比如，在进行代数运算时，我们常常需要使用乘法分配律将一个代数式分解成两个因子的和的形式；
在计算乘方时，也要使用乘法结合律将多个相同的因子相乘。
此外，在解
决实际问题时，也常常需要使用乘法公式。
例如，在计算商品的总价格时，我们需要将商品的单价与数量相乘；在计算面积和体积时，我们需要将各
个边长相乘。
在乘法公式的运用中，还有一些常见的小技巧可以帮助我们更快地进
行计算。
比如，当计算一个数与10的倍数相乘时，我们可以利用移位法，将这个数的位数向左移动相应的倍数；当计算一个数与11的倍数相乘时，我们可以利用11的特殊性质，将这个数的各个位上的数字相加，并在相
加的过程中保留进位，最终得到的数字就是乘积。
此外，在乘法题目中，我们还常常遇到一些特殊的乘法公式，如差的平方公式、和的平方公式等。
这些特殊的乘法公式在解决数学题目时能够帮助我们简化计算步骤，节省时间。
总之，乘法公式是数学中重要的基础知识，不仅在学习中起着重要的作用，而且在实际生活中也有广泛的应用。
掌握乘法公式，能够提高我们的计算能力，更好地解决数学题目。
因此，在学习数学过程中，我们要重视对乘法公式的学习，不断巩固和运用，提高自己的数学水平。