集合、方程与不等式测试题
新高一暑期成果验收卷(测试范围：集合、常用逻辑用语、不等式)解析版
新高一暑期成果验收卷满分：150分测试范围：集合、常用逻辑用语、不等式一．选择题（共8小题）1．下列能构成集合的是()A．深圳大学所有高水平的教授B．深圳市所有跑得快的跑车C．2022届深圳市所有的高一新生D．数学必修（一)所有的简单题【分析】根据已知条件，结合集合的定义，即可求解．【解答】解：深圳大学所有高水平的教授中的高水平没有一个标准，故A错误，深圳市所有跑得快的跑车中的快没有一个标准，故B错误，2022届深圳市所有的高一新生符合集合的定义，故C正确，数学必修（一)所有的简单题中简单没有开一个标准，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查集合的定义，属于基础题．2．不等式2320−+−<的解集为()x xA．{|2<<D．{|21}x x−<<−x xx x<或2}x x<−或1}x>−B．{|1x>C．{|12}【分析】把不等式化为2320x x−+>，求出解集即可．【解答】解：不等式2320−+>，x xx x−+−<可化为2320即(1)(2)0x x−−>，解得1x>，x<或2所以不等式的解集为{|1x>．x x<或2}故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．3．已知集合{|42}M x x =−<<，{2N −，1−，0，1，2，3，4}，则(M N = )A ．{2−，1−，0，1，2}B ．{2−，1−，0，1，4}C ．{2−，1−，0，1}D ．{1−，0，1}【分析】利用集合交集的定义求解即可．【解答】解：因为{|42}M x x =−<<，{2N −，1−，0，1，2，3，4}，所以{2M N − ，1−，0，1}．故选：C ．【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．4．已知全集U ，集合A B ⊆，那么下列等式错误的是( )A ．AB A = B ．U A A =∅C ．U B A B =D ．A B B = 【分析】利用交集、并集、补集定义直接求解．【解答】解：全集U ，集合A B ⊆，对于A ，A B A = ，故A 正确；对于B ，U A A =∅ ，故B 正确；对于C ，U B A B ≠ ，故C 错误；对于D ，A B B = ，故D 正确．故选：C ．【点评】本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．命题“0x ∀>，2230x x +−>”的否定是( )A ．0x ∃>，2230x x +−<B ．0x ∃>，2230x x +−C ．0x ∃<，2230x x +−<D ．0x ∃ ，2230x x +−【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：0x ∃>，2230x x +− ，故选：B ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．6．定义：对任意m ，(n A m ∈，n A ∈可以相等），都有10mn +≠，则集合|,,1m n B x x m n A mn + ==∈ +称为集合A 的“生根发芽集”．若集合{A a =，2}，A 的“生根发芽集”为B ，B 的子集为4，得出实数a 的值为( )A ．0或1−或12B ．1或1−或12C ．0或1−或12−D ．12或12− 【分析】根据已知条件，结合“生根发芽集”的定义，推出24251a a =+或222112a a a a +=++或24125a a +=+，即可求解． 【解答】解：当2m n ==时，2241225x +=+×， 当m n a ==时，22211a a a x a a +=++， 当2m =，n a =或m a =，2n =时，212a x a +=+， B 的子集个数为4个，则B 中有2个元素， 所以24251a a =+或222112a a a a +=++或24125a a +=+，解得1a =或1a =−或12a =． 故选：B ．【点评】本题主要考查子集的定义，属于基础题．7．已知x ，y 为正实数，则162y x x x y++的最小值为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【分析】由已知先进行合理的换元变形，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为x ，y 为正实数，令y t x=，则0t >，所以1616161622262222y x y t t y x x y x t t x+=+=+=++−−=++++ ，当且仅当1622t t +=+，即2t =时取等号， 此时上式取得最小值6．故选：A ．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，要注意应用条件的配凑，属于基础题．8．若关于x 的不等式26110x x a −+−<在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,)−+∞B ．(3,)+∞C ．(6,)+∞D ．(2,)+∞【分析】由关于x 的不等式26110x x a −+−<在区间(2,5)内有解可得2611a x x >−+在区间(2,5)内有解，从而a 大于2611x x −+在区间(2,5)的最小值，结合二次函数的性质即可得出结果．【解答】解：由关于x 的不等式26110x x a −+−<在区间(2,5)内有解，得2611a x x >−+在区间(2,5)内有解， 令2()611f x x x =−+，则()min a f x f >=（3）918112=−+=，即2a >，所以实数a 的取值范围是(2,)+∞．故选：D ．【点评】本题考查含参数的一元二次不等式存在性命题，涉及二次函数图象与性质；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．二．多选题（共3小题）9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是( )A ．若a b >，c d >，则a d b c −>−B ．若a b >，c d >，则ac bd >C ．若0ab >，0bc ad −>，则c d a b >D ．若a b >，0c d >>，则a b d c> 【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若a b >，c d >，则d c −>−，则有a d b c −>−，A 正确；对于B ，当2a =，1b =，1c =−，2d =−时，ac bd =，B 错误；对于C ，若0ab >，0bc ad −>，则0bc ad ab ab −>，即0c d a b −>，则有c d a b>，C 正确； 对于D ，当1a =−，2b =−，2c =，1d =时，1a b d c==−，D 错误； 故选：AC ．【点评】本题考查不等式的性质以及应用，注意不等式成立的条件，属于基础题．10．若“x k <或3x k >+”是“41x −<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是( )A ．8−B ．5−C ．1D ．4【分析】依题意，可得34k +− 或1k ，解之可得k 的取值范围，观察各个选项可得答案．【解答】解： “x k <或3x k >+”是“41x −<<”的必要不充分条件，34k ∴+− 或1k ，即7k − 或1k ，故选：ACD ．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的概念及应用，考查运算求解能力，属于基础题．11．若“x M ∀∈，2x x >”为真命题，“x M ∃∈，3x >”为假命题，则集合M 可以是( )A ．{|3}x x <B ．{|31}x x −<−C ．{|3}x x >D ．23x【分析】由题意得“x M ∀∈，2x x >”为真命题，“x M ∀∈，3x 为真命题，分别求出相应的范围后，结合集合的交集运算即可求解．【解答】解：因为“x M ∀∈，2x x >”为真命题，所以1x >或0x <，“x M ∃∈，3x >”为假命题，即“x M ∀∈，3x 为真命题，所以13x < 或0x <，则集合M 可以是BD ．故选：BD ．【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系即可求解．三．填空题（共3小题）12．设3{1∈，a ，26}a −，则a = 3− ．【分析】根据集合元素的特性进行判断即可．【解答】解：3{1∈ ，a ，26}a −，∴2363a a = −≠ 或2363a a ≠ −=， 解得3a =−，故答案为：3−．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．13．已知20x y >>，222321x xy y −−=，则223x y x y ω+=+． 【分析】由题意可得(2)2)3x y y x y +−=+，可设2u x y =+，2v x y =−，则1uv =，30u v x y −=+>，22225()u v x y +=+，则222235()52()x y u v x y u v u v u vω+−===++−+−，运用基本不等式，即可得到所求最大值． 【解答】解：20x y >>，222321x xy y −−=，可得(2)(2)3x y x y x y +−−=+，可设2u x y =+，2v x y =−，则1uv =，30u v x y −=+>，22225()u v x y +=+，则222235()x y u v x y u v ω+−==++25()52()2()u v u v uv u v u v−=−+−+−=，当且仅当u v −，ω取得最大值4，． 【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查变形能力和运算能力，属于中档题．14．已知存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x −−>”的充分条件，则p 的取值范围是 [4，)+∞ ．【分析】分别解出两个关于x 的不等式，再根据充分条件的概念，可得14p −− ，解之即可． 【解答】解：由40x p +<，知4p x <−， 由220x x −−>，知1x <−或2x >，因为“40x p +<”是“220x x −−>”的充分条件， 所以14p −− ，解得4p ， 所以p 的取值范围是[4，)+∞．故答案为：[4，)+∞．【点评】本题考查充分条件的判断，不等式的解法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．四．解答题（共5小题）15．若集合243{(,)|}0y kx x A x y y =−+= = 有且只有一个元素．（1）试求出实数k 的值；（2）用列举法表示集合A ．【分析】（1）根据已知条件，分0k =，0k ≠两种情况讨论，并结合二次函数的判别式，即可求解．（2）根据（1）的结论，分0k =，43k =两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：（1）当0k =时，方程组2430y kx x y =−+ =，只有一个解，符合题意， 当0k ≠时，要使集合A 有且只有一个元素，则方程2430kx x −+=，△16120k =−=，解得43k =． （2）由（1）可得，0k =或43k =， 当0k =时，原方程组转化为430y x y =−+ = ，解得340x y = = ，即3{(4A =，0)}， 当43k =时，原方程组转化为244330y x x y =−+ = ，解得320x y = = ，即3{(2A =，0)}， 综上所述，A 的集合为3{(4，0)，3(,0)}2． 【点评】本题主要考查集合的表示法，考查转化能力，属于基础题．16．已知集合{|37}A x x =< ，2{|12200}Bx x x =−+<．求： （1）A B ，A B ；（2）()R A B ，R A B ．【分析】进行交集、并集和补集的运算即可．【解答】解：（1）{|210}B x x =<<，{|37}A B x x ∴=< ，{|210}A B x x =<< ，（2）{|3R A x x =< ，或7}x ，{|10R B x x = 或2}x ，(){|23R A B x x ∴=<< 或710}x < ，{|10R A B x x = 或2x 或37}x < ．【点评】本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、并集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．17．已知集合{|16}A x x =−<<，{|21}B x m x m =−<<+．（1）若B =∅，求实数m 的取值范围；（2）已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【分析】（1）利用空集的定义列出不等式求解即可．（2）先得到B A ，再分类讨论，分别列出不等式组求解即可．【解答】解：（1）若B =∅，则21m m −+ ，13m ∴− ， ∴实数m 的取值范围为(−∞，1]3−． （2）p 是q 的必要不充分条件，B A ∴ ，①若B =∅，则21m m −+ ，13m ∴， ②若B ≠∅，则211216m m m m −<+ −− +，113m ∴−< ， 综上，实数m 的取值范围为(−∞，1]．【点评】本题考查了空集的求法，充要条件的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知不等式2(2)0ax a x b −++>，a ，b R ∈．（1）若不等式的解集为{|1x x <或2}x >，求a b +的值；（2）若2b =，求该不等式的解集．【分析】（1）不等式的解可转化为方程2(2)0ax a x b −++=的两个根为1，2，由根与系数的关系求a ，b ；（2）由题意化简不等式(2)(1)0ax x −−>，再分类讨论求不等式的解集．【解答】解：（1） 不等式2(2)0ax a x b −++>的解集为{|1x x <或2}x >，1x ∴=和2x =是方程2(2)0ax a x b −++=的两个根， ∴21212a a b a + += ⋅=，解得1a =，2b =， 故3a b +=；（2）由题意，不等式可化为(2)(1)0ax x −−>， 当0a =时，不等式为220x −+>，解得1x <； 当0a ≠时，方程2(2)20ax a x −++=的两根分别为1，2a ， 当0a <时，21a <，故21x a<<； 当02a <<时，21a >，故1x <或2x a>； 当2a =时，21a=，故1x ≠； 当2a >时，21a <，故2x a <或1x >； 综上可知，当0a <时，不等式的解集为2|1x x a <<， 当0a =时，不等式的解集为{|1}x x <；当02a <<时，不等式的解集为2|1x x x a或， 当2a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠，当2a >时，不等式的解集为2|1x x x a或．【点评】本题考查了二次不等式及二次方程的性质应用，应用了转化思想与分类讨论思想，属于中档题．19．给定的正整数(2)n n ，若集合1{A a =，2a ， ，}n a M ⊆，且满足1212n n a a a a a a +++=⋅⋅…⋅ ，则称A 为集合M 的n 元“好集”．（1）写出一个实数集R 的2元“好集”； （2）证明：不存在自然数集N 的2元“好集”． 【分析】（1）根据新定义求解即可；（2）设1{A a =，2}a ，是自然数集N 上的一个2元“好集”，且12a a <，分类讨论即可证明． 【解答】解：（1）因为111122−+=−×，又11,2R−⊆， 所以11,2A=−是实数集R 的一个2元“好集”．（2）证明：设1{A a =，2}a ，是自然数集N 上的一个2元“好集”，不妨设12a a <， ①若10a =，则*2a N ∈，故1212a a a a +=×不成立；②若*1a N ∈，由1212a a a a +=⋅112212(1)a a a a a =⋅−=−， 所以1121aa a −=，因为*12,a a N ∈，且12a a <，所以1201a a <<，11a N −∈， 故1121aa a −=不成立，综上所述，自然集N 不存在2元“好集”． 【点评】本题考查元素与集合的关系，是基础题。
2020年中考数学总复习《方程(组)与不等式(组)》单元测试卷(Word版含答案)
2020年中考数学总复习《方程(组)与不等式(组)》单元测试卷(总分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知实数a ，b.若a ＞b ，则下列结论正确的是( )A ．a －5＜b －5B ．2＋a ＜2＋b C.a 3＜b3 D ．3a＞3b2．方程x ＋5＝3x ＋1的解是( )A ．x ＝2B ．x ＝－2C ．x ＝4D ．x ＝－4 3．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( )A ．(x ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＝0 D ．(x －1)2＝0 4．方程x －2＝x(x －2)的解是( )A ．x ＝1B ．x 1＝0，x 2＝2C ．x ＝2D ．x 1＝1，x 2＝2 5．分式方程1x ＝2x ＋3的解是( )A ．x ＝3B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－2 6．关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＞－1B ．k ≥－1C ．k ≠0D ．k ＞－1且k ≠0 7．一元二次方程3x 2－1＝2x ＋5两个实数根的和与积分别是( )A.32，－2 B ．－23，2 C.23，－2 D ．－32，2 8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1≥－3，x －2（x －3）＞0的最大整数解为( )A ．x ＝8B ．x ＝6C ．x ＝5D ．x ＝4 9．某班为奖励在校运动会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买了甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？若购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则列方程正确的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3012x ＋16y ＝400B⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3016x ＋12y ＝400 C.⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋16y ＝400x ＋y ＝400 D.⎩⎪⎨⎪⎧16x ＋12y ＝300x ＋y ＝400 10．用一条长40 cm 的绳子围成一个面积为64 cm 2的长方形．设长方形的长为x cm ，则可列方程为( )A ．x(20－x)＝64B ．x(20＋x)＝64C ．x(40－x)＝64D ．x(40＋x)＝64 二、填空题(每小题3分，共18分)11．已知关于x 的方程2x ＋a －5＝0的解是x ＝2，则a 的值为 ． 12．不等式2－2x ＜x －4的解集为 ．13．关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则另一个根为 ． 14．如果⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －3y ＝5，2x ＋by ＝2的解，那么a －b 的值为 ．15．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，则 2 020－a －b 的值是 ．16．暑假期间，几名同学共同租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每位同学少分摊3元，则原来旅游同学的人数为 ． 三、解答题(共52分)17．(6分)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝3，①x ＋2y ＝－2.②18．(6分)解方程：x 2＋1＝2(x ＋1)．19．(8分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＞3x －4，23－x ≥－13，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．20．(10分)为顺利通过“国家文明城市”验收，某市政府拟对城区部分路段的人行道路地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程的时间的2倍．若甲、乙两个工程队合作只需10天完成．(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？(2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元．请你设计一种方案，既能使工程按时完工，又能使工程费用最少．21．(10分)某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2 240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为了尽可能让利于顾客，赢利市场，该店应按原售价的几折出售？22．(12分)小明所在的学校为了加强学生体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买2个篮球和3个足球共需310元；购买5个篮球和2个足球共需500元．(1)每个篮球和足球各需多少元？(2)根据学校的实际情况，需从该商店一次性购买篮球和足球共60个，要求购买篮球和足球费用不超过4 000元，那么最多可以购买多少个篮球？23．(10分)李宁准备完成题目：解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，□x ＋y ＝－8，发现系数“□”印刷不清楚．(1)他把“□”猜成3，请你解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，3x ＋y ＝－8；(2)张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x ，y 是一对相反数．”通过计算说明原题中“□”是几？24.(10分)HW 公司2018年使用自主研发生产的“QL ”系列甲、乙、丙三类芯片共2 800万块，生产了2 800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL ”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%.(1)求2018年甲类芯片的产量；(2)HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．答案解析一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知实数a ，b.若a ＞b ，则下列结论正确的是(D)A ．a －5＜b －5B ．2＋a ＜2＋b C.a 3＜b3 D ．3a＞3b2．方程x ＋5＝3x ＋1的解是(A)A ．x ＝2B ．x ＝－2C ．x ＝4D ．x ＝－4 3．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为(B)A ．(x ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＝0 D ．(x －1)2＝0 4．方程x －2＝x(x －2)的解是(D)A ．x ＝1B ．x 1＝0，x 2＝2C ．x ＝2D ．x 1＝1，x 2＝2 5．分式方程1x ＝2x ＋3的解是(A)A ．x ＝3B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－2 6．关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是(D)A ．k ＞－1B ．k ≥－1C ．k ≠0D ．k ＞－1且k ≠07．一元二次方程3x 2－1＝2x ＋5两个实数根的和与积分别是(C)A.32，－2 B ．－23，2 C.23，－2 D ．－32，2 8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1≥－3，x －2（x －3）＞0的最大整数解为(C)A ．x ＝8B ．x ＝6C ．x ＝5D ．x ＝4 9．某班为奖励在校运动会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买了甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？若购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则列方程正确的是(B)A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3012x ＋16y ＝400B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3016x ＋12y ＝400C.⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋16y ＝400x ＋y ＝400D.⎩⎪⎨⎪⎧16x ＋12y ＝300x ＋y ＝400 10．用一条长40 cm 的绳子围成一个面积为64 cm 2的长方形．设长方形的长为x cm ，则可列方程为(A)A ．x(20－x)＝64B ．x(20＋x)＝64C ．x(40－x)＝64D ．x(40＋x)＝64二、填空题(每小题3分，共18分)11．已知关于x 的方程2x ＋a －5＝0的解是x ＝2，则a 的值为1． 12．不等式2－2x ＜x －4的解集为x ＞2．13．关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则另一个根为12．14．如果⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －3y ＝5，2x ＋by ＝2的解，那么a －b 的值为5．15．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，则2 020－a －b 的值是2__025．16．暑假期间，几名同学共同租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每位同学少分摊3元，则原来旅游同学的人数为8． 三、解答题(共52分)17．(6分)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝3，①x ＋2y ＝－2.②解：①－②×2，得 －7y ＝7，∴y ＝－1.③ 将③代入②，得x ＝0.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.18．(6分)解方程：x 2＋1＝2(x ＋1)．解：x 2－2x －1＝0. (x －1)2＝2.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.19．(8分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＞3x －4，23－x ≥－13，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 解：不等式组的解集为－32＜x ≤1.在数轴上表示不等式组的解集如图所示．20．(10分)为顺利通过“国家文明城市”验收，某市政府拟对城区部分路段的人行道路地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程的时间的2倍．若甲、乙两个工程队合作只需10天完成．(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？(2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元．请你设计一种方案，既能使工程按时完工，又能使工程费用最少．解：(1)设甲、乙工程队单独完成此项工程各需x 天，2x 天，根据题意，得 1x ＋12x ＝110. 解得x ＝15，2x ＝30.答：甲、乙工程队单独完成此项工程各需15天，30天． (2)分三种情况讨论：①甲单独做费用：4.5×15＝67.5(万元); ②乙单独做费用：2.5×30＝75(万元)；③甲、乙合作完成费用：(4.5＋2.5)×10＝70(万元)． ∵75＞70＞67.5,∴甲工程队单独做既能使工程按时完工，又能使工程费用最小，为67.5万元．21．(10分)某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2 240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为了尽可能让利于顾客，赢利市场，该店应按原售价的几折出售？解：(1)设每千克核桃应降价x 元，依题意，得 (60－40－x)(100＋x2·20)＝2 240，解得x ＝4或x ＝6.答：每千克核桃应降价4元或6元．(2)由(1)可知，每千克核桃应降价4元或6元， 为了尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价6元， 此时售价为60－6＝54(元)，5460×100%＝90%.答：该店应按原售价的九折出售．22．(12分)小明所在的学校为了加强学生体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买2个篮球和3个足球共需310元；购买5个篮球和2个足球共需500元．(1)每个篮球和足球各需多少元？(2)根据学校的实际情况，需从该商店一次性购买篮球和足球共60个，要求购买篮球和足球费用不超过4 000元，那么最多可以购买多少个篮球？解：(1)设每个篮球x 元，每个足球y 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝310，5x ＋2y ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50. 答：每个篮球80元，每个足球50元． (2)设购买z 个篮球，由题意，得 80z ＋50(60－z)≤4 000，解得z ≤3313.∵z 为整数， ∴z 最大取33.答：最多可以购买33个篮球．23．(10分)李宁准备完成题目：解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，□x ＋y ＝－8，发现系数“□”印刷不清楚．(1)他把“□”猜成3，请你解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，3x ＋y ＝－8；(2)张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x ，y 是一对相反数．”通过计算说明原题中“□”是几？解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，①3x ＋y ＝－8，②②＋①，得4x ＝－4.解得x ＝－1.把x ＝－1代入①，得－1－y ＝4.解得y ＝－5. ∴方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－5.(2)设“□”为a ，∵x ，y 是一对相反数，∴把x ＝－y 代入x －y ＝4，得－y －y ＝4. 解得y ＝－2.∴x ＝2. ∴方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.代入ax ＋y ＝－8，得2a －2＝－8.解得a ＝－3.∴原题中“□”是－3.24．(10分)HW 公司2018年使用自主研发生产的“QL ”系列甲、乙、丙三类芯片共2 800万块，生产了2 800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL ”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%.(1)求2018年甲类芯片的产量；(2)HW 公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL ”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL ”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW 公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m 的值．解：(1)设2018年甲类芯片的产量为x 万块，由题意，得 x ＋2x ＋(x ＋2x)＋400＝2 800. 解得x ＝400.答：2018年甲类芯片的产量为400万块．(2)2018年丙类芯片的产量为3x ＋400＝1 600(万块)，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y 万块，则1 600＋1 600＋y ＋1 600＋2y ＝14 400. 解得y ＝3 200.∴丙类芯片2020年的产量为1 600＋2×3 200＝8 000(万块)．2018年HW 公司手机产量为2 800÷10%＝28 000(万部)．根据题意，得400(1＋m%)2＋2×400(1＋m%－1)2＋8 000＝28 000×(1＋10%)，设m%＝t ，化简，得3t 2＋2t －56＝0.解得t ＝4或t ＝－143(舍去)． ∴m%＝4.∴m ＝400.答：丙类芯片2020年的产量为8 000万块，m ＝400.。
2019-2020学年高中数学新教材必修一第二章《等式与不等式》测试试卷及答案解析
2019-2020学年高中数学新教材必修一第二章《等式与不等式》测试试卷(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ＞1＞b ＞－1，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1a ＜1b B.1a ＞1b C ．a ＞b 2D ．a 2＞2bC [取a ＝2，b ＝－12，满足a ＞1＞b ＞－1，但1a ＞1b ，故A 错；取a ＝2，b ＝13，满足a ＞1＞b ＞－1，但1a ＜1b ，故B 错；取a ＝54，b ＝56，满足a ＞1＞b ＞－1，但a 2＜2b ，故D 错，只有C 正确．]2.已知a ＜0，b ＜－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞a b ＞ab 2 B.a b 2＞a b ＞a C.a b ＞ab 2＞aD.a b ＞a ＞a b 2C [∵a ＜0，b ＜－1，∴a b ＞0，b 2＞1，∴1b 2＜1. 又∵a ＜0，∴0＞a b 2＞a ，∴a b ＞ab 2＞a . 故选C.]3．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集为( ) A ．{x |x ≤－2或x ≥1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2≤x ≤1}D ．∅C [不等式－x 2－x ＋2≥0可化为x 2＋x －2≤0，即(x ＋2)(x －1)≤0，所以－2≤x ≤1，即解集为{x |－2≤x ≤1}．]4.已知集合M ＝{x |0≤x ＜2}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0≤x ＜2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ≤2}B [由于N ＝{x |x 2－2x －3＜0}＝{x |－1＜x ＜3}，又因为M ＝{x |0≤x ＜2}，所以M ∩N ＝{x |0≤x ＜2}．]5．下列方程，适合用因式分解法解的是( ) A ．x 2－42x ＋1＝0 B ．2x 2＝x －3 C ．(x －2)2＝3x －6D ．x 2－10x －9＝0C [C 中方程化简后可以用因式分解法求解．]6．求方程组⎩⎨⎧11x ＋3z ＝9，3x ＋2y ＋z ＝8，2x －6y ＋4z ＝5的解集时，最简便的方法是( )A ．先消x 得⎩⎨⎧22y ＋2z ＝61，66y －38z ＝－37B ．先消z 得⎩⎨⎧ 2x －6y ＝－15，38x ＋18y ＝21C ．先消y 得⎩⎨⎧11x ＋7z ＝29，11x ＋3z ＝9D ．得8x －2y ＋4z ＝11，再解C [第一个方程中没有y ，所以消去y 最简便．]7．若不等式4x 2＋(m －1)x ＋1＞0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ＞5或m ＜－3 B ．m ≥5或m ≤－3 C ．－3≤m ≤5D ．－3＜m ＜5D [依题意有(m －1)2－16＜0，所以m 2－2m －15＜0，解得－3＜m ＜5.] 8．已知关于x 的方程x 2－6x ＋k ＝0的两根分别是x 1，x 2，且满足1x 1＋1x 2＝3，则k 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [∵x 2－6x ＋k ＝0的两根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝k ，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝6k ＝3，解得k ＝2.经检验，k ＝2满足题意．]9．某种产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是( )A ．200台B ．150台C ．100台D ．50台B [要使生产者不亏本，则应满足25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，整理得x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)，故最低产量是150台．]10．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b2 B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b2 D ．a ＜b ＜a ＋b2＜abB [因为0＜a ＜b ，所以由均值不等式可得ab ＜a ＋b 2，且a ＋b 2＜b ＋b2＝b ，又a ＝a ·a ＜a ·b ，所以a ＜ab ＜a ＋b2＜b .]11．若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥2 B ．a ＋b ＋c ≤ 3 C.1a ＋1b ＋1c ≤2 3D ．(a ＋b ＋c )2≥3D [由均值不等式知a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，于是a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝1，故A 错；而(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )＝3，故D 项正确，B 项错误；令a ＝b ＝c ＝33，则ab ＋bc ＋ca ＝1，但1a ＋1b ＋1c ＝33＞23，故C 项错误．]12．若x ＞1，则4x ＋1＋1x －1的最小值等于( ) A ．6 B ．9 C ．4 D ．1B [由x ＞1，得x －1＞0，于是4x ＋1＋1x －1＝4(x －1)＋1x －1＋5≥24＋5＝9，当且仅当4(x －1)＝1x －1，即x ＝32时，等号成立．] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若{(x ，y )|(2,1)}是关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝2，bx ＋ay ＝7的解集，则(a ＋b )(a－b )＝________.－15 [∵{(x ，y )|(2,1)}是关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝2，bx ＋ay ＝7的解集，∴⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝2，2b ＋a ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，∴(a ＋b )(a －b )＝(－1＋4)×(－1－4)＝－15.]14．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2＜0的解集为(－∞，m )∪(1，＋∞)，则m ＝________.－3 [由已知可得a ＜0且1和m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两根，于是a －6＋a 2＝0，解得a ＝－3，代入得－3x 2－6x ＋9＝0，所以方程另一根为－3，即m ＝－3.]15．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧x －1＞a 2，x －4＜2a的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．(－1,3) [依题意有⎩⎨⎧x ＞a 2＋1，x ＜2a ＋4，要使不等式组的解集不是空集，应有a 2＋1＜4＋2a ，即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.]16．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． [9，＋∞) [∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， ∴ab －2ab －3≥0，即(ab －3)(ab ＋1)≥0， ∴ab －3≥0，即ab ≥3，∴ab ≥9.]三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或。
高考数学题汇编(集合函数不等式充分必要条件)
高考题汇编一．集合1、已知集合A={x|x ＜1}，B={x|3x ＜1}，则（ ）A 、A∩B={x|x ＜0}B 、A ∪B=RC 、A ∪B={x|x ＞1}D 、A∩B=∅2、设集合A={1，2，4}，B={x|x 2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（ ） A 、{1，﹣3}B 、{1，0}C 、{1，3}D 、{1，5}3、已知集合A={（x ，y ）|x 2+y 2=1}，B={（x ，y ）|y=x}，则A∩B 中元素的个数为（ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、04.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x ∈R|﹣1≤x≤5}，则（A ∪B ）∩C=（ ） A 、{2} B 、{1，2，4} C 、{1，2，4，5} D 、{x ∈R|﹣1≤x≤5}5.已知集合P={x|﹣1＜x ＜1}，Q={x|0＜x ＜2}，那么P ∪Q=（ ） A 、（﹣1，2）B 、（0，1）C 、（﹣1，0）D 、（1，2） 二．充分必要条件1.设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 4.设，，则“”是“”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 5.已知函数f(x)=x 2+bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6.设，都是不等于的正数，则“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件三．求函数值，计算7.设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．88.已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则（ ）A ．B ．C ．D ．9.设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1210.设函数3,1(){2,1x x b x f x x -<=≥，若5(())46f f =，则b =（ ）A ．1B ．78C ．34D ．1211..12.若函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f （x ）=，则f （）+f （2）= .13.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-）上，,10,(){2,01,5x a x f x x x +-≤<=-≤<其中.a R ∈若，则(5)f a 的值是 .14.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.15.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为A 21M R M B 212M R M C 2313M R M D 2313MR M 16.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．109317．已知常数0a >，函数()22xx f x ax=+的图象经过点65P p ，⎛⎫ ⎪⎝⎭，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．若236p q pq +=，则a =______． 18.下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是 A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+19.设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x-则当x <0时，f (x )=A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+四．函数的图像20.函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为 A ．B ．C ．D ．21.函数2sin 1xy x x =++的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．22.如图,长方形的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记BOP x ∠=,将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则函数的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．23．函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <五．函数的性质24.已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数25.已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称26.已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y=|x 2−2x−3|与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑ A ．0B ．mC ．2mD ．4m27.已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）A ．0 B ．C ．D ．28.设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ） A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题29.已知符号函数1,0,sgn {0,0,1,0.x x x x >==-< ()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-30.已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____． 31.已知函数()()2ln11f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．32.若函数2()ln()f x x x a x =+为偶函数，则a = ． 33.若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______．34.若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．35.已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 六．均值不等式36.若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为（ ） A ．2B ．2C ．22D ．437.设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =< D ．p r q =>38.设0,0,25x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为______.39.已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 40.若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.41.已知0,0,8,a b ab >>=则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值. 七．不等式问题42．（2019·青冈县第一中学校高二期末（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞， 43.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（ ） A ．{}|10x x -<≤ B ．{}|11x x -≤≤ C ．{}|11x x -<≤ D ．{}|12x x -<≤44.若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为（ ） A ．（） B ．（-1,0） C ．D ．45.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（ ）A ． B ． C ． D ．46.设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭47.已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[23,2]-D ．39[23,]16- 48.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦49.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=） A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年50.已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f （2|a-1|）＞f （2-），则a 的取值范围是______.51.能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________. 52.能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 53.设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________. 八．比较大小55.已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<56.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a << D ．c a b <<57.若a >b ，则（ ）A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │ 60.已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>61.已知，则 A ．B ．C ．D ．62.已知,x y R ∈，且0x y >>，则A ．110x y ->B ．sin sin 0x y ->C ．11()()022x y-< D ．ln ln 0x y +>63.已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .A ．若()f a b ≤，则a b ≤B ．若()2bf a ≤，则a b ≤ C ．若()f a b≥，则a b ≥ D ．若()2b f a ≥，则a b ≥64.已知定义在R 上的函数()21()x mf x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b (log 5),c(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）．a b c << B ．c a b << C ．a c b <<D ．c b a <<65.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<66.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭67.设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+ 68.若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）A ．21log ()2a ba ab b +<<+ B ．21log ()2ab a b a b<+<+ C ． 21log ()2a ba ab b +<+<D ． 21log ()2a ba b a b +<+<69.已知奇函数()f x ，且()()g x xf x =在[0,)+∞上是增函数.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a <<70.设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z71.若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b cD ．c a ＞c b72.若，，则（ ） A ．B ．C ．D ．73.已知a ，b ＞0，且a≠1，b≠1.若log >1a b ，则A ．(1)(1)0a b --<B ．(1)()0a a b -->C ．D ．(1)()0b b a -->。
(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(含答案解析)(3)
一、选择题1．若对(0,)t ∀∈+∞，都有22(1)3x t x t+<+成立，则x 的取值范围是（ ） A ．()2,6-B ．(,3)(2,6)-∞--C ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞D ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞ 2．已知关于x 的不等式210mx mx ++>恒成立，则m 的取值范围为（ ）．A ．()0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(](),04,-∞⋃+∞3．已知0a >，0b >，且1a b +=，则14a b+的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．64．已知0,0,23x y x y >>+=，则1421x y++的最小值是（ ） A ．3B ．94 C ．4615D ．95．对于任意实数x ，不等式210ax ax -+>恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,4B ．[)0,4C ．(][),04,-∞+∞ D ．()(),04,-∞+∞6．若集合{}2|10A x ax ax =-+<=∅,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．{}|04a a << B ．{|04}a a ≤< C ．{|04}a a <≤D ．{|04}a a ≤≤7．如图，在ABC 中，23BD BC =，E 为线段AD 上的动点，且CE xCA yCB =+，则13x y+的最小值为（ ）A ．16B ．15C ．12D ．108．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．219．若,b R,,a a b ∈≠且则下列式子：（1）22a 32b ab +>，（2）553223a b b a a b +>+，（3）2252(2)a b a b ++≥-，（4）2b aa b+>.其中恒成立的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个10．若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．811．若两个正实数,x y 满足112x y+=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,2- B ．()4,1- C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),14,-∞-+∞12．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若22ac bc >，则a b > B ．若0a b <<，则22a b < C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <二、填空题13．已知a 、b 都是正数，且0a b ab +-=，则1911b a b +--的最小值是__________．14．≤对任意0,0x y >>恒成立，则a 的最小值是_______．15．已知0x >，0y >，22x y +=，则223524x y x yxy+++的最小值为______.16．已知正实数m ，n 满足119222m n m n +++=，则2m n +的最小值是_______． 17．某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为3600万元，每生产x 千件，需投入成本c （x ）万元，c （x ）＝x 2+10x ．若该产品每千件定价a 万元，为保证生产该产品不亏损，则a 的最小值为_____．18．已知函数121()22x x f x +-+=+，如果对任意t ∈R ，f （3t 2+2t ）+f （k 2﹣2t 2）＜0恒成立，则满足条件的k 的取值范围是_____．19．已知方程210(0)x kx k ++=>有实根，则1k k+的最小值是______． 20．已知正实数x ，y 满足x +y =1，则1412x y +++的最小值为________ ．三、解答题21．已知函数()()223f x x bx b R =-+∈.（1）若()f x 在区间[22]-，上单调递减，求实数b 的取值范围； （2）若()f x 在区间[22]-，上的最大值为9，求实数b 的值.22．已知命题:p 实数x 满足28200x x --≤，命题:q 实数x 满足222(1)0(0)x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.23．已知集合{}2430A x x x =-+≤，B =______.若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，给出如下三个条件：①{}1x a x a -≤≤，②{}2x a x a ≤≤+，③{}3x ≤≤.请从中任选一个补充到横线上.若问题中的a 存在，求出a 的取值范围.24．已知函数2(),(,)f x x ax b a b R =-+∈． （Ⅰ）不等式()0f x ≤的解集为[1,2]-，求a ，b 的值； （Ⅱ）令函数()()2xg x f =，对于任意的实数12,[1,2]x x∈，不等式()()125g x g x -≤恒成立，求a 的取值范围．25．已知正数,,a b c 满足3a b c ++=. （Ⅰ）若221a b +=，求c 的取值范围； （Ⅱ）求证：3bc ac aba b c++≥.26．已知0a b c d >>>>，ad bc =． （Ⅰ）证明：a d b c +>+； （Ⅱ）证明：a b c b c a a b c a b c >．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【分析】首先利用基本不等式得到2(1)4t t +≥，再根据题意得到243x x <+，解不等式即可.【详解】令()2(1)t t t f +=，()0,t ∈+∞，()2)2(11t t f t t t==+++，因为()0,t ∈+∞，所以()1224f t t t=++≥=， 当1t t=即1t =时取等号，又因为(0,)t ∀∈+∞，都有22(1)3x t x t +<+，所以243x x <+即可.由243x x <+得()243033x x x x +-<++，即241203x x x --<+， ()()241230xx x --+<，所以()()()6230x x x -++<，解得3x <-或26x -<<. 故选：B. 【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．B解析：B 【分析】分0m =和0m ≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】因为关于x 的不等式210mx mx ++>恒成立，分以下两种情况讨论： （1）当0m =时，可得10>，合乎题意； （2）当0m ≠时，则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<.综上所述，实数m 的取值范围是[)0,4. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩；②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩；③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩.3．A解析：A 【分析】利用“1”的代换，转化()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式即可得解. 【详解】1a b +=，0a >，0b >()1414455549b a a b a b a b a b ⎛⎫+++=++≥+=+= ⎪⎝⎭∴=， 当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时，等号成立. 14a b ∴+的最小值为9 故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．B解析：B 【分析】由已知条件代入后凑出积为定值，再由基本不等式得最小值． 【详解】∵0,0,23x y x y >>+=，所以(2x+1)+y=4则()()421141141549=2152142142144x yx y x y x y x y ++++++=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++=+++ 当且仅当()42121x y x y +=+且214x y ++=即18,63x y ==时取等号， 则1421x y ++的最小值是94. 故选：B ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．B解析：B 【分析】讨论0a =和0a ≠情况，再根据一元二次不等式与二次函数的关系，解不等式得解. 【详解】 关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立，当0a =时，10>恒成立，满足题意当0a ≠时，即函数()21f x ax ax =-+恒在x 轴上方即可，所以00a >⎧⎨∆<⎩，即2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，所以实数a 的取值范围是[0,4).故选：B 【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.6．D解析：D 【分析】本题需要考虑两种情况，00a a =≠，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数a 的取值范围．【详解】设()21f x ax ax =-+当0a =时，()10f x =>，满足题意 当0a ≠时，()f x 时二次函数 因为{}2|10A x ax ax =-+<=∅ 所以()21f x ax ax =-+恒大于0，即0≤所以240a a -≤，解得04a ≤≤． 【点睛】本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论．7．A解析：A 【分析】由已知可得A ，D ，E 三点共线，结合平面向量基本定理可得31x y +=，0x >，0y >，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 解：∵23BD BC =， ∴3CB CD =，3CE xCA yCB xCA yCD =+=+，因为A ，D ，E 共线，所以31x y +=，则()3313333101016x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+. 当且仅当33y x x y =且31x y +=即14x y ==时取等号， 故选：A. 【点睛】本题主要考查三点共线的向量表示，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．A解析：A 【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P（，4)，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．9．A解析：A 【解析】分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可. 详解：(1) 22a 32b ab +-=22322b a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,当a=1,b=-2.时不等式不成立；(2)553223 a b b a a b +>+=()()()222a b a b a ab b -+++当a=1,b=-1时，不等式不成立；(3)()22522a b a b ++--()()22=a 210b -++≥恒成立.选项正确. (4) b aab +,2][2,)∈-∞-⋃+∞（,故不正确. 故答案为A.点睛：这个题目考查了基本不等式的应用条件，两式比较大小的方法；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.10．B解析：B 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值．【详解】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点()1,3B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||PA PB ==时取“=” ) 故选：B ． 【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有22||||PA PB +是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．11．C解析：C 【解析】 正实数x ,y 满足112x y+=， 则()111112222224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++=⎪⎝⎭， 当且仅当1,y x x y ==+取得最小值2. 由2x y m m +<-有解,可得22m m ->， 解得m >2或m <−1. 本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．12．B解析：B 【分析】由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可. 【详解】对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c>，即a b >，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，则22a b >，故题中结论错误；对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确；对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.二、填空题13．【分析】由可得出根据已知条件得出将代入所求代数式可得出利用基本不等式可求得的最小值【详解】所以由解得则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必 解析：15【分析】由0a b ab +-=可得出1b a b =-，根据已知条件得出1b >，将1b a b =-代入所求代数式可得出()19919111b b a b b +=-++---，利用基本不等式可求得1911ba b +--的最小值. 【详解】0a b ab +-=，所以，()1a b b -=-，1b a b ∴=-， 由010b a b b ⎧=>⎪-⎨⎪>⎩，解得1b >，则10b ->， 所以，()()919191919915111111b b b b a b b b b -++=+=-++≥=------， 当且仅当4b =时，等号成立， 因此，1911ba b +--的最小值为15. 故答案为：15. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】不等式变形为然后利用基本不等式求得的最大值可得的最小值【详解】原不等式可化为因为所以即时等号成立又所以时等号成立所以的最大值是即的最小值是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要【分析】不等式变形为a ≥的最大值，可得a 的最小值．【详解】原不等式可化为a ≥，因为222m n mn +≥，所以222222()2()m n m mn n m n +≥++=+，即m n +≤，m n =时等号成立．又0,0x y >>≤=x y =时等号成立．a ≥a【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．15．16【分析】由条件可知则原式变形为展开后利用基本不等式求最小值【详解】原式；当且仅当即时取等所以的最小值为16故答案为：16【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合1的妙用利用基本不等式求最值解析：16【分析】 由条件可知()1212x y +=，则原式变形为()1243522x y x y y x y x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，展开后，利用基本不等式求最小值.【详解】原式()124493524162x y x y x y y x y x y x⎛⎫=++++=++≥ ⎪⎝⎭； 当且仅当23x y =即67x =，47y =时取等. 所以223524x y x y xy+++的最小值为16. 故答案为：16【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合 “1”的妙用，利用基本不等式求最值.16．【分析】利用基本不等式可求得再结合可得从而可求出的取值范围即可得到的最小值【详解】由题意当且仅当时等号成立又所以令则解得所以即的最小值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值解题关键是 解析：32【分析】()1112222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式，可求得()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再结合()119222m n m n +=-+，可得()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的取值范围，即可得到2m n +的最小值.【详解】由题意，()11155922222222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当n m m n=时，等号成立， 又()119222m n m n +=-+，所以()()()1199222222m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤++=+-+≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2m n t +=，则9922t t ⎛⎫-≥⎪⎝⎭，解得332t ≤≤， 所以32,32m n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即2m n +的最小值是32. 故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值，解题关键是利用基本不等式求出()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再根据()119222m n m n ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，可得到只包含2m n +的关系式()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.17．130【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系再运用参变分离化简最后运用基本不等式求最值即可【详解】解：有题意建立利润函数关系：（）整理得：为保证生产该产品不亏损则（）即当且仅当即取最小值130此 解析：130【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系，再运用参变分离化简，最后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：有题意建立利润函数关系：2()(103600)f x ax x x =-++，（0x >） 整理得：2()(10)3600f x x a x =-+--，为保证生产该产品不亏损，则2()(10)36000f x x a x =-+--≥，（0x >）即36001010130a x x ≥++≥=， 当且仅当3600x x=即60x =，a 取最小值130，此时产品不亏损 故答案为：130.【点睛】 本题考查函数与不等式关系、参变分离法，基本不等式解决实际问题中的最值问题，是基础题.18．k<-1或k>1【分析】利用定义先求出函数为单调减函数与奇函数然后化简得到然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数定义域为且所以为奇函数且对求导可得则在时为减函数可得利用为奇函数化简得利用 解析：k <-1或k >1.【分析】利用定义，先求出函数()f x 为单调减函数与奇函数，然后化简()()2223220f t t f k t ++-<得到222t t k --<，然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数()f x ，定义域为R ，且()12122x x f x ---+-=+1122222xx x x+-+=+()12122x x f x +-==-+，所以，()f x 为奇函数，且对()f x 求导可得()'0f x <，则()f x 在x ∈R 时为减函数， ()()2223220f t t f k t ++-<，可得()()222322f t t f k t +<--，利用()f x 为奇函数 化简得()()222322f t t f t k +-<，利用()f x 在x ∈R 时为减函数，得222322t t t k +->，化简得222t t k --<恒成立，令()22g t t t =--，则有()2max g t k <，而()()max 11g t g =-=，所以21k <，得到1k >或1k <-答案：1k >或1k <-【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性以及不等式的恒成立问题，属于中档题19．【分析】先根据一元二次方程有解得再根据函数的单调性求解即可【详解】解：方程有实根解得又在上单调递增 的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题根据条件求出k 的范围利用对勾函 解析：52【分析】先根据一元二次方程有解得2k ≥，再根据函数1y k k=+的单调性求解即可. 【详解】 解：方程210(0)x kx k ++=>有实根， 240k ∴-≥，解得2k ≥， 又1y k k=+在[)2+∞，上单调递增， ∴ 1k k +的最小值是15222+=， 故答案为：52． 【点睛】 本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题，根据条件求出k 的范围，利用对勾函数在区间内的最值即可求出结果．20．【分析】由可得且则利用基本不等式可求出的最小值【详解】由可得且则（当且仅当即时取=）故的最小值为故答案为：【点睛】利本题考查基本不等式求最值注意用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；② 解析：94【分析】由1x y +=，可得(1)(2)4x y +++=且10,20x y +>+>，则()()()112411411412412214142y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=+++⎡⎤ ⎪+ +⎪⎣⎦++++++⎝+⎭⎝+⎭+，利用基本不等式可求出1412x y +++的最小值. 【详解】由1x y +=，可得()()124x y +++=且10,20x y +>+>， 则()()114114124122x y x y y x ⎛⎫+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝+⎭++ ()11914541244412x y y x =+⎛⎛⎫ +++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝+，（当且仅当()24121x y x y =++++即12,33x y ==时取“=”）. 故1412x y +++的最小值为94. 故答案为：94. 【点睛】利本题考查基本不等式求最值，注意用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号取得的条件，属于中档题. 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无。
方程与不等式之一元二次方程基础测试题含解析
方程与不等式之一元二次方程基础测试题含解析一、选择题1．已知关于X 的方程x 2 +bx+a=0有一个根是-a （a ≠0），则a-b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．0 【答案】C【解析】【分析】由一元二次方程的根与系数的关系x 1•x 2=c a、以及已知条件求出方程的另一根是-1，然后将-1代入原方程，求a-b 的值即可．【详解】∵关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），∴x 1•（-a ）=a ，即x 1=-1，把x 1=-1代入原方程，得：1-b+a=0，∴a-b=-1．故选C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解．解题关键是根据一元二次方程的根与系数的关系确定方程的一个根．2．代数式2x -4x +5的最小值是（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．5【答案】B【解析】 2x -4x +5=2x -4x +4-4+5=2(2)x -+1∵2(2)x -≥0，∴2(2)x -+1≥1，∴代数2x -4x +5的最小值为1．故选B.点睛：解这类题时，通常先通过配方把原式化为“一个完全平方式”和“一个常数”的和的形式，再把完全平方式分解因式化为一个代数式的平方的形式，就可由“任何代数式的平方都是非负数”可知原式的最小值就是那个“常数”.3．如果等腰三角形的两边长分别是方程x 2－10x ＋21＝0的两根，那么它的周长为 （ ）A ．17B ．15C ．13D ．13或17【答案】A【解析】 试题分析：根据题意可得方程的两根为x=3和x=7,3、3、7不能构成三角形，则三角形的三边为3、7、7，则周长为17.考点：一元二次方程、等腰三角形.4．某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．()250170x -=B ．()250170x += C ．()270150x -=D ．()270150x += 【答案】B【解析】【分析】根据2019年的产量=2017年的产量×（1+年平均增长率）2，即可列出方程．【详解】解：根据题意可得，2018年的产量为50（1+x ），2019年的产量为50（1+x ）（1+x ）=50（1+x ）2，即所列的方程为：50（1+x ）2=70．故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．5．已知直角三角形的两条边长分别是方程x 2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）A ．6或8B ．10C ．10或8D ．【答案】B【解析】【分析】先解方程x 2-14x+48=0求得直角三角形的两条边长，再根据勾股定理即可求得结果.【详解】解：解方程x 2-14x+48=0得x 1=6，x 2=8当8为直角边时，第三边10==当8为斜边长时，第三边==故选B.考点：解一元二次方程，勾股定理点评：分类讨论问题是初中数学学习中的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，一般难度较大，需特别注意.6．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法：①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根；②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根；③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立；④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ）A ．只有①②③B ．只有①②④C ．①②③④D ．只有③④【答案】B【解析】【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=-24b ac 的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示0x ．【详解】解：①若b =，方程两边平方得b 2＝4ac ，即b 2﹣4ac ＝0，所以方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根；②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则b 2﹣4ac ＞0方程x 2﹣bx +ac ＝0中根的判别式也是b 2﹣4ac ＞0，所以也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac 2+bc +c ＝0成立，当c ≠0时ac +b +1＝0成立；当c ＝0时ac +b +1＝0不成立；④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，可得0x ， 把x 0的值代入（2ax 0+b ）2，可得b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，综上所述其中正确的①②④．故选：B ．【点睛】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示0x ，整体代入求2204(2)b ac ax b -=+．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△0>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）△0<⇔方程没有实数根．7．设O e 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离OP m =，且m 使得关于x 的方程2610x m -+-=没有实数根，则直线l 与O e 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【答案】A【解析】【分析】 欲求圆与AB 的位置关系，关键是求出点C 到AB 的距离d ，再与半径r=2进行比较，即可求解．若d ＜r ，则直线与圆相交；若d=r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离．【详解】∵关于x 的方程6x 2-43x+m-1=0没有实数根，∴△=b 2-4ac ＜0，即48-4×6×（m-1）＜0，解这个不等式得m ＞3，又因为⊙O 的半径为3，所以直线与圆相离．故选：A ．【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式．解题关键在于通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判断．8．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤-【答案】D【解析】【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．故选D ．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．9．若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第( )象限．A ．四B ．三C ．二D ．一【答案】D【解析】【分析】【详解】∵一元二次方程x 2 - 2x - m = 0无实数根∴△=4+4m<0,即m<-1∴一次函数的比例系数m+1<0,图像经过二四象限截距m-1<0，则图象与y 轴交与负半轴，图像过第三象限∴一次函数y =(m+1)x + m - 1的图像不经过第一象限，故选D.10．关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0的根的情况描述正确的是（ ）A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【答案】B【解析】∵关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0中△=（2k ）2﹣4×（k ﹣1）=4k 2﹣4k+4=（2k ﹣1）2+3＞0∴k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B ．11．若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠ 【答案】D【解析】【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】（k-2）x 2-2kx+k-6=0，∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根， ∴220(2)4(2)(6)0k k k k V -≠⎧⎨=----⎩…， 解得：32k ≥且k≠2． 故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．12．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【答案】A【解析】【分析】利用一次函数性质得出k＞0，b≤0，再判断出△=k2-4b＞0，即可求解.【详解】解：Q一次函数y kx b=+的图象不经过第二象限，k∴>，0b≤，240k b∴∆=->，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键.13．关于方程x2﹣x+9＝0的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个相等实根B．有两个不相等实数根C．没有实数根D．有一个实数根【答案】C【解析】【分析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．【详解】这里a=1，，c=9，∵△=b2-4ac=32-36=-4＜0，∴方程无实数根．故选：C．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．已知关于x的一元二次方程230 4x x a--+=有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值为( )A．-1 B．0 C．2 D．1【答案】D【解析】【分析】根据根的判别式即可求出a的范围．【详解】由题意可知：△＞0，∴1﹣4（﹣a+34）＞0，解得：a＞1 2故满足条件的最小整数a的值是1，故选D．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式.15．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【答案】B【解析】试题分析：先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.考点：一元二次方程根的判别式．16．关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【答案】D【解析】∵△=24a ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D．17．某新建火车站站前广场绿化工程中有一块长为20米，宽为12米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为112米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是( )A ．2米B ．323米C ．2米或323米D ．3米【答案】A【解析】【分析】 根据矩形面积的相关知识进行作答.【详解】设宽度为x ，将大矩形空地划分为两个相等的小矩形绿地和两个相等的细长矩形和三个相等的小细长矩形，运用大矩形空地面积等于划分的几个矩形面积之和建立方程式，即20121123122x 220x ⨯=+⨯-+⨯ ，解出x=2，所以，选A.【点睛】本题考查了矩形面积的相关知识，熟练掌握矩形面积的相关知识是本题解题关18．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max {a ，b }表示a 、b 中的较大的数，如：max {2，4}＝4，按照这个规定，方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解为（ ）A ．或1B ．1或﹣1C ．1或1D ．或﹣1【答案】D【解析】【分析】根据题意应分为x>0和x<0两种情况讨论，并列出关于x 的分式方程求解，结合x 的取值范围确定方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解即可．【详解】解：①当x ≥﹣x ，即x ≥0时，∵max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1，∴x ＝x 2﹣x ﹣1，解得：x ＝（1<0，不符合舍去）；②当﹣x ＞x ，即x ＜0时，﹣x ＝x 2﹣x ﹣1，解得：x ＝﹣1（1>0，不符合舍去），即方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解为或﹣1，故选：D ．【点睛】本题考查了解分式方程，有关实数、实数运算的新定义，掌握分式方程的解法是解题的关键．19．若关于x 的一元二次方程2304kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．0k =B ．13k ≥-C ．13k ≥-且0k ≠D ．13k >- 【答案】C【解析】【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k 的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．【详解】∵关于x 的一元二次方程2304kx x --=有实数根， ∴△=b 2-4ac≥0，即：1+3k≥0， 解得：13k ≥-，∵关于x 的一元二次方程kx 2-2x+1=0中k≠0，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．20．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ）A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠ 【答案】A【解析】【分析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a 的范围．【详解】当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-14； 当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，所以a 的取值范围为a≥1．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．。
第二章 一元二次函数、方程和不等式(综合检测)【一轮复习讲义】2024
第二章 一元二次函数、方程和不等式综合检测（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前 考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号。
回答非选择题时 将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题 每小题5分 共40分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求. 1．设集合01x M x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭ 1,02x N y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭则M N ⋂=（ ） A ．[]0,1 B ．{}0 C ．()0,1 D ．(]0,12．设x ∈R 则“()50x x -<”是“11x -<”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．充分不必要条件3．不等式2420x x a ---≤有解 则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}2a a ≥-B ．{}2a a ≤-C ．{}6a a ≥-D ．{}6a a ≤- 4．已知22a b k += 若224911a b +≥+恒成立 则k 的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．24 D ．255．设圆柱的体积为V 当其表面积最小时 圆柱的母线长为（ ）A ．3232πVB ．32π3V C ．32πV D ．34πV 6．已知3log 2x = 4log 3y = 2334z ⎛⎫= ⎪⎝⎭则x 、y 、z 的大小关系为（ ） A ．x y z >> B ．y x z >> C ．z y x >> D ．y z x >>7．在ABC 中 角A B C 的对边分别为a b c 且2cos 2c B a b =+ 若ABC 的面积312S c = 则ab 的最小值为（ ）A ．13B ．3C ．12 D ．168．已知抛物线2:2(0)C y px p => 过坐标原点O 作两条相互垂直的直线分别与抛物线C 相交于()()1122,,,M x y N x y 两点（M N 均与点O 不重合）．若直线MN 恒过点(8,0) 则122x x +的最小值为（ ）A ．162B ．122C ．102D ．62对的得5分 部分选对的得2分 有选错的得0分. 9．已知a b c ∈R 下列叙述正确的是（ ）A ．若a b > 0c > 则ac bc >B ．若0a b >> 则11a b >C ．若01a << 则2a a >D ．()221222a b a b ++≥--10．已知幂函数()f x 的图象经过点4,2 则下列命题正确的有（ ）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+ D ．若210x x >> 则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭11．已知236a b == 则a b 满足（ ）A ．a b <B ．111a b +<C ．4ab >D ．4a b +>12．若0a b << 且222a b += 则（ ）A ．2b 1<<B ．1b a ->C ．3ab a b ++≤D ．2a b +≤第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题 每小题5分 共20分13．已知函数248y mx mx m =-++的定义域为R 则实数m 的范围________.14．已知P 是ABC 的边BC 上任一点 且满足AP xAB y AC =+ x y R +∈、 则14x y+的最小值为___________. 15．已知正数,x y 满足221x y += 则11x y+的最小值为__________．16．平面向量a b 满足1a = 2b = 7a b -= 对于任意实数k 不等式1ka tb +>恒成立 则实数t 的取值范围是________．程或演算步骤. 17． 已知a b c 、、均为正数 证明：2222111()63a b c a b c+++++≥ 并确定a b c 、、为何值时 等号成立．18．设()()212f x ax a x a =+-+-．(1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立 求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()1R f x a a <-∈．19．水培植物需要一种植物专用营养液 已知每投放(04a a <≤且R)a ∈个单位的营养液 它在水中释放的浓度(y 克/升)随着时间(x 天)变化的函数关系式近似为()y af x = 其中()[](]2046154102x x x f x x x +⎧∈⎪⎪-=⎨⎪-∈⎪⎩，，，， 若多次投放 则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和 根据经验 当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时 它才能有效．(1)若只投放一次4个单位的营养液 则有效时间最多可能持续几天？(2)若先投放2个单位的营养液 6天后再投放m 个单位的营养液 要使接下来的4天中 营养液能够持续有效 试求m 的最小值．20．已知函数()2f x x ax a =++ x ∈R(1)若方程()0f x =有两根 且两根为12,x x 求2212x x +的取值范围；(2)已知[]0,1P = 关于x 的不等式()0f x >的解为Q 若P Q =∅ 求实数a 的取值范围.21．农田节水灌溉的目的是节约水资源､土地资源 节省时间和劳动力 提高灌溉质量和灌溉效率 提高农作物产量和质量 实现增产增效.如图 等腰梯形ABCD 是一片农田 为了实现节水灌溉 BC 为农田与河流分界的部分河坝 BC 长为800米 ∠B =75°.现在边界BC 上选择一点Q 修建两条小水渠QE QF 其中E F 分别在边界AB DC 上 且小水渠QE QF 与边界BC 的夹角都是60°.(1)探究小水渠QE QF 的长度之和是否为定值？若是 求出该定值；若不是 请说明理由.(2)为实现高效灌溉 现准备在区域AEQFD 内再修建一条小水渠EF 试问当点Q 在何处时 三条小水渠（QE QF EF ）的长度之和最小 最小值为多少？22．设0a > 0b > 函数2()f x ax bx a b =--+.(1)求不等式()(1)f x f <的解集；(2)若()f x 在[]0,1上的最大值为b a - 求b a的取值范围； (3)当[0,]x m ∈时 对任意的正实数a b 不等式()(1)|2|f x x b a ≤+-恒成立 求m 的最大值.。
集合的概念练习题
第一讲 集合的概念及其运算1、子集的个数例1、（1）若{ 1,2 }A ⊆{ 1,2,3,4 },求满足这个关系式的集合A 的个数（2）已知集合A ={0、2、4}，},|{A b a b a x x B ∈⋅==、，则集合B 的子集的个数为 。
（3）从自然数1～20这20个数中，任取两个数相加，得到的和作为集合M 的元素，则M 的真子集共有 个。
☆规律方法总结：(1)子集的个数：一个有n 个元素的集合，其①子集有 个；②真子集有 个；③非空子集有 个；④非空真子集有 个； (2)已知集合M 中有m 个元素，集合N 中有n 个元素，则满足M N P ⊆的集合P 的个数为12--m n2、集合中元素的个数例2、(1)已知集合M,N 分别含有8个、13个元素,若N M 中有6个元素, ①求N M 中的元素个数. ②当N M 含多少个元素时,φ=N M .(2)50名学生参加跳远和铅球两样测试，跳远和铅球测验成绩分别及格40人和31人，两次测验成绩均不及格的有4人，则两项成绩都及格的人数是（ ）A 、35B 、25C 、28D 、15(3) 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 3、集合间的关系例3、判断下列两集合之间的关系⑴ },14|{},,12|{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== (2)},2|{},,12|{22R b b b x x B R a a a x x A ∈-==∈++== (3) },24|{},,42|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==ππππ 4、方程、不等式与集合例4、(1) 已知方程0)(,0)(==x g x f 的解集分别为B A ,。
① 写出方程0)()(=⋅x g x f 的解集② 写出方程0)()(22=+x g x f 的解集③ 写出方程0)()(=x g x f 的解集 (2)已知不等式0)()0(>>x g x f ，的解集分别为B A 、, 0)()0(<<x g x f ，的解集分别为N M 、。
(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是（ ） A ．14B ．12C ．1D ．22．在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即md k=，其中d 是距离（单位cm ），m 是质量（单位g ），k 是弹簧系数（单位g/cm ）．弹簧系数分别为1k ，2k 的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k 满足12111k k k =+，并联时得到的弹簧系数k 满足12k k k =+．已知物体质量为20g ，当两个弹簧串联时拉伸距离为1cm ，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（ ） A ．1cm 4B ．1cm 2C ．1cmD ．2cm3．小明从甲地到乙地前后半程的速度分别为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则下列不正确的是（ ） A．a v <<B．v <C2a bv +<<D ．2abv a b=+ 4．若正数x ，y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为（ ） A ．1B ．38C ．37D ．135．若正数a ，b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最大值12B ．224a b +有最小值12C ．ab 有最小值18 D ．224a b +有最大值146．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2463450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．[)1,15B ．[]2,8C ．[)2,8D ．[)2,15 7．下列命题中是真命题的是（ ）A．y =的最小值为2；B ．当a ＞0，b ＞0时，114a b++；C ．若a 2+b 2=2，则a +b 的最大值为2；D ．若正数a ，b 满足2,a b +=则11+4+22a b +的最小值为12.8．若关于x 的不等式20x px q ++<的解集为{|23}x x <<，则关于x 的不等式22028x px qx x ++>--的解集是（ ） A ．()2,3 B ．()(),24,-∞-+∞C ．()()2,23,4-D ．()()(),22,34,-∞-+∞9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上的一点，30ACD ∠=︒，且2CD =，则a 的最小值为（ ）A ．4B ．4+C ．8D ．8+10．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．11a b< B ．55a b > C ．22ac bc >D ．a b >11．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞12．若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),2-∞-，关于x 的不等式201ax bxx +>+的解集为( )A ．(,1)(1,2)-∞-⋃B ．(1,0)(2,)-+∞C ．(,1)(0,2)-∞-⋃D ．(0,1)(2,)+∞二、填空题13．已知3x <，则函数4()3f x x x =+-的最大值是________. 14．若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式中恒成立的是_______.①112ab >；②228a b +≥；2≥；④111a b+≥. 15．已知32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________.16．已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____．17．已知实数0a >，0b >是8a 与2b 的等比中项，则62a b+的最小值是_________. 18．若ad bc ≠，则()()2222a b cd ++__________()2ac bd +.（选“≥”、“≤”、“>”、“<”其一填入）19．设函数1e exx y a =+-的值域为A ，若[)0,A ⊂+∞，则实数a 的取值范围是________．20．已知a ，b 均为正实数，且1a b +=，则231a ab+的最小值为__________，此时a 的值为__________.三、解答题21．设2()(1)2f x x a x a =--+-.（1）若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x <(a R ∈).22．已知二次函数()f x 满足(1)8f -=且(0)(4)3f f == （1）求()f x 的解析式；（2）若[],1x t t ∈+，试求()y f x =的最小值. 23．已知0,0x y >>，且440x y +=. （1）求xy 的最大值； （2）求11x y+的最小值.24．已知函数2(),(,)f x x ax b a b R =-+∈． （Ⅰ）不等式()0f x ≤的解集为[1,2]-，求a ，b 的值； （Ⅱ）令函数()()2xg x f =，对于任意的实数12,[1,2]x x∈，不等式()()125g x g x -≤恒成立，求a 的取值范围．25．设m ∈R ，不等式()()231210mx m x m -+++>的解集记为集合P .（1）若{}12P x x =-<<，求m 的值； （2）当0m >时，求集合P .26．设全集U =R ，集合2A={x|x -4x-12<0}，B={x|(x-a)(x-2a)<0}． （1）当a=1时，求集合UA B ⋂；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设两个正方形的边长分别为x 、y ，可得1x y +=，利用基本不等式可求得两个正方形的面积之和22x y +的最小值.【详解】设两个正方形的边长分别为x 、y ，则0x >，0y >且1x y +=，由基本不等式可得222x y xy +≥，所以，()()22222221x yxy xy x y +≥++=+=，所以，2212x y +≥，当且仅当12x y ==时，等号成立，因此，两个正方形的面积之和22x y +的最小值为12. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．A解析：A 【分析】先利用串联列关系()121220k k k k +=，结合基本不等式求得12k k +最小值，再利用并联关系得到12k k k '=+最小时求得弹簧拉伸的最大距离即可. 【详解】依题意设两个弹簧的弹簧系数分别为1k ，2k ，串联时弹簧系数为k ，并联时弹簧系数为k '. 两个弹簧串联时，由m d k =知，20201m k d ===，则12111k k k =+即12121211120k kk k k k +=+=， 即()()2121212204k k k k k k ++=≤，故1280k k +≥，当且仅当1240k k ==时等号成立，两个弹簧并联时，12k k k '=+，拉伸距离12m m d k k k '==+'，要是d '最大，则需12k k k '=+最小，而1240k k ==时()12min 80k k +=，故此时d '最大，为284001m d k '==='cm. 故选：A. 【点睛】 思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用x y +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值.3．C解析：C 【分析】根据题意，求得v ，结合基本不等式即可比较大小. 【详解】设甲、乙两地之间的距离为2s ，则全程所需的时间为s sa b+， 22s abv s s a b a b∴==++，故D 正确；0b a >>2a b+<，2ab v a b ∴=<=+C 错误；又22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭=<=<++B 正确； 22220ab ab a a a v a a a b a b a b---=-=>=+++，v a ∴>，则a v <<A 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：由基本不等式可得22ab a b a b +≤≤≤+等式比较大小，属中档题.4．D解析：D 【分析】已知等式变形为411x y+=，然后用“1”的代换求出x y +的最小值即可得．【详解】∵x ，y 均为正数，40x y xy +-=，∴411x y+=，∴414()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即6,3x y ==时等号成立，∴33193x y ≤=+，所求最大值为13． 故选：D ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．B解析：B 【分析】利用基本不等式分析22,4ab a b +的最值，注意取等条件的分析，由此得到结果. 【详解】因为21a b +=，所以12a b =+≥18ab ≤，取等号时11,24a b ==， 所以ab 有最大值18，所以A ，C 错误； 又因为()22211241414824a b ab b a ab =+-=-≥-⨯=+，取等号时11,24a b ==， 所以224a b +有最小值12，所以B 正确，D 错误， 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6．A解析：A 【分析】先由不等式[][]2463450x x -+<得出[]x 的取值范围，再由[]x 的定义得出x 的取值范围. 【详解】不等式[][]2463450x x -+<即为[]()[]()43150x x --<，解得[]3154x <<， 则[]{}1,2,3,,14x ∈，因此，115x ≤<，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，同时也考查了取整函数的定义，解题的关键要结合不等式得出[]x 的取值，考查计算能力，属于中等题.7．B解析：BCD 【分析】利用基本不等式分别判断A 、B 、D 选项，C选项可设,a b αα==，利用三角函数的值域求范围. 【详解】 A 选项，222x +≥0>，∴2y =≥==，即221x +=±时成立，又222x ≥+，故A 错；B 选项，当a ＞0，b ＞0时，1124a b +++≥⨯=，当且仅当1a b =⎧=，即1a b ==时等号成立，B 正确；C选项，设,a b αα==，则2sin 24a b πααα⎛⎫+==+≤ ⎪⎝⎭，C 正确；D 选项，2a b +=，()212192a b ⎡⎤⎛⎫∴+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则()121252229291111++4+22442+2242a b a b a b a b a b ⎛⎫+ ⎪⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝=+⎣+⎭⎦ ⎪⎝⎭251942⎛ ≥⨯+= ⎝⎭，当且仅当122422a b a b ++=++且2a b +=时等号成立，解得1a b ==，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查基本不等式的应用、利用三角函数的值域求范围，注意取等号的条件，属于中档题.8．D解析：D 【分析】根据关于x 的不等式20x px q ++<的解集为{|23}x x <<，利用韦达定理得到5,6p q =-=，则不等式22028x px q x x ++>--转化为 2256028x x x x -+>--，再利用穿根法求解.【详解】因为关于x 的不等式20x px q ++<的解集为{|23}x x <<， 所以由韦达定理得：5,6p q =-=，所以22028x px q x x ++>--，即为2256028x x x x -+>--，即为()()()()23042x x x x -->-+，即为()()()()23420x x x x ---+>用穿根法得不等式的解集为：()()(),22,34,-∞-+∞，故选：D 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集的应用以及穿根法求高次不等式，属于中档题.9．B解析：B 【分析】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，利用正弦定理得()2sin 150sin b αα=︒-，化简得到1tan b α=ABC 中，有tan a b α=⋅，然后将a +转化为4ta n a αα=++利用基本不等式求解. 【详解】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，由正弦定理得：()2sin 150sin b αα=︒-，所以()2sin 1501sin tan b ααα︒-==+，在直角ABC 中，tan a b α=⋅，所以(1tan tan 4tan tan a b ααααα⎛⋅==+⎝+=44≥+=+an α=，即4πα=时取等号，故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理和基本不等式的解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．B解析：B 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】 a ＞b ，则1a 与1b的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立． 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．C解析：C 【分析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出240a -=或2400a ⎧-<⎨∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦．故选C ．【点睛】本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.12．C解析：C 【分析】根据不等式及解集,可得2b a =-,将不等式201ax bxx +>+化简后,结合穿根法即可求得解集.【详解】关于x 的不等式0ax b ->变形可得ax b >,因为其解集为(),2-∞- 所以0a <,且2ba=- 关于x 的不等式201ax bxx +>+变形可得201b a x x a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>+ 即()2120a x x x >+-,所以()120ax x x >+-因为0a <,不等式可化为()120x x x <+-可化为()()210x x x -+< 利用穿根法可得1x <-或02x << 即()(),10,2x ∈-∞-⋃ 故选:C 【点睛】本题考查了含参数的不等式解法,注意不等式的符号变化,属于中档题.二、填空题13．【分析】配凑成再用利用均值不等式直接求解【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为:【点睛】此题考查利用基本不等式求最值属于基础题方法点睛：均值不等式成立的3个条件一正二定三相等一正：的范围要为正 解析：1-【分析】配凑成()4()333f x x x ⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦，再用利用均值不等式直接求解． 【详解】 因为3x <，所以()()43333413f x x x ⎡⎤=--+≤-=-=-⎢⎥-⎣⎦.当且仅当43=3x x --，即1x =时等号成立， 故答案为: 1- 【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.方法点睛：均值不等式a b +≥成立的3个条件“一正、二定、三相等”． 一正：,a b 的范围要为正值二定：当,a b 为大于零的变量，那么a b +、最值．三相等：验证均值不等式在给定的范围内能否满足取等号的条件．14．②④【分析】利用基本不等式和题设得到答案即可【详解】解：且即当且仅当时取等号故选项①错误；当且仅当时取等号选项②正确；即选项③错误；当且仅当时取等号选项④正确故答案为：②④【点睛】利用基本不等式求最解析：②④ 【分析】利用基本不等式和题设得到答案即可． 【详解】解：0a >，0b >，且4a b +=，42a b ab ∴+=，即4ab ，当且仅当2a b ==时取等号，∴114ab，故选项①错误； 222()82a b a b++=，当且仅当2a b ==时取等号，∴选项②正确；42a b ab +=，即2，∴选项③错误；1111111()()(2)(221444b a a b a b a b a b +=++=+++=，当且仅当2a b ==时取等号，∴选项④正确， 故答案为：②④． 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15．【分析】由题意可得利用基本不等式可求得的最小值由此可求得实数的取值范围【详解】由于不等式对任意实数恒成立则由基本不等式可得当且仅当时即当时等号成立所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查利解析：(),1-∞【分析】由题意可得3231x x k -<+⋅-，利用基本不等式可求得3231x x -+⋅-的最小值，由此可求得实数k 的取值范围. 【详解】由于不等式32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则3231x x k -<+⋅-，由基本不等式可得323111x x -+⋅-≥=，当且仅当323x x -=⋅时，即当31log 22x =时，等号成立，所以，1k <，因此，实数k 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题，考查参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.16．10【分析】由得出利用基本不等式即可得出答案【详解】（当且仅当时取等号）故答案为：10【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用属于中档题【分析】由49abc a b =+得出94c a b=+，利用基本不等式即可得出答案. 【详解】49abc a b =+4994a b c ab a b+∴==+9410a b c a b a b ++=+++≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号） 故答案为：10 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.17．32【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由题意实数是与的等比中项可得解得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比解析：32 【分析】8a 与2b 的等比中项，求得31a b +=，化简626266()(3)20b aa b a b a b a b +=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，实数0a >，0b >8a 与2b 的等比中项，可得23228a b a b +=⨯=，解得31a b +=，所以626266()(3)202032b a a b a b a b a b +=++=++≥+=， 当且仅当66b a a b +时，即14a b ==时，等号成立， 所以62a b+的最小值是32. 故答案为：32.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．＞【分析】作差分析差的正负即可求解【详解】因为又所以所以故答案为：>【点睛】本题主要考查了比较法判断两个式子的大小考查了运算能力属于解析：＞ 【分析】作差，分析差的正负即可求解. 【详解】 因为()()()22222a b c d ac bd ++-+()()2222222222222a c a d b c b d a c b d acbd +=+++-+22222b c a d abcd =+-20(bc ad )=-≥，又ad bc ≠所以2()0bc ad ->所以()()22222()a bcd ac bd ++>+，故答案为：> 【点睛】本题主要考查了比较法判断两个式子的大小，考查了运算能力，属于中档题.19．【解析】因为a 所以则 解析：(,2]-∞【解析】 因为1e 2exx y a =+-≥-a ,所以[)[)2,0,,A a =-+∞⊂+∞则20,2a a -≥≤. 20．6【分析】首先由条件变形为化简后利用基本不等式求最小值【详解】所以当时等号成立即解得：所以即的最小值为6此时故答案为：6；【点睛】本题考查基本不等式求最值重点考查转化思想计算能力属于基础题型本题的关解析：6 13【分析】首先由条件变形为()222331a a b a ab ab+++=，化简后利用基本不等式求最小值. 【详解】1a b +=，()21a b ∴+=所以()222223314242a a b a a b ab a b ab ab ab b a+++++===++，44a b b a +≥=，当4a b b a =时，等号成立，即120,0a b b a a b +=⎧⎪=⎨⎪>>⎩，解得：12,33a b ==， 所以231426a ab+≥+=，即231a ab+的最小值为6，此时13a =.故答案为：6；13【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是利用()21a b =+变形，化简.三、解答题21．（1）33a -≤≤+2）答案见解析. 【分析】（1）一元二次不等式恒成立问题，由判别式可得参数范围．（2）不等式变形为[(2)](1)0x a x ---<，根据2a -和1的大小分类讨论得解集． 【详解】解：（1）由题意，不等式()2f x ≥-对于一切实数x 恒成立，等价于2(1)0x a x a --+≥对于一切实数x 恒成立.所以20(1)40a a ∆≤⇔--≤⇔33a -≤≤+（2）不等式()0f x <等价于2(1)20[(2)](1)0x a x a x a x --+-<⇔---<.当21a ->即3a >时，不等式可化为12x a <<-，不等式的解集为{}12x x a <<-； 当21a -=即3a =时，不等式可化为2(10)x -<，不等式的解集为∅； 当21a -<即3a <时，不等式可化为21a x -<<，此时{}21x a x -<<. 综上所述：当3a <时，不等式的解集为{}21x a x -<<； 当3a =时，不等式的解集为∅；当3a >时，不等式的解集为{}12x x a <<-. 【点睛】本题考查解一元二次不等式．掌握三个二次伯关系是解题关键．对含参数的一元二次不等式求解时需分类讨论，分类讨论一般有三个层次：一是二次项系数是否为0，不为0时二次项系数的正负，二是一元二次方程的判别式，三是在判别式大于0时，方程两根的大小．注意灵活分类．22．（1）2()43f x x x =-+；（2）2min 243,2()1,122,1t t t f x t t t t ⎧-+≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩. 【分析】（1）设二次函数()f x 的解析式为：2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(1)8f -=、(0)(4)3f f ==列方程组即可求出,,a b c 得值进而可得()f x 的解析式；（2）由（1）知2()43f x x x =-+，对称轴为2x =，分情况讨论对称轴和区间的关系即可求解. 【详解】（1）设二次函数()f x 的解析式为：2()(0)f x ax bx c a =++≠，因为(1)8f -=，且(0)(4)3f f ==，则有813416433a b c a c b a b c c -+==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩， 于是二次函数解析式为：2()43f x x x =-+（2）由（1）知2()43f x x x =-+，对称轴为2x =，若2t ≥，则()f x 在[],1t t +上单调递增，所以2min ()()43f x f t t t ==-+；若12t +≤，即1t ≤时，()f x 在[],1t t +上单调递减，所以22min ()(1)(1)4(1)32f x f t t t t t =+=+-++=-；若21t t <<+，即12t <<时，2min ()(2)24231f x f ==-⨯+=-综上，2min 243,2()1,122,1t t t f x t t t t ⎧-+≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出()f x ，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式求()f x 的解析式的问题，令()g x t =，解出x ，然后代入()f g x ⎡⎤⎣⎦中即可求得()f t ，从而求得()f x ，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将()f g x ⎡⎤⎣⎦右端的代数式配凑成关于()g x 的形式，进而求出()f x 的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解. 23．无24．无25．无26．无。
(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组基础测试题附答案解析(1)
（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组基础测试题附答案解析(1)一、选择题1．a 的一半与b 的差是负数，用不等式表示为( )A ．102a b -< B ．102a b -≤ C ．()102a b -< D ．102a b -< 【答案】D【解析】【分析】列代数式表示a 的一半与b 的差，是负数即小于0． 【详解】解：根据题意得102a b -< 故选D ．【点睛】 本题考查了列不等式，首先要列出表示题中数量关系的代数式，再由不等关系列不等式．2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 先解不等式，根据解集确定数轴的正确表示方法．【详解】解：不等式2x+1＞-3，移项，得2x ＞-1-3，合并，得2x ＞-4，化系数为1，得x ＞-2．【点睛】本题考查解一元一次不等式，注意不等式的性质的应用.3．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．【详解】2x +∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x≥-2.故答案选D.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.4．关于x 的不等式组()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩恰有五个整数解，那么m 的取值范围为（ ） A ．21m -≤<-B ．21m -<<C ．1m <-D ．2m ≥-【答案】A【解析】【分析】先求出不等式组的解集，然后结合有五个整数解，即可求出m 的取值范围．【详解】 解：()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩解不等式①，得：x m >，解不等式②，得：3x ≤，∴不等式组的解集为：3m x <≤，∵不等式组恰有五个整数解，∴整数解分别为：3、2、1、0、1-；∴m 的取值范围为21m -≤<-；【点睛】本题考查了解不等式组，根据不等式组的整数解求参数的取值范围，解题的关键是正确求出不等式组的解集，从而求出m 的取值范围．5．若不等式组0,122x a x x -≥⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1B ．a≥－1C ．a≤1D ．a ＜1【答案】D【解析】【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找，确定a 的取值范围是a ＜1．【详解】 解：0122x a x x -≥⎧⎨->-⎩①②， 由①得：x≥a ，由②得：x ＜1，∵不等式组有解，∴a ＜1，故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确解出两个不等式的解集，掌握确定不等式组解集的方法．6．若a b >，则下列不等式中，不成立的是（ ）A ．33a b ->-B ．33a b ->-C ．33a b > D ．22a b -+<-+ 【答案】A【解析】【分析】 根据不等式的性质进行判断即可.【详解】解：A 、根据不等式的性质3，不等式的两边乘以(-3)，可得-3a ＜-3b ，故A 不成立； B 、根据不等式的性质1，不等式的两边减去3，可得a-3＞b-3，故B 成立；C 、根据不等式的性质2，不等式的两边乘以13，可得33a b >，故C 成立；D 、根据不等式的性质3，不等式的两边乘以(-1)，可得-a ＜-b ，再根据不等式的性质1，不等式的两边加2，可得-a+2＜-b+2，故D 成立.故选：A.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.7．若x y >，则下列各式正确的是（ ）A ．0x y -<B ．11x y -<-C ．34x y +>+D ．xm ym >【答案】B【解析】【分析】根据不等式的基本性质解答即可．【详解】由x ＞y 可得：x-y ＞0，1-x ＜1-y ，x+3＞y+3，故选：B ．【点睛】此题考查不等式的性质，熟练运用不等式的性质是解题的关键．8．不等式组21512x x ①②->⎧⎪⎨+≥⎪⎩中,不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：根据解一元一次不等式组的一般步骤解答，并把解集表示在数轴上，再作判断即可. 详解：解不等式①，得：x 1<;解不等式②，得：x 3≥-；∴原不等式组的解集为：3x 1-≤<，将解集表示在数轴上为：故选C.点睛：掌握“解一元一次不等式组的解法和将不等式的解集表示在数轴上的方法”是解答本题的关键.9．若a b <，则下列变形错误的是（ ）A ．22a b <B ．22a b +<+C ．1122a b <D ．22a b -<- 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质解答.【详解】∵a b <，∴22a b <，故A 正确；∵a b <，∴22a b +<+，故B 正确；∵a b <，∴1122a b <，故C 正确； ∵a b <，∴2-a>2-b ，故D 错误，故选：D.【点睛】此题考查不等式的性质，熟记性质定理并运用解题是关键.10．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到”结果是否“为一次程序操作．如果程序操作进行了三次才停止，那么x 的取值范围是（ ）A ．11x ≥B ．1123x ≤≤C ．1123x <≤D ．23x ≤【答案】C【解析】【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可．【详解】解依题意得：()()219522119522211195x x x ⎧+≤⎪⎪++≤⎨⎪⎡⎤+++>⎪⎣⎦⎩①②③ 解不等式①得，x≤47，解不等式②得，x≤23，解不等式③得，x ＞11，所以，x 的取值范围是11＜x≤23．故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运输程序并列出不等式组是解题的关键．11．某商品进价为800元，出售时标价为1200元，后来商店准备打折出售，但要保持利润率不低于20%，则最多打( )折．A ．6折B ．7折C ．8折D ．9折【答案】C【解析】【分析】设打了x 折，用售价×折扣﹣进价得出利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．【详解】解：设打了x 折，由题意得，1200×0.1x ﹣800≥800×20%，解得：x≥8．答：至多打8折．故选：C【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润＝进价×利润率，是解题的关键．12．若关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨-<⎩…的整数解只有3个，则a 的取值范围是( ) A ．6≤a ＜7B ．5≤a ＜6C ．4＜a ≤5D ．5＜a ≤6【答案】B【解析】【分析】根据解不等式可得，2＜x ≤a ，然后根据题意只有3个整数解，可得a 的范围.【详解】解不等式x ﹣a ≤0，得：x ≤a ，解不等式5﹣2x ＜1，得：x ＞2，则不等式组的解集为2＜x ≤a ．∵不等式组的整数解只有3个，∴5≤a ＜6．故选：B ．【点睛】本题主要考查不等式的解法，根据题意得出a 的取值范围是解题的关键.13．若不等式组236x x x m -<-⎧⎨<⎩无解，那么m 的取值范围是（ ） A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ≥2D ．m ≤2 【答案】D【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的求法和不等式组无解的条件，即可得到m 的取值范围．【详解】解：236x x x m -<-⎧⎨<⎩②①由①得，x ＞2，由②得，x ＜m ，又因为不等式组无解，所以根据“大大小小解不了”原则，m ≤2．故选：D ．【点睛】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于掌握求不等式组的解集，要根据以下原则：同大取较大，同小较小，小大大小中间找，大大小小解不了．14．关于x 的不等式组1132x a x -⎧≤⎪⎨⎪-<⎩恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．3a <B ．23a <≤C ．23a ≤<D ．23a <<【答案】C【解析】【分析】 此题可先根据一元一次不等式组解出x 的取值范围，再根据不等式组1132x a x -⎧≤⎪⎨⎪-<⎩恰好只有四个整数解，求出实数a 的取值范围．【详解】 解：由不等式113x -≤，可得：x ≤4， 由不等式a ﹣x ＜2，可得：x ＞a ﹣2， 由以上可得不等式组的解集为：a ﹣2＜x ≤4， 因为不等式组1132x a x -⎧≤⎪⎨⎪-<⎩恰好只有四个整数解，所以可得：0≤a ﹣2＜1，解得：2≤a ＜3，故选C ．【点睛】本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.根据原不等式组恰有4个整数解列出关于a 的不等式是解答本题的关键．15．已知关于x 的不等式4x a 3+＞1的解都是不等式2x 13+＞0的解，则a 的范围是( ) A ．a 5=B ．a 5≥C ．a 5≤D ．a 5< 【答案】C【解析】【分析】先把a 看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可．【详解】 由413x a +>得,34a x ->， 由210,3x +> 得,1,2x >- ∵关于x 的不等式413x a +>的解都是不等式2103x +>的解， ∴3142a -≥-， 解得 5.a ≤即a 的取值范围是： 5.a ≤故选:C.【点睛】考查不等式的解析，掌握一元一次不等式的求法是解题的关键.16．如果不等式组26x x x m -+<-⎧⎨>⎩的解集为x ＞4，m 的取值范围为（ ） A ．m ＜4B ．m ≥4C ．m ≤4D ．无法确定 【答案】C【解析】【分析】表示出不等式组中第一个不等式的解集，根据不等式组的解集确定出m 的范围即可．【详解】解不等式﹣x+2＜x ﹣6得：x ＞4，由不等式组26x x x m -+<-⎧⎨>⎩的解集为x ＞4，得到m≤4， 故选：C ．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．17．下列不等式变形正确的是（ ）A ．由a b >，得22a b -<-B ．由a b >，得22a b -<-C ．由a b >，得a b >D ．由a b >，得22a b > 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的基本性质结合特殊值法逐项判断即可．【详解】解：A 、由a ＞b ，不等式两边同时减去2可得a-2＞b-2，故此选项错误；B 、由a ＞b ，不等式两边同时乘以-2可得-2a ＜-2b ，故此选项正确；C 、当a ＞b ＞0时，才有|a|＞|b|；当0＞a ＞b 时，有|a|＜|b|，故此选项错误；D 、由a ＞b ，得a 2＞b 2错误，例如：1＞-2，有12＜（-2）2，故此选项错误． 故选：B ．【点睛】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．18．如图，不等式组315215x x --⎧⎨-<⎩…的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的步骤：先解第一个不等式，再解第二个不等式，然后在数轴上表示出两个解集找公共部分即可.【详解】由题意可知：不等式组315215xx①②--⎧⎨-<⎩…，不等式①的解集为2x≥-，不等式②的解集为3x<，不等式组的解集为23x-≤<，在数轴上表示应为.故选C.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟知和掌握不等式组解法的步骤和在数轴上表示解集是解题关键.19．若关于x的不等式x＜a恰有2个正整数解，则a的取值范围为（）A．2＜a≤3B．2≤a＜3 C．0＜a＜3 D．0＜a≤2【答案】A【解析】【分析】结合题意，可确定这两个正整数解应为1和2，至此即可求出a的取值范围【详解】由于x<a恰有2个正整数解，即为1和2，故2<a≤3故正确答案为A【点睛】此题考查了不等式的整数解，列出关于a的不等式是解题的关键20．下列命题中逆命题是真命题的是（）A．若a > 0，b > 0，则a·b > 0 B．对顶角相等C．内错角相等，两直线平行D．所有的直角都相等【答案】C【解析】【分析】先写出各命题的逆命题，再分别根据不等式的性质、对顶角、平行线的性质、角的概念逐项判断即可．【详解】A 、逆命题：若0a b ->，则0,0a b >>反例：2,1a b ==-时，2(1)0a b -=-->即此逆命题是假命题，此项不符题意B 、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角相等的角不一定是对顶角即此逆命题是假命题，此项不符题意C 、逆命题：两直线平行，内错角相等此逆命题是真命题，此项符合题意D 、逆命题：相等的角都是直角此逆命题是假命题，此项不符题意故选：C ．【点睛】本题考查了不等式的性质、对顶角、平行线的性质、角的概念，熟记各性质与定义是解题关键．。
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~ 1 ~
集合、方程与不等式测试题
线 号 学 题
答 得 名封 姓 不 内
线 封 级密 班 密 校
学 2013级数学试卷 题 目
一 二 三 四 五 总 分 得 分
一、 选择题。(4×10分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 1、下列表达式正确的是
( ) A. 0?? B. ?0???
C. ????0? D. ???0? 2、若集合
A??xx2?3x?2?0?，那么集合A用列举法
表示为 A. ?1,2? B. ??1,?2?
C.?1,?2? D. ??1,2? 3、a?0且b?0是
ab?0的。 A. 充分且不必要条件
B.必要且不充分条件 C. 充分且必
要条件 D.既不充分也不必要条件
4、将二次三项式2x2?4x?5进行配方，
正确的是( ) A. 2?x?1?2?3
B. ?x?1?2?3 C. 2?x?2?2?1
D. ?x?2?2?1 5、若a?b?0，则 A.
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~ 2 ~
1a?1b B. 1111a?b C. a?b D.
无法确定 6、不等式的解集?x?1?x?2?
用区间记法为 A. ??1,2?
B.??1,2? C. ??1,2? D.??1,2?
第1页 7、若
A??x?1?x?1?，B??x0?x?3?，则A?B的值
是 A. ?xx?1或x??1? B.?x0?x?1?
C. ?xx??1或x?0? D.?x?1?x?3? 8、一
元二次不等式x2?x?2?0的解集是
A. ?xx?2? B.?x?2?x?1? C. ?xx?2
或x??1? D.?x?1?x?2? 9、方
程?x?1?2?4?0的根是 A. x?3 B.
x??1 ??1，x2?3 D. x1??3,x2?1
10、设全集U={0,1,2,3,4}，M={0,1,2,3}，
N={0,3,4}，则M??CUN??( )
A. ?2,4? B.?1,2? C. ?1,0?
D. ?1,2,3,4? 二、填空题。 1、已知
集合A={2,3,4}，B={2,4,6}，则
A?B?____________，
A?B?____________。2、x 3、集
合?a,b,c?的所有非空真子集是
_____________________。 4、方程
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~ 3 ~
x2?16?0的解是
_________________________ 5、不等式
x?3?4的解集是
______________________________ 三、
简答题 四、解方程。
x2?4x?5?0 五、解不等式。(10
分) a2?4a?2≥3
第3页 第4页 密
封 线 内 不 得 答 题