四川省成都市九校2017届高三第四次联合模拟数学(理)试题

成都市9校2017届高三第四次联合模拟理科数学试卷考试时间共120分钟，满分150分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2230A x x x =--<,{}ln(2)B x y x ==-,则A B = A ．{}13x x -<< B ．{}12x x -<< C ．{}32x x -<<D ．{}12x x <<2．已知212zi i=++，则复数5z +的实部与虚部的和为 A ．10B ．10-C ．0D ．5-3．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值 为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为 A ．6B ．7C ．8D ．94．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广 告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）广告费x 2 3 4 5 6 销售额y2941505971由上表可得回归方程为 10.2y x a=+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为 A ．101.2 B ．108.8 C ．118.2 D ．111.25．设0.32a =，20.3b =，()2log 0.3(1)x c x x =+>，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<6．某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为 A ．60B ．40C ．120D ．240开始是否是否a ab =-b b a=-a输出结束,a b输入a b ≠ a b > （第3题图）7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 A ．π227B ．π327C ．π27D ．π2327 8．设等差数列{}n a 满足15853a a =，且01>a ，n S 为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项为A ．23SB ．25SC ．24SD ．26S9．已知变量,x y 满足约束条件6,32,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为2，则13a b +的最小值为A ．2+3B ．5+26C ．8+15D ．23 10．已知1()sin(2)2f x A x ϕ=+-（0A >，02πϕ<<）的图象在y 轴上的截距为，且()()6f x f x π=-+，若对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有23()m m f x -≤，则实数m 的取值范围为 A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,2 C ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．313313,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦11．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A B 、分别在抛物 线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12] 12．若关于x 的方程2(2)22xxx e aea x --+=-（e 为自然对数 的底数）有且仅有6个不等的实数解，则实数a 的取值范围是A ．2(,)21e e +∞- B ．(,)e +∞ C ．(1,)e D ．2(1,)21e e - 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.（第7题图）（第11题图）13. 已知2(21)n x dx =+⎰，则33()nx x-的展开式中2x 的系数为 ． 14. 设直线过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，与C 交于A 、B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ． 15. 在直角三角形ABC 中，2π=C ,,3=AC 对平面内的任一点M ，平面内有一点D ,使得MA MB MD 23+=，则=∙CA CD ．16. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和, 已知12a =,对任意*,p q N ∈,都有p q p q a a a +=+， 则()601n S f n n +=+)(*N n ∈的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）如图, 在△ABC 中, 点P 在BC 边上, 60,2,4PAC PC AP AC ︒∠==+=.（Ⅰ）求ACP ∠；（Ⅱ）若△APB 的面积是332, 求sin ∠BAP .18．（本小题满分12分）学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计5644100（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；P CBA（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 0k0.4550.7081.3213.8415.0246.63519．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC , 点E 是BC 边的中点, 将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ,AC ,DE , 得到如图2所示的几何体. （Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ；（Ⅱ）若1AD =，2AB =，求二面角B AD E --的大小.EDCBAE DCBA图220．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，直线20x y m -+=不过原点，且与椭圆22142y x +=有两个不同的公共点,A B .（Ⅰ）求实数m 取值所组成的集合M ；（Ⅱ）是否存在定点P 使得对任意的m M ∈，都有直线,PA PB 的倾斜角互补.若存在，求出所有定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分） 已知函数()()ln 0a f x x a x =+>.（Ⅰ）若函数()f x 有零点, 求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明:当2a e≥，1>b 时, ()1ln >f b b.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线3cos :sin x aC y a⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为：1)4cos(22-=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）过点(1,0)M -且与直线平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()12=+-+-f x x a x a .（Ⅰ）若()13<f ，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若1,a x R ≥∈, 求证：()2≥f x .理数双向细目表序号知识考点能力要求考点分值识记理解简单应用综合应用1 集合的运算√ 52 复数的运算√ 53 框图算法√ 54 线性回归√ 55 指数对数的运算√ 56 排列组合√ 57 三视图√ 58 等差数列前n项和√ 59 线性规划、均值不等式√ 510 三角函数恒成立求参数范围√511 抛物线定义√ 512 二次方程根的分布√ 513 定积分、二项式定理√ 514 双曲线的离心率√ 515 平面向量的运算√ 516 数列的最值√ 517 正弦定理、余弦定理√1218 变量的相关性、分布列、期望√1219 空间位置关系证明、求二面角√1220直线与椭圆位置关系、综合应用√12 21函数零点、函数与导数的综合应用√122223 参数方程、极坐标方程的互化直线参数方程的应用√10√解绝对值不等式及证明合计 150 比例理数答案一、选择题（1）B （2）C （3）C （4）D （5）B （6）A（7）C （8）B （9）A （10）B （11）B （12）D 二、填空题（13） （14）3 （15）6 （16）292三、解答题 (17) 解:(Ⅰ) 在△APC 中, 因为60,2,4PAC PC AP AC ︒∠==+=,由余弦定理得2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-⋅⋅⋅∠, ………………………1分 所以()()2222424cos 60AP AP AP AP ︒=+--⋅⋅-⋅, 整理得2440AP AP -+=, ………………………2分 解得2AP =. ………………………3分 所以2AC =. ………………………4分 所以△APC 是等边三角形. ………………………5分所以60.ACP ︒∠=………………………6分(Ⅱ)由于APB ∠是△APC 的外角, 所以120APB ︒∠=. ………………………7分 因为△APB 的面积是332, 所以133sin 22⋅⋅⋅∠=AP PB APB .…………………8分 所以3PB =. ………………………………………………………………………9分P CBA在△APB 中, 2222cos AB AP PB AP PB APB=+-⋅⋅⋅∠2223223cos120︒=+-⨯⨯⨯19=,所以19AB =. ………………………………………………………………………10分 在△APB 中, 由正弦定理得sin sin =∠∠AB PBAPB BAP, ………………………11分 所以sin ∠BAP 3sin12019︒=35738=.………………………………………………12分 （18）解：（1）由列联表得22100(26203034)0.64940.70856445050K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．……………………3分（2）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为305350⨯=人，“非古文迷”有205250⨯=人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人……………6分 （3）因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2,3．1232353(1)10C C P C ξ===，2132353(2)5C C P C ξ===，33351(3)10C P C ξ===．……………9分 所以随机变量ξ的分布列为ξ1 2 3P310 35110于是3319123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．……………12分(19) 解：(Ⅰ) 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =， 又BD ⊥DC ，所以DC ⊥平面ABD ……………………1分 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB ………………………2分又AD ⊥ABDC ∩AD D =所以AB ⊥平面ADC . …………………………………………4分 (Ⅱ) 2AB =，1AD =.3BD ∴=依题意△ABD ～△BDC ， 所以AB CDAD BD =，即213CD =. 6CD ∴= …………5分 如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -，则)0,0,0(D ,)0,0,3(B ,)0,6,0(C ，36,,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，36,0,33A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 36,,022DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，36,0,33DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.……………………………………6分 由（Ⅰ）知平面BAD 的法向量)0,1,0(=n .……………………………………7分 设平面ADE 的法向量),,(z y x m =由0,0,m DE m DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得360,22360.33x y x z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6=x ，得3,3y z =-=-,所以)3,3,6(--=m . ………………………………………9分 所以21||||,cos -=⋅⋅>=<m n mn m n . …………………………………………11分由图可知二面角B AD E --的平面角为锐角，所以二面角B AD E --的大小为︒60. ……………………………………12分 （20）解：（1）因为直线20x y m -+=不过原点，所以0m ≠，…………………………1分将20x y m -+=与22142y x +=联立，消去y 得： 2242240x mx m ++-=，…………………………………2分因为直线与椭圆有两个不同的公共点,A B ，zyxEDCB A所以22816(4)0m m ∆=-->，解得2222m -<<，…………………3分 所以实数m 的范围组成的集合M 是()()22,00,22- ………………………4分（2）假设存在定点00(,)P x y 使得任意的m M ∈,都有直线,PA PB 的倾斜角互补， 设1122(,),(,)A x y B x y ,由（1）知12,x x 是2242240x mx m ++-=的两个根， 所以2121224,24m m x x x x -+=-=……………………………………………5分 由题意：0PA PB k k +=…………………………………………6分 所以102010200y y y y x x x x --+=-- 整理得：121212012000()()()20y x x y y y x x x y x y +-+-++=…………………………7分 11222,2,y x m y x m ∴=+=+又 代入化简得：00002()2(2)02y x m x y -+-=…………………………………9分 由题意000020220y x x y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩解得0012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或0012x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩…………………………10分 所以定点的坐标为(1,2)P 或(1,2)P --，经检验，满足题意，所以存在定点P 使得任意的m M ∈,都有直线,PA PB 的倾斜角互补， 坐标为(1,2)P 或(1,2)P --.…………………………………………………12分（21）解:(Ⅰ) 函数()ln a f x x x=+的定义域为()0,+∞. 由()ln a f x x x =+, 得()221a x a f x x x x-'=-=. ……………………………………1分 因为0a >,则()0,x a ∈时, ()0f x '<;(),x a ∈+∞时,()0f x '>.所以函数()f x 在()0,a 上单调递减, 在(),a +∞上单调递增.当x a =时,()min ln 1f x a =+⎡⎤⎣⎦. …………………………………………………3分当ln 10+≤a , 即0<≤a 1e时, 又()1ln10=+=>f a a , 则函数()f x 有零点. 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. ……………………………………………………5分 (Ⅱ) 令()ln h x x x a =+, 则()ln 1h x x '=+.当10x e <<时, ()0f x '<;当1x e >时,()0f x '>. 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 当1x e =时, ()min 1h x a e=-+⎡⎤⎣⎦. 于是,当a ≥2e 时, ()11.h x a e e ≥-+≥ ① ………………………………………7分 令()x x xe ϕ-=, 则()()1x x x x e xe e x ϕ---'=-=-.当01x <<时, ()0x ϕ'>;当1x >时,()0x ϕ'<.所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增, 在()1,+∞上单调递减.当1x =时, ()max 1x eϕ=⎡⎤⎣⎦ 于是, 当0x >时, ()1.x e ϕ≤ ② ………………………………………………9分 显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.故当0,x >2a e≥时, ln -+>x x x a xe . ……………………………………………10分 因为1,>b 所以ln 0>b .所以()ln ln ln ln ln -⋅+>⋅b b b a b e .所以()1ln ln ln +>a b b b , 即()1ln >f b b. ………………………………………12分 （22）解： （Ⅰ）曲线C 化为普通方程为：2213x y +=,………………………（2分） 由1)4cos(22-=+πθρ，得2sin cos -=-θρθρ 所以直线的直角坐标方程为02=+-y x .……………………………………（5分）（2）直线1l 的参数方程为21,22.2x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），……………………（7分） 代入2213x y +=化简得：22220t t --=，…………………………（9分） 设B A ,两点所对应的参数分别为21,t t ，则121t t =-，∴12||||||1MA MB t t ⋅==. …………………………………………（10分）（23）解：(Ⅰ) 因为()13<f ，所以123+-<a a .① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，解得23>-a ，所以203-<≤a ; …………2分 ② 当102<<a 时，得()123+-<a a ，解得2>-a ，所以102<<a ; …………3分 ③ 当12a ≥时，得()123--<a a ，解得43<a ，所以1423a ≤<; ……………4分 综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. ……………………………5分 (Ⅱ) 因为1,≥∈a x R ,所以()()()1212=+-+-≥+---f x x a x a x a x a ……………………………7分31=-a31=-a ……………………………………………………………9分2≥. ……………………………………………………………10分。