江苏省扬州市第一中学高一数学《直线与圆》单元测试 苏教版
苏教版选择性必修第一册《第2章圆与方程》2024年单元测试卷+答案解析
苏教版选择性必修第一册《第2章圆与方程》2024年单元测试卷一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以为圆心，4为半径的圆的标准方程为()A. B.C. D.2.若方程表示半径为1的圆，则()A.1B.2C.或1D.或23.点与圆的位置关系为()A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.与m的值有关4.在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，，，，若它们都在同一个圆周上，则a的值为()A.0B.1C.2D.5.已知直线与圆相切，则的取值范围是()A. B. C. D.6.已知点P在直线上运动，M是圆上的动点，N是圆上的动点，则的最小值为()A.13B.11C.9D.8二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
7.已知圆，则下列说法正确的有()A.关于点对称B.关于直线对称C.关于直线对称D.关于直线对称8.已知直线与圆C：，则()A.对，直线恒过一定点B.，使直线与圆相切C.对，直线与圆一定相交D.直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为9.已知圆与圆，则下列说法正确的是()A.圆的圆心恒在直线上B.若圆经过圆的圆心，则圆的半径为C.当时，圆与圆有4条公切线D.当时，圆与圆的公共弦长为三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
10.已知圆与圆，若圆与圆外切，则实数m的值是______.11.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为______.四、解答题：本题共3小题，共36分。
高考数学大一轮复习 9.4直线与圆、圆与圆的位置关系配套练习 苏教版
9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系随堂演练巩固1.以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是 .【答案】 (x-2)2+(y+1)2252=【解析】将直线x+y=6化为x+y-6=0,圆的半径5112r ==,+所以圆的方程为2225(2)(1)2x y -++=.2.若过点A(4,0)的直线l 与曲线(x 222)1y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 . 【答案】 33[]-, 【解析】 设过A(4,0)的直线l 的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0(注:当k 不存在时,不满足题意).因为l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点, 所以211k ≤,+解得33k -≤≤.3.若圆1O :225x y +=与圆2O :(x-m)2220(y m +=∈R )相交于A 、B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是 . 【答案】 4【解析】由题知12(00)(0)O O m ,,,,且5<|m|<35,又12O A AO ⊥,所以有222(5)(25)255m m =+=⇒=±.所以52024AB ⨯=⨯=.4.设直线系M:xcos θ+(y-2)sin θ=1(02θ≤≤π),对于下列四个命题:①存在一个圆与所有直线相交; ②存在一个圆与所有直线不相交; ③存在一个圆与所有直线相切;④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的代号是 .(写出所有真命题的代号) 【答案】 ①②③【解析】因为xcos (2)y θ+-sin 1θ=,所以点P(0,2)到M 中每条直线的距离2211cos sin d θθ==,+即M 为圆C:2x +(y-2)21=的全体切线组成的集合,所以存在圆心在(0,2),半径大于1的圆与M 中所有直线相交,也存在圆心在(0,2),半径小于1的圆与M 中所有直线均不相交,也存在圆心在(0,2),半径等于1的圆与M 中所有直线相切. 故①②③正确.又因M 中的边能组成两类大小不同的正三角形,故④错误. 故命题中正确的序号是①②③.课后作业夯基 1.直线x+y=1与圆2220(x y ay a +-=>0)没有公共点,则a 的取值范围是 . 【答案】 (021)【解析】 圆心为(0,a),半径为a,2>a,解得2121a -<<.又a>0,∴021a <<.2.过原点的直线与圆22430x y x +++=相切,若切点在第三象限,则该直线的方程为 .【答案】 33y x =【解析】 圆的方程为22(2)1x y ++=,其圆心为(-2,0),半径r=1,画出圆和直线,易得直线的倾斜角为30o ,所以其斜率为33. 3.直线x+2y=0被曲线226215x y x y +---=0所截得的弦长等于 .【答案】 45【解析】 曲线即(x-3)2+(y-1)225=,它表示一个圆.圆心(3,1)到直线x+2y=0的距离555d ==,圆半径r=5.故弦长=22245r d -=.4.已知直线ax+by+c=0与圆O:221x y +=相交于A 、B 两点,且3AB =,则OA OB ⋅=u u u r u u u r . 【答案】 12-【解析】 如图,作OC AB ⊥于C,AB=3,在Rt △OAC 中312AC OA ,=,=, 所以AOC ∠=60o ,则AOB ∠=120o.所以OA ⋅u u u r OB =u u u r 11⨯⨯cos120o=12-.5.圆22243x y x y +++-=0上到直线l:x+y+1=02的点共有 个.【答案】 3【解析】 由圆的方程得圆心坐标为(-1,-2),半径为2,圆心到直线l 的距离为22d ==,可知圆上到直线l 2的点共有3个. 6.若直线y=kx-1与曲线243y x x =--+-有公共点,则k 的取值范围是 . 【答案】 [0,1]【解析】 ∵曲线243y x x =--+-的定义域为[1,3],且其图象为圆2(2)x -+2y =1的下半圆,如图所示,则直线y=kx-1要与曲线有公共点,则直线只能处于12l l ,之间,且可与12l l ,重合,则k 的取值范围是[0,1].7.过点(143)A ,作圆22243120x y x y ++--=的弦,其中长度为整数的弦共有 条.【答案】 8【解析】 圆22243120x y x y ++--=的圆心为(-1,23),半径为5.点A 与圆心的距离为22(11)(23)4++=,∴过点A 的最长弦长为10,最短弦长为222546-=.∴弦长为6的有1条,弦长为7、8、9的各有2条,弦长为10的有1条,共有8条.8.过原点O 作圆2268x y x y +--+20=0的两条切线,设切点分别为P 、Q,则线段PQ 的长为 . 【答案】 4【解析】可得圆方程为22(3)(4)5x y -+-=,又由圆的切线性质及在三角形中运用勾股定理得PQ= 4.9.与直线x+y-2=0和曲线2212x y x +--12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 .【答案】 22(2)(2)2x y -+-= 【解析】 ∵圆A:22(6)(6)18x y -+-=, ∴A(6,6),半径132r =. 如图,A 到l 的距离为52,∴所求圆B 的直径22r =2, 即22r =又2122OB OA r r =--=,由OA u u u r 与x 轴正半轴成角45o,∴B(2,2).∴所求圆的方程为22(2)(2)2x y -+-=.10.一个圆的圆心C 在直线x-y-1=0上,且与直线4x+3y+14=0相切,直线3x+4y+10=0截圆C 所得的弦长为6.(1)求圆C 的方程;(2)过点(7,7)作圆的切线,求切线的方程.【解】 (1)由圆心在直线x-y-1=0上,可设圆心坐标为(a,a-1),半径为 r,由题意可得 2222222436()[]243r r ⎧=,⎪+⎪⎨⎪=+,⎪+⎩解得a=2,r=5.∴所求圆的方程为22(2)(1)25x y -+-=.(2)点(7,7)在圆的外部,∴x=7是一条切线. 设另一条切线的方程为y-7=k(x-7), 即kx-y+7-7k=0, ∴22511k k ==,++解得1160k =.∴所求切线方程为x=7或11x-60y+343=0.11.已知圆M 的圆心在y 轴上,半径为1.直线l:y=2x+2被圆M 45且圆心M 在直线l 的下方.(1)求圆M 的方程;(2)设A(t,0),B(t+50)(41)t ,-≤≤-.若AC,BC 是圆M 的切线,求△ABC 面积的最小值. 【解】 (1)设M(0,b).由题设知,M 到直线l 22551()5-=55=解得b=1或b=3. 因为圆心M 在直线l 的下方,所以b=1,即圆M 的方程为22(1)1x y +-=.(2)当直线AC,BC 的斜率都存在,即-4<t<-1时,直线AC 的斜率AC k =tan 22222111t t MAO t t --∠==,--同理直线BC 的斜率22(5)(5)1BCt k t -+=+-. 所以直线AC 的方程为22()1t y x t t -=-,- 直线BC 的方程为22(5)(5)(5)1t y x t t -+=--+-. 解方程组 222()12(5)(5)(5)1t y x t t t y x t t -⎧=-,⎪-⎪⎨-+⎪=--,+-⎪⎩得222252105151t t t x y t t t t ++=,=++++.所以222210225151t t y t t t t +==-++++. 所以△ABC 的面积为2125(2)251t t ⨯⨯-++.因为-4<t<-1,所以2215134t t -≤++<-.所以508213y ≤<.故当52t =-时,△ABC 的面积取最小值152⨯⨯5021=12521.当直线AC,BC 的斜率有一个不存在时,即t=-4或t=-1时,易求得△ABC 的面积为203.综上,当52t =-时,△ABC 的面积的最小值为12521. 12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆1C :22(3)(1)4x y ++-=和圆2C :2(4)(x -+y-52)4=.(1)若直线l 过点A(4,0),且被圆1C 截得的弦长为23,求直线l 的方程;(2)设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ,它们分别与圆1C 和圆2C 相交,且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标.【解】 (1)设直线l 的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.得圆心1C 到直线l 的距离22232()12d =-=,结合点到直线距离公式,得231411k k k |---|=,+ 化简得22470k k +=,解得k=0或724k =-.求得直线l 的方程为y=0或7(4)24y x =--,即y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P 坐标为(m,n),直线1l 、2l 的方程分别为y-n=k(x-m)1()y n x m k,-=--,即kx-y+n 1100km x y n m k k-=,--++=.因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等,两圆半径相等. 所以圆心1C 到直线1l 与圆心2C 到直线2l 的距离相等. 故有22415111n m k k k k |--++|=,++化简,得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5,关于k 的方程有无穷多解,有 2030m n m n --=,⎧⎨--=⎩ 或 8050m n m n -+=,⎧⎨+-=.⎩解得点P 坐标为313()22-,或51()22,-.。
2021-2022年高考数学大一轮复习 9.4直线与圆的位置关系试题 理 苏教版
2021-2022年高考数学大一轮复习 9.4直线与圆的位置关系试题理苏教版一、填空题1．若直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是________．解析由题意得圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离小于1，即d＝1a2＋b2＜1，所以有a2＋b2＞1，∴点P在圆外．答案在圆外2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为________．解析设圆心C(x，y)，由题意得x－02＋y－32＝y＋1(y＞0)，化简得x2＝8y－8.答案x2＝8y－83．若圆C：(x－h)2＋(y－1)2＝1在不等式x＋y＋1≥0所表示的平面区域内，则h的最小值为________．解析h取最小值时，直线x＋y＋1＝0与圆O：(x－h)2＋(y－1)2＝1相切且在直线x＋y＋1＝0向右上方，所以|h＋2|2＝1，h＝－2±2，所以h min＝2－2.4．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．解析 将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得，弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx－y ＋k －2＝0，∴|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，∴k ＝1或k ＝177. 答案 1或1775．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为________．解析 由题意，得直线2(x ＋1)－y ＋λ＝0，即2x －y ＋2＋λ＝0与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，所以|λ－2|5＝5，λ－2＝±5，所以λ＝－3或λ＝7.答案 －3或76．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析 画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，即0＜|c |13＜1，∴－13＜c ＜13. 答案 (－13,13)7．从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．解析 圆的方程整理为(x －1)2＋(y －1)2＝1，C (1,1)，∴sin ∠APC ＝15，则cos ∠APB ＝cos2∠APC ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝35.答案 358．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点C 为(－2,3)， 则直线l 的方程为________． 解析 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a .由圆的几何性质可知圆心(－1,2)与点C (－2,3)的连线必垂直于l ，∴k AB ＝－－1＋22－3＝1， ∴l 的方程为x －y ＋5＝0. 答案 x －y ＋5＝09．已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．解析 (1)圆C 圆心坐标为(0,0)、半径r ＝23，l ：4x ＋3y －25＝0，由点到直线的距离公式得d ＝|4×0＋3×0－25|42＋32＝5. (2) 如图所示，当OM ＝3时，AB ︵上的点满足到直线l 的距离小于2.由平面几何知识可求得∠AOB ＝60°，故所求概率为AB ︵的长度与圆周长之比，所以所求概率为16. 答案 (1)5 (2)1610．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．解析 如图所示，设直线上一点P ，切点为Q ， 圆心为M ，则|PQ |即为切线长，MQ 为圆M 的 半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，∴|PM |的最小值为22， ∴|PQ |＝|PM |2－1≥222－1＝7.答案 7 二、解答题11．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程． 解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. 12. 如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)且被x 轴分成的两段圆弧长之比为1∶2，过点H (0，t )的直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O . (1)求圆C 的方程；(2)当t ＝1时，求出直线l 的方程； (3)求直线OM 的斜率k 的取值范围．解 (1)因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线y ＝1上．设圆C 与x 轴的交点分别为A 、B .由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB ＝2π3. 所以CA ＝CB ＝2.圆心C 的坐标为(－2,1)， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当t ＝1时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ＋1.由⎩⎨⎧y ＝mx ＋1，x ＋22＋y －12＝4，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4m 2＋1，y ＝m 2－4m ＋1m 2＋1.不妨令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1，N (0,1)． 因为以MN 为直径的圆恰好经过O (0,0)，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1·(0,1) ＝m 2－4m ＋1m 2＋1＝0，解得m ＝2± 3.所以所求直线l 方程为y ＝(2＋3)x ＋1 或y ＝(2－3)x ＋1.(3)设直线MO 的方程为y ＝kx .由题意，知|－2k －1|1＋k2≤2，解得k ≤34. 同理，得－1k ≤34，解得k ≤－43或k ＞0.由(2)知，k ＝0也满足题意．所以k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34. 13．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x －y －6＝0，A 为直线l 上一点．(1)若AM ⊥直线l ，过A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠PAQ 的大小；(2)若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值范围． 解 (1)圆M 的圆心M (1,1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，而AM ⊥l ，∴k AM ＝1.′∴直线AM 的方程为y ＝x .由⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y －6＝0解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，即A (3,3)． 如图，连结MP ， ∵∠PAM ＝12∠PAQ ，sin ∠PAM ＝PM AM ＝23－12＋3－12＝22， ∴∠PAM ＝45°，∴∠PAQ ＝90°.(2)过A (a ，b )作AD ，AE ，分别与圆M 相切于D ，E 两点，因为∠DAE ≥∠BAC ，所以要使圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，只要做∠DAE ≥60°. ∵AM 平分∠DAE ， ∴只要30°≤DAM <90°.类似于第(1)题，只要12≤sin∠DAM <1，即2a －12＋b －12≥12且a －12＋b －12≥12<1. 又a ＋b －6＝0，解得1≤a ≤5， 即a 的取值范围是[1,5]．14．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A (1,0)． (1)若l 1与圆相切，求l 1的方程；(2)若l 1与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，判断AM ·AN 是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．解 (1)①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意．②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即|3k －4－k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.所求直线方程是x ＝1或3x －4y －3＝0.(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0.由⎩⎨⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1. 又直线CM 与l 1垂直，由⎩⎨⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1kx －3得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k2，4k 2＋2k 1＋k 2. 所以AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 21＋k 2·31＋k 2|2k ＋1|＝6为定值，故AM ·AN 是定值，且为6.y38424 9618 阘38509 966D 陭u20287 4F3F 伿22881 5961 奡-32705 7FC1 翁39933 9BFD 鯽28239 6E4F 湏c24837 6105 愅33598 833E 茾。
(完整版)苏教版直线与圆习题精选(含答案详解)
（2013届南京期初调研卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1，0)，B (3，0)两点，且与直线x －y ＋1＝0相切，则圆C 的半径为 ▲ ． 答案：2(2012年栟茶高级中学高三阶段考试)设 x 、y 均为正实数，且33122x y+=++，以点),(y x 为圆心,xy R =为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为 ▲答案:256)4()4(22=-+-y x（苏锡常二模）在平面直角坐标系中，已知点在曲线上，点在轴上的射影为.若点在直线的下方，当取得最小值时，点的坐标为 .答案：xOy P )0(1>=x xy P x M P 0=-y x MPOM OP -2P（盐城二模）若直线1+=kx y 与直线240x y +-=垂直, 则k = ▲ .答案：12（盐城二模）过圆224x y +=内一点(1,1)P 作两条相互垂直的弦,AC BD , 当AC BD =时, 四边形ABCD 的面积为 ▲ .答案：6解析：过圆心O 向AC,BD 引垂线，则构成一个正方形，则O 到AC ，BD 距离为1，则AC=BD=则面积为6（南京二模）已知圆C 经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线x y 82=的焦点,则圆C 的方程为________________答案：x 2＋y 2－x －y －2＝0（天一）11.已知变量,a R θ∈，则22(2cos )(2sin )a a θθ-+-的最小值为 ▲ .答案：9解析：(,a a -在直线0x y --=上，点(2,2sin )cos θθ在圆224x y +=上，圆心到直线0x y --=距离的为5，则圆上点到直线距离最小值为3，故所求为9（泰州期末）12．过点C (3,4)且与轴，轴都相切的两个圆的半径分别为，则= ▲ . 答案：25（苏州期末）过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于A,B 两点,当ACB ∠最小时,直线l 的方程为_________________. 答案：2430x y -+=x y 21,r r 21r r（南京三模）10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．若点P 到坐标原点O的距离为F 、O 、P 三点的圆的方程是 ▲ ．答案:221725()()222x y -+-=（南京三模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,2)，直线:40l x y +-=．点B (,)x y 是圆22:210C x y x +--=的动点，,AD l BE l ⊥⊥，垂足分别为D 、E ，则线段DE 的最大值是 ▲ ．解答：线段DE 的最大值等于圆心（1，0）到直线AD （x-y+2=0）的距离加半径，为2。
扬州中学高一数学下学期5月月考试卷含解析苏教版
扬州中学高一数学下学期5月月苏教版)含解析(考试卷．学年江苏省扬州中学高一（下）5月月考数学试卷 2012-201370分）14一、填空题（共小题，每小题5分，满分）﹣1﹣1）x+（2m1．（5分）m为任意实数时，直线（m ．）（必过定点 9y=m ﹣5，﹣4恒过定点的直线．考点：直线与圆．专：题5y=m﹣2m（﹣1）分对于任意实数m，直线（m﹣1）x+x+2y则将方程转化为（则与m的取值无关，析：恒过定点，的系数和常数项为零即．让m5）=0﹣1）m+（x+y﹣可．x+2y可化为（y=m﹣5x+（2m﹣1）解解：方程（m﹣1）﹣ 1）m+（x+y﹣5答：）=0∵对于任意实数m，当时，直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5恒过定点由，得．故定点坐标是（9，﹣4）．故答案为（9，﹣4）．点本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力评：及直线系的理解．2x+2cosx （≤x≤）的最小值为 y=sin5．2（分）函数﹣2 ．复合三角函数的单调性．考 ：点 计算题；三角函数的图像与性质．专 ：题22，再x+2cosx+1y=﹣cos 分先将y=sinx+2cosx 转化为 析：配方，利用余弦函数的单调性求其最小值．2x+2cosx 解：∵y=sin 解2x+2cosx+1 ﹣cos 答：= 2 ，）+2=﹣（cosx ﹣1 ，∵≤x ≤，∴﹣1≤cosx ≤，﹣2≤cosx ﹣1≤﹣22≤﹣﹣1）≤（cosx ﹣1）．≤4，﹣4≤﹣（cosx ∴2．1）≤∴﹣2≤2﹣（cosx ﹣2 ．）y=sinx+2cosx （≤x ≤的最小值为﹣2∴函数．故答案为：﹣2本题考查余弦函数的单调性，考查转化思想与配方点 评：法的应用，属于中档题．＜，第k 项满足5项和3．（5分）已知数列的前n． 8 ＜a8，则k 的值为k等差数列的前n 项和．考 点： 专计算题． 题：﹣=Sn 项和的关系可得 a=项与前分根据数列的第n 1182k510=2n ﹣S ﹣=S ，当8析： n ≥2 a ，由＜﹣10＜1nnn ﹣的值．求得正整数k n 项和，解解：∵数列的前答：﹣8．∴a=S=1﹣9=1122﹣（n﹣1）﹣9=nn ≥2 a=S﹣S﹣9n﹣[（n当1nnn﹣ 10，1）]=2n ﹣，9，解得＜k＜ 58 可得＜2k﹣10＜8由5＜a＜k，故正整数k=8 ．故答案为 8项和的关系，解n本题主要考查数列的第n项与前点评：一元一次不等式，属于基础题．，）x+3y+2m=0（l：m﹣2l4．（5分）设直线：x+my+6=0和21m= ﹣1 时，l∥l．当21考直线的一般式方程与直线的平行关系．点：专直线与圆．题：分由平行的条件可得：，解后注意验证．析：解解：由平行的条件可得：，答：由，解得：m=﹣1或m=3；而当m=3时，l与l重合，不满足题意，舍去，故21m=﹣1．故答案为：﹣1．本题考查直线平行的充要条件，其中平行的不要忘点去掉重合的情况，属基础题．评：记，a，b5．（分）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为5 ．的值为b，c成等比数列，c=2a，则cosB ，c，且a余弦定理．考：点计算题．专：题可得，成等比数列且，cc=2ab，c，且a，b分由a，c=2a，结合余弦定理可求析：b= ，c=2ac成等比数列且，且a，b，，解解：∵a，bc22，=ac=2a答：bc=2a，b== 故答案为：点本题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定理评：在解三角形中的应用，属于基础试题6．（5分）若函数f（x）=sinωx （ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω= ．考由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．点：专计算题．题：时确定最大值，就是由题意可知函数在x=分析：ω的值即可．，求出时确定最大值，就是解：由题意可知函数在x=解答：时，ω=；只有k=0Z，所以ω=6k+∈，k满足选项．故答案为：．本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式点评：的求法，也可以利用函数的奇偶性解答，常考题型．轴上的截距相等的yx、4A（1，）且在．7（5分）过点条． 2 直线共有考直线的截距式方程．点：专探究型；分类讨论．题：分分直线过原点和不过原点两种情况求出直线方程，析：则答案可求．解解：当直线过坐标原点时，方程为y=4x，符合题意；答：当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，代入A的坐标得a=1+4=5．直线方程为x+y=5．所以过点A（1，4）且在x、y轴上的截距相等的直线共有2条．故答案为2．点本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的评：数学思想方法，是基础题．k（，xy为自变量的目标函数z=kx+y 8．（5分）已知以B，1，2）＞0）的可行域如图阴影部分（含边界），且A（取最），若使z，E （2，1（C0，1），（，0），D，0）（k= 1 ．大值时的最优解有无穷多个，则考简单线性规划的应用．点：专图表型．题：分由题设条件，目标函数z=kx+y，取得最大值的最优析：解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数最大值应在右上方边界AE上取到，即z=kx+y应与直线AE平行；进而计算可得答案．解解：由题意，最优解应在线段AE上取到，故z=kx+y答：应与直线 AE平行∵k==﹣1，AE∴﹣k=﹣1，∴k=1，故答案为：1．点本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆评：用题型，知最优解的特征，判断出最优解的位置求参数．，前分）（2005?湖北）设等比数列{a}的公比为q9．（5n﹣的值为成等差数列，则qSn 项和为，若S，S，S n+2nnn+1 2 ．考等差数列的性质；等比数列的性质．点：专压轴题；分类讨论．题：，=S+SS，S成等差数列，可得2S分首先由S，n+2nn+1n+1n+2n，S， S，S析：然后利用等比数列的求和公式分别表示n+2nn+1两种情况讨论，解方程即可．注意分q=1和q≠1，且S，前n项和为的公比为解解：设等比数列{a}q nn答：S ，S，S成等差数列，则2S=S+S，n+2n+1nn+1n+2n若q=1，则S=na，式显然不成立，1n若q≠1，则为，nn+1n+2，+q故2q =q2即q+q﹣2=0，因此q=﹣2．故答案为﹣2．点涉及等比数列求和时，若公比为字母，则需要分类评：讨论．10．（5分）若三直线x+y+1=0，2x﹣y+8=0和ax+3y﹣5=0相互的交点数不超过2，则所有满足条件的a组成的集合为 {，3，﹣6} ．考两条直线的交点坐标．点：专计算题；直线与圆．题：的交点，代入2x﹣y+8=0分首先解出直线x+y+1=0与分别﹣5=05=0求解a的值；然后由ax+3y析：ax+3y ﹣ a的值．和已知直线平行求解解解：由，，得答：，3，2）﹣所以直线x+y+1=0与2xy+8=0的交点为（﹣，5=0，则﹣3a+6﹣，ax+3y﹣5=0过（﹣32）若直线；解得，），过定点（由ax+3y﹣5=00；，a=3﹣5=0与x+y+1=0平行，得ax+3y若．a=平行，得ax+3y若﹣5=0与2x﹣y+8=0﹣6，a组成的集合为{．}所以满足条件的{故答案为}．本题考查了两条直线的交点坐标，考查了分类讨论点评：的数学思想方法，是基础题．*则函数N∈，=1+2+3+…+n，511．（分）设Sn n．的最大值为考等差数列的前n项和；函数的最值及其几何意义．点：专计算题．题：代简将其代入分由题意求出S的表达式，n 析：后求其最值即可．解解：由题意S=1+2+3+…+n=n答：===∴时成立=等号当且仅当≤故答案为项公式以及利用基本不等n点本题考查等差数列的前求解本题的关键是将所得的关系式转化为式求最值，评：利用基本不等式可以利用基本不等式求最值的形式，其特征是看是求最值是最值的一个比较常用的技巧，否具备：一正，二定，三相等．，4）（0）过点A4，：12．（5分）直线lx=my+n （n＞n若可行域的值是的外接圆直径为，则实数 6 ．2或考简单线性规划的应用．点：专不等式的解法及应用．题：分令直线l：x=my+n（n＞0）与x轴交于B 点，则得可析：行域是三角形 OAB，根据正弦定理可构造一个关于n的方程，解方程即可求出实数n的值解解：设直线l：x=my+n（n＞0）与x轴交于B（n，0），点答：x直线，4 ），n＞0）经过点A （4∵直线x=my+n（），4，4 ﹣y=0也经过点A（）经过一、二、四象限n＞0∴直线x=my+n （0∴m＜，且∠AOB=60°∴可行域是三角形OAB，∵可行域围成的三角形的外接圆的直径为由正弦定理可得，=2R=?sin∠60°=8=∴AB=6∴n=2或．6故答案为：2或本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中点的方程， n评：根据已知条件，结合正弦定理，构造关于是解答本题关键．），0ll，若经过点（a3513．（分）过点（1，）作直线 2 条．的个数为则可作出的N*ba，b0和（，）且，∈，l考直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．：点探究型；直线与圆．专：题的斜率，写l，b）求出a，0）和（0分由l经过点（，）可得=1出直线方程的点斜式，代入点（ a，0析：，则答案可求．，b求出满足该式的整数对a+3 ）﹣1的表达式为y=（x解：由题意可得直线L解答： =1，），可得+3=b 变形得因为直线l 经过（a，0，和a=4a=2，b=6因为a，b都属于正整数，所以只有符合要求b=4﹣y=）+3和﹣3（x ﹣1所以直线l只有两条，即y= ．）+3（x ﹣1 ．故答案为2本题考查了直线的图象特征与直线的倾斜角和斜率点评：的关系，训练了代入法，关键是确定整数解，是基础题．aR ，则，且满足c5分）若a ，b ，∈．14（ ．，5] 的取值范围是[1考函数与方程的综合运用．点：专应用题．题：分根据条件，利用基本不等式，可将问题转化为关于a 析：的不等式，解之，即可得到 a 的取值范围．2解解：∵a ﹣bc ﹣2a+10=0，2﹣bc=a ∴2a+10答：22∵b+bc+c ﹣12a ﹣15=0．22∴b+bc+c=12a+15．22∵b+bc+c ≥bc+2bc=3bc2∴12a+15≥3（a ﹣2a+10）2∴a ﹣6a+5≤0∴1≤a ≤5∴a 的取值范围是[1，5]故答案为：[1，5]点本题以等式为载体，考查基本不等式的运用，考查评：学生分析解决问题的能力，利用基本不等式，将问题转化为关于a的不等式是解题的关键．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知函数，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最小值；（2）已知，，，求f（β）的值．考三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及点：其求法；复合三角函数的单调性．专计算题．题：分（1）由辅助角公式对已知函数化简可得，析：，结合正弦函数的性质可求周期、函数的最大值（2）由已知利用和角与差角的余弦公式展开可求得cosαcosβ=0，结合已知角α，β的范围可求β，代入可求f（β）的值．（1）∵解：解答： =sinxcos=，∴=2f（x）∴T=2π，max）2（∵∴cosαcosβ=0，∵∴点本题主要考查了辅助角公式在三角函数的化简中的评：应用，正弦函数的性质的应用，两角和与差的余弦公式的应用．16．（14分）如图，要测量河对岸两点A、B 之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求AB之间的距离．考解三角形的实际应用．点：专计算题；应用题．题：分先在△ACD中求出∠CAD、∠ADC的值，从而可得到析：AC=CD= ，然后在△BCD中利用正弦定理可求出BC的长度，最后在△ABC中利用余弦定理求出AB的长度即可．解解：在△ACD中，∠ACD=120°，答：∠CAD=∠ADC=30°∴AC=CD= km在△BCD中，∠BCD=45°∠BDC=75°∠CBD=60°=，=∴BC=∵在△ABC中，由余弦定理得：222×cos75°=3+2+﹣+（）AB﹣=2=5∴AB=km答：A、B之间距离为km．点本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的评：综合运用．解三角形在高考中是必考内容，而且属于较简单的题目，一定要做到满分．17．（15分）过点P（2，1）的直线l与x 轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．（1）求u=|OA|+|OB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程；（2）求v=|PA|?|PB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程．考直线和圆的方程的应用．点：专直线与圆．题：分（1）设出直线方程的截距式，用含有一个字母的代析：数式表示出u，然后利用基本不等式求最小值；（2）由两点间的距离公式求出|PA|，|PB|，代入v=|PA|?|PB|后取平方，然后利用基本不等式求最值．解解：（1）设点A（a，0），B（0，b），则直线l：答：∵P（2，1）在直线l上，∴，∴，∵a，b＞0，∴a＞2．==．当且仅当a﹣2=（a＞2），即a=2+时等号成立．此b=1+时．，即； ∴，此时l ：，）知， ）由（（21，∵∴ ．时等号成立，a=3，即当且仅当 ．此时b=3 ，此时=4∴ux+y=3：l ，即．min点本题考查了直线方程的应用，训练了利用基本不等式评： 求最值，解答的关键在于利用基本不等式求最值的条件，是中档题．18．（15分）某工厂生产甲、乙两种产品，这两种产品每千克的产值分别为600元和400元，已知每生产1千克甲产品需要A种原料4千克，B种原料2千克；每生产1千克乙产品需要A种原料2千克，B种原料3千克．但该厂现有A种原料100千克，B种原料120千克．问如何安排生产可以取得最大产值，并求出最大产值．考简单线性规划．点：专应用题．题：分先设生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，其析：利产值为 z元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=600x+400y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=600x+400y过可行域内的点时，从而得到z值即可．解解析：设生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，答：其利产值为 z元，根据题意，可得约束条件为…（3分）作出可行域如图：…．（5分）目标函数z=600x+400y，作直线l：3x+2y=0，再作一组平行于l的直线l：003x+2y=z，当直线l经过P点时z=600x+400y取得最大值，…．（9分），解得交点P（ 7.5，35）…．（12分）由所以有z最大=600×7.5+400×35=18500（元）…（13分）所以生产甲产品7.5千克，乙产品35千克时，总产值最大，为18500元．…（14分）点本题是一道方案设计题型，考查了列一元一次不等评：式组解实际问题的运用及一元一次不等式组的解法的运用，解答时找到题意中的不相等关系是建立不等式组的关键．19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（﹣1）=0，且2x≤f（x）≤（x+1）对一切实数x恒成立．（1）求f（1）；（2）求f（x）的解析表达式；（3）证明：+…+＞2．考二次函数的性质．点：专函数的性质及应用．题：分（1）利用不等式的求f（1）的值．（2）利用待定系析：数法求函数的解析式．（3）利用放缩法证明不等式．2+1）对一切实数x）≤（x解解：（1）因为x≤f（x答：恒成立．所以当x=1时，有1≤f（1）≤（1+1）=1，所以f（1）=1．2（2）设二次函数f（x）=ax+bx+c，a≠0，因为f（1）=1，f（﹣1）=0，所以a+c=b=．因为f （x ）≥x 对一切实数x 恒成立，2）x+c ≥0，所以必有，﹣1ax+（b 即 0．ac ，，所以c ＞解得a ＞0因为取等号，，当且仅当a=c=所以．）因为3（， 所以．+…+＞+…+ 故不等式＞2成立．点本题主要考查二次函数的图象和性质以及利用放缩评：法证明不等式，综合性较强．20．（16分）（2011?朝阳区一模）有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k 项为a（m，k=1，2，3，…，mk n，n≥3），公差为d，并且a，a，a，…，a成等差nn1n3nm2n 数列．（Ⅰ）证明d=pd+pd（3≤m≤n，p，p是m 的多项式），2m11221并求p+p的值；21（Ⅱ）当d=1，d=3时，将数列d分组如下：（d），（d，221m1d，d），（d，d，d，d，d），…（每组数的个数构成等94768534差数列）．设前m 组中所有数之和为（c）（c＞0），求mm数列的前n项和S．n（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（Ⅱ）中的S，求使得不等式成立的所有N的值．n考等差数列的性质；数列与不等式的综合．点：专综合题；压轴题．题：分（Ⅰ）先根据首项和公差写出数列的通项公式，利析：用通项公式表示出数列 a，a，a，…，a中的第nn3n1n2n项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d是首项d，公差为d﹣d的等差121n 数列，根据等差数列的通项公式表示出d的通项，m令p=2﹣m，p=m﹣1，得证，求出p+p 即可；2211（Ⅱ）由d=1，d=3，代入d中，确定出d的通项，m12m根据题意的分组规律，得到第m组中有2m﹣1个奇数，所以得到第1组到第m组共有从1加到2m﹣1个奇数，利用等差数列的前n 项和公式表示出之和，2从而表示出前m 个奇数的和，又前m 组中所有数之4和为（c ）（c ＞0），即可得到c=m ，代入中确mmm定出数列的通项公式，根据通项公式列举出数列的前n 项和S ，记作①，两边乘以2得到另n一个关系式，记作②，②﹣①即可得到前n 项和S n的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）得到d 和S 的通项公式代入已知的nn 不等式中，右边的式子移项到左边，合并化简后左边设成一个函数f （n ），然后分别把n=1，2，3，4，5代入发现其值小于0，当n ≥6时，其值大于0即原不等式成立，又N 不超过20，所以得到满足题意的所有正整数N 从5开始到20的连续的正整数．解解：（Ⅰ）由题意知a=1+（n ﹣1）d ． mmn答：则 a ﹣a=[1+（n ﹣1）d]﹣[1+（n ﹣1）d]=（n ﹣122n1n 1）（d ﹣d ）， 12同理，a ﹣a=（n ﹣1）（d ﹣d ），a ﹣a=（n ﹣1）3n3n322n4n （d ﹣d ），…，a ﹣a=（n ﹣1）（d ﹣d ）． 1nnn ﹣n （4n ﹣31）n 又因为a ，a ，a ，a 成等差数列，所以a ﹣a=a 3n2nnn3n1n1n2n ﹣a=…=a ﹣a ． n ）2nnnn ﹣1（故d ﹣d=d ﹣d=…=d ﹣d ，即d 是公差为d ﹣d 11n322n2﹣n1的等差数列． 所以，d=d+（m ﹣1）（d ﹣d ）=（2﹣m ）d+（m ﹣1）112m1d ． 2令p=2﹣m ，p=m ﹣1，则d=pd+pd ，此时p+p=1．（422111m212分） *（Ⅱ）当d=1，d=3时，d=2m ﹣1（m ∈N ）． m12数列d 分组如下：（d ），（d ，d ，d ），（d ，d ，d ，7m251346d ，d ），． 98按分组规律，第m 组中有2m ﹣1个奇数，2所以第1组到第m 组共有1+3+5+…+（2m ﹣1）=m 个奇数． 2，=k ） 2k 注意到前k 个奇数的和为1+3+5+…+（﹣12224所以前m 个奇数的和为（m ）=m ．444．） 组中所有数之和为m=m ，所以（c 即前m m 因为c ＞0，所以c=m ，从而． mm234n ﹣1所以S=1?2+3?2+5?2+7?2+…+（2n﹣3）?2+（2n nn ﹣1）?2.2S n234nn+1．①?2 2n﹣1（2n﹣3）?2=1?2）+3?2++5?2（+…+234nn+1故2S=2+2?2+2?2+2?2+…+2?2﹣（2n﹣1）?2=2n23n （2+2+2+…+2）﹣2﹣（2n﹣1）n+1n+1?2==（3﹣2n）2﹣6．②n+1 9分）+6．（（2n﹣3）2=②﹣①得：S n*）3（2n﹣∈N），S==2n（Ⅲ）由（Ⅱ）得d﹣1（n nn*n+1．∈N）2+6（n n+1．1）＞50（2n即故不等式，（2n﹣3）2﹣n+12n（﹣1）=2n（2n ﹣3）2﹣50（考虑函数f（n）=n+1．﹣50）﹣100﹣3）（22n）＜0，即（n4，5时，都有f（3当n=1，2，，n+11）．＜50（2n﹣）﹣32 ，050）﹣100=602＞=9而f（6）（128﹣）＞n）单调递增，故有f（n注意到当n≥6时，f （．0n+1）成立，﹣12＞50（2n3时，因此当n≥6（2n﹣）成立．即14（．7，6，，…，20N=5所以，满足条件的所有正整数分）n 点此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前项和公式化简求值，会利用错位相减的方法求数列评：的通项公式，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．。
江苏专版高考数学一轮复习课时跟踪检测四十三直线与圆圆与圆的位置关系文含解析苏教版
江苏专版高考数学一轮复习课时跟踪检测四十三直线与圆圆与圆的位置关系文含解析苏教版课时跟踪检测（四十三） 直线与圆、圆与圆的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·扬州期末)已知直线l ：x ＋3y －2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．解析：圆心C (0,0)到直线l 的距离d ＝|0＋3×0－2|1＋3＝1，所以AB ＝24－1＝23，故弦AB 的长为2 3.答案：2 32．(2019·南京调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y ＝0与圆(x －3)2＋(y －1)2＝25相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________．解析：圆(x －3)2＋(y －1)2＝25的圆心坐标为(3,1)，半径为5. ∵圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3＋2×1|5＝5，∴线段AB 的长为2r 2－d 2＝225－5＝4 5. 答案：4 53．设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于2，则圆半径r 的取值范围为________．解析：∵圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)的圆心坐标为(3，－5)，半径为r ， ∴圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|12＋15－2|5＝5，∵圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于2，∴|r －5|＜2，解得3＜r ＜7.答案：(3,7)4．(2018·苏锡常镇调研)若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，故圆心到直线的距离d ＝|－3＋8－m |32＋42≤1. 即|m －5|≤5，解得0≤m ≤10. 答案：[0,10]5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为C ，点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23，则S △ABC ＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，圆心为(3,0)，半径为2.∵点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23， ∴圆心(3,0)到直线AB 的距离为22－32＝1，∴S △ABC ＝12×23×1＝ 3.答案： 36．若圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与直线y ＝－1相切，其圆心在y 轴的左侧，则m ＝________.解析：圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋122，圆心到直线y ＝－1的距离m 2＋12＝|0－(－1)|，解得m ＝±3，因为圆心在y 轴的左侧，所以m ＝ 3.答案： 3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点A 到原点的距离为2，到直线 3x ＋y －2＝0的距离为1，则满足条件的点A 的个数为________．解析：如图，作出直线3x ＋y －2＝0，作出以原点为圆心，以2为半径的圆，∵原点O 到直线3x ＋y －2＝0的距离为1，∴在直线3x ＋y －2＝0的右上方有一点满足到原点的距离为2，到直线3x ＋y －2＝0的距离为1，过原点作直线3x ＋y －2＝0的平行线，交圆于两点，则两交点满足到原点的距离为2，到直线3x ＋y －2＝0的距离为1.故满足条件的点A 共3个． 答案：32．(2018·苏州调研)两圆交于点A (1,3)和B (m,1)，两圆的圆心都在直线x －y ＋c2＝0上， 则m ＋c ＝________.解析：由题意可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，2在直线x －y ＋c 2＝0上，代入得m ＋c ＝3.答案：33．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－2,0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆(x －a )2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．解析：因为PT 与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，所以在Rt △OPT 中，OT ＝1，OP ＝2，∠OTP ＝π2，从而∠OPT ＝π6，PT ＝3，故直线PT 的方程为x ±3y ＋2＝0，因为直线PT 截圆(x －a )2＋(y －3)2＝3得弦长RS ＝3，设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|a ±3＋2|2，又3＝23－d 2，即d ＝32，即|a ±3＋2|＝3，解得a ＝－8或a ＝－2或a ＝4，因为a ＞0，所以a＝4.答案：44．(2018·无锡模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA ―→·PB ―→≤0，则线段EF 长度的最大值是________．解析：由PA ―→·PB ―→≤0得∠APB ≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB 才是最大的角，不妨设切线为PM ，PN ，当∠APB ≥90°时， ∠MPN ≥90°，sin ∠MPC ＝2PC ≥sin 45°＝22，所以PC ≤2 2.另当过点P ，C 的直线与直线l ：y ＝x ＋1垂直时，PC min ＝322，以C 为圆心，CP ＝22为半径作圆交直线l 于E ，F 两点，这时的线段长即为线段EF 长度的最大值，所以EF max ＝2222－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝14. 答案：145．(2019·镇江调研)若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：如图，因为圆O 1与圆O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O 1A ⊥OA . 又因为OA ＝5，O 1A ＝25，所以OO 1＝5.又A ，B 关于OO 1对称，所以AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍．由12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.所以AB ＝4. 答案：46．(2018·淮阴期末)圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0相内切，若a ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋4b2的最小值为________．解析：由题意，两圆的标准方程分别为 (x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －b )2＝1， ∴圆心分别为(－a,0)，(0，b )，半径分别为2和1. ∵两圆相内切，∴a 2＋b 2＝1，∴a 2＋b 2＝1，∴1a 2＋4b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)＝5＋4a 2b 2＋b 2a 2≥5＋4＝9，当且仅当4a 2b 2＝b 2a 2，即a 2＝13，b 2＝23时等号成立．故1a 2＋4b2的最小值为9.答案：97．(2018·苏北四市期末)已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为________．解析：如图，因为A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，所以线段AB 的中点H 在圆O ：x 2＋y 2＝14上，且|PA ―→＋PB ―→|＝2|PH ―→|.因为点P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，所以5－32≤|PH ―→|≤5＋32，即72≤|PH ―→|≤132，所以7≤2|PH ―→|≤13，从而|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为[7,13]．答案：[7,13]8．(2019·淮安模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的圆O 的两条切线互相垂直，则实数k 的最小值为________．解析：圆O 的圆心为O (0,0)，半径r ＝1.设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PAOB 为正方形，故有PO ＝2r ＝2，∴圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于PO ＝2，即|2|1＋k≤2，即1＋k ≥2，解得k ≥1，∴实数k 的最小值为1. 答案：19．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则a －22＋－2a ＋12＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1. 所以C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝1－22＋－2＋12＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， 所以直线l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1，0)，B (1,2)．(1)若直线l ∥AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2) 在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．解：(1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以圆心C (2,0)，半径为2. 因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)， 所以直线l 的斜率为2－01－－1＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0， 则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2＋m |2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22， 而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝2＋m 22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4. 因为|2－2|＜2－02＋0－12＜2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·苏州调研)过曲线y ＝2|x －a |＋x －a 上的点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1作两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且∠APB ＝60°，若这样的点P 有且只有两个，则实数a 的取值范围是________．解析：根据题意，若经过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，且∠APB ＝60°，则∠OPA ＝30°，所以PO ＝2AO ＝2，故点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.y ＝2|x －a |＋x －a ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3a ，x ≥a ，－x ＋a ，x ＜a ，当x ≤a 时，曲线为x ＋y －a ＝0， 当x ≥a 时，曲线为3x －y －3a ＝0.故当a ＜0时，若这样的点P 有且只有两个，必有|3a |1＋9＜2，即－3a10＜2， 解得a ＞－2103，即－2103＜a ＜0；当a ＝0时，曲线为y ＝2|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥0，－x ，x ＜0，符合题意；当a ＞0时，若这样的点P 有且只有两个，必有|a |1＋1＜2，解得a ＜22，即0＜a ＜22， 综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2103，22.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2103，222．(2018·苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且BM ―→＝2MA ―→，则直线l 的方程为__________．解析：法一：易知直线l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －1)．由BM ―→＝2MA ―→，可设BM ＝2t ，MA ＝t ，如图，过原点O 作OH ⊥l 于点H ，则BH ＝3t 2.设OH ＝d ，在Rt △OBH 中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＝r 2＝5，在Rt △OMH中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＝OM 2＝1，解得d 2＝12.所以d 2＝k 2k 2＋1＝12，解得k ＝1或k ＝－1，因为点A 在第一象限，BM ―→＝2MA ―→，由图知k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以MA ―→＝(x 1－1，y 1)，BM ―→＝(1－x 2，－y 2)． 因为BM ―→＝2MA ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝2x 1－1，－y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝2x 1－3，－y 2＝2y 1.又x 22＋y 22＝5，所以(2x 1－3)2＋4y 21＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，2x 1－32＋4y 21＝5，解得x 1＝2，代入可得y 1＝±1， 又点A 在第一象限，故A (2,1)，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝03．已知圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝4. (1)过点C 1作圆C 2的切线，求该切线方程；(2)过圆心C 1作倾斜角为θ的直线l 交圆C 2于A ，B 两点，且A 为C 1B 的中点， 求sin θ；(3)过点P (m,1)引圆C 2的两条割线l 1和l 2.直线l 1和l 2被圆C 2截得的弦的中点分别为M ，N ，试问过点P ，M ，N ，C 2的圆是否过定点(异于点C 2)？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由．解：(1)显然切线的斜率存在，设切线方程为y ＝k (x ＋1)， 由题意得|5k |1＋k2＝2，解得k ＝±22121， 所以所求直线方程为y ＝±22121(x ＋1)，即2x ±21y ＋2＝0. (2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 则圆心C 2到直线l 的距离d ＝5k 1＋k2，设AB 的中点为R ，则AR ＝4－d 2＝12AB ＝13C 1R ＝1325－d 2，解得d 2＝118.在Rt △C 1RC 2中，sin θ＝C 2R C 1C 2＝d 5＝2220. (3)依题意，过点P ，M ，N ，C 2的圆即为以PC 2为直径的圆， 所以(x －4)(x －m )＋(y －1)(y －0)＝0， 即x 2－(m ＋4)x ＋4m ＋y 2－y ＝0，。
(易错题)高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试(含答案解析)
一、选择题1．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ）A ．5270x y -+=B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --= 2．设有一组圆()()()224*:1k C x y k kk N -+-=∈，给出下列四个命题： ①存在k ，使圆与x 轴相切②存在一条直线与所有的圆均相交③存在一条直线与所有的圆均不相交④所有的圆均不经过原点其中正确的命题序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④ 3．夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆的最大面积等于（ ） A ．2π B ．4πC ．8πD ．12π 4．已知圆C ：()()22232++-=x y ，从点()1,3P 发出的光线，经直线1y x =+反射后，光线恰好平分圆C 的周长，则入射光线所在直线的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．4-D ．14- 5．直线210y x -+=关于30y x -+=对称的直线方程是（ ） A ．280x y --= B ．2100x y --= C ．2120x y +-= D ．2100x y +-= 6．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=，则实数r 的取值范围为（ ）A ．(0,B ．C ．)+∞D ．+∞[) 7．过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-= 8．已知()()4,0,0,4A B ，从点(1,0)P 射出的光线被直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经OB 反射后回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）A B ．6 C ．D ．9．已知函数22()()4)()f x x a a a R =-+-∈，若关于x 的不等式()2f x ≤有解，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．D 10．曲线214y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点，则k 的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．53,124 D ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 11．已知点(1,1)A - 和圆221014700C x y x y +--+=: ，一束光线从点A 出发，经过x 轴反射到圆C 的最短路程是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．912．若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ） A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，过圆1C ：22()(4)1x k y k -++-=上任一点P 作圆2C ：22(1)1x y ++=的一条切线，切点为Q ，则当PQ 取最小值时，k =______．14．已知直线l 经过点(2,1)，且和直线30x --=的夹角等于30，则直线l 的方程是_________．15．点P (－3，1)在动直线mx ＋ny ＝m ＋n 上的投影为点M ，若点N (3，3)那么|MN |的最小值为__________.16．若直线4(1)80x m y +++=与直线2390x y --=平行，则这两条平行线间的距离为_________.17．将直线:10l x y +-=，20l nx y n +-=:，3:0l x ny n +-=（n *∈N ，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则n n lim S →∞=___________． 18．已知圆O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,2)，点P 为线段OA 垂直平分线上的一点，若OPA ∠为钝角，则点P 横坐标的取值范围是______.19．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A -，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在一点M 满足2=MA MO ，则实数a 的取值范围是__________．20．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+，曲线2C 的方程为22(1)4x y ++=，若1C 与2C 有且仅有三个公共点，则实数k 的值为_____．三、解答题21．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点M 到点()1,0A -与点()2,0B 的距离之比为2，记动点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点()5,4P -作曲线C 的切线，求切线方程.22．已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||5MN =，求m 的值． 23．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，AB 4=，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切.（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径； （2）求M 的圆心M 点的轨迹方程. 24．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点()3,4-，且在两坐标轴上的截距之和为12；（2）直线m ：3260x y --=关于直线l ：2310x y -+=的对称直线m '的方程． 25．如果实数x ，y 满足()()22336x y -+-=，求：（1）y x的最大值与最小值； （2）22x y +的最大值和最小值.26．已知O 为坐标原点，倾斜角为2π3的直线l 与x ，y 轴的正半轴分别相交于点A ，B ,AOB 的面积为（1）求直线l 的方程；（2）直线:l y x ='，点P 在l '上，求PA PB +的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可.【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径，则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ，则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.2．C解析：C【分析】取特殊值1k =，圆与x 轴相切，①正确；利用圆心()1,k 恒在直线0kxy 上，该线与圆一定相交，可判定②③的正误；利用反证法说明④错误.【详解】选项①中，当1k =时，圆心()1,1，半径1r =，满足与x 轴相切，正确；选项②③中，圆心()1,k 恒在直线0kxy 上，该线与圆一定相交，故②正确，③错误；选项④中，若()0,0在圆上，则241k k +=，而*k N ∈，若k 是奇数，则左式是偶数，右式是奇数，方程无解，若k 是偶数，则左式是奇数，右式是偶数，方程无解，故所有的圆均不经过原点，正确.故选：C.【点睛】本题解题关键是发现圆心()1,k 恒在直线0kx y 上，确定该线与圆一定相交，再结合特殊值法和反证法逐个击破即可. 3．B解析：B【分析】夹在两平行直线之间的面积最大的圆与这两条直线都相切，求出直径即可得到面积【详解】两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的距离：4d ==，夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆半径最大值为2， 所以该圆的面积为4π.故选：B【点睛】此题考查求两条平行直线之间的距离，关键在于熟记距离公式正确求解.4．C解析：C【分析】根据光路可逆，易知圆心()2,3C -关于直线1y x =+的对称点M ，在入射光线上，由此可求得结果.【详解】圆C ：()()22232++-=x y ，圆心为()2,3C -， 由已知，反射光线经过()2,3C -，故C 点关于直线1y x =+的对称点M 在入射光线上．设(),M a b ，则31232122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，即()2,1M -， 且光源()1,3P ，所以入射光线的斜率13421k --==--， 故选：C.【点睛】关键点点睛：（1）由光线恰好平分圆C 的周长，得出所在直线经过圆心；（2）入（反）射光线关于反射面的对称直线即为反（入）射光线.5．A解析：A【分析】设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点，根据对称关系求得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩,代入直线210y x -+=的方程整理即得所求. 【详解】解：设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点， 则111113022y y x x y y x x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪-+=⎪⎩，解得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩, 由对称性得Q 在直线210y x -+=上，()()23310x y ∴--++=,即280x y --=,故选：A.【点睛】根据“一垂直二中点”列出方程组，求得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩是解决问题的关键，利用轨迹方程思想方法求直线的方程也是重要的思想之一.6．D解析：D【分析】根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围.【详解】圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：d ==，且直线20x y ++=不过圆心，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=，则有r ≥=所以实数r的取值范围为+∞[)，故选：D.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下：（1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心；（2）结合题中条件，得到r 的取值范围.7．A解析：A【分析】求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程．【详解】圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1，以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2215(2)()24x y -+-=， 因为过点()3,1圆()2211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ， 所以，AB 是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=，故选：A ．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．8．A解析：A【分析】设点P 关于y 轴的对称点P '，点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点P ''，由对称点可求得P '和P ''的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程||P P '''．【详解】解：点P 关于y 轴的对称点P '坐标是(1,0)-，设点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点(,)P a b '' ∴0111422b a a b -⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得43a b =⎧⎨=⎩，(4,3)P ∴''， ∴光线所经过的路程||P P '''=故选A ．【点睛】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为||P P '''的长度，属于中档题．9．A【分析】 令22y x =-，则222(0)x y y +=≥，将问题转化为圆222x y +=与圆22()(4)2x a y a -+--=有交点，利用圆心距与半径的关系可得解.【详解】令22y x =-，则222(0)x y y +=≥，所以()2f x ≤有解化为22()(4)2x a y a -+--≤有解，则问题转化为半圆222(0)x y y +=≥与圆22()(4)2x a y a -+--=有交点，因为圆22()(4)2x a y a -+--=的圆心在直线4y x =+上，如图：22(4)22a a ++≤，即2440a a ++≤，即2(2)0a +≤，解得2a =-.故选：A 【点睛】关键点点睛：令22y x =-，将问题转化为半圆222(0)x y y +=≥与圆22()(4)2x a y a -+--=有交点是解题关键.10．C解析：C【分析】曲线214y x 表示半圆，作出半圆，直线过定点(2,4)，由直线与圆的位置关系，通过图形可得结论． 【详解】曲线214y x 是半圆，圆心是(0,1)C ，圆半径为2，直线(2)4y k x =-+过定点(2,4)P ，作出半圆与过P 的点直线，如图，PD 221421k k --+=+，解得512k =，即512PD k =， (2,1)A -，4132(2)4PA k -==--， ∴53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．11．C解析：C【分析】先将圆221014700C x y x y +--+=:化为标准方程,求出圆心和半径,再找出圆心O 关于x 轴对称的点'O ,最短距离即(1,1)A -和圆C 的圆心()5,7O 关于x 轴对称的点()'5,7O -的距离再减去半径的距离.【详解】解:由题可知，圆221014700C x y x y +--+=:,整理得()()222572C x y -+-=:,圆心()5,7O ,半径2r最短距离即(1,1)A -和圆C 的圆心()5,7O 关于x 轴对称的点()'5,7O -的距离再减去半径的距离，所以()()22151721028d =--++=-=. 故选:C【点睛】本题主要考查圆的方程和直线与圆的位置关系,考查两点间的距离公式,属于简单题. 12．D解析：D【分析】求得圆心坐标为(3,0)C ，根据斜率公式求得PC k ，再由根据圆的弦的性质，得到2MN k =，结合直线点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，圆2260x y x +-=，可得22(3)9x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)C ，半径为3， 又由斜率公式，可得011312PC k -==--， 根据圆的弦的性质，可得1PC MN k k ⋅=-，所以2MN k =，所以弦MN 所在直线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=， 所以弦MN 所在直线方程为210x y --=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及圆的弦的性质，其中解答中熟练应用圆的弦的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】首先画出相应的图形根据切线的性质得到对应的垂直关系利用勾股定理得到线段之间的关系从而将问题转化再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得从而求得结果【详解】由方程可得圆C1C2的圆心坐解析：32【分析】首先画出相应的图形，根据切线的性质，得到对应的垂直关系，利用勾股定理得到线段之间的关系，从而将问题转化，再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得，从而求得结果.【详解】由方程可得圆C 1,C 2的圆心坐标分别为(),4k k -+,()1,0-,半径都是1.如图，因为PQ 为切线，所以2PQ C Q ⊥，由勾股定理，得221PQ PC =-PQ 最小，则需2PC 最小，显然当点P 为12C C 与1C 的交点时，2PC 最小，此时，2121PC C C =-，所以当12C C 最小时，2PC 就最小，12C C === 当32k时，12C C 最小，得到PQ 最小， 故答案是：32. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的位置关系，切线长的求法，勾股定理，两点间距离公式，二次函数的最值，以及数形结合的思想.14．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由已知可得直线的斜率所以倾斜角为因为直线与的夹角为所以直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为解析：1y =10y --= 【分析】分析可得已知直线的倾斜角为30，则直线l 的倾斜角为0或60，分类讨论并利用点斜式方程求解即可. 【详解】由已知可得直线y x =k =30，因为直线l 与y x =30，所以直线l 的倾斜角为0或60，当倾斜角为60时,直线l 为)12y x -=-10y -+-=； 当倾斜角为0︒时,直线l 为1y =，故答案为：1y =10y -+-=. 【点睛】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线30x --=的倾斜角得到l 的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.15．【分析】由动直线方程可得动直线经过定点从而得到的轨迹为以线段为直径的圆然后判断点N 在圆外进而得到所求最小值【详解】解：直线mx ＋ny ＝m ＋n 显然经过定点的轨迹为以线段为直径的圆圆心坐标为半径为2在圆解析：2【分析】由动直线方程可得动直线经过定点()A 1,1,从而得到M 的轨迹为以线段PA 为直径的圆，然后判断点N 在圆外，进而得到所求最小值. 【详解】解：直线mx ＋ny ＝m ＋n 显然经过定点()A 1,1,M ∴的轨迹为以线段PA 为直径的圆，圆心坐标为()1,1C -,半径为2，2CN ==>,N ∴在圆外，2min MN ∴=,故答案为： 2. 【点睛】本题关键要分析出动直线经过定点，从而判定M 的轨迹，然后判定N 在圆的外部是不可缺少的.16．【分析】根据两直线平行求得得到两直线的方程再结合两直线间的距离公式即可求解【详解】由直线与直线平行可得解得即两条分别为和所以两直线间的距离为故答案为：【点睛】两平行线间的距离的求法：利用转化法将两条【分析】根据两直线平行，求得7m =-，得到两直线的方程，再结合两直线间的距离公式，即可求解. 【详解】由直线4(1)80x m y +++=与直线2390x y --=平行， 可得4(3)2(1)m ⨯-=+，解得7m =-， 即两条分别为2340x y ++=和2390x y --=，所以两直线间的距离为d ==【点睛】两平行线间的距离的求法：利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 利用两平行线间的距离公式进行求解.17．【分析】求出三条直线的交点坐标从而可求得三角形的面积再求极限即可【详解】由得即同理可得到直线的距离为∴∴故答案为：【点睛】本题考查数列的极限解题关键是求出三角形的面积 解析：12【分析】求出三条直线的交点坐标，从而可求得三角形的面积n S ，再求极限即可。
江苏省扬州市高邮第一中学2022年高一数学理模拟试题含解析
江苏省扬州市高邮第一中学2022年高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆C1；x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2；x2+y2﹣4x+4y﹣8=0的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．相离参考答案：A【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距等于5，大于半径之和，可得两个圆关系．【解答】解：由于圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，即（x+1）2+（y+4）2=25，表示以C1（﹣1，﹣4）为圆心，半径等于5的圆．圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣8=0，即（x﹣2）2+（y+2）2=16，表示以C2（2，﹣2）为圆心，半径等于4的圆．由于两圆的圆心距等于=，大于半径之差，小于半径和，故两个圆相交．故选：A．【点评】本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系，圆的标准方程的求法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．2. （5分）设a=60.5，b=0.56，c=log0.56，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a参考答案：A考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：∵a=60.5＞1，0＜b=0.56＜1，c=log0.56＜0，∴c＜b＜a．故选：A．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．3. 下列区间是函数y=2|cosx|的单调递减区间的是（）A．（0，π） B．（﹣，0）C．（，2π）D．（﹣π，﹣）参考答案：D【考点】余弦函数的图象．【分析】结合函数y=2|cosx|的图象可得函数y=2|cosx|的减区间．【解答】解：结合函数y=2|cosx|的图象可得函数y=2|cosx|的减区间为（kπ，kπ+），k∈z．结合所给的选项，故选：D．4. 下列命题正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.参考答案：C5. 定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则+++…+=（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】8E：数列的求和．【分析】直接利用给出的定义得到=，整理得到S n=2n2+n．分n=1和n≥2求出数列{a n}的通项，验证n=1时满足，所以数列{a n}的通项公式可求；再利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：由已知定义，得到=，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，即S n=2n2+n．当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1．当n=1时也成立，∴a n=4n﹣1；∵b n==n，∴==﹣，∴+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴+++…+=，故选：C 6. 若ab＜0，则函数y=ax与y= 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）参考答案：B略7. 是定义在上的偶函数，满足，当时，，则等于( )．．．．参考答案：C略8. 若直线与直线垂直，则实数的值A． B． C．D．参考答案：C略9. 不等式解集为Q，，若，则等于A、4B、2C、D、（）参考答案：B10. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A.2 B.4 C.2D.4参考答案：A 【分析】化为标准方程求解. 【详解】圆化为标准方程为圆的圆心坐标和半径分别是故选A.【点睛】本题考查圆的一般方程与的标准方程互化，属于基础题.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式3x －3m ≤－2m 的正整数解为1，2，3，4，则m 的取值范围是 。
2023-2024学年江苏省扬州市高中数学人教A版选修一直线和圆的方程强化训练-2-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江苏省扬州市高中数学人教A 版选修一直线和圆的方程强化训练(2)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 设直线l 与圆 ：交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为，则圆 ：上的点到直线l 的距离的最小值为（ ）A.B.C.D.5713152. 已知P 为椭圆上的一点，M,N 分别为圆和圆上的点，则的最小值为（）A. B. C. D. -1-23.已知点 在抛物线 上，且 为第一象限的点，过作轴的垂线，垂足为 ，为该抛物线的焦点，，则直线的斜率为（ ）A.B. C.D. 4.过点（2，1）的直线中，被圆 截得的弦长最大的直线方程是（ ）A.B.C.D.（，2）（1，2）（1，）（，）5. 已知圆M 的方程为 ，则圆心M 的坐标是（）A. B. C. D. 6. 已知直线与圆交于、两点，是原点，C 是圆上一点，若，则的值为( )A. B. C. D.24687. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且 ， 则（ ）A. B. C. D. ﹣3﹣4348. 已知直线l ：ax+y+b=0与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点， ，且，则 等于（ ）A. B. C. D. 9. 过两点，的直线的倾斜角是，则（ ）A. B. C. D.10. 已知点在圆C ：的外部，则实数m 的取值范围为（ ）A. B. C. D.11. 在平面直角坐标系中，直线 的斜率是（ ）A.B.C.D.45度，1135度，-190度，不存在180度，不存在12. 直线的倾斜角和斜率分别是（ ）A. B. C. D. 13. 如果实数x ，y 满足等式(x －1)2＋y 2＝ ，那么的最大值是 。
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直线和圆 班级_______学号 _______姓名 ________ 一 填空题 1．在直角坐标系中，直线01y的倾斜角的大小是__________弧度．
2．直线0534yx与直线0568yx的距离为__________．
3．若直线1:(1)3laxay与2:(1)(23)2laxay互相垂直，则实数a的值为__________．
4．设直线0132yx和圆03222xyx相交于点,AB，则弦AB的垂直平分线 的方程是_________． . 5．点(4,5)A关于直线l的对称点为(2,7)B 则直线l的方程为_________．
6．以)9,4(A，(6,3)B为直径的圆的方程是________________________ .
7．已知直线5120xya与圆2220xxy相切，则a的值为_________． 8．已知直线1)0(022yxabccbyax与圆相切，则三条边长分别为||,||,||abc的 三角形的形状是____________．
9．已知圆C：4)2()(22yax（0a）及直线l：03yx，当直线l被C截得 的弦长为32时，则a的值为_________．
10已知线段AB,(1,9)A，B在圆22:(3)(1)16Cxy，则AB中点M的轨迹方 ______________________．
11 ． 已知直线L经过点P(-4,-3)，且被圆22(1)(2)25xy截得的弦长为8，则直 线L的方程是______________________．
12 ．过点(1,2)P的直线L把圆22450xyx分成两个弓形，当其中较小弓形面积最小时，直线L的方程是_________．
13 ．若方程2222110xykxyk表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是_______． 如果过点(1,2)总可以作两条直线和圆2222110xykxyk相切，则实数k的取值范 围是_________________．
14 ．如右下图,定圆的半径为a，圆心为(,)bc, 则直线 0axbyc 与直线 10xy 的交点在第 ______象限。 二 解答题 15．在ABC中，点(1,2),(5,5),(6,2)ABC 求（1）ABC的面积 （2）ABC的外接圆的方程
16．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为3130xy，对角线,ACBD的交点为(1,5)P 求（1）正方形ABCD其它三边所在直线的方程： （2）正方形ABCD的外接圆方程。
17．求与直线yx相切，圆心在直线3yx上且被 y 轴截得的弦长为22的圆的方程． 18． 如图，已知直角坐标平面上点(2,0)Q和圆22:1Cxy，动点M到圆C的切线长与||MQ的比等于2．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
19． 已知圆22:414450,Cxyxy及点(2,3)Q， （1）若(,1)Paa在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； （2）若M为圆C上任一点，求||MQ的最大值和最小值；
（3）若实数,mn满足22414450mnmn,求3=+2nkm的最大值和最小值
高一数学单元测试－直线和圆（答案） 班级_______学号 _______姓名________ 一 填空题 1．在直角坐标系中，直线01y的倾斜角的大小是__________弧度．0
2．直线0534yx与直线0568yx的距离为__________．21 3．若直线1:(1)3laxay与2:(1)(23)2laxay互相垂直，则实数a的值为__________． 1或－3
4．设直线0132yx和圆03222xyx相交于点,AB，则弦AB的垂直平分线的方程是_________． . 0323yx 5．点(4,5)A关于直线l的对称点为(2,7)B 则直线l的方程为_________．330xy 6．以)9,4(A，(6,3)B为直径的圆的方程是________________________ .22(5)(3)37xy 7．已知直线5120xya与圆2220xxy相切，则a的值为_________．－18或8 。 8．已知直线1)0(022yxabccbyax与圆相切，则三条边长分别为||,||,||abc的三角形的形状是____________．直角三角形 9．已知圆C：4)2()(22yax（0a）及直线l：03yx，当直线l被C截得的
弦长为32时，则a的值为_________． 12 10已知线段AB,(1,9)A，B在圆22:(3)(1)16Cxy，则AB中点M的轨迹方程是_________．22:(2)(4)4Mxy 11 ． 已知直线L经过点P(-4,-3)，且被圆22(1)(2)25xy截得的弦长为8，则直线L的方程是_________．443250xxy和 12 ．过点(1,2)P的直线L把圆22450xyx分成两个弓形，当其中较小弓形面积 最小时，直线L的方程是_________．230xy 13 ．若方程2222110xykxyk表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是______44k_ 如果过点(1,2)总可以作两条直线和圆2222110xykxyk相切，则实数k的取值范围是_________________．424kk或1 14 ．如右下图,定圆的半径为a，圆心为(,)bc, 则直线0axbyc 与直线 10xy 的交点在第 ______象限 , 三
二 解答题 15．在ABC中，点(1,2),(5,5),(6,2)ABC 求（1）ABC的面积 （2）ABC的外接圆的方程 （1）解： :7400BClxy，||50BC
A到直线BCl的距离4550d，
114545||5022250ABCSdBC
（2）设ΔABC的外接圆的方程圆心(,)Iab，则
O
yx222222222222
196(1)(2)(5)(5)||||42157(6)(2)(5)(5)||||7506(5)(5)3253aababIAIBrabababbICIBrabrabr
ΔABC的外接圆的方程22197325()()663xy 16．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为3130xy，对角线,ACBD的交点为(1,5)P 求（1）正方形ABCD其它三边所在直线的方程： （2）正方形ABCD的外接圆方程。
则(1,5)P到ADl的距离等于(1,5)P到BCl的距离，且都等于310d， |2|31010n，5,1nn， :350ADlxy,:310BClxy
所以，正方形 ABCD其它三边所在直线的方程 3190xy,，350xy,310xy
（2）正方形ABCD的外接圆的半径325rd，圆心(1,5)P
所以，正方形ABCD的外接圆的方程229(1)(5)5xy 17．求与直线yx相切，圆心在直线3yx上且被 y 轴截得的弦长为22的圆的方程． 解：因为所求圆C的圆心在直线 3yx上， 设所求圆的圆心坐标为(,3)Caa，半径为r， 又圆C求与直线yx 相切且被 y 轴截得的弦长为22则
222322(2)aaraar
22a 22ar
即圆的方程为： 4)23()2(4)23()2(2222yxyx或． 18． 如图，已知直角坐标平面上点(2,0)Q和圆22:1Cxy，动点M到圆C的切线长与||MQ的比等于2．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 解：如图，设直线 MN切圆于N，则动点M组成的集合是： {|||2||}PMMNMQ．
因为圆的半径||1ON，所以22||||1MNMO 设点 M的坐标为 (,)xy，
x Q y O 则2222)2(21yxyx 整理得7)4(22yx 它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0），半径为7
19． 已知圆22:414450,Cxyxy及点(2,3)Q， （1）若(,1)Paa在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； （2）若M为圆C上任一点，求||MQ的最大值和最小值； （3）若实数,mn满足22414450mnmn,求3=+2nkm的最大值和最小值