湖北省(黄冈中学、襄阳四中、襄阳五中、武汉二中等)2022届高三十一校第二次联考数学试题
湖北部分重点中学2025届高三第二次联考数学试卷含解析
湖北部分重点中学2025届高三第二次联考数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．2．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12803．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ） A ．22B ．32C ．42D ．3224．复数2(1)i i +的模为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．225．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最大值等于( )A ．2B ．22C ．4D ．86．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．67．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．8．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ） A ．2B 5C 6D 79．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )A ．23B ．223-C ．223±D ．1310．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ） A 3B 23C 3D ．2311．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ） A ．－2B ．－4C ．3D ．－312．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省部分重点中学2024届高三上学期第二次联考数学试题(含答案)
湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考高三数学试卷试卷满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U R =，集合{}02A x x =≤≤，{}1,1,2,4B =-，那么阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,4-B ．{}1,2,4C ．{}1,4D ．{}1,2,4-2．已知复数z 满足2323z ii z+=-，则z =（ ）A ．3B C ．7D ．133．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A ，B 分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P 为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（ ）A ．1283π B ．32π C D ．(π4．在平面直角坐标系中，()1,1A ，()2,3B ，则向量OA 在向量OB 上的投影向量为（ ）A ．⎝⎭B ．1015,1313⎛⎫⎪⎝⎭C ．⎝⎭D ．55,22⎛⎫⎪⎝⎭5．若55sin 1213πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．119169-B ．50169-C ．119169D ．501696．设A ，B 为任意两个事件，且A B ⊆，()0P B >，则下列选项必成立的是（ ） A ．()()P A P A B > B ．()()P A P A B ≥ C ．()()P A P A B <D ．()()P A P A B ≤7．已知sin 1x e x ax +≥+对任意,[)0x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(2],-∞B ．[2,)+∞C ．(1],-∞D ．[1,)+∞8．斜率为13的直线l 经过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点1F ，交双曲线两条渐近线于A ，B 两点，2F 为双曲线的右焦点且22AF BF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2022届湖北省襄阳市第五中学高三下学期适应性考试(二)(二模)数学试卷
襄阳五中2022届高三年级适应性考试（二）数 学 试 题命题人：谢伟 审题人：王荣 段光荣本试卷共22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足13(12i)i 22z +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．12i 55-+ B ．12i 55-- C ．12i 55+ D ．12i 55-2．已知集合{|212}x A x =≤，则A ∩N 的子集个数为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，q 为常数，则“数列{}n a 是等比数列”为“11n n S qS a +=+”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要4．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A.3πB.3π3C.33D. 35．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的图象可以由2sin y x ω=的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度得到 B ．向左平移5π6个单位长度得到C ．向右平移53π个单位长度得到 D ．向右平移5π6个单位长度得到6．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线()20y ax a =≠的一部分，且点()2,2A -在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）A ．10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．（0，－1）B ．C ．10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭7．已知函数()cos 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列对于函数()f x 性质的四个描述：①6x π=是()f x 的极小值点；②()f x 的图象关于点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；③()f x 有且仅有三个零点；④若()f x 区间[],a b 上递增，则b a -的最大值为π．其中正确的描述的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，……，连续七次发球成功加3分．假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是（ ） A ．6523B ．5523C ．6623D ．5623二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算2K 的观测值4.762k ≈，则可以推断出（ ）满意 不满意男 30 20 女 40 10()2P K k ≥0.100 0.050 0.010 k2.7063.841 6.635A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异10．定义在R 上的函数()f x 满足：x 为整数时，()2021f x =；x 不为整数时，()0f x =，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．,(())2021x R f f x ∀∈=D ．()f x 的最小正周期为111．已知点()2,4P ，若过点()4,0Q 的直线l 交圆C ：()2269x y -+=于A ，B 两点，R 是圆C 上一动点，则（ ）A ．AB 的最小值为25B ．P 到l 的距离的最大值为25C ．PQ PR ⋅的最小值为2465-D ．PR 的最大值为423-12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是1AA ，1CC ，11C D 的中点，Q 是线段11D A 上的动点，则（ ）A ．存在点Q ，使B ，N ，P ，Q 四点共面 B ．存在点Q ，使∥PQ 平面MBNC ．三棱锥P -MBN 的体积为13 D ．经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为92π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知非零向量a ，b 满足()2,1=a ，()1,0b t t t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>，则a b ⋅的最小值为 ．14．已知函数()103cos f x x x =+在x=0处的切线与直线0nx y -=平行，则二项式()()211nx x x ++-展开式中含2x 项的系数为 ．15．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段2OF 的中点，则双曲线C 的离心率是 ．16．已知数列{}n a 、{}n b ，221n n a n =-，221n n b n =+，其前n 项和分别为n S ，n T ，（1）记数列12n n a b ⎧--⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和分别为n R ，则n R = ；（2）记最接近n n S T -的整数为n c ，则12100c c c ++⋅⋅⋅+= ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 如图，在∆A BC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知3b =，6c =，sin2sin C B =，且AD 为BC 边上的中线，AE 为BAC ∠的角平分线．（1（求cos C 及线段BC 的长； （2（求∆ADE 的面积．18．2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策. 某校为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示.(1)由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t （分钟）服从正态分布()2,13.4N μ，其中μ为课外活动时间的平均数，μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值），用频率估计概率，在该校随机抽取5名学生，记课外活动时间在(]49.1,89.3内的人数为X ，求X 的数学期望（精确到0.1）.参考数据：当X 服从正态分布()2,N μσ时，()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，2a 是15,a a 的等比中项，525S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1n n n b b S ++=，求220b b -.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2APB π∠=，3ABC π∠=，23PB =，24PA AD PC ===，点M 是AB 的中点，点N 是线段CD 上的动点.（1）求证：平面PCM ⊥平面PAB ；（2）若直线PN 与平面PMD 所成角的正弦值为68，求CN ND 的值.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为1e 2=．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右两个顶点分别为12,A A ，T 为直线:4l x =上的动点，且T 不在x 轴上，直线1TA 与C 的另一个交点为M ，直线2TA 与C 的另一个交点为N ，F 为椭圆C 的左焦点，求证：∆FMN 的周长为定值．22．已知函数()()e ln ln 1(0)x af x x a a x-=-++>（e 是自然对数的底数）． (1)当1a =时，试判断()f x 在()1,+∞上极值点的个数；(2)当1e 1a >-时，求证：对任意1x >，()1f x a>．第二次适应性考试数学答案答案：1-8CCABD ACB 9.AC 10.BCD 11.ABC 12.ABC13. 6 14. 36 2316.2(21)n n +；2550 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足13(12i)i 22z +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．12i 55-+B ．12i 55-- C ．12i 55+ D ．12i 55-【答案】C 【解析】因为13(12i)12z +==，所以1121212555i z i i -===-+，所以1255z i =+，故选：C2．已知集合{|212}x A x =≤，则N A 的子集个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】C 【解析】解：由题得2log 1222122,log 12xx ≤=∴≤.因为2222log 8log 12log 16,3log 124<<∴<<.所以N={0,1,2,3}A .所以N A 的子集个数为4216=个.故选：C 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，q 为常数，则“数列{}n a 是等比数列”为“11n n S qS a +=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】11n n S qS a +=+，∴当2n ≥时，11n n S qS a -=+，两式相减可得1n n a q a +=⋅，若0n a ≠，则1n na q a +=，则数列{}n a 是等比数列，若0n a =，则1n n a q a +=⋅依然成立，但数列{}n a 不是等比数列.所以“数列{}n a 是等比数列”为“11n n S qS a +=+”的充分不必要条件.故选：A4．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A.3πB.3π3C.33D. 3【答案】B【解析】解：设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，由π2πl r =，得2l r =，又22ππ23π3πS r r r r =+⋅==，所以21r =，解得1r =； 所以圆锥的高为2222213h l r =-=-= 所以圆锥的体积为22113ππ13π333V r h ==⨯=．故选：B ． 5．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的图象可以由2y x ω=的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度得到B ．向左平移5π6个单位长度得到 C ．向右平移53π个单位长度得到 D ．向右平移5π6个单位长度得到【答案】D【解析】由图可知2A =πT =，则2ω=，所以()()22f x x ϕ=+．由()7π3π22πZ 122k k ϕ⨯+=+∈，π2ϕ<，得π3ϕ=，所以()π223f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数22y x =的图象向右平移5π6个单位长度，所得图象对应的函数解析式为5π226y x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()5ππ222233x x f x ⎛⎫⎛⎫=-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确．选：D6．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线()20y ax a =≠的一部分，且点()2,2A -在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）A ．10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．（0，－1）C ．10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】依题意()2,2A -在抛物线()20y ax a =≠上，所以21222a a -=⨯⇒=-，所以221,22y x x y =-=-，故122,22p p ==，且抛物线开口向下，所以抛物线的焦点坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A7．已知函数()cos 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列对于函数()f x 性质的四个描述：①6x π=是()f x 的极小值点；②()f x 的图象关于点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；③()f x 有且仅有三个零点；④若()f x 区间[],a b 上递增，则b a -的最大值为π．其中正确的描述的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】()cos 2sin 22f x x x x x π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭.A ：()'12cos2f x x =-，'112cos(2)120662f ππ⎛⎫=-⨯=-⨯= ⎪⎝⎭，当(0,)6x π∈时，()'0,()f x f x <单调递减，当(,)64x ππ∈时，()'0,()f x f x >单调递增，所以6x π=是()f x 的极小值点，故本选项描述正确； B ：因为()()sin 2sin[2()]sin 2sin(22)f x f x x x x x x x ππππππ+-=-+---=---=， 所以()f x 的图象关于点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭对称，因此本选项描述正确；C ：令()sin 20sin 2f x x x x x =-=⇒=，函数,sin 2y x y x ==在同一直角坐标系内的图象如下图所示：通过图象可知两个函数的图象有三个交点，因此()f x 有且仅有三个零点，所以本选项描述正确；D ：()'12cos2f x x =-，当()'0f x ≥时，则有：155cos 2222()()23366x k x k k Z k x k k Z ππππππππ≤⇒+≤≤+∈⇒+≤≤+∈，因此函数的增区间为：5[,]()66k k k Z ππππ++∈，显然有[],a b ⊆5[,]()66k k k Z ππππ++∈，所以b a -的最大值为52()()663k k k Z πππππ+-+=∈，因此本选项描述不正确，故选：C 8．在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，……，连续七次发球成功加3分．假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是（ ）A ．6523B ．5523C ．6623D ．5623【答案】B【解析】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率5243146212()()333P C ==；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率6111143223326212()()()333P C C C C =+=，所求概率56512665222333P P P =+=+=；故选B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算2K 的观测值4.762k ≈，则可以推断出（ ） 满意 不满意 男 30 20 女 4010()2P K k ≥0.100 0.050 0.010 k2.7063.841 6.635A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异【来源】类型一 统计与概率案例-【题型突破】备战2022年高考数学二轮基础题型 重难题型突破（新高考专用） 【答案】AC 【解析】根据表格中的数据可求得男、女生对食堂服务满意的概率的估计值,根据 4.762 3.841k ≈>,可判断C 、D 选项 【详解】对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为30330205=+,故A 正确； 对于选项B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为4043401055=>+,故B 错误； 因为 4.762 3.841k ≈>,所以有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C 正确,D 错误 故选：AC10．定义在R 上的函数()f x 满足：x 为整数时，()2021f x =；x 不为整数时，()0f x =，则（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．,(())2021x R f f x ∀∈=D ．()f x 的最小正周期为1 【答案】BCD 【解析】根据函数的性质，结合奇偶性的定义和周期的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】A 中，对于函数()f x ，有()12021,(1)2021f f =-=，所以()()f x f x -=-不恒成立，则函数()f x 不是奇函数，所以A 不正确； B 中，对于函数()f x ，若x 为整数，则x -也是整数，则有()()2021f x f x =-=， 若x 不为整数，则x -也不为整数，则有()()0f x f x =-=， 综上可得()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，所以B 正确； C 中，若x 为整数，则()2021f x =，x 不为整数，则()0f x =，综上函数()f x 是整数，则()()2021f f x =，所以C 正确；D 中，若x 为整数，则1x +也是整数，若x 不为整数，则1x +也不是整数， 总之有()()1f x f x +=，所以函数()f x 的周期为1，若(01)t t <<，则x 和x nt +可能是一个整数，也可能不是整数，则有()()f x f x nt ≠+， 所以函数()f x 的最小正周期为1，所以D 正确. 故选：BCD.11．已知点()2,4P ，若过点()4,0Q 的直线l 交圆C ：()2269x y -+=于A ，B 两点，R 是圆C 上一动点，则（ ） A ．AB 的最小值为5B ．P 到l 的距离的最大值为25C ．PQ PR ⋅的最小值为2465-．PR 的最大值为423 【答案】ABC【解析】如图，当直线l 与x 轴垂直时，AB 有最小值，且最小值为25A 正确；设()63cos ,3sin R θθ+，则()()2,443cos ,3sin 46cos 12sin 24PQ PR θθθθ⋅=-⋅+-=-+， 所以()6524PQ PR θϕ⋅=++，所以PQ PR ⋅的最小值为245-C 正确； 当P ，C ，R 三点共线时，PR 最大，且最大值为423C r P +=，所以D 错误； 当直线l 与PQ 垂直时，P 到l 的距离有最大值，且最大值为25PQ =B 正确. 故选：ABC12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是1AA ，1CC ，11C D 的中点，Q 是线段11D A 上的动点，则（ ）A ．存在点Q ，使B ，N ，P ，Q 四点共面 B ．存在点Q ，使∥PQ 平面MBNC ．三棱锥P -MBN 的体积为13 D ．经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为92π【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A ，连接1A B ，1CD ，可证得1A B PN ∥，从而可得结论，对于B ，连接PQ ，11A C ，当Q 是11D A 的中点时，由线面平行的判定可证得，对于C,利用11P MBN M PBN D PBN B D PN V V V V ----===三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥求解，对于D ，分别取1BB ，1DD 的中点E ，F ，构造长方体MADF -EBCN ，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球的表面积【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1A B ，1CD ，因为N ，P 分别是1CC ，11C D 的中点，所以1CD PN ∥，又因为11CD A B ∥，所以1A B PN ∥， 所以1A ，B ，N ，P 四点共面，即当Q 与1A 重合时，B ，N ，P ，Q 四点共面，故选项A 正确；连接PQ ，11A C ，当Q 是11D A 的中点时，因为11PQ AC ∥，11A C MN ∥，所以PQ MN ∥， 因为PQ ⊂/平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，所以∥PQ 平面BMN ，故选项B 正确； 连接1D M ，1D N ，1D B ，因为1D M BN ∥，所以1113P MBN M PBN D PBN B D PN V V V V ----====⨯三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥1111223⨯⨯⨯=，故选项C 正确；分别取1BB ，1DD 的中点E ，F ，构造长方体MADF -EBCN ，则经过C ，M ，B ，N 四点的球即为长方体MADF -EBCN 的外接球，设所求外接球的直径为2R ，则长方体MADF -EBCN 的体对角线即为所求的球的直径，即()222224419R AB BC CN =++=++=，所以经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为249R ππ=，故选项D 错误. 故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知非零向量a ，b 满足()2,1=a ，()1,0b t t t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>，则a b ⋅的最小值为______．【答案】26【解析】因为a b ⋅2223t t t t t =++=+，因为0t >，故223326t t t t+≥⋅ 当且仅当23t t =时，即6t =.故答案为：26 14．已知函数()103cos f x x x =+在x=0处的切线与直线0nx y -=平行，则二项式()()211nx x x ++-展开式中含2x 项的系数为 ．【答案】3614．已知函数()103cos f x x x =+在x=0处的切线与直线0nx y -=平行，则二项式()()211nx x x ++-展开式中含2x 项的系数为（ ）A ．26B ．46C ．36D ．56【来源】四川省成都市石室中学2021-2022学年高三下学期“二诊模拟”数学（理）试题 【答案】C 【详解】由函数()f x 的解析式，得()103sin f x x '=-，则()010f '=．由题意，得()010n f '==，则二项式()()()()()()()101010102221111111nx x x x x x x x x x x ++-=++-=-+-+-，二项式()101x -的通项公式为：10110101()(1)r r r r r r r T C x C x -+=⋅⋅-=⋅-⋅，所以含2x 项的系数为()()()2102101010101114510136C C C ⋅-+⋅-+⋅-=-+=．故选：C15．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段2OF 的中点，则双曲线C 的离心率是 ．2315．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段2OF 的中点，则双曲线C 的离心率是（ ） A 23 B 3C 42D 43【来源】河南省五市2022届高三第二次联合调研检测文科数学试题 【答案】A【详解】由题意知：渐近线方程为by x a=±，由焦点2(,0)F c ，222c a b =+，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，则圆的半径r 等于圆心到切线的距离，即21b c ar b b a ±⋅==⎛⎫+± ⎪⎝⎭，又该圆过线段2OF 的中点，故2c r b ==，所以离心率为2222223c c c a a c b ==-2316．已知数列{}n a 、{}n b ，221n n a n =-，221n n b n =+，其前n 项和分别为n S ，n T ，（1）记12n n a b ⎧--⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和分别为n R ，则n R = ；（2）记最接近n n S T -的整数为n c ，则12100c c c ++⋅⋅⋅+= ．【答案】2(21)nn +；255016．已知数列{}n a 、{}n b ，221n n a n =-，221n n b n =+，其前n 项和分别为n S ，n T ，记最接近n nS T -的整数为n c ，则12100c c c ++⋅⋅⋅+= ． 【答案】2550 【解析】 【分析】根据给定条件利用裂项相消法求出n n S T -，探讨n n S T -值的范围，确定n c 的表达式即可计算作答. 【详解】依题意，222222111111(1)()212141241242121n n n n n a b n n n n n n -=-==+=+--+---+， 则12121122()()()()()n n n n n n S T a a a b b b a b a b a b -=+++-+++=-+-++- 111111[(1)()()]24335212122(211)(1)2n n n n n n n n n =+-+-++-=+++=-++， 即有1111n n S T n n =+-+，从而有2121n n n S T n <<+-，因此，122n n n n S T +<-<， 若21n k =-(N )k *∈，则12n n c k +==，若2n k =(N )k *∈，则2n nc k ==，,22(N )1,212n nn k c k n n k *⎧=⎪⎪=∈⎨+⎪=-⎪⎩，所以()1210021250=2550c c c ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.故答案为：2550【点睛】思路点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 如图，在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知3b =，6c =，sin2sin C B =，且AD 为BC 边上的中线，AE 为BAC ∠的角平分线．（1（求cos C 及线段BC 的长； （2（求ADE 的面积． 【答案】（1）1cos 4C =，6BC = （2）3158【解析】（1）解：sin2sin C B =，2sin cos sin C C B ∴=，2cos c C b ∴=，1cos 4C ∴=，在ABC 中，由余弦定理得22221cos 264936a b c a C ab a -=+-=+=，解得6a =（负值舍去），即6BC =．（2）解：1cos 4C =，(0,)C π∈，∴15sin C =∴1915sin 2ABC S CA CB C =⋅=AE ∵平分BAC ∠，∴2AB BE AC CE==，所以13AEC ABC S S =，AD 为BC 边的中线，∴12ADC ABC S S =∴1191531566ADE ADC AEC ABC S S S S =-==⨯ 18．2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策.某校为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示.(1)由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t （分钟）服从正态分布()2,13.4N μ，其中μ为课外活动时间的平均数，μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值），用频率估计概率，在该校随机抽取5名学生，记课外活动时间在(]49.1,89.3内的人数为X ，求X 的数学期望（精确到0.1）.参考数据：当X 服从正态分布()2,N μσ时，()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤.【来源】安徽省示范高中皖北协作区2022届高三下学期3月联考理科数学试题【答案】(1)1903，62.5 (2)4.1【解析】(1)由图可知该组数据中位数位于第四组，设中位数为x ，则2(60)(70)x x -=-，解得1903x =，平均数为：350.05450.15550.2650.3750.2850.162.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(2)62.5t μ==，13.4σ=，49.162.513.4μσ=-=-，89.362.513.422μσ=+⨯=+，0.68270.9545(49.189.3)(2)0.81862P t P t μσμσ+∴<≤=-<≤+==，由题意知：~(5,0.8186)X B ，()50.8186 4.1E X ∴=⨯≈19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，2a 是15,a a 的等比中项，525S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1n n n b b S ++=，求220b b -. 【答案】（1）21n a n =-；（2）189-. 【解析】（1）()15355252522a a a S +⨯⨯===35a∴=2a 是15,a a 的等比中项2215a a a ∴=⋅()()3122215111254(0)a a d a a a a d a a d d =+=⎧⎪∴⎨=⋅⇒+=+≠⎪⎩解得112a d =⎧⎨=⎩ 105d a =⎧⎨=⎩（舍去） 1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=（2）2(1)22n n n S n n -=+⨯=，据题意21n n b b n ++=，212(1)n n b b n +++=+ 两式相减得222(1)21n n b b n n n +-=+-=+所以有20182181b b -=⨯+；11862161b b -=⨯+；11642141b b -=⨯+；…… 42221b b -=⨯+；以上9个式子相加得2022(1816141242)9b b -=⨯+++++++(182)9291892+⨯=⨯+=()220202189b b b b ∴-=--=-【点睛】本题求和运用了数列中得累加法，如果递推公式形式为: 1()n n a a f n +-= 或 1(),n n a a f n +=+ 则可利用累加法.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2APB π∠=，3ABC π∠=，3PB =24PA AD PC ===，点M 是AB 的中点，点N 是线段CD 上的动点.（1）求证：平面PCM ⊥平面PAB ；（2）若直线PN 与平面PMD 所成角的正弦值为6，求CN ND 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1CNND=. 【解析】（1）根据题意得4AB =，2BM PM ==，23CM =，进而得AB CM ⊥，PM CM ⊥，故CM ⊥平面PAB ，进而得平面PCM ⊥平面PAB .（2）如图，以点M 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设(),0,P P P x z ，()[](),23,00,4N λλ-∈，根据几何关系得 (3P -，进而利用坐标运算得平面PMD 的一个法向量为)3,2,1m →=，(1,23,3PN λ→=--，故根据6in s cos ,m PN θ→→==2λ=或8λ=（舍），故1CNND=. 【详解】解：（1）在PAB △中，因为2APB π∠=，3PB =2PA =，所以4AB =.因为点M 是AB的中点，所以2BM PM ==.在BMC △中，3MBC π∠=，2BM =，4BC =，由余弦定理，有3CM =所以222BM CM BC +=，所以AB CM ⊥.在PMC △中，2PM =，23CM =4PC =，满足222PC CM PM =+，所以PM CM ⊥.而AB PM M =，所以CM ⊥平面PAB.因为CM ⊂平面PCM ，所以平面PCM ⊥平面PAB . （2）如图，以点M 为坐标原点，建立空间直角坐标系，有()0,0,0M ，()0,23,0C ，()4,23,0D -.设(),0,P P P x z ，()[](),23,00,4N λλ-∈，平面PMD 的一个法向量为()111,,m x y z →=，直线PN 与平面PMD 所成角为θ. 在PAB △中，3P PA PBz AB⋅==2PM =，得1P x =-，所以(3P -. 因为(3MP →=-，()4,23,0MD →=-，00m MP m MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以)3,2,1m →=.因为(1,23,3PN λ→=--，所以sin cos ,PN PN P m Nm m θ→→→→→→⋅==⋅2433622216λλλ-==⋅-+， 得210160λλ-+=，所以2λ=或8λ=（舍）.所以1CNND=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为1e 2=．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右两个顶点分别为12,A A ，T 为直线:4l x =上的动点，且T 不在x 轴上，直线1TA 与C 的另一个交点为M ，直线2TA 与C 的另一个交点为N ，F 为椭圆C 的左焦点，求证：FMN 的周长为定值．【答案】(1)22143x y += (2)证明见解析【解析】(1)1e 2c a ==，222,3a c b a c c ∴==-，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，22191412c c ∴+=，1c ∴=，23a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． (2)解法一：证明：由题意可知，12(2,0),(2,0),(4,)(0)A A T t t -≠，设()()1122,,,M x y N x y ，直线1AT 的方程为(2)6t y x =+，直线2A T 的方程为(2)2ty x =-， 联立方程组22(2),61,43t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得()222227441080t x t x t +++-=，可得2124108227t x t --⋅=+，所以21254227t x t -=+，则()211225421822662727t t t t y x t t ⎛⎫-=+=+= ⎪++⎝⎭，故22254218,2727t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 由22(2),21,43t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得()2222344120t x t x t +-+-=，可得22214322t x t -=+，所以222623t x t -=+， 则()22222266222233t t t t y x t t ⎛⎫--=-=-= ⎪++⎝⎭，故222266,33t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 所以22222221866273542269273MNt tt t t k t t t t t +++==-----++，故直线MN 的方程为22226626393t t t y x t t t ⎛⎫-+=-- ⎪+-+⎝⎭， 即222666(1)999t t t y x x t t t =-+=-----，3t ≠±，故直线MN 过定点(1,0)，所以FMN 的周长为定值8．当3t =±时，331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知MN 是椭圆的通径，经过焦点(1,0)，此时FMN 的周长为定值48a =， 综上可得，FMN 的周长为定值8．解法二：当直线MN 斜率存在时，设其方程为：y kx m =+， 由()22222,3484120143y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩． 设()()1122,,,M x y N x y ，则有21212228412,3434km m x x x x k k -+=-⋅=++，直线111:(2)2y y x x A M =++，令4x =，得1162=+y y x ， 直线222:(2)2y y x x A N =--，令4x =，得2222y y x =-，所以1212322y y x x =+-， 由()()222222212212323231432424x x x y y y x y x y +++=⇒=-⇒=--+， 所以()()()()12122240x x kx m kx m +⋅+++⋅+=，即()()22121241(24)440k x x km x x m ++++++=， 化简得(2)()02m k m k m k -+=⇒=或m k =-． 2m k =时直线MN 过点1(2,0)A -（舍），所以m k =-， 即直线MN 的方程为(1)y k x =-，过定点(1,0)． 当直线MN 的斜率不存在时，设其方程为：x t =，则有1212,x x t y y ===-，代入121233112222y y t x x t t =⇒=-⇒=+-+-， 直线1x =也过定点(1,0)，综上所述，直线MN 始终经过椭圆的右焦点，故FMN 的周长为定值48a =． 解法三：当M 位于椭圆的上顶点，则此时3)M ，直线1A M 与:4l x =相交于点(4,33)T ，则直线2A T 的方程为332)y x =-，联立椭圆方程可得：21554480x x -+=，则可知833,5N ⎛ ⎝⎭，易知直线MN 经过椭圆的右焦点(1,0)F '，此时FMN 的周长为定值48a =，猜想，若FMN 的周长为定值，则直线MN 经过椭圆的右焦点． 证明如下：依题意直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为1x my =+，代入椭圆方程得：()2234690m y my ++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++． 直线111:(2)2y y x x A M =++，令4x =，得1162=+y y x ，直线222:(2)2y y x x A N =--，令4x =，得2222y y x =-， 因为()()()()()()()1221121212121212232222362222222y x y x my y y y y y x x x x x x --+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-==+-+-+- ()()2212962233434022m m m m x x --⎡⎤⨯-⨯⎢⎥++⎣⎦==+-， 所以直线12,A M A N 的交点在直线:4l x =上，即过直线:4l x =上的点T 所作的两条直线1TA 和2TA 分别与椭圆相交所得的两点M 、N 形成的直线MN 始终经过椭圆的右焦点， 故FMN 的周长为定值48a =．22．已知函数()()e ln ln 1(0)x af x x a a x-=-++>（e 是自然对数的底数）．(1)当1a =时，试判断()f x 在()1,+∞上极值点的个数；(2)当1e 1a >-时，求证：对任意1x >，()1f x a>．【来源】江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试卷数学（理）试题【答案】(1)()f x 在()1,+∞上只有一个极值点，即唯一极小值点；(2)证明见解析 【解析】(1)当1a =时，()1e ln ln2xf x x x-=-+， 则1122(1)(e )e (1)11()x x xx x x f x x x x ------'=-=， 设1()=e 1x x x x ϕ---，则11()e 11x x x ϕ-=--- 在()1,+∞上是增函数， 当1x +→ 时，()x ϕ→-∞，(2)e 20ϕ=->，所以存在0(1,2)x ∈ ，使得0()0x ϕ=，当0(1,)x x ∈时，()0x ϕ<，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 上单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>，则()0f x '>，即()f x 在0(1,)x 上单调递增， 所以()f x 在()1,+∞上只有一个极值点，即唯一极小值点；(2)证明：由22(1)(e )e (1)11()x a x axx x x f x x xx ------'=-=，设()=e1x ax h x x ---，则1()e 11x ah x x -=--- 在()1,+∞上是增函数， 当1x +→ 时，()h x →-∞，因为1e 1a >-，所以1(1)e 10h a a +=-->，所以存在0(1,1)x a ∈+ ，使得0000()e01x ax h x x -=-=-， 当0(1,)x x ∈时，()0h x <，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 上单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，则()0f x '>，即()f x 在0(1,)x 上单调递增，故0x x = 是函数()()e ln ln 1(0)x af x x a a x-=-++>的极小值点，也是最小值点， 则()0000e ln l 1)n ()(x af x x f x a x --+=+≥ ，又因为000e 1x ax x -=-，所以()000ln ln 11(1)x a f x x -++-=，即证：对任意1x >，()001ln ln 111x a x a-++>-，即证：对任意1x >，()001ln ln 111x a x a ->-+-， 设()ln 11g x x x =--，则()ln 11g x x x =--在()1,+∞上单调递减，因为0(1,1)x a ∈+，所以0()(1)g x g a >+，故()001ln ln 111x a x a ->-+-，故对任意1x >，()1f x a >.。
湖北省高中名校联盟2024-2025学年高三上学期第二次联合测评数学试卷含答案
湖北省高中名校联盟2025届高三第二次联合测评数学试卷（答案在最后）命题单位：武汉外国语学校数学备课组审题单位：圆创教育教研中心宜昌市第一中学本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟.考试时间：2024年11月7日下午15：00—17：00★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区战均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0},{12}A xx a B x x =<<=<∣∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（）A.()2,∞+ B.[)2,∞+ C.()0,2 D.(]0,22.已知()()2,3,4,3A B -，点P 在线段AB 的延长线上，且2AP PB =，则点P 的坐标为（）A.10,13⎛⎫-⎪⎝⎭B.101,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C.()6,9-D.()9,6-3.已知,p q 为实数，1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q -=（）A.2- B.2C.4D.4-4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（）A.2y x=± B.12y x =±C.43y x =±D.34y x =±5.若关于x 的函数()()2lg log 2a f x x ax ⎡⎤=++⎣⎦的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（）A.()()0,11,2⋃B.()(0,11,⋃C.()1,2 D.(1,6.如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形ABCD ，点E 在下底面圆周上，且CE =，点F 在母线AB 上，点G 是线段AC 上靠近点A 的四等分点，则EF FG +的最小值为（）A.4B.4C.6D.927.在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为（）A.14 B.13C.512D.128.已知函数()()sin (0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，若所在平面不等式()()20f x f x a +-在π0,3x ⎡⎤∈⎢⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.,12∞⎛-+⎝⎦B.1,2∞⎛+- ⎝⎦C.,2∞⎛- ⎝⎦D.,12∞⎛--⎝⎦二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某老师想了解班上学生的身高情况，他随机选取了班上6名男同学，得到他们的身高的一组数据（单位：厘米）分别为167,170,172,178,184,185，则下列说法正确的是（）A.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的平均值会变大B.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的方差会变小C.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的极差会变小D.这组数据的第75百分位数为18110.已知抛物线2:4E y x =，过点()2,0M 的直线l 与E 交于,A B 两点，直线,OA OB 分别与E 的准线l '交于,C D 两点.则下列说法正确的是（）A.4OA OB ⋅=-B.直线,OA OB 的斜率分别记为12,k k ，则12k k ⋅为定值C.CD 的取值范围为)∞+D.AOB 面积的最小值为11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,AB AA AD E ===为棱AD 上一点，且3AE =，平面1A BE上一动点Q 满足0,EQ AQ P ⋅=是该长方体外接球（长方体的所有顶点都在该球面上）上一点，设该外接球球心为O ，则下列结论正确的是（）A.长方体1111ABCD A B C D -外接球的半径为2B.点A 到平面1A BEC.球心O 到平面1A BE 的距离为3 D.点Q 的轨迹在1A EB 内的长度为6π3三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2022-2023学年湖北省黄冈市五校联考高一年级下册学期期末高难综合选拔性考试数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省黄冈市五校联考高一下学期期末高难综合选拔性考试数学试题一、单选题1．复数2019201811i z i i +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭（i 是虚数单位）的共轭复数z 表示的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据虚数单位的性质4142434,1,,1k k k k i i i i i i +++==-=-=，可化简z ，写出z ，判断对应点的位置即可.【详解】因为2019201811,11i z ii z i i +⎛⎫=+=--=-+ ⎪-⎝⎭,所以z 表示的点在第二象限，故选B ．【点睛】本题主要考查了虚数单位的性质及复数的运算，涉及共轭复数概念，属于中档题.2．某市准备建一所体育文化公园，针对公园中的体育设施，某社区采用分层随机抽样的方法对21岁至65岁的居民进行了调查.已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人.若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是（）A ．200B ．250C ．280D ．300【答案】D【分析】求出36岁至50岁的居民所占的比例，即可求得答案.【详解】由题意知36岁至50岁的居民所占的比例为70018407005603=++，故这次抽样调查抽取的总人数是1003300⨯=，故选：D3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos (2)cos .c A b a C =-若12A π=，点D 在边AB 上，1AD BC ==，则BCD △的外接圆的面积是（）A ．23π3+B ．43π3+C ．63π3+D ．83π3+【答案】B【分析】利用正弦定理将cos (2)cos c A b a C =-统一成角的形式，化简后可求出π4C =，在ABC 中利用正弦定理可求出AB ，则可求出BD ，然后在BCD △中利用余弦定理求出CD ，再利用正弦定理可求出BCD △外接圆的半径，从而可求出圆的面积.【详解】因为cos (2)cos c A b a C =-，所以由正弦定理得sin cos (2sin sin )cos C A B A C =-，所以sin cos sin cos 2sin cos C A A C B C +=，所以()sin 2sin cos C A B C +=，所以()sin π2sin cos B B C -=，所以sin 2sin cos B B C =，因为sin 0B ≠，所以2cos 2C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，所以ππ2πππ1243B AC =--=--=，在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC AB A ACB =∠，1ππsin sin 124AB=，所以π2sin 122AB =，因为πππππππ62sinsin sin cos cos sin 123434344-⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以62242AB-=，得31AB =+，所以3BD =在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC B =+-⋅，2131231432CD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-=+ ⎪⎝⎭，所以43CD =+，设BCD △外接圆半径为R ，则由正弦定理得432432sin 332CD R B ++===，所以433R +=，所以BCD △的外接圆的面积是243ππ3R +=，故选：B4．设O 是ABC 的外心，满足21(1)32AO AB AC λλ=+- ，λ∈R ，若||2BC = ，则ABC 面积的最大值为（）A ．2B ．1C ．8D ．4【答案】D【分析】用平面向量基本定理，垂直向量的数量积为0，把,b BE 表示成角C 的函数，即可表示出面积关于C 的正弦函数，由此即可求出面积最大值.【详解】如图，取AC 的中点D ，连接OD ，过B 作BE AC ⊥于E ，因为O 是△ABC 的外心，所以OD AC ⊥，因为()21132AO AB AC λλ=+-，所以121232-=- AO AC λAB λAC ，即2132=- DO λAB λAC ，所以2132⋅=⋅-⋅ DO AC λAB AC λAC AC ，即21032=⋅-⋅λAB AC λAC AC ，所以221cos 32bc A b =，即3cos 4c A b =，所以34AE b =,14CE b =，又1cos 2cos 4CE BC C C b =⋅==，所以8cos b C =，sin 2sin BE BC C C =⋅=，所以112sin 8cos sin 4sin 222△ABC S BE AC b C C C C =⋅=⋅⋅=⋅=，故当π4C =时，ABC S 有最大值4.故选：D5．英国浪漫主义诗人Shelley (雪莱)在《西风颂》结尾写道“ , ?If Winter comes can Spring be far behind ”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆)分为24等份，每等份为一个节气.2019年12月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（）A ．4πB ．3πC ．3π-D ．4π-【答案】A【分析】找到每一等份的度数，进而可得答案．【详解】解：由题可得每一等份为22412ππ=，从冬至到次年立春经历了3等份，即3124ππ⨯=.故答案为：A.【点睛】本题考查角的运算，是基础题.6．已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3a =，223b c bc +-=，则ABC 面积的取值范围是（）A ．333,24⎛⎤⎥⎝⎦B ．333,24⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．333,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．333,44⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【分析】结合式子223b c bc +-=的特点，联系余弦定理，以及3a =，表示出三角形ABC 的面积，33sin(2)264ABC S B π=-+，结合三角函数的图像求出范围.【详解】由于3a =，223b c bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-==，且(0,)A π∈，所以3A π=，那么外接圆半径为131232⨯=，213231sin 2sin 2sin()3sin (cos sin )24322333311sin cos sin sin 2(cos 2)224222331333(sin 2cos 2)sin(2)2224264ABC S bc A B B B B B B B B B B B B B ππ==⋅⋅-=+=+=+-=-+=-+ 由于02262032B B B πππππ⎧<<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-<⎪⎩，所以52666B πππ<-<，1sin(2)126B π<-≤，故33324ABC S <≤△.故选：A.7．圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC ）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC ）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（注：62sin154-︒=）（）A ．()23a -B ．334a +C ．314a -D ．334a -【答案】D【分析】由锐角三角函数的定义与同角三角函数的关系求解，【详解】设表高为h ，则1tan15BC h =⋅︒，1tan 60CD h =⋅︒，而62sin154-︒=，得62cos154+︒=，sin15tan1523cos15︒︒==-︒，故3623(23)33DB h h h a +=+-==，得334h a -=，故选：D8．南宋时期的数学家秦九韶发现计算三角形面积的“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中,,a b c 是ABC 内角,,A B C 的对边．现有周长57+的ABC 满足sin :sin :sin 2:3:7C A B =，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（）A ．332B ．7C ．27D ．3【答案】A【分析】利用正弦定理，边角互化，结合周长求出,,a b c 的值代入题目所给公式计算即可.【详解】因为周长为57+的ABC 满足sin :sin :sin 2:3:7C A B =，利用正弦定理整理得：::2:3:7c a b =，令237c a b k ===，所以2,3,7c k a k b k ===，所以23757a b c k k k ++=++=+，解得1k =，故2,3,7c a b ===．故222222133422ABCc a b S c a⎡⎤⎛⎫+-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故选：A ．二、多选题9．已知向量()()6,8,,a b x y =-= ，且//a b，若5b = ，则x y +的值可能是（）A ．7-B ．1-C ．1D ．7【答案】BC【分析】根据平面向量共线及向量模的坐标运算得到方程组，解得即可；【详解】解：因为向量()()6,8,,a b x y =-= ，且//a b，5b = 所以228605x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=-⎩或34x y =-⎧⎨=⎩故1x y +=-或1x y +=.故选：BC10．由于国庆期间有七天长假，不少电影选择在国庆档上映．已知A ，B 两部电影同时在9月30日全国上映，每天的票房数据统计如图所示．下列结论中正确的有（）A ．这8天A 电影票房的平均数比B 电影票房的平均数大B ．这8天A 电影票房的方差比B 电影票房的方差大C ．这8天A 电影票房的中位数与B 电影票房的中位数相同D ．根据这8天的票房对比，预测10月8日B 电影票房超过A 电影票房的概率较大【答案】ABD【分析】根据题意，由平均数，方差以及中位数的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】对于A ，这8天A 电影票房的平均数为()12.93.9 3.7 3.1 2.6 2.5 2.3 1.68+++++++ 2.8≈，这8天B 电影票房的平均数为()12.1 2.6 2.9 2.7 2.6 2.5 2.4 1.8 2.58+++++++≈，所以A 电影票房的平均数比B 电影票房的平均数大，故A 正确；对于B ，这8天A 电影票房的方差为()()()()22221 2.9 2.8 3.9 2.8 3.7 2.8 3.1 2.88⎡-+-+-+-⎣()()()()22222.6 2.8 2.5 2.8 2.3 2.8 1.6 2.80.5⎤+-+-+-+-≈⎦，这8天B 电影票房的方差为()()()()22221 2.1 2.5 2.6 2.5 2.9 2.5 2.7 2.58⎡-+-+-+-⎣()()()()22222.6 2.5 2.5 2.5 2.4 2.5 1.8 2.50.1⎤+-+-+-+-≈⎦，所以A 电影票房的方差比B 电影票房的方差大，故B 正确；对于C ，这8天A 电影票房的中位数2.6 2.9 2.752+=与B 电影票房的中位数2.6 2.52.552+=不相同，故C 错误；对于D ，根据这8天A,B 的票房对比，B 电影票房方差小，数据波动小，且从10月6日开始超过A 电影票房，所以预测10月8日B 电影票房超过A 电影票房的概率较大，故D 正确；故选：ABD11．三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，点O 是ABC 的外心，1A O ⊥平面ABC ，3BC =，二面角1B AA C --为π3，则下列选项中正确的是（）A ．三棱柱的侧面积为63B ．1A B 与1AC 所成角的余弦值为34C ．点1A 到平面11BCC B 的距离为32D ．若四棱锥111A BCC B -各顶点都在同一球面上，则该球的半径为43【答案】ACD【分析】由题意明确三棱柱的侧面特征，即可求得棱柱侧面积，判断A;采用平移的方法，找到异面直线所成角，解三角形可得答案，判断B;通过线面垂直，找到过1AA 上的点到平面11BCC B 的垂线，即可求得点1A 到平面11BCC B 的距离，判断C;明确棱锥111A BCC B -的各棱长，明确外接球球心的位置，列式即可求得外接球半径，判断D.【详解】如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，点O 是ABC 的外心，1A O ⊥平面ABC ，连接,,OA OB OC ,因为,,OA OB OC ⊂平面ABC ,故111,,A O OA A O OB A O OC ⊥⊥⊥,而OA OB OC ==，故1Rt A OA ≅1Rt A OB ≅1Rt AOC △,所以111AA A B A C ==,又1AB AC AA ==，所以11,A AB A AC 为全等的正三角形，设E 为1A A 的中点，连接,BE CE ,则11,BE A A CE A A ⊥⊥,且BE CE =,而BE ⊂平面1BAA ,CE ⊂平面1CAA ,故BEC ∠为二面角1B AA C --的平面角，则π3BEC ∠=，故BEC 为正三角形，因为3BC =，故3BE CE ==,所以132πsin 3AA ==，故四边形11ABB A ,11ACC A 的面积为23，延长AO 交BC 于D ，由于AB AC =，点O 是ABC 的外心，OB OC ∴=,则AOB ≅AOC ,所以BAO CAO ∠=∠,即AO 为BAC 的角平分线，则AO 也为ABC 的中线，则D 为BC 的中点，设F 为11B C 的中点，连接1,A F DF ,则11//,A F AD A F AD =,即四边形1A FDA 为平行四边形，所以1//DF AA ,因为AB AC =，D 为BC 的中点，故AD BC ⊥,而1A O ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故1AO BC ⊥,11,,A O AD O A O AD =⊂ 平面1A FDA ，所以BC ⊥平面1A FDA ，1AA ⊂平面1A FDA ，所以1BC AA ⊥,又11//AA BB ,故1BC BB ⊥所以四边形11BCC B 的面积为11123BCC B S BC BB =⨯=,所以三棱柱的侧面积为111111++23232363BCC B ABB A ACC A S S S =++=,A 正确；设11,AC AC 交于G ，连接GD ,则G 为1AC 的中点，而D 为BC 的中点，故1//DG A B ,则1DGC ∠即为1A B 与1AC 所成角或其补角，在1DGC 中，221111111,2213222DG A B GC AC ====⨯-=,222211319()()222DC DC CC =+=+=,故22211111913()()34cos 2823DG GC DC DGC DG GC +-+-∠===-⋅,由于1A B 与1AC 所成角范围为π[0,]2，故1A B 与1AC 所成角的余弦值为38，B 错误；由于11,BE A A CE A A ⊥⊥，而,,BE CE E BE CE =⊂ 平面BEC ，故1A A ⊥平面BEC ，ED ⊂平面BEC ，故1A A ED ⊥,而1//DF AA ，所以DF ED ⊥,又BE CE =，D 为BC 中点，故ED BC ⊥,,,DF BC D DF BC =⊂ 平面11BCC B ，故ED ⊥平面11BCC B ，又因为1//DF AA ，DF ⊂平面11BCC B ，1AA ⊄平面11BCC B ，故1//AA 平面11BCC B ，所以点1A 到平面11BCC B 的距离即为ED 的长，在正三角形BEC 中，333322BC ED =∴=⨯=，,C 正确；在四棱锥111A BCC B -中，由以上分析可知，1111112A B A B A C A C ====,132BC BB ==，,设H 为底面11BB C C 的对角线的交点，连接1A H 即为四棱锥的高，则11722BH BC ==,故221732()22A H =-=，设四棱锥111A BCCB -的外接球球心为O ',则O '在1A H 上，由于222111111111()()()871cos 022228BA AC BC BAC BA AC +--∠===>⋅⨯⨯,即11BA C ∠为锐角，故O '在四棱锥内部，设外接球半径为R ,则222()()O B O H BH ''=+,即22237()()22R R =-+,解得43R =,D 正确，故选：A C D【点睛】方法点睛：本题涉及到的知识点较多，综合性较强，解答时要发挥空间想象，明确空间的线面的位置关系，即要推出题中相关的线面平行或者线面垂直关系，由此求解异面直线所成角时，采用平移法即可；求点面距离时，利用线面垂直，找到平面的垂线，再解答即可.12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1323AB AA ==，ABC 是等边三角形﹐点О为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的有（）A ．1AA ⊥平面ABCB ．异面直线1BC 与1AA 所成角的大小是6πC ．球О的表面积是20πD ．点О到平面1AB C 的距离是1313【答案】ACD【分析】根据点О是三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心可判断A ；求出异面直线所成的角可判断B ；求出球О的半径，由球的表面积公式计算表面积即可判断C ；利用正弦定理求出1AB C V 外接圆的半径r ，利用勾股定理即可求点到面的距离可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：如图，因为球О是三棱柱111ABC A B C -的外接球，设111A B C △的外心为1O ，连接1OO ，则1OO ⊥面111A B C ，因为11//AA OO ，所以1AA ⊥平面ABC ，故选项A 正确；对于B ：因为11//AA CC ，所以11B CC ∠是异面直线1B C 与1AA 所成的角.因为1323AB AA ==，所以12CC =，1123B C =，所以1111123tan 32B C B CC CC ∠===，所以113B CC π∠=，故选项B 不正确；对于C ：设111A B C △的外心为1O ，连接1OO ，11O C ，1OC ，由题意可得1111223cos 30232332O C B C =⨯=⨯⨯= ，11112OO AA ==，则球О的半径2221111125R OC OO O C ==+=+=，从而球О的表面积是()2244520R πππ=⨯=，故选项C 正确；对于D ：设1AB C V 外接圆的半径为r ，由题意可得111244AB B C ==+=，则()2214313sin 44B AC -∠==，由正弦定理可得1142sin 134B C r B AC ==∠161313=，所以81313r =，则点О到平面1AB C 的距离22641351313d R r =-=-=﹐故选项D 正确；故选：ACD三、填空题13．已知直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形OAB ，斜边长1OB =，若该直三棱柱的侧棱长为2，则该直三棱柱的侧面积为.【答案】2(123)++【分析】由题设及斜二测法知,OA AB 在原图上的对应边长分别为2、3，根据直棱柱表面积公式求其侧面积即可.【详解】由题意知：22OA =，斜二测法知：原直三棱柱中，OA 的对应边长为2，AB 对应边长为3，且OB 对应边长不变，故底面周长为123++，而直三棱柱的侧棱长为2，故其侧面积为2(123)++.故答案为：2(123)++14．如图，在正四棱锥P ABCD -中，10,2PA AB ==.从A 拉一条细绳绕过侧棱PB 和PC 到达D 点，则细绳的最短长度为.【答案】265【分析】将图形展成平面图形，进而解三角形PAD 即可求得答案.【详解】如图﹐将侧面,PAB 侧面,PBC 侧面PCD 展开到一个平面内，由题意可知，10PA PB PC PD ====， 2.AB BC CD ===设,APB BPC CPD θ∠=∠=∠=则2044cos 521010θ-==⨯⨯，从而3sin 5θ=，由二倍角公式可得724cos 2,sin 22525θθ==，则44cos3cos(2)cos 2cos sin 2sin 125θθθθθθθ=+=-=-.由余弦定理可得24467610102101012525AD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则265AD =.故答案为：265.四、双空题15．一个容量为9的样本，它的平均数为449，方差为15281，把这个样本中一个为4的数据去掉，变成一个容量为8的新样本，则新样本的平均数为，方差为.【答案】52【解析】根据样本平均数和方程列方程，然后利用平均数和方差的计算公式，计算除去4后新的样本的平均数和方差.【详解】由题设91449i i x ==∑，29144152819i i x =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑.新样本的平均数为911458i i x =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑.因为()299211441599i i i i x x ==⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑22914424419999i i i x x =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑229991114424419999i i i i i x x ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑215210999⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭17=.所以这个容量为8的样本方差为()9221115(45)(171)288i i x =⎡⎤---=-=⎢⎥⎣⎦∑.故答案为：(1).5(2).2【点睛】本小题主要考查平均数和方差的计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.16．如图，在四边形ABCD 中，=60B ∠︒，2AB =，6BC =，且AD BC λ=uuu r uuu r ，2AD AB ⋅=- 则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN =u u u u r ，则AM DN ⋅ 的最小值为．【答案】13114【分析】求出120BAD ∠=︒，由2AD AB ⋅=- 利用数量积公式求解λ的值即可；建立坐标系，设(),0M m ，则()1,0N m +，利用数量积的坐标表示，结合二次函数配方法求解即可.【详解】因为AD BC λ=uuu r uuu r ，所以//AD BC uuu r uuu r ，因为=60B ∠︒，所以120BAD ∠=︒，所以12co 0s AD AB AD AB ⋅=⋅︒111622223BC AB λλλ=-⋅=-⨯⨯=-⇒= ；建立如图所示的坐标系xoy ，因为=60B ∠︒，2AB =，6BC =，可得()()0,3,2,3A D ，设(),0M m ，因为1MN =u u u u r ，则()1,0N m +，所以()(),3,1,3AM m DN m =-=-- ，()()22211111133244AM DN m m m m m ⎛⎫⋅=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭ ，当12m =时等号成立，所以AM DN ⋅ 的最小值为114，故答案为：13,114.【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．五、解答题17．已知1e ，2e 是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e =+ ，12BE e e λ=-+ ，122EC e e =-+ ，且A ，E ，C 三点共线.(1)求实数λ的值；(2)若1(3,1)e = ，2(1,2)e =-- ，求BC 的坐标；(3)已知1(,3)2D -，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标.【答案】(1)32λ=-(2)17(,2)2--(3)(8,5)A 【分析】（1）//AE EC ，利用共线向量的坐标表示即可求解；（2）BC BE EC =+ ，利用向量加法的坐标表示即可求解；（3）根据题意得AD BC = ，即可求解．【详解】（1）121212(2)()(1)AE AB BE e e e e e e λλ=+=++-+=++，因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE k EC = ，即1212(1)(2)e e k e e λ++=-+ ，得12(12)(1).k e k e λ+=--因为1e ，2e 是平面内两个不共线的非零向量，所以12010k k λ+=⎧⎨--=⎩解得12k =-，32λ=-；（2）121212312322=+=---+=-- BC BE EC e e e e e e 11173(3,1)(1,2)(9,3)(,1)(,2)222=-⨯-⨯--=--+=--；（3）设(,)A x y ，由题意可得17(,2)2AD BC ==-- ，11722x ∴--=-，32y -=-，8x ∴=， 5.y =(8,5).A ∴18．在①()(sin sin )(sin sin )a c A C b AB +-=-；②2cos 0cos b a A c C --=；③向量(,3)m c b = 与(cos ,sin )n C B = 平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足__________.（1）求角C ；（2）若ABC 为锐角三角形，且4a =，求ABC 面积的取值范围.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】条件选择见解析；（1）3C π=；（2）(23,83).【分析】（1）若选择①，利用正弦定理边角互化，再由余弦定理可求出角C ；若选择②，利用正弦定理边角互化，再由两角和的正弦公式化简，可得角C ；若选择③，利用正弦定理可得角C ；（2）利用余弦定理可得22416c b b =-+，由ABC 为锐角三角形得出b 的范围，进而求出ABC 面积以及取值范围．【详解】（1）若选择①：由①及正弦定理可得()()()a c a c b a b +-=-，即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=.若选择②：由②及正弦定理得2sin sin cos 0sin cos B A A C C--=，即2sin cos sin cos cos sin 0B C A C A C --=，sin (2cos 1)0B C -=，∵sin 0B ≠，∴1cos 2C =，3C π=.若选择③：由③可得sin 3cos c B b C =，∴sin sin 3sin cos C B B C =，∴tan 3C =，3C π=.（2）由已知及余弦定理可得2221624cos 4163c b b b b π=+-⋅⋅=-+，由ABC 为锐角三角形可得2241616b b b +-+>且2216416b b b +-+>，解得28b <<，ABC 面积1sin 3(23,83)23S ab b π==∈.(或由正弦定理将b 转换成一个内角的三角函数求解)19．已知向量()()23cos ,1,sin ,sin 1m x n x x ==- ，函数()12f x m n =⋅+ ，（1）若()30,,43x f x π⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，求2cos x 的值；（2）在ABC 中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且满足2cos 23b A c a ≤-，当B 取最大值时，1a =，ABC 面积为34，求sin sin a c A C ++的值．【答案】（1）2326+（2）2sin sin a c A C +=+【分析】（1）首先利用向量数量积的坐标运算把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用角的恒等变换求出结果．（2）利用余弦定理对关系式进行变换求出B 的范围，再利用三角形的面积公式和正弦定理，求出结果．【详解】解：（1）向量()()23cos ,1,sin ,sin 1m x n x x ==- ，则：函数()12f x m n =⋅+ ，=213sin 12sinxcosx x +-+，=31sin2cos222x x -=sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭因为()3043x f x π⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，，，所以32,sin 266363x x ，ππππ⎡⎤⎛⎫-∈--= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以6cos 263x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，=cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=2326+，（2）在ABC 中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且满足2cos 23b A c a ≤-，整理得：2222232b c a b c a bc+-⋅≤-整理得：2223cos 22a cb B ac +-=≥，所以：06B π<≤，当6B π=时，1a =，ABC 面积为34，则：13sin 24ac B =，解得：3c =，利用余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，解得：1b =，则2sin sin sin a c b A C B+==+【点睛】本题考查的知识点：向量数量积的坐标运算，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，角的恒等变换，余弦定理和正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题型．20．插花是一种高雅的审美艺术，是表现植物自然美的一种造型艺术，与建筑､盆景､造园等艺术形式相似，是最优美的空间造型艺术之一.为了通过插花艺术激发学生对美的追求，增添生活乐趣，提高学生保护环境的意识，增加团队凝聚力，某高校举办了以“魅力校园､花香溢校园”为主题的校园插花比赛.比赛按照百分制的评分标准进行评分，评委由10名专业教师､10名非专业教师以及20名学生会代表组成，各参赛小组的最后得分为评委所打分数的平均分.比赛结束后，得到甲组插花作品所得分数的频率分布直方图和乙组插花作品所得分数的频数分布表，如下所示：定义评委对插花作品的“观赏值”如下所示.分数区间[)7284，[)8492，[]92100，观赏值123（1）估计甲组插花作品所得分数的中位数(结果保留两位小数)；（2）从40位评委中随机抽取1人进行调查，试估计其对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观赏值”高的概率；（3）若该校拟从甲､乙两组插花作品中选出一个用于展览，从这两组插花作品的最后得分来看该校会选哪一组？请说明理由(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).【答案】（1）85.82；（2）0.225；（3）该校会选择甲组插花作品，理由见解析.【分析】（1）设甲组插花作品所得分数的中位数为x ，根据中位数的概念及求法，即可求解；（2）设“对乙组插花作品的观赏值比对甲组插花作品的观赏值高”为事件C ，“对乙组插花作品的观赏值为2”为事件2A ，“对乙组插花作品的观赏值为3为事件3A ，“对甲组插花作品的观赏值为1”为事件1B ，“对甲组插花作品的观赏值为2”为事件2B ，利用相互独立事件的概率，即可求解；（3）由频率分布直方图可知，分别求得甲、乙组插花作品的最后得分，即可得到结论.【详解】（1）设甲组插花作品所得分数的中位数为x由频率分布直方图可得甲组得分在前三个分数区间的频率之和为0.3，在最后三个分数区间的频率之和为0.26，故x 在[)8488，内，且840.50.3880.50.26x x --=--，解得94485.8211x =≈；（2）设“对乙组插花作品的观赏值比对甲组插花作品的观赏值高”为事件C ，“对乙组插花作品的观赏值为2”为事件2A ，“对乙组插花作品的观赏值为3为事件3A ，“对甲组插花作品的观赏值为1”为事件1B ，“对甲组插花作品的观赏值为2”为事件2B ，则：()()10.0100.0250.04040.3P B =++⨯=，()()20.1100.04040.6P B =+⨯=，由频数分布表得，()21440.4540P A +==，()3310.140P A +==，因为事件i A 与j B 相互独立，其中2i =､3，1j =､2，所以()()()()()()()()213132213132P C P A B A B A B P A P B P A P B P A P B =++=⋅+⋅+⋅0.450.30.10.30.10.60.225=⨯+⨯+⨯=，所以评委对乙组插花作品的观赏值比对甲组插花作品的观赏值高的概率为0.225；（3）由频率分布直方图可知，甲组插花作品的最后得分约为：()0.01740.025780.04820.11860.04900.02940.00598485.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，由乙组插花作品所得分数的频数分布表，得：分数区间[)7276，[)7680，[)8084，[)8488，[)8892，[)9296，[]96100，频数151214431频率0.0250.1250.3000.3500.1000.0750.025所以乙组插花作品的最后得分约为：0.025740.125780.3820.35860.1900.075940.0259884.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为85.684.8>，所以该校会选择甲组插花作品.21．在梯形ABCD 中，//DC AB ，E 是线段AB 上一点，2AD =，5AB =，1AE CD ==，60DAB ∠=︒，把BCE 沿CE 折起至SCE △，连接SA ，SD ，使得平面SCD ⊥平面AECD .（1）证明：//AE 平面SCD ；（2）求异面直线AE 与SC 所成的角；（3）求点A 到平面SCE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）32.【分析】（1）由//AE CD ，根据线面平行的判定定理即可得证；（2）由//AE CD ，得异面直线AE 与SC 所成角就是直线CD 与SC 所成角，分别求出SCD 的三条边长即可得出答案；（3）A SEC S AEC V V --=，利用等体积法即可得出答案.【详解】（1）证明：由题意知//AE CD ，AE ⊂/平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，//AE ∴平面SCD .（2）由（1）知//AE CD ，异面直线AE 与SC 所成角就是直线CD 与SC 所成角，1AE CD == ，//AE CD ，四边形AECD 是平行四边形，//AD EC ∴，60DAB CEB ∴∠=∠=︒，2AD EC ==，原图中1AE = ，5AB =，4EB ∴=，在ECB 中，由余弦定理得23BC =，90ECB ∴∠=︒，折叠后，23SC =，4SE =，90ECS ∠=︒，连接DE ，在CDE 中，由余弦定理得3DE =，DE CD ∴⊥，平面SCD ⊥平面AECD ，平面SCD 平面AECD CD =，DE ⊂平面AECD ，DE ∴⊥平面SCD ，SD ⊂ 平面SCD ，DE SD ∴⊥，在SDE V 中，13SD =，在SCD 中，222SC CD SD +=，90SCD ∴∠=︒，∴异面直线AE 与SC 所成角为90°.（3）由（2）知，SC CD ⊥，SC CE ⊥，CD CE C = ，CD 、CE ⊂平面AECD ，SC ∴⊥平面AECD ，.113S AEC AEC V S SC -∴=⋅=△，设点A 到平面SCE 的距离为A h ，12333A SEC SEC A A V S h h -∴=⋅=△，A SEC S AEC V V --= ，32A h ∴=.22．若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数()12x f x -=在定义域[](),0m n m >上为“依赖函数”，求mn 的取值范围；（3）已知函数()()243h x x a a ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数：4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t R ∈，不等式()()24h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值.【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）()0,1；（3）最大值为4112.【解析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；（2）先根据题意得到()()1f m f n =，解得：2m n +=，再由0n m >>，解出01m <<，根据m 的范围即可求出mn 的取值范围；（3）根据题意分443a ≤≤，4a >，考虑()f x 在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得a 的值，代入得2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由判别式0∆≤，即可得到265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，再令函数53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调性，求得其最值，可求得实数s 的最大值.【详解】（1）对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在16x π=，则()22g x =无解，故()sin g x x =不是“依赖函数”.（2）因为()12x f x -=在[],m n 上递增，故()() 1f m f n =，即11221m n --=，2m n +=，由0n m >>，故20n m m =->>，得01m <<，从而()2mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈.（3）①若443a ≤≤，故()()2h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；②若4a >，故()()2h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413h h ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a =(舍)或133a =，从而存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.使得对任意的t R ∈，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭.由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤，综上，故实数s 的最大值为4112.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.。
2024届湖北省高三十一校高三下学期第二次联考(二模)物理试题
2024届湖北省高三十一校高三下学期第二次联考（二模）物理试题一、单选题 (共7题)第(1)题如图所示，不带电的金属球静止在光滑绝缘水平地面上，球心O的正上方有一固定的点电荷。
现给金属球施加外力，让金属球沿竖直方向缓慢靠近点电荷，下列说法正确的是（ ）A．球心O处的场强逐渐变大B．感应电荷在O处产生的场强逐渐变大C．球心O处的电势逐渐升高D．金属球的电势能增大第(2)题稀土矿不同程度地含有天然放射性元素钍系和轴系，其中有如下核反应方程：①；②，下列说法正确的是（ ）A．Ra的比结合能比Ac的比结合能大B．X为β粒子，Y为α粒子C．Y是Ra核中的一个中子转化成一个质子时产生的D．两个核反应都属于核裂变反应第(3)题某同学周末在家大扫除，移动衣橱时，无论怎么推也推不动，于是他组装了一个装置，如图所示，两块相同木板可绕处的环转动，两木板的另一端点、分别用薄木板顶住衣橱和墙角，该同学站在该装置的处。
若调整装置点距地面的高时，、两点的间距，处衣橱恰好移动。
已知该同学的质量为，重力加速度大小取，忽略A处的摩擦，则此时衣橱受到该装置的水平推力为（ ）A．B．C．D．第(4)题如图，一列简谐横波沿轴正方向传播，实线和虚线分别表示t 1=0和t2=0.5s（T>0.5s）时的波形，能正确反映时波形的是图（ ）A．B．C．D．第(5)题在2022年北京冬奥会自由式大跳台滑雪比赛中，我国运动员取得了优异成绩。
如图所示，一质量为m的运动员经助滑雪道加速后，从雪道跳台A点沿水平方向以初速度飞出并落在倾斜雪道上的B点，倾斜雪道与水平面的夹角为θ，重力加速度为g，不计空气阻力，则运动员从A点运动到B点的过程中（ ）A．动能的增加量为B．动能的增加量为tanθC．动量的变化量为2m tanθD．动量的变化量为第(6)题如图，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度对应的脱离轨道，三点分别位于三条轨道上，点为轨道Ⅱ的远地点，点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，则（ ）A．卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道Ⅰ的2倍B．卫星经过点的速率为经过点的倍C．卫星在点的加速度大小为在点的3倍D．质量相同的卫星在点的机械能小于在点的机械能第(7)题若实心玻璃管长40cm，宽4cm，玻璃的折射率为，光从管的左端正中心射入，则光最多可以在管中全反射几次（ ）A．5B．6C．7D．8二、多选题 (共3题)第(1)题如图所示的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，圆形区域半径为R，圆心为O，圆形边界上有A、B、C三点，其中A、B两点连线为直径，OA与OC间的夹角为，现有大量带负电的粒子以大小不同的速度从A点射入圆形区域，入射方向相同（如图，均与OA成），带电粒子质量为m，电荷量为，不计粒子重力，要让粒子从不同位置射出磁场区域，则下列说法正确的是（ ）A．从B点射出磁场区域的粒子，在磁场中运动的时间为B．垂直AB连线方向射出磁场区域的粒子，出射点到AB连线的垂直距离为C．从C点射出磁场区域的粒子，速度大小为D．射出磁场区域时速度方向恰好改变的粒子，速度大小为第(2)题据中国汽车工业协会最新数据，2022年10月，我国新能源汽车产销分别为76.2万辆和71.4万辆，依然保持高速增长态势。
2022届高三湖北十一校联考数学-试卷及答案
2022 届高三湖北十一校第一次联考
数学参考答案
一.单选题 CABC DBCA 1.【答案】C
【解析】因为 A {x | x2 3x 0} ={x | 0 x 3}， B x 1 x 5 ，则 A B x 0 x 5 ，故选 C.
^
B.对具有线性相关关系的变量 x，y，其线性回归方程为 y 0.3x m ，若样本点的中心为 (m, 2.8) ，
则实数 m 的值是 4
C.已知随机变量 X 服从正态分布 N , 2 ，若 P X 1 P X 5 1，则 2
D.已知随机变量
X
服从二项分布
B
n,
1 3
，若
E(3X
4.【答案】C
【解析】 f (x) 1 2sin2 x+2s in x 2(sin x 1)2 3 . 又 x 0， ,则 sin x 0,1 ，所以当 sin x 1 时，
22
2
f (x) 取得最大值 3 .故选 C.
2
5. 【答案】D
【解析】由题意可知，该多面体可看作正四面体截去四个棱长为 1 的小正四面体所得的正八面体， 2
B．m
m,1,b
1
4,
m
,
c
C． m 2
1,
2
，则
a
/
/b
是
a
c
的（
D． 1 m
）条件
2
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
4.函数 f (x) cos 2x+2s in x ， x 0， 的最大值为 ( )
湖北省黄冈中学、华师一附中、襄阳四中、襄阳五中、荆州中学等八校2019届高三第二次联考数学(文)试题答案
湖北省八校2019届高三第二次联考数学试卷（文科）参考答案一、选择题：题号123456789101112答案DDCCADCAABDA二、填空题：13.2614.2315.4816.（1）（2）（3）三、解答题：17.解：(1)当111 3n a S ===…………………………………………………………（1分）()()212 111n n S n n -≥=-+-+1 2n n n a S S n -∴=-=……………………………………………………（3分）综上()()3 12 2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩…………………………………………（4分）32444, 8 2b a b a q ====∴=3132n n n b b q --==…………………………………………（6分）(2)101210T c c c =+++ ()()135********=a a a a a b b b b b +++++++++…………………………（8分）()()3+6+10+14+18+2+8+32+128+512=…………………………………（10分）=733…………………………………………（12分）18.(1)证明：设11A B 的中点为D ，连PD 与1DC 11PA PB = 11 PD A B ∴⊥……………………………………………………………（2分）同理111DC A B ⊥…………………………………………………………（3分）111A B PDC ∴⊥平面111 A B PC ∴⊥……………………………………………………………（5分）又∵AB ∥A 1B 11 PC AB∴⊥…………………………………………（6分）(2)1111111P A B C C PA B C PA B V V V ---==……………………………………………………（8分）11=21323⨯⨯⨯…………………………………………（12分）19.解:（1）由题知后两组数据满足条件……………………………………………………（2分）617101010+=从五组数据中任意取出两组有10种情况（如ABCDE 中取出两个有AB AC ，，AD AE BC BD BE CD CE DE ，，，，，，，共10种）满足条件有后面两组，有一组满足条件的有23=6⨯种（如AD BD CD ，，，AE BE CE ，，），两组均可有1种（如DE ）共有7种情况.……………（6分）（建议答案正确不扣分.）（2）如表格x23578y 5812141621y x =+57111517x 23578y581214165322y x =-3.56111618.5222221011114Q =++++=…………………………………………（9分）222222 1.5212 2.517.5Q =++++=12Q Q <…………………………………………（11分）∴直线1l 拟合程度更好…………………………………………（12分）20．解：(1)1c e == 2a c =b =…………………………………………(1分)设椭圆方程2222143x y c c+=将点B 代入得24c =……………………………………………………………………（3分）∴椭圆方程为2211612x y +=…………………………………………（4分）(2)由椭圆第二定义23B a BF ed e x a e c⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭……………………………（6分）同理AF a me =-，BF a pe=- AF BF BF ，，成等差数列 6m p ∴+=…………………………………………（8分）（建议直接用焦半径公式不扣分.）(3)2211612m n += ,2211612p q +=两式相减得()()()()1612m p m p n q n q +-+-=-9 2()AC n q k m pn q -∴==--+ AC ∴的中垂线为()()2329n q y n q x +-=+-……………………………（10分）令0y =得34x =3 04D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，为定点…………………………………………（11分）9BD k ∴=-…………………………………………（12分）21.解：(1)1'()2f x ax b x=++………………………………………………………………（1分）'(1)2(1)2f f =-⎧⎨=-⎩ 1 1a b ∴=-=-…………………………………………（4分）2 ()ln (0)(21)(1)'()f x x x x x x x f x ∴=-->-+=-…………………………………………………（5分）当21,0(∈x 时，)(,0)('x f x f >递增当),21(+∞∈x 时，)(,0)('x f x f <递减即max 13()ln 224f x f ⎛⎫==--⎪⎝⎭…………………………………………（7分）(2)令22()()ln g x x tf x x t x tx=-=--()22'() 0x tx tg x x x--=>……………………………………………（8分）令22=0xtx t --的两根为12,x x 1202t x x ⋅=-<不妨设120x x <<当),0(2x x ∈时，)(,0)('x g x g <递减当),(2+∞∈x x 时，)(,0)('x g x g >递增()0g x =有唯一实数解22'()0()0g x g x =⎧⎨=⎩即22222220 ln 0 x tx t x t x tx --=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②2222=ln + x t x tx 代入①式得()22ln 10t x x +-=…………………………………………………………（10分）0 ()ln 1t h x x x >=+- 在()0+∞，递增且(1)0h =即21x =代入①式1t ∴=…………………………………………（12分）（其它解法酌情给分，如分离变量法.）22.解：(1)将直线l 与曲线C 化成平面直角坐标方程分别为2x y +=，()222+4x y -=…………………………………………（3分）直线过圆心），02( 24AB r ∴==…………………………………………（5分）(2)令⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=∠2π,0θθPAB则PAB S ∆14sin 4cos 4sin 24PABS θθθ=⨯⨯=≤ ……………………………（8分）4π=θ取最大值…………………………………………（10分）23.解(1)()()222x a x b x a x b a b-++≥--+=+ ……………………………（3分）min ()22f x a b =+=（或分段求最小值） 22a b ∴+=…………………………………………（5分）(2)936ab+≥===……………………………………(9分)（当且仅当,12==b a 即1,21==b a 时取=“”）……………………………（10分）。
湖北省八校2020届高三第二次联考数学(文)试题(答案解析)
函数，且 f (2) 3 ，进而原不等式化为 f (log3 x) f (2), 结合 f (x) 的单调性可得 log3 x 2, 所以 0 x 9, 即原不等式的解集为 (0,9) ，故选 B.
10.【答案】A【详解】 解析：设 A(a,0),B(0,b),依题意，a>0,b>0,则直线方程为
14.【答案】 2 【详解】由等差数列的性质可知： S6 S3 a4 a5 a6 3a5 0, a4 a6 2a5 0, a6 2.
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参考答案 1.【答案】B【详解】由题意，根据复数的运算可得复数 z 2 i ，则 z 对应点(-2,1)在第二象限，
故选 B．
2.【答案】C【详解】集合U R ，因为集合 A 为大于等于 0 的偶数集，集合 B {x x 0 或 x 2}，
所以 CU B {x 0 x 2} ，故选 C. 3.【答案】B【详解】 F1F2 2c 10
R,VP ABC
VPBCH
VABCH
1 3 ( 3 R)2 2R 3 R3 3,
34 2
8
解得 R 2.
C
B
H
12.【答案】A【详解】设 P(x,y),双曲线的两渐近线方程为 y b x, 进而
a
A
d12
d22
(
bx ay b2 a2
)2 (
bx ay b2 a2
)2
2(b2 x2 a2 y2 ) c2
5.【答案】A【详解】
a
lg
2 3
0
b
log5
2
log5
5 1 , c 0.50.5 0.51 1 ．故 a b c ．
2
2
6.【答案】B【详解】从三个阳数 1,3,5,7,9 中随机抽取三个数共有 10 种取法，合题意的有 2 种：{1,5,9}
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鄂南高中黄冈高中黄石二中荆州中学龙泉中学
武汉二中孝感高中襄阳四中襄阳五中宜昌一中夷陵中学
2022届高三湖北十一校第二次联考
数学试题
命题学校：宜昌一中 命题人：李智 审题人：熊江华
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.若全集UR，集合0,1,2,3,4,5A，3Bxx，则图中阴影部分表示
的集合为
A.3,4,5 B.0,1,2 C.0,1,2,3 D.4,5
2.直线230kxyk与圆22450xyx的位置关系是
A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切
3.祖暅原理“幂势既同，则积不容异”，说的是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则
体积相等.设A、B为两个同高的几何体.现有命题p：A、B的体积相等，命题q：A、B在等高处
的截面积恒相等.根据祖暅原理可知，p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.气象学中用24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度.其中小雨
(<10mm)，中雨(10mm－25mm)，大雨(25mm－50mm)，暴雨(50mm－100mm)，
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级
A.小雨 B.中雨
C.大雨 D.暴雨
5.已知a，b为正实数，直线2yxa与曲线ln()yxb相切，则12ab的最小值
是
A.6 B.42 C.8 D.22
6.如图为宜昌市至喜长江大桥，其缆索两端固定在两侧索塔顶部，
中间形成的平面曲线称为悬链线.当微积分尚未出现时，伽利略猜
数学试题 第 2 页 共 5 页
测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利借助微积分推导出悬链线的方程
2
xx
cc
c
yee
，其中c为参数.当1c时，函数cosh()2xxeex称为双曲余弦函数，与之对应的函
数sinh()2xxeex称为双曲正弦函数.关于双曲函数，下列结论正确的是
A.22[sinh()][cosh()]1xx B.'(cosh())sinh()xx
C.cosh(1)cosh(2) D.sinh()sinh()xx
7.已知双曲线C：2222=1xyab()00ab，的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与C的左支交
于A、B两点，且113AFFB，2ABF=90°，则C的渐近线方程为
A.2yx B.5yx C.62yx D.102yx
8.已知、、、为锐角，在sincos，sincos，sincos，sincos四个值中，大于12的
个数的最大值记为m，小于14的个数的最大值记为n，则mn等于
A.8 B.7 C.6 D.5
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是
符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.如图，5个数据(,)xy，去掉点(3,10)D后，下列说法正确的是
A.相关系数r变大
B.残差平方和变大
C.变量x与变量y呈正相关
D.变量x与变量y的相关性变强
10.平行四边形ABCD中，ABAD，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形'ABD，则下列直线中有可
能与直线'AB垂直的是
A.直线BC B.直线CD C.直线BD D.直线'AC
11.数列{}na的前n项和为nS，已知2421nnnSaa，下列说法中正确的是
A.{}na为等差数列 B.{}na可能为等比数列
C.{}na为等差数列或等比数列 D.{}na可能既不是等差数列也不是等比数列
12.如下图所示，B是AC的中点，2BEOB，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且
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(,)OPxOAyOBxyR
，以下结论中正确的是
A.当P是线段CE的中点时，12x，94y
B.当12x时，3[,4]2y
C.若xy为定值2时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D.xy的最大值为1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设复数z满足(1+i)z=2i (其中i是虚数单位)，则|z|= .
14.811除以9的余数是 .
15.已知函数f(x)=2sin(2x+6)－m，x[0，67]有三个不同的零点x1，x2，x3，且巧x1
16.若指数函数y=ax(a>0且a≠1)与三次函数y=x3的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范
围是 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17(10分).如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=26，CD=6，cos A=36，cosADB =31.
(1)求cosBDC；
(2)求BC的长.
18(12分)已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4－a3=2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7设cn=5an－bn，数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn的最大值.
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19(12分).如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为
4的正方形，AB=3.再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决
下面问题的条件作为已知，并作答.
(1)求证：AB平面AA1C1C；
(2)求直线BC与平面A1BC1所成角的正弦值.
条件①：BC=5；条件②：ABAA1；条件③：平面ABC平面AA1C1C.
20(12分).已知椭圆C：byax2222=1(a>b>0)过点(0，1)，离心率为22.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线y=k(x+1)(k≠0)与椭圆交于A、B两点，过A、B作直线l：x =－2的垂线，垂足分别为M、N，
点G为线段MN的中点，F为椭圆C的左焦点.求证：四边形AGNF为梯形.
21.(12分)某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析.经统计，某班有50名同
学，总分都在区间[600，700]内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的
“频率分布”折线图.
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(1)请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级的平均分；
(2)经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校T的“强基计划”入围资
格.高校T的“强基计划”校考分为两轮.第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和
物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A+，A，B，C四个等级，两科中至少有一科得到A+，且两科
均不低于B，才能进入第二轮，第二轮得到“通过”的同学将被高校T提前录取.
己知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得A+，A，B，C的概率
分别为32，61，121，121；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得A+，A，B，C的概率分别为
31，41，61，4
1
；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为A+，则免面试，并被高校T提前录取；
若两科笔试成绩只有一个A+，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为32，总
分不超过690分的同学面试“通过”的概率为52，面试“通过”的同学也将被高校T提前录取.
若该班级考分前10名都已经报考了高校T的“强基计划”，且恰有2人成绩高于690分.求
①总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率P1；
②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率P2.
22.(12分)对于正实数a，b(a>b)有基本不等式：G(a，b)
算术平均数，G(a，b)=ab，为a，b的几何平均数.现定义a，b的对数平均数：L(a，b)=bab-alnln.
(1)设x>1，求证：lnx<21(x－x1)；
(2)①证明不等式：G(a，b)