2020新高一暑期数学衔接教材《二次函数》教案+作业设计

第四讲 二次函数
二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础.在初中，大家已经知道二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况.
本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题.
一、二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图像和性质
（1）当0a >时，函数2
y ax bx c =++图象开口向上，顶点坐标为2
4(,)24b ac b a a
--，对称轴为直线2b
x a
=-.在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当
2b
x a
=-时，函数取最小值244ac b y a -=
． （2）当0a <时，函数2
y ax bx c =++图象开口向下，顶点坐标为2
4(,)24b ac b a a
--，对称轴为直线2b
x a
=-.在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小；当
2b
x a
=-时，函数取最大值y ＝
244ac b a -． 今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图像，利用数形结合的思想方法解决问题．
【例1】 请您求出二次函数2
361y x x =--+的图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小），并画出该函数的图象．
解：∵2
23613(1)4y x x x =--+=-++. ∴函数图象的开口向下，
对称轴方程x ＝－1，顶点坐标为(－1，4)， 当1x =-时，max 4y =.
在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小 (如图) .
x y
O x ＝－
2b
a
A 2
4(,)24b ac b a a
-- x
y O
x ＝－
2b
a
A 2
4(,)24b ac b a a
--
x ＝－1
二、二次函数的三种表示方式 1．一般式：2
(0)y ax bx c a =++≠.
2．顶点式：)0()(2
≠+-=a k h x a y ，顶点坐标是),(k h ．
3．交点式：12()() (0)y a x x x x a =--≠，其中1x ，2x 是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．
【例2】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为2
(0)y ax bx c a =++≠．
由条件得222
8124288
a b c a c b a b c c -+=-=-⎧⎧⎪⎪=-⇒=⎨⎨++==-⎪⎪⎩⎩ .
所求的二次函数为2
2128y x x =-+-．
【例3】 已知二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线1y x =+上，并且图象经过点（3，－1），求此二次函数的解析式．
解：由条件易知顶点坐标是（1，2），
设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<， ∵图像经过点（3，－1），
∴ 21(32)12a a -=-+⇒=-．
∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即2287y x x =-+-．
【例4】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
解：法一 ∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为(3)(1) (0)y a x x a =+-≠，即2
23y ax ax a =+-.
顶点的纵坐标为
22
12444a a a a
--=-， ∵二次函数图象的顶点到x 轴的距离为2，∴1|4|22
a a -=⇒=±． ∴二次函数的表达式为21322y x x =
+-或21322
y x x =-+． 解：法二 ∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴对称轴为直线1x =-．
又顶点到x 轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2或－2．
∴可设二次函数为2
(1)2y a x =++或2
(1)2y a x =+-.
∵函数图象过点(1，0)， ∴12
a =±
． ∴二次函数的表达式为21322y x x =+-或213
22
y x x =-+．
说明：在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．
通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？
三、二次函数的最值问题
【例5】当22x -≤≤时，求函数2
23y x x =--的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．
【例6】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，max 1y =-，当2x =时，min 5y =-．
由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：
A 组
1．选择题：
（1）函数2
2(1)2y x =-+是将函数2
2y x =（ ）
（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （2）函数2
1y x x =-+-图象与x 轴的交点个数是（ ）
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定 （3）函数21
(1)22
y x =-
++的顶点坐标是（ ） （A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2)
2．抛物线2
(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．
3．求二次函数2
235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值、最小值，并求对应的x 的值．
4．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．
B 组
1．已知关于x 的函数2
22y x ax =++在55x -≤≤上． (1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值．
2．已知函数2
21y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．
第五讲 二次函数的最值问题答案
A 组
1．（1）D （2）A （3）C 2. 4 14或2，32
3．当34x =
时，min 318
y =；当2x =-时，max 19y =． 4．5y ≥-
B 组
1．(1) 当1x =时，min 1y =；当5x =-时，max 37y =．
(2) 当0a ≥时，max 2710y a =+；当0a <时，max 2710y a =-． 2．1
4
a =-或1a =-．。