圆锥曲线韦达定理应用之向量数量积-2022届高三数学二轮复习备考

韦达定理
1． 向量数量积
【总结】若圆锥曲线中出现了向量数量积PA PB ⋅，其中,A B 为曲线上的两点，P 为平面上任意一点。

此时将向量数量积转化为坐标运算，会出现两根之和与两根之积的形式。

例题1、已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，是否存在正数m ，对于过点(,0)M m 且与抛物线有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

例题2、设,A B 分别为椭圆22
132
x y +=的左右顶点，过左焦点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于,C D 两点。

若8AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值。

例题3、已知椭圆22
142
x y +=，O 为坐标原点，过点(0,1)P 的动直线与椭圆交于,A B 两点。

是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。

变式3.1 双曲线2
2
13y x -=的左右焦点分别为12,F F ，直线l 过2F 且与双曲线交于,A B 两点，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率。

变式3.2 已知椭圆2
212
x y +=，若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与椭圆交于不同的两点,F H ，且
3445
OF OH ≤⋅≤时，求k 的取值范围。

2． 斜率之和与斜率之积
【总结】若圆锥曲线中出现了斜率之和PA PB k k +与斜率之积PA PB k k ，其中,A B 为曲线上的两点，P 为平面上任意一点。

此时将斜率之和与斜率之积坐标化，会出现两根之和与两根之积的形式。

例题4、已知椭圆2
214
x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 且与椭圆相交于,A B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率之和为-1，证明：直线l 过定点。

例题5、已知椭圆2
214
x y +=，若直线l 与椭圆相交于,A B 两点（,A B 两点都在第一象限），且直线,,OA l OB 的斜率构成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值。

例题6、已知椭圆22
143x y +=上一点3(1,)2
P ，AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），直线l 的方程为4x =，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。

变式6.1 已知椭圆2
212
x y +=的左右焦点分别为12,F F ，不经过点1F 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，如果直线11,,AF l BF 的斜率构成等差数列，求2F 到直线l 的距离的取值范围。

变式6.2 已知椭圆22
132
x y +=，直线:l y kx m =+，直线l 与椭圆交于,A B 两点，如果直线,,OA AB OB 的斜率构成等比数列，求m 的取值范围。