倒立摆模型

直线一级倒立摆控制方法 按照工作原理可将直线一级倒立摆实验装置抽象成小车和摆杆组成的系统，其中小车可沿固定导轨左右移动，摆杆可绕小车与摆杆之间的铰接点自由转动，

如图1所示。

图1. 直线一级倒立摆原理

控制系统依据读取到的小车位置以及摆杆角度信号，通过控制作用在小车上的水平力，使其沿固定导轨左右移动，可以使得摆杆始终处于垂直向上这样一个临界稳定位置，实验装置具体参数如表2所示。

小车质量

1.096M kg = 摆杆质量

0.109m kg = 小车与导轨间的阻力系数

0.1/(/)b N m s = 摆杆/小车铰接点与摆杆质心的距离

0.25l m = 摆杆绕其质心的转动惯量 20.0034I kg m =?

备注：可忽略了空气阻力以及小车与摆杆之间铰接点上的摩擦力矩。

表1. 实验装置参数

现基于现代控制理论，按照如下步骤实现对研究直线一级倒立摆的控制方法：

1）建立直线一级倒立摆的运动方程；2）推导状态空间方程；3）分析能控及能观性；4）计算状态反馈矩阵及状态观测矩阵；5）通过离线仿真分析验证上述控制算法的有效性；6）通过上机实验观察其实际控制效果。

φ

1.建立直线一级倒立摆的运动方程

对小车和摆杆进行受力分析如图2，其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直两个方向的分量。

图2. 小车与摆杆的受力分析

小车在水平方向运动，则通过对小车的水平受力分析，可以得到以下方程：

Mx?=F?bx??N(1)

摆杆作平面运动，可以分解为质心的平动和绕质心转动，由水平方向的受力分析，可以得到下式：

N=m d2

2

(x+lsinθ)

即， N=mx?+mlθcosθ?mlθ2sinθ(2) 带入方程（1）得：

(M+m)x?+bx?+mlθcosθ?mlθ2sinθ=F(3) 再由摆杆的垂直方向的受力分析，得到下式：

P?mg=m d2

2

(lcosθ)

即，P?mg=?mlθsinθ?mlθ2cosθ (4)

又由摆杆对质心的力矩平衡方程有：

?Plsinθ?Nlcosθ=Iθ(5)

由于θ=π+φ，所以等式左边有负号。最后，整理方程(4)，(5)，可得：

(I+ml2)θ+mglsinθ=?mlx?cosθ(6)

由于φ?1，则有cosθ=?1,sinθ=?φ,(dθ

dt )

2

=0. 用u代表输入，也就是作用

在小车上的作用力，整理方程(3)，(6)可以得到一级倒立摆的运动方程

{(I+ml2)φ?mglφ=?mlx?

(M+m)x?+bx??mlφ=u (7)

2. 系统的状态空间方程

为求系统的状态空间方程，对方程（7）进行拉氏变换，得到：

{(I +ml 2)φ(s)s 2?mglφ(s)=mlX(s)s 2 (M +m )X(s)s 2+bX(s)s ?mlφ(s)s 2=U(s)

则摆杆角度和小车位移的传递函数为:

φ(s)=mls 2

(2)2 将表1中参数带入上式，则得到摆杆角度和小车位移的传递函数为：

φ(s)X(s)=0.02725s 2

0.0102125s 2?0.26705

摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：

φ(s)=ml (2)2 将表1中参数带入上式，则得：

φ(s)A(s)=0.027250.0102125s 2?0.26705

摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：

φ(s)F(s)=ml q s 2s 4+b(I +ml 2)q s 3?(M +m)mgl q

s 2?bmgl q s q =[(M +m )(I +ml 2)?m 2l 2]

将表1中参数带入上式，则得：

φ(s)F(s)= 2.35655s s 3+0.0883167s 2?27.9169s ?2.30942

以外界作用力作为输入的系统的状态空间表达式为：

[x?x?φφ]=[ 01000?(I +ml 2)b ()2?m 2gl 2()2000010?mlb I (M +m )+Mml 2mgl(M +m)I (M +m )+Mml 20]

[x x?φφ]+[ 0I +ml 2()20ml I (M +m )+Mml 2] u y =[x φ]=[10000010][x x?φφ

]+[00]u 将表1中参数带入上式，则得以外界作用力作为输入的系统的状态空间表达式：

[x?x?φφ]=[01000?0.08831670.629317000010?0.23565527.8285

0][x x?φφ]+[00.88316702.35655]u y =[x φ]=[10000010][x x?φφ

]+[00]u 以小车加速度作为输入的系统的状态空间表达式为：

[x?x?φφ]=[ 010000000001003g 4l

0] [x x?φφ]+[ 01034l ]

u

y =[x φ]=[10000010][x

x?φφ

]+[00]u 将表1中参数带入上式，则得以小车加速度作为输入的系统的状态空间表达式：

[x?x?φφ]=[0100000000010029.40][x x?φφ]+[0103

]u y =[x φ]=[10000010][x

x?φφ]+[00]u 3. 系统的能控和能观性分析

对输入为加速度输出为摆杆与竖直方向的角度的夹角时的系统进行 分析，则：

A =[010000000

0010029.40]，B =[0103]，C =[10000010]，D =[00

] AB =[1030]，A 2B =[00088.2]，A 3B =[088.20

] CA =[01000001]，CA 2=[00000029.40]，CA 3=[000000029.4]

Rank [B AB A 2B A 3B ]= [010010088.20300

3088.20

]=4 Rank [C CA CA 2CA 3]=[ 100000100100000100000024.90000000029.4]

=4 因此，系统是可控的，同时是可观测的。

4. 状态反馈矩阵及状态观测矩阵

(1) 若使超调量不超过17%，则根据公式：

M p =exp ξ

2)≤17%

算得ξ=0.5，设调整时间t s =2s ，则振幅进入±2%的误差范围是，根据公式

t s =4n

计算的w n =4。则由ξ，w n 可得反馈系统特征方程为：

s 2+2ξw n s +w n 2=0

即， s 2+4s +16=0

计算可得系统主导极点:λ1=?2+j2√3，λ2=?2?j2√3，则取两个期望的闭环非主导极点离虚轴为主导极点的5倍以上，则取λ3=?10，λ4=?10。 则可得期望的闭环特征多项式为：

f ?(λ)=(λ+10)2(λ+2+j2√3)(λ+2?j2√3)

=λ4+24λ3+196λ2+720λ+1600

设状态反馈矩阵为K =[k 1,k 2,k 3,k 4],则对应的闭环特征方程为：

f (λ)=det [λI ?(A ?BK )]

=λ4+(k 2+3k 4)λ3+(?29.4+k 1+3k 3)λ2?29.4k 2s ?29.4k 1

比较f ?(λ)和f (λ)，可得{ k 2+3k 4=24

?29.4+k 1+3k 3=196 ?29.4k 2=720

?29.4k 1=1600

解方程组得系统状态反馈矩阵：

K =[k 1,k 2,k 3,k 4]=[?54.4218,?24.4898,93.2739,16.1633]

(2) 将以小车加速度作为输入的系统：

[x?x?φφ]=[0100000000010029.4

0][x x?φφ]+[0103

]u y =[x φ]=[10000010][x

x?φφ]+[00]u 分为两个子系统来分析，即

子系统一： {[x?x?]=[0100][x x?]+[01]u y =[1 0][x x?

] 子系统二： {[φφ]=[0129.40][x x?]+[03]u y =[1 0][φφ

] 通过能观判别矩阵可以求得两个子系统都是可观的，由于闭环系统主导极点为:λ1=?2+j2√3，λ2=?2?j2√3，而通常选择观测器的相应速度比所考虑的状态反馈闭环系统快2~5倍，则可取:λ1=λ2=?2?3=?6。

则可得到闭环状态观测器系统矩阵的期望特征多项式：

f ?(λ)=(λ+6)2=λ2+12λ+36

设子系统一观测器反馈矩阵G 1=[g 1,g 2]T ，则：

f 1(λ)=det [λI ?A +G 1C ]=λ2+

g 1s +g 2

比较f ?(λ)和f 1(λ)，可得

G 1=[12,36]T

设子系统二观测器反馈矩阵G 2=[g 3,g 4]T ，则：

f 2(λ)=det [λI ?A +G 2C ]=λ2+

g 3s +g 4?29.4

比较f ?(λ)和f 2(λ)，可得

G 2=[12,65.4]T

综上的系统观测器反馈矩阵

G =[g 1,g 2,g 3,g 4]T =[12,36,12,65.4]T