角的计算专题
初一上角度计算专题(含答案)
角度计算能力专项练习1．已知：如图示，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（1）求∠MON的大小；（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？2．如图示，已知∠AOB是直角，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）求∠EOF的度数；（2）若将条件“∠AOB是直角，∠BOC=60°”改为：∠AOB=x°，∠EOF=y°，其它条件不变．①则请用x的代数式来表示y；②如果∠AOB+∠EOF=156°．则∠EOF是多少度？3．如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）求∠MON的度数；（2）如果（1）中，∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数；（3）如果（1）中，∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？4．（1）如图所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；（2）如（1）中的∠AOB=α，∠BOC=β，其它条件不变，请用求α或β来表示∠MON的度数．5．如图所示，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）求∠BOD的度数；（2）试判断∠BOE和∠COE有怎样的数量关系，说说你的理由．6．如图所示，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=120°，则∠DOE=；若∠AOC=140°，则∠DOE=；（2）若∠AOC=α，则∠DOE=（用含α的式子表示），请说明理由；（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE+∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由．7．如图所示，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB=90°，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？为什么？（2）如图2，当∠AOB=70°，∠BOC=60°时，∠MON=（直接写出结果）．（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON=（直接写出结果）．8．已知∠AOB内部有三条射线，其中，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如图1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求∠EOF的度数；（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB=∠COB，∠COF=∠COA”，且∠AOB=α，用含α的式子表示∠EOF的度数为．9．在学习了角的相关知识后，老师给张萌留了道作业题，请你帮助张萌做完这道题．作业题已知∠MON=100°，在∠MON的外部画∠AON，OB，BO分别是∠MOA和∠BON的平分线．（题中所有的角都是小于平角的角）（1）如图1，若∠AON=40°，求∠COA的度数；（2）如图2，若∠AON=120°，求∠COA的度数．10．已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如图1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求EOF的度数；（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；（3）若将题中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”的条件改为“∠EOB=∠BOC，∠COF=∠AOC”，且∠AOB=α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）11．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．12．已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF=14°，则∠BOE=；若∠COF=n°，则∠BOE=，∠BOE与∠COF的数量关系为；（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF=3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由．13．问题引入：（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=（用α表示）；如图②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，则∠BOC=（用α表示）拓展研究：（2）如图③，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC=（用α表示），并说明理由．类比研究：（3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC=．14．如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB=；若∠ACB=130°，则∠DCE=；（2）猜想∠ACB与∠DCE大大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，则∠AOD 与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．15．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC=∠AOM，求∠NOB的度数．北师版初一上角度提升参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．解：（1）∠MON=∠MOC﹣∠NOC=65°﹣20°=45°，（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变．∵=，又∠AOB是直角，∴．2．解：（1）∵∠AOB是直角，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．∴∠EOF=∠EOC﹣∠FOC=∠AOC﹣∠BOC=（∠AOB+∠BOC）﹣∠BOC=∠AOB=45°；（2）①∵∠AOB=x°，∠EOF=y°．y=x．②∵∠AOB+∠EOF=156°．则x+y=156°，y=52°．3．解：（1）∠MON=60°﹣15°=45°；（2）∠AOB=α，∠BOC=30°，∠MON=α+15°﹣15°=α．（3）∠AOB=90°，∠BOC=β，∴∠AOC=β+90°．∠MON=β+45°﹣β=45°．（4）根据（1）、（2）、（3）可知∠MON=∠BOC，与∠BOC的大小无关．4．解：（1）∠MON=∠MOC﹣∠NOC=60°﹣15°=45°，（2）∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+β）﹣β=α．5．解：（1）∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣25°=155°；（2）∠BOE=∠COE，理由如下：∠BOE=∠BOD﹣∠DOE=155°﹣90°=65°，∠COE=∠DOE﹣∠COD=90°﹣25°=65°．6．解：（1）60°；70°；（2）。
七年级数学角度的计算(专题)(含答案)
角度的计算（专题）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，∠AOC=∠BOD=90°，若∠AOB=150°，则∠DOC的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案：A解题思路：∵∠AOB=150°，∠AOC=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC＝150°-90°=60°．∵∠BOD=90°，∴∠DOC=∠BOD-∠BOC=90°-60°=30°．故选A．试题难度：三颗星知识点：余角2.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC=110°，则∠AOC的度数为( )A.25°B.35°C.45°D.55°答案：D解题思路：．故选D．试题难度：三颗星知识点：角平分线3.如图，已知∠COD为平角，OA⊥OE，且，则∠DOE的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：A解题思路：∵∠COD为平角∴∠COD=180°，即∠AOC+∠AOE+∠DOE=180°．∵OA⊥OE∴∠AOE=90°．∴∠AOC+∠DOE=180°-∠AOE=180°-90°=90°．∴∠AOC=2∠DOE，∴2∠DOE+∠DOE=3∠DOE=90°，∴∠DOE=30°．故选A．试题难度：三颗星知识点：平角的定义4.如图，直线AB与EO相交于点O，∠EOB=90°，∠FOD=90°，如果∠AOD=140°，那么∠EOF 的度数为( )A.60°B.50°C.40°D.30°答案：C解题思路：∵∠AOD=140°∴∠BOD=40°∵∠EOB=90°∴∠EOD+∠BOD=90°∵∠FOD=90°∴∠FOE+∠EOD=90°∴∠FOE=∠BOD=40°故选C．试题难度：三颗星知识点：平角5.已知∠AOB=70°，以O端点作射线OC，使∠AOC=28°，则∠BOC的度数为( )A.42°B.98°C.42或98°D.82°答案：C解题思路：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-28°=42°当点C与点C2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+28°=98°故选C．试题难度：三颗星知识点：角度的计算6.已知从点O出发的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB=50°，∠AOC=30°，则∠BOC的度数为( )A.80°或20°B.40°或10°C.40°或20°D.80°或10°答案：A解题思路：分析：根据题意，先作∠AOB，因为射线OC的位置不确定，且∠AOC∠AOB，故需分以下两种情况：①射线OC在射线OA的右边，如图1，求∠BOC，设计方案：∠BOC=∠AOB+∠AOC=50°+30°=80°②射线OC在射线OA的左边，如图2，求∠BOC的度数，设计方案：∠BOC=∠AOB-∠AOC=50°-30°=20°综上，∠BOC的度数为80°或20°．故选A．试题难度：三颗星知识点：角度的计算7.已知∠AOB为直角，∠AOC=40°，若OM平分∠AOB，则∠MOC的度数为( )A.65°或25°B.65°或85°C.5°或65°D.5°或85°答案：D解题思路：分析：根据题意，先作∠AOB，因为射线OC的位置不确定，且∠AOB∠AOC，故需分以下两种情况：①射线OC在射线OA的左边，如图1，求∠MOC的度数，设计方案：②射线OC在射线OA的右边，如图2，求∠MOC的度数，设计方案：综上，∠MOC的度数为5°或85°．故选D．试题难度：三颗星知识点：角平分线8.已知∠AOB=60°，∠AOC=4∠BOC，则∠AOC的度数为( )A.12°或20°B.12°或48°C.48°或80°D.20°或80°答案：C解题思路：由题意，射线OC的位置不确定，需要分类讨论．因为∠AOC=4∠BOC，所以∠AOC∠BOC，则射线OC只能在射线OA的右边，分以下两种情况．①当射线OC在∠AOB的内部时，如图1所示，求∠AOC的度数，设计方案：设∠BOC=x，则∠AOC=4x，依题意得x+4x=60°，解得x=12°，所以∠AOC=4×12°=48°．①当射线OC在∠AOB的外部时，如图2所示，求∠AOC的度数，设计方案：设∠BOC=x，则∠AOC=4x，依题意得4x-x=60°，解得x=20°，所以∠AOC=4×20°=80°．综上所述，∠AOC的度数为48°或80°．故选C．试题难度：三颗星知识点：角度的计算9.已知∠AOB=54°，∠AOC=2∠BOC，OM平分∠AOB，则∠MOC的度数为( )A.9°或81°B.72°或54°C.9°或18°D.81°或18°答案：A解题思路：由题意，射线OC的位置不确定，因此需要分类讨论．①当射线OC在∠AOB的内部时，如图1所示，由∠AOB=54°，∠AOC=2∠BOC，得∠BOC=18°，所以．②当射线OC在∠AOB的外部时，如图2所示，求∠MOC的度数，设计方案：由∠AOB=54°，∠AOC=2∠BOC，得∠BOC=54°，所以．综上所述，∠MOC的度数为9°或81°．故选A．试题难度：三颗星知识点：角度的计算10.已知∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，且∠BOC∠AOC，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数为( )A.30°或50°B.20°或60°C.30°D.50°答案：C解题思路：分析知射线OC的位置不确定，需要分类讨论，又因为∠BOC∠AOC，所以符合题意的只有一种情况．如下图所示，由∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，得∠AOC=80°，所以．综上所述，∠MOD的度数为30°．故选C．试题难度：三颗星知识点：角度的计算。
角度的计算专题训练
即 曰ＤＤ ＝９ 。 ０．
２ ． ＡＢ＝ ２ Ｂ ＝３ ＣＤ ＝乱 ， ２设 ｘ， Ｃ ｘ．
‘ ．
／ ＿ＢＯＣ ＝ ＿ ＾ １
一
／ ＿ＢＯＤ ＝４ ， ５。
Ｃ ＝ ８ ．４ Ｄ ，’ ｘ＝８． 。 ＝２ ． ． ． ． ＡＤ ＝９ ｘ＝９ Ｘ ２＝ ｌ ． ８ 叉 。 ．
所以这个角 为 ４。 ０． １ ． 第 一 个 角 为 。 则第 二 个 角 为 ９ 。 一ｏ 根 据 ６设 ， ０ 一２
，
２． Ｏ 在线段
上 找点 ．点 肘 到 Ｐ， Ｑ两点间的距离
和 不 可 能 小 于 ９， 为两 点 之 问 线段 最 短 ． 因
２ ． 为两点之间线段最短． 图即是找到的点． １因 如
题 意 ， ｊ一 得 ５ ＋９ ２ ＝１０ 解 得 ：９ ， ０一ｉ一 ８ Ｏ
，
所 以这 两 个 角 分 别 为 ９ 。 ３ 。 ０ ，Ｏ ．
１ ．． ７ ‘ ’ Ｏ ＋ ＡＤＣ＝９ 。 Ｂ ０ ． ４ ＯＣ ： ｌ ０ ． ８ 。
ＡＤ ＋ Ｄ
． ．
Ａ ＯＤ 一 ＡＯＢ ＝ ９ ０。．
— —
。
。
．
１ ． ８： ０时 ， 钟 上 的 分 针 与 时 针 ０在 ３ 时
是
。
．
— —
１ ５ ４５ ２。 ＋３ ４６ １． ２。 ＝ １ ３ ８－ 。一 １ 。 ５ １１ ＝
一 — —
：
．
１． ２ 若 １ ５ １ ２＝２ ．２ ， ３： ＝２ 。 ２ ， ５１ 。 其 中相 等 的角 是
＝１ ， 以这 两 个 角 的度 数 分 别 是 ３ 。５ 。 ８所 ６ ，４ ． １ ． 这 个 角为 ， １０一 ＋１ ５设 则 ８ Ｏ＝３ ９ ） （０一 ，
菱形及五边形中的角度计算 专题训练
菱形及五边形中的角度计算专题训练
菱形和五边形是几何学中常见的多边形形状。
本文将介绍如何计算菱形和五边形中的角度。
菱形的角度计算
菱形是一个有四个边相等且相互垂直的四边形。
为了计算菱形的角度，我们可以利用以下公式：
1. 第一个角度（顶角）可以通过将360度除以2得到，因为菱形的对角线相交于顶角处，将整个圆周分成两个对称的部分。
2. 其余三个角度（底角）与顶角相等，因为对角线相交于顶角时，会将菱形划分为两个等边三角形。
因此，菱形的角度计算如下：
- 顶角 = 360度 / 2 = 180度
- 底角 = 180度 / 3 = 60度
五边形的角度计算
五边形是一个有五个边的多边形。
为了计算五边形的角度，我们可以利用以下公式：
1. 五边形的内角和可以通过公式 (n - 2) × 180度来计算，其中n 为边的数量。
因此，五边形的内角和为 (5 - 2) × 180度 = 540度。
2. 五边形的平均内角可以通过将内角和除以边的数量来计算。
因此，五边形的平均内角为 540度 / 5 = 108度。
因此，五边形的角度计算如下：
- 五边形的每个内角大小为 108度。
希望这篇文档对你在菱形和五边形中的角度计算有所帮助。
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北师大数学七上课件专题角的计算——方程的思想
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(84°－x)＋x＝
68°，解得：x＝52°，即∠BOC的度∠COE＝90°，OF平分 ∠AOE.写出∠BOE与∠COF之间的数量关系，并说明理由．
8.∠BOE＝2∠COF；∵∠COE＝90°，∴∠COF＋∠EOF＝ 90°，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF，即∠COF＋ ∠AOF＝90°，∵∠AOF＝∠AOC＋∠COF，又∵∠AOC＝ 180°－∠COE－∠BOE＝90°－∠BOE，∴90°－∠BOE＋ ∠COF＋∠COF＝90°，即2∠COF＝∠BOE
4．如图，点O为直线AD上一点，∠AOB，∠BOC，∠COD依次 相差27°，求这三个角的度数．
4.设∠AOB的度数是x，则∠BOC＝x＋27°，∠COD＝x＋54°， 列方程为：x＋x＋27°＋x＋54°＝180°，解得：x＝33°，即： ∠AOB＝33°，∠BOC＝60°，∠COD＝87°
5．如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC＝2∠COD，OE 平分∠BOD，∠COE＝77°，求∠COD的度数．
9．如图，∠AOB＝80°，∠COD＝40°，OM平分∠BOD，ON 平分∠AOC.求∠MON的度数．
9.设∠BOC＝x，则∠MON＝∠BOM＋∠BON，∵∠BOM＝
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∠BOD
＝12(∠COD＋∠BOC)＝20°＋12x，
∴∠BON＝12∠AOC－∠BOC＝－12x＋40°，即∠MON＝60°
初中数学课件
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专题 角的计算——方程的思想
1．如图所示，BD平分∠ABC，BE将∠ABC分为2∶5两部分， ∠DBE＝21°，求∠ABC的度数．
1．设∠ABC为x度，由BD平分∠ABC得∠ABD＝12x， 由BE将∠ABC分为2∶5得∠ABE＝27x，由∠DBE＝21° 得：12x－27x＝21°，解得：x＝98°，即∠ABC＝98°
三角形中角度的计算专题
三角形中角度的计算
MING XIAO KE TANG
类型 1 直接计算角度 1.如图，在△ABC 中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD＝(B ) A.145° B.150° C.155° D.160°
MING XIAO KE TANG
2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交边 BC 于点 D，DE∥AB 交边 AC 于点 E.若∠B＝46°，∠C＝54°，则∠ADE 的大小为(A ) A.40° B.45° C.50° D.54°
MING XIAO KE TANG
解：因为△A′DE 是△ABC 沿 DE 翻折变换而成， 所以∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°. 所以∠AED＋∠ADE＝∠A′ED＋∠A′DE＝180°－75°＝105°. 所以∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°.
MING XIAO KE TANG
MING XIAO KE TANG
类型 3 学具问题中求角度 7.如图，将一块含有 30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的 一组对边上，如果∠1＝30°，那么∠2 的度数为(D ) A.30° B.40° C.50° D.60°
MING XIAO CDE 按如图方式放置，其中直角顶点 C 重合，∠D＝45°，∠A＝30°.若 DE∥BC，则∠1 的度数为105°.
MING XIAO KE TANG
类型 4 折叠问题中求角度 9.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 在 AB 边上，将△CBD 沿 CD 折叠，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处.若∠A＝25°，则∠CDE 的度数是(C ) A.45° B.65° C.70° D.80°
三角形角的计算专题
八年级（上）数学周末同步课2三角形角的计算专题知识点一：三角形的内角和（共10小题）1．若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2．具备下列条件的三角形ABC中，不为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C C．∠A＝90°﹣∠B D．∠A﹣∠B＝90°3．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD平分∠BAC，点E在AD延长线上，且EC⊥AC．若∠E＝50°，则∠ADC的度数是．4．如图所示，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，已知∠A＝50°，∠P＝．5．已知非Rt△ABC中，∠A＝38°，高BD、CE所在的直线交于点H，∠BHC的度数．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A ＝20°，则∠ADE的度数是．7．如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠A＝．8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，（1）写出图中一对全等的三角形．（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．9．已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）如图①所示，当点P运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝；（2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．10．如图，在△ABC中，AE是角平分线，D是AB上的点，AE，CD相交于点F．（1）若∠ACB＝∠CDB＝90°，求证：∠CFE＝∠CEF．（2）若∠ACB＝∠CDB＝m°（0°＜m＜180°），是否存在m，使得∠CEF小于∠CFE，若存在，请求出m的范围，若不存在，请说明理由．知识点二：三角形的外角特别训练（共13小题）11．如图，∠1、∠2、∠3中是△ABC外角的是（）A．∠1、∠2B．∠2、∠3C．∠1、∠3D．∠1、∠2、∠312．如图，在△ABC中，∠A＝60度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为多少度（）A．140B．190C．320D．24013．如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（）A．∠1﹣∠A＝2∠2B．∠2+∠1＝2∠A C．∠1﹣∠2＝2∠A D．2∠2+2∠A＝∠114．如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC＝α，∠APC＝β，则∠ADC的度数为（）A．180°﹣α﹣βB．α+βC．α+2βD．2α+β第11题图第12题图第13题图第14题图15．如图，平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上的动点，点B为y轴正半轴上的动点，△AOB中∠BAO 的平分线与∠OBA的外角平分线所在直线交于点C，则下列语句中正确的是（）A．点B不动，在点A向右运动的过程中，∠BCA逐新减小B．点A不动，在点B向上运动的过程中，∠BCA逐渐减小C．在点A向左运动，点B向下运动的过程中，∠BCA逐渐增大D．在点A，B运动的过程中，∠BCA的大小不变16．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的不同的三个外角，则∠1+∠2+∠3＝度．17．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为．18．如图所示，∠A＝70°，∠B＝25°，∠C＝35°，求∠BOC的度数．（至少用两种方法）．19．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，证明：∠BAC＝∠B+2∠E．20．如图，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD相交于点D．（1）求证：∠A＝2∠D；（2）若CD∥AB，判断∠ABC与∠A的关系，并说明理由．21．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．（1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数；（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．22．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝度，∠P＝度．（2）∠A与∠P的数量关系为，并说明理由．【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为．23．在△ABC中：（1）如图①，∠A＝60°，∠B、∠C的外角的平分线交于点P，求∠BPC的度数．（2）如图②，∠A＝60°，∠B、∠C的外角的三等分线交于点P，（∠1＝∠CBD，∠2＝∠BCE），求∠BPC的度数．（3）如图③，∠A＝x°，∠B、∠C的外角的n等分线交于点P，（∠1＝∠CBD，∠2＝∠BCE），求∠BPC的度数．（用n和x的代数式表示）知识点三：多边形的角特别训练（共16小题）24．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3的度数等于．25．如图，六边形ABCDEF内部有一点G，连结BG、DG．若∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，则∠BGD的大小为（）A．60°B．70°C．80°D．90°26．如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则∠ABC的度数是（）A．120°B．142°C．144°D．150°第24题图第25题图第26题图27．如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是（）A．6B．9C．14D．2028．不能作为正多边形的内角的度数的是（）A．120°B．（128）°C．144°D．145°29．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（）A．20°B．160°C．200°D．140°30．正十边形的每一个内角的度数等于，每一个外角的度数等于．31．如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪．（1）图1中草坪的面积为．（2）图2中草坪的面积为．（3）图3中草坪的面积为．（4）如果多边形边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为．32．小明在计算一个多边形的内角和时，由于多加了一个外角，得到的答案为1665°，你能找出多边形的这个外角的度数及这个多边形的边数吗？33．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠A＝125°，∠D＝150°，求∠E的度数．34．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，问AB与CD有什么关系？为什么？BC与AD呢？35．如图所示，∠α，∠β分别是四边形ABCD的外角，求证：∠α+∠β＝∠A+∠C．36．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．（1）试探究∠1与∠2有何关系，并说明理由．（2）试探究BE与DF有何位置关系，并说明理由．第33题图第34题图第35题图第36题图37．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）∠ABC+∠ADC＝°．（2）如图，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，判断DE与BF的位置关系，并说明理由．第37题图第38题图38．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，（1）求证：∠B+∠D＝180°；（2）若BM，DN分别平分∠ABC的外角，∠ADC的外角，求证：BM∥DN．39．探究与发现：（1）探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系已知：如图1，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系，并说明理由．（2）探究二：四边形的两个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系已知：如图2，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．（3）探究三：六边形的四个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系已知：如图3，在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系，并加以证明．。
专题9.7 角度计算的综合大题专项训练(30道)(举一反三)(华东师大版)(原卷版)
专题9.7 角度计算的综合大题专项训练（30道）【华东师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了角度计算问题所有类型！一．解答题（共30小题）1．（2022•金水区校级期末）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．请写出∠ECB和∠ACB的数量关系，并说明理由．2．（2022春•渠县期末）∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ °；（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．①若∠BAO＝60°，则∠D＝ °；②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．3．（2022•永春县期末）在直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝∠B＝45°，将三角板的顶点A放置在直线DE上．（1）如图，在AB边上任取一点P（不同于点A，B），过点P作直线l∥DE，当∠1＝8∠2时，求∠2的度数；（2）将三角板绕顶点A转动，并保持点B在直线DE的上方．过点B作FH∥DE（F在H的左侧），求∠DAC与∠FBC之间的数量关系．4．（2022春•亭湖区校级期中）平移是一种常见的图形变换，如图1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，连接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，则称这样的平移为“平分平移”．（1）如图1，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，请问AC和A1C1有怎样的位置关系： ．（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度数．（4）如图4，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC ＝α，则∠BDC1＝ ．（用含α的式子表示）5．（2022春•如皋市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交△ABC的边AC于点D，E为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分线EG交射线BD 于点G．（1）如图1，∠ABC＝40°，点E与点A重合，求∠G的度数；（2）若∠ABC＝α，①如图2，点E在DC的延长线上，求∠G的度数（用含有α的式子表示）；②点E在直线AC上滑动，当存在∠G时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含α的式子表示∠G的度数．6．（2022春•信阳期末）已知：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A＝∠DCB．（1）试说明∠ACB＝90°；（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗？请说明理由．7．（2022春•鼓楼区期末）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝ °；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；【延伸推广】（3）如图④，直线AC、BD交于点O，∠ADB的三分线所在的直线与∠ACB的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，直接写出∠DPC的度数．8．（2022•涡阳县期末）如图（a）所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE＝25°，则∠ACB＝ °；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝ °．（2）如图（b）所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点A叠放在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．（3）如图（c）所示，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，则∠AOD与∠BOC有何数量关系，直接写出结论．9．（2022春•丰泽区期末）已知在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，CD平分∠ACB，在直角三角形DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°．如图1，△DEF的边DF在直线AB上，将△DEF 绕点D逆时针方向旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°），完成下列问题．（1）在△ABC中，∠ACB＝ °，∠BDC＝ °；（2）在旋转过程中，如图2，当α＝ °时，DE∥AC；当α＝ °时，DE⊥AC；（3）如图3，当点C在△DEF内部时，边DE，DF分别交BC，AC的延长线于N，M两点．①此时，α的取值范围是 ；②∠CMD与∠CND之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出该数量关系，并说明理由．10．（2022春•大丰区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝ 度；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为 ．11．（2022春•丰泽区期末）如图，清晨小明沿着一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步．（1）小明每从一条街道转下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出；（2）他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？（3）你是怎么得到的？（4）如果广场是六边形、八边形的形状，那么还有类似的结论吗？12．（2022春•井研县期末）已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝ （用含x、y的代数式表示）；（2）如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由．（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，①当x＜y时，若x+y＝140°，∠DFB＝30°，试求x、y．②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．13．（2022春•长春期末）如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．【片断一】（1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到∠OBC+∠ODC的值．如果你是小孙，得到的正确答案应是：∠OBC+∠ODC＝ °．【片断二】（2）小悟说：连结BD（如图2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．请你说明当BD平分∠OBC时，BD也平分∠ODC的理由．【片断三】（3）小空说：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我发现DE与BF具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断DE与BF有怎样的位置关系并说明理由．14．（2022春•无锡期中）阅读并解决下列问题：（1）如图①，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，则∠BDC＝ ．（2）如图②，五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝72°，求∠EFC的度数．15．（2022春•冠县期末）某同学在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．（1）若∠A＝40°，请直接写出∠BOC＝ ；【变式思考】（2）若∠A＝α，请猜想∠BOC与α的关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）已知：如图2，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O，OD⊥OB，交边BC于点D，点E在CB的延长线上，作∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠F＝β，猜想∠BAC与β的关系，并说明理由．16．（2022春•淅川县期末）[规律探索]探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律：在三角形中，由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律．规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半；规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．[问题呈现]如图①，点P 是△ABC 的内角平分线BP 与CP 的交点，点M 是△ABC 的外角平分线BM 与CM 的交点，则∠P ＝90°+12∠A ，∠M ＝90°−12∠A ．说明∠P ＝90°+12∠A 如下：∵BP 、CP 是△ABC 的角平分线，∴∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ABC ．∴∠A +2（∠1+∠2）＝180°．…………①∴∠1+∠2＝90°−12∠A ．∴∠P ＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+12∠A ．请你仔细阅读理解上面的说理过程，完成下列问题：（1）上述说理过程中步骤①的依据是 ．（2）结合图①，写出说明∠M ＝90°−12∠A 的说理过程．[拓展延伸]如图②，点Q 是△ABC 的内角平分线BQ 与△ABC 的外角（∠ACD ）平分线CQ 的交点．若∠A ＝50°，则∠Q 的大小为 度．17．（2022•驿城区校级期末）在图1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D”，试用x、y表示∠DFE＝ ；（3）在图3中，当点F是AE延长线上一点，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y表示∠P ＝ ．18．（2022春•镇江期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．【理解】（1）若△ABC为开心三角形，∠A＝144°，则这个三角形中最小的内角为 °；（2）若△ABC为开心三角形，∠A＝70°，则这个三角形中最小的内角为 °；（3）已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；【应用】如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE＝∠α，求∠α的度数．19．（2022春•兴化市期中）如图，∠AOB＝n°，C、D两点分别是边OA、OB上的定点，∠ACE=1∠3 ACD，∠FDO=1∠CDO，射线CE的反向延长线与射线DF相交于点F．3（1）若n＝60，∠CDO＝75°，求∠F的度数；（2）若n＝75，则∠F＝ ．（3）随着n的变化，∠AOB与∠F数量关系会发生变化吗？如不变，请求出∠AOB与∠F的数量关系，并说明理由．20．（2022•内江期末）已知，如图1，直线AB∥CD，E、F分别交AB、CD于E、F两点，∠AEF，∠CFE 的平分线相交于点M．（1）求∠M的度数；（2）如图2，∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，请写出∠M1与∠M之间的等量关系，并说明理由；（3）在图2中作∠AEM1，∠CFM1的平分线相交于点M2，作∠AEM2，∠CFM2的平分线交于点M3，作∠AEM2020，∠CFM2020的平分线交于点M2021，请直接写出∠M2021的度数．21．（2022春•青龙县期末）已知：△ABC中，图①中∠B、C的平分线相交于M，图②中∠B、∠C的外角平分线相交于N．（1）若∠A＝80°，∠BMC＝ °，∠BNC＝ °．（2）若∠A＝β，试用β表示∠BMC和∠BNC．22．（2022春•承德县期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当△PMN所放位置如图①所示时，直接写出∠PFD与∠AEM的数量关系；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，猜想∠PFD与∠AEM的数量关系并证明；（3）如图②，在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，直接写出∠N的度数．23．（2022春•农安县期末）探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠B＝30°，则∠ACD的度数是 ．拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在人MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E．若∠CBE＝70°，求∠CAD的度数．应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE．若∠MCN＝∠ADP＝∠BEP＝60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB＝ ．24．（2022春•平潭县期末）已知直线a∥b，直角三角形ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB＝90°．（1）将直角三角形ABC如图1位置摆放，如果∠AOG＝56°，则∠CEF＝ ；（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF＝180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，请用平行的相关知识，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．25．（2022春•盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD．【问题情境】（1）如图1，若∠A＝30°，则∠C的度数为 ．（2）如图2，点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点F，DH平分∠FDC，交FC于点H，若∠A＝50°，∠HDC＝45°，求∠DFC的度数．【操作思考】（3）如图3，若点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点F，分别作∠FDC、∠ABC的角平分线，两条角平分线所在的直线交于点G，直线GB交CD于点M．试猜想∠DFC与∠DGB的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（4）如图4，若点E是AB延长线上的一点，（3）中的其余条件不变，请直接写出∠DFC与∠DGB之间的等量关系式： ．26．（2022春•兴宁区校级期末）小颖在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；【变式思考】在△ABC中，若点D在AB上移动到图2位置，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE 交CD于点F．则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；【探究延伸】如图3，在【变式思考】的条件下，△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．27．（2022春•邗江区校级期中）已知：直线AB∥CD，三角板EFH中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝3∠1，则∠1的度数＝ ；（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF．①探求：∠HFT与∠AFE的数量关系，并说明理由；②求证：PQ∥FH．28．（2022春•阜宁县校级月考）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A +∠B ＝∠C +∠D ；【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD ．∠BCD ，若∠ABC ＝36°，∠ADC ＝16°，求∠P 的度数；解：∵AP 、CP 分别平分∠BAD ．∠BCD∴∠1＝∠2，∠3＝∠4由（1）的结论得：∠P +∠3=∠1+∠B①∠P +∠2=∠4+∠D②①+②，得2∠P +∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B +∠D∴∠P =12（∠B +∠D ）＝26°．【问题探究】如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，若∠ABC ＝36°，∠ADC ＝16°，请猜想∠P 的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图4中，若设∠C ＝α，∠B ＝β，∠CAP =13∠CAB ，∠CDP =13∠CDB ，试问∠P 与∠C 、∠B 之间的数量关系为： （用α、β表示∠P ），并说明理由．29．（2022春•东台市期中）（1）数学课上老师提出如下问题：如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．①填空：∠OBC+∠ODC＝ ；②若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM（如图1），试说明DE⊥BF．请你完成上述问题．（2）课后小佳和小芳对问题进行了进一步研究，若把DE平分∠ODC改为DG分别平分∠ODC的外角，其他条件不变（如图2），小佳和小芳发现BF与DG的位置关系发生了变化，请你判断BF与DG的位置关系，并说明理由．30．（2022春•万州区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝ °；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．。
初二七年级数学上册专题39 角的计算——动态问题ppt课件
因为∠B O D ＝∠A O D －∠B O A ，∠A O D ＝160°，所以∠B O D ＝150°－2t°.
因为射线 O N 平分∠B O D ，所以∠D O N ＝12∠B O D ＝75°－t°.
又因为∠A O M ∶∠D O N ＝2∶3，所以(t＋15)∶(75－t)＝2∶3，解得 t＝21.
(2)因为 O M 平分∠A O C ，O N 平分∠BO D ，所以∠M O C ＝1∠A O C ，∠BO N ＝1∠B O D ，
2
2
即∠M O N ＝∠M O C ＋∠B O N －∠B O C ＝ 1∠A O C ＋ 1∠B O D －∠B O C ＝1(∠A O C ＋
2
2
2
∠B O D )－∠B O C ＝12(∠A O C ＋∠C O D ＋∠B O C )－∠BO C ＝12(∠A O D ＋∠B O C )－∠B O C ＝
因为
O
E
平分∠A
O
C
，O
F
平分∠B O
D ，所以∠A O
E ＝1∠A 2
O
C ＝12(100°＋n°)，∠B O
F＝
12∠B O D ＝12(40°＋n°)，所以∠A O E －∠BO F＝12(100°＋n°)－12(40°＋n°)＝30°.
(3)∠A O D ＝∠A O B ＋∠C O D ＋n°＝100°＋40°＋n°＝140°＋n°，∠EO F＝∠EO C
第四章 几何图形初步
专题39 角的计算——动态问题
武汉专版·七年级上册
1．已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.(本题中的角均为大于0°且小于 等于180°的角) (1)如图，当OB，OC重合时，求∠EOF的度数； (2)当∠COD从如图所示的位置绕点O顺时针旋转n°(0<n<90)时，∠AOE－∠BOF的值是否为定值？若是 定值，求出∠AOE－∠BOF的值；若不是，请说明理由； (3)当∠COD从如图所示的位置绕点O顺时针旋转n°(0<n<180)时，满足∠AOD＋∠EOF＝6∠COD，则n＝ ____.
部编数学七年级上册专题27和三角板有关的角度计算(解析版)含答案
专题27 和三角板有关的角度计算1．如图，直线EF与MN相交于点O，30MOEÐ=°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在NOEÐ内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为()t s．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分NOEÐ？此时OA是否平分MOEÐ？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分AOBÐ？②EF能否平分NOBÐ？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）Q当直角边OB恰好平分NOEÐ时，11(18030)7522NOB NOEÐ=Ð=°-°=°，90375t\°-°=°，解得：5t=．此时135152MOA MOE Ð=°´=°=Ð，\此时OA平分MOEÐ．（2）①OE平分AOBÐ，依题意有3093902t t°+°-°=°¸，解得 2.5t=；OF平分AOBÐ，依题意有3093180902t t°+°-°=°+°¸，解得32.5t=．故当t为2.5s或32.5s时，EF平分AOBÐ②OB在MN上面，依题意有180309(903)2t t°-°-°=°-°¸，解得14t=；OB在MN下面，依题意有9(36030)(390)2t t-°-°=°-°¸，解得38t=．故EF能平分NOBÐ，t的值为14或38s．2．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使65BOCÐ=°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则MOCÐ= 25° ；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是MOBÐ的角平分线，求旋转角BONÐ和CONÐ的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，14NOC AOMÐ=Ð，求NOBÐ的度数．【解答】解：（1）90MONÐ=°Q，65BOCÐ=°，906525 MOC MON BOC\Ð=Ð-Ð=°-°=°．故答案为：25°．（2）65BOCÐ=°Q，OC是MOBÐ的角平分线，2130MOB BOC\Ð=Ð=°．BON MOB MON\Ð=Ð-Ð13090=°-°40=°．CON COB BONÐ=Ð-Ð6540=°-°25=°．即40BONÐ=°，25CONÐ=°；（3）14NOC AOMÐ=ÐQ，4AOM NOC\Ð=Ð．65BOCÐ=°Q，AOC AOB BOC\Ð=Ð-Ð18065=°-115=°．90MON Ð=°Q ，AOM NOC AOC MON\Ð+Ð=Ð-Ð11590=°-°25=°．425NOC NOC \Ð+Ð=°．5NOC \Ð=°．70NOB NOC BOC \Ð=Ð+Ð=°．3．将一副三角板ABC 和三角板(90,60)BDE ACB DBE ABC Ð=Ð=°Ð=°按不同的位置摆放．（1）如图1，若边BD 、BA 在同一直线上，则EBC Ð= 150° ；（2）如图2，若165EBC Ð=°，那么ABD Ð= ；（3）如图3，若120EBC Ð=°，求ABD Ð的度数．【解答】解：（1）9060150EBC DBE ABC Ð=Ð+Ð=°+°=°；故答案为：150°；（2）165906015ABD CBE ABC DBE Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°=°；故答案为：15°；（3）906012030ABD ABC DBE EBC Ð=Ð+Ð-Ð=°+°-°=°．ABD \Ð的度数为：30°．4．已知将一副三角板（直角三角板OAB 和直角板OCD ，90AOB Ð=°，45ABO Ð=°，90CDO Ð=°，30)COD Ð=°（1）如图1摆放，点O 、A 、C 在一条直线上，BOD Ð的度数是 60° ；（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板COD 绕点O 逆时针方向转动，若要OB 恰好平分COD Ð，则AOC Ð的度数是 ；（3）如图3，当三角板OCD 摆放在AOB Ð内部时，作射线OM 平分AOC Ð．射线ON 平分BOD Ð，如果三角板OCD 在AOB Ð内绕点O 任意转动，MON Ð的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【解答】解：（1）90AOB Ð=°Q ，30COD Ð=°，60BOD AOB COD \Ð=Ð-Ð=°，故答案为：60°；（2）OB Q 恰好平分COD Ð，11301522COB COD \Ð=Ð=´°=°，901575AOC AOB COB \Ð=Ð-Ð=°-°=°；故答案为：75°；（3）MON Ð的度数不发生变化，60MON Ð=°．理由如下：OM Q 平分AOC Ð，ON 平分BOD Ð，12DON BOD \Ð=Ð，12COM AOC Ð=Ð，11()()22DON COM BOD AOC AOB COD \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð-Ð，11()(9030)6022MON DON COM COD AOB COD \Ð=Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=´°+°=°．5．如图1，点O 为直线AB 上一点，过O 点作射线OC ，使:1:2AOC BOC ÐÐ=，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图1中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON 落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为 90 度；（2）继续将图2中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON 在AOC Ð的内部．试探究AOMÐ之间满足什么等量关系，并说明理由；Ð与NOC（3）在上述直角三角板从图1开始绕点O按30°每秒的速度逆时针旋转270°的过程中，是否存在Ð中的一个角，ON所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋Ð和AOCOM所在直线平分BOC转时间t，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）根据旋转的性质可知：旋转角为90Ð=°．MON故答案为90．（2）如图3:30Ð-Ð=°，理由如下：AOM NOCQ，Ð+Ð=°AOC BOC180ÐÐ=，AOC BOC:1:2AOC AOC\Ð+Ð=°，2180\Ð=°，AOC60\Ð+=°，①AON CON60Q，Ð=°MON90AOM AON\Ð+Ð=°，②90②-①，得30Ð-Ð=°．AOM CON（3）如图4，当OM平分BOCÐ，Ð时，ON所在直线平分AOC60Ð=°，BOM\三角板绕点O逆时针旋转60°，此时60302t=¸=（秒)；如图5，当ON 平分AOC Ð时，OM 所在直线平分BOC Ð，30CON Ð=°，\三角板绕点O 逆时针旋转240°，此时240308t =¸=（秒)．当OM 旋转150度时也符合要求，此时旋转了5秒．答：旋转时间为2秒或5秒或8秒．6．将一副三角板按图1摆放在直线MN 上，AF 平分BAD Ð，AG 平分BAE Ð．（1）BAD Ð= 105° ；FAG Ð= ；（2）如图2，若将三角板ABC 绕A 点以5/°秒的速度顺时针旋转t 秒(21)t <，求FAG Ð的度数；（3）如图3，三角板ABC 绕A 点以/m °秒的速度顺时针旋转，同时，三角板ADE 绕A 点以/n °秒的速度逆时针旋转，当AD 与AB 边首次重合时两三角板都停止运动，若运行t 秒时，有56MAD CAE Ð=Ð成立，试求此时m 与n 的关系．【解答】解：（1）如图1．1801804530105BAD BAC DAE Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°；AF Q 平分BAD Ð，AG 平分BAE Ð，152.52BAF BAD \Ð=Ð=°，11(18045)67.522BAG BAE Ð=Ð=°-°=°，67.552.515FAG BAG BAF \Ð=Ð-Ð=°-°=°．故答案为105°；15°；（2）如图2，由题意可知：180180453051055BAD BAC DAE CAM t t Ð=°-Ð-Ð-Ð=°-°-°-=°-；1801804551355BAE BAC CAM t t Ð=°-Ð-Ð=°-°-=°-；AF Q 平分BAD Ð，AG 平分BAE Ð，11(1055)22BAF BAD t \Ð=Ð=°-，11(1355)22BAG BAE t Ð=Ð=°-，11(1355)(1055)1522FAG BAG BAF t t \Ð=Ð-Ð=°--°-=°；（3）如图3．180********MAD DAE EAN nt nt Ð=-Ð-Ð=°-°-=°-，180180CAE MAC EAN mt nt Ð=°-Ð-Ð=°--．当56MAD CAE Ð=Ð时，有5150(180)6nt mt nt °-=°--，解得5n m =．即当5n m =时，有56MAD CAE Ð=Ð成立．7．如图，将一副三角尺的两个直角顶点O 重合在一起，在同一平面内旋转其中一个三角尺．（1）如图1，若70BOC Ð=°，则AOD Ð= 110° ．（2）如图2，若50BOC Ð=°，则AOD Ð= ．（3）如图1，请猜想BOC Ð与AOD Ð的关系，并写出理由．【解答】解：（1）90BOC BOD Ð+Ð=Q ，70BOC Ð=°，20BOD \Ð=°，110AOD AOB BOD \Ð=Ð+Ð=°．故答案为110°．（2）90AOB DOC Ð=Ð=°Q ，又360AOB AOD DOC BOC Ð+Ð+Ð+Ð=°Q ，180BOC AOD \Ð+Ð=°40BOD Ð=°Q ，180130AOD BOC \Ð=-Ð=°．故答案为130°．（3）结论：180BOC AODÐ+Ð=°．理由：90AOBÐ=°Q，90CODÐ=°，(90)(90)9090180BOC AOD AOC AOC AOC AOC\Ð+Ð=°-Ð+°+Ð=°-Ð+°+Ð=°，180BOC AOD\Ð+Ð=°．8．如图，两个形状．大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）试说明：90DPCÐ=°；（2）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分APDÐ，PE平分CPDÐ，求EPFÐ；（3）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3/°秒，同时三角板PBD 的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2/°秒，在两个三角板旋转过程中(PC转到与PM 重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，则BPNÐ= 1802t- ，CPDÐ= （用含有t的代数式表示，并化简）；以下两个结论：①CPDBPNÐÐ为定值；②BPN CPDÐ+Ð为定值，正确的是 （填写你认为正确结论的对应序号）．【解答】解：（1）180DPC CPA DPBÐ=°-Ð-ÐQ，60CPAÐ=°，30DPBÐ=°，180306090DPC\Ð=°-°-°=°；（2）设CPE DPE xÐ=Ð=，CPF yÐ=，则2APF DPF x yÐ=Ð=+，60CPAÐ=°Q，260y x y\++=°，30x y\+=°30EPF x y\Ð=+=°（3）①正确．设运动时间为t秒，则2BPM tÐ=，1802BPN t\Ð=-，Q运动之前90CPDÐ=°，两个三角板运动的速度差为1/°秒90CPD t\Ð=-．\90118022 CPD tBPN tÐ-==Ð-．②1802902703BPN CPD t t tÐ+Ð=-+-=-，可以看出BPN CPDÐ+Ð随着时间在变化，不为定值，结论错误．故答案为：1802t-；90t-；①．9．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起：（1）若35DCEÐ=°，则ACBÐ的度数为 145° ；（2）若140ACBÐ=°，求DCEÐ的度数；（3）猜想ACBÐ与DCEÐ的大小关系，并说明理由；（4）三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针．方向任意转动一个角度，当(090)ACE ACEа<Ð<°等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出ACEÐ角度所有可能的值，不用说明理由．【解答】解：（1）90ACD ECBÐ=Ð=°Q，18035145ACB\Ð=°-°=°．（2）90ACD ECBÐ=Ð=°Q，18014040DCE\Ð=°-°=°．（3）180ACE ECD DCB ECDÐ+Ð+Ð+Ð=Q．ACE ECD DCB ACBQ，Ð+Ð+Ð=ÐÐ与DCE\Ð+Ð=°，即ACBÐ互补．ACB DCE180（4）30°、45°、60°、75°．10．将一副三角尺的两个直角顶点O重合在一起，如图那样摆放．（1）如果重叠在一起时，70BOCÐ= 110 度；Ð=°，则AOD（2）如果重叠在一起时，50Ð= 度；BOCÐ=°，则AOD（3）请猜想：不论旋转道何种位置，只要重叠在一起（重叠部分的角度大于0°且小于90)°，BOCÐ和AODÐ的和始终等于 度，并试说明理由．【解答】解：（1）因为BOCÐ和BODBOCÐ=°，Ð互余，且70故20AOD AOB BODÐ=Ð+Ð=°；Ð=°，所以110BOD（2）同（1），40Ð=Ð+Ð=°；AOD AOB BODBODÐ=°，130（3）180°；理由：90CODÐ=°，Q，90Ð=°AOB\Ð+Ð=°，AOB COD180Q，Ð=°-ÐAOD BOC180\Ð+Ð=°BOC AOD18011．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板Ð=°的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE AOB OAB(30)上方．将直角三角板绕着点O按每秒10?的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分CODÐ之间有Ð与BOEÐ，此时，BOC 何数量关系？并说明理由．（2）若射线OC的位置保持不变，且140Ð=°．COE①则当旋转时间t= 7或25 秒时，边AB所在的直线与OC平行？②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3)，求AOC BOEÐ-Ð的值．【解答】解：（1）BOC BOEÐ=Ð，Ð=°Q，AOB90AOD BOEÐ+Ð=°，BOC AOC\Ð+Ð=°，9090Ð，Q平分CODOA\Ð=Ð，AOD AOC\Ð=Ð；BOC BOE（2）①140COEQ，Ð=°\Ð=°，40COD如图1，当AB在直线DE上方时，Q，AB OC//\Ð=Ð=°，AOC A30t=；\Ð=Ð+Ð=°，即7AOD AOC COD70如图2，当AB在直线DE下方时，//AB OC Q ，60COB B \Ð=Ð=°，20BOD BOC COD \Ð=Ð-Ð=°，则9020110AOD Ð=°+°=°，3601102510t °-°\==，故答案为：7或25；②当OA 平分COD Ð时，AOD AOC Ð=Ð，即1020t =，解得2t =；当OC 平分AOD Ð时，AOC COD Ð=Ð，即104040t -=，解得8t =；当OD 平分AOC Ð时，AOD COD Ð=Ð，即3601040t -=，解得：32t =；综上，t 的值为2、8、32；③140AOC COE AOE AOE Ð=Ð-Ð=°-ÐQ ，90BOE AOE Ð=°-Ð，(140)(90)50AOC BOE AOE AOE \Ð-Ð=°-Ð-°-Ð=°，AOC BOE \Ð-Ð的值为50°．12．如图1，点O 为直线AB 上一点，过O 点作射线OC ，使:1:3AOC BOC ÐÐ=，将一直角MON D 的直角顶点放在点O 处，边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方，绕点O 逆时针旋转MON D ，其中旋转的角度为(0360)a a <<°（1）将图1中的直角MON D 旋转至图2的位置，使得ON 落在射线OB 上，此时a 为 90 度．（2）将图1中的直角MON D 旋转至图3的位置，使得ON 在AOC Ð的内部，试探究AOM Ð与NOC Ð之间满足什么样的等量关系，并说明理由．（3）若直角MOND的直角边ON所在直线恰好D绕点O按每秒5°的速度顺时针旋转，当直角MON平分AOCD绕点O的运动时间t的值．Ð时，求此时直角MON【解答】解：:1:3Ð+Ð=°，AOC BOCAOC BOCQ，180ÐÐ=Ð=°\Ð=°，135BOC45AOC（1）由ON落在射线OB上，可知旋转角为：90Ð=°；NOB故答案为90．（2）90Ð+Ð=Ð=°，AON NOC AOCÐ+Ð=°Q，45AOM AON\Ð-Ð=°；AOM NOC45（3）ONÐ，Q所在直线恰好平分AOC\Ð=и=°¸=°，AON AOC245222.5此时旋转角为：9022.5112.5°+°=°¸=（秒)，112.5522.5+¸=（秒)或(112.5180)558.5所以直角MOND绕点O的运动时间是22.5秒或58.5秒．13．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使:2:1AOC BOCÐÐ=，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．（1）在图1中，AOCÐ= ．Ð= 120° ，BOC（2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得OM在射线OA上，则CONÐ= ；（3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得OM在BOCÐ-Ð的度Ð的内部，求BON COM数．【解答】解：（1）Q点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使:2:1ÐÐ=，AOC BOCÐ+Ð=°，AOC BOC180120AOC\Ð=°，60BOCÐ=°故答案为：120°，60°；（2）Q由（1）可知：120AOCÐ=°，90MONÐ=°，AOC MON CONÐ=Ð+Ð，1209030CON AOC MON\Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：30°；（3）由图可知：60BOCÐ=°，90MONÐ=°，BON MON BOMÐ=Ð-Ð，COM BOC BOMÐ=Ð-Ð，则，90(60)30BON COM BOM BOMÐ-Ð=°-Ð-°-Ð=°，即BON COMÐ-Ð的度数是30°．14．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．（1）试说明：90DPCÐ=°；（2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分APDÐ，PE平分CPDÐ，求EPFÐ．（3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3/s°．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2/s°，在两个三角板旋转过程中(PC转到与PM重合时，三角板都停止转运），问CPDBPNÐÐ的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．【解答】解：（1）180DPC CPA DPBÐ=°-Ð-ÐQ，60CPAÐ=°，30DPBÐ=°，180306090DPC\Ð=°-°-°=°；（2）设CPE DPE xÐ=Ð=，CPF yÐ=，则2APF DPF x yÐ=Ð=+，60CPAÐ=°Q，260y x y\++=°，30x y\+=°30EPF x y \Ð=+=°（3）不变．设运动时间为t 秒，则2BPM t Ð=，1802BPN t \Ð=-，3APN t Ð=．36090CPD DBP BPM CPA APN t \Ð=-Ð-Ð-Ð-Ð=-，\90118022CPD t BPN t Ð-==Ð-．15．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板(30)D Ð=°的直角顶点放在点O 处，一边OE 在射线OA 上，另一边OD 与OC 都在直线AB 的上方．（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t 秒后，OD 恰好平分BOC Ð．①此时t 的值为 3 ；（直接填空）②此时OE 是否平分AOC Ð？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC 平分DOE Ð？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC 平分DOB Ð？请画图并说明理由．【解答】解：（1）①30AOC Ð=°Q ，180AOB Ð=°，150BOC AOB AOC \Ð=Ð-Ð=°，OD Q 平分BOC Ð，1752BOD BOC \Ð=Ð=°，907535t °-°\==．②是，理由如下：Q 转动3秒，15AOE \Ð=°，15COE AOC AOE \Ð=Ð-Ð=°，COE AOE \Ð=Ð，即OE 平分AOC Ð．（2）三角板旋转一周所需的时间为360725==（秒)，射线OC 绕O 点旋转一周所需的时间为360458=（秒)，设经过x 秒时，OC 平分DOE Ð，由题意：①854530x x -=-，解得：5x =，②853603045x x -=-+，解得：12545x =>，不合题意，③Q 射线OC 绕O 点旋转一周所需的时间为360458=（秒)，45秒后停止运动，\当OD 旋转到OC 的位置后再旋转45°时，OC 平分DOE Ð，此时OD 旋转了360(6045)345°-°-°=°，345695t \==（秒)，综上所述，5t =秒或69秒时，OC 平分DOE Ð．（3）如图3中，由题意可知，OD 旋转到与OB 重合时，需要90518¸=（秒)，OC 旋转到与OB 重合时，需要3(18030)8184-¸=（秒)，所以OD 比OC 早与OB 重合，设经过x 秒时，OC 平分DOB Ð，由题意：18(18030)(590)2x x --=-，解得：21011x =，所以经21011秒时，OC 平分DOB Ð．16．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使120Ð=°．将一直角三角板的直BOC角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在BOCÐ的内部，且恰好平分Ð？请说明理由．Ð．问：此时直线ON是否平分AOCBOC（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角AOCÐ，求t的值．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在AOCÐ的内部，试探索：在旋转过程中，Ð的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．AOMÐ与NOC【解答】解：（1）直线ON平分AOCÐ．理由：如图所示，设ON的反向延长线为OD．Ð，Q平分BOCOM\Ð=Ð．MOC MOB又OM ONQ，^90\Ð=Ð=°．MOD MON\Ð=Ð．COD BON又AOD BONQ（对顶角相等），Ð=ÐCOD AOD \Ð=Ð．OD \平分AOC Ð，即直线ON 平分AOC Ð．（2）120BOC Ð=°Q ，60AOC \Ð=°．30BON COD \Ð=Ð=°．即旋转60°或240°时直线ON 平分AOC Ð．由题意得，660t =或240．解得：10t =或40；（3）AOM NOC Ð-Ð的差不变．90MON Ð=°Q ，60AOC Ð=°，90AOM AON \Ð=°-Ð、60NOC AON Ð=°-Ð．(90)(60)30AOM NOC AON AON \Ð-Ð=°-Ð-°-Ð=°．17．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板(30)M Ð=°的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t 秒后OM 恰好平分BOC Ð，则t = 5秒或115秒 （直接写结果）（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后OC 平分MON Ð？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒36MOC Ð=°？请说明理由．【解答】解：（1）90AON BOM Ð+Ð=°Q ，COM MOB Ð=Ð，30AOC Ð=°Q ，2150BOC COM \Ð=Ð=°，75COM \Ð=°，15CON \Ð=°，301515\Ð=Ð-Ð=°-°=°，AON AOC CON解得：1535t=°¸°=秒；（2）5秒或115秒时，OC平分角MON，理由如下：当OC运动时，Ð=Ð，Q，CON COMÐ+Ð=°90AON BOMÐ=°Q，MON90\Ð=Ð=°，CON COM45Q三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设AON°+，Ð为306tÐ为3t，AOCÐ-Ð=°Q，45AOC AON可得：6315t t-=°，解得：5t=秒；Ð，OC停止运动，OM运动345°时，此时，OC也平分MONt=¸=（秒)；3453115（3）当OC运动时，如上图：OC平分MOBÐOC可能在MOBÐ内侧也可能在外侧，由题意得：t t-=°-°=°，t t63543024-=°-°=°或631263096解得：8t=或32秒；当OC停止运动时，Ð=，MONMO运动到AO下方6°时，36t=-¸=（秒)，(2706)388Ð=°，MO运动到AO下方6°时，36MOCt=++¸=（秒)(2703036)3112答：经过8或32秒或112秒或88秒．18．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使135Ð=°，将一个含45°角的直角BOC三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时BOMÐ= 90° ；在图2中，Ð？请说明理由；OM是否平分CON（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在AOCÐ的内部，请探究：AOMÐ之间的数量关系，并说明理由；Ð与CON（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角AOCÐ，则t的值为 （直接写出结果）．【解答】解：（1）如图2，90BOMÐ=°，Ð．理由如下：OM平分CONÐ=°Q，BOC135MOC\Ð=°-°=°，1359045而45Ð=°，MON\Ð=Ð；MOC MON故答案为90°；Ð．OM平分CON理由如下：Q三角尺绕着点O逆时针旋转90°得到OMND（如图2)，\Ð=°，90BOM\Ð=Ð-Ð=°，COM BOC BOM45而45Ð=°，NOMÐ；\平分CONOM（2）AOM CONÐ=Ð．理由如下：如图3，Q，Ð=°45MON\Ð=°-Ð，45AOM AON45AOCÐ=°Q，45NOC AON\Ð=°-Ð，AOM CON\Ð=Ð；（3）1455 4.52T=´°¸°=（秒)或(18022.5)540.5t=°+°¸°=（秒)．故答案为4.5秒或40.5秒．。
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1
角的计算专题
例1.如图，已知∠AOB=90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度顺时针方向旋转；同时，
射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度逆时针方向旋转．当OC与OA成180°时，OC与OD同时
停止旋转．
（1）当OC旋转10秒时，∠COD= °．
（2）当OC与OD的夹角是30°时，求旋转的时间．
（3）当OB平分∠COD时，求旋转的时间．
例2.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．
（1）如图（1）若∠BOD=35°，则∠AOC= __ ；若∠AOC=135°，则∠BOD= ____；
（2）如图（2）若∠AOC=140°，则∠BOD= ___；
（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由．
（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，
然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠
AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各
有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不
用说明理由
例3.（1）如图1，若CO⊥AB，垂足为O，OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC．求∠EOF的度数；
（2）如图2，若∠AOC=∠BOD=80°，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．求∠EOF的度数；
（3）若∠AOC=∠BOD=α，将∠BOD绕点O旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分∠
AOD与∠BOC．若α+β≤180°，α＞β，则∠EOC=
_______ ．（用含α与β的代数
式表示）
2
例4.如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（∠OAB=30°）
的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O
按每秒10⁰的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？
并说明理由．
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE=140°．
①则当旋转时间t= 秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角
平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．
③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求∠AOC﹣∠BOE的值．
课堂练习：
1.如图，点O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，若∠AOD=14°，求∠DOE、
∠BOE的度数.
2.如图，直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．
E
OCDB
A
F
E
O
C
D
B
A
3
3.点O是直线AB上一点，∠COD是直角，∠AOC＝140°，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数.
4.如图，BD平分∠ABC，∠ABE︰∠CBE＝3︰4，∠DBE＝8°，求∠ABC的度数.
5.点O是直线AB上一点，∠COD是直角，∠AOC＝40°，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数.
6.如图，O是直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠DOE＝13∠BOD，∠COE＝72°，求∠BOE的度数.
7.如图，已知∠AOB是∠AOC的余角，∠AOD是∠AOC的补角，且∠BOC＝12∠BOD，
求∠BOD、∠AOC的度数.
E
O
C
D
BA
E
C
D
B
A
E
OCDB
A
E
O
C
D
B
A
O
C
D
B
A
4
8.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠1＝40°，求∠2、∠3的度数.
9.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOC —∠BOD ＝20°，求∠BOE的度数.
10.如图，从点O引出6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，且∠AOB＝100°，OF平分∠BOC，∠AOE＝∠DOE，
∠EOF＝140°,求∠COD的度数.
11.已知，如图∠BOC为∠AOC内的一个锐角，射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC.
（1）若∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数；
（2）若∠AOB＝，∠BOC＝30°，求∠MON的度数；
（3）若∠AOB＝90°，∠BOC＝，还能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，说明理由.
（4）从前三问的结果你发现了什么规律？
F
3
2
1
E
O
C
D
B
A
F
E
OCDBA
E
O
C
D
B
A
N
M
O
C
B
A