2015-2016学年高中数学 1.1.4投影与直观图课件 新人教B版必修2
原创3：1.1.4 投影与直观图（问题导学式）
§1.1.4 投影与直观图
高中数学必修2·精品课件
学习目标
1.掌握斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；
2.采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空
间图形两种方法的各自特点.
3. 会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．
新课引入
问题情境
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，
梯形，求原图形的面积.
解：直观图与原图形如图所示．
O′A′长为1＋ .
∴OA＝O′A′＝1＋ ，
又OC＝2·O′C′＝2，
BC＝B′C′＝1，且∠AOC＝90°.
∴S梯形OABC＝ ×(1＋1＋
)×2＝2＋ .
课堂练习
4．下列光线所形成的投影，不是中心投影的是( A )
A．太阳光线
B．台灯的光线
2．还原图形的过程，是画直观图的逆过程，它主要包括平行于x轴
的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的2倍．
归纳小结
3．画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与x′O′y′平面垂直
的轴O′z′.且平行于O′z′的线段，在直观图中的长度不变，其他与平
面图形直观图的画法一致．
4．在直观图形中，我们用直尺量得的线段的长度，用量角器量得
典例精讲：题型一：投影的概念
变式
有下列说法：
①用斜二测画法画的直观图是在中心投影下画出来的图形．
②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；
③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交
的直线；
④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．
其中正确命题有( C )
C．手电筒的光线
山东省昌邑市第一中学人教版高中数学必修二课件：1.1.4 投影与直观图(共42张PPT)
一个正方形，可用一个平行四边形来 表示它.那么这个平行四边形有什么要求 呢？ y
x o
Y’
X’
O’
探究四
❖ 阅读教材，回答下列问题： ❖ （1）已知图形与直观图的坐标系有何区别？ ❖ （2）已知图形中的线段与轴平行关系在直观
图中是否改变？ ❖ （3）已知图形中与轴平行的线段长度在直观
图中是否改变？
❖ （3）在已知图形中与z轴平行的线段的长度 在直观图中是否改变？
空间几何体的直观图的画法：
1.画几何体的底面：
在已知图形中取互相的 x 轴、 y 轴，两轴相交于点 O ，画直观图时，
把它们画成对应的 x/ 轴、 y / 轴，两轴相交于点 O/ ，且使 x/O/ y/ =
，
已知图形中平行于 x 轴、 y 轴的线段，在直观图中平行于 x/ 轴、 y / 轴.
4成 图 .顺 次 连 接 A,B,C,D,并 加 以 整 理
去 掉 辅 助 线 ,将 被 遮 挡 住 的 部 分 改 为 虚 线 ,
就 可 得 到 长 方 体 的 直 观 图 .
D
A D
A
C B C
B
总结
1. 平行投影的性质;
2.斜二测画法步骤 (1)平面图形的斜二测画法, (2)简单几何体的斜二测画法；
并且A′B′＝A′C′=2，
那么△ABC面积是
.
3.利用斜二测画法得到的： ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形． 以上结论正确的是 .
❖ 4.下列说法中 ❖ ①正方形的平行投影一定是菱形； ❖ ②平行四边形的平行投影一定是平行四边形； ❖ ③三角形的平行投影一定是三角形；
高中数学 1.1.4平行投影与直观图学情分析 新人教B版必修2
2015高中数学 1.1.4平行投影与直观图学情分析新人教B版必修2 《平行投影与直观图》学情分析
在小学和初中，对几何体的认识，只局限在直观的层面上，为了使学生更为科学的获取知识，更扎实的掌握有关立体几何的知识，首先使学生认识空间的点、线、面、体、轨迹与图形，接着由学生观察和总结多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征，然后，在了解几种投影的特征和关系的基础上，学习直观图的做法。
考虑到学生对直观图比较陌生，由太阳光线将一个矩形的窗框投射到地板上图形为平行四边形入手，展开讨论。
接着介绍平行投影概念一性质，进而引出斜二测画法的规则，中间穿插几个小练习，加深对斜二测画法的熟练程度。
《平行投影与直观图》效果分析
本节课总体上基本完成了既定的教学目标，在以下几处设计达到了较好效果：
1、本课从民间艺术皮影和手影出发抓住了学生的求知欲，自然而然的过渡到斜二测画法，导入自然，既调动了学生的兴趣、积极性，又符合教材内容的需要；
2、学生掌握了斜二测画法的规则，知道如何去画水平放置的平面图形的直观图
3、“我的收获”处让学生自己去总结提升本节课的知识体系，留有大幅空白，给学生充分的考虑，既有知识上的收获，也有能力的提升；
4、“学以致用”采用小组讨论的方式，设计不同梯级的训练问题，提高了学生的分析能力，最后让学生自我总结，清晰明了的认识到了斜二测画法的规则
当然，在本节课中也有几处地方没有达到较好效果：
1、变式训练比较有代表性，训练了学生正向和逆向思维能力，但备课考虑不周，如果将由平面到直观图的题目放在第一题，其他题放在最后，这样会提高学生的做题速度；
2、自己尺规作图的熟练程度有待于提高；
3、有些地方可以渗透德行教育，却没有渗透。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.4 投影与直观图学案 新人教B版必修2
1.1.4 投影与直观图[学习目标] 1.了解中心投影与平行投影.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.3.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.[知识链接]1.三角形的面积S ＝12ah (其中a 为底边长，h 为底边上的高).2.梯形的面积S ＝12(a ＋b )h (其中a 、b 为两底长，h 为高).[预习导引] 1.平行投影已知图形F ，直线l 与平面α相交.过F 上任意一点M 作直线MM ′平行于l ，交平面α于点M ′，则点M ′叫做点M 在平面α内关于直线l 的平行投影(或象).如果图形F 上的所有点在平面α内关于直线l 的平行投影构成图形F ′，则F ′叫做图形F 在α内关于直线l 的平行投影. 2.平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质： (1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段； (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； (4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比. 3.中心投影一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影.4.水平放置的平面图形的直观图的画法(1)表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.(2)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段在直观图中分别画成平行于x ′轴、y ′轴或z ′轴的线段，平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半.(3)对于图形中与x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线，再借助于所作的平行线确定端点在直观图中的位置.要点一 中心投影与平行投影 例1 下列说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线； ③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式. 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 D解析 平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点；几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.故3种说法都正确.规律方法 1.考察一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断.2.平行投影需注意图形、投射线、投射面之间的位置关系，位置发生改变，一般情况下投影也会改变.3.中心投影与人的视觉效果一致，解题时可结合生活实际作出判断.跟踪演练1 如图所示，这是圆桌正上方的灯泡(看做一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成的阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2 m ，桌面距离地面1 m ，若灯泡距离地面3 m ，则地面上阴影部分的面积为________(忽略桌脚).答案 0.81π m 2解析 设地面阴影圆的半径为x ，则有0.6x ＝23，∴x ＝0.9，∴阴影圆的面积为S ＝πx 2＝0.81πm 2.要点二 画水平放置的平面图形的直观图例2 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解 画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图.规律方法 1.本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行.2.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.跟踪演练2 用斜二测画法画如图所示边长为4 cm 的水平放置的正三角形的直观图.解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴.(2)画对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝OB ＝OC ＝2 cm ，在y ′轴上取O ′A ′＝12OA ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示.要点三 由直观图还原平面图形例3 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为( )A.24a 2B.22a 2C.a 2D.2a 2答案 B 解析由直观图还原出原图，如图，所以S ＝a ·22a ＝22a 2. 规律方法 由直观图还原平面图形关键有两点：(1)平行x ′轴的线段长度不变，平行y ′轴线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x ′、y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴，y ′轴平行线变换确定其在xOy 中的位置.跟踪演练3 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O ′A ′B ′C ′的面积为2，则原梯形的面积为( )A.2B. 2C.2 2D.4答案 D解析 如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的， 不一样的是两个梯形的高原梯形的高OC 是直观图中O ′C ′长度的2倍，O ′C ′的长度是直观图中梯形的高的2倍 由此知原梯形的高OC 的长度是直观图中梯形高的22倍，故其面积是梯形O ′A ′B ′C ′面积的22倍，梯形O ′A ′B ′C ′的面积为2，所以原梯形的面积是4.要点四空间几何体的直观图例4 画一个正五棱柱的直观图(尺寸自定)解(1)画轴.画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示.(2)画底面.按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱.过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正五棱柱的高.(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示.规律方法 1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z 轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变.”跟踪演练4 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.解画法：(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1).(2)画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在z轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高.(4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图(2).1.一条直线在平面上的正投影是( )A.直线B.点C.线段D.直线或点答案 D解析当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置关系时的正投影均为直线.2.关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是( )A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图可能不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形答案 B3.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形答案 D解析因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.4.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.答案10解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.5.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.答案 6解析由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝1 2OA·OB＝6.1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间的关系为S直S原＝24.2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.。
人教版高一数学必修2(B版)全册完整课件
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
实习作业
1.2.2 空间中的平行关系
本章小结
ห้องสมุดไป่ตู้
第二章 平面解析几何初步
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
2.2.2 直线方程的几种形式
2.2.4 点到直线的距离
2.3.2 圆的一般方程
2.3.4 圆与圆的位置关系
2.4.2 空间两点的距离公式
阅读与欣赏
笛卡儿
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1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球 的表面积
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1.1.7 柱、锥、台和球的体积
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后记
第一章 立体几何初步
人教版高一数学必修2(B版)全册完 整课件
1.1 空间几何体
1.1.1
构成空间几何体的基本元素
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1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结 构特征
人教版高一数学必修2(B版)全册完 整课件
人教版高一数学必修2(B版)全册 完整课件目录
0002页 0040页 0102页 0185页 0223页 0295页 0343页 0365页 0411页 0460页 0490页 0520页 0548页 0570页 0601页 0603页
第一章 立体几何初步
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.4 投影与直观图
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
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1.1.4 投影与直观图
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1.1.5 三视图
人教B版高中数学必修二《第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.4 投影与直观图》_2
学生各种方式活动
学生各种方式活动
教师总结
斜二测画法-------空间几何体直观图的一种画法.（课本P16）
(1)建立平面直角坐标系:在已知平面图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.
(2)画出斜坐标系:在画直观图的纸上(平面上)画出对应的x'轴和y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y' =45度(或135度),它们确定的平面表示水平平面.
2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。
画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。
(3)画对应图形:在已知图形平行于x轴的线段,在直观图中画成平行于x'轴,长度保持不变。
在已知图形平行于y轴的线段,在直观图中画成平行于y'轴,且长度为原来一半.
(4)对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段.
(5)擦去辅助线:图画好后,要擦去x'轴,y'轴及为画图添加的辅助线.
例：用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。
教师引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一步，不能敷衍了事。
作业
A组：
1、（课本P20习题1.2A组第4题）
2、（课本P画法，画出水平放置的正三角形的直观图。
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1.1.4 投影与直观图
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
实习作业
1.2.2 空间中的平行关系
本章小结
第二章 平面解析几何初步
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
2.2.2 直线方程的几种形式
2.2.4 点到直线的距离
2.3.2 圆的一般方程
2.3.4 圆与圆的位置关系
2.4.2 空间两点的距离公式
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后记
第一章 立体几何初步
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1.1 空间几何体
1.1.1
构成空间几何体的基本元素
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1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结 构特征
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0002页 0049页 0087页 0170页 0188页 0223页 0367页 0389页 0460页 0509页 0545页 0562页 0602页 0626页 0684页 0686页
第一章 立体几何初步
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
高中数学1.1空间几何体1.1.4投影与直观图课堂探究新人教B版必修2
1.1.4 投影与直观图课堂探究探究一平行投影性质的应用1．在应用平行投影性质时，要注意投射线、投射面之间的位置关系，尤其不要忽视投射线平行于所给平面图形的情形．2．常见图形的平行投影①矩形的平行投影一定是矩形；②梯形的平行投影一定是梯形；③两条相交直线的平行投影可能平行；④如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影一定是这个三角形的平行投影的三角形的中位线．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：当投射线与投射面垂直，矩形所在平面与投射面平行时，矩形的平行投影是矩形；当投射线与矩形所在平面平行时，投影是一条线段；当投射线与矩形不平行，矩形所在平面与投射面不平行时，其投影一般情况下为平行四边形，①错误；当投射线与梯形所在平面平行时，投影是一条线段；当梯形所在平面与投射线不平行时，梯形的平行投影一定是梯形，②错误；当投射线与两相交直线所在平面平行时它的投影是一条直线；当投射线与两相交直线确定的平面不平行时，它的投影仍是两条相交直线，③错误；“一个三角形的平行投影仍是三角形”，说明投射线与三角形所在的平面不平行，故可以用平行投影的性质“在平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比”来判断，④是正确的．答案：B探究二画平面图形的直观图1．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定顶点的位置．2．建立平面直角坐标系时，结合图形的结构特征，尽量使原平面图形的顶点在坐标轴或与坐标轴平行的线段上．3．原图中不与x 轴或y 轴平行的线段，可以先作坐标轴的平行线为辅助线画出其端点然后再连线．【典型例题2】 画出水平放置的等腰梯形的直观图．思路分析：根据斜二测画法的规则，首先在原来的等腰梯形中建立平面直角坐标系，要使尽可能多的顶点和线段在坐标轴上，这样作起图来较为方便，然后按横线相等，竖线是原来的一半的原则，作出对应的各个顶点，连线即成．画法：(1)如图①，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°．(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD ．(3)连接B ′C ′，D ′A ′，并擦去辅助线x ′轴和y ′轴及O ′点、E ′点，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图③．探究三 画空间图形的直观图1．画棱柱、棱锥直观图的步骤：(1)画轴：通常以高所在直线为z 轴建系．(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．(3)确定顶点：利用与z 轴平行或在z 轴上的线段确定有关顶点．(4)成图：擦去辅助线，连线成图．2．画棱台的直观图的四个步骤：(1)画轴：通常以高所在直线为z 轴建系．(2)画下底面．(3)画高，画上底面．(4)连线成图．【典型例题3】 有一个正三棱锥，底面边长为3 cm ，高为3 cm ，画出这个正三棱锥的直观图．思路分析：根据斜二测画法，先建立恰当的坐标系画出正三角形的直观图，再确定出正三棱锥的顶点即可．解：(1)先画出边长为3 cm 的正三角形水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正三角形的中心O ′建立z ′轴，画出正三棱锥的顶点V ′，使V ′O ′＝3 cm ，连接V ′A ′，V ′B ′，V ′C ′，如图②所示；(3)擦去辅助线，被遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图，如图③．点评正棱锥的直观图在今后的学习中经常要用到，应该掌握正棱锥直观图的画法思路，以便在今后的学习中，可以较快、较准确地画出正棱锥的草图．画草图的步骤为：画底面、找底面的中心、作高连线．探究四 直观图的还原直观图的还原其实是画直观图的逆过程，只要明确角与边的转化关系，即可简化解答相关问题．(1)角的关系：原图形 斜二测直观图形∠xOy ＝90° ∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)．(2)长度关系：与x 轴平行的线段相等相等画后对应线段；与y 轴平行的线段2缩短为原长的一半伸长为原来的倍画后对应线段．【典型例题4】 (1)水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为__________．解析：分析易知△ABC 为以∠C 为直角的直角三角形，且AC ＝3，BC ＝2×2＝4，所以AB ＝5，故AB 边上的中线长为52．答案：5 2(2)已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为__________．解析：如图所示，过C′作y′轴的平行线C′D′，与x′轴交于点D′，则C′D′＝2sin45．又C′D′是原△ABC的高CD的直观图，所以CD，故S△ABC＝12AB·CD2．2探究五易错辨析易错点：混淆了直观图与平行投影的区别而致误【典型例题5】关于利用斜二测画法画直观图有以下结论：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3错解：A错因分析：混淆了直观图与平行投影的区别，直观图是利用平行投影的性质画出来的一种能反映原物体整体特征的图示，而平行投影的情况就较多了．正解：正方形、菱形的直观图通常为平行四边形而不具有其他性质，即③④不正确，故选C．答案：C。
高中数学第一章1.1.4投影与直观图课件新人教B版必修
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问题 4 如何画一个图形 F 的平行投影？
答 画一个图形 F 的平行投影，一般是转化为点的平行投 影，即先求图形 F 的边界点或顶点的投影点，再将这些投 影点连接成图．
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跟踪训练 1 用斜二测画法画长、宽、高分别为 4 cm、3 cm、 2 cm 的长方体 ABCD—A′B′C′D′的直观图．
解 (1)画轴．如下图，画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O， 使∠xOy＝45° ，∠xOz＝90° .
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解析 平行直线的平行投影是平行· 当堂检测、目标达成落实处
2．图中是水平放置的三角形的直观图，已知 AB∥y 轴，则△ABC 是 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析 在如图中的直观图中，∠xOy＝∠BAC，
由斜二测画法知，∠ xOy＝∠BAC＝90° ，故选 C.
答 其关键是在坐标系 x′O′y′中画出决定图形位置与 形状的顶点，一般情况下，这些点的位置都要通过其所在 的平行于 x 轴、y 轴的线段来确定．
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问题 4 画水平放置的直观图时，要把握怎样的原则？
答 (1)∠x′O′y′＝45° (或 135° )；
(2)平行性不变；
的窗框投射到地板上，影子是平行四边形，在影子中，框 边的长度以及框边之间的夹角有所改变，你能观察出没有 发生变化的是什么吗？
答 框边的平行性没有改变，平行直线段或同一条直线上的 两条线段的比也没有改变．
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高中数学1-1空间几何体1-1-4投影与直观图课堂探究新人教B版必修2
高中数学1-1空间几何体1-1-4投影与直观图课堂探究新人教B版必修2课堂探究探究一平行投影性质的应用1．在应用平行投影性质时，要注意投射线、投射面之间的位置关系，尤其不要忽视投射线平行于所给平面图形的情形．2．常见图形的平行投影①矩形的平行投影一定是矩形；②梯形的平行投影一定是梯形；③两条相交直线的平行投影可能平行；④如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影一定是这个三角形的平行投影的三角形的中位线．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：当投射线与投射面垂直，矩形所在平面与投射面平行时，矩形的平行投影是矩形；当投射线与矩形所在平面平行时，投影是一条线段；当投射线与矩形不平行，矩形所在平面与投射面不平行时，其投影一般情况下为平行四边形，①错误；当投射线与梯形所在平面平行时，投影是一条线段；当梯形所在平面与投射线不平行时，梯形的平行投影一定是梯形，②错误；当投射线与两相交直线所在平面平行时它的投影是一条直线；当投射线与两相交直线确定的平面不平行时，它的投影仍是两条相交直线，③错误；“一个三角形的平行投影仍是三角形”，说明投射线与三角形所在的平面不平行，故可以用平行投影的性质“在平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比”来判断，④是正确的．答案：B探究二画平面图形的直观图1．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定顶点的位置．2．建立平面直角坐标系时，结合图形的结构特征，尽量使原平面图形的顶点在坐标轴或与坐标轴平行的线段上．3．原图中不与x轴或y轴平行的线段，可以先作坐标轴的平行线为辅助线画出其端点然后再连线．【典型例题2】画出水平放置的等腰梯形的直观图．思路分析：根据斜二测画法的规则，首先在原来的等腰梯形中建立平面直角坐标系，要使尽可能多的顶点和线段在坐标轴上，这样作起图来较为方便，然后按横线相等，竖线是原来的一半的原则，作出对应的各个顶点，连线即成．画法：(1)如图①，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°．(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD．(3)连接B′C′，D′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴及O′点、E′点，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图③．探究三画空间图形的直观图1．画棱柱、棱锥直观图的步骤：(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．(4)成图：擦去辅助线，连线成图．2．画棱台的直观图的四个步骤：(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．(2)画下底面．(3)画高，画上底面．(4)连线成图．【典型例题3】有一个正三棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正三棱锥的直观图．思路分析：根据斜二测画法，先建立恰当的坐标系画出正三角形的直观图，再确定出正三棱锥的顶点即可．解：(1)先画出边长为 3 cm的正三角形水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正三角形的中心O′建立z′轴，画出正三棱锥的顶点V′，使V′O′＝3 cm ，连接V′A′，V′B′，V′C′，如图②所示；(3)擦去辅助线，被遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图，如图③．点评正棱锥的直观图在今后的学习中经常要用到，应该掌握正棱锥直观图的画法思路，以便在今后的学习中，可以较快、较准确地画出正棱锥的草图．画草图的步骤为：画底面、找底面的中心、作高连线．探究四 直观图的还原直观图的还原其实是画直观图的逆过程，只要明确角与边的转化关系，即可简化解答相关问题．(1)角的关系：原图形 斜二测直观图形∠xOy ＝90x ′O ′y ′＝45°(或135°)． (2)长度关系：与x 轴平行的线段画后对应线段；相等相等与y 轴平行的线段画后对应线段．2缩短为原长的一半伸长为原来的倍【典型例题4】 (1)水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为__________．解析：分析易知△ABC 为以∠C 为直角的直角三角形，且AC ＝3，BC ＝2×2＝4，所以AB ＝5，故AB 边上的中线长为．答案：(2)已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为__________．解析：如图所示，过C′作y′轴的平行线C′D′，与x′轴交于点D′，则C′D′＝＝a又C′D′是原△ABC的高CD的直观图，所以CD＝a，故S△ABC＝AB·CD＝a2答案：探究五易错辨析易错点：混淆了直观图与平行投影的区别而致误【典型例题5】关于利用斜二测画法画直观图有以下结论：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3错解：A错因分析：混淆了直观图与平行投影的区别，直观图是利用平行投影的性质画出来的一种能反映原物体整体特征的图示，而平行投影的情况就较多了．正解：正方形、菱形的直观图通常为平行四边形而不具有其他性质，即③④不正确，故选C．答案：C。