【教育资料】最新人教版九年级下册26.1.2有关反比例函数的面积问题学习精品
精品九年级数学下册26反比例函数专题课堂二反比例函数的综合应用课件新版新人教版可编辑
[对应训练]
5．抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与双曲线 y＝kx相交于点 A，B，且抛物 线经过坐标原点，点 A 的坐标为(－2，2)，点 B 在第四象限内，过点 B 作直 线 BC∥x 轴，点 C 为直线与抛物线的另一交点，已知直线 BC 与 x 轴之间的 距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍．记抛物线顶点为 E.
(2)由题意得y＝2x， 解得 x＝－2 或 1，∴B(－2，－1)， y＝x＋1，
易求 C(－1，0)，∴S△AOB＝S△AOC＋S△COB＝12×1×2＋12×1×1＝32
[对应训ห้องสมุดไป่ตู้]
1．一次函数 y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数 y＝kx(k≠0)在同一直角坐标系
上的大致图象如图所示，则 k，b 的取值范围是( C ) A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＞0，b＜0
(1)求双曲线和抛物线的解析式； (2)计算△ABC 与△ABE 的面积．
解：(1)由题意得双曲线的解析式为 y＝－4x，
设点 B 坐标为(m，－4m)且 m＞0，代入 y＝－4x，得 m＝1， ∴B(1，－4)，由题意知 c＝0， 把 A，B 的坐标代入 y＝ax2＋bx， 得a4＋a－b＝ 2b－ ＝42， ，解得ab＝＝－－13，，∴y＝－x2－3x
×6－12×4×2＝8
【例 2】(2016·凉山州)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则反 比例函数 y＝－xa与一次函数 y＝bx－c 在同一坐标系内的图象大致是( C )
人教版九年级数学下册26.1.2：反比例函数比例系数K 的几何意义 课件(共19张PPT)
说说你今天的收获和感悟
1.(2014·滨州中考)如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形 的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y＝ (x<0)的图象经过点C，则
k的值为 -6 ．
2.
2
1.整理导学案
2.提高题：如图,已知双曲线
经过矩形OABC的边AB的中点F,交BC于点E,且四边 形OEBF的面积为2.则k=( )
AO x
1、设P（m,n）是反比例函数y k (k o)上的 x
一点,过P点作PA⊥x轴于点A，连接OP，如何用
k表示△AOP的面积呢？
y
y
P(m,n)
P(m,n)
OA x
AO x
小结：反比例函数比例系数k的几何意义是什么？
y
y
B
P(m,n)
OA
x
P(m,n)
B
A Ox
k 面积
反比例函数 y k (k o)的图象如图所示，点A是
x
该函数图象上任意一点，AB⊥x轴于点B，如果S△AOB
＝2，请求k值。 y
A
k 4
B Ox
(2018·成都模拟)如图，点A是反比例函数
y
k x
(k
o)
(x<0)的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为
B.点C为y轴上的一点，连接AC，BC.若△ABC的
面积为4，则k的值是-8 ．
(2019·株洲)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，
1.
反比例函数 y
k (k x
o)上一点A（4，3）
（1）k的值为： ，
（2）作AB⊥X轴与点B，作AC⊥Y轴与点A
2024九年级数学下册第26章用反比例函数比例系数k的几何意义解与面积相关的应用课件新版新人教版
【解】∵直线 AB 交 y 轴于点 C，∴点 C(0，2)， ∴S 四边形 COMN＝S△OMN＋S△OCN＝32＋12×2×t. ∵S 四边形 COMN>3，∴32＋12×2×t>3，∴t＞32.
【点方法】 当反比例函数图象中的几何图形的面积无法直接
求出时，可将其转化为与比例系数k相关的矩形或直 角三角形的面积，通过面积的和或差进行计算．
在 Rt△ ACE 中，CE＝ AC2－AE2＝3， ∴OE＝8，∴A(8，4)，∴k＝4×8＝32， ∴反比例函数的解析式为 y＝3x2. 将 A 和 C 的坐标代入一次函数解析式中， 得85aa＋＋bb＝＝40，，解得ab＝ ＝－43，230. ∴一次函数的解析式为 y＝43x－230.
(2)请直接写出不等式 ax＋b>kx的解集. 【解】不等式 ax＋b＞kx的解集为 x>8 或－3<x<0.
(2)若y轴上有一点C(0，n)，△ABC的面积为4，求点C的 坐标. 【解】解方程组yy＝＝2x2，x，得xy11＝＝21，，xy22＝＝－－21.， ∴点 B 的坐标为(－1，－2)．
如图，过点 A，B 分别作 y 轴
的垂线，垂足分别为 E，F，
∵A(1，2)，B(－1，－2)，C(0，n)， ∴AE＝BF＝1，OC＝|n|. ∵S△ ABC＝S△ AOC＋S△ BOC＝4， ∴12OC·AE＋12OC·BF＝4， 即|n|×1＋|n|×1＝8，∴|n|＝4，∴n＝±4， ∴点 C 的坐标为(0，4)或(0，－4)．
【点方法】 一次函数与反比例函数常常放在一起考查，所以
要牢牢掌握它们各自的性质与图象特征，综合考虑， 解题时要关注两种函数图象的交点.
5 [2023·乐山]如图，一次函数 ym，4)，与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C(0，3).
人教版九年级下册第二十六章：26.1.2反比例函数的图象和性质 教学设计
26.1.2《反比例函数的图像和性质》教材分析众所周知，函数知识是中学代数的核心内容，反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数之一，反比例函数这部分的体系和安排，基本上与一次函数部分相同，教学中要注意和一次函数，尤其是正比例函数对比，引导学生从函数的意义，自变量的取值范围，图象的形状等方面辨明相应的区别。
《反比例函数的图像和性质》在反比例函数这部分的第二小节，是在学生学习了反比例函数的意义和掌握了用描点法画函数图象的基础上进行教学的。
反比例函数图像与一次函数图像不同，研究方法更具有一般性和代表性。
《反比例函数的图像和性质》分两课时完成：第一课时，主要内容反比例函数的图像和性质；第二课时;反比例函数与一次函数的图像和性质对比，确定反比例函数的表达式，本课为第一课时主要内容为探究反比例函数的图像和性质。
学情分析此时学生已经学习了函数及其图像的初步知识，及系统的研究了一次函数和二次函数的概念，图像，性质以及简单应用。
学生研究函数的基本方法有一些初步的了解。
但是反比例函数图像分两支，与一次函数、二次函数图像有很大的差别，学生很容易走进误区。
教学目标分析知识与技能（1）进一步熟悉作函数图像的主要步骤和注意事项；（2）会用描点法画反比例函数图像；（3）理解反比例函数的图像与性质。
过程与方法(1)学生通过自己动手，列表，描点，连线，提高学生的作图能力；(2)通过观察反比例函数图像,分析、探究反比例函数的性质，培养学生探究、归纳及概括的能力。
体会数形结合思想和分类讨论思想。
情感与态度通过对本节课的学习，让学生感受双曲线对称美，有限和无限思想，激发他们对数学学习的兴趣；教学重、难点分析基于本节课的教学内容和教学目标，结合学生学情。
确定本节课的重难点如下：重点：用描点法画反比例函数图像，理解反比例函数的性质。
难点：用描点法画反比例函数图像，理解反比例函数的性质。
教法学法分析学法：学生已经研究了一次函数、二次函数，对研究函数的图像和性质的思想方法有所了解，学生可以通过类比的方法学习，实现知识的迁移。
人教版九年级数学下册《26.1.2 反比例函数的图象和性质(1)》优秀教学设计
人教版九年级数学下册《26.1.2 反比例函数的图象和性质（1）》优秀教学设计一. 教材分析人教版九年级数学下册《26.1.2 反比例函数的图象和性质（1）》这一节，是在学生已经学习了正比例函数的基础上进行教学的。
本节内容主要介绍反比例函数的图象和性质，通过实例让学生理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象特征和性质，为后续的反比例函数应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于正比例函数的概念和性质已经有了一定的了解。
但是，反比例函数相对于正比例函数来说，概念较为抽象，学生可能难以理解和接受。
因此，在教学过程中，需要通过具体实例和实际操作，帮助学生理解和掌握反比例函数的图象和性质。
三. 教学目标1.让学生通过具体实例，理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象特征和性质。
2.培养学生运用函数知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质的理解。
2.反比例函数图象的特征和性质的掌握。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握反比例函数的图象和性质。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.反比例函数的图象和性质的相关案例。
3.学生分组合作学习的任务单。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾正比例函数的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）利用PPT展示反比例函数的图象和性质，让学生通过观察和分析，发现反比例函数的特点。
3.操练（20分钟）让学生通过实际操作，绘制反比例函数的图象，进一步理解和掌握反比例函数的性质。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固反比例函数的知识，提高解题能力。
5.拓展（10分钟）让学生运用反比例函数的知识，解决一些实际问题，提高学生的应用能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，让学生明确反比例函数的图象和性质。
人教版数学九年级下册-26.1.2反比例函数的图象和性质-教案(3)
教师姓名单位名称填写时间2020.8.18 学科数学年级/册九年级上册教材版本人教版课题名称反比例函数中比例系数k的几何意义难点名称利用反比例函数解析式中k的几何意义解决图形面积问题难点分析从知识角度分析为什么难理解并应用反比例函数解析式中k的几何意义，需要建立函数解析式和图像之间的联系，用数形结合和转化的思想方法解题，要求较高。
从学生角度分析为什么难学生能够熟练的进行抽象逻辑思维，但是数形结合用解析式来进行计算从而得到结论的能力比较弱。
难点教学方法1.通过多媒体直观演示让学生充分理解反比例函数解析式中k的几何意义。
2.利用双曲线上图形的各种变式来提高利用反比例函数解析式中k的几何意义解决图形面积问题。
教学环节教学过程导入1、如图，点P是双曲线y=k/x上任意一点，过点P向x轴、y轴作垂线，这两条垂线与x轴、y 轴围成的矩形PAOB面积怎样求？2、如图,则直角三角形OAP和直角三角形OQB的面积是多少？结论：过双曲线y=k/x上任意一点，向x、y轴分别作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。
从这一点向一个坐标轴作垂线，与原点连线所得到的直角三角形的面积等于|k|/2。
设计意图：理解反比例函数比例系数k的几何意义，体会数形结合的思想方法知识讲解（难点突破）3、如图，点A在双曲线y=1/x上，点B在双曲线y=-2/x上，且AB平行于x轴，C、D在x轴上,若四边形A B C D为矩形，求它的面积。
（反比例函数对应的两个矩形的面积和是3）变式：如图，点A在双曲线y=1/x上，点B在双曲线y=3/x上，且AB平行于x轴，C、D在x轴上，若四边形A B C D为矩形，求它的面积。
（反比例函数对应的两个矩形的面积差是2）4、反比例函数y=3/x和y=6/x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，求三角形AOB的面积.（反比例函数对应的两个直角三角形的面积差是1.5）变式：反比例函数y=2/x(x>0)和y=-4/x(x>0)的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于P、Q两点，连接OP、OQ，求三角形POQ的面积.（反比例函数对应的两个直角三角形的面积和是3）设计意图：通过两道例题的学习，进一步加深对比例系数k的几何意义的理解，学会把反比例函数的面积问题转化成与双曲线有关的最基础的矩形或三角形问题。
人教版九年级数学下册第二十六章《反比例函数面积问题》课件
y轴的垂线，所得矩形的面 积S为定值，即S=|k|.
OA
x
思考
图中的这些矩形面积相等吗？
结论：
学科网
图中的这些矩形面积相 等，都等于|k|
y
y k
x
O
x
探究2
如图,点P(m,n)是反比例函数 y k 图象上
x
的一点,过点P向x轴作垂线,垂足是点A，则
k
S△PAO=____2____.
y
B P(m,n)
PO
x
练习 由图形的面积求解析式 三变：如图，已知点A在反比例函数的图象上， AB⊥x轴于点B，点C为y轴上的一点，若△ABC
6
的面积是3，则反比例函数的解析式为_y_=__x__．
y
CA
OB x
例题讲解
例1. 如图，正比例函数 yk(xk0)与反比例函 数 y 1 的图象相交于A、C两点，过A点作x轴
OABC对角线的交点D，则矩形OABC的面 积为——8—— 。
F E
当堂检测
8.如图，已知双曲线 y
k x
(x＞0)经过矩形OABC
边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF
的面积为2，则k＝__2___.
当堂检测 变式一：如图，双曲线 y k (k 0)经过矩形OABC
x
的边BC的中点E，交AB交于点D，若梯形ODBC
x
点P1,P2,P3,P4,它们的横坐标依次为1,2,3,4，分别
过这些点作x轴，y轴的 y y 2 （x>0)
垂线，图中所构成的阴
x
影部分的面积从左到右 依次为S1，S2，S3， 则S1+S2+S3=__1_._5____.
人教版九年级数学 下册 26.1 反比例函数 课件(共24张PPT)
（2）位于第二、四象限的是 ① ③ ．
想一想：
（1）上述四个函数中，k 值分别是多少？
① 2
②1 3
③ 10 ④ 3
7
100
（2）当 k＞0 时，反比例函数图象的两个分支位于第几象限？
（3）当 k＜0 时，反比例函数图象的两个分支位于第几象限？
例题探究（三）
问题2 在反比例函数① y 2 ； ② y 1 ；
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请 直接写出解析式． 问题2 某住宅小区要种植一块面积为 1 000 m2的矩 形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽 x（单位：m） 的变化而变化． 问题3 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人 均占有面积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n（单 位：人）的变化而变化．
2．函数图象经过原点吗？为什么？ 3．当自变量从小到大变化时，图象如何变化？与问 题 3 中的有什么不同？为什么会有这样的变化？ 4．如何描述函数的性质？
例题探究（二）
问题5 反比例函数 y 6 与 y 6 的图象有什么
x
x
共同特征？有什么不同点？不同点是由什么决定的？
问题6 k 取不同的值时，上述结论是否适用于所有 反比例函数？
例题探究（二）
问题2 画出反比例函数 y 6 和 y 12 的图象．
x
x
函数图象画法 描点法
列 表
描 点
连 线
x … -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2
y6 x
…
-0.5
-1
-1.5 -2
-3
-6
6
3
y 12 … x
-1
-2 -3
26.1.2反比例函数的图像与性质 (教学课件)- 初中数学人教版九年级下册
典例精析例4如下图，它是反比例函数 图象的一支，根据图象，回答下列问题：(1)图象的另一支位于哪个象限?常数 m 的取值范围是什么?(2)在这个函数图象的某一支上任取点 A(x₁,y₁) 和点B(x₂,y₂), 如果x₁>X₂, 那么 y₁ 和 y₂有怎样的大小关系? o A
3.反比例函 的图象如图所示，则k<_0, 在图象的每一支上，y 随 x 的增大而增 大4.如图，M 为反比例函 图象上的一点，MA 垂直y轴，垂足为A,△MAO 的面积为2,则k的 值 为 4 .
yA M0
642o5-2-6
5X
课堂练习
3
课堂练习5.已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函 图象交于点A(3, 司),点B(14-2a,2).(1)求反比例函数的解析式；(2)若一次函数图象与y 轴交于点C, 点 D 为点C 关于原点O 的对称点，求△A CD 的面 积 . yAC ABO X
可得 解 故一次函数的解析式为
●
课堂练习∵当x=0 时 ，y=6,C(0,6)..OC=6. ∵点D 为点C关于原点O 的对称点， ∴CD=20C=12.
板书设计反比例函数的图象和性质1.反比例函数的性质：反比例函 的图象，当k>0 时，图象位于第一、三象限， 在每一象限内，y 的值随x的增大而减小；当k<0 时，图象位于第二、四象限，y 的 值随x的增大而增大.2.双曲线的两条分支逼近坐标轴但不可能与坐标轴相交。3.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形.4. 在反比例函数 的图象上任取一点，分别作坐标轴的垂线(或平行线), 与 坐标轴所围成的矩形的面积S矩形=|k|.
典例精析解：(1)反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或 者位于第二、第四象限.因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另 一支必位于第三象限.因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以m-5>0解 得 m>5.( 2 ) 因 为m-5>0, 所以在这个函数图象的任一支上，y 都随x 的增大而减小，因此当X₁>X₂ 时 ，y₁<y₂.
人教版义务教育教科书《数学》九年级下册 26.1.2 反比例函数的图象和性质(共37张PPT)
A、y1>y2>y3
B、y2>y1>y3
C、y3>y1>y2
D、y3>y2>y1
2.考察函数y 2 的图象,当x=-2时,y= -1___ ,当x<-2
x
时,y的取值范围是 _-1_<__y_<0 ;当y﹥-1时,x的取值范围是
_____X_<_-_2_或x.>0
个分支分别在第一、第三象限，求m的值？
解：因为反比例函数y=mxm²-5 ，它的
两个分支分别在第一、第三象限
所以必须满足｛mm²-﹥5=0
-1
y
得 m =2
y=mxm²-5
o
x
9、已知圆柱的侧面积是10πcm2,若圆柱底面半径为rcm,
高为hcm,则h与r的函数图象大致是( C ).
h/cm
h/cm
4 y 的图象上，比较y1、 y2 、y3的大
x
解：∵k=4>0 ∴图象在第一、三象限内，每一象限内y随x的增大而减小 ∵x1<x2<0 , x3=3>0, ∴点A(-2,y1)，点B(-1,y2)在第三象限
象限。 ∴y3>0, y2 <y1<0 即y2 < y1 < 0< y3
点C(3,y3)在第一
性 的两个分支分别在第 的两个分支分别在第
质
一、三象限，在每个 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 象限内，y随x的增大
而减小.
而增大.
归纳：反比例函数的图象和性质：
1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表：
y= No Image
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教育资源
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与反比例函数有关的面积问题
——反比例函数系数的几何意义及应用
教
学
目
标
知识技能：掌握反比例函数中有关面积问题常见的结论和方法，并会利用这些结论
和方法进行有关面积问题的计算.
数学思考：在探究中经历观察、推理、探究、应用等活动，发展学生的合情推理能
力和发散思维能力。
解决问题：让学生利用反比例函数中的基本图形的面积不变性来解决复杂图形的面
积问题，学会以“不变”应“万变”的解题方法.
情感态度：学生从简单到复杂的探究过程中，培养独立思考问题的习惯和团结互助
的精神；在合作交流中，获得成功的体验，增强学好数学的信心.
重
点
难
点
重点：利用反比例函数中有关面积问题常见的结论和方法进行面积问题的计算。
难点：求复杂图形的面积及解题方法的归纳.
教
学
过
程
问 题 情 境 师 生 行 为
一、 提出问题，探究新知 1.在平面直角坐标系有一点A（-6.5，-2），过点A向x轴、y轴作垂线，垂足分别为B、C，则ABOCs矩形=____ 2. 点A是双曲线y= 上的任意一点，过点A向x轴、y轴作垂线，垂足分别为B、C，则ABOCs矩形=____ 你发现了什么规律？你能证明你的结论吗？ 连接矩形对角线OC，你还能发现什么规律？
问题（1），学生抢答。
问题（2）学生独立思
考，有困难的同学可进
行小组交流.
师生互动，归纳并证明
规律。
二、 初步应用，理解新知 A、C、E是双曲线y= 上的任意三点，分别过A、C、E三点向x轴、y轴作垂线，垂足分别为B、D、E， （1）三个三角形的面积有什么关系？ （2）你还能找到面积相等的图形吗？ （3）若把三个角形换成三个矩形，（1）（2）中的结论还成立吗？若S3=2，则S1+S2=________
教师出示练习
学生独立思考并解答.
7
x
7
x
教育资源
教育资源
教
学
过
程
三、 四、 拓展延伸，应用新知 变式训练1：点Ａ是反比例函数y= 图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，点B在y轴上. （1）求△ABC面积； （2）若过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，则△ABC面积是多少? （3）若把（2）的三角形变为平行四边形，则这个平行四边形的面积是多少？ 变式训练2：已知直线y=kx与双曲线y= 交于点A、B， 过点B作y轴的垂线，垂足为点C，连接AC. （1） （2） 求△AOC的面积； （3） （4） 求△AOB的面积； （5） 作AD⊥y轴，连接BD，求四边形BCAD的面积； （6） 作BE、AF⊥x轴，连接ED、CF，求六边形的面积. 通过求以上图形的面积，你有哪些体会？ 变式训练3： (1)如图： △AOB的面积为4，反比例函数的解析式____； (2)如图：矩形的面积为4，反比例函数的解析式______； (3)如图： △ACB的面积为4，反比例函数的解析式____； (4)过反比例函数图象上的任意一点向两条坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为4，则反比例函数的解析式是_______.
（1）题，学生独立思
考后小组交流，教师巡
视指导，并参与小组的
交流。（2）（3）题学生
独立思考后，师生互
动，达成共识.
（1）题，学生独立思
考后进行小组交流，教
师巡视指导。（2）（3）
（4）题学生独立思考
后解答.
教师引导学生对解题
方法进行总结.
学生抢答，教师小结注
意事项.
y
x
B
O
A
y
x
C
B
O
A
y
x
C
O
A
B
7
x
7
x
教育资源
教育资源
四、 归纳总结，升华新知 在知识与方法方面你有哪些收获？ 学生总结知识与解决
问题的方法.
五、 快乐闯关，反馈新知（见课件） 学生口答
六、 布置作业，巩固新知（见题篇） 课后独立完成.