极限理论的发展及其历史评价
极限思想的产生与发展_学位论文
存档编号赣南师范学院科技学院学士学位论文极限思想的产生与发展系别数学与信息科学系届别 2014 届专业数学与应用数学学号 1020151216 姓名李芳指导老师陈海莲完成日期 2014 年5月 4日目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (2)1.极限思想的产生 (2)2.极限思想的发展 (4)3.极限思想的概念 (5)3.1极限的现代定义 (5)3.2函数极限的性质 (6)3.3数列极限存在的条件 (7)4 极限思想的应用 (8)4.1极限思想在割圆术中的应用 (8)4.2极限思想在开方方面中的应用 (8)4.3极限思想在微积分中的应用 (10)4.4极限思想在解题中的应用 (11)结论 (15)参考文献 (17)致谢 (18)内容摘要：本文主要论述极限思想的产生与发展、极限思想的概念、辩证与剖析及其应用。
极限思想是荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法时产生的，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明，而牛顿，莱布尼兹对极限思想的建立作出了创造性的贡献。
本文最后探讨了极限思想在割圆术、开方、微积分和求解某一点方面的应用。
关键词：极限思想产生发展概念辩证剖析应用Abstract: This paper mainly discusses the origin and development of the limit idea, limit thought concept, dialectical analysis and its application. Limit thought is produced by Holland mathematician Steven improved the method of exhaustion of the ancient Greeks, while investigating the center of gravity when he, with the aid of the geometry, bold use of thinking about the limit, give up reductio ad absurdum proof, and Newton, made creative contribution to establish the Leibniz limit thought. This paper finally discusses the application of limit thought in cyclotomy, prescribing, calculus and solution of a point of.Key words: Limit thought production development concept dialectical analysis application引言数学是对现实世界数与形简洁的、高效的、优美的描述, 是有其内部抽象性和外部有效性的一门学科。
极限理论在高等数学教学中的作用
极限理论在高等数学教学中的作用作者：古力加马力·依斯马义来源：《理科考试研究·高中》2016年第05期在高等数学教学的过程中，想要将微积分理论弄清楚，就必须要将极限理论进行透彻的分析.因此，在某种意义上，对极限理论的理解能够为高等数学的学习打下坚实的基础.极限理论是一种研究事物动态数量关系的方法，它是高等数学理论基础的重要组成部分，是区别初等数学和高等数学的重要标志.极限理论在高等数学中扮演着极为重要的角色，对函数连续的概念、导数和微积分等定义的确定有着十分重要的作用.一、极限理论的发展历程高等数学是现代科学技术中应用最为广泛的一门学科，是现代数学的基础.高等数学要对静态数量关系和动态数量关系进行研究和分析，在这一背景下，极限作为一种研究事物的方法应运而生.在我国，无限分割是最早出现的极限思想，我国数学家刘徽提出了以割圆术的方法来求圆的面积，后来，数学家祖冲之也通过割圆术计算圆的面积，并将圆周率精确到小数点后7位.随着历史的推进，数学家波尔查诺最早提出用极限理论方法在区间上进行连续的方法，而经过数学家维尔斯特拉斯和柯西的努力，极限理论摆脱了几何直观和想象，变得更加成熟，逐渐形成了现在一系列的极限理论.二、极限理论在高等数学教学中的作用1.高等数学的重点内容中均包含着极限思想在高等数学的领域中，微积分无疑是其最核心的内容，而微分和积分的实质就是极限思想.同时，在高等数学其他重要的概念里，函数连续概念和导数的定义都是极限思想给出.可以说，高等数学的重点内容中均包含着极限思想.（1）函数连续概念. 函数连续的概念是由极限思想定义的.如果简单地从图形上来看，连续函数就像是坐落在坐标系上的连绵山脉.但是这种直观的感受并不精确，直到数学家柯西和维尔斯特拉斯建立了基本的极限理论，函数连续的概念才得到了精确的定义.可以说，函数连续概念也是极限理论的一种表现形式.（2）导数. 导数的定义以极限为基础，也是极限理论的一种表现形式.在最初，一位法国数学家在研究极值问题时提出了导数的概念，而在之后的研究过程中，先后有德国数学家和英国数学家在求已知曲线的切线和研究物体运动速度时建立了相同的模型来解决问题.尽管这两个研究课题在形式上并不相同，甚至不是同一个领域的问题，但是他们都可以在极限理论的基础上，利用导数的定义来解决问题.（3）微积分. 积分有定积分、不定积分、多重积分和曲面积分等多种形式，不定积分是利用导数的反运算性质来推导的定义，而导数又是以极限理论为基础的.因此，不定积分也是极限理论的表现形式.另外，其他形式的一些积分形式都是由极限直接定义的.例如定积分的研究，数学家在研究曲边梯形的面积和变力作功时，引入了定积分的定义，它是一种经过“分割，近似求和，取极限”的求解方式，是一种较为特殊的极限.2.极限使高等数学的各部分得到统一在高等数学的学习中，极限方法是一种研究数学变量问题的基本方法，它使人们从有限认识到无限认识.在某种意义上，极限理论体现了常量和变量的对立统一，是一种将客观世界的量变问题转换成质变过程的理论，它可以将函数连续概念、导数和微积分等高等数学的各部分进行统一处理.例如，在正项级数和极限的关系中，正项级数的序列成单增态势，因此根据单调有界函数必有极限的性质，在进行项级数讨论时，学生可以利用取绝对值的方法，将其转化成正项级数或非负项级数，并解出正确答案.这说明级数与无穷限广义积分之间可相互转换.由此可见，在高等数学学习的各个部分，都可以在极限的本质“其差值为无穷小量”的基础上来进行定义的转换，极限理论的出现和使用，使高等数学的各部分有机地统一在一起，更好地帮助学生的学习和理解.综上所述，极限理论是高等数学教学中最基础的知识，也是高等数学中最重要的内容.极限理论为微积分的教学打下了坚实的基础，它是一门以极限理论为主要研究工具来研究函数的学科.因此，教师在教学过程中要注重对学生极限思考的锻炼，帮助学生理清极限理论的重要概念，使学生能够掌握极限理论的实质性问题，从而更好地强调极限理论在高等数学中的地位.。
极限思想的产生与发展
毕业论文题目极限思想的产生与发展专业数学教育院系数学系学号 131002145姓名指导教师二○一三年五月定西师范高等专科学校2010 级数学系系毕业论文开题报告专业班级：数学教育姓名：指导教师：目录内容摘要：................................................................................................................................... (4)关键词： (4)引言： (5)一、极限思想的产生 (6)二、极限思想发展的分期 (6)（一）极限思想的萌芽时期 (6)（二）极限思想的发展时期 (8)（三）极限思想的完善时期 (8)三、极限思想与微积分 (9)（一）微积分的孕育 (10)（二）牛顿与微积分 (11)（三）莱布尼茨与微积分 (12)（四）微积分的进一步发展 (13)结束语 (14)参考文献 (15)致谢 (15)内容摘要本文综述了极限思想的产生和发展历史。
极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。
关键词极限；无穷；微积分引言极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。
极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。
在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况。
纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善。
而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具。
极限理论的历史分析
极限理论的历史分析
刘逸
【期刊名称】《自然辩证法研究》
【年(卷),期】1992(8)10
【摘要】极限理论为数学基础的重要组成部分,也是数学中的主要内容之一。
因此,对于它的诞生、发展与建立完善的理论体系,应有清晰的了解:这实质上也是对于整个数学基础形成的历史认识。
本文将从东、西方不同的历史渊源来研究和分析它们各自形成的过程及其对世界数学发展的影响。
【总页数】10页(P10-19)
【关键词】数字;极限理论
【作者】刘逸
【作者单位】徐州师范学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O211.4
【相关文献】
1.马克思的资本的历史极限理论研究 [J], 邵腾;张翔
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3.极限理论的历史遗憾 [J], 敦冬梅;张明虎
4.基于极限理论的数学分析与极限求解方法 [J], 高霞
5.基于极限理论的数学分析与极限求解方法 [J], 王佳欣;
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极限思想的产生与发展
极限思想的产生与发展内容摘要：极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用无处不在，合理应用极限思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行探究。
关键词：极限思想产生发展概念目录第一章极限思想的产生与发展 (1)1.1极限思想的产生 (1)1.2极限思想的发展 (1)1.3极限思想的完善 (4)1.4 极限的概念 (4)1.5极限思想的思维功能 (5)结论 (19)参考文献 ................................................. 致谢 (21)极限思想的产生与发展1、极限思想的产生极限思想的产生，是社会发展，科学进步的客观需求。
是人在探索改造自然过程中逐渐形成的一新的思想方法。
极限的思想可以追溯到古代，在《庄子·天下篇》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。
这样一直进行下去,留下来的木棒越来越短,可以再分的部分越来越小,一直到无穷小不可以再切割,但永远不会消失。
公元前5世纪，有关无穷小的概念就已经作为希腊人关于什么是世界的设想而进入了数学思潮，而希腊数学家所普遍接受的观点则是阿拿萨哥拉提出的：“在小的当中不存在最小的，但总有更小的”。
对于以严密著称的古希腊来说，古希腊学者观念上不能摆脱对无限的恐惧，而是借助于其它的方法来完成有关的证明。
刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。
”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的。
极限理论在高等数学中的重要性及发展趋势分析
极限理论在高等数学中的重要性及发展趋势分析引言高等数学是一门重要的学科，对于各个领域的科学研究和工程技术应用都具有重要的支撑作用。
而极限理论作为高等数学的核心概念之一，对于数学的发展和应用具有举足轻重的地位。
本文将探讨极限理论在高等数学中的重要性以及其发展趋势。
一、极限理论的重要性1. 极限理论是高等数学的基石极限理论是高等数学的基础理论之一，它为微积分、函数分析等学科奠定了坚实的基础。
在微积分中，极限理论是导数和积分等概念的基础，使得我们能够对曲线、曲面和函数等进行严密的分析和推导。
2. 极限理论推动了数学的发展极限理论的提出和发展推动了数学的发展，提供了一种关于无限和无穷小的精确描述方法。
它不仅丰富了数学领域的概念和方法，还为其他学科的研究提供了数学分析的工具，如物理学、经济学等。
同时，极限理论也催生了众多新的数学分支和理论，如实变函数、泛函分析等。
3. 极限理论在工程和科学研究中的应用极限理论的应用远不止于数学的领域，它在工程技术和科学研究中有着广泛的应用。
例如，在工程设计中，通过极限理论可以对结构的稳定性和安全性进行分析，帮助工程师设计出更可靠的结构。
在物理学、生物学和化学等科学研究中，极限理论也被广泛应用于模型建立和数据处理等方面。
二、极限理论的发展趋势1. 深入研究极限理论的数学基础随着数学研究的深入，人们对极限理论的数学基础进行了更深入的研究。
数学家们提出了各种各样的极限理论、收敛理论和测度论等，不仅为高等数学提供了更精确的基础，也为数学的发展提供了新的思路和方法。
2. 推广极限理论在无穷维空间的应用随着数学领域的不断发展，无穷维空间的研究成为了一个热点领域。
在无穷维空间中，极限理论的应用具有特殊的意义，它能够描述函数序列和泛函序列的收敛性质。
因此，进一步推广和应用极限理论在无穷维空间中将成为未来的发展趋势之一。
3. 结合计算机技术的应用和发展如今，计算机技术的飞速发展为数学的研究和应用带来了巨大的便利。
极限思想毕业论文
极限思想毕业论文目录摘要 (I)Abstract (II)第1章极限思想的形成与发展 (1)1.1 极限思想的萌芽 (1)1.2 极限思想的发展 (1)1.3 极限思想的形成 (2)1.4 极限思想的完善 (3)第2章极限思想在数学分析中的应用 (3)2.1 极限思想在概念里的渗透 (3)2.2极限思想在导数中的应用 (4)2.3 极限思想在积分中的应用 (5)第3章证明极限存在以及求极限的方法 (6)3.1 极限的四则运算法则和简单求极限技巧 (6)3.2 用迫敛性准则求极限 (7)3.3 用泰勒公式求极限 (7)3.4 用等价无穷小求极限 (8)3.5 用洛必达法则求极限 (8)3.6 用微分中值定理和积分中值定理求极限 (9)第4章总结 (10)参考文献 (11)致谢 (12)第1章 极限思想的形成与发展极限思想作为一种重要的数学思想，在整个数学发展史上占有重要地位，是研究数学、应用数学、推动数学发展必不可少的有力工具.本文通过论述极限思想的发展过程以及它在诸多数学分支中的应用来说明极限在数学中的重要地位.按照极限思想的萌芽、发展、形成与完善过程，可将它分为4个阶段.1.1极限思想的萌芽古希腊时代欧多克斯提出的“穷竭法”和芝诺的“二分法”可以说是极限理论的雏形.在我国，极限思想的萌芽最早可以追溯到战国末期，在哲学著作《庄子.天下篇》中就引进了惠施的著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，它可以写成一个无穷等比递减数列： ，，211⋯⋯，，，，n 32212121当n 无限增大（n=1,2,3，……）时， ……可取无限的小数，它的极限为零，这样借助实物，极限的概念便被形象的表达出来了.然而在我国最早创立极限概念，并用它来解决实际问题的却是数学家刘徽.他指出：“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”并最终利用这极限思想求得了圆周率的近似值，独立的创造出了“割圆术”.然而当时人们在直观上对极限概念有了清楚的理解，但由于没有无穷小的概念，因此也就不可能用数学语言准确的描述出极限概念，并且极限思想也没有作为单独的研究对象真正独立出来.这在某种程度上是由于当时的经济状况和生产力水平对数学的要求只停留在对度量和计量有用的范围内决定的.1.2极限思想的发展17世纪以天文学、力学及航海为中心的一系列问题导致了微积分的产生.微积分尽管在实践中非常成功，但它的思想基础——无穷小量在逻辑上却有很多缺陷，被称为“失去了量的鬼魂”，并由此直接导致了第二次数学危机.为了消除危机，许多数学家便主张利用极限的方法为微积分提供论证和说明的工具.于是，他们对极限思想进行了深入研究，其阶段性的主要成绩如下.（1）达朗贝尔“理性的”极限概念达朗贝尔脱下了“微分学神秘的外衣”（马克思语），首次尝试将微分学建立在“理性的”极限观念基础上.他认为“一个量永远不会重合，但它总是无限的接近它的极限，并且与极限的差要有多小有多小”，这样达朗贝尔给出了极限的描述性定义，但这个定义比较模糊，缺乏严密性.（2）罗伊里埃用极限奠定的微积分基础数学家罗伊里埃用极限思想对古希腊的“穷竭法”做了修改，并用极限定义导数，进而由导数来定义微分，排除了无穷小量和00等有神秘色彩的概念和符号.表明极限思想作为微积分基础的正确思想，然而他的缺点是只有单侧极限的概念.（3）柯西的变量极限概念19世纪大数学家柯西抛弃了物理和几何直观，通过变量首次给出了建立在数和函数上的极限定义：“当一个变量逐次所取的值无限趋向于某一数值，最终使变量的值与该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有 其他值得极限”.柯西的变量极限概念的提出，标志着极限概念向“算术话”迈出了决定性的一步，是数学史上的重大创新之一.此外，柯西还把无穷小定义为一个极限为零的变量，从而把极限原理和无穷小量有机的联系在一起.在此基础上，柯西又给出了函数的连续性、导数和微分的概念，特别是他首先给出了定积分作为和式极限的定义.然而，虽然柯西把纷乱的极限概念理出了头绪，为精确极限定义的产生做出了开拓性的工作，但他的工作任然不够严格、精确.例如，他在定义中提到的“无限趋近”和“要多小有多小”只是一种直观的定性语言，而不是一种精确的数学语言.1.3极限思想的形成在柯西关于变量极限的直观动态基础上，德国数学家维尔斯特拉斯从静态的观点出发，把变量解释成一个字母（该字母表示某区间的数），给出了严格定义的极限概念，即他本人在1856年首先提出的现今广泛采用的δε—极限定义：（1）N —ε的数列极限定义：{}是一个数列设n a ，a 是一个确定的数，若对于，,a ,,0εε<->∃>∀a N n N n 时，有当{}的极限为数列则称n a a .(2)δε-的函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心领域),(00δ'x u 内有定义，A 是一个确定的数，若对任给的ε，总存在某个正数)(δδ'<，使得当δ<-<00x x 时都有ε<-A x f )(，则称函数f 当x 趋向于0x 时极限存在，且以A 为极限.这样极限的δε-定义便用静态的有限量刻画了动态的无限量，不仅排除了无穷小这个有争议的概念，而且排除了柯西在定义函数的连续性中用到的“变为并且保持小于任意给定的量”这种说法的含糊性，这标志着清晰而明确的极限概念的真正建立.此外，维尔斯特拉斯还用这一方法定义了连续函数、函数的导数和积分的概念，使微积分的定义摆脱了几何直观所带来的含糊观念最终成了今天的形式.1.4极限思想的完善尽管用ε-语言定义的极限概念非常严密，并以占领微积分课堂100年之久，但他复杂的课堂逻辑结构却成为微积分入门难以理解和掌握的难点之一.近年来众多的专家学者在该研究领域取得了突破性的进展.特别是广州大学张景中院士提出了和ε-语言同样严格但易于被初学者所掌握的D-语言极限.(1)D-数列极限定义：若存在恒正递增无界数列{}n D ，使得对一切数列n ，总有nn D a a 1<-，则aa n n =∞→lim .(2)D-函数极限定义：设函数f(x)在0x 的空心领域)(00x u 有定义，A x f x x =→)(lim 0是指存在零的某右领域),0(δ内的恒正递增无界函数)(1h D ，使得当δ<-<00x x 时，总有)(1)(0x x D A x f -<-.从极限概念的“ε-语言”到“D-语言”的过程其实就是不断简化ε-语言的逻辑结构，化逻辑为运算的过程，他的基本思想是用简单的单调过程刻画一般的，复杂的极限过程，并且在刻画极限的过程中ε-语言与D-语言还具有实质的等价性.D-语言的提出，为数学分析课程的教学改革指出了一个新的方向，也为极限思想的进一步完善开辟了道路.第2章 极限思想在数学分析中的应用2.1极限思想在概念里的渗透极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限，在几乎所有的数学分析著作中都是先介绍函数理论和极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、极数的敛散性，重积分和曲线积分与曲面积分的概念.（1） 如以函数()y f x =在点0x 连续的定义.记0x x x ∆=-称为自变量x （在点0x ）的增量或改变量，设00()y f x =，相应的函数y （在点0x ）的增量记为0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-，可见，函数()y f x =在点0x 连续等价于0lim 0x y ∆→∆=，是当自变量x 得增量x ∆时，函数值得增量y ∆趋于零时的极限.（2）函数()y f x =在点0x 导数的定义.设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限000()()limx x f x f x x x →--存在，则称函数f 在点0x 处可导，令0x x x =+∆，00()()y f x x f x ∆=+∆-，则可写为0000()()limlim x x x f x x f x yx x→→+∆-∆==∆∆()0'f x ，所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比yx ∆∆的极限.（3） 函数()y f x =在区间[],a b 上的定积分的定义。
极限的产生与应用解读
目录摘要........................................- 2 -Abstract ......................................- 3 -引言..........................................- 4 -1．极限思想的产生及发展.......................- 4 -1.1极限思想的产生........................................... - 4 -1.2极限思想的发展........................................... - 5 -1．3极限思想的完善.......................................... - 6 -2、极限思想的概念及其性质.....................- 7 -2.1极限的现代定义........................................... - 7 -2.2函数极限的性质........................................... - 7 -3 极限思想在解题中的应用......................- 7 -3.1在开方方面的应用......................................... - 7 -3.2 在求某一点的应用........................................ - 9 -3.4 在解析几何中的应用..................................... - 12 -4 探索极限思想在各个领域的应用............... - 15 -4.1在物理学中的应用........................................ - 15 -4.2 在化学中的应用......................................... - 16 -4.3在建筑学中的应用........................................ - 17 -4.4 在宏观经济学中的应用................................... - 17 -4.4.1计划经济.......................................... - 18 -4.5 在微观经济学中的应用................................... - 20 -4.5.1完全竞争市场...................................... - 20 -参考文献..................................... - 22 -致谢......................................... - 24 -摘要极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。
极限平衡理论的发展状况与应用
极限平衡理论的发展状况与应用摘 要：自从FKotte 于1903年首先建立了散体的平面极限平衡方程或塑性平衡滑移线方程以来，后人沿着Kotter 开辟的方向，探求极限平衡课题的解。
LPrandtl 首次求得在无重量条形地基极限平衡课题中的封闭解。
地基极限承载力是岩土工程稳定性分析的重要问题在极限平衡理论研究地基承载力方面有着重要的作用。
本文列举出地基承载力的一些计算方法。
关键词：极限平衡理论；土力学；地基稳定性；地基承载力；计算公式一、极限平衡理论的发展状况土体极限平衡理论又称为土的塑性平衡理论，这一理论研究土体在外荷载作用下达到极限平衡状态或塑性平衡状态时的应力分布场与塑性应变速度的分布场，借以决定土体在已知边界条件下的极限荷载。
在研究土体的极限平衡状态课题时，土的强度或破坏准则是重大影响因素。
饱和土体中任何一点达到极限平衡状态时，土的Mohr-Coulomb 强度表达式为:ϕστtg c n f +=土的强度条件是由土体剪切破坏时的应力应变条件决定，而土体达到剪切破坏以前的剪切特性或应力应变特性则没有反映，实际上，在与剪切特性直接有关的土体稳定性研究中，剪切破坏以前及破坏时的应力应变特性都是重要的。
甚至，可以说剪切破坏以前的应力应变更具有实际意义。
自从FKotte:于1903年首先建立了散体的平面极限平衡方程或塑性平衡滑移线方程以来，后人沿着Kotter 开辟的方向，探求极限平衡课题的解。
LPrandtl 首次求得在无重量条形地基极限平衡课题中的封闭解。
前苏联学者索科洛夫斯基首先应用特征线数值解，成功地取得了一系列散体极限平衡课题的解，后来，别列赞切夫等人又相继发展了这方面的理论。
近几十年来，又发展起一种称为极限分析法求解散体极限平衡课题的新理论方法。
这一理论认为，滑移线法只满足了应力平衡条件和强度条件，没能说明极限平衡状态下土体能否真正发生滑动变形问题，也没能说明滑动边界周围散体的应力状态。
极限的产生、发展与应用
学号密级******本科毕业论文极限的产生、发展与应用学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：***指导教师：***二○一五年五月BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITYGeneration, Development andApplication of LimitCollege :School of MathematicsSubject :Mathematics and Applied MathematicsName : ***Directed by : ***May 2015郑重声明本人呈交的学位论文,是在导师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,所有数据、图片资料真实可靠.尽我所知,除文中已经注明引用的内容外,本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容.对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体,均已在文中以明确的方式标明.本学位论文的知识产权归属于培养单位.本人签名：日期：摘要本文通过论述极限的产生、发展、应用等方面解释了极限思想,重点介绍了极限在高等数学方面的应用.微积分是以极限为基础的,因而应用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性等概念.为今后更好的学习微积分打下坚实的基础.关键词：极限;产生;发展;应用;微积分ABSTRACTThe through discusses the limit of the emergence, development and application of explains limit thought, introduced with emphasis the application of limit in higher mathematics. Calculus is based on the limit, and the limit of the thought method is continuous function, derivative and definite integral, series convergence and divergence of concept. To lay a good foundation for the future to better learning calculus.Key words : The limit;production;development;application;calculus目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章引言 (1)第2章极限的产生和发展 (3)2.1极限的产生 (3)2.1.1中国早期极限思想 (3)2.1.2外国早期极限思想 (4)2.2 极限的发展 (5)第3章极限的应用 (7)3.1极限的早期应用 (7)3.2极限思想在高等数学教学中的应用 (7)3.2.1极限思想在微积分概念中的体现. (8)3.2.2极限思想在微积分解题中的应用 (9)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)第1章 引言极限是整个微积分教学中的理论基础,它同时又是极限理论中的基本概念,对于极限理论的理解和掌握的熟练程度,将直接影响到后续数学课程的学习,尤其是对微积分的学习.极限理论是从初等数学到高等数学的重要转折点,极限概念描述的变量是：从有限到无限、从近似到精确、从量变到质变的哲学辩证过程,这里所描述的变量的概念与初等数学中的变量的概念有着非常大的区别,因而对学生来说掌握起会有一定的困难,但是如果能从极限发展的历史中了解极限思想和极限理论的形成过程,这对于我们弄清极限概念的描述和逻辑表述形式以及对极限理论的理解、掌握和应用会起到至关重要的作用.极限包括有：数列极限和函数极限.当把数列看成是以自然数为自变量的函数时,数列极限也就被看作是函数极限.所以现代数学对数列极限和函数极限是这样定义的:设{}n a 为实数数列,a 为定数.如果对于给定的任意数0>ε,总存在N (自然数),使得n>N 时,ε<-a a n 恒成立,称数列{}n a 的极限是a ,记作a a n z n =→lim 设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A ,对于任意给微积分的创立是世界数学史上最大的事件之一,就是十七世纪英国的牛顿和德国的莱布兹以其卓越的天才,明确地认识到求积问题和作切线问题之间的互逆关系,从而真正建立了微积分的基本定理,并且系统地总结出一套比较准确的关于无穷小的算法,这的确算的上是微积分发展史上的头等重大的事件.但作为微积分基础的极限论的起源,我们可以追溯到春秋战国时期.早在春秋战国时期也就是公元前770年到公元前前221年，我国道家学派的代表人物庄子就有了极限思想,《庄子》“天下篇”中曾记载说,把一尺长的捶,每天取下前一天所剩的一半,照这样重复的不断取下去,我们永远也不可能把整个捶取完.这个具体的例子反映了我国古人对极限的一种思考,它不但表达了我们祖先的极限思想,也为我们提供了一个“无穷小量”的实际例子.这个经典的论断,至今在微积分的教学中还经常被使用.极限理论在高等数学中占有非常重要的地位,以极限为基础理论发展起来的微积分成为了各学科的一把利剑,解决了数学、物理等各领域中初等数学无法解决的问题,同时，极限思想从上世纪开始成为经济学家的有力工具.第2章极限的产生和发展2.1极限的产生19世纪法国伟大的数学家庞加莱曾经说过,能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人.我们所学的一切数学概念都来自于社会实践,来源于我们的现实生活,这些思想的火花被数学家们捕捉到以后,经过千锤百炼,被提炼成概念.再经过使用、推敲、充实、拓展,不断完善以及实践,最终形成经典的理论.毫无疑问地说,数学中的概念、定理等都会经历这个过程.极限也是社会实践的产物.极限思想的起源，我们可以追溯到古代,比如：刘徽的割圆术、古希腊人发现的穷竭法、阿基米德的圆周率计算等等,这些都蕴含着古代朴素的、直观的极限思想.古代朴素的极限思想主要是指：先通过整体细分,然后按照某种规律或发展趋势逼近终极状态,最后通过近似获得整体值的一种思想.2.1.1中国早期极限思想在中国古代数学史上,朴素的极限思想占有非常重要的地位.许多的哲学思想中都渗透着“极限思想”的光辉.早在春秋战国时期(公元前770一前221)，我国道家学派的代表人物庄子，在他的《庄子》“天下篇”中是这样记载的,一尺长的木棍,第一天取掉它的一半,还剩下它的二分之一尺,第二天再在这剩余的二分之一尺中在取掉一半,还剩下它的四分之一尺…….按照这样的方法一直取下去,木棍的长度会越来越小,但是无论剩余的木棍多小,永远也分不完.以至于到最后木棍长度几乎接近于零,但又永远不会等于零.这就出现了我国早期极限思想.当然在道家学派思想出现以前也曾出现了一些与道家学派不同的关于极限思想的观点.如：墨家观点就与庄子的观点不同,墨家提出一个“非半”的命题.这个命题是这样得出来：将一线段按一半一半地无限分割下去,必将会出现一个不能再分割的“非半”.这个“非半”就是点.墨家由此提出了有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想.这也是早期中国极限思想的火花.而墨家思想与名家关于极限思想的观点也有不同,名家则提出了“无限分割”的思想.名家的命题论述了有限长度“无限可分”思想,墨家的命题指出了无限分割的变化和结果.名家和墨家的讨论,对数学理论的发展具有巨大推动作用.以我们现在的想法看来,先秦诸子中的名、墨两家,对宇宙的无限性以及连续性认识已经非常深刻了,但是在那时候这些认识还是片断的、零散的,然而这些极限思想的萌芽,为极限概念的产生提供了丰厚的沃土.公元3世纪,我国魏晋著名数学家刘徽创立了有名的“割圆术”,当他在注释《九章算术》时,他将极限思想创造性的应用到了数学领域.下面就割圆术的具体方法做以下介绍：一个圆周不断地进行分割,圆周分割得越细,圆内接多边形的边数越多,它的内接正多边形的周长就越是接近该圆周.按照这种思路不断地分割下去,一直到该圆周无法再进行分割为止,当分割到了圆内接正多边形的边数无限多的时候.该圆的周长就与该圆周几乎重合了.通过这种分割方法,刘徽得到了圆内接正3027边形的面积.通过这个过程,他求出了我国最早的圆周率,该圆周率为 3.1416,这个数值也是当时世界上最早的也是最准确的圆周率数据.后来刘徽把这种思想方法推广到了更多的有关圆的计算.刘徽的“割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明,成为人类文明史中不朽的篇章.后来我国数学家祖冲之再次用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位.这种对于某个值无限接近的思想,就为后来建立极限概念打好了基础.在中国数学的发展史上，庄子、墨子、惠施、刘徽等天才数学家的数学研究和成就远远比不上与他们同时期的西方数学家(如：阿基米得、欧几里德等数学家).原因在于我国古代经济的困顿使得只有很少人来学习文化知识,自然学数学的人也就更少了,数学理论研究并没有受到相应的重视.农业社会的经济特点限制了古代人们对自然的探险与对理论的求索,从而也阻止了数学向理性发展的可能.中国几千年的文化,成就了许多的思想家、军事家和文人,其中也不缺少能工巧匠,唯独缺乏用符号与算式演绎事物内在规律和关系的数学家.由于中国古代的数学家们看重实用,因而古代数学只用于计算、测量等方面,并没有上升到理论的高度,因而也没有形成系统的理论体系.中国古代很多思想止于数学大门之外,令人非常惋惜[1].2.1.2 外国早期极限思想尽管刘徽是第一个创造性地将极限思想应用到数学领域的科学家.但是他的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用.古希腊数学之神阿基米德所运用的穷竭法也蕴含了极限思想.直到16世纪时, 荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中,斯泰文改进了古希腊人的穷竭法.他借助几何直观运用极限思想的方法来思考问题, 放弃了古希腊人归谬法的证明. 也就是就这样,荷兰数学家斯泰文在无意中将极限发展成为一个实用概念.2.2 极限的发展极限的理论形成于西方,它的概念发展经历了由缓慢到快速发展的过程.古希腊时期就有了极限思想,古希腊人的穷竭法包含了极限思想.然而在十六世纪以前,关于极限的描述都是零散的、不完整的.直到十六世纪,荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中,他借助于几何直观的方法用极限思想来思考问题,放弃了古希腊数学家用归谬法对极限的证明的方法,虽然斯泰文将极限概念向前推进了一步,但是极限思想仍只停留在思想的层面,并没有形成系统的极限理论体系.数学的发展与当时的社会背景密切相关,此时的欧洲处于资本主义萌芽时期, 生产力发展和技术中存在着大量的问题, 只用初等数学的方法已没有办法解决这些问题,所以迫切地需要数学家们突破只研究常量的传统范围,希望他们能够提供用以描述和研究运动、变化过程的新方法.正是因为这样的社会背景,加快了极限的发展、完善与微积分的建立.同时,微积分也形成系统的理论体系.进入十七世纪后,由于极限的没有准确的概念,所以牛顿在建立微积分的过程中,也就无法确定无穷小的身份.在利用无穷小进行运算时,无穷小量到底是零还是非零呢？这个问题困扰着牛顿和他同时期的数学家们.数学家们用旧的概念说不清“零”与“非零”的问题,故而极限的本质也没有被触及到.然而真正意义上的极限概念是由英国数学家约翰瓦里斯提出,他认为当变量无限逼近的一个常数时,它们的差是一定是一个给定的任意小的量.在这个过程中,他把两个无限变化的过程表述了出来,揭示了极限思想的核心内容.在十九世纪,法国伟大的数学家柯西在《分析教程》中比较完整的揭示了极限概念和极限理论.他认为当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值时,最终使该变量的值和该定值之差越来越小,这个差值小到一定的程度时,这个定值就是所有其它值的极限.同时,柯西还指出零是无穷小的极限.他的这个思想已经摆脱了常量数学的束缚,走向了变量数学.柯西在此时已经用数学语言能准确的表达极限的思想,但是这种极限思想的表达还是定性的、描述性的.直到后来,经过德国数学家维尔斯特拉斯给出极限的定量的定义,极限的概念才得以完善,这也为微积分提供了严格的理论基础：“如果对任何 0>ε,总存在自然数N ,使得当N >n 时,不等式ε<-A a n 恒成立”.德国数学家维尔斯特拉斯给出的极限概念,深入的刻画了两个“无限过程”之间的联系,排除了以前极限概念中的直观痕迹,将极限思想转化为了数学的语言.他用数学的方法描述完成了从思想到数学的一个转变,使极限思想在数学理论体系中开始占有了属于它的合法地位,在我们高等数学的数学分析书籍中,这种描述一直沿用至今.[2]第3章 极限的应用3.1极限的早期应用在古希腊,“穷竭法”是研究一类数学问题的一种特殊方法.在公元三世纪,古希腊诡辩学家安提丰(Antiphon,约公元前430年)在求圆面积时,提出了用成倍扩大圆内接正多边形边数的方法,并把内接正多边形的面积来表示圆面积,该方法即“穷竭法”.他认为这样圆与内接正多边形的差将被“穷竭”.然而这是一种粗糙的极限论思想,虽然这种方法获得的结果是正确的,但在逻辑上却是有问题的,我们谁也保证不了无限扩大后的正多边形的边会不会与圆周重合? 这个疑问就是古希腊数学家们的“关于无限的困惑”.这种边数加倍的过程可以无限制地进行,不会有所终结,所以说“差”被“穷竭”的说法是不合适的.但用我们用现在极限理论的观点来看这个过程,这个被构成了的“无穷小量”,它在不断趋向于零.尽管如此,“穷竭法”仍然被认为是人类最早运用极限论的观点去思考数学问题的方法.数学家家阿基米德后来用“穷竭法”求抛物线的弓形面积时,发现这种方法似乎还不够严密,因此在获得结果后又用归谬法加以证明,他在逻辑上证明了结果的正确性.他的发现如下：第n 个多边形的面积与抛物线弓形面积有一个差值ns 43⋅,随着n 的增大,这个差值会越来越小,直到这个差值不可能是一个的大于零的常数为止,但这个差值也不可能是小于零的常数,根据归谬法我们可以知道,这个差值为n s 43⋅,并且这个差值只可能等于零.在此时,古希腊数学家阿基米德提出了一个相当于现在无穷小量的概念,为近代的极限理论打下了良好的基础. 我国古代数学早期的极限思想应用历史悠久.公元三世纪,魏晋数学家刘徽的“割圆术”就运用了极限论的初步思想,解决了求圆周率的实际问题.它的“割圆术”与古希腊人的“穷竭法”思路一致,他是中国数学史上第一个将极限思想运用于数学计算的人,这与现在极限论的观点是十分相近的.3.2极限思想在高等数学教学中的应用高等数学主要的研究内容为函数的微分与积分,它的研究方法为极限,这也是高等数学相比于初等数学的显著标志.极限思想贯穿于高等数学的始终,是高等数学的一种重要思想方法,我们可以说没有极限就没有微积分,极限和极限思想在微积分中占据着核心的地位.3.2.1极限思想在微积分概念中的体现.体现一：连续函数概念的建立函数连续与否的概念源于对函数图像的直观分析.例如,函数2)(x x f y ==的图像是一条抛物线,图像上个点相互“连接”而不出现“间断”,构成了曲线“连续”的外观.而符号函数x sgn y =的图像也直观的地告诉我们,它的“连续”在0=x 处遭到破坏,也就是说在这一点出现了间断.用分析的观点来看,函数)(x f 在某点0x 处是否具有“连续”特性,就是指当x 在0x 附近做小变化时,)(x f 是否也在)(0x f 附近做微小变化.借助于已经学过的函数极限工具,就是看当自变量x 趋于0x )(0x x →时,因变量y 是否趋于)(0x f ))((0x f y →定义：设函数)(x f 在点0x 的某个领域中有定义,并且成立)()(lim 00x f x f x x =→ 则称函数)(x f 在点0x 连续,而称0x 是函数)(x f 的连续点.体现二：导数概念的建立导数是微积分中的重要基础概念,导数是函数的局部性质。
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极限理论的发展及其历史评价
极限理论是一个古老而又充满智慧的论断，可追溯到公元前六世纪的古希腊哲学家亚里士多德。
极限理论在中世纪科学家阿基米德的发展下得到了更广泛的应用，以及新数学家斯特拉克斯和费马以及十九世纪几何学家高斯都将其发挥到了极致。
从19世纪到20世纪，极限理论的发展经历了不同的阶段，从几何概念的发展到数学家提出新的解决方案，再到现代数学方法的运用，极限理论一直都在发展和演变，可以说是一个重要的数学概念。
极限理论在不同时代有不同的发展及历史评价。
从古希腊哲学家到中世纪科学家，极限理论被认为是一种有力的数学概念，其发展历程令人瞩目。
有意义的是，古希腊哲学家将其作为他们哲学探索的重要组成部分，以便更好地理解数学世界的结构和本质。
不久，中世纪的科学家阿基米德将极限理论运用于不同的科学领域，如几何学和算术，并在古代发明等方面做出了重大贡献。
十八世纪欧洲新数学家斯特拉克斯以及费马对极限理论也发挥
了重要作用，他们综合了几何与代数的精髓，引入了微积分的概念，有助于加速极限理论的发展。
接着，十九世纪的几何学家高斯将极限理论的发展发挥到了极致，并将几何学融入到极限理论中，使几何与极限理论更加紧密地结合在一起。
当进入二十世纪的时候，极限理论的发展朝着更加崭新的方向发展，数学家们开始提出新的解决方案，以合理地解决极限理论所遇到的种种问题。
例如，拉普拉斯解决了分析函数的问题，泰勒解决了不
定积分的问题，而卡尔菲尔德则提出了极限的范数概念等等。
极限理论的发展也伴随着不同的数学方法的出现，如十九世纪后期相关性分析和解析几何，两十世纪流行的线性代数以及几何学等等。
他们更有效地解决了极限理论中出现的种种细节问题，使极限理论变得更加完善和准确。
从古至今，极限理论受到历史上从各个领域的学者们的高度认可，如古希腊哲学家、中世纪科学家和新数学家以及十九世纪的几何学家等等。
极限理论的发展及其历史评价，向我们说明了历史和发展的重要性，并表明极限理论在数学界的重要性和持续性发展。