高等数学求极限方法理论小结
高等数学极限求法总结
04 极限求法之洛必达法则
洛必达法则基本思想
利用导数求解极限
在一定条件下，通过分子分母分别求导的方式，简化极限运 算。
转化无穷大比无穷大型
对于0/0型或∞/∞型的极限，通过洛必达法则可转化为其他 类型进行求解。
适用条件及典型例题
适用条件
适用于0/0型和∞/∞型的极限，且分子分母 在求导后极限存在或为无穷大。
05 极限求法之泰勒公式法
泰勒公式基本概念及展开式
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个在闭区间上可导的函数展开成多项式 的形式。
泰勒展开式
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2! * (x-a)^2 + ... + f^n(a)/n! * (x-a)^n + Rn(x)，其 中Rn(x)为余项。
适用于连续函数情况
连续函数定义
若函数在某点的极限值等于该点的函 数值，则称函数在该点连续。对于连 续函数，我们可以直接将其自变量代 入函数表达式来求解极限。
适用范围
直接代入法适用于一元和多元函数的 极限求解，但要求函数在求极限的点 是连续的。
注意事项及典型例题
注意事项：在使用直接代入 法求极限时，需要注意以下
该方法不需要复杂的数学变换和技巧，易于掌握。
缺点
直接代入法仅适用于连续函数的极限问题，对于非连续函 数或复杂函数可能无法求解。
在某些情况下，即使函数在求极限的点连续，直接代入也 可能导致分母为零等无法计算的情况，需要结合其他方法 进行处理。
03 极限求法之因式分解法
适用于多项式函数情况
0/0型极限
极限计算方法总结
极限计算方法总结极限是微积分的重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在学习极限的过程中，我们需要掌握一些常用的计算方法，以便能够准确地求解各种类型的极限问题。
下面我将对常见的极限计算方法进行总结，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 代入法。
代入法是求解极限最直接的方法之一。
当我们计算极限时，如果能够将极限中的变量替换为一个确定的数值，就可以直接求出极限的值。
例如，对于极限lim(x→2)(x^2+3x-2)，我们可以直接将x替换为2，得到4+6-2=8。
这种方法适用于一些简单的极限计算，但对于一些复杂的极限问题并不适用。
2. 因子分解法。
当极限中存在多项式或根式时，我们可以尝试使用因子分解法来简化计算过程。
通过对多项式进行因子分解或有理化，可以将极限转化为更简单的形式，从而更容易求解。
例如，对于极限lim(x→1)((x^2-1)/(x-1))，我们可以将分子进行因子分解得到lim(x→1)((x+1)(x-1)/(x-1))，进而化简为lim(x→1)(x+1)，最终得到极限的值为2。
3. 夹逼定理。
夹逼定理是一种常用的极限计算方法，它适用于求解一些复杂的极限问题。
夹逼定理的核心思想是通过构造两个函数，使得它们的极限值相等，并且夹住待求极限的函数，从而得到待求极限的值。
这种方法常用于证明极限存在或不存在的问题，也可以用来求解一些特殊的极限。
例如，对于极限lim(x→0)(sinx/x)，我们可以构造两个函数f(x)=sinx和g(x)=x，然后利用夹逼定理得到lim(x→0)(sinx/x)=1。
4. 洛必达法则。
洛必达法则是一种常用的求解不定型极限的方法。
当计算极限时遇到不定型形式0/0或∞/∞时，可以尝试使用洛必达法则来简化计算过程。
该法则的核心思想是对极限中的分子和分母分别求导，然后再计算极限，从而得到原极限的值。
例如，对于极限lim(x→0)(sinx/x)，我们可以对分子sinx和分母x分别求导，得到cosx和1，然后再计算极限，最终得到极限的值为1。
高等数学微积分求极限的方法整理
一，求极限的方法横向总结：
1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）
2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到
2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和
5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限（基本）。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：先求倒数的极限。
10根号套根号型：约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos
二，求极限的方法纵向总结：
1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置
2）用无穷小量与有界变量的乘积
3）2个重要极限
4）分式解法（上述）。
高等数学(一元微积分)04-求极限方法总结
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 1)
8. 用等价无穷小量代换求极限
常用的等价无穷小量 : 当x 0时: (1)x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) ~ ex 1; (2)1 cos x ~ x2 ;
2 (3)ex 1 ~ x; (4) ln(1 x) ~ x; (5)ax 1 ~ x ln a;
f
(
x)
1 x, x 2 1,
x
0 ,
求
lim
f ( x).
x 0 x0
解 x 0是函数的分段点,两个单侧极限为
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x2 1) 1,
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小量,然后再求极限.
5.利用无穷小运算性质求极限
例 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
sin x lim 0.
x x
y sin x x
6.利用左右极限求分段函数极限
例
设
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1
lim
x1
x2
2x
3
.
3.消去零因子法 ( 0 型 ) 0
4.无穷小因子分出法求极限
(型)
小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
高等数学极限求法总结
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第一篇：6利用函数连续性（就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。
确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。
例1设 f（x）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求：当a，b为何值时，f（x）在x=0处的极限存在？当a，b为何值时，f（x）在x=0处连续？注：f（x）=xsin 1/x +a, x< 0b+1, x=0X^2-1, x>0解：f(0)＝b+1左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a＝a左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1f(x)在x＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)，所以a＝-1＝b+1，所以a＝-1，b＝-2第二篇：函数极限的四则运算法则学案课题：§13-3函数极限的四则运算法则（一）学习目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限学习重点：运用函数极限的运算法则求极限学习难点：函数极限法则的运用学习过程一、知识复习1．复习数列极限的四则运算法则(包括乘方的极限的法则)．2．复习几个简单函数的极限．即：二、课堂学习1．指导对上述定理的证明作简要说明．2.探究问题1 根据函数极限定义和函数的图象，说出下列极限，并验证所给结论．(其中f(x)为有理分函数)．所以，若f(x)为有理整函数，则有解：因为当x→x0时，分子、分母皆有极限且分母的极限不为零，因此有判断下列各极限是否存在？如果存在，求其极限；如果不存在，说明理由．三、检测1．求下列极限：2．求下列极限：四、学习小结第三篇：2利用洛必达法则洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。
高等数学 求极限方法小结及举例
11
x = f ′( t ) d2y 例 12 . f ′′( t ) ≠ 0 求 . 2 dx y = t f ′( t ) − f ( t ) d y y′( t ) f ′( t ) + t f ′′( t ) − f ′( t ) 解. = = =t d x x′( t ) f ′′( t )
2
t =π − x −1 2 t ========= lim t →0 cot t
tan t = − lim = −1 . t →0 t
"∞" ∞
例 7 . lim ( x ⋅ cot x )
x →0
x = lim =1. x →0 tan x
( 有界量乘无穷小 )
"0⋅ ∞"
lim x cos 1 = 0 . x x →0
4 . "∞ ± ∞" 型 ,
1 ± 1 = f ( x ) ± g( x ) . f ( x ) g( x ) f ( x ) ⋅ g( x )
5 . " ( 1 ± 0 ) ∞ " 型 , 0 " "0 型, u( x ) v ( x ) = e v ( x )⋅ln u( x ) 6. (指数型) " ∞0 " 型 , 7. lim [v ( x )⋅ln u( x ) ] v( x )
n x n −1 sin 1 − x n − 2 cos 1 x>0 x x f ′( x ) = 0 x=0 n x n −1 x<0 ′( x ) = lim n x n −1 sin 1 − x n − 2 cos 1 lim f x x x → +0 x →+0
高数大一求极限知识点总结
高数大一求极限知识点总结高等数学中的极限是一个重要且基础的概念，它在微积分和数学分析等学科中起到了至关重要的作用。
大一学习高数过程中，掌握极限的相关知识点对于进一步深入学习数学和应用数学是至关重要的。
本文将对大一高数中的极限知识点进行总结，以帮助同学们回顾复习和加深理解。
1. 极限的定义极限是指当自变量趋向于某一特定值时，函数值或数列的趋势。
对于函数而言，当自变量逐渐接近某个特定值时，函数值是否逐渐趋于确定的有限值或无穷大，这个确定的值就是该函数的极限。
2. 极限的性质- 唯一性：如果一个函数存在极限，那么极限是唯一的。
- 有界性：如果一个函数在某个点附近存在极限，那么该函数在该点附近有界。
- 保号性：如果一个函数在某个点附近极限存在，且极限大于（或小于）0，那么在该点附近函数的值也大于（或小于）0。
3. 极限的四则运算在计算函数的极限时，可以利用四则运算的法则来简化问题。
以下是常见的四则运算法则：- 两个函数相加（减）的极限等于两个函数的极限的和（差）。
- 一个函数与一个常数相乘的极限等于函数的极限乘以常数。
- 两个函数相乘的极限等于两个函数的极限的乘积。
- 一个函数除以另一个函数的极限等于函数的极限除以另一个函数的极限。
4. 极限存在的充分条件为了判断一个函数在某点是否存在极限，可以利用以下常见的充分条件：- 函数在该点附近有定义。
- 左极限和右极限存在且相等。
- 函数在该点附近有界。
- 函数在该点附近单调。
- 函数在该点附近保号。
5. 常见的极限计算方法- 代入法：直接将自变量代入函数中，求函数值来确定极限。
- 消去法：通过分子有理化、分母有理化等方法，将复杂的表达式转化为简单的形式，进而计算极限。
- 夹逼定理：当存在两个函数，它们在某点附近夹住待求函数，并且这两个函数的极限相等，那么待求函数的极限也等于这个共同的极限。
6. 无穷小量与无穷大量- 无穷小量：当自变量趋于某一特定值时，函数的极限趋近于0，这个极限称为无穷小量。
高数求极限的方法小结
解令 ,则原式 ，
所以在 时， 与 等价，因此，原式 .
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高等数学中求极限的方法小结
2.求极限的常用方法
2.1利用等价无穷小求极限
#这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]
例36 ，求 .
解 .
例37若函数 有连续二阶导数且 ， ， ，
则 .
A:不存在B：0 C：-1D：-2
解 .
所以，答案为D.
例38若 ，求 .
解
.
2.16利用连续性求极限[1]
例39设 在 处有连续的一阶导数，且 ，求 .
解原式
.
2.17数列极限转为函数极限求解
数列极限中是 趋近，而不是 趋近.面对数列极限时，先要转化成求 趋近情况下的极限，当然 趋近是 趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的 当然是趋于正无穷的）.[1]
（1）定积分中值定理：如果函数 在积分区间 上连续，则在 上至少有一个点，使下列公式成立： ；
（2）设函数 在区间 上连续，取 ，如果极限 存在，则称此极限为函数 在无穷区间 上的反常积分，记作 ，即 ；
设 在区间 上连续且 ，求以曲线 为曲线，底为 的曲边梯形的面积 ，把这个面积 表示为定积分： 的步骤是：
首先，用任意一组的点把区间 分成长度为 的 个小区间，相应地把曲线梯形分成 个窄曲边梯形，第 个窄曲边梯形的面积设为 ，于是有 ；
其次，计算 的近似值 ；
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高等数学求极限方法理论小结
摘要：求极限是高等数学的三大运算之一。
求极限的方法很多，本文根据学习
的前后秩序，把教材涉及到求极限的所有方法进行了小结。
关键词：高等数学；极限运算
一、概述
高等数学是大学阶段最为重要也最难的一门数学公共基础课程，它是很多后
继课程（如概率论与数理统计，大学物理，计量经济学等）的坚实基础。
本课程共分为12章，知识点繁多。
总的来说，可以归纳为三个“中心”，即
求极限、求导数、求积分。
从这三个“中心”本身所用到的解题方法理论来看，以
求极限的方法理论为最多，灵活且技巧性强。
另一方面，极限本身又是构建整个高等数学的基石。
所以，学习极限知识，
掌握求极限的一些常用的重要的方法与技巧是必要的。
二、高等数学求极限方法理论小结
极限知识的学习是从数列的极限开始的，以无穷级数中的一个必要条件定理
为结束。
具体来讲，高等数学上册，关于极限内容及求法，主要集中在第一章，
有数列的极限，函数的极限，无穷小与无穷大，极限运算法则，极限存在准则，
两个重要极限，无穷小的比较，函数的连续性，连续函数的运算与初等函数的连
续性；第三章中有洛必达法则，泰勒公式；第五章中有利用定积分的定义求极限。
而高等数学下册，在第12章第一节里，级数收敛的必要条件定理。
在求极限过程中，一般要对函数进行“恒等”变形，大致有：通分，约分，分
子（分母）有理化，先求和，分子（分母）同时除以（乘以）等。
极限，是针对自变量的7种变化过程中的函数值的2种变化趋势而言的。
数列，自变量趋向于正无穷大；函数，自变量趋向于某个常数，包括左右两侧；自
变量趋向于无穷大，包括正无穷大，负无穷大。
函数值的2种变化趋势：存在
（为某个常数），不存在（特例，无穷大）。
下面，按照教程安排的先后秩序，把教程涉及到的求极限的所有方法理论小
结如下（同时，对一些重要的方法理论加以说明）：
1.收敛数列与子数列的关系定理：若一个数列收敛于某个常数，则它的任意
子数列必收敛于这个常数。
同时，它也提供了判断数列发散（即极限不存在）的
一种方法：若一个数列的某两个子数列收敛于两个不同的常数，则原数列发散。
2.利用左右极限：若左右极限存在并相等，则函数的极限存在且等于左（右）极限。
否则，函数极限不存在（4种情况）。
3.函数极限与数列极限的关系定理；
4.无穷小与无穷大的关系定理：无穷大的倒数为无穷小，非0无穷小的倒数
为无穷大。
强调非0无穷小，因为0是可以作为无穷小的唯一的常数。
5.有限个无穷小的和为无穷小；
6.无穷小与有界量的积为无穷小：这是一个使用频率较高的重要结论，我们
要牢记，掌握。
7.和差积商的极限运算法则：注意在用商的极限运算法则时，要求分母的极
限不为0。
8.复合函数的极限运算法则；
9.极限存在准则，两个重要极限：关于夹逼准则，其作用一方面求有关函数
的极限，另一方面在于推导第一个重要极限。
在这个重要极限中，我们要把握函
数的特点：分子分母为无穷小，且互为正弦函数关系。
关于单调收敛准则，其作
用一方面求有关函数的极限，另一方面在于推导第二个重要极限。
在这个重要极
限中，我们也要把握函数的特点：1的无穷大次幂型，是以后学洛必达法则中的
一种未定式；底数是1+无穷小，指数是底数部分那个无穷小的倒数。
利用两次恒等变形，结合幂指函数的极限，这种函数的极限就比较简单了，甚至比以后的洛
必达法则有时更简单。
10.利用等价无穷小求极限：这也是一个很重要的使用频率很高的方法。
我
们知道0与什何无穷小不等价，所以在局部等价的时候，不能有0的出现，同时
还要验证整体是否也等价。
要求我们熟记那些常用的等价无穷小。
11.函数的连续性；
12.连续函数的运算法则；
13.初等函数的连续性；
14.幂指函数的极限：这个在第二个重要极限中用到，比较好掌握。
15.利用洛必达法则：。
有意思的事情是这个法则并不是洛必达本人提出来的，这个法则是针对自变量的6种变化过程中的7种未定式而言的，特别强调有
关数列的未定式，不能直接用洛必达法则，先要构造一个相应的函数，对这个函
数用洛必达法则，然后根据函数极限与数列极限的关系，再求出这个数列的极限。
16.利用带佩亚诺余项的麦克劳林公式求极限：这个一般在考研题中出现。
17.利用定积分的定义求极限；
18.利用级数收敛的必要条件定理求极限：这是整个的高等数最后一个与极
限有关的定理。
三、本文小结
本文仅限于教材所介绍的求极限的方法理论，我们要逐一地掌握，尤其是那
些重要的常用的方法理论，如无穷小与有界量的积为无穷小，利用等价无穷小求
极限，利用洛必达法则求未定式的极限等，要多做习题，力求熟能生巧。
这需要
我们课后下苦功夫，如中学阶段学过的三角函数公式，我们要常复习巩固，因为
以后要学习三角函数的不定积分，是不定积分中的的难点。
当我们掌握了求极限
的方法理论，就等于树立了信心，为我们学好高等数学，为啃下这块硬骨头，起
着保驾护航的作用。
当然，更多的其他的求极限的方法理论，有待于我们自己在课外利用辅助书
去学习，理解，勤做多练，最终达到为我所用之目的。
参考文献
[1]同济大学.高等数学（第七版）[M].北京:高等教育出版.2014,7..
作者简介：雷鸿（1971.06-），男，理学硕士，讲师，研究方向：数学教育。