驻波的表达式
7-06 驻波
因为x = 0处为波节
1 π π ( ) 2 3 2
4π 3
y2 2.0 10
2
t x 4π cos[2π( ) ] 0.02 20 3
例2、如图：A、B两点是处于同一介质中相距为 20m的两个波源，它们作同方向、同频率的振动 （=100HZ）设它们激起的是相向前进的两平面 波，振幅均为5cm。波速为200 m/s，且A为波峰 时，B为波谷。求A、B线上因干涉而静止的各质 点位置。
SA 已知：AB=20m
1 2
=100HZ
SB A=5cm u=200m/s
求：振幅=0的点的位置
A
Y
B
X
SB SA 解：1）建立坐标AXY，选取A点位移最大时为计 时起点，则：y A = Acos ωt
x 2）波动方程： y A = A cos ω( t - ) u
y B = Acos(ωt + π)
解 : 取S1 S 2 连线为X轴，
x
4.5
P
S2
X
在连线上S1以及S2外侧各点，两波的 波程差均为9 ，即半波长的整数倍， 2 两波互相抵消，不存在加强点。
在连线上S1与S2之间取一点P，其坐标为x。 9 9 r2 r1 x x 2 x 2 2
求（ 1 ）两列波分别在 P点 的 振 动 方 程 （ 设 振 不 幅变 ） （ 2 ）P点 的 合 振 动
解: （ 1 ）A波在m 点， 入射波y1λ O1 m = A cos(πt 2π) λ
M1
m
M2
反射波y1 A cos(t
O1 m
A O1 B O2
P
2 )
普通物理学-力学-波的叠加、干涉、驻波
AP AB2 BP 2 (15)2 (20)2 25(m)
已知 v P 20m
= 100 Hz ,u = 10 m· s-1
u
10 则波长为 0.10(m) 100
A
15m
B
由题知,两波反相位,设 A 的相位较 B 超前, 则二者的初相差为
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 13
Δ ( x ) x - 14
由干涉静止条件,有
Δ ( x ) x - 14 (2k 1) , (k 0, 1, 2, ) xk - 14 (2k 1) xk 2k 15 , k 0, 1, 2, . 0 x L
求:AB 连线上因相干涉而静止的各点的位臵
u 4 （m）
解:取 A 点为坐标原点, A、B 连线为 X轴, 如图
B P X o L x (1)两相干波在B 点外侧任意P点处(即 x>L)的相位差为 A 波长为
=u/υ=4(m)
L=30m
L Δ B - A ( x - L) - x 2 16 4
则 AB 连线段上因干涉而静止的各点的位臵为
x 1, 3, 5, 7, 9,
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4
, 25, 27, 29 (m)
14
例 2: 如图,A、B 两点为某均匀介质中振福相等的相干波源,频率
为100 Hz,波速为10 m.s-1,已知点 A 为波峰时 B 为波谷,
求:A, B 发出的两列波传到 P 点时干涉的结果
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 26
(3)驻波中各点处质元的相位关系
驻波 超声波 多普勒效应
1 n l (n ) 2 2
波节 波腹
n 1,2,
1
4
l
32 l 4 53 l 4
讨论 如图二胡弦长 l 0.3 m ，张力 T 9.4 N . 密度 3.8 10 4 kg m . 求弦所发的声音的基频和谐频.
解 ：弦两端为固定点，是波节.
ln
波腹及其它质点的动能 波节处形变最大 势能 波腹附近各点速度最大 波节及其它点无形变
最大 最大
其它各质点同时通过平衡位置时
驻波的能量不作定向传播，其能量 转移过程是动能与势能的相互转移 以及波腹与波节之间的能量转移。
例1 两波在一很长的弦上传播，其波动 方程分别为: π x y1 0.04 cos (4 x 24t ) y1 A cos 2π (t ) 3 π x y2 0.04 cos (4 x 24t ) y2 A cos 2π(t ) 3 求: (1) 驻波的频率、波长、波速；
x
cos 2π t
x
随 x 而异，与时间 t 无关.
cos 2 π
x
1 2π 0
x
x
k π
k 0,1,2, 波腹
k 0,1,2, 波节
波腹位置 波节位置
( 的偶数倍) x k 2k 2 4 4
x (2k 1) 4
1 2 π (k ) π 2
国家大剧院
国家大剧院音乐厅
讨论
关于驻波现象，下列说法正确的是：
A、相邻的两波节之间的各个质点的振幅都相等； B、相邻的两波节之间的各个质点的振动方向都相同； C、相邻的两波腹之间各个质点的振动方向不完全相同； D、相邻的两个波腹之间的距离为半个波长
10-5 驻波
第十章 波动
8
物理学
第五版
二、半波损失
1010-5
驻波
实验中B点固定，形成波节， 实验中B点固定，形成波节，说明入射波 和反射波反相位。 和反射波反相位。 (1)入射波和 (1)入射波和 反射波同相位
(2)入射波和 (2)入射波和 反射波反相位 入射波和反射波有π的相位突变____ 入射波和反射波有π的相位突变____半波损失
t + x y2 = A cos 2π T λ
驻波
合成波： 合成波：
y = y1 + y 2
t x t x = Acos 2π ( − ) + cos 2π ( + ) T λ T λ
2π = ( 2 A cos x) cos t λ T
2π
A x ) = 2Acos (
物理学
第五版
一. 驻波
1010-5
驻波
是由振幅相同， 驻波: 是由振幅相同，传播方向相反的两列相干 波叠加而成，是一种特殊的干涉现象。 波叠加而成，是一种特殊的干涉现象。
驻 波 的 形 成
第十章 波动
1
物理学
第五版
1010-5
驻波
第十章 波动
2
物理学
第五版
1010-5
驻波
驻波的形成： 驻波的形成：
第十章 波动
9
物理学
第五版
1010-5
驻波
对于波沿分界面垂直入射的情形, 与波速u 对于波沿分界面垂直入射的情形,把密度ρ 与波速 较大的介质称为波密介质 波密介质， 较小的介质称 的乘积ρu 较大的介质称为波密介质，ρu较小的介质称 波疏介质。 为波疏介质。 当波从波疏介质传播到波密介质，有半波损失， 当波从波疏介质传播到波密介质，有半波损失， 分界面反射点形成波节。 分界面反射点形成波节。 当波从波密介质传播到波疏介质，无半波损失， 当波从波密介质传播到波疏介质，无半波损失， 分界面反射点形成波腹。 分界面反射点形成波腹。 若反射点为自由端，无半波损失。 若反射点为自由端，无半波损失。 自由端 若反射点为固定端，有半波损失。 若反射点为固定端，有半波损失。 固定端
波的叠加原理、干涉、驻波、多普勒
3.干涉加强、减弱条件 设有两个频率相同的波源
S 1和 S 2
y 10 A10 cos( t 1 )
y 20 A 20 cos( t 2 )
其振动表达式为： ， P
r1 S2
r2
两列波传播到 P 点引起的振动分别为： 2 S1
y 1 A1 cos( t 1
反射波 y 2 A cos( t
2
x)
x 0
x
2
其合成波称为驻波其表达式：
y y 1 y 2 A cos( t
16
2
x ) A cos( t
x)
利用三角函数关系 cos cos 2 cos cos 2 求出驻波的表达式： 2 2 y y 1 y 2 A cos( t x ) A cos( t x) 2 2 A cos x cos t 简谐振动 简谐振动的振幅
2 r
u2
定理证明: 由惠更斯原理，A、B为同一波面上的两点，A、 B点会发射子波， B i 经t后， B点发射的子波到达 u1 t 界面处D点， A点的到达C点， i A
sin i
sin r
BD
AD
AC AD
u1 t AD
u2t
r
D
u2t AD
r
1
C
sin i sin r
y B A cos[ t 0
22
X
B
2 ( 30 x )
]
因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为 静止的点满足：
2 x
10-5 驻波
振子
细绳
固定端
从图上可以看出，由上述两列叠加而成的波， 在绳上被分成几段，
每一段两端的点固定不动， 而每一段中的各点则作振幅不同的、位相相同的 独立振动； 中间的点，振幅最大， 越靠近两端的点，振幅越小， 而且发现，相邻两段的的点的振动方向是相反的。
振子
细绳
固定端
波腹
波节
此时，绳上各点，只有段与段之间的位相的突变， 而没有振动状态或位相的逐点的传播， 也即没有什么“跑动”的的波形， 所以这种波称为驻波。
3 x 2 2
2
3 2 5 x 2 2
讨论 位相
y 2 A cos
2
x
●
x2
●
x cos t
●
x
x3
●
x1
2
●
3 x 2 2
x1 x x2 x 2 x x3
2
3 2 5 x 2 2 cos 2
2 A cos
2
振幅 ——驻波的振幅与位置有关，与时间无关 波腹的位置——振幅最大的位置 发生在
x
cos
2
x 1
振幅
2 A cos
2Hale Waihona Puke x cos 2波腹的位置——振幅最大的位置
2
2
x k
xk
2
x 1
k 0， 1， 2， 3，
波节的位置——振幅最小的位置
相邻波腹（或波节）的距离
x k 1 x k
2
2
2
讨论 位相
y 2 A cos
驻波——精选推荐
驻波驻波（standing wave）频率和振幅均相同、振动方向一致、传播方向相反的两列波叠加后形成的波。
波在介质中传播时其波形不断向前推进，故称行波；上述两列波叠加后波形并不向前推进，故称驻波。
例如，如图所示，一弦线的一端与音叉一臂相连，另一端经支点O并跨过滑轮后与一重物相连。
音叉振动后在弦线上产生一自左向右传播的行波，传到支点O 后发生反射，弦线中产生一自右向左传播的反射波，当弦长接近1／2波长的整数倍时。
两列波叠加后弦线上各点的位移为（设音叉振动规律为u＝Acosωt）u（x，t）＝2Asin（x）sin（ωt ）＝A（x）sin（ωt），弦线上每个固定的点均作简谐运动，但不同点的振幅不同，由x值决定。
振幅为零的点称为波节，振幅最大处称为波腹。
波节两侧的振动相位相反。
相邻两波节或波腹间的距离都是半个波长。
在行波中能量随波的传播而不断向前传递，其平均能流密度不为零；但驻波的平均能流密度等于零，能量只能在波节与波腹间来回运行。
测量两相邻波节间的距离就可测定波长。
各种乐器，包括弦乐器、管乐器和打击乐器，都是由于产生驻波而发声。
为得到最强的驻波，弦或管内空气柱的长度L必须等于半波长的整数倍，即，k为整数，λ为波长。
因而弦或管中能存在的驻波波长为，相应的振动频率为，υ为波速。
k＝1时，，称为基频，除基频外，还可存在频率为kn1的倍频。
入射波（推进波）与反射波相互干扰而形成的波形不再推进（仅波腹上、下振动，波节不移动）的波浪，称驻波。
驻波多发生在海岸陡壁或直立式水工建筑物前面。
紧靠陡壁附近的海水面随时间虽作周期性升降，海水呈往复流动，但并不向前传播，水面基本上是水平的，这就是由于受岸壁的限制使入射波与反射波相互干扰而形成的。
波面随时间作周期性的升降，每隔半个波长就有一个波面升降幅度为最大的断面，称为波腹；当波面升降的幅度为0时的断面，称为波节。
相邻两波节间的水平距离仍为半个波长，因此驻波的波面包含一系列的波腹和波节，腹节相间，波腹处的波面的高低虽有周期性变化，但此断面的水平位置是固定的，波节的位置也是固定的。
驻波复习资料
驻波复习资料驻波复习资料驻波是物理学中一个重要的概念，它在电磁学、声学、光学等领域都有广泛应用。
在这篇文章中，我们将回顾一些关于驻波的基本知识和相关概念，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
1. 驻波的定义和特点驻波是指在一定空间范围内，由于波的传播和反射导致的波干涉现象。
它的特点是波节和波腹的存在，波节是指波的振幅为零的点，而波腹则是振幅达到最大值的点。
驻波的形成需要两个波源，它们之间的距离和波长有关。
当两个波源的波长相等且振幅相反时，就会形成驻波。
2. 驻波的数学表达驻波可以用数学方程来描述，其中最常见的是正弦函数。
对于一维驻波，它的数学表达式为y(x, t) = A sin(kx) sin(ωt)，其中A为振幅，k为波数，x为位置，ω为角频率，t为时间。
这个方程可以用来描述驻波在空间和时间上的变化。
3. 驻波的节点和腹部驻波中的节点和腹部是非常重要的概念。
节点是波的振幅为零的点，而腹部则是振幅达到最大值的点。
在一维驻波中，节点和腹部的间距为半个波长。
这些点的位置决定了驻波的形状和特性。
4. 驻波的应用驻波在许多领域都有广泛的应用。
在声学中，驻波可以解释乐器的共鸣现象，例如弦乐器和管乐器。
在光学中，驻波可以用来解释干涉和衍射现象，也是激光的基本原理之一。
在电磁学中，驻波在天线和微波炉等设备中起着重要的作用。
此外，驻波还可以用于粒子悬浮和操纵，以及微流控芯片等领域的研究。
5. 驻波的实验观测为了观测和研究驻波现象，科学家们进行了许多实验。
其中最著名的是杨氏双缝实验，它通过在光源前放置两个狭缝来产生驻波。
这个实验不仅证明了光的波动性，也为后来的干涉和衍射理论奠定了基础。
除了杨氏双缝实验，还有许多其他实验可以用来观测和研究驻波，例如声波在管道中的传播和反射等。
6. 驻波的数值模拟除了实验观测，科学家们还可以利用计算机进行驻波的数值模拟。
通过数值模拟，可以更深入地理解驻波的特性和行为。
数值模拟还可以用来优化驻波的应用，例如在天线设计和光学器件中。
4_2_4驻波、多普勒效应
y( x , t ) = y1 ( x , t ) + y2 ( x , t ) ------ 波的叠加原理
y( x , t ) = y1 ( x , t ) + y2 ( x , t ) ------ 波的叠加原理
3. 可分解性 叠加原理是 将一列复杂的波分解为简谐波的物理基础。 将一列复杂的波分解为简谐波的物理基础。 数学基础是傅立叶分析。 数学基础是傅立叶分析。 4. 成立的条件 波的强度较小时成立。 波的强度较小时成立。 对于机械波来说，必须是弹性波。 对于机械波来说，必须是弹性波。 数学上，表现为波动方程是线性的。 数学上，表现为波动方程是线性的。
cos 2π
λ
x =1
，得波腹位置
k 取整数。 取整数。
两相邻波腹间的距离亦为 λ /2。 两相邻波腹间的距离亦为
λ x=k 2
y = 2 A cos
2π
（驻波表达式） 驻波表达式）
λ
x cos ω t
λ /2
波节
λ /2
λ /4
波腹 3.相位特点 相位特点 波形曲线被波节分为很多“分段” 每段长 波形曲线被波节分为很多“分段”(每段长λ/2): 同一分段中的各质元振动相位相同； 同一分段中的各质元振动相位相同； 同一分段中的各质元振动相位相同 相邻分段中的质元振动相位相反 相邻分段中的质元振动相位相反。 相邻分段中的质元振动相位相反。 原因：振幅函数有正负。 原因：振幅函数有正负。
λ
t=0
x cos ω t （驻波表达式） 驻波表达式）
ξ2
o y
ξ1
x
t = T/8 o t = T/4 o t = 3T/8 o t = T/2 o 图中红线即驻波的波形曲线
10-6 驻波
7π x − 4 .5 x + 1 .5 π ) + − ( − 2π )= ∆ ϕ = − 2π ( 2 4 2 4
这时 , A合 = 实上
没有因干涉而静止的点,事 A 2 + A 2 = 2 A 没有因干涉而静止的点 事
7π x y合 = y1 + y 2 = 2 A cos cos[ 2π (νt − ) + π ] 4 4
− 1⋅ 5 ⋅
⋅ 0
x
4⋅5
轴上各处因干涉而静止的点的位置呢？ （2）X2右边 轴上各处因干涉而静止的点的位置呢？ ） 右边X轴上各处因干涉而静止的点的位置呢 x + 1⋅5 y 1 = A cos[ 2 π ( ν t − )] λ x − 4⋅ 5 π y2 = Acos[ 2π (νt − ) + ] 右波源向右发出行波 λ 2
一 驻波的产生 两列振幅相等的相干波相向而行，在相遇的区域迭加干 振幅相等的相干波相向而行 两列振幅相等的相干波相向而行，在相遇的区域迭加干 形成驻波。 涉，形成驻波。
10—6
驻 波
振幅是X的函数 波腹
X
波节
驻 波 的 形 成
机 械 驻 波
二 驻波方程
2π y 1 = A cos( ω t − x) λ 迭加、干涉、合成： 迭加、干涉、合成： 2π y 2 = A cos( ω t + x) λ 2π y = y1 + y2 = 2Acos x ⋅ cos ωt λ 1 波节和波腹
2( L − x ) x = A cos{ ω [ t − − ]} u u
建立反射波波动方程步骤: 建立反射波波动方程步骤 设反射点坐标值x 设反射点坐标值 M, O 10 20
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驻波的表达式
驻波是波动现象中非常重要的一个概念。
在物理学中，驻波是指在两个相同频率、相同振幅的波在空间中相遇叠加形成的一种特殊波动模式。
驻波的表达式可以描述波的振幅在空间上的变化规律，其形式为A(x,t)=2Acos(kx)sin(ωt)。
在这个表达式中，A(x,t)表示波的振幅随位置x和时间t的变化情况，A是波的振幅，k是波数，x 是位置，ω是角频率，t是时间。
驻波的表达式中包含了一些重要的物理量，如波的振幅、波数和角频率。
波的振幅A表示波的能量大小，它决定了波的强度。
波数k 是描述波长的物理量，它与波长λ之间的关系为k=2π/λ。
角频率ω则是描述波动的快慢程度，它与周期T之间的关系为ω=2π/T。
通过这些物理量的组合，我们可以得到波的振幅随位置和时间的变化规律。
驻波的表达式中的cos和sin函数则描述了波的相位随位置和时间的变化规律。
cos函数表示波的相位随位置的变化情况，而sin函数表示波的相位随时间的变化情况。
通过这些函数的组合，我们可以得到波的相位随位置和时间的变化规律。
驻波的表达式中的kx和ωt则表示波的相位随位置和时间的变化情况。
kx表示波的相位随位置的变化情况，它与位置x之间的关系为kx=2πx/λ。
ωt表示波的相位随时间的变化情况，它与时间t之间
的关系为ωt=2πt/T。
通过这些变量的组合，我们可以得到波的相位随位置和时间的变化规律。
驻波的表达式可以描述各种波动现象，例如声波、光波和机械波等。
在声波中，驻波的表达式可以描述声音的强度随位置和时间的变化情况。
在光波中，驻波的表达式可以描述光的亮度随位置和时间的变化情况。
在机械波中，驻波的表达式可以描述物体的振动幅度随位置和时间的变化情况。
驻波的表达式是物理学中一个非常重要的工具，它可以帮助我们理解波动现象的本质和规律。
通过驻波的表达式，我们可以研究波的强度、相位和频率等重要性质，从而深入探究波动现象的各种特性和行为。
驻波的表达式的研究对于物理学的发展和应用具有重要的意义，它为我们解决各种波动问题提供了有力的工具和方法。
驻波的表达式是描述波动现象的一种重要数学表达式，它可以帮助我们研究波的振幅、相位和频率等重要性质。
通过驻波的表达式，我们可以深入理解和研究各种波动现象，为我们解决各种波动问题提供了有力的工具和方法。
驻波的表达式在物理学中具有广泛的应用，对于推动物理学的发展和应用具有重要的意义。