粒子偏转—平移圆、缩放圆、旋转圆-含答案
2024年高考物理热点磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(解析版)
磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型1.高考命题中，带电粒子在有界磁场中的运动问题，常常涉及到临界问题或多解问题，粒子运动轨迹和磁场边界相切经常是临界条件。
带电粒子的入射速度大小不变，方向变化，轨迹圆相交与一点形成旋转圆。
带电粒子的入射速度方向不变，大小变化，轨迹圆相切与一点形成放缩圆。
2.圆形边界的磁场，如果带电粒子做圆周运动的半径如果等于磁场圆的半径，经常创设磁聚焦和磁发散模型。
一、分析临界极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速率v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,(3)当速率v 变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨远圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
二、“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法三、“旋转圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R =mv 0qB。
如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R =mv 0qB的圆上界定方法将一半径为R =mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法四、“平移圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则半径R =mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R =mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法五、“磁聚焦”模型1．带电粒子的会聚如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R =r )，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)证明：四边形OAO ′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO ′(即竖直方向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．2．带电粒子的发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，从P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O 1A (O 2B 、O 3C )均平行于PO ，即出射速度方向相同(即水平方向)．(建议用时：60分钟)一、单选题1地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内(边界上有磁场)，磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。
带电粒子在电场中的偏转(含答案解析)
带电粒子在电场中的偏转一、基础知识1、带电粒子在电场中的偏转(1)条件分析：带电粒子垂直于电场线方向进入匀强电场． (2)运动性质：匀变速曲线运动．(3)处理方法：分解成相互垂直的两个方向上的直线运动，类似于平抛运动． (4)运动规律：①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间⎩⎪⎨⎪⎧a.能飞出电容器：t ＝lv 0.b.不能飞出电容器：y ＝12at 2＝qU 2md t 2，t ＝2mdyqU②沿电场力方向，做匀加速直线运动⎩⎪⎨⎪⎧加速度：a ＝F m ＝qE m ＝Uqmd 离开电场时的偏移量：y ＝12at 2＝Uql 22mdv 2离开电场时的偏转角：tan θ＝v yv 0＝Uqlmdv 20特别提醒 带电粒子在电场中的重力问题(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)．(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力．2、带电粒子在匀强电场中偏转时的两个结论(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的． 证明：由qU 0＝12mv 20y ＝12at 2＝12·qU 1md ·(l v 0)2 tan θ＝qU 1lmdv 20得：y ＝U 1l 24U 0d ，tan θ＝U 1l2U 0d(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O 为粒子水平位移的中点，即O 到偏转电场边缘的距离为l2.3、带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系当讨论带电粒子的末速度v 时也可以从能量的角度进行求解：qU y ＝12mv 2－12mv 20，其中U y ＝Udy ，指初、末位置间的电势差．二、练习题1、如图，一质量为m ，带电量为＋q 的带电粒子，以速度v 0垂直于电场方向进入电场，关于该带电粒子的运动，下列说法正确的是( )A ．粒子在初速度方向做匀加速运动，平行于电场方向做匀加速运动，因而合运动是匀加速直线运动B ．粒子在初速度方向做匀速运动，平行于电场方向做匀加速运动，其合运动的轨迹是一条抛物线C ．分析该运动，可以用运动分解的方法，分别分析两个方向的运动规律，然后再确定合运动情况D ．分析该运动，有时也可用动能定理确定其某时刻速度的大小 答案 BCD2、如图所示，两平行金属板A 、B 长为L ＝8 cm ，两板间距离d ＝8 cm ，A 板比B 板电势高300 V ，一带正电的粒子电荷量为q ＝1.0×10－10 C ，质量为m ＝1.0×10－20 kg ，沿电场中心线RO 垂直电场线飞入电场，初速度v 0＝2.0×106 m/s ，粒子飞出电场后经过界面MN 、PS 间的无电场区域，然后进入固定在O 点的点电荷Q 形成的电场区域(设界面PS 右侧点电荷的电场分布不受界面的影响)．已知两界面MN 、PS 相距为12 cm ，D 是中心线RO 与界面PS 的交点，O 点在中心线上，距离界面PS 为9 cm ，粒子穿过界面PS 做匀速圆周运动，最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏bc 上．(静电力常量k ＝9.0×109 N ·m 2/C 2，粒子的重力不计)(1)求粒子穿过界面MN 时偏离中心线RO 的距离多远？到达PS 界面时离D 点多远？ (2)在图上粗略画出粒子的运动轨迹．(3)确定点电荷Q 的电性并求其电荷量的大小．解析 (1)粒子穿过界面MN 时偏离中心线RO 的距离(侧向位移)： y ＝12at 2a ＝F m ＝qU dmL ＝v 0t则y ＝12at 2＝qU 2md (L v 0)2＝0.03 m ＝3 cm 粒子在离开电场后将做匀速直线运动，其轨迹与PS 交于H ，设H 到中心线的距离为Y ，则有12L12L ＋12 cm＝yY，解得Y ＝4y ＝12 cm(2)第一段是抛物线、第二段是直线、第三段是圆弧(图略) (3)粒子到达H 点时，其水平速度v x ＝v 0＝2.0×106 m/s 竖直速度v y ＝at ＝1.5×106 m/s 则v 合＝2.5×106 m/s该粒子在穿过界面PS 后绕点电荷Q 做匀速圆周运动，所以Q 带负电 根据几何关系可知半径r ＝15 cmk qQr 2＝m v 2合r解得Q ≈1.04×10－8 C答案 (1)12 cm (2)见解析 (3)负电 1.04×10－8 C3、如图所示，在两条平行的虚线内存在着宽度为L 、电场强度为E 的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L 处有一与电场平行的屏．现有一电荷量为＋q 、质量为m 的带电粒子(重力不计)，以垂直于电场线方向的初速度v 0射入电场中，v 0方向的延长线与屏的交点为O .试求：(1)粒子从射入电场到打到屏上所用的时间；(2)粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值tan α； (3)粒子打在屏上的点P 到O 点的距离x . 答案 (1)2L v 0 (2)qEL mv 20 (3)3qEL 22mv 20解析 (1)根据题意，粒子在垂直于电场线的方向上做匀速直线运动，所以粒子从射入电场到打到屏上所用的时间t ＝2L v 0.(2)设粒子刚射出电场时沿平行电场线方向的速度为v y ，根据牛顿第二定律，粒子在电场中的加速度为：a ＝Eq m所以v y ＝a L v 0＝qELmv 0所以粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值为tan α＝v y v 0＝qELmv 20.(3)解法一 设粒子在电场中的偏转距离为y ，则 y ＝12a (L v 0)2＝12·qEL 2mv 20 又x ＝y ＋L tan α， 解得：x ＝3qEL 22mv 20解法二 x ＝v y ·Lv 0＋y ＝3qEL 22mv 20.解法三 由xy ＝L ＋L2L 2得：x ＝3y ＝3qEL 22mv 20.4、如图所示，虚线PQ 、MN 间存在如图所示的水平匀强电场，一带电粒子质量为m ＝2.0×10－11 kg 、电荷量为q ＝＋1.0×10－5 C ，从a 点由静止开始经电压为U ＝100 V 的电场加速后，垂直于匀强电场进入匀强电场中，从虚线MN 的某点b (图中未画出)离开匀强电场时速度与电场方向成30°角．已知PQ 、MN 间距为20 cm ，带电粒子的重力忽略不计．求：(1)带电粒子刚进入匀强电场时的速率v 1； (2)水平匀强电场的场强大小； (3)ab 两点间的电势差．答案 (1)1.0×104 m/s (2)1.732×103 N/C (3)400 V 解析 (1)由动能定理得：qU ＝12mv 21代入数据得v 1＝1.0×104 m/s(2)粒子沿初速度方向做匀速运动：d ＝v 1t 粒子沿电场方向做匀加速运动：v y ＝at 由题意得：tan 30°＝v 1v y由牛顿第二定律得：qE ＝ma 联立以上各式并代入数据得：E ＝3×103 N/C ≈1.732×103 N/C(3)由动能定理得：qU ab ＝12m (v 21＋v 2y )－0联立以上各式并代入数据得：U ab ＝400 V .5、如图所示，一价氢离子(11H)和二价氦离子(42He)的混合体，经同一加速电场加速后，垂直射入同一偏转电场中，偏转后，打在同一荧光屏上，则它们( )A ．同时到达屏上同一点B ．先后到达屏上同一点C ．同时到达屏上不同点D ．先后到达屏上不同点 答案 B解析 一价氢离子(11H)和二价氦离子(42He)的比荷不同，经过加速电场的末速度不同，因此在加速电场及偏转电场的时间均不同，但在偏转电场中偏转距离相同，所以会先后打在屏上同一点，选B.6、如图所示，六面体真空盒置于水平面上，它的ABCD 面与EFGH 面为金属板，其他面为绝缘材料．ABCD 面带正电，EFGH 面带负电．从小孔P 沿水平方向以相同速率射入三个质量相同的带正电液滴a 、b 、c ，最后分别落在1、2、3三点．则下列说法正确的是( )A ．三个液滴在真空盒中都做平抛运动B ．三个液滴的运动时间不一定相同C ．三个液滴落到底板时的速率相同D ．液滴c 所带电荷量最多 答案 D解析 三个液滴具有水平速度，但除了受重力以外，还受水平方向的电场力作用，不是平抛运动，选项A 错误；在竖直方向上三个液滴都做自由落体运动，下落高度又相同，故运动时间必相同，选项B 错误；在相同的运动时间内，液滴c 水平位移最大，说明它在水平方向的加速度最大，它受到的电场力最大，电荷量也最大，选项D 正确；因为重力做功相同，而电场力对液滴c 做功最多，所以它落到底板时的速率最大，选项C 错误．7、绝缘光滑水平面内有一圆形有界匀强电场，其俯视图如图所示，图中xOy 所在平面与光滑水平面重合，电场方向与x 轴正向平行，电场的半径为R ＝2 m ，圆心O 与坐标系的原点重合，场强E ＝2 N/C.一带电荷量为q ＝－1×10－5 C 、质量m ＝1×10－5 kg 的粒子，由坐标原点O 处以速度v 0＝1 m/s 沿y 轴正方向射入电场(重力不计)，求：(1)粒子在电场中运动的时间； (2)粒子出射点的位置坐标； (3)粒子射出时具有的动能．答案 (1)1 s (2)(－1 m,1 m) (3)2.5×10－5 J解析 (1)粒子沿x 轴负方向做匀加速运动，加速度为a ，则有： Eq ＝ma ，x ＝12at 2沿y 轴正方向做匀速运动，有y ＝v 0t x 2＋y 2＝R 2解得t ＝1 s.(2)设粒子射出电场边界的位置坐标为(－x 1，y 1)，则有x 1＝12at 2＝1 m ，y 1＝v 0t ＝1 m ，即出射点的位置坐标为(－1 m,1 m)．(3)射出时由动能定理得Eqx 1＝E k －12mv 20代入数据解得E k＝2.5×10－5 J.8、如图所示，在正方形ABCD区域内有平行于AB边的匀强电场，E、F、G、H是各边中点，其连线构成正方形，其中P点是EH的中点．一个带正电的粒子(不计重力)从F点沿FH方向射入电场后恰好从D点射出．以下说法正确的是( )A．粒子的运动轨迹一定经过P点B．粒子的运动轨迹一定经过PE之间某点C．若将粒子的初速度变为原来的一半，粒子会由ED之间某点射出正方形ABCD区域D．若将粒子的初速度变为原来的一半，粒子恰好由E点射出正方形ABCD区域答案BD解析粒子从F点沿FH方向射入电场后恰好从D点射出，其轨迹是抛物线，则过D 点做速度的反向延长线一定与水平位移交于FH的中点，而延长线又经过P点，所以粒子轨迹一定经过PE之间某点，选项A错误，B正确；由平抛运动知识可知，当竖直位移一定时，水平速度变为原来的一半，则水平位移也变为原来的一半，所以选项C错误，D正确．9、用等效法处理带电体在电场、重力场中的运动如图所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为R的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中．现有一个质量为m的小球，带正电荷量为q＝3mg3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初速度应满足什么条件？图9审题与关联解析 小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受重力、电场力、轨道作用力，如图所示，类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg ′，大小为mg ′＝qE 2＋mg 2＝23mg 3，tan θ＝qE mg ＝33，得θ＝30°，等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动．因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的等效“最高点”(D 点)满足等效重力刚好提供向心力，即有：mg ′＝mv 2D R，因θ＝30°与斜面的倾角相等，由几何关系可知AD ＝2R ，令小球以最小初速度v 0运动，由动能定理知： －2mg ′R ＝12mv 2D －12mv 20 解得v 0＝ 103gR 3，因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应满足v ≥103gR 3.。
2021届高三物理一轮复习磁场5：缩放圆、旋转圆和平移圆(答案)
2021届高三物理一轮复习磁场5：缩放圆、旋转圆和平移圆 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． （多选）（2019·山东高二期中）真空区域有宽度为d 、磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN 、PQ 是磁场的边界．比荷为k 的带负电粒子，沿着与MN 夹角θ＝60°的方向射入磁场中，刚好没能从PQ 边界射出磁场．下列说法正确的是（ ） A ．粒子的速率大小是23BdkB ．粒了在磁场中运动的时间是23kBπC ．仅减小粒了的入射速率，在磁场中的运动时间将增大D ．仅增人粒子的入射速率，在磁场中的运动时间将减小 【答案】AD 【解析】 【详解】AB.粒子刚好没能从PQ 边界射出磁场时，其运动轨迹刚好与PQ 相切，如图设带电粒子圆周运动的轨迹半径为R ，由几何关系有：cos θL R R =+解得：23R L =根据牛顿第二定律得：2v qvB m R=解得：23Bdkv =运动时间为：()2243R t v kBπθπ-==故A 正确，B 错误；C.减小粒了的入射速率，粒子的周期不变，半径变小，粒子仍然从左边界出磁场，圆心角不变，则运动时间不变，故C 错误；D.增人粒子的入射速率，粒子从磁场的右边界出磁场，粒子运动轨迹所对应的圆心角减小，则运动时间变小，故D正确．2．（2014秋•清河区校级期末）如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是（）A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长B．电子在磁场中运动时间越长．其轨迹线所对应的圆心角越大C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同【答案】B【解析】解：A 、由t=T知，电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，电子粒子飞入匀强磁场中做匀速圆周运动，由半径公式r=知，轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大．故A错误，B正确．C、由周期公式T=知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，若它们在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如：轨迹3、4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，即它们的速率不同．故C错误，D错误．故选B3．(2020·全国Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。
带电粒子在磁场中运动放缩圆和旋转圆
P
2r
2r
r
O
O
O
Q
rN
Q
Q 答案：MN ( 3 1)r
练、如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小B=0.6T
的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板ab，在距ab距离
为l=16cm处，有一点状的放射源S向各个方向发射α粒子，
α粒子的速度都是v=3.0×106 m/s，已知 α粒子的电荷与质
量之比q/m= 5.0×107 C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动
带电粒子在磁场中运动
--------放缩圆和旋转圆
轨迹圆的缩放
• 当粒子的入射速度方向一 定而大小可变时，粒子做 圆周运动的圆心一定在粒 子在入射点所受洛伦兹力 的方向上，半径R不确定， 利用圆规作出一系列大小 不同的内切圆.从圆的动 态中发现临界点。
例1、如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方 向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在
PQ为该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。 现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不 同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带 电粒子打在边界PQ上的范围（粒子的重力不计）。
分析：从O点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周
运动的半径r相P 同，O为这些轨迹P圆周的公共点。
场B=0.2T，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入 磁场，该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力。若要使 粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应
如何（以v0与oa的夹角表示）？最大偏转角多大？
解析： R =mv/Bq=5×10－2m > r
说明：半径确定时，通过的弧越
B v0
(完整版)带电粒子在电场中的偏转(含答案)
带电粒子在电场中的偏转一、基础知识1、带电粒子在电场中的偏转(1)条件分析：带电粒子垂直于电场线方向进入匀强电场． (2)运动性质：匀变速曲线运动．(3)处理方法：分解成相互垂直的两个方向上的直线运动，类似于平抛运动． (4)运动规律：①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间⎩⎨⎧a.能飞出电容器：t ＝l v 0.b.不能飞出电容器：y ＝12at 2＝qU 2mdt 2，t ＝ 2mdy qU②沿电场力方向，做匀加速直线运动⎩⎪⎨⎪⎧加速度：a ＝F m ＝qE m ＝Uqmd离开电场时的偏移量：y ＝12at 2＝Uql 22md v 20离开电场时的偏转角：tan θ＝v y v 0＝Uql md v20特别提醒 带电粒子在电场中的重力问题(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)．(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力．2、带电粒子在匀强电场中偏转时的两个结论(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的． 证明：由qU 0＝12m v 20y ＝12at 2＝12·qU 1md ·(l v 0)2tan θ＝qU 1lmd v 20得：y ＝U 1l 24U 0d ，tan θ＝U 1l 2U 0d(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O 为粒子水平位移的中点，即O 到偏转电场边缘的距离为l2.3、带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系当讨论带电粒子的末速度v 时也可以从能量的角度进行求解：qU y ＝12m v 2－12m v 20，其中U y ＝Ud y ，指初、末位置间的电势差．二、练习题1、如图，一质量为m ，带电量为＋q 的带电粒子，以速度v 0垂直于电场方向进入电场，关于该带电粒子的运动，下列说法正确的是( )A ．粒子在初速度方向做匀加速运动，平行于电场方向做匀加速运动，因而合运动是匀加速直线运动B ．粒子在初速度方向做匀速运动，平行于电场方向做匀加速运动，其合运动的轨迹是一条抛物线C ．分析该运动，可以用运动分解的方法，分别分析两个方向的运动规律，然后再确定合运动情况D ．分析该运动，有时也可用动能定理确定其某时刻速度的大小 答案 BCD2、如图所示，两平行金属板A 、B 长为L ＝8 cm ，两板间距离d ＝8 cm ，A 板比B 板电势高300 V ，一带正电的粒子电荷量为q ＝1.0×10－10C ，质量为m ＝1.0×10－20kg ，沿电场中心线RO 垂直电场线飞入电场，初速度v 0＝2.0×106 m/s ，粒子飞出电场后经过界面MN 、PS 间的无电场区域，然后进入固定在O 点的点电荷Q 形成的电场区域(设界面PS 右侧点电荷的电场分布不受界面的影响)．已知两界面MN 、PS 相距为12 cm ，D 是中心线RO 与界面PS 的交点，O 点在中心线上，距离界面PS 为9 cm ，粒子穿过界面PS 做匀速圆周运动，最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏bc 上．(静电力常量k ＝9.0×109 N·m 2/C 2，粒子的重力不计)(1)求粒子穿过界面MN 时偏离中心线RO 的距离多远？到达PS 界面时离D 点多远？ (2)在图上粗略画出粒子的运动轨迹．(3)确定点电荷Q 的电性并求其电荷量的大小．解析 (1)粒子穿过界面MN 时偏离中心线RO 的距离(侧向位移)： y ＝12at 2 a ＝F m ＝qU dm L ＝v 0t则y ＝12at 2＝qU 2md (L v 0)2＝0.03 m ＝3 cm粒子在离开电场后将做匀速直线运动，其轨迹与PS 交于H ，设H 到中心线的距离为Y ，则有12L 12L ＋12 cm ＝yY ，解得Y ＝4y ＝12 cm(2)第一段是抛物线、第二段是直线、第三段是圆弧(图略) (3)粒子到达H 点时，其水平速度v x ＝v 0＝2.0×106 m/s 竖直速度v y ＝at ＝1.5×106 m/s 则v 合＝2.5×106 m/s该粒子在穿过界面PS 后绕点电荷Q 做匀速圆周运动，所以Q 带负电 根据几何关系可知半径r ＝15 cm k qQr 2＝m v 2合r解得Q ≈1.04×10－8 C答案 (1)12 cm (2)见解析 (3)负电 1.04×10－8 C3、如图所示，在两条平行的虚线内存在着宽度为L 、电场强度为E 的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L 处有一与电场平行的屏．现有一电荷量为＋q 、质量为m 的带电粒子(重力不计)，以垂直于电场线方向的初速度v 0射入电场中，v 0方向的延长线与屏的交点为O .试求：(1)粒子从射入电场到打到屏上所用的时间；(2)粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值tan α； (3)粒子打在屏上的点P 到O 点的距离x . 答案 (1)2L v 0 (2)qEL m v 20 (3)3qEL 22m v 20解析 (1)根据题意，粒子在垂直于电场线的方向上做匀速直线运动，所以粒子从射入电场到打到屏上所用的时间t ＝2Lv 0.(2)设粒子刚射出电场时沿平行电场线方向的速度为v y ，根据牛顿第二定律，粒子在电场中的加速度为：a ＝Eqm所以v y ＝a L v 0＝qELm v 0所以粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值为tan α＝v y v 0＝qELm v 20.(3)解法一 设粒子在电场中的偏转距离为y ，则 y ＝12a (L v 0)2＝12·qEL 2m v 20 又x ＝y ＋L tan α， 解得：x ＝3qEL 22m v 20解法二 x ＝v y ·L v 0＋y ＝3qEL 22m v 20.解法三 由x y ＝L ＋L 2L 2得：x ＝3y ＝3qEL 22m v 20.4、如图所示，虚线PQ 、MN 间存在如图所示的水平匀强电场，一带电粒子质量为m ＝2.0×10－11kg 、电荷量为q ＝＋1.0×10－5 C ，从a 点由静止开始经电压为U ＝100 V 的电场加速后，垂直于匀强电场进入匀强电场中，从虚线MN 的某点b (图中未画出)离开匀强电场时速度与电场方向成30°角．已知PQ 、MN 间距为20 cm ，带电粒子的重力忽略不计．求：(1)带电粒子刚进入匀强电场时的速率v 1； (2)水平匀强电场的场强大小； (3)ab 两点间的电势差．答案 (1)1.0×104 m/s (2)1.732×103 N/C (3)400 V 解析 (1)由动能定理得：qU ＝12m v 21代入数据得v 1＝1.0×104 m/s(2)粒子沿初速度方向做匀速运动：d ＝v 1t 粒子沿电场方向做匀加速运动：v y ＝at 由题意得：tan 30°＝v 1v y由牛顿第二定律得：qE ＝ma 联立以上各式并代入数据得： E ＝3×103 N/C ≈1.732×103 N/C (3)由动能定理得：qU ab ＝12m (v 21＋v 2y )－0 联立以上各式并代入数据得：U ab ＝400 V .5、如图所示，一价氢离子(11H)和二价氦离子(42He)的混合体，经同一加速电场加速后，垂直射入同一偏转电场中，偏转后，打在同一荧光屏上，则它们( )A ．同时到达屏上同一点B ．先后到达屏上同一点C ．同时到达屏上不同点D ．先后到达屏上不同点 答案 B解析一价氢离子(11H)和二价氦离子(42He)的比荷不同，经过加速电场的末速度不同，因此在加速电场及偏转电场的时间均不同，但在偏转电场中偏转距离相同，所以会先后打在屏上同一点，选B.6、如图所示，六面体真空盒置于水平面上，它的ABCD面与EFGH面为金属板，其他面为绝缘材料．ABCD面带正电，EFGH面带负电．从小孔P沿水平方向以相同速率射入三个质量相同的带正电液滴a、b、c，最后分别落在1、2、3三点．则下列说法正确的是()A．三个液滴在真空盒中都做平抛运动B．三个液滴的运动时间不一定相同C．三个液滴落到底板时的速率相同D．液滴c所带电荷量最多答案 D解析三个液滴具有水平速度，但除了受重力以外，还受水平方向的电场力作用，不是平抛运动，选项A错误；在竖直方向上三个液滴都做自由落体运动，下落高度又相同，故运动时间必相同，选项B错误；在相同的运动时间内，液滴c水平位移最大，说明它在水平方向的加速度最大，它受到的电场力最大，电荷量也最大，选项D正确；因为重力做功相同，而电场力对液滴c做功最多，所以它落到底板时的速率最大，选项C 错误．7、绝缘光滑水平面内有一圆形有界匀强电场，其俯视图如图所示，图中xOy所在平面与光滑水平面重合，电场方向与x轴正向平行，电场的半径为R＝ 2 m，圆心O与坐标系的原点重合，场强E＝2 N/C.一带电荷量为q＝－1×10－5 C、质量m＝1×10－5 kg的粒子，由坐标原点O处以速度v0＝1 m/s沿y轴正方向射入电场(重力不计)，求：(1)粒子在电场中运动的时间；(2)粒子出射点的位置坐标；(3)粒子射出时具有的动能．答案(1)1 s(2)(－1 m,1 m)(3)2.5×10－5 J解析 (1)粒子沿x 轴负方向做匀加速运动，加速度为a ，则有： Eq ＝ma ，x ＝12at 2沿y 轴正方向做匀速运动，有 y ＝v 0t x 2＋y 2＝R 2 解得t ＝1 s.(2)设粒子射出电场边界的位置坐标为(－x 1，y 1)，则有x 1＝12at 2＝1 m ，y 1＝v 0t ＝1 m ，即出射点的位置坐标为(－1 m,1 m)．(3)射出时由动能定理得Eqx 1＝E k －12m v 20代入数据解得E k ＝2.5×10－5 J.8、如图所示，在正方形ABCD 区域内有平行于AB 边的匀强电场，E 、F 、G 、H 是各边中点，其连线构成正方形，其中P 点是EH 的中点．一个带正电的粒子(不计重力)从F 点沿FH 方向射入电场后恰好从D 点射出．以下说法正确的是( )A ．粒子的运动轨迹一定经过P 点B ．粒子的运动轨迹一定经过PE 之间某点C ．若将粒子的初速度变为原来的一半，粒子会由ED 之间某点射出正方形ABCD 区域 D ．若将粒子的初速度变为原来的一半，粒子恰好由E 点射出正方形ABCD 区域 答案 BD解析 粒子从F 点沿FH 方向射入电场后恰好从D 点射出，其轨迹是抛物线，则过D 点做速度的反向延长线一定与水平位移交于FH 的中点，而延长线又经过P 点，所以粒子轨迹一定经过PE 之间某点，选项A 错误，B 正确；由平抛运动知识可知，当竖直位移一定时，水平速度变为原来的一半，则水平位移也变为原来的一半，所以选项C 错误，D 正确．9、用等效法处理带电体在电场、重力场中的运动如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中．现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应满足什么条件？图9审题与关联解析 小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受重力、电场力、轨道作用力，如图所示，类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg ′，大小为 mg ′＝(qE )2＋(mg )2＝2 3mg 3，tan θ＝qE mg ＝33，得θ＝30°，等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动．因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的等效“最高点”(D 点)满足等效重力刚好提供向心力，即有：mg ′＝m v 2DR ，因θ＝30°与斜面的倾角相等，由几何关系可知AD ＝2R ，令小球以最小初速度v 0运动，由动能定理知： －2mg ′R ＝12m v 2D －12m v 20 解得v 0＝ 103gR3，因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应满足v ≥ 103gR3. 答案 v ≥103gR310、在空间中水平面MN的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方的A点以一定的初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平，A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2BC，如图所示．由此可见()A．电场力为3mgB．小球带正电C．小球从A到B与从B到C的运动时间相等D．小球从A到B与从B到C的速度变化量的大小相等答案AD解析设AC与竖直方向的夹角为θ，带电小球从A到C，电场力做负功，小球带负电，由动能定理，mg·AC·cos θ－qE·BC·cos θ＝0，解得电场力为qE＝3mg，选项A正确，B 错误．小球水平方向做匀速直线运动，从A到B的运动时间是从B到C的运动时间的2倍，选项C错误；小球在竖直方向先加速后减速，小球从A到B与从B到C竖直方向的速度变化量的大小相等，水平方向速度不变，小球从A到B与从B到C的速度变化量的大小相等，选项D正确．。
缩放圆和旋转圆
缩放圆和旋转圆一、知识清单1． 缩放圆模型特征：带电粒子从某一点以速度方向不变而大小在改变（或磁感应强度变化）射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动。
把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大或缩小的“动态圆”，如图。
解题时借助圆规多画出几个半径不同的圆，可方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。
2． 环形磁场临界问题 临界圆临界半径221R R r += 2-12RR r =勾股定理(R 2-R 1)2=R 12+r 2解得：)R R (R r 1222-=3． 旋转圆模型特征：带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图。
解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。
同时还要注意，粒子在做圆周运动时的绕行方向不随旋转而改变（即同旋性）。
4． 旋转圆五大特征 ①半径相等 R=mv/qB②都过发射点③圆心分布在一圆周上④旋转方向相同（同旋性）⑤同时发射，同时刻在同一圆周上,最大范围π(2R )25． 旋转圆中粒子运动的空间范围问题ABC× × × × ×× × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×v 0 A B O ●●× × × × ×× × × × ×× × × ××× × ×× v 0 A B O ●● θ( × × × ×× × × ×× ×× × ×× × × ×× × ×v 0R 1 R 2 × × × × × × × ×× × × × ×× ×× ×× × ×v 0 R 1 R 2 × × × × × × × ××× × × × × × × ×v 0 R 1 R 2最近点：A （OA =2Rsinθ）最远点：B （OB 为直径） 圆中最大的弦长是直径左边界：相切点A ； 右边界：OB 为直径边界点：相切点B 、C6． 圆形有界磁场中的旋转圆问题r<Rr>Rr=R在磁场中运动的最远距离为OA=2r 在磁场中运动的最长时间为t max =0v r α=qB m α (rR sin =2α)离开磁场速度方向垂直于入射点与磁场圆心的连线二、选择题7． (多选)长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为l ，极板不带电，现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）A ．使粒子的速度v ＜Bql 4mB ．使粒子的速度v ＞5Bql4mC ．使粒子的速度v ＞Bql mD ．使粒子的速度v 满足Bql 4m ＜v ＜5Bql4m8． （2014秋•清河区校级期末）如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是（ ） A ．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长B ．电子在磁场中运动时间越长．其轨迹线所对应的圆心角越大C ．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合D ．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同9． （多选）（2016•青岛二模）如图所示，边长为l 的正六边形abcdef 中，存在垂直该平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ．在a 点处的粒子源发出大量质量为m 、电荷量为+q 的同种粒子，粒子的速度大小不同，方向始终垂直ab 边且与磁场垂直．不计粒子间的相互作用力及重力，当粒子的速度为v 时，粒子恰好能经过b 点，下列说法正确的是（ ）A ．速度小于v 的粒子在磁场中的运动时间为B ．速度大于4v 的粒子将从cd 边离开磁场C ．经过c 点的粒子在磁场中的运动时间为D ．经过d 点的粒子在磁场中做圆周运动的半径为2lv 0● ●R r OA r ● × ×× × × ×× × × × × × ×v 0● ● 2R rα OAr × × × × × × × ×× × × × ×v 0● ●R 2r α OA× × × × × × × ×× × × × ×10．（2015•文昌校级模拟）如图所示，内圆半径为r 、外圆半径为3r 的圆环区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场．圆环左质量为m 、电量为q 的正离子，经过电场加速后从N 板小孔射出，并沿圆环直径方向射入磁场，不计离子的重力，忽略平行板外的电场．要使离子不进入小圆区域，电压U 的取值范围为（ ）A.U ≤qr 2B 2/mB.U ≤2qr 2B 2/mC.U ≤4qr 2B 2/mD.U ≤8qr 2B 2/m11．如图5所示，△ABC 为与匀强磁场垂直的边长为a 的等边三角形，比荷为em 的电子以速度v 0从A 点沿AB 边入射，欲使电子经过BC 边，磁感应强度B 的取值为( )A ．B >2mv 0ae B ．B <2mv 0aeC ．B >3mv 0aeD ．B <3mv 0ae12．（2016·全国卷Ⅲ） 平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图1-所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)．粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( ) A.mv 2qB B.3mv qB C.2mv qB D.4mv qB13．（05全国Ⅰ）如图，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里。
2放缩圆,收缩圆带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题带电粒子（质量m 、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。
在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10类（25C ），并可归并为6大类型。
所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定．．．顺序．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。
类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。
【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A ．使粒子的速度v <BqL 4mB ．使粒子的速度v >5BqL4mC ．使粒子的速度v >BqL mD ．使粒子的速度BqL 4m <v <5BqL4m【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图甲），在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。
轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。
类型 已知参量类型一 ①⑩ 入射点、入射方向；出射点、出射方向 类型二 ②⑧ 入射点、速度大小；出射点、速度大小 类型三 ③ 入射点、出射点 类型四 ⑦入射方向、出射方向类型五 ⑤⑨ 入射方向、速度大小；出射方向、速度大小； 类型六 ④⑥ 入射点、出射方向；出射点，入射方向图乙图甲 ①②入射点 入射方向入射速度大出射点出射方向① ② ③ ④ ⑧ ⑨⑤⑥⑦⑩【解答】 AB粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有 r 12＝L 2＋(r 1－L 2)2 ， 得 r 1＝5L4由 r 1＝mv 1Bq ，得 v 1＝5BqL 4m ，所以v >5BqL4m时粒子能从右边穿出．粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ′点，有 r 2＝L4由 r 2＝mv 2Bq ，得 v 2＝BqL 4m ，所以v <BqL4m时粒子能从左边穿出．【易错提醒】容易漏选A ，错在没有将r 先取较小值再连续增大，从而未分析出粒子还可以从磁场左边界穿出的情况。
专题59 带电粒子在磁场中的平移圆、放缩圆、旋转圆、磁聚焦模型(解析版)
2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题59 带电粒子在磁场中平移圆、放缩圆、旋转圆、磁聚焦模型特训目标特训内容目标1 带电粒子在磁场中平移圆模型（1T—4T）目标2 带电粒子在磁场中放缩圆模型（5T—8T）目标3 带电粒子在磁场中旋转圆模型（9T—12T）目标4 带电粒子在磁场中磁聚焦模型（13T—16T）【特训典例】一、带电粒子在磁场中平移圆模型1．如图所示，在顶角为23π的等腰三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B且垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。
一群质量为m、电荷量为＋q、速度为v的带电粒子垂直AB 边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。
不计粒子重力和粒子间相互作用力。
下列判断中正确的是（）A．等腰三角形BAC中AB边的长为2mv qBB．粒子在磁场中运动的最长时间为43m qB πC．从A点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为mv qBD．若仅将磁场反向，则从A点射入的粒子在磁场中运动的时间将比改变前缩短【答案】AC【详解】A．由题意可确定运动时间最长的粒子若垂直AC离开，其轨迹圆心必为A点，其轨道必与BC边相切，则由几何关系可知AB边长为半径的两倍，由2mvBqvr=可得mvrqB=则22BA r qB mv==故A 正确； B ．粒子运动时间最长时，圆心角为23πθ=则运动时间为122233m m t T Bq Bq θπππ==⨯=故B 错误； CD ．由几何关系可知，从A 点射入的粒子不论磁场向外还是改为向里，粒子速度的偏转角都是60°，轨迹均为六分之一圆周，则运动时间相同，离开磁场时的位置与A 点的距离为等于半径mvqB，故C 正确，D 错误。
故选AC 。
2．如图所示，在直角三角形ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB 边长度为d ，∠B=6π．现垂直AB 边射入一群质量均为m 、电荷量均为q 、速度大小均为v 的带正电粒子，已知垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t ，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为43t （不计重力）。
专题20 磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(原卷版)
2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练专题20 磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型【特训典例】一、旋转圆模型1．如图所示，空间存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），一放射源P位于足够大的绝缘板AB上方，放射性物质为23892U，发生α衰变后，放出α射线，23490Th留在放射源中，P到AB的距离为d，在纸面内向各个方向发射速率均为v的α粒子，不考虑粒子间的相互作用和α粒子的重力。
已知α粒子做圆周运动的半径也为d，则（）A．核反应方程为23892U→23490Th＋42HeB．板上能被α粒子打到的区域长度是2dC．α粒子到达板上的最长时间为3 2 d v πD．α粒子到达板上的最短时间为2d vπ2．如图所示，在边长为L的等边三角形区域ABC内存在着垂直纸面的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B=，大量质量为m、带电荷量为q的粒子从BC边中点O沿不同的方向垂直于磁场以速率v0射入该磁场区域，不计粒子重力，则下列说法正确的是（）ABC．对于从AB和ACD．对于从AB和AC3．如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量质量为m，电荷量为q的带正电的粒子，在纸面内沿各个方向以速率v从P点射入磁场，这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆弧上且Q点为最远点。
已知PQ圆弧长等于磁场边界周长的四分之一，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（）A．这些粒子做圆周运动的半径rBCD．该圆形磁场中有粒子经过的区域面积为22342RRπ-4．如图所示，长为a 宽为b 的矩形区域内（包括边界）有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，O 点有一粒子源，某时刻粒子源向磁场所在区域与磁场垂直的平面内所有方向发射大量质量为m 电量为q 的带正电的粒子，粒子的速度大小相同，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T ，最先从磁场上边界射出的粒子经历的时间为12T ，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为4T ，不计重力和粒子之间的相互作用，则（ ）A ．粒子速度大小为Bqb mB ．粒子做圆周运动的半径为3bC ．a 的长度为1)bD ．最后从磁场中飞出的粒子一定从上边界的中点飞出二、放缩圆模型5．如图所示，一个边长为l 的正六边形abedef 的区域内有匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向外。
磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(解析版)
磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型特训目标特训内容目标1旋转圆模型(1T-4T)目标2放缩圆模型(5T-8T)目标3平移圆模型(9T-12T)目标4磁聚焦模型(13T-16T)【特训典例】一、旋转圆模型1如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中有一粒子源，粒子源从O点在纸面内同时向各个方向均匀地发射带正电的粒子，其速率为v、质量为m、电荷量为q。
PQ是在纸面内垂直磁场放置的厚度不计的挡板，挡板的P端与O点的连线与挡板垂直，距离为8mv5qB。
设打在挡板上的粒子全部被吸收，磁场区域足够大，不计带电粒子间的相互作用及重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
则()A.若挡板长度为4mv5qB，则打在板上的粒子数最多B.若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最短时间为127πm180qBC.若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最长时间为πmqBD.若挡板足够长，则打在挡板上的粒子占所有粒子的14【答案】D【详解】A．设带电粒子的质量为m，带电量为q，粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供做圆周运动的向心力。
设粒子做圆周运动的半径为r。
则有qvB=m v2r解得r=mvqB能打到挡板上的最远的粒子如图；由几何关系可知，挡板长度L=(2r)2-d2=6mv5qB选项A错误；BC．由以上分析知，当粒子恰好从左侧打在P点时，时间最短，如图轨迹1所示，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ1=106°；对应的时间为t min=θ12πT=106°360°2πmqB=53πm90qB当粒子从右侧恰好打在P点时，时间最长，如图轨迹2所示，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ2=254°对应的时间为t max=θ22πT=254°360°⋅2πmqB=127πm90qB选项BC 错误；D ．如图所示，能打到屏上的粒子，在发射角在与x 轴成37°到127°范围内90°角的范围内的粒子，则打在挡板上的粒子占所有粒子的14，选项D 正确。
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一、平移圆1．适用条件(1)速度大小一定，方向一定，入射点不同但在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则圆周运动半径R＝mvqB，如图所示(图中只画出粒子带负电的情景)。
(2)轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。
2．界定方法将半径为R＝mvqB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆法”。
1、（多）如图所示，在一边长为a的正方形区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。
两个相同的带电荷量为q的粒子，先后从P点和Q点以相同的速度v沿垂直于边界方向射入磁场，两粒子在图中M点相遇。
不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，已知PO=√32a，QO=√36a，MO=12a，则（）A.磁感应强度大小为√2mv0aq B.带电粒子在磁场中运动的半径√33aC.P粒子在磁场中运动的时间为2√3aπ9v0D.Q粒子在磁场中运动的时间为2aπ9v02、(多选)利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子。
图中板MN上方是磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d和d的缝，两缝近端相距为L。
一群质量为m、电荷量为q、速度不同的粒子，从宽度为2d的缝垂直于板MN进入磁场，对于能够从宽度为d的缝射出的粒子，下列说法正确的是( )A．射出粒子带正电B．射出粒子的最大速度为qB(3d＋L)2mC．保持d和L不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D．保持d和B不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大3、(多)如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B＝π6。
现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v(未知)的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中运动的时间为43t(不计粒子重力)。
则下列说法正确的是( )A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4tB．该匀强磁场的磁感应强度大小为πm 2qtC．粒子在磁场中运动的轨迹半径为2 5 dD．粒子进入磁场时的速度大小为3πd 7t4、如图所示，间距为L的、足够长的竖直线MN、PQ间有一水平向右的匀强电场。
MN左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
PQ右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为4B。
一质量为m、电量为q的正粒子，从MN线上O点以大小为v的速度水平向右进入电场，经时间L/3v到达PQ线。
不计粒子重力。
求：（1）匀强电场的场强大小E；（2）若粒子从O点以大小为v、水平向左的速度进入MN左侧磁场（图中未画出），求粒子回到O点经过的时间t。
向，然后经过x轴上的Q点第一次进入磁场，此时粒子的速度v与x轴正方向夹角θ=30°。
粒子在磁场区域做匀速圆周运动，且恰好未从左边界（y轴负半轴）飞出，不计重力，求：（1）磁场强度E的大小；（2）磁感应强度B的大小；（3）粒子自经过P射入电场至从右边界MN 飞出，粒子运动的总时间。
二、缩放圆1．适用条件(1)速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。
(2)轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。
带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上。
2．界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩做轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆法”。
1、不计重力的两个带电粒子M和N沿同一方向经小孔S垂直进入匀强磁场，在磁场中的运动轨迹如图。
分别用vM 与vN、tM与tN、qMmM与qNmN表示它们的速率、在磁场中运动的时间、比荷，则( )A．如果qMmM＝qNmN，则vM>vNB．如果qMmM＝qNmN，则vM<vNC．如果vM ＝vN，则qMmM>qNmND．如果tM＝tN，则qMmM>qNmN2、如图所示，水平放置的平行板长度为L、两板间距也为L，两板之间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在两板正中央P点有一个不计重力的电子(质量为m、电荷量为－e)，现在给电子一水平向右的瞬时初速度v，欲使电子不与平行板相碰撞，则( )A．v0>eBL2m或v<eBL4mB．eBL4m<v<eBL2mC．v0>eBL2mD．v<eBL4m3、(多)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。
一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t后刚好从c点射出磁场。
现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是( )A．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t，则它一定从cd边射出磁场B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t，则它一定从ad边射出磁场C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t，则它一定从bc边射出磁场D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t，则它一定从ab边射出磁场4、(多)如图所示，在圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场。
一系列电子以不同的速率v(0≤v≤vm)从边界上的P点沿垂直于磁场方向与OP 成60°角方向射入磁场，在1/3区域的磁场边界上有电子射出。
已知电子的电荷量为－e，质量为m，不考虑电子之间的相互作用力。
则电子在磁场中运动的( )A．最大半径为r＝32R B．最大速率为v m＝3eBRmC．最长时间为t＝3πm2eBD．最短时间为t＝πmeB5、如图所示，磁感应强度大小为B＝0.15 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径为R ＝0.10 m的圆形区域内，圆的左端跟y轴相切于直角坐标系原点O，右端跟很大的荧光屏MN 相切于x轴上的A点。
置于原点的粒子源可沿x轴正方向射出速度不同的带正电的粒子流，粒子的重力不计，比荷qm＝1.0×108 C/kg。
(1)请判断当粒子分别以v1＝1.53×106m/s和v2＝0.53×106m/s的速度射入磁场时，能否打到荧光屏上；(2)要使粒子能打在荧光屏上，求粒子的速度v的大小应满足的条件；(3)若粒子的速度v＝3.0×106 m/s，且以过O点并垂直于纸面的直线为轴，将圆形磁场逆时针缓慢旋转90°，求此过程中粒子打在荧光屏上离A点的最远距离。
6、如图,在光滑绝缘水平桌面内建立xoy 坐标系,在第Ⅱ象限内有平行于桌面的匀强电场,场强方向与x 轴负方向的夹角θ=45∘.在第Ⅲ象限垂直于桌面放置两块相互平行的平板C 1、C 2,两板间距为d 1=0.6m,板间有竖直向上的匀强磁场,两板右端在y 轴上,板C 1与x 轴重合,在其左端紧贴桌面有一小孔M,小孔M 离坐标原点O 的距离为L=0.72m.在第Ⅳ象限垂直于x 轴放置一块平行y 轴且沿y 轴负向足够长的竖直平板C 3,平板C 3在x 轴上垂足为Q,垂足Q 与原点O 相距d 2=0.18m.现将一带负电的小球从桌面上的P 点以初速度v 0=4√2m/s 垂直于电场方向射出,刚好垂直于x 轴穿过C 1板上的M 孔,进入磁场区域。
已知小球可视为质点,小球的比荷q/m=20C/kg,P 点与小孔M 在垂直于电场方向上的距离为s =√2/10m ，不考虑空气阻力。
求：(1)匀强电场的场强大小；(2)要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板C 3上，求磁感应强度的取值范围。
三、旋转圆及其变形——圆聚焦与圆扩散1．适用条件(1)速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝mvqB，如图所示。
(2)轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点为圆心、半径R＝mvqB的圆上。
2．界定方法将半径为R＝mvqB的圆以带电粒子入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆法”。
1、如图所示，一束不计重力的带电粒子沿水平方向向左飞入圆形匀强磁场区域后发生偏转，都恰好能从磁场区域的最下端P孔飞出磁场，则这些粒子( )A．运动速率相同 B．运动半径相同C．比荷相同 D．从P孔射出时的速度方向相同2、(多选)如图所示，一粒子发射源P位于足够大绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子。
空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力，已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则( ) A．粒子能打在板上的区域长度是2dB．粒子能打在板上的区域长度是(3＋1)dC．同一时刻发射出的粒子打到板上的最大时间差为7πd 6vD ．同一时刻发射出的粒子打到板上的最大时间差为πqd6mv3、(多选)如图所示，S 为一离子源，MN 为长荧光屏，S 到MN 的距离为L ，整个装置处在范围足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B 。
某时刻离子源S 一次性沿平行纸面的各个方向均匀地射出大量的正离子，离子的质量m 、电荷量q 、速率v 均相同，不计离子的重力及离子间的相互作用力，则( )A ．当v<qBL2m 时所有离子都打不到荧光屏上B ．当v<qBLm 时所有离子都打不到荧光屏上C ．当v ＝qBL m 时，打到荧光屏的离子数与发射的离子总数比值为12D ．当v ＝qBL m 时，打到荧光屏的离子数与发射的离子总数比值为5124、如图所示,边界OM 与ON 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场,边界ON 上有一粒子源S.某一时刻,从离子源S 沿平行于纸面,向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用),所有粒子的初速度大小相等,经过一段时间有大量粒子从边界OM 射出磁场。
已知∠MON=30°,从边界OM 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于12T (T 为粒子在磁场中运动的周期),则从边界OM 射出的粒子在磁场中运动的最短时间为() A. 13TB. 14T C. 16TD. 18T5、如图所示，在直角三角形abc 区域（含边界）内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，∠a=60°，∠b=90°，边长ac=l ．一个粒子源在a 点将质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是（ ） A ．m qBl 2 B ．m qBl 63 C ．m qBl 43 D ．mqBl 66、边长为L的等边三角形OAB区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。