乘法公式培优辅导讲义
人教版八年级上册整式的乘除培优讲义
整式的乘除培优讲义考点·方法·破译1．整式的乘法包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等. 2．整式的除法包括单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式等. 3．乘法公式：⑴()()22b a b a b a -=-+.⑵()2222b ab a b a +±=±⑶()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++⑷()()3322b a b ab a b a ±=+±⑸()3223333b ab b a a b a ±+±=±经典·考题·赏析【例１】 计算：⑴()()c b a c b a 3232-+-- ⑵()()()31222-+-+x x x⑶()()()2222211412x x x ++-【解法指导】⑴两个项数相同的多项式相乘，若两个多项式中只存在相同的项与相反的项，则将相同的项结合，相反数的项结合，然后利用平方差公式计算；⑵多项式的积作为减数时一定要将积添上括号，作为一个整体；⑶观察式子的特点，将能够利用公式的项先整合.解：⑴()()c b a c b a 3232-+--＝()[]()[]()22222496432323b c ac a b c a b c a b c a -+-=--=+--- ⑵()()()31222-+-+x x x ＝()3224422---++x x x x＝10864244222++-=++-++x x x x x x⑶()()()2222211412x x x ++-＝()()()[]22141212++-x x x ＝()()[]2221414+-x x ＝()1322561164824+-=-x x x 【变式题组】01．计算：⑴()()()22933y x y x y x ++- ⑵()()c b c b --+22⑶()()c b a c b a -++-3232 ⑷()()()()221222513-+-+-+m m m m02．规定一种运算“＊”：对于任意实数对（x ,y ）恒有（x ,y ）＊(x ,y )＝(x ＋y ＋1),x 2－y －1).若实数a ,b 满足（a ,b ）＊(a ,b )＝(b ,a ),则a ＝__________,b ＝_________ 【例２】在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的正方形（ a ＞b ）（如图甲），把余下部分拼成一个矩形（（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A .()2222b ab a b a ++=+ B .()2222b ab a b a +-=-C .()()b a b a b a -+=-22D .()()2222b ab a b a b a -+=-+【解法指导】图甲中阴影部分面积为22b a -，图乙中阴影部分面积为()()b a b a -+.故选C .【变式题组】01．如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）.把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证求法公式 .02．完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数式也可以用这种形式表示，例如()()22322b ab a b a b a ++=++就可以用图1的形式表示. ⑴请写出图2所表示的代数恒等式 ；⑵请画出一个几何图形，使它的面积能表示成：()()22343b ab a b a b a ++=++a甲乙第1题图 baa aab a a a a ab b bbbb第2题图弦图1图2。
整式乘法乘法公式培优
第二课 整式乘法——乘法公式培优一、平方差②(2)(2)x y x y -+-- ②11()()22a b a b --- ③(2)(2)a b c a b c +---=④(23)(23)a b c a b c ---+- ⑤22(34)(34)a b a b --+=2、已知：12345671234569A =⨯，21234568B =，比较A 、B 的大小，则A B ．3、(1)计算：2481631111111(1)(1)(1)(1)(1)222222++++++= ．(2)2481632(51)(51)(51)(51)(51)(51)++++++=(3)222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)234201620172018---⋯⋯---=二、利用完全平方公式计算：1、（1）()223x - （2）()243x y + （3）()2mn a -（4）()225xy x + （5）()221n n +- （6）（a －b ＋c ）22、（1）22411_________24x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ （2）()22_______p pq -+=三、混合运算（1）1(3x m +2y n +4)(3x m +2y n －4) （2）（m+n ）（m －n ）（m 2－n 2）（3）(x+2y)(x 2-2xy+4y 2) （4）（3x+2）2－（3x －2）2+（3x+2）2（3x －2）2（5）(2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2（6）22(23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++（7）(2x+3y)2(2x-3y)2（8）(3x+2)2-(3x-5)2(9)(x 2+x+6)(x 2-x+6) (10)(9-a 2)2-(3-a)(3-a)(9+a)2（11）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c) （12）x 2–(x+y)(x –y)（13） （14））（15） （16）(a -2b +3c )2-(a +2b -3c )2．（17）(2x ＋y －z ＋5)(2x －y ＋z ＋5) （18） 22)231()231(y x y x --+-（19）()()()()x z x xz z x z x xz z +-+-++222222四、配方1．（1）若292(3)16x k x +-+是完全平方式，则k 的值为 （2）如果26x x k -+是完全平方式，则k 的值为 （3）若22(1)4x k x -++是完全平方式，则k 的值为（4）若29(1)4x k x -++是完全平方式，则k 的值为（5）若多项式224(2)9x k xy y --+是完全平方式，则k 的值是 ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+4428y x y x ()()22875875c b a c b a +---+2．已知：a ，b ，c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++的值.3、实数a ，b ，c 满足2617a b +=-，2823b c +=-，2214c a +=，则a b c ++的值。
乘法公式讲义(沈上楠)
泽仕学堂学科教师辅导讲义．号，括到括号里的2的值．主任签字：泽仕学堂教务处15.2 乘法公式同步练习（一）（一）基本训练，巩固旧知1.计算：(1)(x+3)(x-3)= (2)(m+2)(m-2)=(3)(2x+1)(2x-1)=2.用平方差公式计算：(1) (a+3b)(a-3b) (2) (1+2y)(1-2y)==(3) (4x-5)(4x+5) (4) (12-+2m)(12--2m)3.用平方差公式计算：(1) (3b+a)(a-3b) (2) (3m-4n)(4n+3m)(3) (3+2a)(-3+2a) (4) (7-2a)(-7-2a)4.计算：(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)15.2 乘法公式同步练习（二）（一）基本训练，巩固旧知1.填空：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的，即(a+b)(a-b)= ，这个公式叫做公式.2.用平方差公式计算(1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1)= == =(3) (y+3x)(3x-y) (4) (-2+ab)(2+ab)= == == =3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.(1)(a-b)(a+b)=a2-b2；（） (2)(b+a)(a-b)=a2-b2；（） (3)(b+a)(-b+a)=a2-b2；（） (4)(b-a)(a+b)=a2-b2；（） (5)(a-b)(a-b)=a2-b2. （）4.用多项式乘多项式法则计算：(1) (a+b)2 (2) (a-b)2=(a+b)(a+b) =(a-b)(a-b)= == =5.运用完全平方公式计算：(1) (x+6)2 (2) (y-5)2= == =(3) (-2x+5)2 (4) (34x-23y)2= = = =6.计算：(x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2)===7.选做题：如图，利用图形你能得到公式(a+b)2=a2+2ab+b2吗？15.2 乘法公式同步练习（三）（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)平方差公式(a+b)(a-b)= ；(2)完全平方公式(a+b)2= ，(a-b)2= .2.运用公式计算：(1) (2x-3)2 (2) (-2x+3y)(-2x-3y)= == =(3) (12m-3)(12m+3) (4) (13x+6y)2= == =3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.(1)(a+b)2=a2+b2；（） (2)(a-b)2=a2-b2；（）(3)(a+b)2=(-a-b)2；（）(4)(a-b)2=(b-a)2. （）4.去括号：(1)(a+b)-c= (2)-(a-b)+c=(3)a+(b-c)= (4)a-(b+c)=5.填空：(1)a+b+c=( )+c； (2)a-b+c=( )+c；(3)-a+b-c=-( )-c； (4)-a-b+c=-( )+c；(5)a+b-c=a+( ) (6)a-b+c=a-( )；(7)a-b-c=a-( )； (8)a+b+c=a-( ).6.运用乘法公式计算：新课标第一网(1) (a+2b-1)2 (2) (2x+y+z)(2x-y-z)= == == == =。
六年级下册数学讲义-小升初培优：第01讲 乘法分配律之速算巧算(上)(解析版)全国通用
第01讲乘法分配律之速算巧算（上）教学目标：1、引导学员能运用乘法分配律进行一些简便运算，掌握能用乘法分配律进行简便计算的式题的特点；2、运用乘法分配律的速算和巧算进行相关应用题题型的解决；3、使学员感受数学与现实生活的联系，能用所学知识解决简单的实际问题。
教学重点：使学员掌握乘法分配律并用于简便计算。
教学难点：使学员理解并掌握乘法分配律的转化及应用。
教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）涉及时间方面的统筹安排，如何考虑？①要做哪些事情；②每件事情需要多少时间；③弄清所做事情的程序，即先做什么，后做什么，哪些工作可以同时做，从而根据题意找出最佳方案。
涉及最优方案选择方面的统筹安排，如何考虑？可以将所有的方案一一枚举，再根据问题的要求去分析每个方案，从而选择出满足条件的方案或者几个方案的组合；如果可供选择的方案过多，我们可以调整法进行解答，即先对条件进行假设，再由此进行分析并调整，这样可帮助我们快速将问题解决。
【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）某工地A有20辆卡车，要把60车渣土从A运到B，把40车砖从C运到D（工地道路图如下所示）。
问如何调运最省汽油（最后卡车还要回到A处）？解析部分：把渣土从A运到B或把砖从C运到D，都无法节省汽油，只有设法减少跑空车的距离，才能省汽油。
给予新学员的建议：对于图形尽可能画的更为精确，并强调基础计算能力。
哈佛案例教学法：引导学员多多进行纸上的动手操作演练，鼓励积极的课堂发言。
参考答案：如果各派10辆车分别运渣土和砖，那么每运一车渣土要空车跑回300米，每运一车砖则要空车跑回360米，这样到完成任务总共空车跑了：300×60＋360×40=32400（米）。
如果一辆从从A→B→C→D→A跑一圈，那么每运一车渣土，运一车砖要空车跑：240＋90=330（米）。
因此，先派20辆车都从A开始运渣土到B，再空车开往C运砖到D后空车返回A，这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务。
初中数学辅导讲义沪教版初一C专题(乘法公式2星)
-------------乘法公式：平方差公式、完全平方公式（★★）1. 掌握平方差公式、完全平方公式的概念；2. 会运用平方差公式、完全平方公式进行一些数的简便运算；3. 综合运用平方差公式和完全平方公式进行整式的简便运算；4. 经历探索公式的推导过程，进一步发展符号感和推理能力。
知识结构平方差公式1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.这就是平方差公式.即：22))((b a b a b a -=-+2. 公式的结构特征：（1）左边是两个两项式相乘，这两个二项式中，有一项是完全相同的，另一项是两个互为相反数.（2）右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反的项的平方差.3. 公式的应用：（1）公式中的字母a ，b 可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用此公式进行计算.（2）公式中的a b22-是不可颠倒的，注意是相同项的平方减去相反项的平方，还要注意字母的系数和指数.（3）为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数.如：(a + b) (a - b)= a2－ b2↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓计算：(1 + 2x)(1 - 2x)= ( 1 )2－( 2x )2=1-4x2完全平方公式一块边长为a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。
（如图）用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较，你发现了什么？ ba a b（比较等号左边的代数式的特点，等号右边的代数式的特点，等号左右两边的联系）由此归纳出完全平方公式： （a+b ）2=a 2+2ab+b 2（a-b ）2=a 2-2ab+b2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．1.本部分建议时长5分钟.2.请学生先试着自行补全上图，发现学生有遗忘时教师帮助学生完成.“知识结构”这一部分的教学，可采用下面的策略：“典例精讲”这一部分的教学，可采用下面的策略：完全平方公式是两数和与两数差的平方公式的统称。
沪教版 培优 七年级数学 暑假同步讲义 第7讲 整式的乘法(二)(解析版)
整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式及完全平方公式基础，通过学习我们可以简化某些整式的运算，而后续的因式分解则是整式的乘法的逆运算，因此这一部分的学习可以让学生自己进行体验．探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构．1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数．同底数幂分别相乘的积作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y⋅-=⋅-=-．2、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项．再把所得的积相加．例如：()m a b c⋅++=ma mb mc++．3、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb++=+++=+++．整式的乘法（二）知识结构知识精讲内容分析2/ 11一、填空题：1. ()2255x xy -⋅的运算结果是（）A ．310x yB ．310x y -C ．22x y -D ．22x y【答案】A【解析】()223225251055x xy x xy x y -⋅=⋅=．【总结】本题主要考查学生对幂的运算以及积的乘方法则的运用．2. 化简：()()2212x x x x ---的结果是（ ）A ．3x x --B ．3x x -C ．21x --D ．31x -【答案】B【解析】()()2223321222x x x x x x x x x x ---=--+=-．【总结】本题主要考查学生对幂的运算以及积的乘方法则的理解及运用． 3.()22116623ab a b ab ab ⎛⎫--⋅- ⎪⎝⎭的结果为（）A ．2236a bB ．3222536a b a b +C ．2332223236a b a b a b -++D ．232236a b a b -+【答案】C【解析】()222332221166323623ab a b ab ab a b a b a b ⎛⎫--⋅-=-++ ⎪⎝⎭【总结】本题主要考查对单项式乘以多项式法则的运用．4. 若,M N 分别是关于x 的2次多项式与3次多项式，则MN （ ）A ．一定是5次多项式B ．一定是6次多项式C ．一定是2次或3次多项式D ．无法确定次数【答案】A【解析】设232(0);(0)M ax bx c a N ex dx fx g e =++≠=+++≠，则关于x 的降次排列可得：5MN aex cg =++．∵0ae ≠，∴MN 一定是5次多项式．【总结】本题一方面考查多项式乘以多项式的运算，另一方面考查对多项式的次数的理解．5. 若()()28x x m x -+-中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）A ．8B ．－8C ．0D ．8或－8【答案】B【解析】原式展开后可得一次项为：8mx x +，不含x 的一次项，则80m +=，8m =-． 【总结】本题主要考察多项式与多项式相乘的乘法法则，计算时注意待定系数法的运用．二、填空题 6.()()32321224c abc ac ⎛⎫⋅--= ⎪⎝⎭__________． 【答案】531118a b c -【解析】()()3232333622531111122244648c abc ac c a b c a c a b c ⎛⎫⎛⎫⋅--=⋅-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【总结】本题主要考查学生对单项式乘以单项式的法则的应用．7. 计算：()221196432x y x xy y ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=____________．【答案】3223553223x x y xy y +-+【解析】 ()22322223114996432323232x y x xy y x x y xy x y xy y ⎛⎫++=-++-+ ⎪⎭-⎝3223553223x x y xy y =+-+．【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的理解．8. 若()()225x a x x x b ++=-+，则a ＝__________，b ＝__________． 【答案】7a =-，14b =-．【解析】∵()()222(2)25x a x x a x a x x b ++=+++=-+，∴可得：252a a b +=-⎧⎨=⎩，解得：714a b =-⎧⎨=-⎩．4/ 11【总结】本题主要考查学生对多项式乘以多项式法则的应用，以及乘积中各项系数与因式中常数项之间的关系． 9.212a a ++=，则()()56a a -+＝__________．【答案】29【解析】由212a a ++=可得21a a +=，则()()22563030()29a a a a a a -+=--=-+=． 【总结】在计算本题时要注意整体代入思想的运用．10. 求()()32234123x x x x x ++--+的展开式中，4x 的系数是__________． 【答案】1【解析】原式中乘积可得4x ，有3224(2)3x x x x x ⋅-+⋅=．【总结】计算时注意由于结论只涉及4x 的系数，因此没有必要全部乘出来．11. 若()()2283x ax x x b ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，则()()()22a b a b a b +-+=___________． 【答案】80【解析】原式中乘积可得2x 的项有：222283(83)bx x ax b a x +-=+-，原式中乘积可得3x 的项有：3333(3)x ax a x -+=-．∵不含2x 和3x 项，∴31a b ==，，则()()()224480a b a b a b a b +-+=-=． 【总结】本题主要考查学生对乘积中不含2x 和3x 项的具体理解和运用．三、简答题12. 计算：()32235131215x y xy xy ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】91025576x y ． 【解析】原式()()623691012512591441215576x x x y y y x y ⎛⎫=⋅⋅=⎪⋅⎝⎭． 【总结】本题主要考查学生对单项式乘以单项式的法则的应用．13. 计算：()()()()222335364a b b ab ab ab a ⋅-+-⋅--⋅-． 【答案】337a b -【解析】原式=()322232333333335936164536167a b b a b ab ab a a b a b a b a b ⋅+⋅--⋅=--=- 【总结】本题主要考查学生对单项式乘以单项式的法则以及合并同类项法则的应用．14. 计算：()()232231xy xy y x y -⋅-++． 【答案】223432262x y xy x y xy -+--． 【解析】原式=223432262x y xy x y xy -+--．【总结】本题主要考查学生对单项式乘以多项式法则的运用，在合并同类项时注意符号．15. 计算：321123123a a a a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【答案】226a a -【解析】原式=332161263a a a a a a ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭．【总结】本题在计算时一方面注意单项式乘以多项式法则的应用，一方面注意去括号时符号的变化．16. 计算：()()22556x x x +-+． 【答案】32251330x x x --+．【解析】原式=322322101252530251330x x x x x x x x -++-+=--+． 【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的法则的理解．17. 计算：()()32225231x x x x -+--+． 【答案】54322778155x x x x x -+--+-【解析】原式=54343222346210155x x x x x x x x -+-+-+-+-54322778155x x x x x =-+--+-．6/ 11【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的法则的理解，计算时注意符号．18. 计算：()()()()22x y x y x y x x y +-+--+． 【答案】4xy -【解析】原式=222222224x y x xy y x xy xy -+-+--=-【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的法则以及合并同类项法则的运用．19. 计算：()()()422422816x y x y x x y y +--+． 【答案】642246124864x x y x y y -+- 【解析】原式=224224(4)(816)x y x x y y --+ 642244224681643264x x y x y x y x y y =-+-+-642246124864x x y x y y =-+-【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的法则以及合并同类项法则的运用．20. 计算：（1）()()22321231x x x x +++-；（2）()()()()3223334x y x y x y x y ++--+．【答案】（1）432613+51x x x x ++-；（2）2231818x xy y ++．【解析】（1）原式=432322432693462231613+51x x x x x x x x x x x x +-++-++-=++-（2）原式=22222269463491231818x xy xy y x xy xy y x xy y +++--++=++【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的法则以及合并同类项法则的运用．21. 计算：()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++． 【答案】4223x x -+-【解析】原式=64242644221569104615153399x x x x x x x x x x +++++------4223x x =-+-【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的法则以及合并同类项法则的运用．22. 求()()224a b a b ab +---的值，其中2002a =，2001b =． 【答案】0【解析】()()22222242240a b a b ab a ab b a ab b ab +---=++-+--=【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的法则以及合并同类项法则的运用．23. 先化简，再求值：()()()252212153442x x x x y x x y ⎛⎫-+--++-- ⎪⎝⎭，其中1,2x y =-=．【答案】77【解析】原式=223322(41)51516101613252x x xy x xy x x xy -+---=-+--把1,2x y =-=代入可得：161350277++-=【总结】本题主要考查单项式乘以多项式法则的运用以及代入求值的问题．24. 根据()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，直接计算下列题：（1）1149x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()()82xy a xy a -+．【答案】（1）21313636x x -+；（2）222616x y axy a --【解析】（1）原式=22111131()49363636x x x x +--+=-+（2）原式=222222(82)16616x y a a xy a x y axy a +-+-=--【总结】本题类似于给出一个新算法根据新算法直接进行求值．25. 解方程：()()()()322365115x x x x --=+-+．【答案】13x =-【解析】解：2261366515x x x x -+=--+；124x =-；13x =-【总结】本题主要考查整式的乘法在方程计算中的运用．8/ 1126. 解方程组：()()()()()()121211264x y x y x y y x ⎧-+=+-⎪⎨+-=-⎪⎩．【答案】11x y =⎧⎨=⎩【解析】解：2212222264xy x y xy x y x xy xy y +--=-+-⎧⎨+-=-⎩；34102460x y x y -+=⎧⎨+-=⎩；11x y =⎧⎨=⎩． 【总结】本题主要考查整式的乘法在求方程组的解中的运用．27. 如果442215,3x y x y xy +=-=-，那么4422242323x y xy x y xy y --+++的值． 【答案】12【解析】()()44222444224422232312x y xy x y xy y x y xy x y x y xy x y --+++=+-+=+--= 【总结】本题在计算时注意整体代入思想的运用．四、解答题28. 在长为32a +，宽为23b +的长方形铁片上，挖去长为1b +，宽为1a -的小长方形铁片，求剩余部分的面积． 【答案】5857ab a b +++【解析】12(32)(23)(1)(1)5857S S S a b b a ab a b =-=++-+-=+++【总结】本题主要考查长方形面积公式，割补法的简单运用以及多项式的乘法法则．29. 画出长方形，用长方形的面积分别表示下列各式及运算结果．（1）()a b c d ++；（2）()()a b c m n +++．nm【答案】长方形参考【解析】（1）ab ac ad ++；（2）am an bm bn cm cn +++++ 【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查长方形面积公式，割补法的简单运用以及整式的乘法法则．30. 说明：对于任意的正整数，代数式()()()732n n n n +-+-的值是否总能被6整除． 【答案】证明步骤参考【解析】【解析】原式=2276666(1)n n n n n n +--+=+=+，∵n 为任意正整数，∴总能被6整除． 【总结】本题主要考查数的整除以及整式的乘法法则．31. 若()()22231x ax b x x +--+的积中，3x 的系数为5，2x 的系数为－6，求a ，b ． 【答案】452a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩【解析】其乘积中含3x 的项为：3332x ax -+，其乘积中含2x 的项为：22223bx x ax -+-根据系数的值可得：3252136a b a -+=⎧⎨-+-=-⎩；解得：452a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩．【总结】本题主要考查学生对乘积中不含2x 和3x 项的具体理解和运用．32. 已知：多项式2x ax b ++与31x +的积中含2x 项的系数为10，且积中不含x 项，求ab 的值． 【答案】3ab =-【解析】其乘积中含2x 的项为：223ax x +，而含x 的项为：3bx ax +，ca10/ 11根据系数的值可得：311030a b a +=⎧⎨+=⎩，解得：31a b =⎧⎨=-⎩，所以3ab =-．【总结】本题主要考查学生对乘积中不含x 项的具体理解和运用．33. 设()()3254326356107133212ax x x x b x x x x x -+++=+-++-，求a 与b 的值． 【答案】2,2a b ==-【解析】根据待定系数法，求最高次数项和常数项的值可得：5536ax x =，612b =-即：2,2a b ==-【总结】本题只要考查多项式与多项式的乘法法则的具体应用．34. 求展开式()()3223225372323a a b ab b a ab b -+-+-中32a b 和23a b 的系数． 【答案】0和17【解析】其展开式中含32a b 的项为：322223232325(3)(3)273156210a b a b ab ab a a b a b a b ⋅-+-⋅+⋅=--+=其展开式中含23a b 的项为：22232232323233(3)7223914617a b b ab ab b a a b a b a b a b -⋅-+⋅-⋅=+-=【总结】本题在计算时注意不要全部乘出，只要找出与所求项有关的即可．35. 整式的乘法运算()()4x x m ++，m 为何值时，乘积中不含x 项？m 为何值时，乘积中x项的系数为6？你能提出哪些问题？并求出你提出问题的结论． 【答案】4m =-；2m =；答案不唯一．【解析】2(4)()(4)4x x m x m x m ++=+++；当40m +=时，不含x 项；当乘积中x 项的系数为6时，46m +=，2m =；（提示：对一次项系数和常数项提问都可以）． 【总结】这是一个开放题，再讲解时注意引导．36. 已知a 、b 、m 均为正整数，且()()215x a x b x mx ++=++，则m 可能取的值有多少个？【答案】8,16m =【解析】2()()()x a x b x a b x ab ++=+++；待定系数法可得：15ab a b m =⎧⎨+=⎩，∵a 、b 、m 均为正整数，∴53a b =⎧⎨=⎩或151a b =⎧⎨=⎩或35a b =⎧⎨=⎩，即得8m =或16m =．【总结】本题主要考查学生对多项式乘以多项式法则的应用，以及乘积中各项系数与因式中常数项之间的关系．37. 若()22133x px x x q ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的积中不含x 项与3x 项： （1）求p 、q 的值．（2）求代数式()()2122015201623p q pq p q --++的值． 【答案】（1）13,3p q ==-；（2）36 【解析】乘积中含有x 的项有：(1)pqx x pq x +=+；含有3x 的项有：3333(3)x px p x -+=- 根据题意可得：13,3p q ==-，代入可得： ()()212201520162120152016123(23)(3)3()363p q pq p q ---++=-⋅-+-+⋅-= 【总结】本题一方面涉及幂的运算以及积的乘方，另一方面注意对乘积中不含x 项与3x 项的理解和应用．38. 如果()()2233y ay y y b ++-+的展开式中不含2y 和3y 项，求代数式：()()322122a a b a ab b ⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】-5832【解析】乘积中含2y 的项有：222233(33)ay y by a b y -++=-++；乘积中含3y 的项有：333ay y -；∵不含有2y 和3y 项，∴3,6a b ==；把a 、b 代入可得()()322312(6)3(91818)58322a a b a ab b ⎛⎫--+-+=-⋅⋅-+=- ⎪⎝⎭ 【总结】本题一方面涉及幂的运算以及积的乘方，另一方面注意对乘积中不含2y 和3y 项的。
沪教版 培优 七年级数学 暑假同步讲义 第6讲 整式的乘法(一)(学生版)
整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式及完全平方公式基础，通过学习我们可以简化某些整式的运算，而后续的因式分解则是整式的乘法的逆运算，因此这一部分的学习可以让学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构．
1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式． 注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：2
2224245234312xyxyxyxyxy．
整式的乘法（一） 知识结构 模块一：单项式与单项式相乘 知识精讲
内容分析 2/ 11
【例1】 计算： （1）2445yy； （2）234163xyxy；
（3）2223623ababab．
【例2】 计算： （1）322233xyxyz； （2）2231263xxyyz；
（3）232232130.432xyxyxy．
【例3】 计算： （1）23243335453xyxyxyxy； （2）3222362325333xyzxyzxyzxy．
【例4】 已知：32327823530mnxyxyxyxy，求mn的值．
例题解析 【例5】 先化简，再求值：2333211222abbcabc，其中111abc，，． 1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．例如：mabc=mambmc．
【例6】 计算： （1）2211313242xxx； （2）22232ababab ；
2023年初中数学培优竞赛讲座第讲乘法公式
第十八讲 乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应当做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特性，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．例题【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2023，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)(2)已知(2023一a)(1998一a)=1999，那么(2023一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题) 思绪点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2023一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．注：公式是如何得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表达数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类结识事物的一般规律，而观测、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法． 乘法公式常用的变形有：(1)ab b a b a 2)(222 ±=+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++；(3) ab b a b a 4)()(22=--+； （4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ） A ．M>N B ． M<N C ． M=N D ．无法拟定 思绪点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小．【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1； (天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452． (江苏省竞赛题)思绪点拨 若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特性，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表达数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特性．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值． (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值． (第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题)思绪点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表达，作差比较它们的大小．注： 有些问题经常不能直接使用公式，而需要发明条件，使之符合乘法公式的特点，才干使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；揭示式子的非负性，运用非负数及其性质解题． (2)ab b a 222≥+应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．思绪点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明．学力训练1．观测下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ． (武汉市中考题) 2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． (杭州市中考题) 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ； (3)2199919991999199719991998222-+ ．4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请运用图中空白部分的面积的不同表达方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ． (大原市中考题)5．已知51=+a a ，则2241aa a ++= ． (菏泽市中考题) 6．已知5,3-=+=-cb b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 (扬州市中考题) 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 (重庆市竞赛题) 8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )．A ．4B ．20232C ． 22023D ．420239．若01132=+-x x ，则441xx +的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．710．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．A ．))((22b a b a b a -+=-B ．2222)(b ab a b a ++=+C ．2222)(b ab a b a +-=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+ (陕西省中考题)11．(1)设x+2z ＝3z ，判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?假如是定值，求出它的值；否则请说明理由．(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)． (上海市中考题)12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．13．观测：2514321=+⋅⋅⋅21115432=+⋅⋅⋅21916543=+⋅⋅⋅……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2023×2023×2023×2023+1的结果(用一个最简式子表达)． (黄冈市竞赛题)14．你能不久算出19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n ＝3……这些简朴情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．(1)通过计算，探索规律．152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ． (福建省三明市中者题)15．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． (天津市选拔赛试题)16．(1)若x+y ＝10，x 3+y 3=100，则x 2+y 2＝ ．(2)若a-b=3，则a 3-b 3-9ab ＝ ．17．1，2，3，……，98共98个自然数中，可以表达成两整数的平方差的个数是 ． (初中数学联赛)18．已知a-b=4，ab+c 2+4=0，则a+b=( )． A ．4 B ．0 C ．2 D ．一219．方程x 2-y 2=1991，共有( )组整数解． A ．6 B ．7 C ．8 D ．920．已知a 、b 满足等式)2(4,2022a b y b a x -=++=，则x 、y 的大小关系是( )．A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x<yD ．x>y (大原市竞赛题)21．已知a=1999x+2023，b ＝1999x+2023，c ＝1999x+2023，则多项式a 2+b 2+c 2一ab —bc-ac 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 (全国初中数学竞赛题)22．设a+b=1，a 2+b 2=2，求a 7+b 7的值． (西安市竞赛题)23．已知a 满足等式a 2-a-1=0，求代数式487-+a a 的值． (河北省竞赛题)24．若b a y x +=+，且2222b a y x +=+，求证：1997199719971997b a y x+=+． (北京市竞赛题)25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl ，y 1顺次表达第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺次表达第二号选手胜与负的场数；……；用x 10、y 10顺次表达十号选手胜与负的场数．求证：21022212102221y y y x x x +++=+++ ．26．（1）请观测： 222233*********,335112225,351225,525====写出表达一般规律的等式，并加以证明．(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选此外两个类似26、53的数，使它们能表达成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过度析，可发现其中的奥秘．瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表达为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表达为四个平方数之和．即(a 2+b 2+c 2十d 2)(e 2+f 2+g 2+h 2)=A 2+B 2+C 2+D 2．这就是著名的欧拉恒等式．第十八讲 乘法公式参考答案。
乘法公式的复习讲义
乘法公式的复习讲义乘法是数学中非常重要的运算法则之一、掌握好乘法公式对于学生来说尤为重要，因此本讲义将以学生易于理解和操作的方式介绍乘法公式的内容。
一、乘法公式的基础1.乘法交换律：乘法运算中，乘数的先后顺序不影响最后的结果。
例如：3×4=4×3=122.乘法结合律：乘法运算中，不同乘数进行相乘后再乘以另一个数，结果相同。
例如：2×(3×4)=(2×3)×4=243.乘法分配律：乘法运算中，一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘再相加。
例如：2×(3+4)=2×3+2×4=14二、乘法公式的应用1.加法乘法运算律：利用乘法分配律可以进行更加复杂的计算。
例如：(3+2)×4=3×4+2×4=202.幂运算：乘方运算是指一个数连乘几次自己的运算。
例如：2的3次方表示为2³，即2×2×2=83.积的计算：乘法运算中，两个整数相乘得到的结果称为积。
例如：7×6=424.乘法的逆运算：除法是乘法的逆运算，可以通过除法运算求解未知数。
例如：如果6×x=12，那么x=12÷6=2三、乘法公式的综合应用1.平方的乘法公式：一个数的平方是指这个数乘以自己。
例如：(x + y)² = x² + 2xy + y²2.两个不同数的乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²例如：(3+2)(3-2)=3²-2²=9-4=53.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)例如：4²-3²=(4+3)(4-3)=7×1=74.立方的乘法公式：一个数的立方是指这个数乘以自己两次。
例如：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³注意：(a+b)³不等于a³+b³四、乘法公式的例题应用1.计算16×8÷4=32解析：首先乘法运算，16×8=128，然后除以4，128÷4=322.计算(5+3)×2-7=9解析：先计算括号中的加法，5+3=8，然后乘以2，8×2=16，最后减去7，16-7=93.计算6²+3²=45解析：首先计算平方运算，6²=6×6=36，然后再计算3²=3×3=9，最后相加，36+9=45通过以上的学习和例题应用，相信同学们对乘法公式有了更加深入的理解和掌握。
著名机构七年级数学秋季班讲义乘法公式(教师)
第4课时 乘法公式课时目标（3）学会用文字和字母表示平方差公式，知道平方差公式的结构特征.（4）在数的简捷运算、代数式的化简求值及解方程中正确、熟悉地运用平方差公式.（5）学会用文字和字母表示完全平方公式，知道完全平方公式的结构特征. （6）理解平方差公式和完全平方公式中的字母，既可以表示数，又可以表示单项式或多项式等.（7）在运用乘法公式时，逐步树立代换的思想，利用字母的意义，灵活进行乘法运算，如公式的逆用和配方.知识精要一、平方差公式22()()a b a b a b +-=-注：公式中的 ,a b 既可表示一个数，也可以表示单项式，多项式等代数式. 二、完全平方公式222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+ ( 口诀：首平方，尾平方，二倍首尾放中央.)推广：2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++22222()2222a b c d a b c d ab bc cd da +++=+++++++ 三、乘法公式的变形应用 （1）平方差公式的常见变形 ● 位置变化22()()()()a b b a b a b a b a +-=+-=- ● 符号变化()()()()a b a b b a b a ---=--⋅-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22()b a =--22a b -=2222()()()()()a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+ ● 系数变化如()()()()ma mb a b m a b a b +-=+-22()m a b =- （2）完全平方公式的常见变形 ● 符号变化2222()()2a b a b a ab b --=+=++ 2222()()2a b a b a ab b -+=-=-+ ● 移项变化222()2a b a ab b +=++（1）222()2a b a b ab →+=+-222()2a b a ab b -=-+（2）ab b a b a 2)(222+-=+→22(1)(2)()()4a b a b ab -=+--= （3）立方和（差）公式：2233()()a b a ab b a b ±+=±m热身练习一、填空题1. 计算：)121)(121(+---a a =2114a -2. 计算：11()()33n n x x -+=219n x -3. 计算：)21(y x +-)21(y x --2241y x -=4. 将多项式21x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，你 添加的这个单项式可以是12x ±或或214x 或414x （只要填一个符合题意的即可） 5. =+--+22222)()()(y x y x y x 224x y - 6. 2222(9)(9)(9)x x x -+--=218162x - 二、选择题7.下列运算不能用平方差公式的是（ D ）A.()()a b b a ---B.2222()()m n n m -+C.(13)(31)a a -+D.()()a b a b +-- 8.下列各式的计算中正确的是（ D ）A.22(3)(3)3m n m n m n +-=-B.2(23)(23)29x x x +-=-C.222(2)24x y x xy y +=++D.22(1)21x x x --=++ 9.已知2244(34)169x y A y x --⋅=-，则A 等于（ A ） A.2234x y - B.2243y x - C. 2234x y -- D. 2234x y +10.在一块直径为a +b 的圆形场上，分别划出一个直径为a ，另一个直径为b 的小的圆形场地上植满花卉，剩余的部分铺设草皮，试求需铺设草皮的场地面积. （用,,a b π的代数式表示） 解：ab b a b a S ππππ21)2()2()2(222=--+=精解名题1.分组讨论探索：你们能理解下列图形所表达的恒等式？ 试写出来，并说出图形的意义(1)a + a = a a + a恒等式 ()224a a a =+(2)b=a= + + +恒等式()()224baabba+=+-2.计算：(1) 2(1)(1)(1)x x x+-+；解：原式=22224(1)(1)()11x x x x-+=-=-(2) (1)(1)x y x y+---解：原式=[(1)][(1)]x y x y-+--22(1)x y=--2221x x y=-+-（3）21495033⨯解：原式=11(50)(50)33+-22150()3=-2211850()25002499399=-=-=3.已知,x y a xy b+==.求：（1）22x y+（2）33yx+解：（1）原式22()22x y xy a b=+-=-（2）原式=abayxxyyx3)(3)(33-=+-+4.求证：四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方. 证明：设这四个数分别为,1,2,3a a a a +++，（a 为整数） (1)(2)(3)1a a a a ++++(3)(1)(2)1a a a a =++++222222(3)(32)1(3)2(3)1(31)a a a a a a a a a a =++++=++++=++Θa 是整数，整数的和、差、积、幂也是整数∴231a a ++是整数. ∴四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方 5.用完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律. 解：22(105)100210525a a a +=+⨯⨯+100(1)25a a =++ “个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数的个位数5的平方，幂的百位以上的数字是底数的十位上数字a 乘以(1)a +的积.例如：215225=，幂的百位上的数字212=⨯ 225625= 623=⨯ 2351225= 1234=⨯ ………210511025= 1101011=⨯6.某高级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形的长少6米，比原来长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？ 解：比原来大了，大了36米.设操场改建后的边长为x ，则原操场的长为(6)x +，宽为(6)x -， 根据题意得 222(6)(6)(36)36x x x x x -+-=--= 答：改建后的操场比原来大了36平方米.7.将多项式29x x +加上一个整式后，使它能成为另一个整式的完全平方，你有哪些方法，请尽量写出不同的解法. 解：逆用完全平方公式(1) 加上一个x -后，得22299(3)x x x x x +-== (2) 加上136后，得21936x x ++=21(3)6x + (3) 加上28x x --，得22298x x x x x +--=备选例题一．用平方差公式解题1.计算：2432(12)(12)(12)(12)1+++++L解：原式=121)21()21)(21)(21)(21)(21(32842+-+++++-Λ =121)21()21)(21)(21)(21(328422+-++++-Λ =121)21(64+-- =6422.计算：1)13()13)(13)(13(23242+++++Λ 解：原式=64324231)13()13)(13)(13)(13(=+++++-Λ3.计算：)1611)(411)(211(+++解：原式=)1611)(411)(211)(211(2+++-⨯1282552562552)1611(22=⨯=-⨯=4.计算：)120032003)(120032003(2003200320042-+-解：原式==-+-)120032003)(120032003(200320032004220045.计算：)5423)(5423(++-+-+c b a c b a解：原式=2530161649)42()53(22222+++--=--+a bc c b a b a二．用对称式求值： 1. 已知：0132=++x x ，求37431413++-+x x x x 的值.解：0132=++x x Θ 0≠∴x 两边同除以x 得：013=++x x 31-=+∴xx 18)3(3)3()1(3)1(13333-=-⨯--=+-+=+∴x x x x x x 472]2)3[(2]2)1[(2)1(1222222244=---=--+=-+=+xx x x x x2134771837431413-=+--=++-+∴x x x x 2. 已知：31142=+x x 求：1484++x x x 的值 解：Θ31142=+x x ，∴3124=+x x 即3122=+x x ∴812)1(11122244448=+-+=++=++x x x x x x x ∴811484=++x x x3.已知：0132=++a a ，求(1)a a 1+； (2)221a a +； (3)331a a +； (4)441aa + 解：由已知的：013=++aa ∴(1)31-=+a a (2)72)1(1222=-+=+a a a a(3)18)1(3)1(1333-=+-+=+a a a a a a(4)472)1(122244=-+=+aa a a方法提炼1. 利用平方差公式分解因式，首先要掌握好公式的特点.即项数－－2项，符号－－相反，次数－－偶数.要熟记1～20的平方数.2. 有些多项式需要先提取公因式，然后再用公式法分解，注意一定要分解到使每个多项式因式都不能再分解为止.3. 分解中易出现的错误是：（1）系数不分解为平方数 （2）分解后的因式不整理巩固练习一、选择题1．下列计算中，运算正确的有几个（ C ） (1) a 5+a 5=a 10 (2) (a +b )3=a 3+b 3 (3) (－a +b )(－a －b )=a 2－b 2 (4) (a －b )3= －(b －a )3A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 2．下列各式的计算中，正确的是（ A ） A 、53162() a a a =g B 、(－2a 2)3= －6a 6 C 、－(－a 2)4=a 8 D 、(a 2)3=a 5 3．计算()3535212aa --⎛⎫⎪⎝⎭g 的结果是（ C ） A 、162a B 、4 C 、304a D 、304a - 4．下列各式中，计算错误的是（ D ）A 、(x +1)(x +2)=x 2+3x +2B 、(x －2)(x +3)=x 2+x －6C 、(x +4)(x －2)=x 2+2x －8D 、(x +y －1)(x +y －2)=(x +y )2－3(x +y )－2 5．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为 （ C ） A 、5-B 、5C 、－2D 、26．已知(a +b )2=m ，(a —b )2=n ，则ab 等于（ C ）A 、()n m -21B 、()n m --21C 、()n m -41 D 、()n m --417．)12)(12(+-+x x 的计算结果是 （ B ）A 、142+xB 、 241x -C 、 241x +D 、 142--x8．已知：有理数满足0|4|)4(22=-++n nm ，则22n m 的值为（ B ）A 、±1B 、1C 、 ±2D 、2 9．若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（ A ） A 、 －24ab B 、2ab C 、24ab D 、－12ab 10．下列运算中，正确的是（ B ）A 、()222a b a b +=+ B 、()2222x y x xy y --=++ C 、()()2326x x x +-=- D 、()()22a b a b a b --+=-11．如果一个单项式与3ab -的积为234a bc -，则这个单项式为（ B ）A 、214a cB 、14acC 、294a cD 、94ac12．为了应用平方差公式计算()()c b a c b a -++-，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（ D ）A 、()[]()[]b c a b c a +--+B 、()[]()[]c b a c b a -++-C 、()[]()[]a c b a c b +--+D 、()[]()[]c b a c b a -+-- 13．在①x 2－(－2)2＝(x +2)(x －2)；②(2a +b )2＝4a 2+b 2；③(81×10)0＝1；④(m +2)(m －4)＝m 2－8中正确的算式有 （ B ）A 、 1个B 、2个C 、3个D 、 4个 14．已知7)(2=+b a ，3)(2=-b a ，则22b a +与ab 的值分别 （ C ）A 、 4，1B 、2，23C 、5，1D 、 10，2315．（－x －y ）2 展开后的结果是（ B ）A 、－x 2－2xy －y 2B 、x 2+2xy +y 2C 、－x 2－2xy +y 2D 、x 2－2xy +y 2 二、填空题1．若1,2=-=-c a b a ，则=-+--22)()2(a c c b a 10 .22123101122124_______________--⨯=2．若3,2a b ab +=-=，则22a b += 5 ，()2a b -= 1 . 3．已知a a 1-=3，则221aa +的值等于 11 . 4．如果x 2－kx ＋9y 2是一个完全平方公式的结果，则常数k ＝y 6±.自我测试一．填空题1.2)(c b a +-=bc ac ab c b a 222222-+-++.2.18a a +=，则221__________________a a+=. 3.22(23)(32)______________a b a b ---=.4.442249)7(p q q p A -=-⨯，则代数式A 为_____________________5.2222(2)()mn m n +-=_______________________.6.712×688+144 = 490000 .7. －10200 . 解：原式= 102001011)1123(10112322222=-=--- 二．运用乘法公式计算 8.(1)(1)x y x y ++-- 解：原式=2212x y xy ---9.22()()a b c d a b c d ++--+-+ 解：原式=bd ad bc ac 4444--+622255a b -+227p q --42242m m n m ++10.2111()(2)(2)428x x x -++解：原式=)812)(41)(41(22++-x x x=)812)(161(222+-x x=)812)(812(22+-x x= 41464x -11.222()5()()3()x y x y x y x y +-+-+- 解：原式=2210xy y -+12.不论a 取任何整数值，代数式281a a k -+-的值总是整数的平方，求k 的值. 解：由已知得：a ab a a 82,== 4=∴b 241=-∴k 15-=∴k补充练习：（根据需要自己选用）测试1 平方差公式1．下列各式中能使用平方差公式的是（ A ） A. B.C. D.2.下面计算正确的是（C ）A. 原式=B. 原式=C. 原式=D. 原式=3.的计算结果是（C ）A． B. C. D.4.巧算：原式==2原式==5.x, y为正整数，且,你能求出x, y 的值吗？试一试。
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乘法公式培优训练题型一：a±型1．已知x2﹣3x+1=0，则= ．2．若a2+=14，则a+﹣5的值为．3．已知a+=7，则a3+的值是．4．已知=3，则= ．5．（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x﹣，求x2+的值；（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．题型二：换元，整体思想1．已知a+b=4，则= ．2．已知（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，则（2017﹣a）（2016﹣a）= ．3．已知（2017﹣A）2（2015﹣A）2=2016，则（2017﹣A）2+（2015﹣A）2的值为．4．计算（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）的结果是．5．计算（a1+a2+…+an﹣1）（a2+a3+…+an﹣1+an）﹣（a2+a3+…+an﹣1）（a1+a2+…+an）= ．题型三、添与凑1．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？2．化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1= ．3．计算下列各式：（1）1﹣= ；（2）（1﹣）（1﹣）= ；（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）= ；（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）4．（1）计算：（a﹣1）（a+1）= ；（a﹣1）（a2+a+1）= ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）= ；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）= ；（3）利用上面的结论，求下列各式的值．①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1 ②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1．题型四、化简求值1．已知代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2（1）当x=1，y=3时，求代数式的值；（2）当4x=3y，求代数式的值．3．已知a2+2a﹣2=0，求代数式（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）的值．3．（1）已知a2+b2=3，a﹣b=1，求（2﹣a）（2﹣b）的值．（2）设b=ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a（a+b）能化简为12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．4．计算：（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）•（﹣a5b2）；（2）已知x m=3，x n=2，求x2m﹣3n的值；（3）已知6x=5y，求代数式（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2的值．题型五、综合运用1．如果等式x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C恒成立，其中B，C为常数，B+C= ．2．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1=0，求其面积．3．两个不相等的实数a，b满足a2+b2=5．（1）若ab=2，求a+b的值；（2）若a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，求a+b和m的值．4．已知|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．5．将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad ﹣bc．上述记号叫做2阶行列式，若=8．求x的值．6．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．（1）图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来．（2）图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积．7．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片（其中m＞n），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形．（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：①；②．（2）写出关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式．（3）若m+n=10，mn=20，求图2中阴影部分的面积．8．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．a2+ab=a（a+b）（2）若x2﹣9y2=12，x+3y=4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）9．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．10．（1）已知a+b=3，ab=﹣2，求代数式（a﹣b）2的值．（2）已知a、b满足（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，求a+b的值．11．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）（1）图①中长方形的面积S1= ；图②中长方形的面积S2=比较：S1S2（填“＜”、“=”或“＞”）（2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则①求正方形的边长（用含m的代数式表示）；②试探究：该正方形面积S与图①中长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1、S2之间（不包括S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值．12．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．26．已知x、y互为相反数，且（x+3）2﹣（y+3）2=6，求x、y的值．2017年12月02乘法公式培优训练参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知x2﹣3x+1=0，则= 7 ．【解答】解：∵x2﹣3x+1=0，∴x+=3，∴（x+）2=x2++2=9，∴x2+=7．故答案为：7．2．化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1= 732．【解答】解：原式=（7﹣1）（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（72﹣1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（74﹣1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（78﹣1）（78+1）（716+1）+1=（716﹣1）（716+1）+1=732﹣1+1=732．故答案为：7323．已知（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，则（2017﹣a）（2016﹣a）= 0 ．【解答】解：∵（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，∴[（2017﹣a）﹣（2016﹣a）]2+2（2017﹣a）（2016﹣a）=1，即1+2（2017﹣a）（2016﹣a）=1，∴2（2017﹣a）（2016﹣a）=0，∴（2017﹣a）（2016﹣a）=0，故答案为：0．4．若a2+=14，则a+﹣5的值为﹣1或﹣9 ．【解答】解：∵a2+=14，∴a2+2+=14+2，即=16，∴a+=±4，∴a+﹣5=﹣1或﹣9，故答案为：﹣1或﹣9．5．已知a+b=4，则= 8 ．【解答】解：=（a2+2ab+b2）=（a+b）2=×42=8．故答案是：8．6．已知=3，则= 119 ．【解答】解：，=119，故答案为：119．7．已知（2017﹣A）2（2015﹣A）2=2016，则（2017﹣A）2+（2015﹣A）2的值为4+24．【解答】解：设x=2017﹣A，y=2015﹣A，∴x2y2=2016，∴xy=±12，∴x﹣y=2∴x2+y2=（x﹣y）2+2xy=4±24∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4+24∴（2017﹣A）2+（2015﹣A）2=4+24故答案为：4+248．已知a+=7，则a3+的值是322 ．【解答】解：∵a+=7，∴（a+）2=49，∴a2++2=49，∴a2+=47，∴a3+=（a+）（a2﹣1+）=7×46=322．故答案为：322．9．如果等式x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C恒成立，其中B，C为常数，B+C= 11 ．【解答】解：∵x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C=x2+（B﹣2）x+1+C恒成立，∴B﹣2=3，1+C=2，∴B=5，C=6，故B+C=11．故答案为：11．10．计算（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）的结果是．【解答】解：（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）=（1﹣﹣）×（+）+（1﹣﹣）×﹣（1﹣﹣）×（+）﹣（﹣）×（+）=（1﹣﹣）×+×（+）=（1﹣﹣++）×=．故答案为：．11．计算（a1+a2+…+an﹣1）（a2+a3+…+an﹣1+an）﹣（a2+a3+…+an﹣1）（a1+a2+…+an）=a 1an．【解答】解：设x=a1+a2+…+an，y=a2+a3+…+an﹣1，则原式=（x﹣an ）（y+an）﹣yx=xy+xan ﹣any﹣an2﹣xy=an （x﹣y）﹣an2=an [（a1+a2+…+an）﹣（a2+a3+…+an﹣1）]﹣an2=an （a1+an）﹣an2=a1an ，故答案为：a1an ．二．选择题（共16小题）12．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1=0，求其面积．【解答】解：由题意得：2（x+y）=16，解得：x+y=8①；∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1=（x﹣y﹣1）2=0，∴x﹣y=1②．联立①②成方程组，解得：，∴长方形面积S=xy=×=cm2．答：长方形的面积为cm2．13．两个不相等的实数a，b满足a2+b2=5．（1）若ab=2，求a+b的值；（2）若a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，求a+b和m的值．【解答】解：（1）∵a2+b2=5，ab=2，∴（a+b）2=a2+2ab+b2=5+2×2=9，∴a+b=±3；（2）∵a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，∴a2﹣2a=b2﹣2b，a2﹣2a+b2﹣2b=2m，∴a2﹣b2﹣2（a﹣b）=0，∴（a﹣b）（a+b﹣2）=0，∵a≠b，∴a+b﹣2=0，∴a+b=2，∵a2﹣2a+b2﹣2b=2m，∴a2+b2﹣2（a+b）=2m，∵a2+b2=5，∴5﹣2×2=2m，解得：m=，即a+b=2，m=．14．已知|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．【解答】解：∵|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，∴|x﹣y+1|与（x+4）2互为相反数，即|x﹣y+1|+（x+4）2=0，∴x﹣y+1=0，x+4=0，解得x=﹣4，y=﹣3．当x=﹣4，y=﹣3时，原式=（﹣4﹣3）2=49．15．将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad ﹣bc．上述记号叫做2阶行列式，若=8．求x的值．【解答】解：根据题意化简=8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2=8，整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8=0，即4x=8，解得：x=2．16．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．（1）图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来．（2）图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积．【解答】解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）∵a+b=10，ab=20，=a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×∴S阴影20=50﹣30=20．17．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片（其中m＞n），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形．（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：①（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn ．（2）写出关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式（m+n）2=（m﹣n）2+4mn ．（3）若m+n=10，mn=20，求图2中阴影部分的面积．【解答】解：（1）图2中阴影部分的面积：①（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；（2）关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；故答案为：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；（3）∵m+n=10，mn=20，∴图2中阴影部分的面积为：（m+n）2﹣4mn=102﹣4×20=20．18．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？【解答】解：（1）原式=（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（34﹣1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（332﹣1）×（332+1）+1=364；②∵31=3，32=9，33=27，34=8135=243，36=729，…∴每3个数一循环，∵64÷3=21…1，∴364的个位数字是3．19．计算下列各式：（1）1﹣= ；（2）（1﹣）（1﹣）= ；（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）= ；（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）【解答】解：（1）1﹣=；（2））（1﹣）（1﹣）=；（3）原式=；故答案为；；；（4）原式=•••…•=．20．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 B （请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．a2+ab=a（a+b）（2）若x2﹣9y2=12，x+3y=4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）【解答】解：（1）根据阴影部分面积相等可得：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），上述操作能验证的等式是B，故答案为：B；（2）∵x2﹣9y2=12，∴x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）=12，∵x+3y=4，∴x﹣3y=3；（3）原式====．21．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果892（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1=（82+3×8+1）2=892；故答案为：892；（2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2，理由如下：等式左边=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=n4+6n3+9n2+2n2+6n+1=n4+6n3+11n2+6n+1，等式右边=（n2+3n+1）2=（n2+1）2+2•3n•（n2+1）+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1，左边=右边．22．（1）已知a+b=3，ab=﹣2，求代数式（a﹣b）2的值．（2）已知a、b满足（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，求a+b的值．【解答】解：（1）∵a+b=3，ab=﹣2，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32﹣4×（﹣2）=17；（2）（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，4（a+b）2﹣9=55，（a+b）2=16，a+b==±4．23．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）（1）图①中长方形的面积S1= m2+8m+7 ；图②中长方形的面积S2= m2+6m+8比较：S1＞S2（填“＜”、“=”或“＞”）（2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则①求正方形的边长（用含m的代数式表示）；②试探究：该正方形面积S与图①中长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1、S2之间（不包括S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值．【解答】解：（1）图①中长方形的面积S1=（m+7）（m+1）=m2+8m+7，图②中长方形的面积S2=（m+4）（m+2）=m2+6m+8，比较：∵S1﹣S2=2m﹣1，m为正整数，m最小为1，∴2m﹣1≥1＞0，∴S1＞S2；（2）①2（m+7+m+1）÷4=m+4；②S﹣S1=（m+4）2﹣（m2+8m+7）=9定值；（3）由（1）得，S1﹣S2=2m﹣1，∴当10＜2m﹣1≤11时，∴＜m≤6，∵m为正整数，∴2m﹣1=11，m=6．故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8，＞．24．（1）计算：（a﹣1）（a+1）= a2﹣1 ；（a﹣1）（a2+a+1）= a3﹣1 ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）= a4﹣1 ；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）= a2018﹣1 ；（3）利用上面的结论，求下列各式的值．①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1．【解答】解：（1）（a﹣1）（a+1）=a2﹣1；（a﹣1）（a2+a+1）=a3﹣1；（a﹣1）（a3+a2+a+1）=a4﹣1；故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）=a2018﹣1；故答案为：a2018﹣1；（3）理利用上面的结论，求下列各式的值．①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1=（2﹣1）×（22017+22016+22015+22014+…+22+2+1）=22018﹣1；②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1=（5﹣1）×（52017+52016+52015+52014+…+52+5+1）=×（52018﹣1）．25．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．【解答】解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4=x2﹣2xy+y2+y2+4y+4=（x﹣y）2+（y+2）2=0，∴x﹣y=0，y+2=0，解得x=﹣2，y=﹣2，∴x y=（﹣2）﹣2=；（2）∵a2+b2=10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16=0，即（a﹣5）2+（b﹣4）2=0，a﹣5=0，b﹣4=0，解得a=5，b=4，∵c是△ABC中最长的边，∴5≤c＜9．26．已知x、y互为相反数，且（x+3）2﹣（y+3）2=6，求x、y的值．【解答】解：∵x、y互为相反数，∴y=﹣x，∴（x+3）2﹣（y+3）2，=（x+3）2﹣（﹣x+3）2，=x2+6x+9﹣x2+6x﹣9，=6，即12x=6，解得x=，∴y=﹣x=﹣．故答案为：x、y的值分别是，﹣．27．（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x﹣，求x2+的值；（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．【解答】解：（1）猜想a2+b2≥2ab，理由为：∵a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab；（2）把x﹣=5两边平方得：（x﹣）2=x2+﹣2=25，则x2+=27；（3）x2+≥2，即最小值为2．三．解答题（共4小题）28．已知代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2（1）当x=1，y=3时，求代数式的值；（2）当4x=3y，求代数式的值．【解答】解：原式=x2﹣4xy+y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2=﹣4xy+3y2（1）当x=1，y=3时，原式=﹣12+3×9=﹣12+27=15（2）当4x=3y时，原式=﹣y（4x﹣3y）=029．已知a2+2a﹣2=0，求代数式（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）的值．【解答】解：（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）=9a2﹣4﹣8a2+2a=a2+2a﹣4，当a2+2a﹣2=0，即a2+2a=2时，原式=2﹣4=﹣2．30．（1）已知a2+b2=3，a﹣b=1，求（2﹣a）（2﹣b）的值．（2）设b=ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a （a+b）能化简为12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）把a﹣b=1两边平方得：（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=1，把a2+b2=3代入得：3﹣2ab=1，即ab=1，∵（a+b）2=a2+b2+2ab=3+2=5，∴a+b=±，则原式=4﹣（a+b）+ab=5±；（2）原式=4a2﹣4ab+b2﹣a2+4b2+4a2+4ab=7a2+5b2，当b=±a时，原式=12a2，则m=±1．31．计算：（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）•（﹣a5b2）；（2）已知x m=3，x n=2，求x2m﹣3n的值；（3）已知6x=5y，求代数式（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2的值．【解答】解：（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）•（﹣a5b2）=﹣2a5bc•（﹣a5b2）=a10b3c（2）∵x m=3，x n=2，∴x2m﹣3n=（x m）2÷（x n）3=32÷23=（3）（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2 =x2﹣6xy+9y2﹣x2+y2﹣5y2=5y2﹣6xy=y（5y﹣6x）∵6x=5y，∴原式=y×0=0．。