高中数学教师必备的知识定积分的概念和性质公式
第五章_第一节_不定积分的概念、性质.
经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、
定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分
经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)
定积分的概念和性质公式
1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限
其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点
怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立
定积分的概念和性质公式
1.曲边梯形的面积 设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间 兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12… 在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积 求和取极限：则面积取极限
J=1 其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成 n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。任取? _ _ 做 求和取极限：则路程一取极限 将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间 上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ， 记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的 点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即 定义设函数」?、在L?二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点
其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。■叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间 上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所 3.
高中数学定积分知识点
数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如
定积分的性质和基本定理
第二节 定积分的性质 和基本定理 用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭 示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效 §2.1 一、定积分的基本性质 性质 1 b a 1dx=∫b a dx=b-a 证 0 lim →λ∑=n 1 i f(ξi ）Δx i ＝ lim →λ∑=n 1 i １·Δx i ＝0 lim →λ (b-a)=b-a b a 1dx=∫b a dx=b-a 性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b ］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b ］
b a ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β ∫b a g(x)dx 证：设F(x)=αf(x)+β g(x), lim →λ∑=n 1 i F(ξi ）Δx i ＝0 lim →λ［αf(ξi )+βg(ξi ）］ Δx i ＝0 lim →λ［α∑ =n 1 i f(ξi ）Δx i ＋β ∑ =n 1 i g(ξi ）Δ x i ］ ＝αb a f(x)dx+β∫b a g(x)dx αf(x)+βg(x)在［a,b b a ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫ b a f(x)dx+β ∫b a g(x)dx 特别当α=1,β=± 1 b a ［f(x)±g(x)］dx=∫ b a f(x)dx ±∫ b a g(x)dx 当β =0 b a αf(x)dx=α∫ b a f(x)dx 性质 2 性质3 对于任意三个实数a,b,c ，若f(x)在任意 两点构成的区间上可
高中数学-定积分的概念测试
高中数学-定积分的概念测试 1．定积分??0 1 1d x 的值等于 ( ) A ．0 B ．1 C.1 2 D ．2 答案 B 2．已知??1 3 f (x )d x ＝56，则 ( ) A.??1 2 f (x )d x ＝28 B.??2 3f (x )d x ＝28 C.??1 22f (x )d x ＝56 D.??12f (x )d x ＋??2 3 f (x )d x ＝56 答案 D 3．如图所示，??a b f 1(x )d x ＝M ，??a b f 2(x )d x ＝N ，则阴影部分的面积为 ( ) A ．M ＋N B ．M C ．N D ．M －N 答案 D
4．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式 ( ) (1)??01 x d x ________??0 1x 2d x (图1)； (2)??01x d x ________??1 2 x d x (图2)； (3)??024－x 2d x ________??0 2 2d x (图3)． 答案 (1)> (2)< (3)<
1．定积分可以表示图形的面积 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分??a b f (x )d x 就表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分??a b f (x )d x 的几何意义． 2．定积分表示图形面积的代数和 被积函数是正的，定积分的值也为正，如果被积函数是负的，函数曲线在x 轴之下，定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积．当被积函数在积分区间上有正有负时，定积分就是x 轴之上的正的面积与x 轴之下的负的面积的代数和． 3．此外，定积分还有更多的实际意义，比如在物理学中，可以用定积分表示功、路程、压力、体积等． 4．定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即??a b f (x )d x ＝??a b f (u )d u ＝??a b f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性)，另外定积分??a b f (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得的值也不同，例如??01(x 2＋1)d x 与??0 3(x 2 ＋1)d x 的值就不同.
定积分基本公式
定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d x a f x x ?是一个定数， 这种写法有一个不方便之处，就是 x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免 t ，于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x a f t t ? （ a ≤x ≤ b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导，且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?（ a ≤x ≤ b ）. 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数.
例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==； πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数： (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ； 解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e x u =，所以按复合函数求导 法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知，变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数，于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?.
定积分计算公式和性质
第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10
定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12
高等数学第五章定积分总结
第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积?(1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b
第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量?
高中数学-定积分的概念练习
高中数学-定积分的概念练习 一、基础达标 1．下列命题不正确的是 ( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则 B ．若f (x )是连续的偶函数，则 C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则??a b f (x )d x >0 D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且??a b f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正 答案 D 2．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3 ＋sin x 围成的平面图形的面积可表示为 ( ) A. B ．2??0 1(x 3 ＋sin x )d x C ． D.??0 1(x 3 ＋sin x )d x 答案 B 3．已知??a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，??a b g (x )d x ＝10，则??a b f (x )d x 等于 ( ) A ．8 B ．10 C ．18 D ．不确定 答案 A 4．已知定积分??06f (x )d x ＝8，则f (x )为奇函数，则??-6 6f (x )d x ＝ ( ) A ．0 B ．16 C ．12 D ．8 答案 A 5．根据定积分的几何意义，用积分表示如图所示各图的阴影部分的面积， S ＝________.
答案 ??a b [f 1(x )－f 2(x )]d x (两图积分式相同) 6．由定积分的几何意义，定积分sin x d x 表示________． 答案 由直线x ＝0，x ＝π 2，y ＝0和曲线y ＝sin x 围成的曲边梯形的面积 7．根据定积分的几何意义推出下列积分的值． (1) x d x ；(2) cos x d x . 解 若x ∈[a ，b ]时，f (x )≥0，则??a b f (x )d x 的几何意义是表示由直线x ＝a ，x=b y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的平面图形的面积；若x ∈[a ，b ]时，f (x )≤0，则??a b f (x )d x 表示所围成的图形面积的负值． (1)如图①，x d x ＝－A 1＋A 1＝0. (2)如图②，cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0. 二、能力提升 8．和式 1n ＋1＋1n ＋2＋ (12) ，当n →∞时的极限值用定积分式子可表示为 ( ) A.??011x d x B.? ?0 1 1 x ＋1d x
5.1 定积分的概念与性质-习题
1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴ b a xdx ? （a b <）； 【解】第一步：分割 在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a x k n -=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+， （1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b a n -?=， 取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+， （1,2,,k n =）， 第二步：求和 对于函数()f x x =，构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1) []2 b a b a n n na n n ---=+? ^ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步：取极限 令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=， 即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。
定积分的概念与性质练习
第一节 定积分的概念与性质 一、选择题 1. A ； 2. C . 二、填空题 1. （1）1; （2）0; （3）4 π. 2. （1）1 2 x dx ? > 1 30 x dx ? ， （2）2 1ln xdx ? > () 2 2 1ln x dx ?， （3） 20 xdx π ? < 20 sin xdx π ? ， （4）4 3 ln xdx ? < () 4 2 3ln x dx ?. 三、 解 由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分2 21 x dx -? 是存在的，且它与分法无关，同 时也与点的取法无关. 将区间[]0,1n 等分，得1 i x n = ，取() 1,2,, i i i n n ξ== 作和 ()2 3 2 1 1 13 344 0001114 n n n n i i i i i n n i S x i n n n n ξ---===+??==== ???∑∑∑ 于是 1 lim 4n n S →∞= 即 13 014 x dx =?. 四、 细棒的质量()0 l x dx ρ?. 五、 1 13 x e dx -+? 311 x e dx +-=-?. 设()()1 1,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加， 从而 ()()()13f f x f -≤≤，即1 41x e e +≤≤. 于是 3 141 44x e dx e +-≤≤? 从而 1 4 13 44x e e dx -+-≤ ≤-? . 六、 设()()2 21,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点1 4 x = . ()17101,,1482f f f ???? === ? ????? .所以 min ()f x =1, max ()f x =78. 1≤≤ 由定积分性质，得 1 2012≤≤ ?.
高中数学定积分的概念教案新人教版选修2-2
§1.5.3定积分的概念 教学目标： 1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景； 2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分； 3.理解掌握定积分的几何意义． 教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习： 1． 2二．新课讲授 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[ ,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a x n -D =），在每个小区间 []1,i i x x -上任取一点()1,2, ,i i n x =L ，作和式： 11 ()()n n n i i i i b a S f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ? ）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =ò， 其中 - ò积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量， [,]a b －积分区间，( )f x dx －被积式。 说明：（1）定积分() b a f x dx ò是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n ? 时）记 为 ()b a f x dx ò，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取 点[]1,i i i x x x -?；③求和：1 ()n i i b a f n x =-?；④取极限：() 1 ()l i m n b i n a i b a f x dx f n x =-=?ò （3）曲边图形面积：()b a S f x dx = ò；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =ò ；变力做功 ()b a W F r dr = ò 2．定积分的几何意义
人教版高中数学定积分概念及其运算
第 1 页 定 积 分 一、定积分的概念 1、曲边梯形的面积 分割→近似取代→求和→求极限 说明：（1）常用的求和公式 )12)(1(61...3212222++=++++n n n n 223333)1(4 1...321+=++++n n n （2）在定积分理论中，这种分割是任意的，只要保证每个区间的长度都向于0.在这里“等分”与“任意分割”等价的。 2、定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 3、定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[]b a ,上函数 )(x f 连续且恒有0)(≥x f 。那么定积分?b a dx x f )(表示由直线a x = b x =,)(b a <，0=y 和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形 的面积。 4.性质1 、 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质2、 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±??? （定积分的线性性质） 性质3 、 ()()()() b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<
(新课程)高中数学《1.5定积分的概念》导学案 新人教A版选修22
学习目标 1．理解曲边梯形面积的求解思想, 掌握其方法步骤； 2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件； 3．明确定积分的几何意义和物理意义； 4．无限细分和无穷累积的思维方法. 学习过程 一、课前准备 （预习教材，找出疑惑之处） 复习1：函数23 (sin) y x =的导数是 复习2：若函数2 log(23) a y x x =--的增区间是(,1) -∞-，则a的取值范围是 二、新课导学 学习探究 探究任务一：曲边梯形的面积 问题：下图的阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线() y f x =的一段，我们把直线x a =，x b =() a b ≠，0 y=和曲线() y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 如何计算这个曲边梯形的面积呢？ 研究特例：对于1 x=，0 y=，2 y x =围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？ 新知：1.用流程图表示求曲边三角形面积的过程 分割?近似代替?求和?取极限 2.定积分的定义： 1 ()lim() n b i a n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ? 3.定积分的几何意义：
4.定积分的性质： （1）()()b b a a kf x dx k f x dx =?? （k 为常数） （2）1212[()()]()() b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±??? （3）()()() b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+???（其中a c b <<） 试试：求直线0,2,0x x y ===与曲线2y x =所围成的曲边梯形的面积. 反思：在求曲边梯形面积过程中，你认为最让你感到困难的是什么？（如何分割，求和逼近是两大难点） 典型例题 例1 利用定积分的定义，计算1 30x dx ?的值 变式：计算2 30x dx ?的值，并从几何上解释这个值表示什么？
数学分析定积分的基本性质
牡丹江师范学院教案 学院系别：理学院 课程名称数学分析（2）授课专业和班级 授课内容定积分的基本性质 授课学时 2学时 教学目的使学生理解定积分的五个基本性质，并能够运用这些性质进行定积分的计算和估值等问题的处理 教学重点定积分的五个基本性质 教学难点区间可加性及其应用 教具和媒体使用 教学方法 启发式几何直观 反例 教学过程 包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题布置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容 时间分配 (90分钟)一、复习所需要的知识1．定积分的概念2．可积准则 二、逐次给出定积分的五个基本性质，并加以证明和应用 1、线性运算法则 2、乘积的可积性 3、绝对可积性 4、保不等式性 5、积分区间上的可加性 6、说明一个重要结论定积分与函数再有限点处的值无关三、处理两个综合性问题： 1、证明Schwartz 不等式 2、处理一个与保不等式性相关的重要结论四、总结作业 5 60205板书设计 定积分的基本性质 性质1性质4性质6性质2性质5证明Schwarz 不等式性质3问题2 讲授新拓展内容 关于 ],[2b a L 的介绍 课后总结 定积分的性质再定积分的计算与估值中的作用 系主任 年 月 日
教学过程全设计与教学内容 教学内容 备注 一、复习定积分的概念与可积准则（教师板书） 给出本次课程在概念和可积准则的基础上来研究定积分的基本性质 定积分的基本性质（板书） 二．定积分的基本性质及其证明1.定积分的线性运算法则 定理1若函数,[,]f g R a b ∈，则对任意的常数,R αβ∈有+[,]f g R a b αβ∈，且 []()()d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x αβαβ+=+?? ?证明：应用定积分的定义，此处略。2.定积分的乘积可积性 ,[,]f g R a b ∈，则有[,]f g R a b ?∈. 证明：因,[,]f g R a b ∈，记|()|, |()|f g f x M g x M ≤≤则对任意的0ε>，存在分割1T ，使得1 ()2i T g f x M ε ω?< ∑，同理存在分割2T ，使得2 ()2i T f g x M ε ω?< ∑取分割分割12T T T =+,在此分割下，我们记每个小区间为i ?因使得，则 |()()()()||()()()()||()()()()|,,[,]f x g x f y g y f x g x f x g y f x g y f x g y x y a b -≤-+-?∈进而有 ,,,sup |()()()()|sup |()()|sup |()()()()|, i i i f g x y x y x y f x g x f y g y M g x g y M f x g y f x g y ∈?∈?∈?-≤-+-12 12 12 2 1 ()()()()()i f i g i f i g i T T T T T T T T fg x M g x M f x M g x M f x ωωωωωε +++?≤?+?≤?+?<∑∑∑∑∑（根据分割加细大和不增，小和不减的性质),所以有结论成立。关于乘积可积性的一个注 一般地，()()d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ≠???3.绝对可积性 [,]f R a b ∈，则有||[,]f R a b ∈.且有不等式()|()|b b a a f x dx f x dx ≤??. 证明应用可积准则，略！绝对可积性的一个注
最新定积分的概念与性质
定积分的概念与性质
第五章定积分 第一节定积分的概念与性质 教学目的：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，特别是中值定理. 教学重点：连续变量的累积，熟练运用性质. 教学难点：连续变量的累积，中值定理. 教学内容： 一、定积分的定义 １．曲边梯形的面积 设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上非负，连续，由直线?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?及曲线?Skip Record If...? 所围成的图形，称为曲边梯形． 求面积： 在区间?Skip Record If...?中任意插入若干个分点 ?Skip Record If...?， 把?Skip Record If...?分成?Skip Record If...?个小区间[?Skip Record If...?],[?Skip Record If...?], … [?Skip Record If...?]，它们的长度依次为： ?Skip Record If...? 经过每一个分点作平行于?Skip Record If...?轴的直线段，把曲边梯形分成?Skip Record If...?个窄曲边梯形，在每个小区间[?Skip Record If...?]上任取一点?Skip Record If...?，以[?Skip Record If...?]为底，?Skip Record If...?为高的窄边矩形近似替代第?Skip Record If...?个窄边梯形?Skip Record If...?，把这样得到的
定积分的基本性质
定积分的基本性质 一、定积分的基本性质 性质1: ∫b a1dx=∫b a dx=b-a 证: f(ξi)Δx i＝ 1·Δx i＝ (b-a)=b-a 所以 ∫b a1dx=∫b a dx=b-a 性质2:(线性运算法则):设f(x),g(x)在［a,b］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且 ∫b a［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx 证：设F(x)=αf(x)+βg(x),由 F(ξi)Δx i＝［αf(ξi)+βg(ξi)］Δx i ＝［αf(ξi)Δx i＋βg(ξi)Δx i］
＝α ∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx， 因此 αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且 ∫b a［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx 特别当α=1,β=±1时，有 ∫b a［f(x)±g(x)］dx=∫b a f(x)dx±∫b a g(x)dx 当β=0时 ∫b aαf(x)dx=α∫b a f(x)dx 性质2主要用于定积分的计算 性质3:对于任意三个实数a,b,c，若f(x)在任意两点构成的区间上可积，则 ∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx 证:a,b,c的位置，由排列知有六种顺序 (i)当a f(ξi)Δx i ＝［f(ξi)Δx i＋f(ξi)Δx i］ ＝f(ξi)Δx i＋f(ξi)Δx i ＝ ∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx (ii)当c §1.5.3定积分的概念 【学情分析】： 前面两节（曲边梯形的面积和汽车行驶的路程）课程的学习为定积分的概念的引入做好了铺垫。学生对定积分的思想方法已有了一定的了解。 【教学目标】： （1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质 （2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。 （3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣. 【教学重点】： 理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质 【教学难点】： 对定积分概念形成过程的理解 练习与测试： （基础题） 1.函数()f x 在[] ,a b 上的定积分是积分和的极限，即 ()b a f x dx =? _________________ . 答案：0 1 lim ()n i i i f x λξ→=?∑ 2.定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关 . 答案：被积函数,积分区间,积分变量； 3.定积分的几何意义是_______________________ . 答案：介于曲线()y f x =,x 轴 ,直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和； 4.据定积分的几何意义()a b <，则________;b a dx =?________.b a xdx =? 答案：b a - ， 22 2 b a - （提高题） 5.将和式极限表示成定积分 (1). 2 1 lim (12)n n n →∞+++L 解：122 011 11 1 lim (12)lim lim n n n n n i i i n i xdx n n n n →∞→∞→∞==+++===∑∑?L (2). 2 1lim ()n i i i f x λξ→=?∑，其中{}0121,[,],n i i i i x a x x x b x x Max x ξλ-=<<<<=∈=L 解：2 20 1 lim ()()()n b b i i a a i f x g x dx f x dx λξ→=?==∑?? 6. 利用定义计算定积分 2 1 1 .dx x ? 解：在[1,2]中插入分点2 1 ,,,n q q q -L ,典型小区间为1[,]i i q q -，（1,2,,i n =L ） 小区间的长度11(1)i i i i x q q q q --?=-=-,取1 i i q ξ-=，（1,2,,i n =L ） 1 11 111 1()(1)n n n i i i i i i i i i f x x q q q ξξ--===?=?=-∑ ∑∑1 (1)(1)n i q n q ==-=-∑ 取2n q =即12n q =， 11 ()(21),n n i i i f x n ξ=?=-∑ 1 121 lim (21)lim ln 2,1 x x x x x x →+∞ →+∞--==Q 1lim (21)ln 2,n n n →∞ ∴-= 12 1 0111 lim lim (21)ln 2.n n i n i i dx x n x λξ→→∞==?=-=∑? () i g ξi x ?i ξ 高中数学-定积分的概念课后练习 课时演练·促提升 A组 1. 如图所示,f(x)d x等于() A.S1+S2+S3 B.S1-S2+S3 C.-S1+S2-S3 D.-S1-S2+S3 解析:由定积分的几何意义,当f(x)≥0时,f(x)d x表示面积S,当f(x)≤0时,f(x)d x=-S.故选C.答案:C 2. 图中阴影部分的面积用定积分表示为() A.2x d x B.(2x-1)d x C.(2x+1)d x D.(1-2x)d x 答案:B 3.已知x d x=2,则x d x等于() A.0 B.2 C.-1 D.-2 解析:∵f(x)为奇函数,∴x d x=-x d x=-2. 答案:D 4.已知f(x)=x3-x+sin x,则f(x)d x的值为() A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.不确定 解析:易知f (x)为奇函数,由奇函数的性质f(x)d x=-f(x)d x,而f(x)d x=f(x)d x+f(x)d x=0. 答案:A 5.设a=d x,b=x2d x,c=x3d x,则a, b,c的大小关系是() A.c>a>b B.a>b>c C.a=b>c D.a>c>b 解析:根据定积分的几何意义,易知x3d x人教版高中数学定积分的概念第3课时
高中数学-定积分的概念课后练习