,,,,21n y y y 不妨假设步长为 n n x x h -=+1 为常数。在此，我们根据微分的差分方法，
即用差商来近似代替微商，再利用“步进式”方法，可以给出求解问题(4.6)的差分方法。
1) 单步欧拉(Euler)公式
用差商h
x y x y n n )
()(1-+近似代替))(,()('n n n x y x f x y =中的导数，则可以得差分
公式
.,2,1,0 ),,(1 =+=+n y x hf y y n n n n
其精度为)(2
h O 阶的。
2）两步欧拉公式 用
差
商
h
x y x y n n 2)
()(11-+- 近似代替
))(,()('n n n x y x f x y =
中的导数，则可得差分公式
.,2,1,0 ),,(211 =+=-+n y x hf y y n n n n
两步法需要用到前两步的方信息，一般不能自行起步，需先用单步方法求出 1y ，其精度是)(3
h O 阶的。
3）梯形公式
对于方程),('y x f y =的两边在],[1+n n x x 上求积分得
?
++==+1
.))(,()()()(1n n
x x n n n dx x y x f x y x y x y
利用积分的差分方法中梯形公式求解积分
))](,())(,([2
))(,(111
+++≈?
+n n n n x x x y x f x y x f h
dx x y x f n n
则
))](,())(,([2
)()(111+++++≈n n n n n n x y x f x y x f h
x y x y
离散化即可得到微分方程的梯形差分公式
.,2,1,0)],,(),([2
111 =++=+++N y x f y x f h
y y N n N n n n
这是一个影式格式，计算量大，一般不单独使用。其镜的也是)(3h O 阶的。 4) 改进的欧拉公式
由于单步欧拉公式色精度低，但计算量小；矩形公式精度高，但是计算量大，为此，我们综合运用这两种方法就得到改进的欧拉公式，其精度为()
3h O 阶的。 预报：
,1,0 ),,(1=+=+n y x hf y y n n n n 校正：
[] ,1,0 ,),(),(2
111=++
=+++n y x f y x f h
y y n n n n n n 或写成平均化形式；
()()
()???
?
?
????
=+=+=+=++ ,2,1,0,21,,11n y y y y x hf y y y x hf y y c p n p n n c n n n p
5）龙格—库塔（Runge-Kutta ）法 龙格—库塔方法的基本思想：
对于微分方程的定解问题（4.6），考虑差商h
x y x y n n )
()(1-+，根据阿格朗日微分中值
定理可得
()()()()()1'1,,)(++<<+=+=n n n n n x x y hf x y hy x y x y ξξξξ
记()()ξξy f Y ,*
= ，称为 []1,+n n x x 上的平均变化率，则 ()*
1)(hY x y x y n n +=+。现在
的问题只要找到寻找一种计算*
Y 的方法。
如果取()1*,Y y x f Y n n =≈，则就是欧拉公式。 如果取()()[]211*
,,2
1
Y y x f y x f Y n n n n =+≈
++，则相应的就是改进的欧拉公式。 现在，我们取m 个点()[]()m i x x h y h x n n i n i n ,,2,1,,1 =∈+++βα，用f 在这m 个点的函数值的加权平均作为*
Y 的近似值，即
()h y h x f w Y i n i n m
i i βα++≈∑=,1
*
其中i w 为权系数。则有 ()h y h x
f w h
y y i n i n
m
i i n n βα+++=∑=+,1
1 （4.7）
其中 i α，i β，i w 为待定系数。
实际上，适当选择i α，i β，i w ，使得公式有更高的精度，这就是龙格-库塔方法的思想。
二阶龙格---库塔公式: 在[]1,+n n x x 内取中点h x x
n n 2
1
2
1+=+
，则可取,1,021==w w ，21==βα代人（4.7）式得到二阶龙格-库塔公式，其精度为()
3
h O 阶。
,2,1,0 )
2,2(,(1211=???
?
???
++==+=+n Y h y h x f Y y x f Y hY y y n n n
n n n 三阶龙格-库塔公式:
在[]1,+n n x x 内任取二点()10, q p qh x x ph x x n q n n p n +=+=++，类似的方法可得到三阶的龙格---库塔公式
()()()()
?
?????
??
?
+-++=??? ??++==+++=+2131213211
2,,
2,2,
,,46
Y Y h y h x f Y Y h y h x f Y y x f Y Y Y Y h y y n n n n n n n n ,,2,1,0 =n 其精度是()
4h O 阶的常用的是三阶的情况。
四阶龙格-库塔公式：
类似的方法可以得到四阶龙格---库塔公式，其精度是()
5h O 阶的
()()??
???
?
??
??
???+=??? ??++==??? ??
++==++++=++),(2,2,2,1,0 ,2,2,,,
2263142312143211hY y x f Y Y h y h x f Y n Y h y h x f Y y x f Y Y Y Y Y h
y y n n n
n n
n n n n n
2. 一阶常微方程组的差分方法
将前面的单个方程中的变量和函数视为向量，相应的差分方法即可用于由多个方程组的一阶方程组的情形。
对于二个方程的方程组
()()()()?????====,
,,,,,.00'0
0'z x z z y x g z y x y z y x f y (4.8)
设以n n z y , 表示函数在节点 ,2,1,0=+=n nh x x n 上的近似解，则有改进的欧拉公式：
预报:
()
()??
?+=+=++n n n n n n n n n n z y x hf z z z y x hf y y ,,,,1
1
校正:
???
???
?
++=++=++++++++)],,,(),,([2)],,,(),,([2
11111111n n n n n n n n n n n n n n n n z y x g z y x g h z z z y x f z y x f h y y
四阶龙格---库塔公式
()(),,2,1,0 ,226,226
4321143211 =???
???
?
++++=++++=++n Z Z Z Z h z z Y Y Y Y h y y n n n n 其中
()()()()???
???
????
???
?????
?++=++=??? ??+++=??? ??+++=?
?? ??
+++=?
?? ??
+++===++3314
33142232
231121121
1,,,,2,2,22,2,22,2,22,2,2;
,,;,,hZ z hY y x g Z hZ z hY y x f Y Z h z Y h y h x g Z Z h z Y h y h x f Y Z h z Y h y h x g Z Z h z Y h y h x f Y z y x g Z z y x f Y n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n ,,2,1,0 =n 其他的公式也都可以类似得到，即相当于同时求解多个一阶方程，从方法上没有本质的差别。
3. 高阶常微分方程的差分方法
对于某些高阶方法的定解问题，原则上可以转化为一阶方程组来求解。臂如，对于如下的二阶微分方程的定解问题
()
()?????==='
00'00
''',)(,,y x y y x y y
y x f y 若令'
y z =，则可化为一阶方程组的定解问题
()()?????====.
,)(,
,,'0000
'
'y x z y x y z y z y x f z （4.9） 实际上,(4.9)式可以视为(4.8)式的特例，类似地可以得到相应的求解差分公式。 4.4 最优捕鱼问题
4.4.1 问题的提出
假设鯷鱼可分为4个年龄组：称1、2、3、4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（g ）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，产卵孵化期为每年的最后4个月，平均每条4龄鱼的产卵量为5
10109.1?（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄和1龄鱼不产卵。
卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n 之比）为n
+??11
111022.11022.1。 渔业部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力固定不变，即固定努力量捕捞，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称为捕捞强度系数。通常使用13mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞3、4龄鱼，其两个捕捞系数之比为0.42：1.
要解决的问题是：
建立数学模型，分析如何实现可持续性捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（总质量）。
4.4.2 模型的假设与符号说明
1. 模型的假设
（1） 只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化，不考虑鱼群迁入与迁出； （2） 各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡；
（3） 所有鱼都在每年最后四个月内（后1/3年）完成产卵孵化的过程，成活的幼鱼
在下一年初成为1龄鱼；
（4） 产卵发生于后四个月之初，产卵鱼的自然死亡发生与产卵之后；
（5） 相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间变化是连续的，即第k 年底i 龄鱼的条
数等于第1+k 年初1+i 龄鱼的条数；
（6） 4龄以上的鱼全部死亡；
（7） 采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各龄鱼群的条数，比例系
数为捕捞强度系数。
2. 符号的说明
用)(t x i 表示t 时刻（年）i 龄鱼的条数；r 表示鱼的平均自然死亡率，即8.0=r ；
i f 表示龄i 鱼的产卵数，即5432110109.1),,2
,
0,0(),,,(?==A A A
f f f f ；i w 表示龄i 鱼群的捕捞强度系数，即)99.22,86.17,55.11,07.5(),,,(4321=w w w w ；i q 表示i 龄鱼群的捕捞强度系数，即),42.0,0,0(),,,(4321E E q q q q =，E 为捕捞努力量；3
2
=t 表示产卵开始的月份；i Y 表示i 龄鱼的捕捞量；i C 表示i 龄鱼的捕捞率，即i
i
i x Y c =
。 4．4．3 模型的建立与求解 1． 无捕捞时鱼群的自然增长模型 由假设（1）和（2）得
()
() ,2,1,0,1:4,3,2,1,=+≤≤=-=k k t k i t rx dt
t dx i i ， 又由假设（3）和（4）得
()()(),1022.11022.110011
11
1t k x t
k x k x +++??=+ ()()()t k Ax t k x A
t k x +++=
+4302
由假设（5）和（6）得
()()()()),1,0;3,2,1(,lim 11,01
11 ===+=+=+→++k i t x k x k x x x k t i i i i
2. 固定努力量捕捞鱼群的增长和捕捞模型 由假设知，捕捞期为k<=t<=K+ 则有
()
()()()t k t k t x E q t rx dt
t dx i i i i +≤≤--=. ,, (4.10) ()
(),1 ,+≤≤+-=k t t k t rx dt
t dx i i (4.11) ()()(),3,2,1 ,11,01=+=+=++i k x k x x x i i i i (4.12)
()()
(),1022.11022.110011
111t k x t k x k x +++??=+ (4.13) ()()() ,2
430t k Ax t k x A
t k x +++=
+ （4.14） .,2,1,0 =k
(1) 鱼群的增长规律
求解方程（4.10）和（4.11），并利用连续条件（4.12）式可得
()()()()()
()()()()()(),
2
1,
,1,3,2,1 ,1443300011t k x E l As t k x E l s A k x k x k x b b
k x i k x E sl k x t
t i i i t +++=++=
+==+-
-+
其中：
()()(),
,1,4993.042.0321-
--=====tE
r
e
E l E l E l e
s
().1022.1,10109.1,1154?=?==-
-b A e
E l tE
(2) 捕捞量
单位时间第 i 龄鱼的捕捞量（条数）为
()()() ,t x E q t y i i i = t k t k +≤≤.
第k 年全年（8个月）第i 龄鱼的捕捞量（条数）为
()()()()dt t x E q dt t y k Y t
i i t i i ??-
-
==0
()()()(),)1()
1(k x E l s E q r E q i i t i i -
-+=
于是，第k 年总捕捞量（质量）为
)()()(4433k Y w k Y w k W +=
（3）可持续性捕捞模型
可持续捕捞，即意味着由于自然死亡和捕捞使鱼群减少，而通过产卵繁殖补充，使得鱼群能
够在每年初开始捕捞时保持平衡不变，这样的捕捞策略就可以年复一年地一直持续下去。因此，可持续捕捞的鱼群数应是（4.15）、（4.16）、（4.17）式的平衡解，即模型不依赖于时间t 的解*i x )4,3,2,1,0(=i 。求解（4.15）
、（4.16）、（4.17）得 (),3,2,1,**1==+i x E sl x i i i
即
()???
??????+=+======-
-(4.20)
)()(5.0(4.19) ,(4.18) )(,,*
44*33*
0*
*0*
1*133*33*4*12*2*3*1*2
x E l As x E l As x x b bx x x E l s x E sl x x s sx x sx x t t 将（4.18）式代入（4.20）式得
,)()](5.0[*
133
84*0
x E l As E sl x += 代入（4.19）式有
,)()](5.0[)()](5.0[*
1
33
84*
133
84*1
x E l As E sl b x E l As E sl b x +++=
求解可得
(),11*
1???
? ??-=E B b x
代入（4.18）式得到
()()()(),11,11,1133
*42*3*2???
? ??-=???? ??-=???? ??-=E B b E l s x E B b s x E B sb x
其中())()](5.0[33
8
4E l As E sl E B +=.
当()1≤E B 时, 0*
1≤x 即意味着捕捞过度，致使鱼群灭绝。当B(E)=1时,
称之为过度捕捞努力量，因此，可以在0E E <的范围内寻找最优捕捞策略。
在可持续性捕捞的条件下，第i 龄鱼的年捕捞量（条数）为
()()()
4,3,1*=+??? ??-=
-
i E q r x E l s E q Y i i
i t
i i ,
整个鱼群的年捕捞量（重量）为
()4
433y w y w E Y +=
()()()???
???
?
??
?
????+??
????-++??? ??-=-
-
E r E sl E l s w E r E l s w t i t
344
3142.0142.0
()???
? ??-E B b Es 112
即得到了年捕捞与努力量 的关系，由计算机求解可得在可持续性捕捞的前提下有最大捕捞
量为 36.17*
≈E ，最大年捕捞量为87.38)(*
*≈=E Y Y 万吨。
各龄鱼的数量为
721196013431*1=x （条），55374034763*2=x （条），42414709473*
3=x （条)
84025418
*
4=x （条）。 各龄鱼的捕捞率为
()()[
]
()
,4,3,1*
*
**=+-==i E
q r E sl E q x Y c i i i i i i 即%59.95%,70.89,0,4321====c c c c 。
4.4.4 模型的结果分析 （1）如果没有假设（6），或改为4龄以上的鱼仍算4龄鱼，则（4.2）式改为
()()()111434+++=+++k x k x k x ，其讨论相同，但要复杂一些；
（2）假设（4）关于产卵时间的分布问题，题中未给出这方面的信息，完全是为了简化，入股假设产卵是在后4个月内均匀分布，则问题会复杂些，而且不大符合实际。 4.5 参考案例与参考文献 1. 参考案例
（1）人口的预测与控制问题——文献【1】：290-295 （2）最优捕鱼问题——文献【3】：106-108 （3）人口增长问题——文献【4】：28-36 （4）动物种群的管理问题——文献【4】：36-40 2. 参考文献
【1】 姜启源.数学模型.第二版.北京：高等教育出版社，1993
【2】 叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材（二）.长沙：湖南教育出版社，1997 【3】 赵静，但琦等。数学建模与数学实验.北京：高等教育出版社，2002 【4】 南京地区工科院校数学建模与工业数学讨论班.数学建模与实验.南京：河海大学出版社，1976
【5】 王能超.数值分析简明教程.北京：高等教育出版社，2000 【6】 刘承平.数学建模方法.北京：高等教育出版社，2002
【7】 唐焕文，贺明峰.数学模型引论.第二版.北京：高等教育出版社，2001 【8】 全国大学生数学建模竞赛组委会.全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编.北京：中国物价出版社，2002
设系统分别用下面的差分方程描述
因为x(n)以N 为周期，所以: x(n 中kN —m) =x(n -m) 第三套 1.设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出, 判断系统是否是线性时不变的。 (1) y(n)=2x( n)+3 n y(n)= Z x(m) m 鱼 解: (1 ) 令：输入为x(n- n o )，输出为y '(n) =2x(n-山)+3，因为 y(n- n o ) =2x( n- n o )+3= y '(n) 故该系统是时不变的。又因为 T[ax 1 (n) + bx 2( n)] = 2ax 1 (n) + 2bx 2( n) + 3 T[ax i (n)] =2ax i (n)+3，T[bx 2(n)] =2bx 2(n) + 3 T[ax 1(n) + bx 2(n)] h aTIxJn)] +bT[x 2(n)] 故该系统是非线性系统。 n 令：输入为x(n- n o )，输出为y(n)=2： x(m-r t )，因为 m=0 n 』0 I y(n - n 。)= S x(m)北 y (n) m zzO 故系统是时变系统。又因为 n T[ax 1 (n) + bx 2(n)]=送(ax 1 (m) + bx 2(m)^ aT[x 1(n)] +bT[x 2(n)] m =0 2. 故系统是线性系统。 如果时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应为 为周期的周期序列， 证明： h(n),输入x(n)是以N 试证明其输出 y(n)亦是以N 为周期的周期序列。 y( n)=h( n)*x( n)= □C y( n+kN)= Z m z=-oc h(m)x(n+kN - m) , k 为整数
差分方程的解法分析及MATLAB实现(程序)
差分方程的解法分析及MATLAB 实现（程序） 摘自：张登奇,彭仕玉.差分方程的解法分析及其MATLAB 实现[J]. 湖南理工学院学报.2014(03) 引言 线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型,求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容.在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域 法[1]. 1 迭代法 例1 已知离散系统的差分方程为)1(3 1)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y ,激励信号为)()4 3()(n u n x n =,初始状态为21)2(4)1(=-=-y y ，.求系统响应. 根据激励信号和初始状态,手工依次迭代可算出24 59)1(,25)0(==y y . 利用MATLAB 中的filter 函数实现迭代过程的m 程序如下: clc;clear;format compact; a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3,0], %输入差分方程系数向量,不足补0对齐 n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号 zx=[0,0],zy=[4,12], %输入初始状态 zi=filtic(b,a,zy,zx),%计算等效初始条件 [yn,zf]=filter(b,a,xn,zi),%迭代计算输出和后段等效初始条件 2 时域经典法 用时域经典法求解差分方程:先求齐次解；再将激励信号代入方程右端化简得自由项,根据自由项形 式求特解；然后根据边界条件求完全解[3].用时域经典法求解例1的基本步骤如下. （1）求齐次解.特征方程为081432=+-αα,可算出4 1 , 2121==αα.高阶特征根可用MATLAB 的roots 函数计算.齐次解为. 0 , )4 1()21()(21≥+=n C C n y n n h （2）求方程的特解.将)()4 3()(n u n x n =代入差分方程右端得自由项为 ?????≥?==-?+-1,)4 3(9130 ,1)1()43(31)()43(1n n n u n u n n n 当1≥n 时,特解可设为n p D n y )4 3()(=,代入差分方程求得213=D . （3）利用边界条件求完全解.当n =0时迭代求出25)0(=y ,当n ≥1时,完全解的形式为 ,)4 3(213 )41()21()(21n n n C C n y ?++=选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选)1(),0(-y y .根据边界条件求得35,31721=-=C C .注意完全解的表达式只适于特解成立的n 取值范围,其他点要用 )(n δ及其延迟表示,如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为
常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲
上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理
差分方程的解法
1、常系数线性差分方程的解 方程（ 8）其中为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程（9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如的解，带入方程中可得： （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。 显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下： （1）若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解： ， （2）若（10）有m重根，则通解中有构成项： （3）若（10）有一对单复根，令：，，则（9）的通解中有构成项： （4）若有m 重复根：，，则（9）的通项中有成项：
综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为： 如果能得到方程（8）的一个特解：，则（8）必有通解： + （11） （1）的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果为n 的多项式，则当b不是特征根时，可设成形如形式的特解，其中为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解：，将其代入（8）中确定出系数即可。 2、差分方程的z变换解法 对差分方程两边关于取Z变换，利用的Z 变换F（z）来表示出的Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的 例1设差分方程，求 解：解法1：特征方程为，有根： 故：为方程的解。 由条件得： 解法2：设F（z）=Z(),方程两边取变换可得：
由条件得 由F（z）在中解析，有 所以， 3、二阶线性差分方程组 设，，形成向量方程组 （12）则 （13）（13）即为（12）的解。 为了具体求出解（13），需要求出，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有： （1）如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：。 （2）将A 分解成为列向量，则有 从而，
时间序列分析讲义 第01章 差分方程
第一章 差分方程 差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。 §1.1 一阶差分方程 假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程： t t t w y y ++=-110φφ (1.1) 在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。 例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为： ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=- 上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。 1.1.1 差分方程求解：递归替代法 差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。 由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程： 0=t ：01100w y y ++=-φφ 1=t ：10101w y y ++=φφ t t =：t t t w y y ++=-110φφ 依次进行叠代可以得到： 1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ 0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=- i t i i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0 111 1 0φφφφ (1.2) 上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将 t y 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出t y 对这些变量取值的依赖性和动态变化 过程。 1.1. 2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier) 在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如0w 的变化对t 阶段以后的t y 的影响。假设初始值1-y 和t w w ,,1 不受到影响，则有：
第七章差分方程模型概论
第7章 差分方程模型 7.1 市场经济中的蛛网模型 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长 §7.1 市场经济中的蛛网模型 例1 蛛网模型问题 [问题的提出] 蛛网模型现象 供大于求 -> 价格下降 -> 减少产量 ↑ 数量与价格在振荡 ↓ 增加产量 <- 价格上涨 <- 供不应求 提出的问题 1.描述商品数量与价格的变化规律 2.商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 3.当不稳定时政府能采 取什么干预手段使之稳定 [模型分析与假设] 蛛网模型 设 k x ~第k 时段商品数量； k y ~第k 时段商品价格 消费者的需求关系 → 需求函数 ) (k k x f y = → 减函数 生产者的供应关系 → 供应函数 ) (1k k y h x =+ → 增函数 ↓ ) (1+=k k x g y f 与 g 的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0 xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0 y x0 y0
方程模型 在P0点附近用直线近似曲线 ) (k k x f y =→ ) 0()(00>--=-ααx x y y k k ) (1k k y h x =+→ ) 0()(001>-=-+ββy y x x k k )(001x x x x k k --=-+αβ )()(0101x x x x k k --=-+αβ 1<αβ )/1(βα< → 0x x k → P0稳定 g f K K < 1>αβ )/1(βα> → ∞→k x P0不稳定 g f K K > 方程模型与蛛网模型的一致 f K =α g K =β/1 [模型的求解] 考察α ,β 的含义 xk~第k 时段商品数量；yk~第k 时段商品价格 ) (00x x y y k k --=-α α~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 ) (001y y x x k k -=-+β β~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 α~ 消费者对需求的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β~ 生产者对价格的敏感程度 β小, 有利于经济稳定 → 1<αβ 经济稳定 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使α尽量小，如α=0 → 需求曲线变为水平 → 以行政手段控制价格不变 2. 使β尽量小，如β =0 → 供应曲线变为竖直 → 靠经济实力控制数量不变 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f
离散系统差分方程计算
1.设离散控制系统差分方程为x采样周期T。试求：（1） 系统的脉冲传递函数。（2）系统的频率特性表达式。 解：差分方程两边取Z变换，得 脉冲传递函数 频率特性 2.假设离散系统差分方程为。其中; ，，，。试求:(1)分析系统的稳定性。（2），，。 解：（1）对差分方程两边取Z变换，得 特征方程： 解得：； 由于，即系统稳定。 （2）n=0时， n=1时， n=2时， 3.某离散控制系统的差分方程为，其中： ，，，，，，。试求：（1），。（2）分析稳定性。 解：（1）对差分方程两边Z变换，得 特征方程： 解得：； 由于，所以系统稳定。
（2）n=0时， n=1时。 4.离散控制系统的差分方程为：，其中 ，，时，时。试求：(1)，，。（2）脉冲传递函数。 解：（1）差分方程两边取Z变换，得 特征方程： 解得：； 由于，所以系统稳定。 （2）n=0时， n=1时， n=2时， 5.已知：离散控制系统的差分方程为。试求：脉冲传 递函数。系统频率特性 解：对差分方程Z变换，得 频率特性 6.某离散系统的差分方程为=，其中 ，。试求（1）脉冲传递函数，并分析稳定。（2） ，，。 解：对差分方程两边Z变换，得 （）
特征方程： 解得：； 由于，所以系统稳定。 (2)n=0时， n=1时， n=2时，y 7.已知离散系统的差分方程为，试求：（1）脉冲传递 函数。（2）分析系统稳定性 解：（1）对差分方程两边Z变换，得 (2)特征方程：=0 解得：； 由于，所以系统临界稳定。 8.离散系统差分方程为，其中 ，；。试求：，，。（）分析稳定性。 解：(1)n=0时， n=1时， n=2时， (2)对差分方程两边Z变换，得 特征方程： 解得：； 由于，所以系统稳定。 9.某离散系统差分方程为，其中：， 时，；时，。试求：，，。（2）分析
差分方程模型
差分方程模型 数学建模讲座 一、关于差分方程模型简单的例子 1. 血流中地高辛的衰减 地高辛用于心脏病。考虑地高辛在血流中的衰减问题以开出能使地高辛保持在可接受(安全而有效)的水平上的剂量处方。假定开了每日0.1毫克的剂量处方，且知道在每个剂量周期(每日)末还剩留一半地高辛，则可建立模型如下： 设某病人第n 天后血流中地高辛剩余量为n a ， 则 1.05.01+=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程) n n n n a a a a 5.01?=?=?+ 2. 养老金问题 对现有存款付给利息且允许每月有固定数额的提款， 直到提尽为止。月利息为1℅，月提款额为1000元，则可建模型如下： 设第n 月的存款额为n a ，则 100001.11?=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程)
3. 兔子问题（Fibonacci 数） 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时(即第三个月)开始,每月初产雌雄各一的一对小兔， 新增小兔也按此规律繁殖，设第n 月末共有n F 对兔子，则建模如下： ==+=??12 12 1F F F F F n n n (二阶线性差分方程初值问题) 342 3214 3 21221 1 F F F F F F F F F F ≠+=+ 注意上月新生的小兔不产兔 (因第n 月末的兔子包括两部分, 一部分上月留下的为1?n F ， 另一部分为当月新生的，而新生的小兔数=前月末的兔数) 4．车出租问题 A ， B 两地均为旅游城市，游客可在一个城市租车而在另一个城市还车。 A ， B 两汽车公司需考虑置放足够的车辆满足用车需要，以便估算成本。分析历史记录数据得出： n x ： 第n 天营业结束时A 公司的车辆数 n y ：第n 天营业结束时B 公司的车辆数 则 +=+=++n n n n n n y x y y x x 7.04.03.06.01 1 (一阶线性差分方程组) (问题模型可进一步推广)
第七章 差分方程模型
第七章 差分方程模型 教学目的：通过经济学中蛛网模型的实例讨论，介绍一类动态离散模型------差分方程模型的 建模方法. 教学要求：1 让学生学会运用差分思想建立数学模型的基本方法，进一步熟悉数学建模的基 本过程. 2使学生掌握运用解析方法或数学软件求解差分方程模型. 3帮助学生运用差分方程的平衡点及其稳定性有关理论来分析实际问题. 教学重点：1蛛网模型的图形描述，并通过建立差分方程模型对其进行理论解释. 2运用差分思想建立数学模型和求出模型解析表达式或数值解. 教学难点：1差分方程在稳定点附近有关稳定条件的实际意义. 2差分方程在稳定点附近有关稳定条件的推广. 离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具.下面我们对差分方程作一简单的介绍. §7.1 差分方程 1.1 差分方程简介 规定t 只取非负整数.记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y -=?+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +-=?-?=??=?+++1212 2)(为t y 的二阶差分.类似地， 可以定义t y 的n 阶差分t n y ?. 由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶.差分方程也可以写成不显含差分的形式.例如，二阶差分方程 02=+?+?t t t y y y 也可改写成012=+-++t t t y y y . 满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解.类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解.若解中不含任意常数，则称此 解为满足某些初值条件的特解. 称如下形式的差分方程 )(110t b y a y a y a t n t n t n =+++-++ （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10 是常数，00≠a .其对应的齐次方程为 0110=+++-++t n t n t n y a y a y a （2） 容易证明，若序列) 1(t y 与) 2(t y 均为（2）的解，则) 2(2) 1(1t t t y c y c y +=也是方程（2）的解，其 中21,c c 为任意常数.若)1(t y 是方程（2）的解，) 2(t y 是方程（1）的解，则)2()1(t t t y y y +=也是
常微分方程边值问题的数值解法
第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；
(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<
差分方程模型习题+答案
1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？ 分析：(1) 假设k 个月后尚有k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程： 1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1) 每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出k A 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时0k A =由（1）可得： 01k k k a A A a b r -=- 若0n A =，01 n n A ra b a = - (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时，2400A =，240 0240 1 A ra b a =- 利用 MA TLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2)用MA TLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240
思考与深入： (2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完 (3) A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。 2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？ 分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。则第k+1个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2… 在r=0.005 及x0=100000 代入，用MA TLAB 计算得结果。 编写M 文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MA TLAB计算并作图: k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。 如果要10年即n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MA TLAB 计算如下： >> x0=100000; >> r=0.005; >> n=120; >> b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为
差分方程求解
例题：已知差分方程51 (2)(1)()(+1)+0.5()66 x k x k x k r k r k +-++=，其中r (k )=1，k ≥0，x (0)=1， x (1)=2。 (1) 试由迭代法求其全解的前5项； (2) 分别由古典法求其零输入解、零状态解，以及全解； (3) 用Z 变换法求解差分方程。 解：注：解题过程中出现的下标“zi ”和“zs ”分别表示零输入条件和零状态条件。 1. 迭代法 题目中给出的条件仅仅是零输入初始条件，进行迭代求解时的初始条件应该是全解初始条件。 (1) 零输入初始条件 本题已给出零输入时的两个初始条件x zi (0)=1，x zi (1)=2。 (2) 零状态初始条件 取k =-2时，则51 (0)(1)(2)(1)0.5(2)66x x x r r --+-=-+-，得x zs (0)=0； 取k =-1 时，则51 (1)(0)(1)(0)0.5(1)66 x x x r r -+-=+-，求得x zs (1)=1。 (3) 全解初始条件 x (0)= x zi (0)+ x zs (0)=1； x (1)= x zi (1)+ x zs (1)=3。 (4) 根据求出的全解x (0)和x (1)，利用迭代法求解 取k =0时，则51(2)(1)(0)(1)0.5(0)66x x x r r -+=+，求得23(2)6x =； 取k =1时，则51(3)(2)(1)(2)0.5(1)66x x x r r -+=+，求得151 (3)36x =； 取k =2时，则51(4)(3)(2)(3)0.5(2)66x x x r r -+=+，求得941 (4)216 x =。 2. 古典法 (1) 零输入解 令输入为零，则得齐次方程 51 (2)(1)()066 x k x k x k +-++= (a) 根据差分方程定义的算子()()n d x k x k n =+，可得它的特征方程251 066 d d -+= 求得特征根为： 112d = ，21 3 d =
第七章线性差分方程模型的辨识
第七章线性差分方程模型的辨识 根据对过程的初步分析，可以是先提出一个结构已定的参数模型来描述过程的动态特性，而模型中有一些参数需要通过辨识来加以确定，像这样的辨识问题称为参数估计问题，最小二乘法是很常用的估计方法。 线性差分方程模型的最小二乘估计 首先讨论一种较简单的情况，即无噪声或噪声较小的情况，这样可以应用一般最小二乘估计模型参数，但是对于噪声较大的情况，采用一般最小二乘法估计通常是有偏差的，需要应用更加复杂的算法，如广义最小二乘法。 辨识问题的提法 设被辨识的动态系统，可用如下n阶常系数线性差分方程描述： y(k) + a^y(Jc—1) + ?? - a n y(k— n) = bju(k) + biu(k— 1) ---------- 卜b n u(k— n) 系统方程也写成如下算子形式： A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k), 其中， = 14- fliQ-1 + a2q~2+ …+ 如厂"，B(q_1) = 14- bq_1 + ①厂？H ------------- F bq~n, 辨识问题的提法，已知： (1)由方程描述的系统都是稳定的。 (2)系统的阶是n阶。 (3)输入输出观测数据{u (k) },{y(k)}(k“,2,...,N+n), 要求根据上述己知条件来估计差分方程的参数： a】, b](i = 1,2, ???N + n), 参数最小二乘估计的慕本思根是，选择 b x(i = 1,2, ...N + n), 使得系统方程尽可能好的与观测数据拟合，考虑到模型误差测最误差，模型方程改为： A(q")y(k) = B(q_1)u(k) + e(k), 其中，e(約称为模型残差，乂称方程误差。 现在的问题就是决定A(q"), B(g")的系数，是e2最小 最小二乘估计 将下式 A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k\ 改成以下形式
差分方程模型的理论和方法
第九章 差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模： 在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而 建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。 第一节 差分方程的基本知识 一、 基本概念 1、 差分算子 设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向前差分。 而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分： n n x x 2)(?=?? 称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为：
差分方程的解法
第三节 差分方程常用解法与性质分析 1、常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8） 其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如 n n x λ=的解，带入方程中可得： 0 ...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。 显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下： （1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解： n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211， （2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项： n m m n c n c c λ )...(121----+++
（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=， αβ?βαρarctan ,22=+=，则（9）的通解中有构成项： n c n c n n ?ρ?ρsin cos 21--+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有成 项： n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++ 综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解： =n x -n x +* n x （11） （1） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征 根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如 果b 是r 重根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系 数即可。
常微分方程数值解法
i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。
给定下述系统的差分方程
第四套 1. 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果、稳定系统，并说明理 由。 (1) 1 1()()N k y n x n k N -== -∑ (2) ()()(1)y n x n x n =++ (3) () ()x n y n e = 解： （1）只要N ≥1，该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入有关。如果|()|x n M ≤，则|()|y n M ≤，因此系统是稳定系统。 （2）该系统是非因果系统，因为n 时刻的输出还和n 时刻以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|()|x n M ≤，则|()||()||(1)|2y n x n x n M ≤++≤，因此系统是稳定的。 （3）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果 |()|x n M ≤，则() |()| |()|||x n x n M y n e e e =≤≤，因此系统是稳定的。 2. 工程实际中，经常采用数字滤波器对模拟信号进行滤波处理，处理系统框 图如图所示。图中T 为采样周期，假设T 满足采样定理（无频率混叠失真）。把从()a x t 到y(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。 (a)如果数字滤波器h(n)的截止频率为8 c w ra d π = ， 1T =10 kHz ，求整个等 效系统的截止频率c Ω。 (b)对于1T =20 kHz ，重复(a)。 解： (a) 对采样数字滤波器，w T =Ω，所以
8 c c w T π =Ω= 8c c w T T π Ω= = 最后一级理想低通滤波器的截止频率为T π rad/s ，因此整个系统截止频 率由8c T π Ω= rad/s 确定。 110000625 21616 c c f T πΩ= = == Hz (b) 当1/T=20 Hz 时，与(a)同样道理得： 1200001250 1616 c f T = == Hz 3. 求以下序列x(n)的频谱()jw X e (1)1()()|1jw jw a jw z e X e X z e e --=== - (2) ()an e u n - 解： （1）0 0()[()][()]n X z Z x n Z n n z δ-==-= ()()|jw jn w jw z e X e X z e -=== （2）1 1()[()]1an a X z Z e u n e z ---==- 1()()|1jw jw a jw z e X e X z e e --=== - 4. 设h(n)为一个LSI 系统的单位采样响应，h(n)= 21 ()(2)3 n u n +-,求其频 率响应。 解：其频率响应为： 2 2 1 ()()() 3n jw jnw jnw n H e h n e e +∞ ∞ --=-∞ = = ∑ ∑ 改变这个和的下限以使其开始于n=0，得： 4 (2)4 20 1 1 1 ()() ()() 33 3n n jw j n w jw jw n n H e e e e +∞ ∞ -+--====∑∑ 利用几何级数，得
用matlab实现线性常系数差分方程的求解
数字信号处理课程设计 题目：试实现线性常系数差分方程的求解 学院： 专业： 班级： 学号： 组员： 指导教师：
题目：用Matlab 实现线性常系数差分方程求解 一． 设计要求 1． 掌握线性常系数差分方程的求解 2． 熟练掌握Matlab 基本操作和各类函数调用 3． 结合Matlab 实现线性常系数差分方程的求解 二．设计原理 1．差分与差分方程 与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。设有序列f(k),则称…,f(k+2),f(k+1),…,f(k －1),f(k －2),…为f(k)的移位序列。序列的差分可以分为前向差分和后向差分。一阶前向差分定义为 ()(1)()f k f k f k ?=+- （3.1—1） 一阶后向差分定义为 ()()(1)f k f k f k ?=-- （3.1—2） 式中Δ和Δ称为差分算子。由式（3.1—1）和式（3.1—2）可见，前向差分与后向差分的关系为 ()(1)f k f k ?=?- （3.1—3） 二者仅移位不同，没有原则上的差别，因而它们的性质也相同。此处主要采用后向差分，并简称其为差分。 由查分的定义，若有序列1()f k 、2()f k 和常数1a ，2a 则 1122112211221112221122[()()][()()][(1)(1)][()(1)][()(1)]()() a f k a f k a f k a f k a f k a f k a f k f k a f k f k a f k a f k ?+=+--+-=--+--=?+? （3.1—4） 这表明差分运算具有线性性质。 二阶差分可定义为 2()[()][()(1)]()(1) ()2(1)(2) f k f k f k f k f k f k f k f k f k ?=??=?--=?-?-=--+- （3.1—5） 类似的，可定义三阶、四阶、…、n 阶差分。一般地，n 阶差分
