人教A版2019年高中数学选修1-1学案：第三章3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义_含答案
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1课件：3.1.3 导数的几何意义
是切线的斜率不存在,但切线存在,它是垂直于 x 轴的直线;其二是割
线没有确定的极限位置,则切线不存在.
第十页，编辑于星期日：点 十五分。
-10-
3.1.3
题型一
导数的几何意义
题型二
题型三
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
3
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))
处的切线的斜率.也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是
f'(x0).相应地,切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2.“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系
剖析(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数值的改变量与自变
量的改变量的比值的极限,它是一个定值,不是变数.
(2)“导函数”简称“导数”.
(3)导数f'(x)是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间(a,b)
题型三
M 目标导航
Z 知识梳理
UBIAODAOHANG
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
f(x+x)-f(x)
2019高中数学 第三章 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学案 新人教A版选修1-1
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示] Δx ≠0，Δy ∈P .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.[基础自测]1．思考辨析(1)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零．( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )【导学号：97792121】A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 D [Δ＝Δs Δt ＝3＋2.12－＋222.1－2＝4.1.][合 作 探 究·攻 重 难]ΔyΔx＝( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图311，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为__________．图311(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________． [解] (1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－(2×12－1) ＝2(Δx )2＋4Δx ∴ΔyΔx＝2Δx ＋4，故选C. (2)由题意知，v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC . 根据图象知v 1<v 2<v 3. (3)Δv ＝43π×23－43π×13＝283π.∴Δv Δr ＝283π. [答案] (1)C (2)v 1<v 2<v 3 (3)283πfx 0＋－f x 0Δx.的值可正，可负，但Δx ≠0，Δ1．(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3 [(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx2＋2]－x 20＋Δx＝6x 0·Δx ＋Δx2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－[－(－1)2＋(－1)] ＝－(Δx )2＋3Δx ， ∴Δy Δx＝－Δx 2＋3ΔxΔx＝－Δx ＋3.]若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋t －，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] (1)先求Δs ，再根据v ＝ΔsΔt 求解．(2)先求Δs Δt ，再求lim Δx →0ΔsΔt .[解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)， 所以Δs Δt＝Δt2－12ΔtΔt＝3Δt －12(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝lim Δx →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．2．质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.【导学号：97792122】[解] v ＝lim Δx →0s＋Δt －sΔt＝lim Δx →0＋Δt 2－2×22Δt ＝lim Δx →0 (2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝s －s 3－1＝2×32＋3－2＋2＝8(cm/s)．求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？ 提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．(1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为__________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值ΔyΔt ；②求t 1＝4时的导数． [思路探究] (1)求Δy →求Δy Δx →求lim Δx →0ΔyΔx (2)①Δy ＝f －f→ΔyΔt②求Δy →求Δy Δt →求lim Δt →0ΔyΔt [解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12.[答案] 12(2)①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，ΔyΔt＝48.120 1.②lim Δx →0 Δy Δt ＝lim Δx →0[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48，故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48.简称：一差、二比、三极限．取极限时，一定要把ΔyΔx 变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形3．求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx . 当Δx →0时，ΔyΔx →2，∴f ′(1)＝2，即函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数为2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2C [Δy Δx＝f ＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－2Δx＝4＋2Δx .]2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt －4 C ．4 D ．－2Δt 2－4ΔtB [v ＝4－＋Δt2－－2×12Δt＝－4Δt －Δt2Δt＝－2Δt －4.]3．一质点按规律s (t )＝2t 2运动，则在t ＝2时的瞬时速度为__________.【导学号：97792123】8[s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴limΔt→0s＋Δt－sΔt＝limΔt→0Δt2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.]4．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.2[f′(1)＝limΔt→0f1＋Δx－fΔx＝limΔt→0a＋Δx＋4－a＋Δx＝a，又∵f′(1)＝2，∴a＝2.]5．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．[解] Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔt→0ΔyΔx＝limΔt→0(2Δx＋16)＝16.。
2019高中数学 第三章 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学案 新人教A版选修1-1
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示] Δx ≠0，Δy ∈P .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.[基础自测]1．思考辨析(1)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零．( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )【导学号：97792121】A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 D [Δ＝Δs Δt ＝3＋2.12－＋222.1－2＝4.1.][合 作 探 究·攻 重 难]ΔyΔx＝( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图311，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为__________．图311(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________． [解] (1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－(2×12－1) ＝2(Δx )2＋4Δx ∴ΔyΔx＝2Δx ＋4，故选C. (2)由题意知，v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC . 根据图象知v 1<v 2<v 3. (3)Δv ＝43π×23－43π×13＝283π.∴Δv Δr ＝283π. [答案] (1)C (2)v 1<v 2<v 3 (3)283πfx 0＋－f x 0Δx.的值可正，可负，但Δx ≠0，Δ1．(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3 [(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx2＋2]－x 20＋Δx＝6x 0·Δx ＋Δx2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－[－(－1)2＋(－1)] ＝－(Δx )2＋3Δx ， ∴Δy Δx＝－Δx 2＋3ΔxΔx＝－Δx ＋3.]若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋t －，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] (1)先求Δs ，再根据v ＝ΔsΔt 求解．(2)先求Δs Δt ，再求lim Δx →0ΔsΔt .[解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)， 所以Δs Δt＝Δt2－12ΔtΔt＝3Δt －12(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝lim Δx →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．2．质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.【导学号：97792122】[解] v ＝lim Δx →0s＋Δt －sΔt＝lim Δx →0＋Δt 2－2×22Δt ＝lim Δx →0 (2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝s －s 3－1＝2×32＋3－2＋2＝8(cm/s)．求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？ 提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．(1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为__________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值ΔyΔt ；②求t 1＝4时的导数． [思路探究] (1)求Δy →求Δy Δx →求lim Δx →0ΔyΔx (2)①Δy ＝f －f→ΔyΔt②求Δy →求Δy Δt →求lim Δt →0ΔyΔt [解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12.[答案] 12(2)①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，ΔyΔt＝48.120 1.②lim Δx →0 Δy Δt ＝lim Δx →0[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48，故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48.简称：一差、二比、三极限．取极限时，一定要把ΔyΔx 变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形3．求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx . 当Δx →0时，ΔyΔx →2，∴f ′(1)＝2，即函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数为2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2C [Δy Δx＝f ＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－2Δx＝4＋2Δx .]2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt －4 C ．4 D ．－2Δt 2－4ΔtB [v ＝4－＋Δt2－－2×12Δt＝－4Δt －Δt2Δt＝－2Δt －4.]3．一质点按规律s (t )＝2t 2运动，则在t ＝2时的瞬时速度为__________.【导学号：97792123】8[s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴limΔt→0s＋Δt－sΔt＝limΔt→0Δt2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.]4．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.2[f′(1)＝limΔt→0f1＋Δx－fΔx＝limΔt→0a＋Δx＋4－a＋Δx＝a，又∵f′(1)＝2，∴a＝2.]5．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．[解] Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔt→0ΔyΔx＝limΔt→0(2Δx＋16)＝16.。
人教A版高中数学选修1-1课件 3.1.3导数的几何意义课件2
• 导数的几何意义新知导学
1．曲线的切线：过曲线 y＝f(x)上一点 P 作曲线的割线 PQ， 当 Q 点沿着曲线无限趋近于 P 时，若割线 PQ 趋近于某一确定 的直线 PT，则这一确定的直线 PT 称为曲线 y＝f(x)在点 P 的 ____切__线____．
fxn－fx0 设 P(x0，y0)，Q(xn，yn)，则割线 PQ 的斜率 kn＝___x_n－__x_0___.
＝f ′(x0)(x－x0)．
• 3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与 过点P的曲线y＝f(x)的切线．
• 4．f ′(x0)>0时，切线的倾斜角为锐角；f ′(x0)<0 时，切线的倾斜角为钝角；f ′(x0)＝0时，切线 与x轴平行．f(x)在x0处的导数不存在，则切线 垂直于x轴或不存在．
[解析] 由点 P 到直线 y＝4x－5 的距离最短知，过点 P 的
切线方程与直线 y＝4x－5 平行．设 P(x0，y0)，则
y′＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
4x＋Δx2－4x2 Δx
＝ lim Δx→0
8x·Δx＋Δx4Δx2＝Δlixm→0
(8x＋4Δx)＝8x，
由8y0x＝0＝44x20
• (3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)就是导 函数f ′(x)在点x＝x0处的f__′(_x_)_|_x＝__x_0，即f ′(x0) ＝____函_数__值_______.
• 5．导数的物理意义：物体的运动方程s＝s(t) 在点t0处的导数s′(t0)，就是物体在t0时刻的 _瞬__时__速_度____．
• (2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都 可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定 的值x0，都对应着一个确定的导数f ′(x0)．根 据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了 一个新的函数，就是函数f(x)的导函数 __f__′(_x_)____．
2019年高中数学人教版选修1-1习题：第3章 导数及其应用3.1.3 Word版含解析
高中数学选修精品教学资料选修1-1 第三章 3.1 3.1.3一、选择题1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是导学号 92600557( ) A ．在点x 0处的斜率B ．在点(x 0,f (x 0))处的切线与x 轴所夹的锐角的正切值C ．曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处切线的斜率D ．点(x 0,f (x 0))与点(0,0)连线的斜率 [答案] C[解析] 由导数的几何意义可知函数y ＝f (x )在x ＝x 0的导数f ′(x 0),即为曲线在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率．2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3,则点P 的坐标为导学号 92600558( ) A ．(－2,－8) B ．(1,1),(－1,－1) C ．(2,8) D ．(－12,－18)[答案] B [解析] ∵y ＝x 3,∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx ＝lim Δx →0 Δx 3＋3x ·Δx 2＋3x 2·ΔxΔx＝lim Δx →(Δx 2＋3x ·Δx ＋3x 2)＝3x 2. 令3x 2＝3,得x ＝±1,∴点P 的坐标为(1,1),(－1,－1)．3．(2016·重庆一中高二月考)已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8,则f (5)及f ′(5)分别为导学号 92600559( )A ．3,3B ．3,－1C ．－1,3D ．－1,－1[答案] B[解析] 由已知得f (5)＝－5＋8＝3,f ′(5)＝－1,故选B.4．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为导学号 92600560( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2[答案] A [解析]∵f ′(x )＝lim Δx →0 (Δx ＋x )3－2(Δx ＋x )＋1－x 3＋2x －1Δx＝lim Δx →0 Δx 3＋3x ·Δx 2＋3x 2·Δx －2ΔxΔx＝lim Δx →(Δx 2＋3x ·Δx ＋3x 2－2) ＝3x 2－2,∴f ′(1)＝3－2＝1,∴切线的方程为y ＝x －1.5．已知曲线f (x )＝12x 2＋2x 的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为导学号 92600561( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] D[解析] Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝12(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－12x 2－2x ＝x ·Δx ＋12(Δx )2＋2Δx ,∴Δy Δx ＝x ＋12Δx ＋2,∴f ′(x )＝lim Δx →0 ΔyΔx＝x ＋2. 设切点坐标为(x 0,y 0),则f ′(x 0)＝x 0＋2. 由已知x 0＋2＝4,∴x 0＝2,故选D.6．(2016·山东临沂一中高二检测)已知函数f (x )的图象如图所示,f ′(x )是f (x )的导函数,则下列结论正确的是导学号 92600562( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)[答案] B[解析] 从图象上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大,且均为正数,所以有0<f ′(3)<f ′(2),此两点处的斜率f (3)－f (2)3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小,比f (x )在x ＝3处的切线的斜率大,所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2),故选B.二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3＋2,则f ′(2)＝________.导学号 92600563 [答案] 12[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3＋2－23－2Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx －2)[(2＋Δx )2＋(2＋Δx )·2＋22]Δx＝lim Δx →[4＋4Δx ＋(Δx )2＋4＋2Δx ＋4] ＝lim Δx →[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12. 8．设函数y ＝f (x ),f ′(x 0)>0,则曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处切线的倾斜角的范围是________.导学号 92600564[答案] (0,π2)[解析] 由于f ′(x 0)>0,说明y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率大于0,故倾斜角为锐角．9．若抛物线y ＝x 2与直线2x ＋y ＋m ＝0相切,则m ＝________.导学号 92600565 [答案] 1[解析] 设切点为P (x 0,y 0),易知,y ′|x ＝x 0＝2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0＝－2y 0＝x 20,得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝1,即P (－1,1),又P (－1,1)在直线2x ＋y ＋m ＝0上, 故2×(－1)＋1＋m ＝0,即m ＝1. 三、解答题10．已知曲线方程为y ＝x 2,求过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程.导学号 92600566 [解析] ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 2Δx ·x ＋Δx 2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ,又点A(2,4)在曲线y ＝x 2上,∴f ′(2)＝4,∴所求切线的斜率k ＝4, 故所求切线的方程为y －4＝4(x －2), 即4x －y －4＝0.一、选择题1．设曲线y ＝ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a 等于导学号 92600567( )A ．1B ．12C ．－12D ．－1[答案] A[解析] ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →1 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 2aΔx ＋a (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋aΔx )＝2a ,∴2a ＝2,∴a ＝1.2．(2016·天津南开中学检测)已知抛物线y ＝f (x )＝x 2与直线y ＝2x ＋b 相切,若f ′(x 0)＝2,则x 0＝导学号 92600568( )A ．－1B ．2C ．－12D ．1 [答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋by ＝x 2消去y ,得x 2－2x －b ＝0,①∵抛物线y ＝x 2与直线y ＝2x ＋b 相切,∴Δ＝4＋4b ＝0,解得b ＝－1.此时,方程①的根为x ＝1,∴切点坐标为(1,1)．由导数的几何意义得f ′(1)＝2,∴x 0＝1.3．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直,则ab 为导学号 92600569( )A.23 B ．－23C.13 D ．－13[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2,∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3, 由条件知,3×a b ＝－1,∴a b ＝－13.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点,且曲线在P 0处切线平行于直线y ＝4x －1,则P 0点的坐标为导学号 92600570( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1,－4)D ．(2,8)或(－1,－4) [答案] C [解析]f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0(3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,所以f (x )在P 0处的导数值等于4,设P 0(x 0,y 0),有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4.解得x 0＝±1,这时P 0点的坐标为(1,0)或(－1,－4)． 二、填空题5．(2016·山东青岛期末)曲线f (x )＝x 2＋1在点P (1,2)处的切线方程为________.导学号 92600571[答案] y ＝2x[解析] 设曲线f (x )＝x 2＋1在点P (1,2)处的切线的斜率为k ,则k ＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 (1＋Δx )2＋1－(12＋1)Δx＝lim Δx →02Δx ＋(Δx )2Δx ＝2.所以切线方程为y －2＝2(x －1),即y ＝2x .6．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、x ＝2所围成的三角形的面积为________.导学号 92600572[答案] 83[解析] y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2,所以k ＝y ′|x ＝1＝3×1＝3,所以在点(1,1)处的切线方程为y ＝3x －2,它与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23，0,与x ＝2的交点为(2,4),所以S ＝12×⎝⎛⎭⎫2－23×4＝83. 三、解答题7．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切． (1)求切点的坐标；(2)求a 的值.导学号 92600573[解析] (1)设直线l 与曲线C 相切于P (x 0,y 0)点． f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx＝3x 2－2x .由题意知,k ＝1,即3x 20－2x 0＝1,解得x 0＝－13或x 0＝1. 当x 0＝1时,y 0＝1,此时a ＝0(舍去) 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327. (2)当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时,2327＝－13＋a ,a ＝3227. ∴a 的值为3227.8．已知曲线C ：y ＝1t －x 经过点P (2,－1),求(1)曲线在点P 处的切线的斜率.导学号 92600574(2)曲线在点P 处的切线的方程． (3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程． [解析] (1)将P (2,－1)代入y ＝1t －x 中得t ＝1,∴y ＝11－x.∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx ＝1(1－x －Δx )(1－x ),∴lim Δx →Δy Δx ＝1(1－x )2, ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1. (2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2), 即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上,设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0,y 0),则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2,由于y 0＝11－x 0,∴x 0＝12,∴切点M (12,2),切线斜率k ＝4,切线方程为y －2＝4(x －12),即y ＝4x .。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义》赛课课件_23
位置也可能有切点，这样切线可能就不止一条
了。所以在求切线时，就需得斜率 k f / (x0 ) 这样由方
程组 4 y0 f / ( x0 )(2 x0 )
y0 f ( x0 )
得解 x0 , y0
从而写出所求切线的方程
注意：上述方程组有几个不同解，所求切线就 有几条，要保证完整性
分析：本题与例 2 相比有什么不同呢？
分析：本题与例 2 相比有什么不同呢？ 与例 2 相比，例 2 中点 p 在曲线上，而例 3 中 点 p 不在曲线上，但它们都是不确定切点的问题， 所以可用例 2 的解法求解
请同学们分组讨论后写 出解答过程
立马训练2
已知曲线 y＝x2，
(1)求曲线过点 P(1,1)的切线方程；
解：设切点 x0 , y0 由 f / (x) x2 得切线斜率 k x02 切线方程
为 y y0 x02 ( x x0 )
又切线过点p(2,4) 所以得方程
4 y0 x02 (2 x0 ) 又切点在曲线上所以得方程
解方程组
4 y0 x02 (2x0 )
引入
同学们回忆上次月考试卷里的第14题
已知曲线 C：y＝13x3＋43，求经过点 p（2,4）曲线
C 的切线方程．
已知曲线 C：y＝13x3＋43，求经过点 p（2,4）曲线 C 的切线方程．
这道题好多同学做错了或者答案不完整。为什么呢？ 这节课我们就来探究如何正确地解决这样的问题。
导数的几何意义应用
例1、 已知曲线 C：y＝31x3＋34，求曲线 C 在点 p（2，4）处的切线方程．
分析：题目要求在点 p(2,4)处的切线，因点 p 在曲线上，所 以点 p 为切点，在点 p(2,4)处的切线就只有一条。只要再求 出切线的斜率，由点斜式写出方程就行了。
2019-2020学年同步人教A版高中数学选修1-1课件：3.1 3.1.3 导数的几何意义
求过点 P(x，y)的曲线 y＝f(x)的切线 方程的步骤
(1)设切点为 Q(x0，y0)． (2)求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)． (3)利用点 Q 在曲线上和 f′(x0)＝kPQ，解出 x0，y0 及 f′(x0)． (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
第二十四页，编辑于星期六：二十三点 四十八 分。
解析：选 C．切线斜率不存在，但其切线方程可以为 x＝x0， 所以 A，B，D 错误．
第二十五页，编辑于星期六：二十三点 四十八 分。
2．设 f(x) 为可导函数，且满足Δlixm→0f（1）－fΔ（x1－Δx）＝
－1，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是( )
第二十页，编辑于星期六：二十三点 四十八分。
求曲线切点坐标的 4 个步骤 (1)设切点：先设出切点坐标(x0，y0)． (2)求斜率：求切线的斜率 f′(x0)． (3)列方程：由斜率间的关系列出关于 x0 的方程，解方程求 x0. (4)求切点：因点(x0，y0)在曲线上，将(x0，y0)代入曲线方程求 y0，得切点坐标．
第十六页，编辑于星期六：二十三点 四十八分。
程．
求过点 A(2，0)且与曲线 y＝1x相切的直线方
解：易知点(2，0)不在曲线上，故设切点为 P(x0，y0)，由 y′|x＝x0＝Δlixm→0x0＋1ΔΔxx－x10＝－x120，
得所求直线方程为 y－y0＝－x120(x－x0)． 由点(2，0)在直线上，得 x20y0＝2－x0，再由 P(x0，y0)在曲线 上，得 x0y0＝1，联立可解得 x0＝1，y0＝1， 故所求直线方程为 x＋y－2＝0.
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义》赛课课件_19
（2）因为y|x1Fra biblioteklim
x1
3x2 312 x 1
lim 3(x2 12 ) x1 x 1
lim 3(x 1) 6 x1
所以，所求切线的斜率为 6，因此，所求的切线方程为
y 3 6(x 1) 即 6x y 3 0
五、当堂检测
1．求曲线 y=f(x)=x 3 在点 (1,1) 处的切线；
（2）求函数 y=3x2 在点 (1,3) 处的导数.
解：（1）
y |x1
[(1 x)2 lim
x0
1] (12 x
1)
2x x2 lim x0 x
2,
所以，所求切线的斜率为 2，因此，所求的切线方程为
y 2 2(x 1) 即 2x y 0
2．求曲线 y x 在点 (4, 2) 处的切线．
教学目标： 1.了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系， 通过函数的图像理解导数的几何意义。 2.了解导函数的概念，会求导函数。 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程。
教学重点：求曲线上某点处的切线方程。
教学难点：准确理解函数在某点处与过某点的切线方程。
例 1:（1）求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程.
高中数学人教A版选修1-1课件3-1-3导数的几何意义2
点(题型三)，都是导数几何意义的直接应用，即切点处的导数值就
是该切线的斜率．
3．已知曲线 C：y＝x3－3x2＋2x，直线 l：y＝kx，且直线 l 与 曲线 C 相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线 l 的方程及切点坐标．
【解析】直线 l 过原点，则 k＝xy00(x0≠0)，由点(x0，y0)在曲线
自主探究
1．能否认为过曲线上一点 P 的切线有且只有一条并且以这点为 切点？
【答案】这种说法不正确．过曲线上一点的切线可能不止一条， 这点也不一定是切点．如图：l1 与 l2 均是曲线的切线且均过 P 点，但 l1 与曲线的切点并非点 P.
2．f′(x0)与 f′(x)的区别是什么？
【答案】f′(x)是函数 f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间 而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与 x0，Δx 无 关；f′(x0)表示的是函数 f(x)在 x＝x0 处的导数，是对一个点而言的， 它是一个确定的值，与给定的函数及 x0 的位置有关，而与 Δx 无关．
题型三 求切点坐标 【例 3】 已知曲线 y＝x2 在点 P 处的切线分别满足下列条件， 求 P 点坐标． (1)平行于直线 y＝4x－5； (2)与 x 轴成 135°的倾斜角．
思路点拨：设切点坐标，根据导数的几何意义求切线斜率，然 后利用两直线平行条件求切点坐标．
【解析】
∵f′(x)＝ lim Δx→0
(1)函数在一点处的导数，就是该点的函数值的改变量与相应 自变量的改变量的比值的极限．它是一个数值，不是一个变数．
(2)函数的导数，是对某一区间内任意一点 x 而言的． (3)函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，就是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的 函数值．
人教版高中数学选修1-1课件：3.1.3 导数的几何意义
备课素材
1．导数的几何意义 (1)导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 k ＝lim f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时 速度． (2)导数与切线的关系：f′(x0)>0 时，切线的倾斜角为锐角；f′(x0)<0 时，切线 的倾斜角为钝角；f′(x0)＝0 时，切线与 x 轴平行．f(x)在 x0 处的导数不存在， 则切线垂直于 x 轴或不存在．
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(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法．
三维目标
2．过程与方法 通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、总结，发现问题，解决问题，从而达 到培养学生的学习能力、思维能力、应用能力和创新能力的目的． 3．情感、态度与价值观 通过在探究过程中渗透逼近和“以直代曲”思想，使学生了解近似与精确间的辩证 关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值．
备课素材
(3)求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以 该点为由点的由线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在曲线上，则设出切 点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点． 2．“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 (1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的 极限，它是一个数值，不是变数．
备课素材
(2)“导函数”：如果函数 f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说 f(x)在开区间(a，b)内
可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个导数 f′(x0)，这样就在开
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3.1.3 导数的几何意义学习目标：1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数．(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)[自主预习·探新知]1．导数的几何意义(1)切线的定义设点P(x0，f(x0))，P n(x n，f(x n))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝limΔx→0f x n－f x0x n－x0＝f′(x0)．(2)导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？[提示] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．2．导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x 变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx.[基础自测]1．思考辨析(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( )(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( )(4)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．( ) [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交B [由f ′(x 0)＝0知，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，所以切线与x 轴平行或重合．]3．如图315所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )【导学号：97792127】图315A ．12B ．1C ．2D ．0C [由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，则f (5)＋f ′(5)＝2.][合 作 探 究·攻 重 难](1)y ＝－x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2(2)已知曲线y ＝x 3－x ＋2，则曲线过点P (1,2)的切线方程为__________． [思路探究] (1)先求y ′|x ＝12，即切线的斜率，然后写出切线方程．(2)设出切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，利用点P (1，2)在切线上，求出切点坐标，从而求出切线方程．[解析] (1)先求y ＝－1x 在x ＝12处的导数：Δy ＝－112＋Δx ＋112＝4Δx1＋2Δx.y ′|x ＝12＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 41＋2Δx＝4. 所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. (2)设切点为(x 0，x 30－x 0＋2)，则得y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0x 0＋Δx3－x 0＋Δx ＋2]－x 30－x 0＋Δx＝lim Δx →0((Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20－1)＝3x 20－1.所以切线方程为y －(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(x －x 0)． 将点P (1,2)代入得：2－(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，所以x 0＝1或x 0＝－12，所以切点坐标为(1,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198时，切线方程为y －198＝－14x ＋12， 即x ＋4y －9＝0，所以切线方程为2x －y ＝0或x ＋4y －9＝0. [答案] (1)C (2)2x －y ＝0或x ＋4y －9＝02.求过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的步骤(1)设切点(x 0，y 0)(2)求f ′(x 0)，写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x (3)将点(x 1，y 1)代入切线方程，解出x 0，y 0及f (4)写出切线方程． 1．(1)曲线y ＝f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为__________．x ＋2y ＋4＝0 [y ′＝lim Δx →0fx ＋Δx －f xΔx ＝lim Δx →02x ＋Δx －2x Δx＝lim Δx →0－2·Δx x x ＋Δx Δx ＝－2x 2，因此曲线f (x )在点(－2，－1)处的切线的斜率k ＝－2－2＝－12.由点斜式可得切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.](2)试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程.【导学号：97792128】[解] 设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20，又∵A 是切点，y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx ＝2x .∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．[思路探究] 先求出函数的导函数f ′(x )，再设切点(x 0，y 0)，由导数的几何意义知切点(x 0，y 0)处的切线的斜率为f ′(x 0)，然后根据题意列方程，解关于x 0的方程即可求出x 0，又点(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上，易得y 0.[解] 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.2．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ∴y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(4x 0＋2Δx )＝4x 0. (1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， 该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2， 该点为(2,9)．[探究问题]1．函数值增加的越来越快，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且下凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越大．2．函数值增加的越来越慢，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且上凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越小．如图316，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB 在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )图316[思路探究] 根据面积S增加的快慢情况判断S＝f(x)的图象形状．[解析]函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．故选D.[答案] D3．已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图317所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝k AB，则k1，k2，k3之间的大小关系为__________．(请用“>”连接)图317k 1>k 3>k 2 [由导数的几何意义可得k 1>k 2，又k 3＝f－f 2－1表示割线AB 的斜率，所以k 1>k 3>k 2.][当 堂 达 标·固 双 基]1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在B [由x ＋2y －3＝0知，斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.]2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A ．2B ．4C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2D ．6D [∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－2x 3Δx＝2 lim Δx →0Δx3＋3x Δx2＋3x 2ΔxΔx＝2 lim Δx →0[(Δx )2＋3x Δx ＋3x 2]＝6x 2.∴y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.]3．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________． (3,30) [设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0Δx2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．]4．曲线y ＝x 2－2x ＋2在点(2,2)处的切线方程为________.【导学号：97792129】2x －y －2＝0 [Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx ＋(Δx )2，∴ΔyΔx＝2＋Δx . ∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. ∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2. ∴切线方程为y －2＝2(x －2)， 即2x －y －2＝0.]5．函数f (x )的图象如图318所示，试根据函数图象判断0，f ′(1)，f ′(3)，f－f2的大小关系．图318[解] 设x ＝1，x ＝3时对应曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，如图所示．则f－f 3－1＝k AB ，f ′(3)＝k BQ ，f ′(1)＝k AT ，由图可知切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，即k BQ ＜k AB ＜k AT ，∴0＜f ′(3)＜f－f 2＜f ′(1)．。