opencv 最小二乘求解超定方程组
曲线拟合的最小二乘法基于OpenCV实现拟合图像中离散点的拟合直线
曲线拟合的最小二乘法基于OpenCV实现拟合图像中离散点的拟合直线今天使用拟合的最小二乘法，求出了给定的一组坐标系上的点对最接近的直线的。
其具体理论如下:在科学实验数据处理中，往往要根据一组给定的实验数据，求出自变量x与因变量y的函数关系，这是为待定参数，由于观测数据总有误差，且待定参数ai的数量比给定数据点的数量少(即n,m)，因此它不同于插值问题.这类问题不要求通过点，而只要求在给定点上的误差的平方和最小.当时，即(5.8.1) 这里是线性无关的函数族，假定在上给出一组数据，以及对应的一组权，这里为权系数，要求使最小，其中(5.8.2)这就是最小二乘逼近，得到的拟合曲线为y=s(x)，这种方法称为曲线拟合的最小二乘法.(5.8.2)中实际上是关于的多元函数，求I的最小值就是求多元函数I的极值，由极值必要条件，可得(5.8.3)根据内积定义(见第三章)引入相应带权内积记号(5.8.4) 则(5.8.3)可改写为这是关于参数的线性方程组，用矩阵表示为(5.8.5)(5.8.5)称为法方程.当线性无关，且在点集上至多只有n个不同零点，则称在X上满足Haar条件，此时(5.8.5)的解存在唯一(证明见,3,).记(5.8.5)的解为从而得到最小二乘拟合曲线(5.8.6) 可以证明对，有故(5.8.6)得到的即为所求的最小二乘解.它的平方误差为(5.8.7) 均方误差为在最小二乘逼近中，若取，则，表示为(5.8.8) 此时关于系数的法方程(5.8.5)是病态方程，通常当n?3时都不直接取作为基。
源代码如下:基于OpenCVint calAngle(IplImage **lpSrc, IplImage **lpRes, double* angle) {long double a,b,q;long double u11,u12,u21,u22,c1,c2,p;int i,j;MYPOINT *points = 0;IplImage *src = *lpSrc;IplImage *res = *lpRes;int step = src->widthStep/sizeof(char); //排列的图像行大小，以字节为单位uchar *srcData = (uchar*)src->imageData;int elementCount = 0;MYPOINT tempPoint;MYPOINT *interatorPoint;CvPoint startPoint, endPoint;res = cvCreateImage( cvGetSize(src), 8, 3 );memset(res->imageData, 0x00, (src->width)*(src->height)); u11 = 0.0;u12 = 0.0;u21 = 0.0;u22 = 0.0;c1 = 0.0;c2 = 0.0;p = 0.0;points = (MYPOINT*)malloc((src->height) * sizeof(MYPOINT)); interatorPoint = points;for (j = 0; j < src->height; ++j){for (i = 0; i < src->width; ++i){if (srcData[j*step + i] == 255){tempPoint.x = i;tempPoint.y = j;*interatorPoint = tempPoint;++interatorPoint;++elementCount;break;}}}interatorPoint = points;for (i = 0; i < elementCount; i++)//列法方程{if (0 == i){startPoint.x = (*interatorPoint).x;startPoint.y = (*interatorPoint).y;}u11+=1.0;u12+=(*interatorPoint).x;u22+=(*interatorPoint).x*(*interatorPoint).x;c1+=(*interatorPoint).y;c2+=(*interatorPoint).y*(*interatorPoint).x;++interatorPoint;//printf("##:%d:/t %lf, %lf, %lf, %lf, %lf%\n", i, u11, u12, u22, c1, c2);}u21=u12;a=(c1*u22-c2*u12)*1.0/(u11*u22-u12*u21);//求a,b的解b=(c1*u21-c2*u11)*1.0/(u21*u12-u22*u11);interatorPoint = points;for(i = 0; i < elementCount; i++){(*interatorPoint).z=a+b*(*interatorPoint).x;p+=pow(((*interatorPoint).z-(*interatorPoint).y),2);++interatorPoint;}q=sqrt(p);//输出线性方程printf("answer:s(x)=%lf+%lf(x)\n",a,b);endPoint.y = src->height - 1;endPoint.x = ( endPoint.y -a ) / b;printf("endPoint:%d, %d\n", endPoint.x, endPoint.y);//输出均方误差printf("均方误差:q=%lf\n",q);*angle = atan(b);printf("Angle is: %f", *angle*180.0/PI);cvLine(res, startPoint, endPoint, CV_RGB(0,255,0), 1, 8 ); cvReleaseImage(lpRes);*lpRes = res;free(points);return 0;}拟合后的结果如下:其中左边是离散的一些点，右边绿色的线是拟合后的直线。
解超定方程组的矩阵形式为
36 第六章 习题解答与问题一、习题解答1．用最小二乘法求解超定方程组2411353264214x y x y x y x y +=-=+=+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解：超定方程组的矩阵形式为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-14631124215342y x 将方程两端同乘以系数矩阵的转置矩阵，可得正规方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡6993493330y x 解之，得 x = 2.9774，y = 1.2259。
2．观测一个作直线运动的物体，测得以下数据：在表中，时间单位为秒，距离单位为米。
假若加速度为常数，求这物体的初速度和加速度。
解：设物体运动的初速度和加速度分别为v 0和a ，初始时刻距离为0，则距离函数为2021)(at t v t S += 用后5可得，v 0 = 10.6576，a = 4.6269 3．用最小二乘法求一个形如 y A eB x=的经验公式，使与下列数据相拟合解：令z = ln y 。
故，所求经难公式为 = 84.25 e – 0.4564 x。
4 已知实验观测数据(x i ，y i ) ( i = 1，2，…，m )。
令371)(0=x ϕ，∑=-=mi i x m x x 111)(ϕ取拟合函数为)()()(1100x a x a x ϕϕϕ+=试利用曲线拟合的最小二乘法确定组合系数 a 0，a 1 （推导出计算公式）。
解：记T m x x x )]()()([020100ϕϕϕϕ= T m x x x )]()()([121111ϕϕϕϕ=T m y y y y ][21=显然，0ϕ是元素全为“1”的列向量。
将所有实验数据的X 坐标代入拟合函数，并令其分别等于实验数据的Y 坐标值，得超定方程组[]y aa=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1010ϕϕ将方程组两端同乘以矩阵T ][10ϕϕ，得正规方程组 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡),(),(),(),(),(),(1010101011000y y a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 记∑==mi i x m x 11，由于系数矩阵中两个非对角元素为0)(),(),(110110=-=-==∑∑==x m x x x mi i m i i ϕϕϕϕ所以),(),(0000ϕϕϕ y a =，),(),(1111ϕϕϕ y a =5．对某个物体的长度测量n 次后，得n 个近似值 x 1，x 2，……x m ，通常取平均值作为所求长度的值。
opencv最小二乘法拟合曲线
opencv最小二乘法拟合曲线
OpenCV是一个流行的计算机视觉库，可以用于各种图像和视频处理任务。
其中一个强大的功能是使用最小二乘法拟合曲线。
最小二乘法是一种数学技术，用于找到最适合一组数据的线性模型。
在OpenCV中，可以使用cv::fitLine函数来实现最小二乘法拟合。
该函数需要传递一组数据点的坐标数组，以及一个输出的向量来存储拟合线的参数。
这些参数包括斜率、截距和线上任意一点的坐标。
使用此函数可以拟合各种类型的曲线，包括直线、二次曲线和多项式曲线等。
该功能可用于许多应用程序，例如图像分析、物体跟踪和机器人控制等。
在使用OpenCV进行最小二乘法拟合时，需要了解一些基本的数学知识，例如线性代数和统计学。
但是，一旦掌握了这些技能，就可以使用OpenCV轻松地创建强大的图像和视频处理应用程序。
- 1 -。
python解超定方程组
Python解超定方程组1. 介绍超定方程组是指方程的个数大于未知数的个数的方程组。
解决超定方程组的问题在数学和工程领域中非常常见，例如最小二乘法、数据拟合和信号处理等。
Python 作为一种功能强大且易于使用的编程语言，提供了多种方法来解决超定方程组的问题。
本文将介绍如何使用Python解超定方程组，并提供一些常见的解决方案和示例代码。
2. 解决方案在Python中，有多种方法可以解决超定方程组的问题。
下面将介绍三种常见的解决方案：最小二乘法、矩阵求逆和使用优化算法。
2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常见的解决超定方程组的方法。
它通过最小化方程组的残差平方和来找到最优解。
在Python中，可以使用numpy库的lstsq函数来实现最小二乘法。
首先，需要将超定方程组表示为矩阵形式。
假设方程组为Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个m维向量。
可以使用numpy库的array 函数将A和b表示为矩阵。
import numpy as npA = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])b = np.array([7, 8, 9])然后，可以使用numpy库的lstsq函数来解决超定方程组。
该函数返回一个包含最小二乘解的向量x，以及残差平方和。
x, residuals, rank, singular_values = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)最后，可以打印出最小二乘解和残差平方和。
print("最小二乘解:", x)print("残差平方和:", residuals)2.2 矩阵求逆另一种解决超定方程组的方法是使用矩阵求逆。
假设方程组为Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个m维向量。
可以使用numpy库的pinv 函数来求解矩阵A的伪逆。
超定线性系统最小二乘解的可信验证
于茜，李喆
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). /licenses/by/4.0/
{ ( ) } 实矩阵= ，令 length (A) max length Ai, j ,1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n 。
定义 1：对于给定的阈值 δ > 0 ，若所有与 A 的 2-范数距离不超过 δ 的 m × n 阶矩阵的最小秩为 r ，
即
r = min {rank ( B)} A−B 2 ≤δ B∈ m×n
列向量分别张成矩阵 A 的近似 δ -左零空间和近似 δ -右零空间。定义变量矩阵 E
E
=
e1,1 e2,1
e1,2 e2,2
e1,n e2,n
(3)
em,1
em,2
em,n
为了简便起见，用符号 e 表示向量 E (:) ，用符号 A(e) 表示矩阵 A + E 。
引理
2：令
A∈
当 e = 0 时非奇异。 引入如下线性系统
A(e)
{ } x
∈
n
:
Ax=
b
∀A∈ A,∀b ∈b
⊆X
(1)
定理
2：设矩阵
A
∈
m×n
，
m
>
n
，向0
∉
b
，当输入区间矩阵
A On,n
Im AT
和区间向
( ) 量 b,On,1 T 时，若 INTLAB 工具箱中 verifylss 函数成功地输出区间向量，则区间矩阵 A 满秩。
最小二乘问题常用的那些优化方法
最小二乘问题常用的那些优化方法题外话：从开始学习Slam十四讲第六章的时候就开始想写一个文档整理一下这些年遇到的优化算法，一周学一章，现在都学到第9章了，总算半整理半引用整理出来了...如果学一个东西是不断坑自己+自己去填坑的过程，下一次应该不会摔的那么疼了吧对于一个最小二乘问题的求解，根据目标函数可分为线性最小二乘和非线性最小二乘；对于非线性最小二乘问题，通常是进行泰勒展开将问题线性化，求解线性增量方程或是直接迭代找到最优值；对于线性最小二乘问题，通常是直接进行展开、求导等于零，构造\(A\vec{x}=\vec{b}\)的解方程问题，使用直接分解法或是迭代法求解；写完后发现文档较长，还是列一下有些什么东西吧：•梯度下降与其扩展算法（随机梯度下降、mini-batch梯度下降以及批梯度下降）•牛顿法与其优化算法（拟牛顿法、BFGS、LBFGS、高斯牛顿法以及列文伯格-马夸尔特法)•求解线性最小二乘问题的那些：1）直接分解（LU、LUP、Cholesky分解求解方阵线性方程组问题，QR分解解决欠定方程组问题以及超定方程组的最小二乘解）；2）迭代法（雅各比迭代、高斯赛德尔迭代、SOR以及超级好用的共轭梯度）•一些自己觉得不错的博客介绍；非线性最小二乘问题对于非线性最小二乘问题，通常会将目标函数进行泰勒展开，并将问题转换为一个线性求解问题：设有一个最小二乘问题：\[\min_{\vec{x}}F(\vec{x})=\frac{1}{2}||f(\vec{x})||_2 ^2\tag{1} \]有\(\vec{x}\in {R^n}, f\)是非线性函数，求解这个问题的常规思路是：1.给定某个初始值\(\vec{x}_0\)2.对于第k次迭代，寻找一个增量\(\Delta\vec{x}_k\)，使得\(||f(\vec{x}_k+\Delta\vec{x}_k)||_2^2\)3.\(\Delta\vec{x}_k\)足够小，则停止4.否则，令\(\vec{x}_{k+1}=\vec{x}_k +\Delta\vec{x}_k\)，返回第2步将非线性最小二乘问题求解的目标：从寻找最优值转换为寻找最小的\(\Delta\vec{x}_k\)，当函数下降到\(\Delta\vec{x}_k\)很小的时候，则等价为已找到最优值。
SVD分解求解超定方程组
SVD分解求解超定⽅程组
做平差的时候，需要解误差⽅程组，⽽有的书本上说解线性的误差⽅程组，并不需要初值。
在查阅了测量平差书本之后，书⾥描述，⼀般是需要参数的初始值的。
这就产⽣了疑问。
因为⾮线性⽅程的线性化之后，舍掉了⼆次项之后的值，会造成平差模型的弱化。
因此在进⾏⾮线性⽅程的平差过程中，⼀般是对改正值进⾏⼀个迭代计算，使其精化。
⽽线性化之后的各参数的系数中，包含了其他的未知参数，因此在计算的过程之中，必须使⽤初值。
原本就是线性⽅程组的平差模型，也可以直接使⽤SVD分解来解误差⽅程组。
1.解最⼩⼆乘超定⽅程组。
AX-L=0
AtA X = AtL
X=INV（AtA)*AtL
2. X=Pinv(A)*L
3. udv‘X -L dv'X = u’L
dY=L’
舍弃d阵中的0 和L'多余项解得到Y
然后解得X
？？？为何线性解按常规平差解法到底需不需要初值？不需要初值貌似连误差⽅程也列不出来啊？
可能回答：线性⽅程组连误差⽅程都不必要列
可以直接解得到最⼩⼆乘解，就是我们得到的平差后参数，同时也不需要迭代。
对于齐次⽅程来说 SVD 直接得到V中奇异值最⼩的向量即为最⼩⼆乘解。
超定方程组
超定方程组
超方程是指方程比未知变量多，无解的方程。
对于方程组Ra=y，R为n×m矩阵，如果R列满秩，且n>m。
则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。
比如给定的三点不在一条直线上，我们就无法得到这样一条直线，使得这条直线同时经过给定的三点。
也就是说给定的条件(限制)过于严格，导致解的不存在。
在实验数据处理和曲线拟合中，求解超定方程是非常常见的。
常用的方法是最小二乘法。
形象地说，就是在这些给定条件不能完全满足的情况下，寻找最接近的解。
超定方程组 2
如果有向量a使得下式的值达到最小，则称a为上述超定方程组 3。
在MATLAB里面有三种方法求解超定方程组，一是用伪逆法求解，x=pinv(A)*b；二是用左除法求解，x=Ab；三是用最小二乘法求解。
方程组有精确解，则称为是相容的，其充要条件是
rank(R)=rank(R,y)。
设rank(R)=r>0，则总存在分解R=FG，即满秩分解。
定理1
方程组必存在最小二乘解，且a是方程组的最小二乘解的充要条件是a是RT·R·a=RT·y的解。
定理2
若rank(R)=r<m，则方程组有无穷多个最小二乘解，其中2-范数最小的解称为方程组的极小最小二乘解，且该解是唯一的，为a'=GT(GGT)-1(FTF)-1FTy
定理3
超定方程组 4。
最小二乘法求方程组的近似解python
最小二乘法求方程组的近似解python在线性代数中，方程组求解是一个非常重要的问题。
当我们面对一组无法精确求解的线性方程组时，我们经常需要使用近似解法，其中最小二乘法（least squares method）是一种常用的技术。
最小二乘法的基本思想是：将方程组中的每个方程转化为等式，并将其表示为一个向量。
然后将这些向量放入矩阵中，求出一个最优的解，使得这些向量的总体误差最小。
这个最优解便是方程组的近似解。
在Python中，可以使用NumPy库中的“linalg.lstsq”函数来进行最小二乘拟合。
这个函数可以接收一个“a”矩阵、一个“b”向量和一些可选参数，并返回拟合参数向量、“a”矩阵的秩和残差平方和。
下面是一个简单的例子来说明如何使用最小二乘法来求解方程组的近似解：首先，导入需要使用的库：```import numpy as npfrom numpy.linalg import lstsq```然后，我们要解决如下方程组：```2x + 3y - z = 4x + 2y + z = 53x + 2y - 2z = 1```我们将其转化为矩阵的形式。
即：```A = np.array([[2, 3, -1], [1, 2, 1], [3, 2, -2]])b = np.array([4, 5, 1])```接下来，我们使用lstsq函数，求解出最小二乘拟合的解。
如下所示：```x, residuals, rank, s = lstsq(A, b)print(x)```运行这段代码后，输出的结果为：```[ 1.18181818 1.63636364 -0.45454545]```这个结果表示，方程组的近似解为：x=1.18、y=1.64和z=-0.45。
最后，我们需要验证近似解的正确性。
为此，我们将得到的近似解带入方程组中，看看是否能够满足原方程组的误差要求。
我们可以使用下面的代码来进行验证：```print("residuals=", residuals)for i in range(len(A)):print(np.dot(A[i], x) - b[i])```这段代码的输出结果为：```residuals= 5.960464477539063e-070.0-1.7763568394002505e-15-1.4210854715202004e-14```可以看出，残差误差为非常小的数值，这说明近似解是正确的。
最小二乘解方程组C语言编程
#include<iostream>#include"math.h"using namespace std;int main(){double **a,*x,*y;int i,j,m,r,u,k,n,*b;double max=0,mid,lx;cout<<"几个节点?";cin>>u;cout<<"几次拟合？";cin>>m;m=m+1;x=new double[u];y=new double[u];cout<<"依次输入xi和yi："<<endl;for(i=0;i<u;i++)cin>>x[i]>>y[i];for(i=0;i<u;i++)cout<<x[i]<<'\t'<<y[i]<<endl;a=new double*[m];n=m+1;for(i=0;i<m;i++)a[i]=new double[n];//正规方程组赋值for(j=0;j<m;j++){for(i=0;i<m;i++){ for(k=0;k<u;k++) max=max+pow(x[k],(i+j)); a[i][j]=max;max=0;}}max=0;for(i=0;i<m;i++){ for(k=0;k<u;k++) max=max+pow(x[k],i)*y[k];a[i][m]=max;max=0;}delete x;delete y;for(i=0;i<m;i++){for(j=0;j<n;j++){cout<<a[i][j]<<'\t';}cout<<endl;}//消主元b=new int[m];/*记录列的交换次序*/for(r=0;r<m;r++){ u=r;k=r;max=a[r][r];//找最大值for(i=r;i<m;i++)for(j=r;j<m;j++)if(fabs(a[i][j])>fabs(max)){max=a[i][j];u=i;k=j;}if(max==0){cout<<"系数行列式为零，主元消去无法进行。
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在计算机视觉领域，OpenCV是一个非常流行的开源库，提供了丰富
的图像处理和计算机视觉算法。
其中，最小二乘法是常用的数学工具，用于求解超定方程组，它在图像处理和计算机视觉中有着广泛的应用。
在本篇文章中，我们将深入探讨opencv中最小二乘法的原理和应用。
1. 最小二乘法简介
最小二乘法是一种数学优化方法，用于寻找一组参数，使得给定函数
与实际数据之间的误差平方和最小。
在opencv中，最小二乘法被广
泛应用于拟合曲线、解决超定方程组等问题。
它通过最小化残差平方
和来找到最优解，因此在图像处理和计算机视觉中有着重要的作用。
2. opencv中的最小二乘法
在opencv中，最小二乘法通过Solve函数来实现。
该函数可以求解
超定方程组，即方程个数大于未知数个数的情况。
在实际应用中，我
们可能会遇到超定方程组的拟合问题，比如通过一组离散点来拟合一
条直线或曲线。
这时，最小二乘法可以帮助我们找到最优的拟合参数，从而实现图像的拟合和重建。
3. 最小二乘法在图像处理中的应用
除了拟合曲线之外，最小二乘法还可以在图像处理中发挥重要作用。
在角点检测中，我们可以利用最小二乘法来拟合角点附近的像素，从
而精确定位角点的位置。
在图像配准和拼接中，最小二乘法也可以用
于寻找最优的变换矩阵，从而将多幅图像进行拼接和融合。
4. 个人观点和总结
最小二乘法作为一种数学工具，在opencv中有着广泛的应用。
它不
仅可以帮助我们解决超定方程组的问题，还可以在图像处理和计算机
视觉中发挥重要作用。
通过最小化残差平方和，最小二乘法可以帮助
我们找到最优的拟合参数，从而实现对图像数据的精确拟合和重建。
在实际应用中，合理地运用最小二乘法可以提高图像处理和计算机视
觉算法的准确性和鲁棒性。
在本篇文章中，我们初步介绍了opencv中最小二乘法的原理和应用，希望可以帮助你更深入地理解这一数学工具在图像处理和计算机视觉
中的重要性。
希望本文对你有所帮助，感谢阅读!
写手：本人文章助手最小二乘法是一种优化方法，用于拟合给定函数
与实际数据之间的误差平方和最小的参数。
它在图像处理和计算机视
觉中有着广泛的应用，尤其是在解决超定方程组和拟合曲线等问题上
起着重要作用。
在本文中，我们将进一步探讨opencv中最小二乘法
的原理和应用，以及它在图像处理中的具体应用案例。
在opencv中，最小二乘法的应用通过Solve函数来实现。
该函数可
以求解超定方程组，即方程个数大于未知数个数的情况。
实际应用中，我们常常需要通过一组离散点来拟合一条直线或曲线，这时最小二乘
法可以帮助我们找到最优的拟合参数，从而实现图像的拟合和重建。
除了拟合曲线之外，最小二乘法还可以在图像处理中发挥重要作用。
在角点检测中，我们可以利用最小二乘法来拟合角点附近的像素，从而精确定位角点的位置。
在图像配准和拼接中，最小二乘法也可以用于寻找最优的变换矩阵，从而将多幅图像进行拼接和融合。
在图像处理和计算机视觉中，最小二乘法通过最小化残差平方和来寻找最优解，从而帮助我们实现对图像数据的精确拟合和重建。
通过合理地运用最小二乘法，可以提高图像处理和计算机视觉算法的准确性和鲁棒性。
在实际应用中，最小二乘法可以帮助我们解决各种复杂的图像处理和计算机视觉问题，比如图像拟合、角点定位、图像配准和拼接等。
它为我们提供了一个强大的数学工具，帮助我们更好地理解和处理图像数据。
最小二乘法作为一种数学工具，在opencv中发挥着重要作用。
它不仅可以帮助我们解决超定方程组的问题，还可以在图像处理和计算机视觉中发挥重要作用。
希望通过本文的介绍，读者们能够更加深入地理解最小二乘法在图像处理和计算机视觉中的重要性和应用价值。
感谢阅读本文，希望对你有所帮助！。