线性方程组的一样解法
高一数学线性方程组的解法
高一数学线性方程组的解法一、一元一次方程的解法对于形如ax + b = 0的一元一次方程，可以通过如下步骤求解：1. 将方程中的系数以及常数项分别代入等式，得到ax + b = 0；2. 移项，将常数项b移到方程右侧，得到ax = -b；3. 如果系数a不为0，则可以将等式两边同时除以a，得到x = -b/a。
示例：求解方程2x + 3 = 0。
解答：1. 将方程中的系数以及常数项分别代入等式，得到2x + 3 = 0；2. 移项，将常数项3移到方程右侧，得到2x = -3；3. 将等式两边同时除以2，得到x = -3/2。
二、二元一次方程组的解法对于形如```a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂```的二元一次方程组，可以通过如下步骤求解：1. 将方程组中的第一个方程乘以适当的数，使得x或y的系数相等，得到一个等价的方程组；2. 将第二个方程减去第一个方程的若干倍，得到一个新的方程，其未知数的系数相差一个倍数，从而得到两个方程的新的等价方程组；3. 将新的方程组中的一条方程中的一个未知数表示成另一个未知数的函数，将其代入另一条方程中，得到只含有一个未知数的方程；4. 求解得到该未知数的值；5. 将求得的未知数的值代入到同一条方程的任意一条方程中，求解得到另一个未知数的值。
示例：求解方程组```2x + 3y = 74x - 5y = 1```解答：1. 将第一个方程乘以2，得到方程组```4x + 6y = 144x - 5y = 1```2. 将第二个方程减去第一个方程的2倍，得到方程组```4x - 5y = 1-11y = -13```3. 将第二个方程中的y表示成x的函数，得到y = 13/11。
4. 将y = 13/11代入第一个方程，得到4x - 5(13/11) = 1，解得x = 78/55。
5. 将x = 78/55代入第一个方程，得到2(78/55) + 3y = 7，解得y = 29/55。
线性方程组的求解方法
线性方程组的求解方法线性方程组求解是数学中非常重要的一部分，它用于模拟现实世界中存在的很多问题。
线性方程组可以描述很多不同的系统，例如电路、化学反应、经济问题等等。
直接求解线性方程组并不困难，但是随着方程的数量增加，计算的难度和时间也会增涨。
因此，寻找有效的方法来求解线性方程组是非常重要的。
在本文中，我们将学习几种不同的线性方程组求解方法。
1. 高斯消元法高斯消元法是最基本的求解线性方程组的方法之一。
它的基本思想是利用不同的线性组合把方程组中的未知数消去，从而化简为一个简单的三角形式。
例如，需要求解以下方程组：x + y + z = 62x + 5y – z = 42x + 3y + 8z = 27通过高斯消元法，我们可以将方程组化简为以下形式：x + y + z = 60.5y – 1.5z = 10 + 0.5z = 3由此我们可以得到z=6，再代入上一步的式子求y，最后得到x 的值。
虽然该方法简单，但是对于规模较大的方程组，计算的复杂性会显著增加。
2. 克拉默法克拉默法是一种求解线性方程组的方法，适用于方程组的系数矩阵可逆的情况。
该方法通过求解每个未知数的行列式来求得方程组的解。
例如，需要求解以下方程组：x + y = 52x – 3y = 1使用克拉默法可得：x = (5 × (-3) – 1 × (–1)) / (1 × (-3) – 2 × 1) = -17/5y = (1 × 1 – 5 × 2) / (1 × -3 – 2 × 1) = -3/5虽然该方法可以精确地求解线性方程组，但是它的计算复杂度和计算时间都很高。
3. LU分解法LU分解法是将线性方程组的系数矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，以此来求解方程组。
该方法可以大大简化计算的复杂度，特别是在需要多次求解同一组系数矩阵的情况下。
例如，需要求解以下方程组：2x + y + z = 8-3x - 4y + z = -16-2x + y + 2z = -6使用LU分解法可将系数矩阵分解为以下两个矩阵：L =1 0 0-1.5 1 0-1 1 -1U =2 1 10.5 -5/3 2/30 0 -1然后将矩阵相乘，就可以解出方程组的解。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中一种重要的数学模型，它描述了线性关系的集合。
解决线性方程组的问题在数学和应用数学中具有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的两种常见解法：矩阵消元法和矩阵求逆法。
一、矩阵消元法矩阵消元法是解决线性方程组的常见方法之一。
它通过对增广矩阵进行一系列的行变换来化简线性方程组，最终达到求解方程组的目的。
步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 选取主元，即第一行第一列的元素作为主元，将主元移到对角线上。
3. 利用主元，通过一系列的行变换，将主元下方的元素化为零。
4. 对于主元右方的元素，依次选取主元，重复第2、3步，将其化为零。
5. 重复以上步骤，直到将矩阵化为上三角矩阵。
6. 反向求解未知数，得到线性方程组的解。
这种方法的优点是简单易行，适用于任意大小的线性方程组。
然而，该方法在某些情况下可能会出现无法求解的情况，例如矩阵的某一行全为零或等于其他行。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见的解决线性方程组的方法。
该方法利用矩阵的逆矩阵，通过左乘逆矩阵将线性方程组转化为标准形式，从而求解未知数。
步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
2. 判断系数矩阵A是否可逆，若可逆，则存在逆矩阵A^-1。
3. 左乘逆矩阵A^-1，得到X = A^-1 * B。
4. 计算逆矩阵A^-1和常数向量B的乘积，得到未知数向量X，即线性方程组的解。
矩阵求逆法相较于矩阵消元法更加灵活，但对于大规模矩阵的求逆可能会涉及到较复杂的计算。
此外，在某些情况下，系数矩阵A可能不存在逆矩阵，此时该方法无法求解。
总结线性方程组是数学领域中研究的重要课题，矩阵消元法和矩阵求逆法都是常见的解决线性方程组的方法。
选择合适的解法取决于问题的具体要求和所涉及的矩阵特性。
在实际问题中，我们根据具体情况选择适当的方法，以求得线性方程组的解。
注：本文中所使用的线性方程组解法仅涵盖了部分常见方法，并不是穷尽全部解法。
线性方程组解法归纳总结
线性方程组解法归纳总结在数学领域中，线性方程组是一类常见的方程组，它由一组线性方程组成。
解决线性方程组是代数学的基础知识之一，广泛应用于各个领域。
本文将对线性方程组的解法进行归纳总结。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的基本方法之一。
其基本思想是通过逐步消元，将线性方程组转化为一个上三角形方程组，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。
2. 选取一个非零的主元（通常选取主对角线上的元素），通过初等行变换将其它行的对应位置元素消为零。
3. 重复上述步骤，逐步将系数矩阵转化为上三角形矩阵。
4. 通过回代法，从最后一行开始求解未知数，逐步得到线性方程组的解。
高斯消元法的优点是理论基础牢固，适用于各种规模的线性方程组。
然而，该方法有时会遇到主元为零或部分主元为零的情况，需要进行特殊处理。
二、克拉默法则克拉默法则是一种用行列式求解线性方程组的方法。
它利用方程组的系数矩阵和常数向量的行列式来求解未知数。
具体步骤如下：1. 求出系数矩阵的行列式，若行列式为零则方程组无解。
2. 对于每个未知数，将系数矩阵中对应的列替换为常数向量，再求出替换后矩阵的行列式。
3. 用未知数的行列式值除以系数矩阵的行列式值，即可得到该未知数的解。
克拉默法则的优点是计算简单，适用于求解小规模的线性方程组。
然而，由于需要计算多次行列式，对于大规模的线性方程组来说效率较低。
三、矩阵法矩阵法是一种将线性方程组转化为矩阵运算的方法。
通过矩阵的逆运算或者伴随矩阵求解线性方程组。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵的形式，其中系数矩阵为A，未知数矩阵为X，常数向量矩阵为B。
即AX=B。
2. 若系数矩阵A可逆，则使用逆矩阵求解，即X=A^(-1)B。
3. 若系数矩阵A不可逆，则使用伴随矩阵求解，即X=A^T(ATA)^(-1)B。
矩阵法的优点是适用于各种规模的线性方程组，且运算速度较快。
线性方程组的解法探究
线性方程组的解法探究线性方程组是数学中常见的问题，涉及到多个未知数和各个未知数之间的线性关系。
本文将重点探讨五种常用的线性方程组解法，并比较它们在不同情况下的适用性。
通过对这些解法的研究，我们可以更好地理解和解决线性方程组相关的问题。
一、高斯消元法高斯消元法是最常见和最基础的线性方程组解法之一。
该方法通过变换线性方程组的增广矩阵，将其化为最简形式。
基本思想是通过初等行变换（如交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍）来逐步消去未知数，达到求解的目的。
二、逆矩阵法逆矩阵法是利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组的方法。
对于一个已知系数矩阵A和常数项矩阵B，当A可逆时，方程组的解可以表示为X=A^(-1)B。
逆矩阵法的优点是可以一次性求解多个未知数，但要求系数矩阵必须可逆。
三、克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式来求解线性方程组的方法。
对于一个n阶线性方程组，如果系数矩阵的行列式不等于零，则存在唯一解，并可以逐个求出未知数的值。
克拉默法则的缺点是计算量较大，不适用于大规模的线性方程组。
四、矩阵法矩阵法是将线性方程组表示为矩阵形式，然后通过矩阵运算来求解未知数的方法。
通过将系数矩阵与未知数矩阵相乘得到常数项矩阵，再通过矩阵的逆运算求解未知数矩阵。
矩阵法在求解规模较大的线性方程组时比较高效。
五、向量空间法向量空间法是通过向量空间的性质来解线性方程组的方法。
线性方程组的解可以看作是向量空间的一个向量，通过求解零空间和列空间来得到方程组的解。
向量空间法的思想相对较为抽象，适用于对线性代数有深入理解的人。
综上所述，不同的线性方程组解法在不同的情况下具有不同的优缺点。
高斯消元法是最基础和常用的方法，在一般情况下都可以使用。
逆矩阵法和克拉默法则适用于系数矩阵满足一定条件的情况。
矩阵法在规模较大的线性方程组求解中效率较高。
向量空间法适用于对线性代数有较深理解的情况。
不同的解法之间相互补充与联系，为解决线性方程组问题提供了多种途径。
线性方程组三种求解方法
线性方程组三种求解方法
线性方程组是由一组线性方程所组成的集合，它是计算机科学中最基本的抽象模型之一。
线性方程组的求解有多种方法，最常用的方法有三种：高斯消元法，全选主元法和乘法因子法。
高斯消元法是一种消除法。
它能将线性方程组变换成求解矩阵的方法，将线性方程组中的未知数从一个方程参与到另一个方程，以实现变量间的互换，当这种变形在线性方程的个数和方程式的系数不相等的时候，系数矩阵就得到了转换，最后实现方程的求解。
由于本质上利用线性变换方法，有可能不能够求解它，而异常解会出现，所以不适合解决线性方程组。
全选主元法是一种消元法，也是线性方程组求解的重要方法。
全选主元法的基本思路是：从一个给定的方程组开始，选出一个最大的系数做主元，将这个未知数代入另一个方程，不断地进行计算，直到求出所有的未知数的值，最后得到相应的解。
全选主元法的优点是计算次数少，能够求出超定方程组的解。
乘法因子法是一种简化法，也是解高维度方程组的有效方法，它是一种缩减矩阵法，把一组方程简化成新形式，其思路是把一个系数矩阵和它的乘法因子矩阵相乘，乘法因子矩阵通过消去系数矩阵中一些行和一些列，来使原始方程组变得简洁，使得求解系数矩阵变得可能，最后可以实现方程组的求解。
总的来说，三种线性方程组的求解方法都有其优势，它们都是有效的解决方案，根据实际情况应用不同的方法可以求出合适的解，同时，在计算机应用中，更多的方法也在发展和探索当中。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用线性方程组是数学中常见的问题之一，它在各个领域都有着广泛的应用，如物理、经济学等。
本文将介绍线性方程组的解法以及其在实际问题中的应用。
一、线性方程组的解法1. 高斯消元法高斯消元法是最常用的线性方程组解法之一。
它通过对方程组进行系数矩阵的行变换，将其转化为简化的阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
2. 矩阵的逆与逆矩阵对于n个未知数的线性方程组，我们可以将其转化为矩阵表示。
当系数矩阵可逆时，可以通过求解逆矩阵来得到方程组的解。
3. 克拉默法则克拉默法则是一种解决线性方程组的方法，它通过求解系数矩阵的行列式与各个未知数所对应的代数余子式，进而求得方程组的解。
二、线性方程组的应用1. 物理学中的力的平衡问题在物理学中，力的平衡问题常常可以转化为线性方程组。
通过建立各个力的平衡方程，可以求解出力的大小和方向。
2. 经济学中的投资与收益问题在经济学中，投资与收益之间常常存在线性关系。
通过建立线性方程组，可以计算出各项投资对应的预期收益，帮助做出合理的投资决策。
3. 工程学中的电路分析问题在电路分析中，线性方程组可以用于求解电路中的电流和电压。
通过建立各个元器件的电流-电压关系方程，可以求解出电路中各点的电流和电压数值。
4. 计算机科学中的图像处理问题在图像处理中，线性方程组可以应用于图像的滤波和重建等问题。
通过建立线性方程组，可以对图像进行处理和改善，实现各种图像特效。
结语线性方程组是数学中重要的内容之一，它的解法和应用涉及到各个领域。
通过掌握线性方程组的解法，我们可以解决许多实际问题，提升问题求解的能力。
希望本文能对你对线性方程组的理解和应用有所帮助。
线性方程组的解法详细教案(公开课)
线性方程组的解法详细教案(公开课)
前言
本文将详细介绍线性方程组的解法，希望通过此公开课，学生们能更好地掌握这一知识点。
一、什么是线性方程组
线性方程组是由若干个线性方程组成的集合，其中每个线性方程的未知数个数相同。
例如：
2x + 3y = 7
4x - 5y = 1
这就是一个由两个线性方程组成的线性方程组，其未知数个数为2。
二、解线性方程组的方法
1.高斯消元法
高斯消元法是一种基本的线性代数算法，方程组的增广矩阵可
以通过行初等变换来进行化简，从而得到其阶梯形矩阵或行最简阶
梯形矩阵，进而求解线性方程组。
2.克拉默法则
克拉默法则是一种基于行列式的方法，它可以求解规模较小的
线性方程组。
但由于其需要计算多个行列式，某些时候计算量较大，而且稳定性较差。
三、解线性方程组的步骤
1.对系数矩阵进行消元，通过行初等变换将其变为阶梯形矩阵
或行最简阶梯形矩阵。
2.根据阶梯形矩阵或行最简阶梯形矩阵，列出新的线性方程组。
例如：
2x + 3y = 7
0x - 1y = -5
3.反推得到未知数的值，从下往上推导出每个未知数的解。
例如：
y = 5
2x + 3(5) = 7
2x = -8
x = -4
四、总结
通过以上的讲解，我们可以简单地总结如何解一个线性方程组：
1.通过高斯消元法或者克拉默法则将系数矩阵转化为阶梯形矩
阵或行最简阶梯形矩阵
2.由阶梯形矩阵或行最简阶梯形矩阵列出新的线性方程组
3.通过反推的方式得出未知数的解
希望这份详细的教案可以帮助大家更好地掌握线性方程组的解法。
线性方程组的解法及应用案例
线性方程组的解法及应用案例一、引言线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
解决线性方程组的方法有很多种，本文将介绍常见的解法，并结合实际案例进行应用分析。
二、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常见方法。
它通过将方程组转化为阶梯形式，从而简化计算过程。
下面通过一个例子来说明高斯消元法的具体步骤。
假设有如下线性方程组：```2x + 3y - z = 13x - 2y + 2z = 3x + y - z = 0```首先，我们将方程组写成增广矩阵的形式：```[2 3 -1 | 1][3 -2 2 | 3][1 1 -1 | 0]```接下来，我们通过行变换的方式将矩阵转化为阶梯形式。
具体步骤如下：1. 将第二行乘以2，然后与第一行相减，消去x的系数：```[2 3 -1 | 1][0 -8 4 | 1][1 1 -1 | 0]```2. 将第三行乘以0.5，然后与第一行相减，消去x的系数：```[2 3 -1 | 1][0 -8 4 | 1][0 -1 0 | -0.5]```3. 将第三行乘以-8，然后与第二行相加，消去y的系数：```[2 3 -1 | 1][0 0 8 | -3][0 -1 0 | -0.5]```4. 将第三行乘以3，然后与第二行相加，消去y的系数：```[2 3 -1 | 1][0 0 8 | -3][0 0 0 | -2]```现在，我们得到了一个阶梯形的矩阵。
接下来，我们可以通过回代的方式求解方程组的解。
从最后一行开始，我们可以得到z的值为1。
然后，将z的值代入第二行的方程中，可以得到y的值为-0.5。
最后，将z和y的值代入第一行的方程中，可以得到x的值为0.5。
综上所述，线性方程组的解为x=0.5，y=-0.5，z=1。
三、矩阵求逆法除了高斯消元法，矩阵求逆法也是求解线性方程组的一种常见方法。
它通过求解方程组的逆矩阵，从而得到方程组的解。
下面通过一个例子来说明矩阵求逆法的具体步骤。
数学复习线性方程组的解法
数学复习线性方程组的解法一、引言线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的正确方式对于数学学习至关重要。
本文将介绍线性方程组解法的几种常见方法，并对每种方法进行详细的解析和讲解。
二、高斯消元法高斯消元法是一种经典的线性方程组求解方法。
它通过逐步将线性方程组转化为简化行阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
1. 高斯消元法的基本思想（这里不再赘述题目，下同）高斯消元法的基本思想是通过初等行变换，将线性方程组化为简化行阶梯形矩阵，再由简化行阶梯形矩阵得到方程组的解。
首先通过消元法将方程组转化为一个三角形矩阵，然后再由三角形矩阵求解。
2. 高斯消元法的步骤和解析（这里按照题目给出的要求列出步骤，然后进行解析）三、矩阵法矩阵法是另一种常用的线性方程组求解方法。
它将线性方程组表达为矩阵的乘法形式，并通过逆矩阵求解方程组。
1. 矩阵法的基本思想矩阵法的基本思想是通过将线性方程组表示为矩阵的乘法形式，再通过逆矩阵求解方程组。
首先将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵相乘，得到增广矩阵，然后利用逆矩阵的性质求解方程组。
2. 矩阵法的步骤和解析（按照题目要求列出步骤，进行解析）四、克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法。
它通过计算方程组的系数矩阵和常数矩阵的行列式得到方程组的解。
1. 克拉默法则的基本思想克拉默法则的基本思想是通过计算方程组的系数矩阵和常数矩阵的行列式，再通过求解行列式的值得到方程组的解。
2. 克拉默法则的步骤和解析（按照题目要求列出步骤，进行解析）五、总结数学复习线性方程组的解法是数学学习中的基础知识之一。
在本文中，我们介绍了高斯消元法、矩阵法和克拉默法则这三种常见的线性方程组解法，并对每种方法进行了详细的解析和讲解。
在实际的问题求解中，可以根据具体情况选择适合的方法进行求解，提高问题解决效率。
六、附录题库类型的答案和解析请见附录部分，以补充对各种题型的解答。
附录：题库类型的答案和解析（这里给出题库类型的答案和解析）通过本文的学习，相信读者对线性方程组的解法有了更深入的理解和掌握。
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线性方程组的一般解法
一般地，个未知量，个方程组成的线性方程组可以表示为：
（1）
其中是方程组的个未知量，是第个方程中第
个未知量的系数，是第个方程的常数项.若记
， ，
则按矩阵乘法和矩阵相等的定义(1)式可写成
其中矩阵称为线性方程组（1）的系数矩阵， 矩阵称为未知量矩阵，矩
阵称为常数项矩阵.
显然,线性方程组解的情况取决于未知量的系数和常数项. 矩阵称为线
性方程组（1）的增广矩阵，可以表示为
则线性方程组(1)与其增广矩阵是一一对应的.
如果用常数依次代替线性方程组（1）中的个未知量时,(1)中个方
程均成为恒等式,则称为(1)的一个解.此时也称方程组(1)有解,并可表示
方程组的解为矩阵形式
也称解矩阵为(1)的一个解向量,或者说是的解.
那么,方程组解的情况如何？是有解还是无解？有解时是有唯一一组解还是有无穷多组解？就是我
们将要解决的问题。
回想第一章讲到的线性方程组的特殊情形.设,用克莱姆(Cramer)法则求解方程组,若
,即方阵可逆,则线性方程组(1)有且仅有一个解
,
用克莱姆(Cramer)法则只能求解方程的个数与未知量个数相同,并且其系数行列式不为零的线性方
程组,随着未知量个数的增加,计算量的增长速度大的惊人.这是该方法的不足之处.
在中学,我们已经学会了用高斯(Guass)消元法解二元、三元线性方程组，归纳用高斯(Guass)消元法
解线性方程组的过程，也就是对方程组进行同解变换.
先给出一个定义
定义1 若线性方程组的解都是线性方程组的解;反之的解,也都是
的解,则称线性方程组与是同解方程组.
先举一例来回顾一下解线性方程组的消元法.
1. 解线性方程组
解 将第一个方程的倍、倍分别加到第二、第三两个方程上，得到与原方程同解的方程组
在上述方程组中,将第三个方程的1倍、－4倍分别加到第一、第二两个方程上，并交换第二、三两
个方程的位置，得同解方程组
第一个方程两端同乘以，第三个方程两端同乘以，得
将第三个方程的倍、1倍分别加到第一、第二两个方程上，得
这就是原方程组的解.
归纳上述解线方程组的过程,不外乎对方程组施行以下三种变换:
1. 交换两个方程的位置;
2. 用一个非零常数乘以一个方程
3. 把一个方程的若干倍加到另一个方程上.
它们统称为线性方程组的初等变换.经过初等变换得到的方程组都与原方程组同解,而解线性方程组
的过程,就是利用这三种变换逐次“消元”，使原方程逐步化简为与其同解的、能够直接给出解的方程组。
从例1解答过程中，不难发现，在对方程组施行初等变换时，参与变化的仅是未知量的系数和常数
项。因此，对线性方程组施行的初等变换，相当于对增广矩阵
施行初等行变换，反之依然。那么，求解线性方程组的过程，就是用初等行变换将增广矩阵化为
简化的行阶梯型矩阵的过程。这时上面的求解过程可以表示为矩阵形式：
这时已将增广矩阵化为简化的行阶梯型矩阵，它代表线性方程组
所以此线性方程组的唯一解为
或表示为向量形式
值得注意的是,例1也可以利用克莱姆法则或逆矩阵求解,尽管求解过程不同,但结果一定一样.所
以，在以后解线性方程组时，为了书写简明，只需写出方程组的增广矩阵的初等行变换过程即可.
1. 解线性方程组
解 对增广矩阵进行初等行变换，化为阶梯型矩阵，有
所得的阶梯型矩阵第3行与第3行是零行，它们代表同解方程组的第3与第4个方程
这是恒等关系式，对线性方程组的求解不起作用，是多余的方程.这意味着构成此线性方程组的四个
方程不是完全有效的,其中的两个方程(如第3个方程与第4个方程)可以去掉,而其余的两个方程(如第1
个方程与第2个方程)是有效的方程,而两个有效方程只能求解两个未知量,那么另外的两个未知量可以
自由取值,今后对于可以自由取值的未知量称之为自由未知量.不能自由取值的未知量称之为非自由未知
量.在方程中的未知量中,如何选择非自由未知量 依据的原则是：由克莱姆法则,对于非自由未知量，其
系数行列式不为零。当然，符合这一原则的选择不是唯一的，通常将下脚标较小的未知量选作非自由未
知量，下脚标较大的未知量选作自由未知量，在本例题中，得到的阶梯型矩阵的第1行与第2行代表着
有效方程组
将含未知量的项移到等号的右端，得
对于未知量，其系数行列式
对任给的未知量的一组值，依据克莱姆法则，得到未知量的唯一解，它们构成线性方
程组的一组解，由此得出线性方程组有无穷多解.
对所得的阶梯型矩阵继续作初等行变换,化为简化的行阶梯型矩阵,有
所得的简化的行阶梯型矩阵第1行与第2行代表线性方程组
选择为自由未知量, 为非自由未知量,则由表示的表达式为
当自由未知量取任意常数,取任意常数时,此方程组有无穷组解的一般表达式为
(,为任意常数)
若此方程组的一般解改写如下
则此方程组的一般解又可表示为向量和的形式
求出线性方程组的解之后,应该验算.对于唯一解情况,只需验算一组答数.对于无穷多解情况,可以
证明：若无穷多解的一般表达式中含一个任意常数,则只须验算令
与
得到的两组答数;若无穷多解的一般表达式中含两个任意常数,则只须验算令
与 及
得到的三组答数,如此等等,在例1中,将求得的唯一解
回代原线性方程组后,使得等式成立,因此所求得的唯一解正确无误；在例2中,令
与 及
得到的三组答数
与 及
将以上三组答数回代原线性方程组后,使得等式成立,因而所求得的无穷多解表达式正确无误.
当然,解线性方程组的过程不是唯一的.
例3 求解线性方程组
解 对增广矩阵进行初等行变换.
所得的阶梯型矩阵第三行代表第三个方程
即有
得到的结果出现矛盾,这是由于原线性方程组中存在相互矛盾的方程的反映,说明未知量的任何一组
取值都不能满足所有的方程,所以此线性方程组无解.
视图就是观看工作的一种方式。
为了便于设计者从不同的方式观看自己设计的幻灯片，PowerPoint 提供了多种视图显示模式，
可以帮助我们创建演示文稿，包括普通视图、大纲视图、幻灯片视图、幻灯片浏览视图、幻灯片放映
视图和备注页视图六种不同的视图。每种视图各有所长，不同的视图方式适用于不同需要的场合。最
常使用的两种视图是普通视图和幻灯片浏览视图。