2023届高三高考模拟(二)数学试题 (1)
吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第二次模拟考试数学试题(含答案)
吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第二次模拟考试数学试题说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．设集合}06|{2≤--=x x x A ，集合}40|{<<=x x B ，则=B A A ．}20|{≤<x x B ．}30|{≤<x xC ．}42|{<≤-x x D ．}43|{<≤-x x 2．在25个互不相等的数据中，记上四分位数为a ，中位数为b ，第75百分位数为c ，则A ．c b a <<B ．b c a <=C ．ab c <<D ．ca b =<3．已知等差数列}{n a 满足4852=++a a a ，前n 项和为n S ，则=9S A ．8B ．12C ．16D ．244．已知函数xax x f +=)()(R a ∈，则)(x f 的图象不可能是A ．B ．C ．D ．5．过点)0,0(与圆042422=+--+y x y x 相切的两条直线夹角为α，则=αcos xOyxOyxO yxOyA ．53B ．54C ．55D ．5526．如图，位于某海域A 处的甲船获悉，在其北偏东︒60方向C 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东︒51，且与甲船相距mile n 2的B 处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为A ．mile n 2B ．mile n 2C ．mile n 22D ．milen 237．已知函数1)14()(22-+-+=x x log x f x，则关于x 的不等式)2()2(x f x f >+的解集为A ．)232(-B ．)2,21[32,1( --C ．)2,21[]21,32( --D ．)2,21[]21,1( --8．已知双曲线)0,0(1 2222>>=-b a by a x C ：的左、右焦点分别为21,F F ，左、右顶点分别为21,A A ，以21F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P ，且321π=∠A PA ，则双曲线C 的离心率为A ．332B ．2C ．321D ．13二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．CB ︒60︒15A北9．已知复数i z +=1，则A ．2||=zB ．2=⋅z zC ．1)1(2024-=-z D ．若关于x 的方程022=+-ax x ),(R a C x ∈∈的一个根为z ，则2=a 10．已知n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，且α⊥m ，β//n ，则A ．若n m //，则βα⊥B ．若β//m ，则n m ⊥C ．若β⊥m ，则nm ⊥D ．若n m //，则β//m 11．已知函数)2000)(()(π,,ωA ωx Asin x f <<>>+=ϕϕ的部分图象如图所示，则A ．3π=ϕB ．函数)(x f 在2,12(ππ上单调递减C ．方程1)(=x f 的解集为},12{Z k πkπx|x ∈-=D ．6π-=θ是函数)(θ+=x f y 是奇函数的充分不必要条件12．已知平面向量a ，b ，c ，32||=a ，6||=b ，18=⋅b a ，且60,>=--<c b c a ，则A ．a 与b 的夹角为30B ．)()(c b c a -⋅-的最大值为5C ．||c 的最小值为2D ．若),(R y x b y a x c ∈+=，则y x +21的取值范围是]67,31[三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．高三数学试题第4页（共8页）13．2023年9月，我国成功地举办了“杭州亚运会”．亚运会期间，某场馆要从甲、乙、丙、丁、戊5名音效师中随机选取3人参加该场馆决赛的现场音效控制，则甲、乙至少有一人被选中的概率为．14．如图，M 是抛物线)0(22>=p px y 上的一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角︒=∠60xFM ，且8||=FM ，则=p ．15．足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长．清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味．右面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中21==AA AB ，411=B A ，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的体积为；Ω的外接球的表面积为．16．若实数0x 满足)()(00x g x f --=，则称0x 为函数)(x f y =与)(x g y =的“关联数”．若,0()(>=a a x f x且)1≠a 与2)(x x g -=在实数集R 上有且只有3个“关联数”，则实数a 的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）我市近日开展供热领域民生问题“大调研、大起底、大整治、大提升”工作，在调查阶段，从B A ,两小区一年供热期的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到B A ,两小区的同日室温平均值如下图所示：FxO yM18．（本小题满分12分）三棱柱111C B A ABC -中，311π=∠=∠CAA ABB ，21===AA AC AB ，F E ,分别为11,AA C B 中点，且AC F B ⊥1．（Ⅰ）求证：//EF 平面ABC ；（Ⅱ）求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角C ,B ,A 的对边分别为c ,b ,a ，ABC ∆的外接圆半径为3，且A sin sinBsinC C sin B sin 222=-+．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求ABC ∆的内切圆半径r 的取值范围．20．（本小题满分12分）21．（本小题满分12分）设21F ,F 分别为椭圆0)(1 2222>>=+b a by a x C ：的左、右焦点，P 是椭圆C 短轴的一个顶点，已知21ΔF PF 的面积为2，3121=∠PF F cos ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，G ,N ,M 是椭圆上不重合的三点，原点O 是MNG Δ的重心．（ⅰ）当直线NG 垂直于x 轴时，求点M 到直线NG 的距离；（ⅱ）求点M 到直线NG 的距离的最大值．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，OAB Rt ∆的直角顶点A 在x 轴上，另一个顶点B 在函数xlnxx f =)(的图象上．（Ⅰ）当顶点B 在x 轴上方时，求OAB Rt Δ以x 轴为旋转轴，边AB 和边OB 旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；（Ⅱ）已知函数xax ex e x g ax 1)(22-+-=，关于x 的方程)()(x g x f =有两个不等实根21,x x )(21x x <.（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：ex x 22221>+.xOyMNG吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第二次模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．12345678CDBDABCD二、多项选择题：本大题共4小题，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．13．10914．415．3228；π4016．12<<-a ee或eea 21<<（注：16题或写成1{2<<-a e |a e或}12ee a <<，或写成)(1,)1 ,(22eee e -）四、解答题17．【解析】（Ⅰ）A 小区当年随机抽取的20天数据中，供热等级达到“舒适”的有15天，所以可以估计A 小区一天中供热等级达到“舒适”的概率为432015=，··················································2分那么，在当年的供热期内，A 小区供热等级达到“舒适”的天数约为12943172=⨯天········································3分9101112BDACABDACD（Ⅱ）由题意，样本空间Ω中共有20个样本点，设21,x x 表示B A ,两小区室内温度，用),(21x x 表示可能的结果.)}20,24(),20,23(),20,21(),19,24(),19,22(),19,21{(=C ，6)(=C n ，所以，事件C 的概率103206)()()(===Ωn C n C P .··················································6分（Ⅲ）（选择A ）从供热状况角度选择生活地区居住，应建议选择A 小区，理由如下：①在20天的数据中，A 小区室温大于B 小区室温的有14天，B 小区室温大于A 小区室温的有5天，由此可以估计，每天A 小区室温大于B 小区室温的概率为1071=P ，B 小区室温大于A 小区室温的概率为412=P ，2P 远远小于1P ；②随机抽取的20天中，A 小区室温平均数为C T A 05.22=，B 小区室温平均数为C T B 7.20=，B A T T >；③在随机抽取的20天中，B 小区供热等级达到“舒适”的天数为9天，远小于A 小区供热等级达到“舒适”的天数；④A 小区室温中位数为C Z A 5.22=，B 小区室温中位数为C Z B 20=，B A Z Z >10分（选择B ）从供热状况角度选择生活地区居住，应建议选择B 小区，理由如下：①在20天的数据中，A 小区中存在供热不达标的情况，而B 小区供热等级全部达标.②随机抽取的20天中，A 小区室温平均数为C T A05.22=，B 小区室温平均数为C T B 7.20=，在B A T T ,全部达标的情况下，A 小区室温方差大于B 小区室温方差，B 小区室温波动较小，说明B 小区供热更加稳定.（A 小区室温方差为84.7≈2A s ，B 小区室温方差为01.4≈2B s ，以上数值仅作参考，不要求计算方差具体值）.·····························10分赋分说明：①只做判断没能说明理由的不给分；②给出一个正确理由的给3分，给出两个及以上正确理由的给4分；③除以上理由外，其它符合统计概率知识的判断依据都可酌情给分.18．【解析】（Ⅰ）证明：取BC 中点G ，连接EG AG ,，E 为C B 1中点，1//BB GE ∴，121BB GE =，在三棱柱111C B A ABC -中，111,//AA BB AA =F 为1AA 中点，AF GE AF GE =∴,//，∴四边形AGEF 为平行四边形，GA EF //∴，又⊂GA 平面ABC ，⊄EF 平面ABC //EF ∴平面ABC .··································5分（Ⅱ）解：在平行四边形11A ABB 中，3,11π=∠=ABB AA AB ,∴平行四边形11A ABB 为菱形，连接1AB ，则11ΔB AA 为正三角形，F 为1AA 中点，11AA F B ⊥∴，同理可证1AA CF ⊥，又AC F B ⊥1，A AA AC =1 ，⊥∴F B 1平面CC AA 11∴以F 为原点，FC FB FA ,,1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Fxyz ，)23,23,0(),3,0,0(),0,3,0(),0,3,2(),0,0,1(),0,0,0(1E C B B A F ∴，)23,23,1(),3,0,1(),0,3,1(-=-==∴AE AC AB ，··································8分设),,(z y x n =是平面ABC 的法向量，F EA1A CB1B 1C xyz则ACnABn⊥⊥,，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅∴,03,03zxACnyxABn⎩⎨⎧=-=∴,3,3zxyx取1=z，则1,3-==yx，)1,1,3(-=∴n是平面ABC的一个法向量，565210123)1(2331||||,-=⨯⨯+-⨯+⨯-=>=<∴nAEnAEnAEcos，设直线AE与平面ABC所成角为θ，则56|,|=><=nAEcossinθ，即直线AE与平面ABC所成角的正弦值为56.··················································12分19．【解析】（Ⅰ）AsinsinBsinCCsinBsin222=-+由正弦定理可得bcacbabccb=-+∴=-+222222由余弦定理得2122222==-+=bcbcbcacbcosA3),0(ππ=∴∈AA······················································································5分设ABCΔ外接圆半径为R，则3=R，由正弦定理得323322=⨯==RsinAa····················································································································6分注意：求角未写范围扣1分.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，3,3π==Aa由余弦定理Acosbccba2222-+=得32922πcosbccb-+=bccb3)(92-+=∴4)(39)(322cbcbbc+≤-+=36)(2≤+∴cb acb>+63≤+<∴cb.当且仅当3==cb时取等号 (8)分又由等面积法可知r c b a bcsinA )(2121++=cb a bc r ++=∴2339)(2-+=c b bc ，)3(63339)(232-+=++-+⨯=∴c b c b c b r ····························10分23)3(630,330≤-+<∴≤-+<c b c b r ∴的取值范围为230(，···············································································12分20．【解析】（Ⅰ）42=a ··········································································································1分93=a ··········································································································2分（Ⅱ）由22221ππn sinn cosa a n n +-=+，可得22221ππn sina n cos a n n +=++即）（）（）（*1,2222221N n n sin a n sin a n sin a n n n ∈+=+=+++πππ·····················4分又因为0221≠=+πsina 所以2{πn sin a n +是首项为2，公比为2的等比数列············································5分所以n n n sin a 22=+π，即*22N n n sin a n n ∈-=，π·········································6分（Ⅲ）)( 2)2(*N n n nsin a n n n ∈-=-，π·····································································7分①当)( 4*N k k n ∈=，时，[]0)1(0)3()0705()0301(+-++--+⋯++++-++++-=n n T n 22224n n=+⋯++=个令20242==mT m，得4048=m······································································8分②当)(,14*Nkkn∈-=时，[]nnT n++--+⋯+++-+++-+++-=0)2()1190()750(3121222243+=+⋯+++=-nn个令202421=+=mT m，得4047=m································································9分③当)(24*Nkkn∈-=，时，[]0)1()2()097()053(1+--+-+⋯++-+++-+++-=nnT n2221)2()2()2(142nnn-=---=-+⋯+-+-+-=-令20242=-=mT m，得4048-=m舍去··························································10分④当)(34*Nkkn∈-=，时，))2(0()970()530(1nnT n-+-++⋯+-+++-+++-=21211)2()2()2(141+-=---=-+⋯+-+-+-=-nnn个令202421=+-=mT m，得4049-=m舍去······················································11分综上：4048=m或4047··············································································12分21．【解析】（Ⅰ）由题可知222121Δ==⨯⨯=bcbcS FPF····························································1分3112222221=-∠=∠=∠OPF cos OPF cos PF F cos 362=∠∴OPF cos 在2OPF Rt ∆中，362==∠a b OPF cos ·····························································2分222c b a += ································································································3分解得1,2,3===c b a 即椭圆C 的标准方程为12322=+y x ···································································4分（Ⅱ）（ⅰ）当NG 垂直于x 轴时，点M 为椭圆C 的左顶点或右顶点，此时3==a OM ，O 是MNG ∆重心，设线段NG 的中点为D则2321==OM OD M ∴到直线NG 的距离是2333=OD ·······················6分（ii ）当NG 斜率存在时，设直线NG 方程为)0(≠+=t t kx y 设),(11y x N ，()22,y x G ，)(33y ,x M 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12322y x t kx y 消去y 得：0636)3(2222=-+++t ktx x k 02)24(322>+-=∆t k ，则2223t k >+由韦达定理得221326k kt x x +-=+，22213263k t x x +-=··········································7分O 是MNG Δ重心，2213326)(k ktx x x +=+-=∴222212133242326]2)([)(k tt k t k t x x k y y y +-=-+=++-=+-=∴M在椭圆C上1)322(61)323(632222222=+++∴ktkt k即2222)326()32(24kkt+=+0322>+k22324kt+=∴222324tkt>+=，符合0>∆tkkktx2332623=+=∴，tkty132423-=+-=······················································8分设1,23(ttkM-到直线NG：0=+-tykx的距离为d2222222221433143313k12223k1123tttktttktttkd+=+=+=+++=+++=·················10分232422≥+=kt212≥∴t233223<≤∴d················································11分由（i）知，当NG垂直于x轴时，M到直线NG的距离为233.综上所述，M到直线NG的距离取值范围为233,223[.故M到直线NG的距离的最大值为233···························································12分22．【解析】（Ⅰ）设)0,(xA，则1),,(>xxlnxxB则xxlnxxlnxOAABV3)(3||||31222πππ=⋅⋅=⋅⋅=···············································2分令xxlnxh2)(=，1>x则2)2()(xlnxlnxxh-=',令0)(='x h ，2e x =；令0)(>'x h ，21e x <<；令0)(<'x h ，2ex >故)(x h 在),1(2e 单调递增，在)(2∞+，e 单调递减.故224)()(e e h x h max ==，故234)(3e x h V maxmax ππ==···········································4分（Ⅱ）(ⅰ)由)()(x g x f =得lnx ax ex eax =-+-122，即)(22ex ln ex ax e ax +=+令x e x x+=)(ϕ，则)]([)(2ex ln ax ϕϕ=，又11)(>+='xe x ϕ，故)(x ϕ在R 上单调递增，故)(2ex ln ax =在)0(∞+，上有两个不等实根21x x ，············································5分即21xlnx a +=在)0(∞+，上有两个不等实根21x x ，令21)(x lnx x F +=，312)(x lnx x F --='，令0)(='x F ，21-=e x ；令0)(>'x F ，210-<<ex ；令0)(<'x F ，21->ex 故)(x F 在),0(21-e单调递增，在),(21+∞-e 单调递减.故2)()(21e eF x F max ==-又0)1(=eF ，当+→0x 时，-∞→+1lnx ，02→x -∞→∴)(x F ；当+∞→x 时，+∞→+1lnx ，+∞→2x ，与对数函数相比，二次函数增长速度更快，→∴)x (F 故当且仅当20ea <<时，直线a y =与)(x F y =图象有两个不同公共点，故实数a 的取值范围是2,0(e .············································································8分（ⅱ）由(ⅰ)知⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22212111lnx ax lnx ax ，两式作差得212221lnx lnx ax ax -=-，即alnx lnx x x 2122212221=--，··················································································9分令1)1(2)(+--=x x lnx x G ，1>x ，则0)1()1()1(41)(222>+-=+-='x x x x x x G 故)(x G 在),1(+∞单调递增，故0)1()(=>G x G ，即当1>x 时，1)1(2+->x x lnx ，又012>>x x ，故1)1(2212221222122+->x x x xx x ln 故2221222122212lnx lnx x x x x -->+···········································································11分故a x x 2122221>+，由(ⅰ)知20e a <<，故ex x 122221>+，即e x x 22221>+·········12分。
云南省大理、丽江2023届高考二模试题-数学试卷(后附参考答案)
大理、面江2023届高中毕业生第二次复习统一检测数学（全卷四个大题，共22个小题，共7页；满分150分，考试用时120分钟）考生注意：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A={xi x2 -5x-6 � O},B = {xi x � 4}，则Ancc R B)= c)A.[2,4) C.[-1,4)B.(-oo,-1)D.(-oo,6] l $2.已知i为虚数单位，复数z=——+—-i的共枙复数为己则;+z=c)2 2A.—1＋—✓3l .2 2l $C.—+ i2 2 B.—』凸2 21 5D.——i2 23.平面向辇如与b的夹角为60°五＝（2,0),1补＝1,则;+2E= ( )A. ＄B. 2✓3C. 4D. 124.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙．大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半．若这一堵墙厚16尺，则几日后两鼠相逢（）A.3B.4C.5D.65.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖唯父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幕势既同，则积不容异”“幕”是截面积，“势”是几何体的高，详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，上述原理在中国被称为祖睢原理．一个上底面边长为I ,下底面边长为2'高为2.fj的正六棱台与一个不规则几何体满足“幕势既同',则该不规则几何体的体积为（）A.21B.I8.f3C.I6.f3D.166.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,一条平行于x 轴的光线从点M (31)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则MBM的周长为（）71 A.—＋尽12B.9+而83C.—＋墨12D.9+玉7.已知实数a、b、c满足ln(lnb)=a= Inc, 则a、b、c的大小关系为（）A.a>b>cB.c>h>aC .b >C >a D.a>c >d 8.已知函数f (x)= si n (皿+rp)(w>O,回号），x =-i 是函数f (x)的一个零点，函数f (x )的一条对称轴，若f (x )在区间(¾¾)上单调，则OJ的最大值是（是冗＿8、丿＝ xA. 14B. 16C. 18D. 20二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.在(�-xJ的展开式中，下列说法正确的是（）A.不存在常数项B.二项式系数和为1c.第4项和第5项二项式系数最大 D.所有项的系数和为12810.如图，在正方体ABCD-A且G队中，E、F、G分别为BC、e e1、BB1的中点，则（）D,A.A,e上A B1B.A1B与A D I所成角为60°C.DP上A FD.Ap!! 平面A EF A..._二二11.在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点从--/3,0)和�(J3,0)连线的斜率之积等于1－，记点P的轨迹为曲线E,则（）A.E的方程为气—y2=l(x-:t:-士句B.E的离心率为5C.E的渐近线与圆(x-2)2+ y2 =1相切D.过点M(l,2)作曲线E的切线仅有2条12.已知定义在R上的函数f(x),对千任意的X,yER恒有f(x+ y) + f(x-y) =f(x)f(y),且f(O)-:t:-0, 若存在正数t'使得f(t)= 0, 则下列结论正确的是()A./(0)=1C.f(x)为偶函数tB.广(-)=22D.f(x)为周期函数第II卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13."幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己的生活状态的满意程度的指标，常用区间[O,10]内的一个数来表示，该数越接近10,表示满意度越高．现随机抽取10位某校高三年级学生，他们的幸福感指数为4,4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10. 则这组数据的第80百分位数是14.已知直线/:x-y+l=O,圆C:x2+ y2 =1, 则圆C关于直线l对称的圆的方程为15.若曲线y=(x-a)e x a>O)有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为2 216.把半椭圆：兰+L=l(a>b>O,x习0)和圆弧：x—1)三y2=a2x<0)合成的曲线称为a b2“曲圆”，其中点F(l O)是半椭圆的右焦点，A,,Ai分别是“曲圆”与x轴的左、右交点，且，Bz分别是“曲圆”与y轴的上、下交点，已知LB1F从=120°'过点F的直线与“曲圆”交于P Q两点，则半椭圆方程为(x习0)'心i,PQ的周长的取值范围是．（第一空2分，第二空3分）四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分）已知等差数列{a n}和等比数列｛凡｝满足a1= 4 , b1 = 2 , a2 = 2b2 -1 , a3 = b3 + 2 .(1)求忆｝和仇｝的通项公式；(2)数列忆｝和仇｝中的所有项分别构成集合A,B, 将AUB的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{e n},求数列{e n}的前60项和s60.18.(本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD!/QA,乙PDA=90°,平面ADPQ..l平面A BCD ,且AD=PD=2QA=2.Cl)证明：平面QAB//平面DCP;(2)求平面QBP与平面BPC夹角的大小．pQA '',B19.(本小题满分12分）在CD2a —b =2c cos B ®S =f (a 飞-c 2)@./3sin(A+B)=l+2sin 2f 三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在M BC 中，角A,B, C 所对的边分别是a ,b,C,设MBC的面积为s,已知(1)求角C :2./3(2)若b=4,点D在边AB 上，CD为乙ACE的平分线，�CDB的面积为一一，求边长a.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20.(本小题满分12分）党的二十大胜利召开后，某校为调查性别因素对党史知识的了解情况是否有影响，随机抽查了男女教职工各100名，得到如下数据：不了解了解女职工30 70男职工20 80(1)根据小概率值a=0.005的独立性检验，能否认为对党史知识的了解情况与性别有关？(2)为了增进全体教职工对党史知识的了解，该校组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．若第一支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第二支部答题，第二支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．已知第二支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第一支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率．附：x2= n(ad-bc)2(a+ b)(c+ d)(a+ c)(b+d) a 0.010 0.005 0.001 X a 6.635 7.879 10.82821.(本小题满分12分）22X 已知椭圆C:+Ya 2b 2 ——= 1(a>b >O )的左右焦点分别为F;'F;'左顶点为A,点D(l -)是21椭圆C上一点，离心率为－．2 (1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过椭圆右焦点E 且与椭圆交于P,Q 两点，直线AP、AQ与直线x =4分别交千点M N .(i)求证：M N 两点的纵坐标之积为定值；(ii)求MMN面积的最小值．22.(本小题满分12分）已知函数f(x )= s in x -x -a在点(O f (O))处的切线l与直线n:x-y=O垂直．e x(1)求切线l的方程；(2)判断J(x )在(0,兀）上零点的个数，并说明理由．大理、叩江2023届高中毕业生第二次复习统一检测数学参考答案及评分标准一、单选题（本大题共8小题，每小题分，共40分）I :: I�I : I : I : I : I : I : I : I【解析】.【解析】因为集合A ={x i x 2 -5x -6引o}= [-1,]且乌B =(—oo,4),所以Ancc R s)= [-1,4).故选C.2.【解析】复数z=1 Jj-—+—i 的共辄复数z =-—-—-1 Jj .2 2 2 21 Jj 12 .fj 2 1 Jj 1 J-5.复数z�-了了l 的模1,1�fJT,丁�1'则;+lzl�-了了i +l�了飞-,故选D.3.【解析】因为平面向量;与b 的夹角为0°,;= (2, 0), b = I ,所以a = 2 ,a·b = a b cos 0°= 2 x x —=,2所以加项＝乳汇哥飞2+ 4;·b + 4-ri2 =)22 +4x +4xl 2 =2Jj · 故选B.4.【解析】大鼠从第一天起打进尺数依次为：, 2, 4, 8, …，小鼠从第一天起打进尺数依次为：, —, —, -, …,1 1 2 4 835135 前3天两鼠完成量的总和为—-<16,前4天两鼠完成量的总和为——>16,4 8所以第4天两鼠相逢故选：B ..【解析】由祖睢原理可知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，1 J3 3J3．．．正六棱台的上下底面边长分别为1和2,则S 1=6x —xlxlx—-=——,2 2 21 Jjs 2 =6x —x 2x 2x —=6J3'2 2v� 扛s,+.fs:s, +s ,)-h �』(�+6f +6�J 沁�21故选A6.【解析】·:MA/Ix轴，:.A(扣］，由题意可知AB经过抛物线y 2=4x的焦点F (l,O ),y 2=4x直线A B的方程为y �—1(x —1) 联立方程组{y �—i (x —1)'解得B (4,--4),31 11125 斗A M =3——=—,AB =—+4+2=—, MB =扣飞三离．444 4:.MB M 的周长为9+尽．故选：D .1 7.【解析】设f (x)=lnx -x,则f'(x)=--l =——,l -xXX当O<x<l时，f'(x)> 0, 则函数J(x)在(0,1)上单调递增，当x>l时，J'(x)< 0, 则函数J(x)在(l,+oo)上单调递减，所以f(x )max = f(l ) = -1 < 0, 所以Inx<x,所以a=lnc<c,又ln lnb )=Inc, 所以lnb=c<b,所以b > C > a . 故选：C. 8.【解析】设函数J (x )的最小正周期为T ,兀因为x=-—是函数f(x )的一个零点，X =互是函数f(x )的一条对称轴，8 8 则2n+IT =尸＿（勹二，其中n EN ,所以，T=n卢，:.w=4n+2,4 8 8 4 2n + I w因为函数f(x )在区间尸勹上单调，则巴＿巠::,;!_二，所以，咚205 4 4 5 2 w 所以'{))的可能取值有：2、6、10、14、18.(i)当w=18时，f(x )= s in (18x了），气J = s in (气勺J =o ,虹9n所以，旷—＝虹（丘z),则尸杠＋—（丘Z )'4 4兀兀1[1[·: —一::=;(f) ::=; -':. (f) = -，所以，f(x ) = s in (18x + 4J , 2 24 当f <x<¾时，1;;< 18x +¾<1 :n, 所以，函数f(x )在(¾,¾]上不单调，不合乎题意；(ii)当m =l4时，f (x)= s in (14x +叶1(订气于叶0'五7兀所以，旷—＝杠(k E Z), 则尸朊＋—（丘z),4 4．．．于三,(fJ =-¾'所以，f (x) = sin (14气），兀兀51兀兀13兀兀兀当5<x<4时，可<14x —丁勹－，所以，函数f (x)在（言）上单调递减，合乎题意．因此，OJ 的最大值为14故选：A.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号答案9101112ACABD ACDBCD【解析】9.【解析】因为展开式的通项公式为1',+I=c ; (�s-r(—x)'= 21-r·(—If -c ; ·X 2r -7'X7由2r -7=0, 得r =—(舍去），所以展开式不存在常数项，故A 正确；2 二项式系数和为27=128,故B 错误；展开式共有8项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C 正确；令x =l,得所有项的系数和为(2—1)7=L故D 错误故选：AC.10.【解析】以点D为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为X 、Y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体AB C D -A1B 1C1D1的棱长为2'则A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、D (0,0,0)、E(l,2,0)、F(0,2,1)、G(2,2,1)、A 1(2,0,2)、B 1 (2,2,2)、c1(0,2,2)、D ,(0,0,2).对于A 选项，石�=(0,2,2),团c = (-2,2,-2),无�-�=4-4=0,故A 选项正确；对于B 选项，l;B =(0,2,-2),Al 习=(-2,0,2),''一一AB-A D -4cos< A 1B ,A D 1>=_:_—今==-l_I A1B l ·I A D 1I迈x2J22'-—所以，向量AB 与向量A D I 的夹角是120°'A IB 与A D I所成角为60°'故B 选项正确．A 1-------------对于C 选项，万互=(0,0,2), 万=(-2,2,1), 则D百万=2-=t,O ,故C 选项错误；．．对于D 选项，设平面A EF 的法向侬为m = (x ,y , z ) , A E = (-1, 2, 0) , 百=(-1,0,1), 由｛巾·正=-x+2y =O{y =巴_而百=-x+z =O ，可得2'取x =2,可得m = (2,1,2), 石江(0,2,-1),z =x ·: m ·A,G = 2-2 = 0, 五..l 石，·:A,G 立平面A EF,:. A ,GI /平面A EF ,故D选项正确；故选：A BD .11.【解析】设点P (x,y ),由已知得yyI Xx+J3 x -J3 3 3 ＝－，整理得—-y 2 = 1'X2所以点P的轨迹为曲线E 的方程为了—y 2=1(X =I=士J3)'故A正确；2 2J3又离心率e=—=——，故B不正确；J33 J3 圆(x -2)2+ y 2=1的圆心(2,0)到曲线的渐近线y=土—-x 的距离为3 d = 2=1 J 12 +(士J3)2'又圆(x -2)2+y 2= 1的半径为l , 故C正确；如图：切线仅有2条。
2023-2024学年山东省枣庄市高三第二次模拟考试数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数是( )A. B.C.D. 2.已知集合，，则2023-2024学年山东省枣庄市高三第二次模拟考试数学试题( )A.，B.，C.，D.，3.指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是( )A. B. C. D.4.5.已知，，是同一平面内两两不共线的单位向量，下列结论可能成立的是( )A. B.C. 存在不全为0的实数，，使D. 若，则6.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X 近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为( )参考数据：，，A. 455B. 2718C. 6346D. 95457.如图，在棱长为1的正方体中，M 是的中点，点P 是侧面上的动点，且平面，则线段MP 长度的取值范围为( )A. B. C. D.8.已知，，曲线上存在点，使得，则a 的范围是( )A.B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知曲线：，：，则( ) A.的长轴长为 B. 的渐近线方程为C.与的离心率互为倒数 D. 与的焦点相同10.已知为等差数列，前n 项和为，，公差，则( )A.B. 当戓6时，取得最小值为30C. 数列的前10项和为50D. 当时，与数列共有671项互为相反数11.已知函数的图象过点和，的最小正周期为T ，则( ) A. T 可能取 B.在上至少有3个零点C. 直线可能是曲线的一条对称轴D. 若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则12.已知函数，则下列结论正确的是( )A. 当时，若有三个零点，则b的取值范围为B. 若满足，则C. 若过点可作出曲线的三条切线，则D. 若存在极值点，且，其中，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省宝鸡市2023届高三下学期二模理科数学试题含解析
2023年宝鸡市高考模拟检测（二）数学（理科）（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一.考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.3.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设集合{}40M x x =-<<，{}24N x x =<，则M N =（）A.{}20x x -<<B.{}22x x -<<C.{}44x x -<<D.{}42x x -<<2.设1z ，2z 为复数，则下列说法正确的为（）A.若22120z z +=，则120z z ==B.若12z z =，则1z ，2z 互为共轭复数C.若a ∈R ，i 为虚数单位，则()1i a +⋅为纯虚数D.若20z ≠，则1122z z z z = 3.直线l ：cos sin 1()x y ααα+=∈R 与曲线C ：221x y +=的交点个数为（） A.0B. 1C.2D.无法确定4.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），记大正方形和小正方形的面积分别为1S 和2S ，若125S S =，则直角三角形的勾（较短的直角边）与股（较长的直角边）的比值为（）A.12B.13C.23D.255.设a ，b ∈R ，则“2a b +≥”是“222a b +≥”的（） A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.ABC △中，5AB =，7AC =，D 为BC 的中点，5AD =，则BC =（） A.3 B.3 C.22 D.427.已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，(),M x y 为C 上一动点，曲线C 在点M 处的切线交y 轴于N 点，若30FMN ∠=︒，则FNM ∠=（） A.60︒B.45︒C.30︒D.15︒8.已知函数()()lg lg 2f x x x =+-，则（） A.()f x 在()0,1单调递减，在()1,2单调递增 B.()f x 在()0,2单调递减 C.()f x 的图像关于直线1x =对称D.()f x 有最小值，但无最大值9.设m ，{}2,1,0,1,2,3n ∈--，曲线C ：221mx ny +=，则下列说法正确的为（） A.曲线C 表示双曲线的概率为15B.曲线C 表示椭圆的概率为16C.曲线C 表示圆的概率为110D.曲线C 表示两条直线的概率为1510.点(),P x y 在不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域上，则xy 的最大值为（）A.94B. 2C.83D. 311.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为4的正方形，PBA PBC ∠=∠，PD AD ⊥，Q 为正方形ABCD 内一动点且满足QA QP ⊥，若2PD =，则三棱锥Q PBC -的体积的最小值为（）A.3B.83C.43D. 212.已知正实数x ，y ，z 满足235log log log 0x y z ==≠，给出下列4个命题： ①x y z <<②x ，y ，z 的方程x y z +=有且只有一组解 ③x ，y ，z 可能构成等差数列④x ，y ，z 不可能构成等比数列 其中所有真命题的个数为（） A. 1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分. 13.若a ，b ，c ，d 为实数，且a c ad bcb d=-，定义函数sin 3()2cos 2cos x xf x x x=，现将()f x 的图像先向左平移512π3()g x 的图像，则()g x 的解析式为______. 14.已知非零向量a ，b ，c 满足1a b a b ==-=且1c a b --=，则c 的取值范围是______.15.若函数31()3xxf x e ex ax -=-+-无极值点，则实数a 的取值范围是______. 16.如图，已知正四面体EFGH 和正四棱锥P ABCD -的所有棱长都相等，现将正四面体EFGH 的侧面EGH 与正四棱锥P ABCD -的侧面P AB 重合（P ，E 重合；A ，H 重合；B ，G 重合）后拼接成一个新的几何体，对于新几何体，下列说法正确的有______ ①PF CD ⊥ ②PF 与BC 异面 ③新几何体为三棱柱④新几何体的6个顶点不可能在同一个球面上三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（本小题12分）某市作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2022年6月，该市22个市级部门联合启动了2022年市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践、社区治理与邻里守望、环境保护等13大领域.已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍选行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成6组：[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中m 的值；（2）从评分不低于80分的队伍中随机选取3支队伍，该3支队伍中评分不低于90分的队伍数为X ，求随机变量X 的分布列和期望. 18.（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，222CD AB AD ===，4PD =，AD CD ⊥，E 为棱PD 上一点.（1）求证：无论点E 在棱PD 的任何位置，都有CD AE ⊥成立； （2）若E 为PD 中点，求二面角A EC P --的余弦值. 19.（本小题12分）已知函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -，数列{}()0n n b b >的首项为c ，且前n 项和nS 满足11(2)n n n n S S S S n ---=≥.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，求使10102023n T >的最小正整数n . 20.（本小题12分）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>，F 为左焦点，A 为上顶点，()2,0B 72AF AB=，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F . （1）求1C 的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得12OPQ OMN S S =△△？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由（OPQ S △为OPQ △面积）. 21.（本小题12分） 已知函数2()ln ()2a f x x x x x a =+-∈R ，且()f x 在()0,+∞内有两个极值点1x ，2x （12x x <）. （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：1220a x x +<+.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）已知点()2,0M ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求PM QM -. 23.（选修4-5：不等式选讲）（10分） 已知函数()11f x x x =-++. （1）求不等式()3f x <的解集；（2）若二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.2023年宝鸡市高考模拟检测（二）数学（理科）答案一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DDBACBCCBABC二、填空题：13.()2cos2g x x = 14.331⎡⎤⎣⎦15.{}2a a ≤ 16.①③④解答题答案17.解：（Ⅰ）由(0.00420.0220.0300.028)101m ⨯++++⨯=，解得0.012m =. （Ⅱ）由题意知不低于80分的队伍有()500.120.048⨯+=支， 不低于90分的队伍有500.042⨯=支. 随机变量X 的可能取值为0，1，2.∵36385(0)14C P X C ===，21623815(1)28C C P X C ===，1262383(2)28C C P X C ===， ∴X 的分布列为X 012P514 1528 32851533()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=. 18.（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PD CD ⊥， 因为AD CD ⊥，AD PD D =，AD ，PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥平面P AD ， 因为E 为棱PD 上一点， 所以AE ⊂平面P AD ， 所以CD AE ⊥.（2）解：因为PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，因为222CD AB AD ===，4PD =，所以()1,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,2E ，()0,0,4P ， 所以()1,0,2EA =-，()0,2,2EC =-， 设平面AEC 的一个法向量为(),,n x y z =，则00EA n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2x z y z =⎧⎨=⎩，令1z =得()2,1,1n =，因为PD AD ⊥，AD CD ⊥，PD CD D =，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD .所以平面PCE 的一个法向量为()1,0,0m DA ==， 所以26cos ,36n m n m n m⋅===， 因为二面角A EC P --为钝二面角， 所以二面角A EC P --的余弦值为：6. 19.解：（Ⅰ）∵1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，等比数列{}n a 的前n 项和为1()3nf n c c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴11(1)3a f c c =-=-，[][]22(2)(1)9a f c f c =---=-， [][]32(3)(2)27a f c f c =---=-， 数列{}n a 是等比数列，应有3212a a q a a ==，解得1c =，13q =. ∴首项112(1)33a f c c =-=-=-， ∴等比数列{}n a 的通项公式为12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∵1111(2)n n n n n n n n S S S S S S S S n -----==≥，又0n b >0n S >11n n S S -=； ∴数列{}nS 构成一个首项为1，公差为1的等差数列，1(1)1n S n n =+-⨯=，∴2n S n =，当1n =时，111b S ==，当2n ≥时，221(1)21n n n b S S n n n -=-=--=-，又1n =时也适合上式， ∴{}n b 的通项公式21n b n =-. （Ⅱ）111111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴1111111112335572121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 由10102023n T >，得1010212023n n >+，得336.6n >，故满足10102023n T >的最小正整数为337. 20.解：（172AF AB =，即2272a a b =+ 由右顶点为()2,0B ，得2a =，解得23b =，所以1C 的标准方程为22143x y +=. （2）依题意可知2C 的方程为24y x =-，假设存在符合题意的直线， 设直线方程为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，联立方程组221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690k y ky +--=，由韦达定理得122634k y y k +=+，122934y y k -=+， 则212121k y y +-= 联立方程组214x ky y x=-⎧⎨=-⎩，得2440y ky +-=， 由韦达定理得344y y k +=-，344y y =-， 所以23441y y k -=+，若12OPQ OMN S S =△△， 则123412y y y y -=-221211k k +=+63k =±，所以存在符合题意的直线方程为610x y ++=或610x y +=. 21.解：（1）()ln f x x ax '=+，因为()f x 在()0,+∞内有两个极值点， 所以()f x '在()0,+∞内有两个零点，即方程ln 0x ax +=有两个正实根， 即ln xa x=-有两个正实根， 令ln ()x g x x =-，2ln 1()x g x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递减， 当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在(),e +∞上单调递增， 又()1g e e=-，画出函数()g x 的图象如图所示，由方程ln x a x =-有两个根，得10a e-<<. （2）证明：()f x 在()0,+∞内有两个极值点1x ，2x ，由（1）可知，1122ln 0ln 0x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，则1221ln ln x x a x x -=-， 要证1220a x x +<+，只需122112ln ln 20x x x x x x -+<-+， 进一步化为122112ln ln 2x x x x x x -<--+， 从而得()1212122ln ln x x x x x x --<+，所以12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，设12x t x =，可知t 的取值范围是()0,1，则只需证2(1)ln 1t t t -<+， 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+，则22(1)()0(1)t h t t t -'=>+， 所以()h t 在()0,1上单调递增，从而()()10h t h <=， 因此1220a x x +<+.22.解：（1）因为126126x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以222222124363124363x t t y t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，所以曲线C 的普通方程为2243y x -=， 因为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 3sin 2ρθρθ=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以直线l 的直角坐标方程为320x -=.（2）由（1）可得直线l 的参数方程3212x y s ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数）， 所以22134223s ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得23123320s s ++=， 设1PM s =-，2QM s =-， 则1243s s +=-，12323s s =， 所以()21212128163448333PM Q s s M s s =+--=-==. 23.解：（1）由题设知：113x x ++-<；①当1x >时，得()112f x x x x =++-=，23x <，解得312x <<； ②当11x -≤≤时，得()112f x x x =++-=，23<，恒成立；③当1x <-时，得()112f x x x x =---+=-，23x -<，解得312x -<<-； 所以不等式的解集为：33,22⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）由二次函数222(1)1y x x m x m =--+=-+++，该函数在1x =-取得最大值1m +，因为2(1)()2(11)2(1)x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，所以在1x =-处取得最小值2，所以要使二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点， 只需12m +≥，即1m ≥.。
2023届上海市黄浦区高三二模数学试卷及答案
1黄浦区2023年高考模拟考数学试卷2023年4月（完卷时间：120分钟满分：150分）
考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一
律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．设集合{1,3,5,7,9}A，{|25}Bxx，则ABI__________．2．函数4cos23yx的最小正周期为__________.3．若函数ayx
的图像经过点(2,16)与(3,)m，则m的值为_________．
4．已知复数12,zz在复平面内的对应点关于虚轴对称，且12iz(i为虚数单位)，则12zz
________．
5．以抛物线24yx的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为__________．6．已知m是2m与4的等差中项，且52345012345()mxaaxaxaxaxax，则3a
的值为
__________．7．已知函数()yfx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()fxax
e
．若(ln2)f－4，则实数a的
值为__________．8．如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为10cm的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心，底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________cm2．9．若函数()yfx的图像可由函数3sin23cos2yxx的图像向右平移(0π)个单位所得到，
且函数()yfx在区间π[0 ]2，上是严格减函数，则__________．10．若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为__________．11．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，90ABC，2AD，1BC，点P是腰AB上的动点，则|2|PCPDuuuruuur的最小值为__________．12．已知实数,,abc满足：0abc++=与23abc-=，则abc的取值范围为__________．
山东省枣庄市(二模)2023届高三下学期二模考试数学试题及答案
注意事项2枣庄市2023届高三模拟考试数学试题2023.031.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将答题卡交回．一、选择题z本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．51.复数i-2的共驼复数是（A. 2+i【答案】B【解析】8.-2+i c.-2-i5【分析】根据复数的除法运算化简一一，根据共领复数的概念可得答案．i-25 5(-i-2)【详刷一一＝＝－2-,,i-2 5故击的共领复数为」＋i故逃：B2已失峨合A={xlO<x＜斗B={xl4x2-4x-15<0｝，则（〉A.王xεA,x偌B C丑X EB,xεA 【答案】C【解析】B.VxeB, xεA D.VxεA, x�B【分析】先求出B，在判断两个集合的关系，从而可得出答案．【棚】叫14x2-4叫〈叫斗－%＜斗D.2-i则集合A是集合8的真子袋，所以Vx εA,XEB ，主xεB,x εA,故ABD错误，A正确故逃：C3指数函数y=a x 图象如｜图所示，则y=a x 2+x 图象顶点横坐标的取值范围是（y。
x 、飞Ill－t／l －2－＼Itl－－／ 均1－2－nu ／’’’’’1＼／JIlt－＼ AH FL ＼BItt／＼叫／叩1－21－2／Fll－t＼flIII－＼ Ru nu 【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数的囱象可知，αε（0,1），再结合二次函数的顶点式E阿解出【详解】由囱可知，阴阳），而户ax 2+x ＝α（x ＋土i 2－土（a ;tO ），顶点横坐标为l 2a ) 4a x ＝－去所以－仨（－oo ，－�）.故逃：A .4.党的十八大以来的十年，是砾四月奋进、矢志“为中国人民谋幸福”的十年在党中央的正确领导下，我国坚定不移贯彻新发展理念，着力推进高质量发展，椎动构建新发展格局，实施供给侧结构性改革，制定一系列具有全局性意义的区域重大战略，经济实力实现历史性跃升．国内生产总值（G D P ）从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，稳居世界第二位．下表是2022年我国大附川省市区GDP数据．2022年中国大陆31省市区G DP排名省份GDP （单位：亿元〉排名省份GDP （单位：亿元〉广东省129118.6 17 辽宁省2 江苏省122875.6 18 云南省3 山东省87435.l 19 广西壮族自治区4 浙江省77715.4 20 山西省5 河南省61345.1 21 肉蒙古自治区6 四川省56749.8 22 贵州省7 湖北省53734.9 23 新疆维吾尔自治区8 福建省53109.9 24 天津市9 湖南省48670.4 25 E黑龙江省JO 安徽省45045.0 26 吉林省11 上海市44652.8 27 甘肃省12 河北省42370.4 28 海南省13 北京市41610.9 29 宁夏回族自治区14 陕西省32772.7 30 青海省15 江西省32074.7 31 西藏自治区16 重庆市29129.0则由各省市区GDP组成的这组数据的第75百分位数为（〉（单位：亿元〉A.163U.3【答案】0【解析】B.17741.3C.48670.42897.5. I28954.226300.925642.623158.720164.617741.316311.315901.013070.2ll20l.66818.25069.63610.12132.6D.531的9【分析】根据百分位数的计算方法计算f!ll可【详解】解：因为31×0.75= 23.25,所以，第75百分位数为从小到大排序后的第24个数，所以，由表中数据可知，第24个数为福建省的数据，即为53109.9.故m;:D5己知a.,b，二是同一平丽内两两不共线的单位向量，下列结论可能成立的是（A. b·（α＋c)=2B.(a+b)I I（川）C存在不全为0的实数λ，μ，使λα＋µb=OD若α叶＋c=O，则｜；斗＝♂【答案】0【解析】【分析】由平面向量数量的定义、共线向量定程可判断A,B, C：由。
北京市东城区2023届高三二模数学试题真题卷(含答案与解析)
北京市东城区2022~2023学年度高三二模试卷数 学本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{N |15}A x x =∈-<<，{0,1,2,3,4,5}B =，则（ ） A. A ⫋BB. A B =C. B A ∈D. BA ⊆2. 已知椭圆2213x y m m+=的一个焦点的坐标是(2,0)-，则实数m 的值为（ ）A 1B.C. 2D. 43. 已知数列{}n a 中，11a =，+121=0n n a a -，n S 为其前n 项和，则5S =（ ） A.1116B.3116C. 11D. 314. 在复平面内，O 是原点，向量OZ 对应的复数是1i -+，将OZ 绕点O 按逆时针方向旋转π4，则所得向量对应的复数为（ ）A.B.C. 1-D. i -5.已知点(M 在圆22:C x y m +=上，过M 作圆C 的切线l ，则l 的倾斜角为（ ） A. 30B. 60C. 120D. 1506. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ）.A 13种B. 14种C. 15种D. 16种7. 设函数22,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若()f x 为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,4]B. [2,4]C. [2,+)∞D. [4,)+∞8. “cos 0θ= ”是“函数()sin()cos f x x x θ=++为偶函数”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知三条直线1:220l x y -+=，2:20l x -=，3:0+=l x ky 将平面分为六个部分，则满足条件的k 的值共有（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 无数个10. 设0.01e , 1.01,ln1.01a b c ===，其中e 为自然对数底数，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. b c a >>D. a c b >>第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知向量,a b 满足2,1a b == ，a 与b 的夹角为π3，则a b ⋅= ______;2a b -= ______12. 函数()sin(+)(0,)2f x x ωϕωϕπ=><在一个周期内的部分取值如下表： x12π-12π4π512π 712π ()f xa1 aa -1-则()f x 的最小正周期为_______；=a _______．13. 若2{|01}{|20}=x x x x x m ≤≤-+>∅ ，则实数m 的一个取值为__________.14. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11A B 的中点，平面ACE 将正方体分成体积分别为1V ，2V （12V V ≤） 的两部分，则12V V =_______ .的的15. 定义在区间[1,)+∞上的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，()f x 在区间[21,2]k k -上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，1,2,.k = 给出下列四个结论： ①若{(2)}f k 为递增数列，则()f x 存在最大值； ②若{(2+1)}f k 为递增数列，则()f x 存在最小值；③若(2)(21)0f k f k +>，且(2)(21)f k f k ++存在最小值，则()f x 存在最小值； ④若(2)(21)0f k f k +<，且(2)(21)f k f k -+存在最大值，则()f x 存在最大值. 其中所有错误结论的序号有_______．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC 中,sin cos 02Bb A a -=. （1）求B ∠;（2）若3b =,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使ABC 存在且唯一确定,求a 及ABC 的面积.条件①:sin sin 2sin A C B +=;条件②:c =条件③:10ac =.17. 如图，直角三角形ABC 和等边三角形ABD 所在平面互相垂直，2AB AC ==，E 是线段AD 上一点.（1）设E 为AD 的中点，求证：BE CD ⊥；（2）若直线CD 和平面BCE AE AD 的值.18. 某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7 第一次 82 89 78 92 92 65 81 第二次 83907595936176（1）从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；（2）设(1,2,,7)i x i = 表示第i 名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据,(1,7,)i j x x i j i j ≤≤≠，定义随机变量X ，Y 如下：0,02,0,03,1,24,1,36,2,46,2,63,6.i j i j i j i j i j i j i j x x x x x x X x x Y x x x x x x ⎧≤-⎪⎧≤-<⎪⎪≤-⎪⎪=≤-<=⎨⎨≤-⎪⎪-≥⎪⎪⎩-≥⎪⎩＜＜＜，（i ）求X 的分布列和数学期望()E X ；（ii ）设随机变量X ，Y 的的方差分别为()D X ，()D Y ，试比较()D X 与()D Y 的大小．（结论不要求证明）19. 已知焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>经过点(1,2)M ． （1）设O 为坐标原点，求抛物线C 的准线方程及△OFM 的面积；（2）设斜率为(0)k k ≠的直线l 与抛物线C 交于不同的两点,A B ，若以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 20. 已知函数()e sin 2xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；（3）设实数a 使得()e xf x x a +>对x ∈R 恒成立，写出a 的最大整数值，并说明理由.21. 已知有穷数列12:n A a a a ，，，(3)n ≥中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n ≤≤的整数m ，令集合(){}12k A m k a m k n === ，，，，.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.（1）若:63253755A ，，，，，，，，求(5)A 及(5)s ；（2）若12111()()()n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意正整数()i j i j i j n ≠+≤，，都有()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，求12n a a a +++ 的值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{N |15}A x x =∈-<<，{0,1,2,3,4,5}B =，则（ ） A. A ⫋B B. A B =C. B A ∈D. BA ⊆【答案】A 【解析】【分析】用列举法写出集合A ，利用集合间的基本关系判断．【详解】{N |15}{0,1,2,3,4}A x x =∈-<<=，{0,1,2,3,4,5}B =，则A ⫋B . 故选：A.2. 已知椭圆2213x y m m+=的一个焦点的坐标是(2,0)-，则实数m 的值为（ ）A. 1B.C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，结合222a c b -=，即可求解. 【详解】由条件可知，23a m =，2b m =，2c =， 所以22224a b c m -=⇔=，得2m =， 故选：C3. 已知数列{}n a 中，11a =，+121=0n n a a -，n S 为其前n 项和，则5S =（ ） A.1116B.3116C. 11D. 31【答案】B 【解析】【分析】由已知得到112n n a a +=，判定该数列为等比数列，进而利用求和公式计算. 的【详解】由+121=0n n a a -得112n n a a +=，又∵11a =，∴数列{}n a 为首项为1，公比为12的等比数列，∴5S =5411121312121612⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-= ⎪⎝⎭-， 故选：B.4. 在复平面内，O 是原点，向量OZ 对应的复数是1i -+，将OZ 绕点O 按逆时针方向旋转π4，则所得向量对应的复数为（ ）A.B.C. 1-D. i -【答案】A 【解析】【分析】由复数的几何意义结合图象可得. 【详解】如图，由题意可知()1,1OZ =- ，OZ 与x 轴夹角为3π4，绕点O 逆时针方向旋转π4后Z 到达x 轴上1Z点，又1OZ OZ == ，所以1Z的坐标为()，所以1OZ对应的复数为. 故选：A.5.已知点(M 在圆22:C x y m +=上，过M 作圆C 的切线l ，则l 的倾斜角为（ ） A. 30 B. 60C. 120D. 150【答案】D 【解析】【分析】先根据点在圆上，求出4m =，考虑l 的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离列出方程，求出斜率和倾斜角.【详解】由题意得134m =+=，当l 的斜率不存在时，此时直线方程为1x =，与圆22:4C x y +=相交，不合题意， 当l 的斜率存在时，设切线l的方程为()1y k x =-，2，解得k =， 设l 的倾斜角为0180θ︒≤<︒， 故l 的倾斜角为150 . 故选：D6. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ） A. 13种 B. 14种 C. 15种 D. 16种【答案】C 【解析】【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果.【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有14C 4=种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有24C 6=种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有34C 4=种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有44C 1=种，所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有464115+++=种， 故选：C.7. 设函数22,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若()f x 为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,4]B. [2,4]C. [2,+)∞D. [4,)+∞【答案】B 【解析】【分析】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得0a >且22a a ≥，结合2y x =与2x y =的函数图象及增长趋势求出参数的取值范围.【详解】因为22,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，当x a ≤时()2x f x =函数单调递增，又2y x =在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，要使函数()f x 为增函数，则0a >且22a a ≥，又函数2y x =与2x y =在()0,∞+上有两个交点()2,4和()4,16， 且2x y =的增长趋势比2y x =快得多，2y x =与2x y =的函数图象如下所示：所以当>4x 时22x x >，当24x <<时22x x >，当02x <<时22x x >， 所以24a ≤≤，即实数a 取值范围是[2,4]. 故选：B8. “cos 0θ= ”是“函数()sin()cos f x x x θ=++为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用cos 0θ=，得出ππ,Z 2k k θ=+∈，从而求出()f x ，再利用偶函数的定义进行判断即可得出充分性成立，再利用()()f x f x -=，得出cos 0θ=，从而判断必要性成立，从而得出结果. 【详解】若cos 0θ=，得到ππ,Z 2k k θ=+∈，所以π()sin()cos sin(π)cos 2f x x x x k x θ=++=+++， 当21,Z k m m =+∈时，()0f x =，当2,Z k m m =∈时，()2cos f x x =， 即()0f x =或()2cos f x x =，当()0f x =时，恒有()()f x f x -=，当()2cos f x x =时，()2cos()2cos ()f x x x f x -=-==， 所以，若cos 0θ=，则()f x 为偶函数，若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，所以sin()cos()sin()cos x x x x θθ-++-=++，化简得sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=，故选：C.的9. 已知三条直线1:220l x y -+=，2:20l x -=，3:0+=l x ky 将平面分为六个部分，则满足条件的k 的值共有（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 无数个【答案】C 【解析】【分析】考虑三条直线交于一点或3l 与1l 或2l 平行时，满足条件，求出答案. 【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分六个部分， 联立1:220l x y -+=与2:20l x -=，解得22x y =⎧⎨=⎩，则将22x y =⎧⎨=⎩代入3:0+=l x ky 中，220k +=，解得1k =-，当3:0+=l x ky 与1:220l x y -+=平行时，满足要求，此时2k =-， 当3:0+=l x ky 与2:20l x -=平行时，满足要求，此时0k =， 综上，满足条件的k 的值共有3个. 故选：C 10. 设0.01e , 1.01,ln1.01a b c ===，其中e 为自然对数的底数，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. b c a >>D. a c b >>【答案】A 【解析】【分析】构造函数()e (1)x f x x =-+，利用导数讨论其单调性，然后可比较a ，b ；构造函数()ln g x x x =-，利用导数讨论其单调性，然后可比较b ，c ，然后可得.【详解】令()e (1)x f x x =-+，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以0.01(0.01)e 1.01(0)0f f =->=，即0.01e 1.01>， 令()ln g x x x =-，则11()1x g x x x-'=-=， 当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以(1.01)ln1.01 1.01(1)10g g =-<=-<，即ln1.01 1.01< 所以a b c >>. 故选：A为第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知向量,a b 满足2,1a b == ，a 与b 的夹角为π3，则a b ⋅= ______;2a b -= ______【答案】 ①. 1②. 2【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律求解作答.【详解】因为向量,a b 满足2,1a b == ，a 与b 的夹角为π3，所以π1||||cos 21132a b a b ⋅==⨯⨯= ，22a b -==== .故答案为：1；212. 函数()sin(+)(0,)2f x x ωϕωϕπ=><在一个周期内的部分取值如下表： x12π-12π4π512π 712π ()f xa1 aa -1-则()f x 的最小正周期为_______；=a _______． 【答案】 ①.π②.12【解析】【分析】先利用图表求出最小正周期，进而求出,ωϕ，得到π()sin(2)3f x x =+，再将π4x =代入即可求出结果.【详解】由图表知，当π12x =时，()1f x =，当7π12x =时，()1f x =-，所以7πππ212122T =-=，即πT =,又2ππT ω==，0ω>，所以得到2ω=，又由ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈，得到ππ,Z k k ϕ=+∈23，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，故π()sin(2)3f x x =+，所以ππ5π1sin(2)sin 4362a =⨯+==， 故答案为：π，12.13. 若2{|01}{|20}=x x x x x m ≤≤-+>∅ ，则实数m 的一个取值为__________. 【答案】0m =（答案不唯一） 【解析】【分析】根据题意，由交集的定义可知不等式220x x m -+>的解集为()(),02,-∞+∞ 的子集即可满足题意.【详解】因为2{|20}x x x m -+>≠∅，且当440m ∆=-≤时，即1m £时，2{|01}{|20}x x x x x m ≤≤-+>≠∅ ， 当0∆>时，即1m >时，才有可能使得2{|01}{|20}=x x x x x m ≤≤-+>∅ ，当220x x m -+=的两根刚好是0,2时，即0m =，此时220x x ->的解集为()(),02,-∞+∞ 刚好满足2{|01}{|20}=x x x x x m ≤≤-+>∅ ，所以0m ≤，所以实数m 的一个取值可以为0m =. 故答案为: 0m =14. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11A B 的中点，平面ACE 将正方体分成体积分别为1V ，2V （12V V ≤） 的两部分，则12V V =_______【答案】717【解析】【分析】利用线面平行的性质，得出线线平行，从而求作出平面ACE 与平面1111D C B A 的交线，进而得出平面ACE 分正方体为两个棱台，再利用棱台的体积公式即可求出结果.【详解】取11B C 的中点H ，连CH ，因为//AC 平面1111D C B A ，故AC 平行于平面ACE 与面1111D C BA的交线，又,E H 分别为1111,A B B C 的中点，易知11////EH A C AC ，即平面ACE 平面1111A B C D EH =，故平面ACE 分正方体为两个棱台，设正方体的边长为2，则正方体的体积为8，11111117((223323EB H ABC EB H ABC V V S S BB -==++⋅=++⨯= ，故1277371783V V ==-, 故答案为：717.15. 定义在区间[1,)+∞上的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，()f x 在区间[21,2]k k -上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，1,2,.k = 给出下列四个结论： ①若{(2)}f k 为递增数列，则()f x 存在最大值； ②若{(2+1)}f k 为递增数列，则()f x 存在最小值；③若(2)(21)0f k f k +>，且(2)(21)f k f k ++存在最小值，则()f x 存在最小值； ④若(2)(21)0f k f k +<，且(2)(21)f k f k -+存在最大值，则()f x 存在最大值. 其中所有错误结论的序号有_______． 【答案】①③④ 【解析】【分析】结合函数的单调性判断最值，即可判断①②，利用取反例，判断③④.【详解】①由条件可知，函数()f x 在区间[21,2]k k -上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，1,2,.k = 那么在区间[]21,21k k -+，函数的最大值是()2f k ，若数列{(2)}f k 为递增数列，则函数()f x 不存在最大值，故①错误；②由条件可知，函数()f x 在区间[21,2]k k -上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，若{(2+1)}fk为递增数列，那么在区间[]21,21k k -+的最小值是()21f k -，且{(2+1)}f k 为递增数列，所以函数()f x 在区间[)1,+∞的最小值是()1f ，故②正确；③若(2)(21)0f k f k +>，取()()122121f k k kf k k ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,*N k ∈, 则()()2212f k f k k ++=，存在最小值，但此时()f x 的最小值是()121f k k+=的最小值，函数单调递减，无最小值，故③错误；④若(2)(21)0f k f k +<，取()()12221212k k f k f k ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，则()()2212f k f k -+=恒成立，则()()221f k f k -+有最大值，但()f x 的最大值是()1222k f k =-的最大值，函数单调递增，无最大值，故④错误. 故答案为：①③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC 中,sin cos 02Bb A a -=. （1）求B ∠;（2）若3b =,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使ABC 存在且唯一确定,求a 及ABC 的面积.条件①:sin sin 2sin A C B +=; 条件②:c =条件③:10ac =. 【答案】（1）π3B =（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式求解即可; （2）结合正弦定理和余弦定理求解即可; 【小问1详解】由正弦定理得sin sin b A a B =, 得sin cos02Ba B a -=, 2sincos cos 0222B B Ba a -=, 因为π022B <<, 所以cos0.2Ba ≠ 则1sin22B =. 所以π26B =, 所以π3B =. 【小问2详解】选条件①:sin sin 2sin .A C B += 因为π3,3b B ==,sin sin 2sin .A C B += 由正弦定理得26a c b +==,由余弦定理得2229()3a c ac a c ac =+-=+-, 解得9ac =，则96ac a c =⎧⎨+=⎩, 解得33a c =⎧⎨=⎩，所以ABC 存在且唯一确定,则1sin 2ABC S ac B ==.选条件②:c =已知,3,3B b c π===由正弦定理得1sin sin 2c C B b ==, 因为c b <, 所以π6C =,π2A =,a ==所以ABC 存在且唯一确定,则12ABC S bc ==△. 选条件③:10ac =,由余弦定理得2229()3a c ac a c ac =+-=+-,即a c +,所以)10a a =,即2100a +=,因241010-⨯=-<,所以不存在a 使得ABC 存在.17. 如图，直角三角形ABC 和等边三角形ABD 所在平面互相垂直，2AB AC ==，E 是线段AD 上一点.（1）设E 为AD 的中点，求证：BE CD ⊥； （2）若直线CD 和平面BCEAE AD 的值.【答案】（1）证明见解析（2）12AE AD = 【解析】【分析】（1）要证明线线垂直，利用面面垂直的性质定理，转化为证明BE ⊥平面ACD ； （2）首先设AEADλ=，[0,1]λ∈，再以AB 的中点O 为原点，建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式，列式求解. 【小问1详解】为由题设知.AB AC ⊥因为平面ABC ⊥ 平面ABD ，平面ABC 平面ABD AB =，， 所以AC ⊥平面ABD ． 因为BE ⊂平面ABD ， 所以AC ⊥BE .因为ABD △为等边三角形，E 是AD 的中点， 所以AD ⊥BE .因为AC AD A =，,AC AD ⊂平面ACD ， 所以BE ⊥平面ACD ． 所以BE CD ⊥【小问2详解】 设AEADλ=，[0,1]λ∈. 取AB 的中点O ，BC 的中点F ，连接OD ，OF ， 则OD ⊥AB ，OF AC .由（I ）知AC ⊥平面ABD ，所以OF ⊥平面ABD ， 所以OF ⊥AB ，OF ⊥OD . 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，(1,2,0)C -，D ．所以(2,0,0)BA =- ，AD = ，(2,2,0)BC =-，(1,CD =- ，()BE BA AE BA AD λλ=+=+=-.设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,(2)0.x y x z λ-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令x =，则y =，2z λ=-.于是,2)n λ=-..因为直线CD 和平面BCE所以|||cos ,|||||CD n CD n CD n ⋅<>===， 整理得2826110λλ-+=， 解得12λ=或114λ=. 因为[0,1]λ∈， 所以12λ=，即12AE AD =. 18. 某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7 第一次 82 89 78 92 92 65 81 第二次 83907595936176（1）从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；（2）设(1,2,,7)i x i = 表示第i 名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据,(1,7,)i j x x i j i j ≤≤≠，定义随机变量X ，Y 如下：0,02,0,03,1,24,1,36,2,46,2,63,6.i j i j i j i j i j i j i j x x x x x x X x x Y x x x x x x ⎧≤-⎪⎧≤-<⎪⎪≤-⎪⎪=≤-<=⎨⎨≤-⎪⎪-≥⎪⎪⎩-≥⎪⎩＜＜＜，（i ）求X 的分布列和数学期望()E X ；（ii ）设随机变量X ，Y 的的方差分别为()D X ，()D Y ，试比较()D X 与()D Y 的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）4.7（2）（i ）分布列见解析，67；（ii ）()()D X D Y <.【解析】【分析】（1）利用古典概型直接计算即可；（2）（i ）列出变量X 的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，利用公式直接求解数学期望即可；（ii ）计算方差，利用方差的含义直接判断即可. 【小问1详解】根据表中数据，可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生1，学生2，学生4，学生5，则从数学学习小组7名学生中随机选取1名， 该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为4.7【小问2详解】（i ）随机变量X 可能的取值为0，1，2.这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，3-，3，1，4-，5-.X 0=时，若0i j x x -=，有(1,1)，(1,1)，(1,1)共3种，若1i j x x -=，有(3,4)--，(4,5)--共2种，若2i j x x -=，有(1,3)，(1,3)，(1,3)，(3,5)--共4种， 故()27930C 7P X ===； 1X =时，若4i j x x -=，有(1,3)-，(1,3)-，(1,3)-共3种，若5i j x x -=，有(1,4)-，(1,4)-，(1,4)-共3种， 故()27621C 7P X ===； 2X =时，若6i j x x -=，有(1,5)-，(1,5)-，(1,5)-，(3,3)-共4种，若7i j x x -=，有(3,4)-共1种， 若8i j x x -=，有(3,5)-共1种， 故()27622C 7P X ===. 则随机变量X 的分布列为：X0 1 2P3727 27所以X 的数学期望3226()0127777E X =⨯+⨯+⨯=. （ii ）由（i ）知()22236262634(0(1)(2)77777749D X =⨯-+⨯-+⨯-=， 这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，3-，3，1，4-，5-. 随机变量Y 可能的取值为0，1，2，3.Y 0=时，若0i j x x -=，有(1,1)，(1,1)，(1,1)共3种，若1i j x x -=，有(3,4)--，(4,5)--共2种， 故()27550C 21P Y ===； 1Y =时，若2i j x x -=，有(1,3)，(1,3)，(1,3)，(3,5)--共4种，故()27441C 21P Y ===； 2Y =时，若4i j x x -=，有(1,3)-，(1,3)-，(1,3)-共3种，若5i j x x -=，有(1,4)-，(1,4)-，(1,4)-共3种， 故()27622C 7P Y ===； 3Y =时，若6i j x x -=，有(1,5)-，(1,5)-，(1,5)-，(3,3)-共4种，若7i j x x -=，有(3,4)-共1种， 若8i j x x -=，有(3,5)-共1种， 故()27623C 7P Y ===. 则随机变量Y 的分布列为：Y0 1 23P5214212727所以Y 的数学期望542234()012321217721E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以()222253443423423411886(0)(1)(2(3212121217217219261D Y =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=， 因为34118861499261<<，所以()()D X D Y <. 19. 已知焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>经过点(1,2)M ． （1）设O 为坐标原点，求抛物线C 的准线方程及△OFM 的面积；（2）设斜率为(0)k k ≠的直线l 与抛物线C 交于不同的两点,A B ，若以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1）准线为=1x -，1OFM S =△（2）证明见解析，定点(1,0)． 【解析】【分析】（1）由点在抛物线上代入求参数，写出抛物线方程，进而得准线方程，最后求△OFM 的面积； （2）设l 为(0)y kx m k =+≠，联立抛物线并应用韦达定理、中点公式得AB 的中点N 点横坐标，根据N 到准线的距离等于2AB 列方程得0k m +=，即可证结论并确定定点坐标.【小问1详解】因为抛物线22(0)y px p =>过点(1,2)，所以24p =，即2p =． 故抛物线C 的方程为24y x =，焦点(1,0)F ，准线方程为=1x -. 所以112 1.2OFM S =⨯⨯=△ 【小问2详解】设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠．由24y xy kx m⎧=⎨=+⎩ 得：222(24)0k x km x m +-+=，又0∆>有10km ->． 设1111(,),(,),A x y B x y 则12242km x x k -+=，2122m x x k=．设AB 的中点为00(,)N x y ，则120222x x km x k +-==. 所以N 到准线的距离20221k km d x k-+=+=，2AB x =-==，依题意有2AB d =222k km k -+=， 整理得2220k km m ++=，解得0k m +=，满足0∆>．所以直线(0)y kx m k =+≠过定点(1,0)．20. 已知函数()e sin 2xf x x x =-. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；（3）设实数a 使得()e xf x x a +>对x ∈R 恒成立，写出a 的最大整数值，并说明理由. 【答案】（1）y x =-（2）()max sin12ef x =- （3）2-，理由见解析【解析】【分析】（1）求出函数在0x =处的导数，即切线斜率，求出(0)f ，即可得出切线方程；（2）求出函数在区间[1,1]-上的单调性，求出最值即可；（3）将不等式等价转化为sin e x x a x <-在x ∈R 上恒成立.构造函数()sin e xx x x ϕ=-，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.【小问1详解】因为()e sin 2x f x x x =-， 所以()()e sin cos 2x f x x x =+-'，则(0)1f '=-，又(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.【小问2详解】令()()()esin cos 2x g x f x x x +'==-， 则()2e cos x g x x '=，当[1,1]x ∈-时，()0g x '>，()g x 在[1,1]-上单调递增.因为(0)10g =-<，()()1e sin1cos120g =+->，所以0(0,1)x ∃∈，使得0()0g x =.所以当0(1,)x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()1esin12e 21f =-<-<，()sin1121e f -=->， 所以()()max sin112e f x f =-=-. 【小问3详解】满足条件的a 的最大整数值为2-.理由如下：不等式()e x f x x a +>恒成立等价于sin ex x a x <-恒成立. 令()sin e x x x x ϕ=-， 当0x ≤时，0ex x -≥，所以()1x ϕ>-恒成立. 当0x >时，令()e x x h x =-，()0h x <，()1e x x h x '-=， ()h x '与()h x 的情况如下： x (0,1)1 (1,)+∞ ()h x '- 0 + ()h x 1e -所以()()min 11eh x h ==-，当x 趋近正无穷大时，()0h x <，且()h x 无限趋近于0， 所以()h x 的值域为1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，因为sin [1,1]x ∈-，所以()ϕx 的最小值小于1-且大于2-.所以a 的最大整数值为2-. 21. 已知有穷数列12:n A a a a ，，，(3)n ≥中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n ≤≤的整数m ，令集合(){}12k A m k a m k n === ，，，，.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.（1）若:63253755A ，，，，，，，，求(5)A 及(5)s ； （2）若12111()()()n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意的正整数()i j i j i j n ≠+≤，，都有()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，求12n a a a +++ 的值.【答案】（1）(5){478}A =，，，(5)=3s .（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】 【分析】（1）观察数列，结合题意得到(5)A 及(5)s ；（2）先得到11()i s a ≤，故12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，再由12111()()()n n s a s a s a +++= 得到()1i s a =，从而证明出结论；（3）由题意得i j i a a +=或i j j a a +=，令1j =，得到32a a =或31a a =，当a b =时得到12n a a a na +++= ，当a b ¹时，考虑3a a =或3a b =两种情况，求出答案.【小问1详解】因为4785a a a ===，所以{}(5)4,7,8A =，则(5)=3s ；【小问2详解】依题意()1,12i s a i n ≥=，，， ， 则有11()i s a ≤， 因此12111()()()n n s a s a s a +++≤ ， 又因为12111()()()n n s a s a s a +++= ， 所以()1i s a =所以12,,,n a a a 互不相同.【小问3详解】依题意12,.a a a b ==由()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，知i j i a a +=或i j j a a +=.令1j =，可得1i i a a +=或11i a a +=，对于2,3,...1i n =-成立，故32a a =或31a a =.①当a b =时，34n a a a a ==== ，所以12n a a a na +++= .②当a b ¹时，3a a =或3a b =.当3a a =时，由43a a =或41a a =，有4a a =，同理56n a a a a ==== ，所以12(1)n a a a n a b +++=-+ .当3a b =时，此时有23a a b ==，令13i j ==，，可得4()A a ∈或4()A b ∈，即4a a =或4a b =.令14i j ==，，可得5()A a ∈或5()A b ∈. 令23i j ==，，可得5()A b ∈.所以5a b =.若4a a =，则令14i j ==，，可得5a a =，与5a b =矛盾.所以有4a b =.不妨设23(5)k a a a b k ====≥ ，令1(2,3,,1)i t j k t t k ==+-=-， ，可得1()k A b +∈，因此1k a b +=.令1,i j k ==，则1k a a +=或1k a b +=.故1k a b +=.所以12(1)n a a a n b a +++=-+ .综上，a b =时，12n a a a na +++= .3a a b =≠时，12(1)n a a a n a b +++=-+ .3a b a =≠时，12(1)n a a a n b a +++=-+ .【点睛】数列新定义问题方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.的。
2023-2024学年山东省济南市历城第二中学高三第二次模拟考试数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年山东省济南市历城第二中学高三第二次模拟考试数学试题的。
1.已知集合，，则( )A. B.C. D.2.在，“”是“”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.已知向量，，若，则的最小值为( )A.B.C.D. 4.《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第11日到第20日这10日共织布( )A. 30尺 B. 40尺C. 6尺D. 60尺5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则函数的大致图象为( )A. B.C.D.6.在平面直角坐标系中，P 为圆上的动点，定点现将y 轴左侧半圆所在坐标平面沿y 轴翻折，与y 轴右侧半圆所在平面成的二面角，使点A 翻折至，P 仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动，则，P 两点间距离的取值范围是( )A. B.C.D.7.函数且的所有零点之和等于( )A. B.C. D.8.已知函数满足，，若对任意正数a ，b 都有，则x 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列四个命题中，正确的有( ) A. 数列的第k 项为 B. 已知数列的通项公式为，则是该数列的第7项C. 数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为D. 数列的通项公式为，则数列是递增数列10.关于函数，下列叙述正确的是( )A. 其图象关于直线对称B. 其图象关于点对称C. 其值域是D. 其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到11.如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形ABCD为直角梯形，，，在四棱锥中，则( )A. 平面平面PBDB. 平面PBCC. 三棱锥的外接球表面积为D. 平面PAD与平面PBC所成的二面角的正弦值为三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
重庆市2024届高三下学期高考数学模拟试题(二模)含答案
重庆市2024届高三下学期高考数学模拟试题（二模）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．─、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．等差数列满足，，则（ ）{}n a 134a a +=48a =3a =A ．4B ．5C ．6D ．72．已知集合，，若，则a 的取值范{}2230A x x x =-->()(){}20B x x a x =-+<A B =R 围为（ ）A ．B ．()3,+∞[)3,+∞C ．D ．()1,3-(),1-∞-3．2023年10月4日，在杭州亚运会跳水男子10米台决赛中，中国选手杨昊夺得金牌．中国跳水队包揽杭州亚运会跳水项目全部10枚金牌．跳水比赛的评分规则如下，7位裁判同时给分，去掉两个最高分，去掉两个最低分，剩下的3个分数求和再乘以难度系数，就是该选手本轮的得分，下表就是杨昊比赛中的第一轮得分表，则（ ）1号裁判2号裁判3号裁判4号裁判5号裁判6号裁判7号裁判难度系数本轮得分a 9.59.010.09.510.010.0 3.292.80A ．这7个数据的众数只能是10.0B ．这7个数据的中位数只能是9.0C ．a 可能是10.0D ．a 可能是9.54．已知双曲线的方程为，则不因m 的变化而变化的是（ ）()2255R,0mx my m m -=∈≠A ．顶点坐标B ．渐近线方程C ．焦距D ．离心率5．已知角θ满足，则（ ）1tan 2024tan θθ+=sin 2θ=A ．B ．C ．D ．15061101212024140486．已知球O 的半径为2cm ，平面α截球O 产生半径为1cm 的圆面，A ，B ，C ，D 均在圆O '面的圆周上，且为正四棱锥，则该棱锥的体积为（ ）O 'O ABCD -A ．B ．C ．D ．33cm 3323cm 333cm 323cm 7．已知函数，其中是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是()sin x f x x =,A B ABC （ ）A ．B ．()()sin sin f A f B >()()cos cos f A f B >C ．D ．()()cos sin f A f B >()()sin cos f A f B >8．设，，，则（ ）2024log 2023a =2023log 2022b =0.2024log 0.2023c =A ．B ．c<a<b b<c<aC ．D ．b a c<<a b c <<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9．已知z 为复数，，则（ ）2122i z =-z =A ．B ．2iz =+2i z =-C ．D ．2iz =-+2i z =--10．已知定义在R 上的奇函数满足：，则（ ）()f x ()()()21f x f x f +=+-A ．B ．()10f =13022f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D ．()()4f x f x +=-()12f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭11．记数列的前n 项和为，则下列说法错误的是（ ）{}n a n S14．已知函数()(1sin cos 02f x a x x a =+>距离为，若，25π+x ∀∈R ()()0f x f x ≥四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为ABC ．2π2cos sin cos 12222A B B b b a ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1)求角A 的大小；(1)证明：；2PM BM =(1)求椭圆C 的方程；4MF NF +(2)设集合．元素个数为2的集合M 为的子集，(){}{}7127,,,|0,1,1,2,,7i U a a a a i =⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅7U 且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M 为“的优集”．证明：7A U ∈B M ∈()3d AB ≤7U “的优集”M 存在，且M 中两不同点的“距离”是7．7U1．B【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解.{}n a d 1,a d 【详解】设等差数列的公差为，因为，，{}n a d 134a a +=48a =可得，解得，所以.1112438a a d a d ++=⎧⎨+=⎩11,3a d =-=31235a =-+⨯=故选：B.2．A【分析】根据不等式的解法，求得或，分类讨论求得集合，结合{|1A x x =<-3}x >B ，利用集合的运算，即可求解.A B =R 【详解】由不等式，解得或，所以或，2230x x -->1x <-3x >{|1A x x =<-3}x >又由不等式，()()20x a x -+<当时，不等式解集为空集，不满足，不符合题意，舍去；2a =-A B =R 当时，解得，即，2a <-2a x <<-{|2}B x a x =<<-此时不满足，不符合题意，舍去；A B =R 当时，解得，即，2a >-2x a -<<{|2}B x x a =-<<要使得，则满足，A B =R 3a >综上可得，实数的取值范围为.a (3,)+∞故选：A.3．D【分析】根据评分规则，结合众数、中位数的定义进行求解即可.【详解】当时，由题意可知：，符合题意，此时众数为09.5a ≤≤()109.59.5 3.292.8++⨯=10或（此时），中位数为9.5，因此选项AB 不正确，D 正确；9.59.5a =当时，由题意可知：，舍去，因此选项C 不正9.510a <≤()109.5 3.292.89.5a a ++⨯=⇒=确，故选：D4．B【分析】根据题意，分与讨论，结合双曲线的标准方程代入计算，即可判断.0m >0m <【详解】将双曲线方程化为标准式可得，22115x y m m -=当时，双曲线表示焦点在轴的双曲线，0m >22115x y m m -=x 且，222156,,a b c m m m ===此时顶点坐标为，渐近线方程为，1,0m ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭5y x =±焦距，离心率；262c m =221156b e a =+=+=当时，双曲线表示焦点在轴的双曲线，0m <22115x y m m -=y 且，222516,,a b c m m m =-=-=-此时顶点坐标为，渐近线方程为，5,0m ⎛⎫±- ⎪ ⎪⎝⎭5y x =±焦距，离心率；262c m =-221301155b e a =+=+=综上可得，不因m 的变化而变化的是渐近线方程.故选：B5．B【分析】切化弦，得到，利用正弦二倍角公式求出答案.4s 2in 1cos 20θθ=【详解】，221sin cos sin cos 1tan 2024tan cos sin sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ++=+===故，4s 2in 1cos 20θθ=则.21sin 22sin cos 20241012θθθ===故选：B6．B【分析】画出图形根据球的半径和截面圆的半径即可求出，根据四棱锥的体积公式求出OO '体积。
2023年全国新高考仿真模拟卷(二)数学试题
一、单选题二、多选题1. 李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（本题取）A ．31B ．32C ．33D ．342. 已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（ ）（1）或；（2）且；（3）或；（4）且．A ．3B ．2C ．1D ．03.已知，则（ ）A．B．C．D．4. 经过双曲线右焦点的直线与的两条渐近线，分别交于，两点，若，且，则该双曲线的离心率等于（ ）A．B．C．D．5. 在正三棱柱中，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ）A．B．C．D．6.已知集合，，则A．B．C．D．7. 函数的大致图象是（ ）A．B．C．D．8. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．9.已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．若，则10. 对于非零向量，，定义运算“”，.已知两两不共线的三个向量，，，则下列结论正确的是（ ）A ．若，则B．2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题三、填空题四、解答题C．D．11.已知正实数满足，则（ ）A．B．C．D．12. 已知椭圆（）的左右焦点分别为，，过点的直线l 交椭圆于A ，B两点．若的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）A．椭圆的短轴长为B．当取最大值时，C．离心率为D ．的最小值为213. 定义在R 上的函数对任意两个不等的实数都满足，则称函数为“Z 函数”，以下函数中为“Z 函数”的序号为________.14.若一个圆柱的侧面积是，高为1，则这个圆柱的体积是_______．15. 某次体检测得6位同学的身高分别为172､178､175､180､169､177(单位：厘米)，则他们身高的中位数是___________(厘米)16. 如图，平面平面，四边形是平行四边形，为直角梯形，，，且∥，.(1)求证：平面；(2)若，求该几何体的各个面的面积的平方和.17.如图，在三棱柱中，所有棱长均为2，且，，．(1)证明：平面平面．(2)求平面ACD与平面夹角的余弦值．18.如图，椭圆的 右焦点为，右顶点为，满足，其中为坐标原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆上的动点(异于左右顶点)，直线交椭圆于另一点，直线交直线于点，求证：直线过定点.19. 如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若E是PB的中点，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20. 已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，证明：函数在区间有且仅有一个零点．21. 某学校为弘扬中华优秀传统文化精神组织了中学生诗词大赛，大赛分两个环节完成，最后以总分决出胜负.其中高一､二两个年级分别派代表组成“星之队”“梦之队”参赛.第一环节为诗词接龙，接龙成功得1分，接龙不成功得0分.第二环节为“出类拔萃”，每队需回答主持人随机给出的2个问题，答对2个得5分，只答对1个得2分，2个均未答对得0分.假设“星之队”第一环节接龙成功的概率为，第二环节答对每个问题的概率为，且各环节各问题回答结果相互独立，“梦之队”第一环节接龙成功概率为.（1）求高一､二两个年级第一环节至少有1个代表队接龙成功的概率；（2）求“星之队”获得的总分X的分布列及数学期望.。
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2023年普通高等学校招生全国统一考试
高考模拟调研卷数学（二）
数学测试卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1. 已知集合
224,23xAxBxx∣∣
，则AB（ ）
A. 1,2 B. 2,5 C. 1,2 D. 1,5
2.
已知
p
：“四棱柱1111ABCDABCD是正棱柱”，q：“四棱柱1111ABCDABCD的底面
和侧面都是矩形”，则p是q的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D.
既不充
分也不必要
3.
已知1,2P为角
终边上一点，则2cos21sin（ ）
A.
1
3
B. 13 C. 3 D. 19
4. 某项活动安排了4个节目，每位观众都有6
张相同的票，活动结束后将票全部投给喜欢
的节目，一位观众最喜欢节目A，准备给该节目至少投3张，剩下的票则随机投给其余的
节目，但必须要A节目的得票数是最多的，则4个节目获得该观众的票数情况有（ ）
种
.
A. 150 B. 72 C. 20 D. 17
5.
已知点,MN分别是平行六面体
1111
ABCDABCD
的棱1,DDBC上的点,且
11
2
3
DMDD
,12BNBC,点,PQ分别是线段11,ANBM上的点,则满足与平面
ABCD
平行的直线PQ有（ ）条
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条
6.
已知函数
13
,0,22332,,22xxfxfxx
，则2logfxx的解集是（ ）
A.
1
,1
2
B. 1,2
C.
1
,2
2
D. 1,11,22
7
．已知正四棱台的上下底面的边长分别为
92
和122，高为3，则该正四棱台的外接球
的体积为（ ）
A．992π B．2304π C
．
22502π
D．4500π
8．已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c
，
22
abbc
，若
coscosCBA
存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A
．
0,2
B．1,3 C．0,2 D．2,4
二、选择题：本题共4小题，每小题3分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．如图，M是△ABC所在平面内任意一点，O是△ABC的重心，则（ ）
A
．
ADBECF B．3MAMBMCMO
C
．
MAMBMCMDMEMF D．0BCADCABEABCF
10
．已知复数
1z，2
z
是关于x的方程21022,xbxbbR的两根，则下列说
法中正确的是（ ）
A
．
12
zz
B．12zzR
C
．
12
1zz
D．若1b，则33121zz
11
．已知点
0
3
,2Px
在函数sin0fxx的图象上，若将fx的图象向
左平移π12个单位所得图象仍然经过点P，则的值可以是（ ）
A．28 B．24 C．20 D．16
12
．已知函数
32
,0,1,032xxexfxaaxxxx
R
，则（ ）
A．函数fx恰有两个极值点
B．当0a时，函数yfxa必有三个零点
C．当0a时，函数yfxax必有三个零点
D．存在唯一的a，使得函数yfxax有三个零点，且所有零点之和为0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13
．已知随机变量服从正态分布
2
1,N
，若10.35P，则
3P
__________．
14
．已知1x，0y，
1
4xy
，则11yx的最小值为__________．
15．已知π1πsin23sin636xx，则πsin6x__________．
16．记x表示不超过x
的最大整数，例如：2.32，1.22，已知数列
n
a
满足
1
7
3
a
，且211nnnaaa，则
122022
111
aaa
__________．
四、解答题：本题共6小题，共0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知等差数列na的前n项和为nS，6369Sa，且4a，5a，6a成等比数列．
（1）求na；
（2）求数列na的前20项和．
18．（12分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边BC上，且2BDDC，
90DAB
．
（1）求tantanAB的值；
（2）若π4B，ADC△的面积为1，求b．
19．（12分）
2022年6月20
日。郑渝高铁实现全线贯通运营．郑渝高铁北起河南省郑州市，南至重庆市，
途经河南、湖北、重庆三省市，全长1068公里．此前，北京到重庆的高铁列车耗时11小时
11分，现在只需6小时46分；石家庄至重庆高铁的耗时由9小时49分缩短至5小时43
分，
郑州至重庆的耗时由7小时28分缩短至4小时23分．不仅如此，郑渝高铁还是一条旅游
线，串联起了嵩山少林寺、襄阳吉隆中、神农架原始森林、巫山大小三峡，奉节白帝城等众
多著名旅游景点。
现有一列郑渝高铁从重庆北发出，某节车厢内共有4位旅客，每位旅客等可能地从云阳、奉
节、巫山、巴东、神衣架、襄阳东共6个车站中选择一站下车，且彼此独立．
（1）求这4位旅客选择下车的车站互不相同的概率；
（2）设这4位旅客选择下车的车站共有X个，求X的分布列和期望．
20．（12分）
如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCD∥，ABBC，224ABBCCD，
PBPD，平面PBD
平面ABCD．
（1）证明：PBAD；
（2）若四棱锥PABCD的体积为4，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
21．（12分）
已知抛物线2:20Cypxp的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，
交y轴于P点，点N位于点M和点P之间．
（1）若2MFFN，求直线l的斜率；
（2）若PMMF，PNNF，证明：为定值．
22．（12分）
已知函数2lnfxxxax，aR．
（1）当1a时，求曲线fx在点（1，0）处的切线方程；
（2）当02ea时，讨论函数fx的零点个数．