信号与系统习题解答(第1、2、3、4章)周昌雄主编
信号与系统习题解答 (1)
第一章作业参考答案： 1.18求下列积分值： （a ）解：26242)2()2(2)()0()2()(2)()()]2(2)([)()]2(2)()[23(44444444442=+=-+=-+=-+=-+++⎰⎰⎰⎰⎰-----dtt x dt t x dtt t x dt t t x dtt t t x dt t t t t δδδδδδδδ(b) 解：6510)2()2()()0()5()5()2()()()()5()()]2()()5([)()]2()()5()[1(4444444444442=++=-+++-=-+++=-+++=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰------dtt x dt t x dt t x dtt t x dt t t x dt t t x dtt t t t x dt t t t t δδδδδδδδδδδδ（C ）解：1)2()cos 1()2()cos 1(2=--=--⎰⎰--ππππππδπδdt t dt t t（d ）解：42312121231)(cos )23()(cos )2()(cos )2()(cos )23()(cos )1(200222=++++-+-=++-+-=+⎰⎰⎰⎰⎰-----ππππδπδπδπδπδππππππππdtt x dt t x dt t x dt t x dt t t 1.19解：1.21 判断下列每个信号是否周期的？如果是周期的，是求它的基波周期。
（a ）解：32,/23)cos(2)43cos(200ππωϕωπ===+=+T T t t 基波周期为：是周期信号(b)解：e eeT e e et j T t j Tj T j t j T t j )1()1)(()1()1)((12--±±±--±====ππππππ，时，当 是周期信号，基波周期是 T 0=2(c)解：互质与是有理数，且74,742782)2cos()278cos(==Ω+Ω=+ππππn n 所以原式是周期信号，基波周期N 0=7.(d)解：不是有理数，,812412cos 4cos πππ==ΩΩ=nn所以原式不是周期信号（e ）解：。
信号与系统--完整版答案--纠错修改后版本
1）
3）
5)
3.8、求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。
2）5）
3.9、求图所示各系统的单位序列响应。
（a）
（c）
3.10、求图所示系统的单位序列响应。
3.11、各序列的图形如图所示，求下列卷积和。
（1）（2）（3）（4）
4.34 某LTI系统的频率响应，若系统输入，求该系统的输出。
4.35 一理想低通滤波器的频率响应
4.36 一个LTI系统的频率响应
若输入，求该系统的输出。
4.39 如图4-35的系统，其输出是输入的平方，即（设为实函数）。该系统是线性的吗？
（1）如，求的频谱函数（或画出频谱图）。
（2）如，求的频谱函数（或画出频谱图）。
（1） （2） （3） （4） （5）
4.19 试用时域微积分性质，求图4-23示信号的频谱。
图4-23
4.20 若已知，试求下列函数的频谱：
（1）（3） （5）
（8）（9）
4下列方式求图4-25示信号的频谱函数 （1）利用xx和线性性质（门函数的频谱可利用已知结果）。
（1）
5-18 已知系统函数和初始状态如下，求系统的零输入响应。
（1），
（3），
5-22 如图5-5所示的复合系统，由4个子系统连接组成，若各子系统的系统函数或冲激响应分别为，，，，求复合系统的冲激响应。
5-26 如图5-7所示系统，已知当时，系统的零状态响应，求系数a、b、c。
5-28 某LTI系统，在以下各种情况下起初始状态相同。已知当激励时，其全响应；当激励时，其全响应。
（7）（8）
1-7 已知序列的图形如图1-7所示，画出下列各序列的图形。
《信号与系统》第二章作业题答案
第二章 连续时间系统的时域分析1．与()t δ相等的表达式为：A ．1()4t δ B ．2(2)t δ C ．(2)t δ D ．1(2)2t δ解：由()t δ函数的性质1()()t t δαδα=可得，选B2．()j tet dt ωδ∞--∞'=⎰。
解：运用性质0()()()(0)t f t t dt f t f δ∞=-∞'''=-≡-⎰，得到()()j tet dt j j ωδωω∞--∞'=--=⎰。
3．两个线性时不变系统的级联，其总的输入-输出关系与它们在级联中的次序没有关系。
（正确）解：以冲击响应为例。
因为级联时，系统总的冲击响应等于各子系统冲击响应的卷积，而卷积与顺序没有关系，所以冲击响应与子系统顺序没有关系。
4．若()()()y t x t h t =*，则()()()y t x t h t -=-*-。
（错误）解：由()()()y t x h t d τττ∞-∞=-⎰，得()()()y t x h t d τττ∞-∞-=--⎰。
而()()()()()x t h t x h t d y t τττ∞-∞-*-=--+≠-⎰5．已知(21)f t -+波形如图所示，试画出()f t 的波形。
解：根据1反2展36．用图解法求图中信号的卷积()()()t f t f t f 21*=。
（03北邮A,8分）解：当10t -<时，即1t <时，由图1所示，12()()*()0f t f t f t ==图1当1020t t ->⎧⎨-<⎩时，即12t <<时，由图2所示，11201()()*()sin()[cos()1]t f t f t f t d t πττππ-===+⎰图2当1220t t -<⎧⎨->⎩时，即23t <<时，由图3所示，11222()()*()sin()cos()t t f t f t f t d t πττππ--===⎰图3当1222t t ->⎧⎨-<⎩时，即34t <<时，由图4所示，21221()()*()sin()[cos()1]t f t f t f t d t πττππ-===-⎰图4当4t >时，如图5所示，12()()*()0f t f t f t ==图57．如图所示系统由几个子系统组成，各子系统的冲激响应为)()(1t u t h =，)1()(2-=t t h δ，)()(3t t h δ-=，试求此系统的冲激响应)(t h ；若以()()t u e t e t -=作为激励信号，用时域卷积法求系统的零状态响应。
信号与系统课后习题与解答第三章
3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。
图3-1解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n2112011201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n Edt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-====⎰⎰所以，三角形式的傅利叶级数（FS ）为T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数为⎪⎩⎪⎨⎧±±=-±±==-= ,3,1,0,,4,2,0,021n n jE n jb F n n π所以，指数形式的傅利叶级数为T e jE e jE e jE e jE t f t j t j t j t j πωππππωωωω2,33)(11111=++-+-=--3-2 周期矩形信号如图3-2所示。
若：图3-22τT-2τ-重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20=幅度 V E 10=求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰--22sin 12,)(1112212211τωττωππωττωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F tjn TT t jn n则的指数形式的傅利叶级数（FS ）为∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛==n tjn n tjn n e n Sa TE eF t f 112)(1ωωτωτ其直流分量为TE n Sa T EF n ττωτ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2lim100 基波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-2sin 2111τωπEF F 二次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-22sin 122τωπEF F 三次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得s T s rad 441102,/10-⨯==πω将各参数的值代入，可得直流分量大小为V 110210201046=⨯⨯⨯--基波的有效值为())(39.118sin 210101010sin 210264V ≈=⨯⨯⨯- πππ二次谐波分量的有效值为())(32.136sin 251010102sin 21064V ≈=⨯⨯⨯- πππ三次谐波分量的有效值为())(21.1524sin 32101010103sin 2310264V ≈=⨯⨯⨯⨯- πππ3-3 若周期矩形信号)(1t f 和)(2t f 的波形如图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，s T μ1= ，V E 1=； )(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3= ，V E 3=，分别求：（1）)(1t f 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）)(2t f 的谱线间隔和带宽； （3）)(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比； （4）)(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。
信号与系统第三章习题部分参考答案
（7） (1 − t) f (1 − t) ；
（2） [1 + m f (t)]cosω0 t
（4） (t + 2) f (t)； ( ) （6） e− jω0 t df t
dt
（8） f (t)∗ f (t − 3)；
t
（9） ∫τ f (τ )dτ −∞
1−t / 2
（11） ∫ f (τ )dτ −∞
2π (sin π t )2 ↔ 2π (1− ⎜w⎜)[ε(w + 2π ) − ε(w − 2π )]
πt
2π
即 (sin π t )2 ↔ (1− ⎜w⎜)[ε(ω + 2π ) − ε(w − 2π )]
πt
2π
（3）双边指数信号
∵ e−a⎜t⎜
↔
2a a2 + w2
(−∞
<
t
<
+∞)
∴ 2a a2 + w2
（13） f (t)∗ Sa(2t) （15） t df (1 − t)
dt
t+5
（10） ∫ f (τ )dτ −∞
（12） df (t) + f (3t ) − 2 e− jt ；
dt
（14） f (t) u(t)
（16） (t − 2) f (t)e j2(t−3)
解：（1） f 2 (t) + f (t) = f (t). f (t) + f (t) ↔ 1 [F (w}* F (w)] + F (w)
又 f (t) = 2 + cos⎜⎛ 2πt ⎟⎞ + 4sin⎜⎛ 5πt ⎟⎞
⎝3⎠
信号与系统(应自炉)习题答案第1章 习题解重点
(222222j t k j t j t j k f t k e
e
e
e
f t π
π
π
πππ+++++==⨯==
∴原函数是周期函数，令1k =，则基波周期为2π。
1-2．
求信号( 14sin( 110cos(2--+=t t t f的基波周期。
解：cos(101 t +的基波周期为15
π，s i n (4
1-8．
用阶跃函数写出题图1-8所示各波形的函数表达式。
t
t
t
(a (
bc
题图1-8
解：（a）((((((3[31]2[11]f t t u t u t u t u t =++-+++-- (((3[13]t u t u t +-+---
(((((
(3 3(1 1(1 1(3 3f
t t u t t u t t u t t u t =+++--++-+-+--（b）([( (1]2[(1 (2]4(2 f t u t u t u t u t u t =--+---+-
1 t -的基波周期为
1
2
π二者的最小公倍数为π，故( 14sin( 110cos(2--+=t t t f的基波周期为π。
1-3．
设(3, 0<=tt f ,对以下每个信号确定其值一定为零的t值区间。
（1）(t f -1（2）((t f t f -+-21（3）((t f t f --21（4）(t f 3（5）(f
《信号与系统(第四版)》习题详解图文
故f(t)与{c0, c1, …, cN}一一对应。
7
3.3 设
第3章 连续信号与系统的频域分析
试问函数组｛ξ1(t),ξ2(t),ξ3(t),ξ4(t)｝在(0，4)区间上是否 为正交函数组，是否为归一化正交函数组，是否为完备正交函 数组，并用它们的线性组合精确地表示题图 3.2 所示函数f(t)。
题图 3.10
51
第3章 连续信号与系统的频域分析 52
第3章 连续信号与系统的频域分析 53
第3章 连续信号与系统的频域分析 54
第3章 连续信号与系统的频域分析 55
第3章 连续信号与系统的频域分析 56
第3章 连续信号与系统的频域分析 57
第3章 连续信号与系统的频域分析
题解图 3.19-1
8
第3章 连续信号与系统的频域分析
题图 3.2
9
第3章 连续信号与系统的频域分析
解 据ξi(t)的定义式可知ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、ξ4(t)的波形如题 解图3.3-1所示。
题解图 3.3-1
10
不难得到：
第3章 连续信号与系统的频域分析
可知在(0,4)区间ξi(t)为归一化正交函数集,从而有
激励信号为f(t)。试证明系统的响应y(t)=－f(t)。
69
证 因为
第3章 连续信号与系统的频域分析
所以
即
70
系统函数
第3章 连续信号与系统的频域分析
故
因此
71
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.23 设f(t)的傅里叶变换为F(jω)，且 试在K≥ωm条件下化简下式：
72
第3章 连续信号与系统的频域分析 73
107
信号与系统课后习题与解答第一章
1-1分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？图1-1图1-2解 信号分类如下：图1-1所示信号分别为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--⎩⎨⎧--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21（a ）连续信号（模拟信号）；（b ）连续（量化）信号；（c ）离散信号，数字信号；（d ）离散信号；（e ）离散信号，数字信号；（f ）离散信号，数字信号。
1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问）（1）；)sin(t e at ω-（2）；nT e -（3）；)cos(πn （4）；为任意值）（00)sin(ωωn （5）。
221⎪⎭⎫ ⎝⎛解由1-1题的分析可知：（1）连续信号；（2）离散信号；（3）离散信号，数字信号；（4）离散信号；（5）离散信号。
1-3 分别求下列各周期信号的周期T ：（1）；)30t (cos )10t (cos -（2）；j10t e （3）；2)]8t (5sin [（4）。
[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0n n ∑∞=-----解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。
（1）对于分量cos (10t )其周期；对于分量cos (30t )，其周期。
由于5T 1π=15T 2π=为的最小公倍数，所以此信号的周期。
5π21T T 、5T π=（2）由欧拉公式)t (jsin )t (cos e t j ωωω+=即)10t (jsin )10t (cos e j10t +=得周期。
5102T ππ==（3）因为[])16t (cos 2252252)16t (cos 125)8t (5sin 2-=-⨯=所以周期。
信号与系统课后习题答案汇总
第一章习题参考解答1.1 绘出下列函数波形草图。
(1) ||3)(t et x -=(2) ()⎪⎪⎨⎧<≥=02021)(n n n x n n (3) )(2sin )(t t tx επ= (5) )]4()([4cos )(--=-t t t et x tεεπ(7) t t t t x 2cos)]2()([)(πδδ--=(9) )2()1(2)()(-+--=t t t t x εεε)5- (11) )]1()1([)(--+=t t dtdt x εε (12) )()5()(n n n x --+-=εε (13) ⎰∞--=td t x ττδ)1()((14) )()(n n n x --=ε1.2 确定下列信号的能量和功率，并指出是能量信号还是功率信号，或两者均不是。
(1) ||3)(t et x -=解 能量有限信号。
信号能量为：(2) ()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=02021)(n n n x n n解 能量有限信号。
信号能量为：(3) t t x π2sin )(=解 功率有限信号。
周期信号在(∞-∞,)区间上的平均功率等于在一个周期内的平均功率，t π2sin 的周期为1。
(4) n n x 4sin)(π=解 功率有限信号。
n 4sin π是周期序列，周期为8。
(5) )(2sin )(t t t x επ=解 功率有限信号。
由题(3)知，在),(∞-∞区间上t π2sin 的功率为1/2，因此)(2sin t t επ在),(∞-∞区间上的功率为1/4。
如果考察)(2sin t t επ在),0(∞区间上的功率，其功率为1/2。
(6) )(4sin)(n n n x επ=解 功率有限信号。
由题(4)知，在),(∞-∞区间上n 4sin π的功率为1/2，因此)(4sinn n επ在),(∞-∞区间上的功率为1/4。
如果考察)(4sinn n επ在),0(∞区间上的功率，其功率为1/2。
信号与系统课后习题与解答第二章
2-1 对图2-1所示电路分别列写求电压)(0t v 的微分方程表示。
2(t ei )(t +-(e )(e )(t +-图2-1解 （a ）对于图2-1（a ）所示电路列写网孔电流方程，得[]⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-++⎰⎰⎰∞-∞-∞-t t t t v i d i i t e d i d i dt t di i )()()()()()()()(202122111ττττττττ 又 dtt di t v )(2)(20= 消元可得如下微分方程：)(3)(5)(5)(200022033t v t v dt dt v dtd t v dt d +++=2)(te dt d（b ）对于图2-1（b ）所示的双耦合电路，列写电路微分方程，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+++=+++⎰⎰∞-∞-)()(0)()()()(1)()()()()(10221221211t v t Ri t Ri dt t di M dt t di L d i Ct e t Ri dtt di M dt t di L d i C ttττττ 消元可得如下微分方程：)()(1)(2)(2)(2)()(22020022203304422t e dtd MR t v C t v dt d C R t v dtd R R L t v dtd RL t v dt d M L =++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++- （c ）对于图2-1（c ）所示电路列写电路方程，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰∞-)()()(1)()()()(10101011t v t v dt d C dt t v L R t v R t v t v dt d C t i t μ 消元可得如下微分方程：)()(1)(1)()(101011022110331t i dt dR t v RL t v dt d R R L C t v dt d R C R C t v dt d CC μ=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ （d ）对图2-1（d ）所示电路列写电路方程，电流)(t i 如图2-2所示，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++⎰∞-)()()()()()()()(1)(1011t v t v t e t v t Ri t e t v d i C t Ri t μμττ 消元可得如下微分方程：(t e )(t +-图2-2)()(1)()1(00t e Rt v R t v dt d Cμμ=+-2-2 图2-3所示为理想火箭推动器模型。
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信号与系统习题解答(第1章,p27))1-2.左上图: )2t ()1t (2)t ()t (f -ε+-ε-ε=右上图: ))2t ()1t ()(t 2()1t ()t ())t ()1t ()(1t ()t (f -ε--ε-+-ε-ε+ε-+ε+= 左下图: )2t ()1t ()1t ()2t ()t (f -ε--ε++ε-+ε=右下图: ⎩⎨⎧≤=其它,01t ,t )t (f 或))1t ()1t ((t )t (f -ε-+ε=1-3图(a): )2n ()n (f +ε=图(b): )7n ()3n ()n (f -ε--ε=图(c): )2n ()n (f +-ε= 图(d): )1n ()1()n (f n-ε-= 1-51-7(1) )t (x )0(q)t (y 22+=满足可分解性,),0(q )t (y 2zi=)t (x )t (y 2zs=均为非线性,故为非线性系统。
(2) )t (x lg )0(q )t (y =不满足可分解性, 故为非线性系统。
(3) ⎰λλ+=td )(x )0(q )t (y满足可分解性, ),0(q )t (y zi =⎰λλ=tzs d )(x )t (y 均为线性,故为线性系统。
(4) )t (x dtd)0(q lg )t (y += )0(q lg )t (y zi =为非线性,故为非线性系统。
ttt0 f(n)13 645 2 1 7 题1-3图(b)1-8(1) )t (f t )0(x 2)t (y 2+=满足可分解性, ),0(x 2)t (y zi =)t (f t )t (y 2zs =均为线性,故为线性系统。
(2) )t (f 3)0(x 4)t (y 2+=))t (f 3)t (y 2zi =为非线性,故为非线性系统。
(3) )t (f 5)0(x 3)t (y +=满足可分解性, ),0(x 3)t (y zi =)t (f 5)t (y zs =均为线性,故为线性系统。
(4) )t (f )3t 2()0(x )5t ()t (y 2+++=满足可分解性, ),0(x )5t ()t (y 2zi +=)t (f )3t 2()t (y zs +=均为线性,故为线性系统。
(5) ⎰∞-ττ+=td )(f t)0(x 3)t (y满足可分解性, ),0(x 3)t (y zi =⎰∞-ττ=tzs d )(f t )t (y 均为线性,故为线性系统。
(6) ⎰∞-ττ+=td )(f )t (f )0(x 2)t (y⎰∞-ττ=tzs d )(f )t (f )t (y 为非线性,故为非线性系统。
(7) )t (f 2)t (f )0(x )t (y += 不满足可分解性,故为非线性系统。
(8) )t (tf 3)t (f t )0(x 4)0(tx 2)t (y 2+++=满足可分解性, ),0(x 4)0(tx 2)t (y zi +=)t (tf 3)t (f t )t (y 2zs +=均为线性,故为线性系统。
1-11解: 根据线性系统的线性和微分特性可得:0t e 2)e 1(dtd)e 1(2)t (y t t t ≥-=-+-=---1-12 解: (1)t e 6e 17)e 2e 3(3)e 6e 4(2)t (y 3)t (y 2)t (y t4t 2t 4t 2t 4t 22x 1x 3x >+=-++=+=------(2)t )e 6e 15e 36)e 2e e 5(3)e 2e 3(3)e 6e 4(3)t (y 3)t (y 3)t (y 3)t (y t t 4t 2t t 4t 2t 4t 2t 4t 2f 2x 1x >++=+++-++=++=----------信号与系统习题解答(第2章,p72)) 2-1(提示:)t ()0(f )t ()t (f δ=δ;)t t ()t (f )t t ()t (f 000-δ=-δ;1dt )t t (),b ,a (t ba 00=-δ∈⎰) (1))1t ()1t (1)1t (t -δ=-δ⋅=-δ (3)21)3cos(dt )t ()3cos(dt )t ()3t cos(00=π-=δπ-=δπ-ω⎰⎰+∞+∞--2-2解:零输入响应为差分方程对应的齐次方程的解. 齐次方程为:0)2n (y 2)1n (y 3)n (y =-+-+特征方程: 0232=+λ+λ特征根: 2,121-=λ-=λ齐次方程的解为: n 2n 1zi )2(C )1(C )n (y -+-= 初始值:()421213)1(y 2)0(y 3)1(y 1452213)2(y 2)1(y 3)0(y =⎪⎭⎫⎝⎛-⨯--⨯-=---=-=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=----=由初始值确定齐次方程的解中常数C 1和C 2.4C 2C )1(y 1C C )0(y 2121zi =--=-=+=得C 1=2,C 2=-3.零输入响应:n n zi )2(3)1(2)n (y ---= 2-3解:(1)求零输入响应⎩⎨⎧-=-=-=-+-+5)2(y ,3)1(y 0)2n (y )1n (y 2)n (y特征方程: 0122=+λ+λ特征根: 121-=λ=λn 2n 1zi )1(C )1(n C )n (y -+-=初始值:()1312)1(y )0(y 2)1(y 1)5(32)2(y )1(y 2)0(y -=--⨯-=---=-=--⨯-=----=由初始值确定常数C 1和C 2.1C C )1(y 1C )0(y 212zi -=--=-==得C 1=2,C 2=-1. 零输入响应:)n ()1)(1n 2(0n ,)1()1(n 2)n (y nn n zi ε--=≥---=(2)求零状态响应⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-+-+0)2(y ,0)1(y )21(3)2n (y )1n (y 2)n (y n 初始值:29)21(332)21(3)1(y )0(y 2)1(y 3)21(3)2(y )1(y 2)0(y 0-=+⨯-=+---==+----= 特征根: 121-=λ=λ零状态响应: )n (y )1(C )1(n C )n (y p n 2n 1zs +-+-=)n (y p 为特解,由于,)21(3)n (f n =则设特解为n p )21(P )n (y =将代入方程得)2n (、y )1n (、y )n (y p p p --n 2n 1n n )21(3)21(P )21(P 2)21(P =++--得31p =n n 2n 1zs )21(31)1(C )1(n C )n (y +-+-=由初始值y(0)、y(1)确定常数C 1和C 2.29)21(31C C )1(y 331C )0(y 21zs 2zs -=+--==+=得C 1=2,C 2=8/3.零状态响应: )n ())21(31)1)(38n 2((0n ,)21(31)1(38)1(n 2)n (y n n n n n zs ε+-+=≥+-+-=(3) 全状态响应)n ())21(31)1)(35n 4(()n ())21(31)1)(38n 2(()n ()1)(1n 2()n (y )n (y )n (y n n n n n zs zi ε+-+=ε+-++ε--=+=2-6解: (1)阶跃响应s(t))t ()e 3231(0t ,e 3231)d e 1(e d e ))()((e d e ))(d )(d (e )t (s t 3t33t 0t 33t 0t 33t0t 3ε+=>+=τ+=ττε+τδ=ττε+ττε=--τ--τ--τ--⎰⎰⎰(2)冲激响应h(t))t (e 2)t ())t ()e 3231((dt d dt )t (ds )t (h t 3t3ε-δ=ε+==-- 2-7解:(1) (提示: 2t 1t t t 212211|)t (f *)t (f )t t (f *)t t (f ),t (t )t ()t (--→=--ε=ε*ε))2t ()2t (|)t (t |)t ()t ()5t (*)3t (2t t 2t t -ε-=ε=ε*ε=-ε+ε-→-→(3) (提示: )t (f *)t (f )t (f *)t (f ))t (f *)t (f (),t (f )t ()t (f 212121'='='=δ*))t ()te e ()t ()te ()t ()te e ()t ()te ()t ()te ())t (te ()t ())t (te ()t (*)t (te t t t t t t t t t t ε-=δ+ε-=ε'+ε'='ε=δ*'ε=δ'ε----------(5)[][])t (e 3)t ()]t (e [dtd)t ()]t (e [dt d )t (dt d )t (e )t (e dt d )t (e t 3t 3t 3t 3t t 3ε-δ=ε=δ*ε=δ*ε=δ*ε------(7) (提示: 2t 1t t t 2122112|)t (f *)t (f )t t (f *)t t (f ),t (t 21)t ()t (t --→=--ε=ε*ε)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤>-<=-ε--ε=ε-ε=-ε*ε-εε=-ε-εε-→2t 0,t 212t ,2t 20t ,0)2t ()2t (21)t (t 21|)t (t 21)t (t 21)2t ()t (t )t (*)t (t )]2t ()t ([*)t (t 2222t t 22 2-8解:)t (e)t (y ))t ((*)t (h )t (y )t (y )t (y )t (e 3)t (y )t (*)t (h )t (y )t (y )t (y t3zi zi 2zi 2t 3zi zi 1zi 1ε=+ε-=+=ε=+ε=+=--由式(1)和(2)可得: )t (e )t (*)t (h t 3ε=ε- (3) 式(3)两边求导得:))t (e ())t (*)t (h (t 3'ε='ε-左边)t (h )t (*)t (h ))t (*)t (h (=δ='ε 右边)t (e 3)t ())t (e (t 3t 3ε-δ='ε-- 冲激响应:)t (e 3)t ()t (h t 3ε-δ=- 2-9解: (1) 单位响应(1) (2)⎩⎨⎧=-δ=--0)1(h )n ()1n (h 8.0)n (h 特征根8.0=λn )8.0(C )n (h =初值1)0()1(h 8.0)0(h =δ+-=1)8.0(C )0(h 0==得C=1, 单位响应为)n ()8.0()n (h 0n ,)8.0()n (h nn ε=≥=(2)阶跃响应)n ()8.01(5)8.0()i (h )n (s 1n ni in i ε-===+=-∞=∑∑(3)h(n)和s(n)图形 2-13解:)6n (*)n (a )n (*)n (a ))6n ()n ((*)n (a )n (f *)n (h )n (y n n n zs -εε-εε=-ε-εε==因为)n (a1a 1)n (*)n (a 1n nε--=εε+,所以 )6n (a1a 1)n (a 1a 1|)n (a1a 1)n (a 1a 1)6n (*)n (a )n (*)n (a )n (y 5n 1n 6n n 1n 1n nnzs -ε---ε--=ε---ε--=-εε-εε=-+-→++0 1 23nh(n )0.80.640.512…0 1 23ns(n)11.82.44…信号与系统习题解答(第3章,p103)) 3-1(1))4(F 41)t 4(f 1ω↔, )4(F d d 4j )]4(F 41[d d j)t 4(tf 11ωω=ωω↔*(2) )(F d d j )t (tf 1ωω↔, )(F )(F d dj )t (f )1t (11ω-ωω↔-* (3) ω-ω-↔--=-ω-↔-j 11e )(F ))1t ((f )t 1(f ),(F )t (f(4) )(F d d )(F )](F j [d d j)t (f t ),(F j )t (f 1111ωωω-ω-=ωωω↔'ωω↔' (5) 23j 1e )2(F 21))23t (2(f )3t 2(f ωω↔+=+3-2* (1) 根据傅氏变换的对称性质: )(f 2)t (F ),(F )t (f ω-π↔ω↔,及门函数的傅氏变换: )2(Sa )t (g ωττ↔τ,有 )(g 2)(g 2)2t (Sa ωτπ=ω-τπ↔ωττ π=τω=ωππ↔πππ4),(g 21)(g 42)t 2(Sa 44 则:⎩⎨⎧π>ωπ<ω=ω=ω↔-π=-π-π=ω-ω-πω-π2,02,e e )(g e )(g 22))2t (2(Sa 2)2t ()]2t (2sin[)t (f 2j 2j 42j 4(2) 根据傅氏变换的对称性质及单边指数函数的傅氏变换:ω+α↔εα-j 1)t (e t ,有 )](e [2jt1ω-επ↔+ααω,)](e [2jt 1ωεπ↔-ααω- 则:+∞<ω<-∞π=ωεπ+ω-επ↔-α++α=+ααωα-αω-αω,e 2)](e [2)](e [2jt 1jt 1t222* (1) π↔ωδ21)( )t sin(j )e e (21e 21e 21)()()(F 0t j t j t j t j 000000ωπ-=-π=π-π↔ω-ωδ-ω+ωδ=ωωω-ωω- (2) 解法1: )()()t cos(000ω-ωπδ+ω+ωπδ↔ω根据对称性质:)cos(2)cos(2)t ()t (0000ωωπ=ωω-π↔ω-πδ+ω+πδ))t ()t ((21)cos(000ω-δ+ω+δ↔ωω )5t ()5t ()5cos(2-δ++δ↔ω∴解法2: )t t (e ),t (10t j 0-δ↔δ↔ω-)5t ()5t (e e )5cos(25j 5j -δ++δ↔+=ω∴ω-ω3-4* (1) )t (f )t (y 2)t (y 3)t (y '=+'+'' 对微分方程两边取傅里叶变换2j 3)j (j )(F )(Y )(H )(F j )(Y )2j 3)j (()(F j )(Y 2)(Y j 3)(Y )j (222+ω+ωω=ωω=ωωω=ω+ω+ωωω=ω+ωω+ωω(2) )t (f 4)t (f )t (y 6)t (y 5)t (y +'=+'+'' 对微分方程两边取傅里叶变换6j 5)j (4j )(F )(Y )(H )(F )4j ()(Y )6j 5)j (()(F 4)(F j )(Y 6)(Y j 5)(Y )j (222+ω+ω+ω=ωω=ωω+ω=ω+ω+ωω+ωω=ω+ωω+ωω解法1:)]2(Sa )2(Sa [21)]()([*)2(Sa 21)]t [cos(F *)(G 21)]t (f [F )(F )t cos()t (g )t (f 1),2(Sa )2(Sa )]t (g [F )(G 000000ω-ω+ω+ω=ω-ωπδ+ω+ωπδωπ=ωωπ==ωω⨯==τω=ωττ==ωττττ 解法2:)]2(Sa )2(Sa [21)](G )(G [21)]t (f [F )(F )e e )(t (g 21)t cos()t (g )t (f 1),2(Sa )2(Sa )]t (g [F )(G 0000t j t j 000ω-ω+ω+ω=ω-ω+ω+ω==ω+=ω⨯==τω=ωττ==ωτωω-ττττ3-6ω++ω+=+ω+ω-ω+=ωj 11j 2123j 2j 3)(H 2,ω+α↔εα-j 1)t (e t)t ()e e (]j 11j 21[F )](H [F )t (h t t 211ε+=ω++ω+=ω=----)t ()e e (2)](Y [F )t (y j 22j 1223j 223j 2j 3j 5.11)(F )(H )(Y j 5.11)]t (e [F )(F t 2t ZS 1ZS 22ZS t 5.1ε-=ω=ω+-ω+=+ω+ω-=+ω+ω-ω+⨯ω+=ωω=ωω+=ε=ω----*3-7)2t ()e 1(2)t ()e 1(2)t (f *)t (f e )j 11j 1)((2)j 11j 1)((2j 11]e )j 1)((2)j 1)((2[)(F )(F )]t (f *)t (f [F j 11)(F ,e )j 1)((2)j 1)((2)(F )2t (t 21222121221-ε--ε-=ω+-ω+ωπδ-ω+-ω+ωπδ=ω+⨯ω+ωπδ+ω+ωπδ=ωω=ω+=ωω+ωπδ+ω+ωπδ=ω---ω-ω-ω-*3-8)t ()e 3e 2()](Y [F )t (y j 23j 12j 21j 1j 1)(F )(H )(Y j 21)]t (e [F )(F t 2t ZS 1ZS ZS t 2ε-=ω=ω+-ω+=ω+⨯ω+ω-=ωω=ωω+=ε=ω----3-9))sin()2(sin(2]e e [j 1]e e [j 1]e e e e [j 1)]t (f [F j 1)]t (f [F )(F e e e e )]t (f [F )2t ()1t ()1t ()2t ()t (f )2t ()1t ()1t ()2t ()t (f j j 2j 2j j 2j j 2j j 2j j 2j ω+ωω=-ω+-ω=--+ω='ω==ω--+='-δ+-δ-+δ++δ='-ε+-ε-+ε++ε=ω-ωω-ωω-ω-ωωω-ω-ωω信号与系统习题解答(第4章,p125))4-1(1) 2s 1s 2s 11)t (e )t (t 2++=+-↔ε-δ- (2) 3s 1)t (e t 3+↔ε-,根据复频域微分特性: 2t 3)3s (1)3S 1(ds d )t (te +=+-↔ε- (3) 1s s )t cos(2+↔,根据s 域平移性: 5s 4s 2s 1)2s (2s )t cos(e 2t2+++=+++↔- 4-4(1)解:2s 21s 222s 3s 222s 3s 6s 6s 2)s (F 222+-+++=++-=++++= )t ()e 2e 2()t (2]2s 2[L ]1s 2[L ]2[L )]s (F [L )t (f t 2t 1111ε-+δ=+-+++==∴------ (2)解:)t (e )3t 5()t (e 3)t (t e 5]1s 3[L ])1s (5[L ]1s 3)1s (5[L )]s (F [L )t (f 1s 3)1s (5)s (F 3|])1s )(s (F [dsd2k ,5|)8s 3(|)1s )(s (F 1k 1s 2k )1s (1k )1s (8s 3)s (F t tt 12121121s 21s 1s 222ε+=ε+ε=+++=+++==∴+++==+==+=+=+++=++=--------=-=-=4-52j 11|)2j 1s )(s (F k j 2j|)2j 1s )(s (F k 57|)2s )(s (F k 2j 1s k 2j 1s k 2s k )2j 1s )(2j 1s )(2s (3s )5s 2s )(2s (3s )s (F :解法12j 1s 32j 1s 22s 1321222+-=-+=+-=++==+=-++++++=-+++++=++++=+-=--=-=2j 1s 2j 112j 1s j 2j 2s 57)s (F -++-++++-++=t ),t 2sin 54t 2cos 52(e e 57)e 5j 2e 5j 2e 51e 51(e e 57)e 52j 1e 5j 21(e e 57e 2j 11e j 2j e 57)]s (F [F )t (f t t 2t 2j t 2j t 2j t 2j t t 2t 2j t 2j t t2t )2j 1(t )2j 1(t 21≥+-=-+++-=-++-=+-++-+==∴-----------+---)t ())t 2sin(e 2)t 2(cos(e 52e 57)t 2sin(e 54)t 2cos(e 52e 57)t (f 2)1s (2542)1s ()1s (522s 572)1s (58)1s (522s 575s 2s 2s 522s 57)s (F 2k ,52k ,57k :得3k 2k 50k k 2k 21k k 令)5s 2s )(2s (k 2k 5s )k k 2k 2(s )k k (5s 2s k s k 2s k )5s 2s )(2s (3s )s (F :解法2t t t 2t t t 222222223213132121231321221232122ε+-=--=∴++⨯-+++-+=++++-+=+++-+=-=-==⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++++++++++=+++++=++++=------4-6解:(1)零输入响应:⎩⎨⎧-='==+'+''--1)0(y ,1)0(y 0)t (y 6)t (y 5)t (y 对微分方程取拉氏变换,可得0)s (Y 6))0(y )s (sY (5)0(y )0(sy )s (Y s 2=+-+'----- 3s 12s 2)3s )(2s (4s 6s 5s 4s )s (Y 2+-++=+++=+++=)t ()e e 2()]s (Y [L )t (y t 3t 21si ε-==---(2)零状态响应:⎪⎩⎪⎨⎧='=ε=+'=+'+''--0)0(y ,0)0(y )t ()t cos(5)t (f )t (f 6)t (f 2)t (y 6)t (y 5)t (y 对微分方程取拉氏变换,可得)s (F 6)s (sF 2)s (Y 6)s (sY 5)s (Y s 2+=++1s s5)s (F 2+=)t ())6.26t cos(52e 4()t sin(2)t cos(4e 4)t (y 1s 21s s 42s 41s 2s 42s 4)1s )(2s (s 10)1s )(6s 5s (s 30s 106s 5s )s (F 6)s (sF 2)s (Y t 2t 2zs 22222222ε-+-=++-=+++++-=++++-=++=++++=+++=-- (3)全响应:)t ())6.26t cos(52e e 2()t (y )t (y )t (y t 3t 2zi zs ε-+--=+=--4-7解:对微分方程取拉氏变换,可得)s (sF 2)s (F s )s (Y 13)s (sY 6)s (Y s 22+=++13s 6s )s (F )s 2s ()s (Y 22+++= 系统函数为:22222)3s ()2s (s 13s 6s s 2s )s (F )s (Y )s (H +++=+++==零点为: 0,-2; 极点为: -3+j2,-3-j24-8 解:)t (f *)t (s )t (f *)t (h )t (y zs '==取拉氏变换,可得:)s (F )]t (s [L )s (Y zs ⨯'=σ2s s1)]t (s [sL )]t (s [L +-==',2zs )2s (12s 1s 1)s (Y +-+-=2s 5.0s 1s 4s 24s 2s s 1)2s (12s 1s 1)s )](t (s [L )s (Y )s (F 22zs ++=++=+-+-+-='= )t ()e 5.01()t (f t 2ε-=∴-4-9 (1)5s 2s 1s )s (H 2+++=解: 命05s 2s 2=++,得H(s)的二个极点为: p1=-1+j2, p2=-1-j2.由于p1、p2均位于s 平面左半面,故系统是稳定的.(2) )5s )(2s 3s (1s )s (H 22++++=解: 命0)5s )(2s 3s (2=+++,得H(s)的3个极点为: p1=-1, p2=-2, p3=-5.由于p1、p2、p3均位于s 平面左半面,故系统是稳定的.。