投 针 试 验
布丰的投针试验故事介绍及公式推导.doc
布丰的投针试验公元1777年的一天，法国科学家D ·布丰（D ·buffon1707～1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。
试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。
接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。
然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。
”客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。
一把小针扔完了，把它捡起来又扔。
而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。
最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。
总数2212与相交数704的比值为3.142。
”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值。
不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。
”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。
π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。
由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。
布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d ，小针长为ｌ，投针的次数为n ，所投的针当中与平行线相交的次数是m ，那么当n 相当大时有：dmn ｌ2≈π 在上面故事中，针长ｌ等于平行线距离d 的一半，所以代入上面公式简化我想，喜欢思考的读者，一定想知道布丰先生投针试验的原理，下面就是一个简单而巧妙的证明。
蒲丰
爵封.
一位古稀老人喜惊满座的故事—投针实验 1777年的一天,法国数学家蒲丰忽发奇想, 邀请了许多亲朋好友来到他家里.他要做一个 实验.蒲丰事先准备好一张白纸铺在桌上,纸 上画满了一条条距离相等的平行线.他又拿出 许许多多的小针,小针的长度刚好等于相邻两 条平行直线之间距离的一半. 实验开始了,蒲丰让客人把小针一根一根随 手往纸面上投去,这些针有的落在白纸上的两 条平行直线之间,不与直线相交,有的orge-Louis Leclerc de Buffon）
蒲丰是法国数学家、自然科学家.1707年 9月7日生于蒙巴尔；1788年4月16日卒 于巴黎.蒲丰10岁时在第戎耶稣会学院读
书，16岁主修法学，21岁到昂热转修数
学，并开始研究自然科学，特别是植物
学.1733年当选为法国科学院院士，1739
蒲丰关心的是针与直线相交的情况.他在一 旁数着投针的次数和相交的次数.结果,共投 针2212次,与直线相交的有704次,蒲丰做了一 个简单的除法：2212÷704≈3.142.他宣布这就 是π 的近似值,众人惊讶不已. 这就是著名的蒲丰投针问题.后来他把这个 试验写进了他的论文《或然性算术尝试》中.
x
a
l x= 2 sin
G
x
o g
蒲丰于1740年翻译了牛顿的《流数法》，并 探讨了牛顿和莱布尼茨发现微积分的历史. 蒲丰还以研究自然博物史著称，他集多年研 究成果编成巨著《自然史》（44卷，蒲丰生 前出版了36卷，后8卷由他的学生完成.）他 是第一个对地质史划分时期的科学家，他还 首次提出太阳与彗星碰撞产生行星的理论. “蒲丰于1777年给出了第一个几何概率的例子.” ──伊夫斯
数学实验_第四章概率论与数理统计
>> n=40; >> p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365^n 运行结果： p= 0.8912
2．某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知所有这 12 次接待 都是在周二和周四进行的， 问是否可以推断接待时间是有规定的？ >> p=2^12/7^12 %接待时间没有规定时， 访问都发生在周二和周四 的概率 运行结果： p= 2.9593e-007 此概率很小，由实际推断原理知接待时间是有规定的。
概率概念的要旨是在 17 世纪中叶法国数学家帕斯卡与 费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论" 合理分配赌注问题"， 在概率问题早期的研究中， 逐步建 立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本 性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人 口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和 质量控制等， 这些问题的提出， 均促进了概率论的发展。
实验一
排列数与组合数的计算
【实验目的】 1．掌握排列数和组合数的计算方法 2．会用 Matlab 计算排列数和组合数 【实验要求】 1．掌握 Matlab 计算阶乘的命令 factorial 和双阶乘的命令 prod 2．掌握 Matlab 计算组合数的命令 nchoosek 和求所有组合的命令 combntns
布丰投针实验读后感
布丰投针实验读后感
感悟：首先是知道了前辈们求解圆周率π的另一种方法，即基于多次试验的统计结果，这给今后解决问题提供了一个思路。
其次，通过投针试验，大致了解了蒙特卡洛法的基本思路，其主要的思想便是在不知道问题的本质求解的方法时，可通过多次试验，从实验中的概率统计结果中找到问题的近似解。
另外，在编程实现方面，虽然有一定的matlab基础，但是对于具体的思路的实现仍较为困难，通过看建模视频中提出的各个问题，跟上思路，积极思考，多看代码多学习，我想一段时间后，编程解决问题的能力还是可以提高的，在此感谢清风大哥！。
蒲丰投针试验和π
蒲丰投针试验与π学科：《数学史》作者：***班级：07级数本班学号：********蒲丰投针试验和π作者：*** 班级：07级数本班 学号：******摘要：“圆周率”是指一个圆的周长与其直径的比值。
古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。
为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。
公元1777年，法国数学家、自然科学家蒲丰利用很多次随机投针试验算出π的近似值，引起广泛关注，这也是最早的几何概率问题，并且蒲丰本人对这个实验给予了证明。
计算π的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。
关键字：π 蒲丰 蒲丰投针试验 几何概率因为任何两个圆都相似，故所有圆的周长和它的直径的比都等于同一常数，我们把这一常数叫“圆周率”。
国际上，人们习惯地把圆周率用符号π表示。
1600年，英国的威廉·奥托兰特首先使用πδ表示圆周率，他的理由是，因为π是希腊文圆周的第一个字母，奥托兰特用它来表示圆周长，而δ是希腊文直径的第一个字母，奥托兰特用它来表示直径，根据圆周率的定义，理应用πδ表示圆周率，但在推算圆周率的过程中，人们常用直径为1的圆，即令1δ=，这样πδ就等于π了。
1706年英国的琼斯首先改用π表示圆周率，后来被数学家广泛接受，一直沿用至今。
古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。
为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。
回顾历史，人类对π的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。
π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。
德国数学家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。
”1874年勒让德证明了π和π都是无理数，即不能用两个整数的比表示．1882年德国数学家林德曼证明了π是超越数，即不可能是一个整系数代数方程的根，尽管如此，自古至今，很多人都在用各种方法求π的近似值。
Buffon投针实验报告
Buffon投针实验一、实验目的：在计算机上用试验方法求圆周率的近似值。
二、实验原理：假设平面上有无数条距离为1的等距平行线，现向该平面随机投掷长度为L(L≤1)的针，则针与平行线相交的概率 P=。
设针的中心M与最近一条平行线的距离为x，则x~U(0,1);针与平行线的夹角为(不管相交与否)，则~U(0,)如图：()在矩阵上均匀分布，且针与平行线相交的充要条件为x≤=；P=P{ x=}。
记录≤成立的次数，记为由-大数定理：≈,则=2。
在计算机上产生则=~U(0,),i=1,2,…,n;再产生，则, i=1,2,…,n三、实验方法及代码：在计算机上进行模拟实验，求出的实验值。
给定L，在计算机上利用MFC独立随机产生x和，然后判断≤是否成立.代码如下：#include "stdafx.h"#include "buffon.h"#include "ChildView.h"#include "ChoiceDlg.h"#include <ctime>#include <cmath>#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif// CChildViewCChildView::CChildView(){Trynum=1000;}CChildView::~CChildView(){}BEGIN_MESSAGE_MAP(CChildView,CWnd )//{{AFX_MSG_MAP(CChildView)ON_WM_PAINT()ON_COMMAND(ID_TOOL_NUM, OnToolNum)ON_COMMAND(ID_TOOL_RETRY, OnToolRetry)//}}AFX_MSG_MAPEND_MESSAGE_MAP()// CChildView message handlersBOOL CChildView::PreCreateWindow(CREATESTRUCT& cs){if (!CWnd::PreCreateWindow(cs))return FALSE;cs.dwExStyle |= WS_EX_CLIENTEDGE;cs.style &= ~WS_BORDER;cs.lpszClass = AfxRegisterWndClass(CS_HREDRAW|CS_VREDRAW|CS_DBLCLKS,::LoadCursor(NULL, IDC_ARROW), HBRUSH(COLOR_WINDOW+1), NULL);return TRUE;}void CChildView::OnPaint(){CPaintDC dc(this),*pDC;pDC=&dc;CFont font, *pOldFont;font.CreatePointFont(200,"宋体");pOldFont=pDC->SelectObject(&font);pDC->SetTextColor(RGB(255,0,0));pDC->TextOut(100,5,"蒲丰投针试验");pDC->SelectObject(pOldFont);CPen myPen1,myPen2, *pOldPen1,*pOldPen2;CRect rect1(30,30,920,620);pDC->Rectangle(rect1);myPen1.CreatePen(PS_SOLID, 1, RGB(0,0,255));pOldPen1=pDC->SelectObject(&myPen1);for(int i=100;i<600;i+=50){pDC->MoveTo(50,i);pDC->LineTo(900, i);}pDC->SelectObject(pOldPen1);myPen2.CreatePen(PS_SOLID, 1, RGB(0,255,0));pOldPen2=pDC->SelectObject(&myPen2);srand(time(0));int a,b,q,a1,b1,su,flag;np=0;for(int j=0;j<Trynum;j++){a=rand()%850+50;b=rand()%450+100;q=rand()%180;a1=25*cos(q);b1=25*sin(q);su=pow(-1,rand()%2);pDC->MoveTo((a-su*a1),(b-su*b1));pDC->LineTo((a+su*a1),(b+su*b1));if( (b%50) >= 25 )flag =50-b%50;elseflag = b%50;if( 25*sin(q) >= flag )np++;}pDC->SelectObject(pOldPen2);CString str;int c=Trynum/(np*1.0);int d=(int)((Trynum/(np*1.0)*100000))%100000;str.Format("投针次数:%d;\n相交次数:%d;\nπ的估算值:%d.%d",Trynum,np,c,d);MessageBox(str,"实验数据信息");}void CChildView::OnToolNum(){CChoiceDlg mydlg;if(mydlg.DoModal()==IDOK){this->Trynum = mydlg.m_Trynum ;this->RedrawWindow();}}void CChildView::OnToolRetry(){// TODO: Add your command handler code herethis->RedrawWindow();}四、实验数据处理与分析：根据实验数据，得到近似值为3.2313，可得相对误差为δ=（3.2313-π）/π≈0.02856；运行截图：五、实验小结：本次实验，通过MFC进行模拟投针，模拟效果较好，随着投针次数模拟的增多，实验结果逼近于π的真实值，但是实验程序有待优化，在较多投针次数的模拟中，实验程序运行速度较慢，可以改进相关算法来做适当调节。
《控制系统建模与仿真》课后习题-2021版
《控制系统建模与仿真》课程习题（1）一、“投针实验”的历史价值在人类数学文化史中，对圆周率 精确值的追求吸引了许多学者的研究兴趣。
在众多的圆周率计算方法中，最为奇妙的是法国物理学家布丰（Boffon）在1777年提出的“投针实验”。
试回答下列问题：1、试对“投针实验”的机理给出一种直观形象的物理解释？2、有人说“布丰/ Boffon（投针实验）是仿真技术的奠基者”，为什么？3、试用MATLAB语言编制“投针实验”的仿真程序，仿真证明之。
二、自平衡式两轮电动车的安全问题近年来，自平衡式两轮电动车产品成为“抢眼”的代步工具，但也出现很多问题（如上图所示）；试根据你所了解的情况就“平衡车产品是否可以合法上路？”问题，给出你的意见与建议。
提示：可从“技术、安全、法律、可持续”等方面，有理有据地展开讨论。
参考书：张晓华《控制系统数字仿真与CAD》 (第4版) 机械工业出版社 2020张晓华《系统建模与仿真》（第2版）清华大学出版社 2016《控制系统建模与仿真》课程习题（2）一、一阶直线倒立摆系统的建模问题对于教材中图2-7所示的一阶直线倒立摆系统，基于牛顿定律所建立的数学模型（如教材的图2-8所示），试问：这个数学模型是否正确，给出你的分析与证明。
提示：（1）基于MATLAB仿真进行模型验证（参见教材第四章第三节）；（2）应用“拉格朗日方程”方法建模，进行结果对比。
二、一阶直线双倒立摆系统的可实现问题如下图所示的一阶直线双倒立摆系统，试问：能否通过控制力F实现“在保持两杆不倒的条件下，使小车在直线X方向的位置任意移动”？提示：（1）建立系统数学模型；（2）应用现代控制理论的“能控性定理”进行分析。
参考书：张晓华《控制系统数字仿真与CAD》 (第4版) 机械工业出版社 2020张晓华《系统建模与仿真》（第2版）清华大学出版社 2016《控制系统建模与仿真》课程习题（3）一、水箱液位控制系统设计问题如下图所示的“水箱液位系统”，试回答下列问题：1、试给出含有（控制器+传感器）的“水箱液位控制系统”方案；2、试依据“流体力学”的基本概念，建立系统的数学模型；3、若使系统液位控制实现稳态无静差，试给出PID控制器设计方案；二、水箱液位控制的拓展问题试回答下述问题：1、某人在上述“水箱液位控制系统”中，采用单片机作控制器，程序设计为“增量式PI控制算法”，如果控制系统在“阶跃给定”下存在稳态误差，试问这种情况是否合理？为什么？2、对于上图所示的“水箱液位系统”，在下排水出口处流体呈“紊流”状态,试证明：其流量与液位高度的关系为Q=K∙√H。
七夕节有哪些风俗习惯
七⼣节有哪些风俗习惯 ⼀年⼀度的七⼣节⼜到了，七⼣节是中国的情⼈节,你知道七⼣节的习俗有哪些吗?下⾯店铺分享了七⼣节风俗习惯，希望你喜欢。
七⼣节风俗习惯 七⼣节的习俗⼀:穿针乞巧 这是最早的乞巧⽅式，始于汉，流于后世。
《西京杂记》说：“汉彩⼥常以七⽉七⽇穿七孔针于开襟楼，⼈具习之。
”南朝梁宗谋《荆楚岁时记》说：“七⽉七⽇，是⼣⼈家妇⼥结彩楼穿七孔外，或以⾦银愉⽯为针。
”《舆地志》说：“齐武帝起层城观，7⽉7⽇，宫⼈多登之穿针。
世谓之穿针楼。
”五代王仁裕《开元天宝遗事》说：“七⼣，宫中以锦结成楼殿，⾼百尺，上可以胜数⼗⼈，陈以⽠果酒炙，设坐具，以祀⽜⼥⼆星，妃嫔各以九孔针五⾊线向⽉穿之，过者为得巧之侯。
动清商之曲，宴乐达旦。
⼟民之家皆效之。
”元陶宗仪《元⽒掖庭录》说：“九引台，七⼣乞巧之所。
⾄⼣，宫⼥登台以五彩丝穿九尾针，先完者为得巧，迟完者谓之输巧，各出资以赠得巧者焉。
” 七⼣节的习俗⼆:喜蛛应巧 这也是较早的⼀种乞巧⽅式，其俗稍晚于穿针乞巧，⼤致起于南北朝之时。
南朝的梁宗懔《荆楚岁时记》说; “是⼣，陈⽠果于庭中以乞巧。
有喜⼦⽹于⽠上则以为符应。
” 五代王仁裕《开元天宝遗事》说：“七⽉七⽇，各捉蜘蛛于⼩盒中，⾄晓开;视蛛⽹稀密以为得巧之侯。
密者⾔巧多，稀者⾔巧少。
民间亦效之”宋朝孟元⽼《东京梦华录》说，七⽉七⼣“以⼩蜘蛛安合⼦内，次⽇看之，若⽹圆正谓之得巧。
”宋周密《乾淳岁时记》说;“以⼩蜘蛛贮合内，以候结⽹之疏密为得巧之多久”明⽥汝成《熙朝乐事》说，七⼣节“以⼩盒盛蜘蛛，次早观其结⽹疏密以为得巧多寡。
”由此可见，历代验巧之法不同，南北朝视⽹之有⽆、唐视⽹之稀密，宋视⽹之圆正，后世多遵唐俗。
七⼣节的习俗三:投针验巧 这是七⼣穿针乞巧风俗的变体，源于穿针，⼜不同于穿针，是明清两代的盛⾏的七⼣节俗。
明刘侗、于奕正的《帝京景物略》说：“七⽉七⽇之午丢巧针。
妇⼥曝盎⽔⽇中，顷之，⽔膜⽣⾯，绣针投之则浮，看⽔底针影。
6.2投针试验
回顾思考---活动探究---课堂检测---感悟收获---拓展延伸
重难点
重点：能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．
难点：借助大量重复实验去感悟实验频率稳定于理论概率．
教师活动(环节、措施)
学生活动（自主参与、合作探究、展示交流）
回顾旧知
奠定基础
【回顾思考】
1.用树状图和列表的方法求概率时应注意
【感悟收获】
这节课我们学会了用实验的方法估计一些复杂随机事件发生的概率，并亲自体验到了“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率”．
【拓展延伸】
1.从一定的高度掷一个瓶盖,落地后可能盖面朝上,也可能盖面朝下.你估计哪种事件发生的概率大?组成合作小组,用试验的方法估计盖面翰上的概率,并交流各组的瓶盖以及所求结果,看看结果是否相同,讨论其原因.
实验次数
20
40
60
80
100
钉帽着地的频数
钉帽着地的频率
5．汇总全班各小组其一个组．两个组、三个组、四个组…的实验数据，相应得到实验100次、200次、300次、400次…时钉帽着地的频率，并绘制折线统计图．
课题
课时
1课时
课型
导学+展示
学习目标
1.能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．
2.借助大量重复实验去感悟实验频率稳定于理论概率．
。并且实验出现的结果是。
2.比如掷一枚图钉，有几种结果?它们是等可能的吗?
3.掷一只墨水笔尖，也有“正”“反”两种可能，但出现的可能性相等吗?
结论：一个试验，虽然结果有有限个，但各个结果出现的可能性不相等，求这一事件的概率只有动手做大量的试验．因为我们知道：当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率．
蒲丰投针原理
/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。
为了估算π的值，我们需要通过实验来估计它的概率，这一过程可交由计算机编程来实现，事实上x+y>z，x²+y²；﹤z²；等价于（x+y-z）（x²+y²-z²；）﹤0，因此只需检验这一个式子是否成立即可。
若进行了m 次随机试验，有n次满足该式，当m足够大时，n/m趋近于（π-2）/4，令n/m=（π-2）/4，解得π=4n/m+2，即可估计出π值。
值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。
计算π最稀奇方法之一计算π的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C·布丰和他的投针实验：在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的．布丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于d，那么有利扔出的概率为2/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值．公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．1415929——准确到小数后6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！证明下面就是一个简单而巧妙的证明。
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。
可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。
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概 率”,来估计针与平行线相交的概率.
试验方式:小组合作交流,全班汇总试验验数据，达到数
据共享
试验工具:有距离为a平行线的纸,长度是l粗细均匀的针（l<a）
还有什么方面需要注意的吗？
Just do it!
每组至少完成100次试验
可采用不同的方式记录其中相交和不相交的次数 快速完成，争取名次
试验者
Wolf Smitn C.Dg morgan Fox Lazzerini Reina
时间
1850年 1855年 1860年 1884年 1901年 1925年
投掷次数
5 000 3 204 600 1 030 3 408 2 520
相交次数
2 532 1 218.5 382.5 489 1 808 859
我的课堂，我做主
小组讨论： 用几句话归纳这节课的几个环节 完成了这节课的学习，对我影响最深的学 习体验是什么？
这节课还存在的疑惑是什么？又将如何去解决？
课外冲浪
最后蒲丰宣布结果：大家共投针2212次， 其中与直线相交的就有704次。用704去除2212， 得数为3.142。他笑了笑说：“这就是圆周率π 的近似值。”这时，众宾客哗然：“圆周率π? 这根本和圆沾不上边呀?”蒲丰先生却好像看透 了众人的心思，斩钉截铁地说：“诸位不用怀 疑，这的确就是圆周率π的近似值。你们看，连 圆规也不要，就可以求出π的值来。只要你有耐 心，投掷的次数越多，求出的圆周率就越精 确。”这就是数学史上有名的“投针试验”。
数学家蒲丰 (Buffon， Georges Louis） (1707-1788)
试一试 猜一猜
当针投到平行线的纸上时，会有什么情况出现？
试一试 猜一猜
当针投到平行线的纸上时，会有什么情况出现？
相交和不相交的可能性相同吗？ 你能通过列表或树状图求出该针与平行线 相交的概率吗？我为人人 ， 人人为我
在数学的天地里，重要 的不是我们知道什么，而是 我们怎么知道什么。
——毕达哥拉斯
6.2
投 针 试 验
你闻到了吗？
相信自己，勇 敢的表达自己 的想法！
课外冲浪
蒲丰投针法国自然哲学家蒲丰先生经 常搞点有趣的试验给朋友们解闷。 1777年的一天，蒲丰先生又在家里 为宾客们做一次有趣的试验，他先在 一张白纸上画满了一条条距离相等的 平行线。然后，他抓出一大把小针， 每根小针的长度都是平行线之间距离 的一半。蒲丰说：“请诸位把这些小 针一根一根地往纸上随便扔吧。”客 人们好奇地把小针一根一根地往纸上 乱扔。
π的试验值
3.159 6 3.155 4 3.137 3.159 5 3.141 592 9 3.17 5
课外冲浪
用计算机实现统计模拟或抽 样，以获得问题的近似解，称为 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法， 又称统计模拟法或统计试验法。 它是以概率和统计的理论为基础 的一种计算方法，他将所求解的 问题与一定的概率模型相联系。
准确、美观、独特、创新…的制作表1
Just do it!
分工合作：统计全班的试验数据 实验次数 200 400 600 800 100 120 140 160 170
0 0 0 0 0
相交频数 相交频率 请每组同学利用全班的试验数据制作折线统计图； 通过本次试验、统计的过程，你什么发现和感想吗？
投针试验的历史资料