第八章空间解析几何与向量代数+单元自测题答案

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(完整版)高数期末复习题第八章空间解析几何与向量代数

第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ，则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3(　则：　且　b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是（ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。

8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos ； B. αsin ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直，则（ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ； D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则（ C ）A. b a ϖϖ//；B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ；C. b a ϖϖ⊥ ；D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是（ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线垂直的平面方程为（ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示（ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和，求这个平面。

第八章向量代数和空间解析几何

第八章向量代数和空间解析几何第八章内容概要与重点难点提示本章由三个部分组成：（1）向量代数包括向量的二要素（模和方向）抽象向量和具体向量的线性运算法则数量积、向量积和混合积的运算；（2）空间曲面（球面，旋转面，锥面，柱面和二次曲面）的图形与方程之间的对应，空间曲线与方程组之间的对应；（3）平面和直线的方程。

重点向量运算（线性运算、点乘、叉乘）画出空间曲面曲线的图形求平面和直线的方程本章无特别难的难点考试内容要点讲解一、向量1、定义既有大小又有方向的量称为向量（或者矢量），记为a 或者AB ，比如位移、速度、加速度等，向量的二要素：（1）大小也叫长度,、模或者范数，记为a 或者AB ；方向向量箭头的指向或用方向角,,αβγ来刻画。

常用的向量有零向量0（模为零，方向任意）、单位向量e （模为1）、向径OM →(其中(,,)M x y z 为空间直角坐标系的一点)、自由向量（与起讫点无关）。

一般无特别说明我们都学的向量都是自由向量。

向量是不能比较大小的。

抽象的向量用带箭头的线段来表示，具体向量表示为(,,)x y z a a a a ==+x y za i a j a k +，x a 叫做a 的横坐标或者a 在x 轴上的投影，x a i 叫做a 在x 轴上的分量。

2xa a =+；cosα=，cosa β=，cos γ=，与a 同方向的单位向量为0(cos ,cos ,cos )aa aαβγ==。

2、向量的运算对于抽象向量（1）加减法（平行四边形法则）做,AB a AD b →→==，以,AB AD 为邻边做平行四边形，则对角线构成的向量+,AC a b →=DB a b →=-。

（2）数乘规定a λ（λ为数量）是向量：模a λa λ=；方向是当0λ>时aλ与a 同向，当0λ<时a λ与a 反向，当0λ=时0a λ=。

（3）数量积（点积，内积） cos b a a b a b a b a prj b prj θ⋅=== （结果为数量），式中θ为向量a 与b 的夹角（[0,]θπ∈）。

第八章空间解析几何

解: 只要求出过点A且和L1垂直的平面π1的方程即可.
y 1

z

1
x y z 1
y 1 L1 : z 1
A(1,1, 1)
L1 Aπ L
L1 :
x 1 1
y 1 0
z 1 0
1 : x 1
:x y z 1
s1 {1,0,0} n {1,0,0}
2

4z

4x
3. 求锥面 z x2 y2 与柱面 z 1 x2
所围立体在三个坐标平面上的投影区域.
解: 锥面 z x2 y2 与柱面 z 1 x2
所围立体如图所示.
z
o y
x
z 接3.
两曲面所围立体如图.
(1) 在 xoy 面上的投影区域为
两曲面交线

z

x2 y2
| c | 0 | c || b |2| c |
| b | 1
| a | | b | | c | 3
5. 设 a b c 0 且 a 3 , b 2，c 5，求ab b c c a
解: a b c 0 (a b c) (a b c) 0
下周六或周日就要考试了希望同学在下面好好复习
第八章空间解析几何与向量代数 (习题课)
题组一：向量及其运算 1. 是非题
（1）若 a b a c且a 0，则b c.
a (b c) 0 a (b c) （2）若 a b a c且a 0, 则b c.
x a
yz bc
1,
则其与xoy面的
x y z 1 a b c z 0

高等数学(1)-2习题册8章答案

第八章空间解析几何与向量代数第1次课空间直角坐标系向量及其线性运算1．在x 轴上求与点(3,1,7)A -及(7,5,5)B -等距离的点．解：设所求点为(,0,0)x ，据题意知：22(3)149(7)2525x x --++=-++得2x =，于是所求点为(2,0,0)．2．把ABC ∆的BC 边三等分，设分点依次为12,D D ，再把各分点与点A 连接起来，试以,AB c BC a −−→→−−→→==表示向量−→−−→−A D A D 21,．解：113D A c a −−→=-- ，2D A −−→23c a =-- ．3．已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算向量123M M -的模、方向角．解：1236M M -= ,2,,343πππαβγ===．4．求平行于向量(3,2,1)a →=-的单位向量．解：0(aa→=5．已知||3a →=，其方向余弦31cos ,32cos ==βα，求向量a →的坐标表示式．解：设(,,)x y z a a a a →=，则2cos 3x aaα==，1cos 3y a a β== ，所以2x a =，1y a =. 又222cos cos cos 1αβγ++=，得24cos 9γ=，2cos 3γ=±． 2cos 3z a aγ==± ，所以2z a =±，于是，所求向量a →的坐标表示式为(2,1,2)a →=±．6．一向量的终点为)7,1,2(-B ,它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为4,4-和1，求该向量的起点A 的坐标.解：设起点A 的坐标为(,,)x y z ，则由24,14,71x y z -=--=--=可得(,,)(2,3,6)x y z =-．7．设32a i j k →→→→=--,2b i j k →→→→=+-，求(1)→→→→⨯⋅b a b a ,；(2) ,3)2(→→⋅-b a →→⨯b a 2；(3) ),cos(→∧→b a ；（4）b prj a →．解：（1）3,57a b a b i j k →→→→⋅=⨯=++ ；（2）(2)318a b →→-⋅=-，210214a b i j k →→⨯=++ ；（3）cos(,)14a ba b a b→→→∧→→→⋅==；（4）cos 14b prj a a ϕ→→===．8．已知)2,1,1(M 1-，)1,3,3(M 2，)3,1,3(M 3，求与−→−21M M 、−→−32M M 同时垂直的单位向量．解：设所求单位向量(,,)a x y z →=．12(2,4,1)M M −−→=-，23(0,2,2)M M −−→=-．1223M M M M ⨯241644022i j ki j k =-=---所求单位向量a →=12231223M M M M M M M M ⨯⨯=±． 9．已知(3,0,4),(5,2,14)OA OB =-=--，求AOB ∠平分线上的单位向量．解：AOB ∠平分线上的一个向量为011(3,0,4)(5,2,14)515OC OA OB =+=-+-- 2(2,1,1)15=-．所以，所求的AOB ∠平分线上的单位向量为OC OC= ． 10．若向量3a b + 垂直于75a b - ，4a b - 垂直于72a b - ，求a 和b之间的夹角．解：由题意知：(3)(75)0a b a b +⋅-= ，(4)(72)0a b a b -⋅-=22716150a a b b +⋅-= ，2273080a a b b -⋅+=整理得：24623a b b ⋅= ，22a b b ⋅= ，将22a b b ⋅= 代入22716150a a b b +⋅-= 得，a b = ，又22112cos(,)2b a b a b a b b→→→→∧→→→→⋅===故1(,)arccos23a b π→∧→==． 11．在Oxy 面上，求垂直于(5,3,4)a =-，并与a 等长的向量b ．解：设b (,,0)x y =，则b ===2250x y +=又由a b ⊥ ，可得 530x y -=．于是解方程组2250x y +=，530x y -=得1717x y ==或,1717x y =-=- 即b(,1717=或b(,0)1717=--． 12．求向量(3,12,4)a =- 在向量(1,0,2)(1,3,4)b =-⨯-上的投影．解：(1,0,2)(1,3,4)b =-⨯-102(6,2,3)134i j k=-=-．b prj a→(3,12,4)a b →→=⋅=-67=13．设向量4=α，3=β，6),(^πβα=，求以βα2+和βα3-为边的平行四边形的面积．解：以βα2+和βα3-为边的平行四边形的面积为22(2)(3)3()2()6S αβαβααββαβ=+⨯-=-⨯+⨯-^55s i n (,)543s i n6παβαβαβ=⨯=⋅⋅=⨯⨯30=提高题：设(2,1,2),(1,1,)a b z =--=，问z 为何值时^(,)a b 最小？并求出此最小值．解：记^(,)a b ϕ=，则cos a ba bϕ→→→→⋅==所以，ϕ=d1d3zϕ==当4z<-时，dd zϕ<；当4z>-，dd zϕ<．所以，当4z=-时，^(,)a bϕ=有最小值，且min4πϕ==．第2次课平面及其方程空间直线及其方程1．求满足下列条件的平面方程：（1）过点1(1,2,0)M和2(2,1,1)M且垂直于平面П：1=-xy．解：所求平面的法向量()1,1,0(1,1,1)110111i j kn=-⨯-=--i j=+．所求平面方程为1(1)1(2)0x y⋅-+⋅-=，即30x y+-=．（2）过点(2,3,0)A -，(1,1,2)B -且与向量{4,5,1}a →=平行．解：所求平面的法向量()3,4,2(4,5,1)342451i j kn =-⨯=- 14531i j k =-++所求平面方程为14(2)5(3)310x y z -⋅++⋅-+=，即14531430x y z --+=（3）过(1,1,1),(2,2,2)A B ---和(1,1,2)C -．解：所求平面的法向量()3,3,3(0,2,3)333023i j kn =--⨯-=--- 396i j k =-++．所求平面方程为3(1)9(1)6(1)0x y z -⋅-+⋅-++=，即320x y z -++=．2．求平行于平面6650x y z +++=，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面．解：设所求平面方程为1x y za b c++=．由题意知 116111/6/1/6abc t ab c ⎧=⎪⎪⎨⎪===⎪⎩得111,,66a b c t t t ===，将其代入116abc =，得16t =．所以 1,6,1a b c ===故所求平面方程为116x y z ++=． 3．一平面通过Oz轴与平面27x y +=的夹角为3π，试求此平面方程．解：因为所求平面过Oz ，所以可设平面方程为0Ax By += （1）则其法向量为(,,)A B O ．平面27x y +=的法向量为(2,1,．因为所求平面与已知平面的夹角为3π，所以cos 3π=223830A AB B +-= （2）联立（1）、（2）解得 13A B =再由A B 、不同时为零，代入式(1)可得所求平面方程为 30x y +=或30x y -=．4．求与两直线112x y t z t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z ++-==都平行、且过原点的平面方程．解：{}{}120,1,1,1,2,1s s ==由题意所求平面平行于两直线，则平面的法向量n与该两直线的方向向量垂直，即12011121i j kn s s i j k =⨯==-+-又平面过原点，所以所求平面方程为即 0x y z -+=．5．求满足下列条件的直线方程：（1）过点(4,1,3)-且平行于直线31122-=-=-z y x ．解：方向向量(2,1,3)s =- ，故所求直线方程为413213x y z -+-==-．（2）过点(5,2,3)-且垂直于平面132=+-z y x 的直线方程．解：方向向量(2,3,1)s = ，故所求直线方程为523213x y z --+==-．（3）过点(0,2,4)且与直线⎩⎨⎧=-=+2312z y z x 平行．解：12(1,0,2),(0,1,3)n n ==-．方向向量s = 12102(2,3,1)013i j kn n ⨯==--故所求直线方程为34221x y z --==-．6．试求直线21:24x y z L x y z ++=⎧⎨++=⎩的对称式方程和参数方程．解：直线L 的方向向量为{}11321112121--==⨯=,,kj i n n v 点（-2，0，3）在直线L 上，所求直线L 的对称式方程：13132--=-=+z y x7．求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面220x y z -+=的夹角．解：12(1,1,3),(1,1,1),(2,2,1)n n n ==--=-．方向向量s = 12113(2,4,2)111i j kn n ⨯==---．则sin s n s nϕ⨯==⋅故所求夹角为arcsin6． 8．求直线⎩⎨⎧=++-=--+0220532:z y x z y x l 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程．解：包含l 的平面束方程为235(22)0x y z x y z λ+--+-++=．(12)(2)(3)520x y z λλλλ++-+--+= 12(4,1,1),(12,2,3)n n λλλ=-=+--则124(12)(2)(3)1010n n λλλλ⋅=+--+-=-= ，得110λ=．故所求投影直线方程为12192948041x y z x y z +--=⎧⎨-+=⎩．提高题：1．已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)，线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积．第3次课曲面及其方程空间曲线及其方程1．建立以点(1,3,2)-为球心，且通过坐标原点的球面方程．解：2222(1)(3)(2)x y z R -+-++= 因为过原点，得214R =．所求球面方程为222(1)(3)(2)14x y z -+-++=．2．一动点与两定点)1,3,2(和)6,5,4(等距离，求该动点的轨迹方程．解：设该点坐标为(,,)x y z ，则=所以该动点的轨迹方程为441063x y z ++=．3．求下列旋转曲面的方程：（1）xOy 面上的椭圆22221x y a b+=绕x 轴旋转所形成的旋转面的方程为（ 122222=++bz y a x ）．（2）zOx 面上的抛物线22x z =绕x 轴旋转的旋转抛物面方程是（ 222y z x += ）．（3）yOz 面上曲线22yz =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程为（ 222()z x y =+ ）．（4）xOy 面上曲线9422=+y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程为（ 222()94x z y ++= ）． 4．方程222y z x +=表示的二次曲面是（圆锥面）．5．方程221x y +=在空间所表示的图形是（圆柱面）． 6．方程22201x y x x z ⎧+-=⎨+=⎩代表的图形是（椭圆）．7．曲线22251x y z z ⎧++=⎨=⎩在xOy 面上的投影曲线方程为（ ⎩⎨⎧==+0422z y x ）． 8．曲线222112x y z z ⎧++=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影曲线方程为（ ⎪⎩⎪⎨⎧==+04322z y x ）． 9．下列曲面是否是旋转曲面？若是，它是如何产生的？（1）z y x 422=+ （2）14425222=--z y x 解：（1）是，由xOz 面上曲线24x z =绕z 轴旋转而成，或yOz 面上曲线24y z =绕z 轴旋转而成．（2）是，由xOy 面上曲线221254x y -=绕x 轴旋转而成，或xOz 面上曲线221254x z -=绕x 轴旋转而成．10．画出下列曲面（或立体）的图形：（1）)(222y x z += （2）Rz z y x 2222=++（3）22y x z +=与222y x z --=所围的立体11．求以直线113:234x y z L ---==为中心轴，底半径为2的圆柱面方程．解：圆柱面是到直线L 的距离为2的动点轨迹，设所求圆柱面上点的坐标为(,,)x y z ，由点到直线的距离公式知2=将上式两边平方，整理即得所求圆柱面方程为16(1)(3)12(1)(1)580x z x y --+--+=2．证明：直线0:x z l a c y b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在曲面2222221x y z a b c +-=上．证明：曲面2222221x y z a b c+-=是一个单叶双曲面，要证明直线l 在该曲面上，只需证明只需l 上的每一点都在该曲面上．直线l 的参数方程为:x at l y b z ct =⎧⎪=⎨⎪=-⎩将上式代入曲面方程，满足曲面2222221x y z a b c+-=方程，故直线l 在曲面上．13．求曲线222222:x y z l z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩，在xOy 平面上的投影曲线的方程．解：在曲线l 方程中消去z ，即得曲线l 在xOy 平面上的投影柱面方程为22222()2x y x y +++=即 2222(2)(1)0x y x y +++-=因为2220x y ++≠，所以有2210x y +-=，故所求投影曲线方程为 2210x y z ⎧+=⎨=⎩提高题：1．椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是经过点(4,0)且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成． (1) 求1S 及2S 的方程；(2) 求1S 及2S 之间的立体体积．第4次课第八章总复习题1．设3,4a b == ，且a b ⊥ ，求()()a b a b +⨯- ．解：因为a b ⊥ ，^sin(,)sin 12a b π== 故^()()22sin(,)243124a b a b b a b a a b +⨯-=⨯==⨯⨯⨯=2．设(2,3,1),(1,2,5),,a b c a c b =-=-⊥⊥ ，且(27)10c i j k ⋅+-= ，求 c ．解：设(,,)c x y z = ，由,c a c b ⊥⊥ 有230250270x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，得65155,,12412x y z ===，所以65155(,,)12412c = ． 3．设()2a b c ⨯⋅= ，求[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+ ．解：[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+()()a b b b a c b c c a =⨯+⨯+⨯+⨯⋅+()()a b a c b c c a =⨯+⨯+⨯⋅+()()()()()()a b c a c c b c c a b a a c a b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅2()a b c =⨯⋅4=4．直线过点(3,5,9)A --，且与两直线135:23y x L z x =+⎧⎨=-⎩和247:510y x L z x =-⎧⎨=+⎩相交，求此直线方程．解：设所求直线方程3:59x lt L y mt z nt =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩因为直线L 与1L 和2L 相交，所以59359623mt lt nt lt +=-++⎧⎨-+=-+-⎩，即(3)92m l t n l-=-⎧⎨=⎩ 51247915510mt lt nt lt +=-+-⎧⎨-+=-++⎩即(4)24(5)4m l t n l t -=-⎧⎨-=⎩得2,22n l m l ==．令1l =，则2,22n m ==．故所求直线方程为3:52292x t L y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩．5．求过点(1,0,4)-，平行于平面340x y z -+=，且与直线132z x y +=-=相交的直线方程．解：设所求直线方程为1,(,,)4x lt y mts l m n z nt =-+⎧⎪==⎨⎪=+⎩．平面的法向量(3,4,1)n =- ，由于直线与平面平行，所以n s ⊥ ，即340l m n -+= 因为两直线相交，故有432nt lt mt +=-+=． ()3(2)4m l t l n t -=⎧⎨-=⎩，即43100m n l +-= 于是得419,728l n m n ==．令28n =，得16,19l m ==．故所求直线方程为31619428x t y t z t =-+⎧⎪=⎨⎪=+⎩．6．求通过下列两平面1:220x y z ∏+--=和2:32210x y z ∏--+=的交线，且与平面3:32360x y z ∏++-=垂直的平面方程．解：设所求平面方程为(22)(3221)x y z x y z λμ+--+--+= 即 (23)(2)(2)(2)x y z λμλμλμλμ++-+--+-+= 由于该平面⊥平面2∏，所以它们的法向量一点互相垂直，于是3(23)2(2)3(2)0λμλμλμ++-+--=得50λμ-=．取1,5λμ==，代入(22)(3221)0x y z x y z λμ+--+--+=，得所求平面方程为1791130x y z --+=．7．求与两平面632350x y z ---=和632630x y z ---=相切的球面方程，其中的一个切点为(5,1,1)--．解：由两平行平面的距离公式4d ==所以，球半径为2．求出另一个切点，过点作平面的法线方程561312x t y t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=--⎩代入另一个平面方程，得47t =．从而得到球心坐标为471311(,,)777--．故所求球面方程为 222471311()()()4777x y z -++++= 8．求曲线22222(1)(1)z x y z x y ⎧=--⎪⎨=-+-⎪⎩在三个坐标面上的投影曲线的方程．解：方程组消z ，得22x y x y +=+，故曲线在xOy 面上的投影为 2200x y x y z ⎧+--=⎨=⎩ 同理可得曲线在yOz 面上和xOz 面上的投影为222243200y z yz y z x ⎧++--+=⎨=⎩和222243200x z xz x z y ⎧++--+=⎨=⎩。

高等数学(经济类)课后习题及答案第八章空间解析几何答案

习题8-1（A ）1．求空间两点(1,2,2)A 与(1,0,1)B -之间的距离．解：3AB ==．2．写出点()456A -，，的对称点坐标：（1）分别关于xOy 、yOz 、xOz 平面的对称点坐标；（2）分别关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点坐标；（3）关于原点的对称点坐标．答案：（1）(4,5,6)--；(4,5,6)--；(4,5,6)．（2）(4,5,6)-；(4,5,6)---；(4,5,6)-．（3）(4,5,6)--．3．判断由()123A ，，，()315B ，，，()243C ，，三点构成的三角形的形状．解：因为3AB ==，AC ==BC ==，进一步，计算可得222AB AC BC +=，所以ABC ∆为直角三角形．4．求点(,,)M x y z 到各个坐标轴之间的距离．答案：M 点到x 轴的距离x d =M 点到y 轴的距离y d =，M 点到z 轴的距离z d =5．在x 轴上求一点M ，使它到点()321A -，，和()314B ，，的距离相等．解：由题意设点(,0,0)M x ，且满足MA MB ==，解得1x =，所以(1,0,0)M ．6．一动点(,,)M x y z 与定点0000(,,)M x y z 的距离为R (0)R >，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意0MM R =R =，即2222000()()()x x y y z z R -+-+-=． 7．一动点(,,)M x y z 与两定点(1,2,3)A 与(2,1,4)B -距离相等，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意MA MB == 整理得26270x y z -+-=．习题8-2（A ）1．设向量23u a b c =+-，32v a b c =-+，求2v u -．解：2(61)(22)(43)547v u a b c a b c -=-+--++=-+．2．已知点C 是线段AB 的中点，O 是线段AB 外一点，若OA a =，OB b =，求OC ．解：由题意知AB b a =-，122b a AC AB -==，因此，22b a a b OC OA AC a -+=+=+=． 3．设点N M ,分别是四边形ABCD 两对角线BD 与AC 之中点，若AB a =， CDc =，求MN ．解：设BC 中点为E ，中位线1122EM CD c ==，中位线1122NE AB a ==，所以在MNE ∆中，1()2MN ME EN a c =+=-+． 4．已知向量(1,2,3)a =-，求2a -以及与a 平行的单位向量e ．解：22(1,2,3)(2,4,6)a -=--=--，与a 平行的单位向量1e 2,3)14a a =±=±-． 5．若2a =，1b =，且向量a 与b 的夹角为π6，求：（1）a b ⋅；（2）(2)(3)a b ⋅-；（3）()(2)a b a b +⋅-；（4）a b ⨯；（5）(2)(3)a b ⨯-；（6）()(2)a b a b +⨯-．解：（1）cos 212a b a b θ⋅==⋅⋅= （2）(2)(3)663a b a b ⋅-=-⋅=-；（3）222222()(2)222212a b a b a ab b a ab b +⋅-=--=--=⋅=-；（4）1sin 2112a b a b θ⨯==⋅⋅=；（5）(2)(3)66a b a b ⨯-=⨯=；（6）()(2)22333a b a b a a a b b a b b a b a b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯=．6．已知向量(2,2,1)a =-、(1,2,3)b =，求a b ⋅ 、a b ⨯及Pr j a b ．解：21(2)2131a b ⋅=⋅+-⋅+⋅=； 221856(8,5,6)123i j ka b i j k ⨯=-=--+=--；3a =，14b =，由a b ⋅1=可知cos θ=，所以1Pr j cos 3a b b θ==． 7．设()1,2,3M ，(2,1,3N ，求向量MN 的方向角和方向余弦．解：(1,MN =-，2MN =，方向余弦 1cos 2α=，1cos 2β=-，cos γ= 方向角 3πα=， 23πβ=，4πγ=． 8．一向量的终点为)7,1,2(-B 且它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4，4-和7，求这个向量的起点A 的坐标．解：由题意可知(4,4,7)AB =-，设A 点坐标为000(,,)x y z ，则024x -=，014y --=-，077z -=，解得02x =-，03y =，00z =，所有A 点坐标为(2,3,0)-．9．若向量(,2,1)a k =-与向量(,2,3)b k k =-垂直，求k 值．解：2430a b k k ⋅=--=，解得1k =-或4k =．10．求与向量(2,2,1)a =、(4,5,3)b =都垂直的单位向量．解：由题意22122(1,2,2)453i j kc a b i j k =⨯==-+=-，且3c =，故所求单位向量为1(1,2,2)3±-．11.已知点()1,1,1M ，()2,2,1A ，()2,1,2B ，求AMB ∠．解：因为()1,1,0MA =，()1,0,1MB =，所以111cos2MA MBAMB MA MB ⋅⋅∠===⋅，因此3AMB π∠=． 12．若a 与b 垂直且都是单位向量，求以u a b =+，v a b =-为邻边的平行四边形面积．答案：2．解析：由题意1a b ==，由向量积的几何意义可知该平行四边形的面积为： ()()22S u v a b a b a a a b b a b b a b a b =⨯=+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯2sin 21112a b θ==⋅⋅⋅=．习题8-2（B ）1．证明向量()()b c a a c b ⋅-⋅与向量c 垂直．证：()()()()()()()()b c a a c b c b c a c a c b c b c a c a c b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅⎣⎦，因为()()()()b c a c a c b c ⋅⋅=⋅⋅，故，所以()()b c a a c b c ⎡⎤⋅-⋅⊥⎣⎦． 2．用向量证明三角不等式+AC BC AB <．证：设AB c =，AC b =，BC a =，则a c b +=，两边平方得22()a c b +=，即2222a c ac b ++=．又因22a a =，22c c =，22b b =，又2222cos b a c a c B =++，所以即2222b a c a c <++，故+AC BC AB <．3．已知向量,a b 满足5a =，6b =，15a b ⨯=，求a b ⋅．解：sin 30sin 15a b a b θθ⨯===，1sin 2θ=，cos 2θ=±，所以cos a b a b θ⋅==±． 4．已知向量,a b 满足a b ⊥，且3a =，4b =，求()()a b a b +⨯-．解：()()a b a b a a a b b a b b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯，因为0a a ⨯=，0b b ⨯=，a b b a ⨯=-⨯，则()()222sin a b a b a b a b a b θ+⨯-=-⨯=⨯=，又因a b ⊥，sin 1θ=，所以()()2sin 24a b a b a b θ+⨯-==． 5．已知向量a 、b 、c 两两垂直，且1a =、2b =、3c =，设s a b c =++，求s 以及s 与a 的夹角．解：22222()22214914s a b c a b c ab bc ac =++=+++++=++=，所以14s =.又因2()1s a a b c a a ⋅=++⋅==，所以=cos 1s a s a θθ⋅==，故 s 与a 的夹角θ=． 6．两个非零向量a 和b 满足如下条件：向量3a b +与75a b -垂直，并且向量4a b -与72a b -垂直，求向量a ，b 的夹角．解：设向量a 与b 的夹角为θ，由(3)(75)a b a b +⊥-，有 220(3)(75)7151671516cos a b a b a a b b a b a b a b θ=+⋅-=⋅-⋅+⋅=-+；由(4)(72)a b a b -⊥-，有 220(4)(72)78307830cos a b a b a a b b a b a b a b θ=-⋅-=⋅+⋅-⋅=+-，上述两个方程联立，解得 21cos =θ，得π3θ=，所以向量a 与b 的夹角为π3．习题8-3（A ）1．分别求满足下列各条件的平面方程：（1）过点(3,2,4)M --且垂直于x 轴；（2）过点(2,0,1)M -且平行于平面3753x y z -+=；（3）过点(2,9,6)M 且与线段OM 垂直，其中O 为坐标原点；（4）过三点(2,1,4)A -，(1,3,2)B --，(0,2,3)C ；（5）线段AB 的垂直平分面，其中(0,3,6)A ，(2,1,4)B -；（6）平行于xOz 平面且过点(2,4,3)M -；（7）过y 轴和点(1,4,1)M --；（8）过x 轴且垂直于平面03245=+-+z y x ；（9）过原点及点(6,3,2)M 且垂直平面8345=-+z y x ；（10）过点(2,1,1)M -且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和1．解：（1）由于所求平面垂直于x 轴，故所求平面平行于yOz 平面，所以所求平面的方程为3x =；（2）设所求平面为375x y z k -+=，又因为其过点(2,0,1)M -，代入得1k =，所以所求平面方程为3751x y z -+=；（3）向量(2,9,6)OM =即为所求平面的法向量，又平面过点(2,9,6)M ，所以所求平面方程为2(2)9(9)6(6)0x y z -+-+-=，即296121x y z ++=；（4）所求平面的法向量为(3,4,6)(2,3,1)(14,9,1)n AB AC =⨯=--⨯--=-，代入点(2,1,4)A -，得到所求平面方程为14(2)9(1)(4)0x y z -++--=，即14915x y z +-=；（5）(2,4,2)AB =--即为所求平面的法向量，且过线段AB 的中点(1,1,5)，所以所求平面方程为2(1)4(1)2(5)0x y z -----=，即260x y z --+=；（6）由题意所求平面垂直于y 轴，且过点(2,4,3)M -，所以所求平面方程为4y =-；（7）设所求平面方程为0Ax Cz +=，代入点(1,4,1)M --得A C =，所以所求平面方程为0x z +=；（8）所求平面的法向量为1(1,0,0)(5,4,2)(0,2,4)n i n =⨯=⨯-=，且过原点，所以所求平面方程为20y z +=；（9）所求平面的法向量为1(6,3,2)(5,4,3)(17,28,9)n OM n =⨯=⨯-=-，所以所求平面方程为172890x y z -++=；（10）由题意设所求平面的截距式方程为121x y z c++=，其中c 为平面在z 轴上的截距，代入点(2,1,1)M -，解得1c =，所以所求平面为1211x y z ++=． 2．指出下列各平面的特殊位置，并作平面的草图：（1）0=z ；（2）012=-x ；（3）1=+y x ；（4）02=-z x ；（5）0=++z y x ；（6）1432=+-z y x ．答案：（1）xOy 平面；（2）垂直于x 轴的平面；（3）平行于z 轴的平面；（4）平行于y 轴的平面；（5）在x 轴、y 轴和z 轴上截距全为1的平面；（6）在x 轴、y 轴和z 轴上截距分别为2、3-和4的平面；3．求平面072=-+-z y x 与平面0112=-++z y x 的夹角．解：1(2,1,1)n =-，2(1,1,2)n =， 11111cos 24n n n n θ⋅===，所以两平面夹角π3θ=． 4．一平面过点(5,4,3)M 且在各坐标轴上的截距相等，求该平面方程．解：由题意设所求平面方程为1()1x y z a++=，代入(5,4,3)M 得12a =，所以所求平面为12x y z ++=．5．一平面过点(3,1,5)M --，且与平面3227x y z -+=-和5431x y z -+=-都垂直，求该平面方程．解：由题意知所求平面的法向12(3,2,2)(5,4,3)(2,1,2)n n n =⨯=-⨯-=-，又知其过点(3,1,5)M --，所以得到所求平面方程为2(3)(1)2(5)0x y z -++-+=，即2215x y z +-=．6．求点(4,2,3)M -到平面25x y z +-=的距离．解：由点到平面的距离公式可得d ===习题8-3（B ）1．一平面过两点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B ,且在三个坐标轴上的截距之和为零，求该平面方程．解：设所求平面方程为1x y z a b c++=，且0a b c ++=，将点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B 代入平面方程中，联立方程组解得3,6,9a b c ===-，或3,2,1a b c ==-=-，所以所求平面方程为1369x y z ++=-或1321x y z ++=--． 2．一动点(,,)M x y z 与平面1=+y x 的距离等于它到z 轴的距离，求动点M 的轨迹．解：由题意点M 到z轴的距离为，点M 到平面1=+y x，所以=，解得2222210x y xy x y +-++-=，即为动点M 的轨迹． 3．设平面π位于平面0221=-+-z y x ：π与平面0622=-+-z y x ：π之间，且将此两平面的距离分为1︰3，求平面π的方程．解：平面1π与2π之间的距离为641)2(126222=+-++-．设所求平面方程为02=++-D z y x ：π，则π与1π的距离应为611=d ，π与2π的距离应为632=d ，而666221+=+=D d D d 、，于是3612=+=+D D 、，得3-=D ，所以所求平面方程为032=-+-z y x ：π．4．一平面与平面632120x y z +++=平行，若点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，求该平面的方程．解：依题意设所求平面方程为6320x y z D +++=，又点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，则=，即164D =+，得20D =-，12D =（舍），所以所求平面方程为632200x y z ++-=．5．求过x 轴且与点)5,0,2(M 的距离为5的平面方程．解：由π过x 轴，设所求平面方程为0=+Cz By ，由点)5,0,2(M 到π的距离为，有5522=+C B C，即2225C B C +=，得C B 2±= ，所求方程为02=+±Cz Cy ，即02=±z y ． 6．求平行于平面2250x y z +++=且与三坐标平面所构成的四面体的体积为1个单位的平面的方程．解：设所求平面的方程为220x y z D +++=，即122x y z D D D ++=---，由题意 11622D D V D =-⋅-⋅-=，解得D =±220x y z ++±=．习题8-4（A ）1．分别求满足下列各条件的直线方程：（1）过点)1,2,1(-M 且与直线43121zy x =--=+平行；（2）过原点垂直于平面03=-++z y x ；（3）过两点)1,2,3(-A ，)2,0,1(-B ；（4）过点)4,2,0(M 且与两平面12=+z x 及23=-z y 都平行；（5）过点)1,2,1(-M 且与直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩，平行．答案：（1）121234x y z --+==-；（2）x y z ==；（3）321421x y z -+-==-（或12421x y z +-==-）；（4）24231x y z --==-；（5）121311x y z +--==-． 2．分别求满足下列各条件的平面方程：（1）过点)1,1,2(M 且垂直于直线20210x y z x y z +-=⎧⎨+-+=⎩，；（2）过点)2,1,3(-M 及直线12354zy x =+=-；（3）过z 轴，且平行于直线L ：102340x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩，；（4）过两平行直线13121-=+=-z y x 与 11322--=-=z y x ．答案：（1）36x y z ++=；（2）892259x y z --=；（3）40x y +=；（4）697x y z -+=．3．用对称式方程及参数方程表示直线123 4.x y z x y z -+=-⎧⎨-+=-⎩，解：先在直线上找一点，令1x =，解方程组236z y y z -=-⎧⎨-=⎩，得0,2y z ==-.故点(1,0,2)-在直线上．再求直线的方向向量s ，由题意可知12(2,1,1)s n n =⨯=--，所以对称式方程为12211x y z -+==--，从而参数式方程为122.x t y t z t =-⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩，， 4．求两直线113:141x y z L -+==-与220:20x y L x z ++=⎧⎨+=⎩ 的夹角．解：由已知，有直线2L 的方向向量为(1,4,1)-，直线2L 的方向向量为(2,2,1)--，由夹角公式可得cos 2θ==，所以π4θ=． 5．求直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面02=+-z y x 的夹角ϕ．解：直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩的方向向量113(242)2(121)111ijks ==-=---，，，，，平面02=+-z y x 的法线向量(112)n =-，，，由直线与平面的夹角公式，有1πarcsinarcsin26s n s nϕ⋅====⋅． 6．试确定下列各组中的直线与平面的位置关系：（1）37423zy x =-+=-+和3224=--z y x ；（2）723z y x =-=和8723=+-z y x ；（3）431232--=+=-z y x 和3x y z ++=；（4）310220x y z x y +-+=⎧⎨--=⎩和253x y z ++=．答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行；（4）垂直．7．求直线11321x y z+-==- 与平面010=-+-z y x 的交点．解：将直线11321x y z+-==-改写为参数方程t z t y t x =+-=-=、、1213，将其代入到平面方程010=-+-z y x 之中，有0101213=-+-+-t t t ，即0126=-t ，得2=t ，再将2=t 代到直线的参数方程之中，得235=-==z y x 、、，所以直线与平面的交点为(532)-，，．8．设直线1:112y L x z -==+，222:102x z L y +-=-=-，求同时平行于12,L L 且与它们等距的平面方程．解：所求平面的法向量12(5,2,1)n l l =⨯=---，则其方程为520x y z D +++=，下面求D ．在1L 上取点1(1,0,1)M -，在2L 上取点2(2,1,2)M -，利用点到平面距离相等可得：=，解得1D =.因此，所求平面为5210x y z +++=． 9．求点(1,2,0)M -在平面点012=+-+z y x 上的投影．解：做过点(1,2,0)M -且垂直于平面012=+-+z y x 的直线方程为12121x y z+-==-，该直线与平面的交点522,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭即为所求的投影点．习题8-4（B ）1．求点(2,1,3)A 关于直线11:321x y zL +-==-的对称点M 的坐标．解：设000(,,)M x y z ，过(2,1,3)A 做平面L ∏⊥，则的方程为∏325x y z +-=，求得直线L 与平面∏的交点为2133,,777B ⎛⎫-⎪⎝⎭，则点B 是线段AM 的中点，因此由中点公式得101927,,777M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．2．求原点关于平面6291210x y z +--=的对称点.解：过原点做该平面的垂线629x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，代入平面方程解得1t =，得直线与平面的交点为(6,2,9)-．设所求对称点为(,,)x y z ，则有0006,2,9222x y z +++===-，所以(,,)(12,4,18)x y z =-． 3．求点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离．解：过点()1,1,4M 作一个垂直于直线234112x y z ---==的平面，方程为(1)(1)2(4)0x y z -+-+-=，即2100x y z ++-=将直线234112x y z ---==的参数方程2324x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入到平面方程中，得12t =- 所以直线与平面的交点坐标为35,,322⎛⎫⎪⎝⎭，所以点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离为点()1,1,4M 与交点35,,322⎛⎫⎪⎝⎭的距离，即所求4．设直线L 在yOz 平面上的投影方程为231y z x -=⎧⎨=⎩，在zOx 平面上的投影方程为20x z y +=⎧⎨=⎩，求直线L 在xOy 平面上的投影方程．解：设过直线L 的平面束方程为231(2)0y z x z λ--++-=，即2(3)120x y z λλλ++---=，若该平面与z 轴平行，则有3λ=，所以L 在xOy 平面上的投影方程为327x y z +=⎧⎨=⎩．5．若直线131:23x y z L m --==-与2243:340x y z L +--==-相交，求m 的值及其交点的坐标．解：两直线相交即共面，有12120s s M M ⨯⋅=，12(12,9,83)s s m ⨯=----，12(5,3,3)M M =-，所以1m =．下面求交点：将直线方程改写为参数方程123:13x t L y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，232:443x k L y k z =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，1L 与2L 相交时，下列方程组应有解：233214433t k t k t +=-⎧⎪+=-+⎨⎪-=⎩，解得1,1t k =-=，代入参数方程得到交点坐标为(1,0,3)．6．求过直线2821705810x y z x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩且与球面2221x y z ++=相切的平面方程．解：所求平面为28217(581)0x y z x y z λ+-+++-+=，即 (15)(288)(2)170x y z λλλλ+++-+++=，球心为原点，到平面的距离等于半径1，所以1d ==，分子分母平方相等化简得2894285000λλ++=，即(2)(89250)0λλ++=，解得25089λ=-或2λ=-，代入方程，得所求平面为38716424421x y z --=或345x y -=． 7．求过原点，且经过点(1,1,0)P -到直线3:24x z L y x =-⎧⎨=-⎩的垂线的平面方程．解：由已知得L 的方向向量(1,2,1)s =，过点P 做直线L 的垂直平面，其方程为(1)2(1)0x y z -+++=，即210x y z +++=. 设交点0000(,,)P x y z 为直线L 与此平面的交点，解得0002811,,333x y z ==-=. 由于所求平面过原点，可设其方程为0Ax By Cz ++=,将P 、0P 坐标代入平面方程得：028110333A B A B C -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，解得116A B C ==. 故所求平面方程为111160x y z ++=．习题8-5（A ）1．分别写出满足下列各条件的曲面方程：（1）以点0(1,2,3)M -为球心，2R =为半径的球面方程；（2）以点(1,1,2)M -为球心，且过原点的球面方程；（3）与两定点(1,2,1)A -和(3,1,4)B 等距的动点轨迹；（4）与原点O 及定点)4,3,2(A 的距离之比为1﹕2的动点轨迹．答案：（1）222(1)(2)(3)4x y z -+-++=；（2）6)2()1()1(222=-+++-z y x ；（3）2510x y z -+=；（4）22224116(1)339x y z ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．求出下列球面方程的球心坐标及半径：（1）222230x y z z ++--=；（2）2222420x y z x y z ++-++=．答案：（1）球心(0,0,1)，半径2；（2）球心(1,2,1)--． 3．写出满足下列条件的旋转曲面方程：（1）yOz 面上抛物线2y z =绕z 轴旋转一周；（2）yOz 面上直线z y 2=绕y 轴旋转一周；（3）xOy 面上椭圆1322=+y x 分别绕x 及y 轴旋转一周；（4）xOy 面上双曲线1222=-y x 分别绕x 及y 轴旋转一周．答案：（1）22z x y =+；（2）y =± （3）绕x 轴：2223()1x y z ++=，绕y 轴：22231x z y ++=；（4）绕x 轴：2222()1x y z -+=；绕y 轴：22221x z y +-=．4．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称：（1）3x =；（2）221x y -=；（3）2222=+y x .答案：（1）在平面直角坐标系下表示一条直线，在空间直角坐标系下表示一个平面；（2）在平面直角坐标系下表示一条双曲线，在空间直角坐标系下表示一个双曲柱面；（3）在平面直角坐标系下表示一个椭圆，在空间直角坐标系下表示一个椭圆柱面；． 5．画出下列各方程所表示的曲面：（1）22(1)1x y -+=；（2）22194y x -= （3）22194x y +=；（4）22x z +=．答案：略．习题8-5（B ）1．一球面过原点和)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，求该球面的方程．解：设球面方程为222z 0x y z Dx Ey F +++++=，由于它过)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，因此164019301640D D E F +=⎧⎪+++=⎨⎪-=⎩，，解得424.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，因此，该球面的方程为2224240x y z x y z ++--+=． 2．画出下列各曲面所围立体的图形:（1）0z =，3z =，x y =，x =，221x y +=（在第一卦限内）；（2）0x =，0y =，0z =，222x y R +=，222y z R +=（在第一卦限内）．答案：略．习题8-6（A ）1．说出下列曲线的名称，指出曲线的特点并作出曲线的草图.（1）12x y =⎧⎨=⎩，；（2）221z x y z ⎧=+⎨=⎩，；（3）2228x y z z ⎧-=⎨=⎩，；（4）22282.x y z y ⎧-=⎨=-⎩，答案：（1）直线；（2）圆；（3）双曲线；（4）抛物线．2．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称．（1）5232;y x y x =+⎧⎨=-⎩，（2）22211.2x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，答案：（1）在平面直角坐标系下表示一个点，在空间直角坐标系下表示一条直线；（2）在平面直角坐标系下表示两个点，在空间直角坐标系下表示两条直线.3．求曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影．解：由1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，有221x y +=.因此，曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影为2210.x y z ⎧+=⎨=⎩，4．求曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影．解：由2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，，有223216x z +=. 因此，曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影为2232160.x z y ⎧+=⎨=⎩， 5．画出下列空间区域Ω的草图．（1）Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面围成；（2）Ω由圆锥面22y x z +=及上半球面222y x z --=围成；（3）Ω由抛物面z x -=12，平面0=y ，0=z 及1=+y x 围成；（4）Ω是由不等式222R z x ≤+及222R z y ≤+确定的第一卦限的部分．答案：略．6．作出下列空间区域在xOy 面及xOz 面上的投影区域．（1）介于球面22224a z y x =++内的圆柱体222)(a y a x ≤+-；（2）Ω由圆锥面22y x z +=及抛物柱面x z 22=围成．答案：略．习题8-6（B ）1．分别求母线平行于x 轴与y 轴且都通过曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程．答案：平行于x 轴：22316y z -=；平行于y 轴：223216x z +=．2．求曲线22229x y z y z⎧++=⎨=⎩的参数方程．答案：3cos ,(02π)x y z θθθθ=⎧⎪=≤<⎨⎪=⎩．总习题八一、填空题1．设向量a m n =+，2b m n =-，且2m =，1n =，m 与n 的夹角π3θ=，则向量a 与b 的数量积a b ⋅= ；答案：1．解析：2222()(2)2cos 2a b m n m n m mn n m m n n θ⋅=+-=--=--142212=-⋅-=． 2．同时垂直于()1,2,1a =和()3,4,5b =的单位向量为；答案：)6,2,2--．解析：c a b =⨯=()1216,2,2345i j k=--，211c =所以)016,2,2211c c c==±--，即为所求单位向量． 3．设单位向量0a 的两个方向余弦为1cos 3α=，2cos 3β=，则向量0a 的坐标为；答案：0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭．解析：设第三个方向角为γ，由222cos cos cos 1αβγ++=，得2cos 3γ=± 所以0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭． 4．过点(3,1,2)M -且平行于直线121:2329x y z L x y z ++=⎧⎨++=⎩，和直线223:34x y z L x y z --=-⎧⎨++=⎩，的平面方程是；答案：32x y z ++=．解析：由题意可求得两直线的方向向量分别为1(1,2,1)(2,3,2)(1,0,1)s =⨯=-，2(2,1,1)(1,3,1)(2,3,7)s =--⨯=-，所以所求平面的法向量为12(3,9,3)n s s =⨯=---，又因为所求平面过点(3,1,2)M -，由点法式得平面方程为3(3)9(1)3(2)0x y z ---+--=，化简得32x y z ++=．5．过点()0,2,3M -且与平面23x z +=垂直的直线方程为；答案：2302y z x -+==．解析：因为所求直线与所给平面垂直，所以方向向量为()1,0,2n =由对称式得所求直线方程为2302y z x -+==． 6．过点)3,1,3(-且通过直线211132-=+=-z y x 的平面方程是；答案：247x y z -++=-．解析：点)3,1,3(-与题中的直线共面，所以点)3,1,3(-和直线通过的点(2,1,1)-所形成的向量1(1,0,2)s =--，直线的方向向量为2(3,1,2)s =，所求平面的法向量为12n s s =⨯(2,4,1)=-，所求平面方程为247x y z -++=-．7．xOz 平面上的抛物线22x z =+绕x 轴旋转所形成的旋转曲面方程是，绕z 轴旋转所形成的旋转曲面方程是；答案：绕x 轴的旋转曲面方程是222()x y z =++，绕z 轴的旋转曲面方程是2222(2)x y z +=+．8．曲线2221x y z y x⎧+-=⎨=⎩在xOz 平面上的投影是；答案：22210x z y ⎧-=⎨=⎩．解析：曲线在xOz 坐标平面上的投影是xOz 坐标平面上的柱面与xOz 坐标平面的交线，xOz 坐标平面上的柱面方程是2221x z -=，xOz 坐标平面的0y =，故投影方程是2221x z y ⎧-=⎨=⎩．二、选择题：1．设向量a 与b 满足a b a b +=-，则a 与b 一定（）； (A) 平行 (B) 同向 (C) 反向 (D) 垂直答案：C ．解析：当a 与b 反向时，a b a b +=-，故选C ． 2．设向量()()u b c a a c b =⋅-⋅，则有（）；.(A) u 与a 垂直 (B) u 与b 垂直 (C) u 与c 垂直 (D) u 与c 平行答案：C ．解析：()()u b c a a c b =⋅-⋅两边乘以c ，则()()()()0u c b c a c a c b c ⋅=⋅⋅-⋅⋅=，故u 与c 垂直.3. 已知向量a 的方向平行于向量(2,1,2)b =--和(7,4,4)c =--之间的角平分线，且56a =，则a =（）；(A) 5(1,7,2)3- (B) 2(1,7,2)3- (C) 5(1,7,2)2- (D) 2(1,7,2)3答案：A ．解析：由题意可知3,9b c ==，则01(2,1,2)3b =--，01(7,4,4)9c =--，于是可设0()(1,7,2)9a b c λλ=+=-，又因56a =，故=15λ=，所以a =5(1,7,2)3-，选A ． 4．设空间直线的方程为043x y z==-，则该直线必定（）；(A) 过原点且垂直于X 轴(B) 不过原点但垂直于X 轴(C) 过原点且垂直于Y 轴 (D) 不过原点但垂直于Y 轴答案：A ．解析：直线通过原点，且直线的方向向量为(0,4,3)s =-，X 轴的单位向量为(1,0,0)i =，所以0s i ⋅=，s i ⊥，选A ．5．已知平面π通过点(1,0,1)-，且垂直于直线30:240x y z L x y --+=⎧⎨-+=⎩，则平面π的方程是（）；(A) 21x y z -+= (B) 21x y z ++= (C) 22x y z -+= (D) 22x y z +-= 答案：B ．解析：由题意所求平面的法向量就是所给直线的方向向量，即(1,1,1)(1,2,0)(2,1,1)n s ==--⨯-=---，所以平面π的方程为210x y z ++-=，选B ．6．若直线121:110x y z L λ--==与直线2210:50x y L x z λ++=⎧⎨-+=⎩垂直，则=λ（）； (A) 4 (B) 2 (C) 2- (D) 2± 答案：2λ=±.解析：直线1L 的方向向量1(1,10,)s λ=，直线2L 的方向向量2(1,2,0)(,0,1)(2,1,2)s λλ=⨯-=--，由题意知12s s ⊥，故120s s ⋅=，所以2λ=±.7．下列结论中错误的是（）；(A) 2230z x y ++=表示椭圆抛物面 (B) 222312x y z +=+表示双叶双曲面(C) 22220x y z +-=表示圆锥面 (D) 24y x =表示抛物柱面答案：B.解析：双叶双曲面的方程为2222221x y z a b c--=，故选择B.8．曲线22z z x y⎧=⎪⎨=+⎪⎩xOy 坐标平面上的投影是（）；(A) 122=+y x (B) 222=+y x(C) 2210x y z ⎧+=⎨=⎩ (D) 222x y z ⎧+=⎨=⎩答案：C ．解析：联立两个曲面z =和22z x y =+，消去z 得到在xOy 坐标平面上的柱面方程为221x y +=，该柱面与xOy 坐标平面0z =的交线即为所求投影，故选C ．三、解答题.1．一单位向量e 与x 轴y 、轴的夹角相等，与z 轴夹角是前者的2倍，求向量e .解：设)2cos ,cos ,(cos ααα=e，由12cos cos cos 222=++ααα，有02sin cos 222=-αα，即0)sin 21(cos 22=-αα，所以2πα=或4πα=（43πα=舍去），于是)1,0,0(-=e 或)0,22,22(=e . 2．设非零向量,a b 满足Pr j 1a b =，计算极限0limx a xb ax→+-．解：原式222()()limlimlim()()x x x a xb aa xb aa xb a xb axx a xb a x a xb a →→→+-+-+⋅+-==++++22022limlimlimPr 1()a x x x a a xab x b b aa b xb b a b j b x a xb a a xb aa→→→⋅+⋅+⋅-⋅+⋅⋅=====++++．3．求平面3546x y z +-=与42x y z -+=的等分角平面方程．解：设所求平面为3546(42)0x y z x y z λ+--+-+-=，即 (3)(5)(44)620x y z λλλλ++-+---=，依题意有 =解得53λ=±，代入所设方程有75414x y z ++=和582x y z +-=． 4．过点)3,2,1(M ，求垂直于直线z y x ==且与z 轴相交的直线方程.解：设所求直线方程为p z n y m x 321-=-=-，由与已知直线垂直，有0=++p n m ①；又设与z 轴交点为),0,0(0z ，有pz n m 3210-=-=-②，由①、②两式得m p m n 32-==、，所求直线方程是332211--=-=-z y x . 5．求与已知直线135:23x y L z +-==及2107:54x y L z -+==相交，且平行于直线321:387x y L z +-==-的直线方程．解：由题意可知所求直线L 的方向向量3(8,7,1)s s ==，以参数形式表示直线1L 和2L ，则L 与1L 和2L 的交点分别为1(23,35,)M t t t -+和2(510,47,)M λλλ+-，显然只需确定1M 和2M 之中的一点即可，因123//M M s ，故5213431287t t t λλλ-+--==-，即52138()43127()t t t t λλλλ-+=-⎧⎨--=-⎩，解得252t =-，从而知16525(28,,)22M ---，所以所求直线方程经整理得282652258142x y z +++==． 6．指出下列方程所表示的曲面的名称，若是旋转面，指出它是什么曲线绕什么轴旋转而成的．（1）2221499x y z ++=；（2）22214y x z -+=；（3）2221x y z --=；（4）222099x y z +-=；（5）224x y z -=；（6）0z =．答案：（1）旋转椭球面．可看成椭圆221490x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成，或者椭圆221490x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成．（2）单叶旋转双曲面．可看成双曲线22140y x z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，绕y 轴旋转而成，或者双曲线221,40y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕y 轴旋转而成．（3）双叶旋转双曲面．可看成双曲线2210x y z ⎧-=⎨=⎩，绕x 轴旋转而成，或者双曲线221,x z y ⎧-=⎨=⎩绕x轴旋转而成．（4）旋转抛物面．可看成抛物线20,90x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成，或者抛物线20,90y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成．（5）双曲抛物面．（6）旋转锥面．可看成射线,0z x y ==绕z 轴旋转而成，或者射线,0z y x ==绕z 轴旋转而成．7．指出曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕是什么曲线，并写出其方程：（1）2x =；（2）5y =；（3）2z =；（4）1z =．答案：（1）双曲线，方程为22542592z y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，；（2）椭圆，方程为222945x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，；（3）两条直线，方程为352x yz ⎧=⎪⎨⎪=⎩，和352x y z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，；（4）双曲线，方程为22392541.x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，。

高等数学第八章空间解析几何与向量代数

|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若为常数：
若、为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi

第八章向量代数与空间解析几何(复习题)

高等数学A(2)复习题第八章空间解析几何与向量代数一、填空题1、空间坐标系中)1,1,2(),0,1,2(),0,0,0(B A O ，则向量AB 与OB 的夹角为__________.2、平面-2-60x y z +=和2-50x y z ++=的夹角θ= ．3、设1,2,2a =-r （），1,1,4b =-r （），则夹角(,)a b ∧r r =_______.5、向量k j i k j i a ϖϖϖϖϖϖϖϖ22432-+=+-=β与的夹角为_____________．6、设点A 位于第I 卦限，向径OA u u u r 与x 轴，y 轴的夹角依次为π3和π4，且OA 6=u u u r ，则点A 的坐标为 .7、设0,1,2,1,1,3a b ==--r r （）（），则同时垂直于a ρ和b ρ的单位向量为 .8、向量2,3,6a =-r （），则与a ρ同向的单位向量为______________.9、设空间点A(1,-2,3),则与点A 关于原点对称的点的坐标为__________.10、设向量a ρ与2,1,2b =-r （）平行，18-=⋅b a ρρ，则向量a ρ＝ .11、设向量(3,2,1)a =-r ，4(2,,)3b k =r .已知a b ⊥r r ，则k =_____________． 14、设两向量分别为-a =r （1，2，2）和-b =r （1，1，4），则数量积a b ⋅r r =_______.15、设向量 1 , -1, k a =r （）与向量 2 , 4, 2b =r （）垂直，则k =_______．16、过点)3,1,2(-且垂直于直线11211-+==-z y x 的平面方程为． 17、设一平面通过z 轴和点(3,1,2)-，则其方程为_____________________.18、直线22112z y x =-+=-与平面2342=+-z y x 的位置关系为（填平行、垂直或斜交）.19、将xOz 坐标面上的抛物线2z 20x y ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周，所生成的面方程为 . 20、曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==-01422z x y 绕x 轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为 . 21、xOy 坐标面上的曲线20x y -=绕x 轴旋转一周,所得的旋转曲面方程为 .22、点（1,2,1）到平面0253=--+z y x 的距离为 .23、点(1,2,1)到平面1x y z ++=的距离为____________.24、直线 310x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面 10x y z --+=的夹角为 . 二、解答题1、求平行于x 轴，且过点)2,1,3(-M 及)0,1,0(N 的平面方程.2、求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.3、求通过点P （1，2，3）且垂直于两平面012, 02=++-=-+z y x z y x 的平面方程.4、求平行于xoz 坐标面且经过点(2,-5,3)的平面方程.5、求过点()2,0,3-且与直线-24-7035-210x y z x y z +=⎧⎨++=⎩垂直的平面方程．6、求过点)0,4,2(0M 且与直线 ⎩⎨⎧=--=-+023017:1x y z x l 平行的直线方程． 7、求过点)3,1,0(-且与平面0122:=--+z y x π垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点坐标.8、求过点()2,1,3且与直线11321x y z +-==-垂直相交的直线的方程． 9、求过点)2,0,1(0-M 且与平面0643=+-+z y x 平行，又与直线14213:z y x L =+=- 垂直的直线方程. 三、综合题1、验证两直线12z 25y 1x :L 1-=-=与12z 14y 32x :L 2-=-=-相交，并求出它们所在的平面方程. 2、求过点A(1,1-1),B(-2,-2,2)和C(1,-1,2)三点的平面方程.。

空间解析几何与向量代数答案

空间解析几何与向量代数答案1,三2 ),,(c b a -,),,(c b a --3 )3,21,23(--,⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,31,14 )0,3,2(-5 （1）长度相等，（2）指向相同6 17 0013545或8 yoz9 -110 π 11 222z y x a a a ++ 12 共线13 0=++z z y y x x b a b a b a ; λ===zz y y x x b a b a b a 或,b a λ= 14,z z y y x x b a b a b a ++ ;→→→-+-+-k b a b a j a b b a i b a b a x y y x z x z x y z z y )()()( 15 →016 →→⨯b a17 →→→→-+b a b a , 18331124-=+=--z z x 19312412+=-=-z y x 20013z y x =-= 21211211-=--=-z y x 或 231112-=--=-z y x 22 01222=-+-z y x23 081111424=--+z y x 24 32125 3;4-26 083=---z y x 27 14322-=-=-y y x 28 028573=--+z y x29 5-=y30 1- 31 2π 32 直线，平面33 点, 直线34 圆，圆柱面35 ⎩⎨⎧==++-0012222z y x x36 x y z 522=+ 37 ⎩⎨⎧==+-00222x y z z38 ,x 抛物39 3),,0,0(,122z y x =+二：选择题D,B,C,,B,A,C,A,A,B,D,C,B,B,D,D,C,A,D,D,C,B,C,D 三:计算题1解： }14142,1414,14143{}14142,1414,14143{14141419}2,,3{}2,1,3{--=-=∴±==++-==-=或令λλλλλλ 2解：b a 1116254218)5(2)1(4321999133878210862++-=--=⨯-=-⨯+-⨯+⨯=•=++=--+-=--+=+-+=3解：k j i b a 910117312+--=--=⨯4解：783996269}37373,37375,37373{373719259}3,5,3{3531114==±=±==++--=+--=---= λλλλλ设 5解： ()为腰的等腰直角三角形是以AC AB ABC BC AC AB ACAB BC AC AB ,27)36()41()210(7)39()41()24(7)69()1(1)410(222222222222∆=+==-+--+-==-+-+-==-+--+-={}{}{}921)2(2,1,20,80,40510510)()32(6,5,10}2,5,10{323824)3()2(642222=++-=-=--=--=+⨯--=+-=-=⨯+-⨯-+⨯=⋅j i b a b a7，解：N BC M AB ABC 21,21,,,,,:==+===∆则中点中点取设中证明 AC MN AC MN 21//21),(21=∴=+=且 8解：33322cos ,33322cos ,33322cos )3(3222)2(2()3,3,1(,331212121),,,(}2,2,2{)1(222321====-=-==++-==-⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=--=++=γβαQ c b a c b a c b a Q F F F 设9解：2353521753112=⨯==---=-=⨯S13}0,1,3{z y x n =-=-=点向式直线的方向向量 11解：{}⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+=-=-=--=--=t z ty t x z y x kj n 111752111752)1,0,2(11,7,52113参数式标准式取任意一点12解：4410415=--⎩⎨⎧-==⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=++=y x b k b k b k bkx y z 所求平面方程为轴可设成平行与 13解：)6,3,2(16,21,162111-==--=+===-+=-所求交点坐标是令t t z t y t x k z y x14解：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1111222222z y x z y x 联立02222=-+y y x z 消去⎩⎨⎧==-+002222z y y x 所得方程4322)2()2(4)1()1(1)2()1()2()1(41)cos(}2,2,4{1131}1,1,1{222222πθθπ==-+-+-+-+-⨯-+-⨯-+⨯=---=--=--=直线的方向向量平面的法向量 16解：111131}1,1,3{1221-=--=----=--=z y x kj n 直线平面的方向向量 17解： {}16399,3,27532431}5,3,2{},4,3,1{=++---=--=-=-=z y x n PQ 平面的法向量向量该平面另外一个方向向 18解：1}3,0,0{11=+-=-=z 所求平面方程平面的法向量 19解： ⎪⎩⎪⎨⎧--==+=t z ty t x 225253 0)450(2)12(3)33(}225,12,33{=++⨯-+⨯+----=t t t t t t n P 有点所成向量设直线上该点与67271282171}201,81,84{,1757z y x t =-=-⨯---=-= 20解：}0,1,{-=k n的方向向量平面0752=--+z y x}5,1,2{-=21)5(12112)^cos(2222=-+++-=k k 0302,312=+=--==y x y x k k 或所求平面方程为或 21解：⎩⎨⎧=+=++19222z x z y x 82222=+-y x x z消去⎩⎨⎧==+-082222z y x x 所求投影方程是。

第8章习题向量代数与解析几何(2020)

）
（A） 2 2 ；（B）2；
（C） 2 ；（D）1。
2．设直线 L : x 1 y 1 z 1 ，平面 : 2x 2 y 2z 2 0 ，则（ 2 1 1
（A） L ；（C） L L ；
（B） L // 且 L ；
（D）
L
与
的夹角为
。
4
3．两直线
L1
:
x 1 1
）ห้องสมุดไป่ตู้
（A）半圆锥面；（B）球面；（C）上半球面；（D）抛物面。
三、计算题
1. 向量
x
与
a
2,
1,
2
平行且满足
a
x
18
，求向量
x。
2.
已知 a
2,
3, 1,
b
1,
1,
2
，求
(a
3b )
b
。
3.
已知 A
2a b ，B
a 3 b ，其中
a
2,
b
3
，且
a
b
，求以
A,
y5 2
z
1
8
与
L2
:
x y 6
的夹角大小为（
2y z 3
（A） 2 ； 3
（B）；
3
（C）；
6
（D）。 3
x2 y2 9z2 4
4．空间曲线
y 1
是（
）
））
（A）椭球面；
（B） y 1平面上的椭圆；
（C）椭圆柱面；
（D）椭圆柱面在平面 y 0 上的投影曲线。
5．下列方程中，其图形是旋转曲面的是（
B 为邻边的

第八章向量代数与空间解析几何(2)

在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以
z
原点O为圆心, 半径为R的圆.
曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线L沿xoy面上的圆x2 + y2 = R2 移动而形成, 称该曲面为圆柱面.
l
oo
y
x
9
画出下列柱面的图形:
y x2
z
y x
z
o x
y
o
y
x
抛物柱面
平面
10
方程F (x, y) = 0 表示:
点的轨迹.
解设M( x, y, z)是所求平面上任一点，根据题意有 | MA | | MB | ,
( x 2)2 ( y 1)2 (z 3)2
( x 4)2 ( y 1)2 (z 2)2 ,
化简得所求方程 4x 4 y 2z 7 0 .
这是一个平面方程，可知所求的轨迹是一个平面. 称此平面为线段的垂直平分面．
x
y
那末, 方程F (x, y, z) = 0叫做曲面S的方程, 而曲面 S叫做方程F (x, y, z) = 0的图形 .
2
研究空间曲面有两个基本问题：（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）（2）已知曲面方程，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
3
例1 求到空间两点 A(2,1,3) 和B(4,1,2) 距离相等的
4
以下给出几种常见的曲面.
1、球面
建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、
半径为 R 的球面方程.
解设M ( x, y, z)是球面上任一点，根据题意有 | MM0 | R ，
M R
M0
即 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R ，

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1
第八章空间解析几何与向量代数单元自测题答案
一、填空题
1．若4a，2b，24ba，则ba24;

2．设向量2aijk，42bijk，则当__-10____时，a与b垂
直；当___2___时，a与b平行;
3．方程222231xyz表示以原点为中心的椭球曲面;

4．直线.0432,01zyxzyx的对称式方程为1544413yzx及参数式方程

为453414tztytx;
5．旋转曲面222144yzx是由曲线 2222z1(1)44yxx或绕 x轴旋
转一周而得的;
6．直线35xyz与平面4122010xyz的位置关系为相交 ;

7．直线531123zkykx与直线22531kzyx相互垂直，则k34
8．过点)3,2,1(M且与yoz坐标面平行的平面方程为1x;
9．点)1,2,1(到平面01022zyx的距离为 1 ;

10．平面03326zyx与xoy面夹角为3 .
二、计算题
2

1. 已知三角形的三个顶点为1,2,3,1,1,1,0,0,5ABC，试证
ABC
为直角三角形，并求角B.

解：2,1,2,1,2,2,1,1,4ABACBC

2240ABACABAC
，所以ABC为直角三角形，

92cos24332ABBCBBABBC





2. 试求通过点2,3,4，且与y轴垂直相交的直线方程.
解：设所求直线与y轴交点为0,,0a，则其方向向量为2,3,4a，因为
此向量与y轴垂直，所以3a，所求直线方程为
24243xzy











3. 已知直线1210:320xyLxz和2112:123xyzL，证明：12//LL，并
求12,LL确定的平面方程。

解：1L的方向向量为2101,2,3301ijk，2L得方向向量为1,2,3，
且点21,1,2M在2L上但不在1L上。所以12//LL。
再在1L上取点10,1,2M，则向量12(1,2,0)MM
3

所求平面法向量为1206,3,0123ijk
所求平面方程为210xy。
4. 求点)0,2,1(在平面012zyx上的投影.
解：过点)0,2,1(且与平面012zyx垂直的直线方程为：

其参数方程为tztytx221 代入平面方程012zyx得
32t
故投影为)32,32,35(

5. 求过直线1223xzy与平面150xyz的交点，且与平面
23450xyz
垂直的直线方程.

解：设1223xzyt 则其参数方程为2231xtytzt
代入平面150xyz得2t
故交点为(4,4,7).
由已经条件所求直线与平面23450xyz垂直，则所求直线方程为：
447234xyz


4

6. 已知直线:L5040xyzxz与平面:4890xyz，求直线L与平
面的夹角.

解：直线L的方向向量为 1515,2,5101ijk

平面的法向量为1,4,8
设所求直线L与平面的夹角为

则58406sin65481
所以6arcsin6
7. 求过点203（，，）且与直线2470:35210xyzLxyz垂直的平面方程.
解：直线L的方向向量为 12416,14,11352ijk
则所求的平面方程为 16(2)1411(3)0xyz
即161411650xyz

8. 求过点)2,1,3(M且通过12354zyx的平面方程.
解：在直线12354zyx上取一点)0,3,4(P

)2,4,1(MP
，)22,9,8(125241)1,2,5()2,41(kjin
5

所求平面方程为0)2(22)1(9)3(8zyx
即 0592298zyx

9. 求过点），，（420且与两平面12zx和23zy平行的直线方程.
解：直线的方向向量为)1,3,2(310201kjis
故所直线方程为 14322zyx
10. 已知直线13021:1zyxL，直线11122:2zyxL，求过1L且
平行2L的平面方程.

解： 1,3,1112101kjin
在1L上任取一点)3,2,1(，
故所求平面方程为 0)3()2(3)1(zyx 即

11. 求点)6,1,4(M关于直线11321:zyxL的对称点.
解：直线11321:zyxL的参数方程为1312tztytx …….(*)
过点)6,1,4(M与且与直线:L垂直的平面方程为
0)6()1(3)4(2zyx
…….(**)

将(*) 代入 (**) 0)61()13(3)412(2ttt1t
6

即得垂足为)23,3(0M，
由226321324zyx得252zyx

12. 求出旋转曲面228zxy与平面2zy所围图形在xOy坐标面上投影区
域D的图形.

解：22(1)90xyz

13. 已知点(0,0,0)O与点(0,1,1)A，且线段OA绕z轴旋转一周所成的旋转曲面
为，画出曲面及两平面0z和1z所围成立体.
解：略

14. 画出圆锥面22zxy及旋转抛物面222zxy所围成立体的图形.
解：略