大一上高数作业及课堂练习
《高等数学上》在线作业及参考答案
高等数学上在线作业一、单选题1.(1分)设满足。
则在处（）A.取得极大值B.取得极小值C.不取得极值D.可能取得极值E.无法判断参考答案：D2.(1分)是极限的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件E.无法判断参考答案：C3.(1分)设函数在处连续,则常数=（）A.2B.�C2C.1D.3E.0参考答案：D4.(1分)设，则此函数单调减少的区间为（）A.B.C.D.E.参考答案：D5.(1分)（）A.0B.C.D.E.1参考答案：D6.(1分)设函数满足,则=（）A.B.C.D.E.参考答案：A7.(1分)设且,则（）A.B.C.D.E.参考答案：E8.(1分)是极限的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件E.无法判断参考答案：C9.(1分)设函数可微,则（）A.B.C.D.E.参考答案：B10.(1分)（）A. -1B.0C.1D.2E. -2参考答案：B11.(1分)若函数满足，则（）A.B.C.D.E.参考答案：C12.(1分)（）A.B.C.D.E.参考答案：A13.(1分)设函数在处可导,则必有（）A.B.C.D.E.参考答案：C14.(1分)设在的某邻域内有定义，若，则=（）A.1 �CeB.eC.�C1D.0E.1 +e参考答案：A15.(1分)设函数在处连续,则常数=（）A.2B. -2C.1D.3E.0参考答案：D16.(1分)已知函数，则方程有（）A.一个实根B.两个实根C.三个实根D.没有实根E.无法判断参考答案：B17.(1分)设函数可微,则（）参考答案：B18.(1分)设为可微函数,若则（）A.B.C.D.E.参考答案：C19.(1分)设,则（）A.B.C.D.E.参考答案：B20.(1分)若函数满足，则（）参考答案：C21.(1分)函数的最小正周期是（）A.B.C.2D.4E.8参考答案：D22.(1分)设的定义域为则函数的定义域是（）A.B.C.D.(0，1)E.参考答案：D23.(1分)设在上连续，在内可导且，若，则在内（）A.B.C.D.E.无法判断参考答案：A24.(1分)函数在区间（）内有界A.B.C.D.E.参考答案：D25.(1分)极限=（）A.2B.C.1D.0E. -1参考答案：A26.(1分)函数的定义域是（）A.B.C.D.E.参考答案：D27.(1分)下列四组函数中与表示同一函数的是（）A.，B.，C.，D.，E.，参考答案：E28.(1分)设的一个原函数为,则（）A.B.C.D.+cE.参考答案：C29.(1分)若，则=（）A.B.C.D.E.参考答案：A30.(1分)下列积分正确的是（）A.，B.，C.，D.E.=0参考答案：C31.(1分)是当（）时的无穷小A.¥B.1C.0D. -1E.2参考答案：A32.(1分)极限=（）A.0B.1C.D.2E. -1参考答案：C33.(1分)（）A. -1B.0C.1D.2E. -2参考答案：B34.(1分)极限=（）A.B.1C.0D.E. -1参考答案：C35.(1分)由方程所确定的曲线在点处的切线斜率为（）E.0参考答案：A36.(1分)下列各式正确的是（）A.B.C.D.E.参考答案：B37.(1分)设为连续函数，则=（）A.B.C.D.E.参考答案：B38.(1分)（）参考答案：A39.(1分)由方程所确定的曲线在点处的切线斜率为（）A.B.C.D.E.0参考答案：A40.(1分)设在上连续，在内可导且，若，则在内（）E.无法判断参考答案：A41.(1分)设为连续函数，变上限积分所定义的函数为（）A.的一个原函数B.的全体原函数C.的一个原函数D.的全体原函数E.无法判断参考答案：C42.(1分)设，则（）A.B.C.D.E.参考答案：B43.(1分)由所围成的平面图形的面积为（）A.B.C.D.E.参考答案：A44.(1分)设具有连续导数，且，，则=（）A.B.1C.2D.0E. -1参考答案：D45.(1分)设,则在处（）A.无定义B.不连续C.连续且可导D.连续不可导E.无法判断参考答案：D46.(1分)=（）A.B.C.D.E.参考答案：D47.(1分)设，则（）A.B.C.D.E.参考答案：E48.(1分)下列函数中是奇函数的是（）A.B.C.D.E.参考答案：A49.(1分)设，则=（）A.0B.1C. -1D.不存在E.2参考答案：E50.(1分)（）A.0E.1参考答案：D51.(1分)极限=（）A.2B.C.1D.4E.0参考答案：A52.(1分)是当（）时的无穷小A.;B.1C.0D. -1E.2参考答案：A53.(1分)下列极限中能用罗比塔法则的是（）A.B.C.D.E.参考答案：D54.(1分)设在上连续,且是常数，则（）A.B.0C.D.E.参考答案：B55.(1分)设可导，则极限（）A.3B.C.D.E.参考答案：C二、多选题1.(3分)当时，（）与为等价无穷小参考答案：A,C,D,E2.(3分)当时，（）与为等价无穷小A.B.C.D.E.参考答案：A,C,D,E3.(3分)函数=在点处（）A.连续B.不连续C.可导D.不可导E.不确定参考答案：A,D4.(3分)下列等式正确的是（）A.B.C.D.E.参考答案：B,D5.(3分)以下直线是曲线渐近线的为（）参考答案：A,D三、判断1.(2分)函数，在处具有极小值参考答案：错误2.(2分)函数，在处具有极小值（）参考答案：错误3.(2分)定积分=（）参考答案：正确4.(2分)=（）参考答案：错误5.(2分)=参考答案：错误6.(2分)由所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积等于参考答案：正确7.(2分)函数的拐点为2（）参考答案：正确8.(2分)=参考答案：错误9.(2分)曲线在点（0,0）处的切线方程为参考答案：错误10.(2分)=（）参考答案：正确11.(2分)=参考答案：正确12.(2分)设，则参考答案：正确13.(2分)函数的拐点为2参考答案：正确14.(2分)曲线在区间内下降且是凸的（）参考答案：正确15.(2分)设函数，则是可去间断点参考答案：正确高等数学上在线作业20交卷时间：2021-06-28 15:11:16一、单选题1.(1分)下列各式正确的是（）A.B.C.D.E.参考答案：B2.(1分)设，则（）A.B.C.D.E.参考答案：E3.(1分)设可导，则极限（）A.3参考答案：C4.(1分)设为连续函数，则=（）A.B.C.D.E.参考答案：B5.(1分)由方程所确定的曲线在点处的切线斜率为（）E.0参考答案：A6.(1分)（）A.B.C.D.E.参考答案：A7.(1分)设函数可微,则（）A.B.C.D.E.参考答案：B8.(1分)设在上连续，在内可导且，若，则在内（）A.B.C.D.E.无法判断参考答案：A9.(1分)是当（）时的无穷小A.;B.1C.0D. -1E.2参考答案：A10.(1分)（）A.0B.C.D.E.1参考答案：D11.(1分)函数是由那些简单函数复合而成的（）A.B.C.D.E.参考答案：D12.(1分)设为连续函数，则（）A.0B.C.D.E.1参考答案：A13.(1分)设的定义域为则函数的定义域是（）A.B.C.D.(0，1)E.参考答案：D14.(1分)设满足。
大学一年高数作业实例分析与答题思路
大学一年高数作业实例分析与答题思路
在大学一年级的高等数学课程中，作业是提升学生数学理解和解决问题能力的重要工具。
通过实例分析和答题思路的讲解，可以帮助学生更好地应对课程中的挑战和难题。
首先，让我们来看一个典型的高数作业实例：求解一个复杂的定积分问题。
问题要求计算某函数在给定区间上的定积分，涉及到分部积分或换元积分等技巧。
这种问题常常让学生感到困惑，因为它要求对多种数学概念和技术同时运用，而且步骤繁多。
作为这道题目的“导师”，我会首先提醒学生要审题清楚，理解积分的定义和基本性质。
通过将问题拆解为小步骤，如分步计算不同部分的积分或引入合适的变量替换，可以简化整个过程，降低学习难度。
例如，对于需要分部积分的问题，学生可以将函数分解并逐步应用分部积分法则，从而解决更复杂的问题。
其次，答题思路的培养也是解决高数作业的关键。
学生们需要不断练习并积累解题的经验，这可以通过大量的练习题目和实例来达成。
在实践中，他们会逐渐掌握各种数学技巧，从而更自信地应对课堂上的各种挑战。
在教学中，我会鼓励学生们通过与同学讨论和参考教材中的例题来加深对题目的理解，并且提供必要的指导和反馈。
这种互动有助于学生们建立起自信心和合作精神，同时增强他们的解决问题能力。
总结来说，大学一年级的高数作业不仅仅是对知识点的简单应用，更是对学生逻辑思维和数学技能的全面考验。
通过实例分析和答题思路的讲解，学生们能够更好地理解和掌握课程内容，为将来的学习奠定坚实的基础。
大一微积分上高数综合练习1
《高等数学》(上)综合练习（一）一、选择题（'35⨯＝15'）：1、下列各组函数中为相同函数的是 （ ）．()A ()()2,f x x g x == ； ()B ()(),f x x g x == ()C ()()221,sec tan f x g x x x ==-； ()D ()()32,x f x g x x x==． 2、设0()0x e x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，若0l i m ()x f x →极限存在，则 （ ）． ()A a = 0 , b = 0 ； ()B a = 2 , b = －1 ；()C a = －1 , b = 2 ； ()D a 为任意常数, b = 1．3、设()f x 在0x x =附近有定义，且000(3)()lim 1h f x h f x h→--=，则0'()f x = （ ）． ()A 13- ； ()B 3-； ()C 1 ； ()D 13． 4、设函数()f x 有连续的二阶导数，且(0)0,'(0)1,''(0)2f f f ===-， 则20()lim x f x x x →-= （ ）． ()A 不存在 ； ()B 0 ； ()C 1- ； ()D 2-．5、设()f x 为连续函数，则()d f x dx dx=⎰ （ ）． ()A ()f x C +；()B ()f x ； ()C ()f x dx ； ()D '()f x dx ． 二、填空题（4'6⨯=24'）：1、设曲线y=f (x )过点)3,1(,且该曲线上任意一点(,)x y 处的切线斜率为x 2，则f (x )= ．2、若213lim 1x ax x b x →---=+，则a = ，b = ．3、设质点作直线运动，运动方程为()0)s t t=>，则质点在时刻t 的速度()v t = ． 4、函数20()(1)xf x t =-⎰t e dt 的单调增加区间是 ，单调减少区间是 ．5、设函数()f x 的一个原函数sin 2x ，则'()xf x dx =⎰ ．6、已知32()sin(1)x x t dt Φ=+⎰，则'()x Φ= ． 三、计算题（4'4⨯=16'）：1、30sin cos lim x x x x x→-； 2、2ln 0lim x x x x +-→； 3、2(1)arctan y x x =+，求''y ．4、求由参数方程 2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩ 所确定的函数的导数dy dx ． 四、计算下列积分（5'5⨯=25'）：1、x x dx e e -+⎰； 2、41⎰；3、；4、dx x x ⎰+241；5、0ax e dx +∞-⎰ (0)a >． 五、（7'）求曲线x y xe =的凹凸区间及拐点．六、（6'）设0,a b >>证明:ln a b a a b a b b--<< . 七、（7'）要建造一个容积为常数Ｖ的圆柱形水池，已知底面的单位面积造价是侧面的一半，问如何设计尺寸，才能使水池造价最低？。
高等数学(上)课后习题参考答案
0 ,极大值
f
(e2 )
=
4 e2
2. x = 2 , x = 0 5
3.最大值为 2,最小值为 -2.
4.最小值 y x=−2 = 12
5.
x0
=
16 3
,
Smax
(16 3
)
=
151.7
3.6 函数图形的描绘
1. 水平渐近线 y = 0 .
区间 (0,1), (1, 2), (2,3) 内.
3.提示：利用反证法.
1、(1) arctan x ~ x ；
4、-1 6、0
7、2 x 8、3
(2) a = e 时等价; a ≠ e 时同阶；
(3) 同阶； (4) 同阶．
9、(1) a ； (2) 2 e n
(3) 3 abc 10、0
2、(1) n = 6 ； (2) n = 1； (3) m = 1 ，n = 2 ． 2
2
分别补充定义 1,0；
2.1 导数概念 1、（1）-20 （2）1
2、（1） f ′(0) （2） − f ′(x0 ) （3） 2 f ′(x0 )
x = kπ（k ≠ 0）为第二类无穷；
（3） x = 0 第二类无穷． 3、（− ∞，− 2），（− 2，1），（1，+ ∞）
f（x）⎯⎯x→⎯−2→ − 1，f（x）⎯⎯x⎯→1→ ∞. 3
高等数学作业答案（14-15-1）
第一章 函数、极限与连续 1.1 映射与函数
(2)
例：
f
(x)
=
⎧1 ⎨⎩−1
x > 0， x≤0
1．(1) f（x）与 h（x）相同；
g（x）与 f（x），h（x）不同．
大一上高等数学(I )试题及答案
高等数学（I ）一．填空题（每小题5分，共30分）1. 已知0)(2sin lim 30=+>-x x xf x x , 则20)(2lim xx f x +>-= 。
2. 曲线x y ln =上曲率最大的点为__________________。
3. 极限]cos 1[cos lim x x x -+∞>-的结果是_________。
4. 极限 20arcsin lim ln(1)x x x x x →-+＝_____________。
5. 曲线)0()1ln(>+=x xe x y 的斜渐近线为（ ）。
6. 当1→x 时，已知1-x x 和k x a )1(-是等价无穷小，则a =_____，.___=k二、计算题（每小题5分，共20分） 1. x x x x e sin 1023lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+->-2.dx e x x 32⎰ 3.dx x ⎰+cos 2114. 22(tan 1)x e x dx +⎰三．(6分)已知曲线)(x y y =的参数方程⎩⎨⎧++==)41ln(2arctan 2t t y t x ，求22dx y d dx dy ，。
四．（8分）设xx x f )1ln()(ln +=，求⎰dx x f )(五．（10分）设)(x f 31+=x ，把)(x f 展开成带Peano 型余项的n 阶麦克劳林公式，并求).0()50(f六（12分）．已知)(x f 是周期为5的连续函数，它在0=x 的某邻域内满足关系式)sin 1(x f +－)(8)sin 1(3x x x f α+=-，其中)(x α是当0→x 时比x 高阶的无穷小，且)(x f 在1=x 处可导，求曲线)(x f y =在点))6(,6(f 处的切线方程。
七．（14分）设函数)(x f 在],[b a 上具有连续导函数)(x f '，且0)()(==b f a f ， 证明：2)(4)(a b M dx x f b a -≤⎰，其中|)(|],[x f Max M b a x '=∈。
高数大作业答案
第一章 函数与极限一、选择题1.B ；2.C ；3.D ；4.C ；5. A.二、填空题1. [-1，1];2. a ln 21; 3. 1 ; 4. -1； 5. 2 ，2三、计算下列极限1. 解：321lim 231-+-→x x x x =)3)(1()1)(1(lim 21+-++-→x x x x x x =31lim 21+++→x x x x =432. 解：213lim21-++--→x x xx x=)13)(2)(1()13)(13(lim 1x x x x x x x x x ++-+-++-+--→ =)13)(2)(1()1(2lim 1x x x x x x ++-+---→ =62-3. 解：65124lim 2323-++-∞→x x x x x =33651124lim xx x x x -++-∞→=44. 解： x x x cos 1)1ln(lim 20-+→=22lim 220=→xx x5. 解：xx x sin 20)31(lim +→=xx x x x sin 6310)31(lim ⋅→+=xx x x x x sin 6lim 3100)31(lim →⋅→+=e 66. 解：3ln =a四、证明题1．证明：11limlim11222122=+=++≤+≤+∞←∞←=∑n n nn n n n kn n n n n n nk 且11lim 12=+∴∑=∞→nk n kn2. 证明：由题意，得0)1(21<-=--=-+n n n n n n x x x x x x}{是单调递减的数列n x ∴ 以下证有下界，显然数列{}n x 有下界且为零设a x n n =∞→lim ，则a =a (1-a )0lim =∴∞→n n x3.证明：构造辅助函数x x f x F -=)()(，它在],[b a 上连续.若a a f =)( 或b b f =)(，则a =ξ或b =ξ，结论成立.若不然，则0)()(,0)()(<-=>-=b b f b F a a f a F .根据连续函数零点定理，必存在],[b a ∈ξ，使ξξξ==)(,0)(f F .五、当1||<x 时，x x x x nn n =+-∞→2211lim；当1||=x 时， 011lim 22=+-∞→x x x n nn ；当1||>x 时，x x x x nn n -=+-∞→2211lim . 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=1||1||1||0)(x x x x x x f . 由于1)(lim ,1)(lim ;1)(lim ,1)(lim 1111-==-==+-+--→-→→→x f x f x f x f x x x x .故 1±=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.第二章 导数与微分一、选择题1.B2.C3.B4.A5..C6.B7.B8.C二、填空题1.a ln -2. )cot ln 1(sin x x x x x ++3. dx -4. !n三、求下列函数的导数1．解：由题意22'44122arccos x x x x x y ----=2422arccos xxx --=2. 解：()[]⎪⎪⎭⎫⎝⎛='x x g f 21arcsin ；()[]{}221xx x g f -='.3．解：方程()()x x y xy =-+ln sin 两边同时对x 求导得()11)(cos =--'+'+xy y y x y xy 又题意知当0=x 时1=y所以1|0==x dxdy4. 解：由题意xxx x x y 2'cos ln sin cos 2+-=，2222''cos sin cos 2sin cos 2ln cos 2ln sin 2x x x x x x x x x x x y +-+--=∴22cos 2sin 2ln 2cos 2xxx x x x ---=5. 解：方程两边对x 求导，得0cos 211=⋅+-dxdy y dx dy , 则ydx dy cos 22-= . 上式两边再对x 求导，得3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dyy dx y d --=-⋅-=.6．解：2t dt dx dtdydx dt dt dy dx dy ==⋅=； t t dt dx t dt d dx dy dx d dxy d 412222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=.7. 解：由题意xxx xee x y cos)1ln(1)cos 1ln(1)cos 1(++==+=法一：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅+-=+-+-⋅=∴+212)cos 1ln()cos 1ln()cos 1(sin )cos 1()cos 1ln(cos 1sin 'x x x x x x xx x x xey xxx法二：等式两边取对数得 令)cos 1ln(1ln x xy +=上式两边对x 求导得)cos 1(sin )cos 1(1'12x x xx n xy y +-++-= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅+-=+++-=∴212)cos 1ln()cos 1(sin )cos 1(])cos 1ln()cos 1(sin ['x x x x x x x x x x x y y x四、综合题1. 解：因为()1-='n nx x f ，过点()1,1的切线方程为：()11-=-x n y .令n n y n 10-=⇒=ξ；故 e n n n nn n n 111lim 1lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→.2. 解：（1）连续性 )0(021lim cos 1lim )(lim 2000f xxx x x f x x x ===-=+++→→→ )0(0lim )(lim 2f x x f x x ===--→→ 处连续在0)(),0(0)(lim )(lim 00=∴===-+→→x x f f x f x f x x . （2）可导性 2121lim cos 1lim )0()(lim 220200==-=-+++→→→xxx x x f x f x x x 0lim )0()(lim 200==-+-→→x x xf x f x x .0)(),(')('处不可导在=∴≠∴-+x x f x f x f3．解：由题意：()()()A x xx x f x x x f x F x x x x =+=+=→→→→sin lim 2lim sin 2limlim 0000. 又 ()()()()100lim lim 00='=-=→→f xf x f x x f x x ，即3=A 为所求.4．解：由题意得：3121h V π=，两边同时对t 求导：dtdh h dt dV 241π=，故 4=h 时， 求得π21=dt dh .第三章 中值定理与导数应用一、选择题1、C2、C3、D4、B5、A6、B二、填空题1、12、)2,2(2-e3、1,0,1==-=x x x ；0=x4、00==x ,y5、()2,-∞-三、计算题1、解：212cos lim )(arcsin 1sin lim 020=-=--→→x x e x x e x x x x .2、解：()xx x cos 02tan lim -→π=()x x x etan ln cos lim 02-→π=()xx x esec tan ln lim02-→π=1202sin cos lim=-→xxx eπ3、解：222arctan 2lim x x x ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→π=212414lim 2arctan 2lim 3422=-+-=--∞→-∞→x x xx x x x π.4、解：])1ln(11[lim 0x x x +-→ )1ln()1ln(lim 0x x xx x +-+=→20)1l n (l i m x x x x -+=→x xx x 211l i m 0-+=→ 214221lim 221lim 0220-=+--=+--=→→x x x x x x x x5、解：令t x=21，则0→x 时，+∞→t . 0!50lim 50lim lim lim 4950100102=====+∞→+∞→+∞→-→t t t t t t x x ee t e t x e .四、证明题1、证明：令F （x ）=xf (x ),由题意，显然F (x )在[a,b ]连续，在（a,b ）可导由拉格朗日中值定理得，至少存在一点ξ使 )(')()()())((')()(ξξξξf f ab a af b bf a b F a F b F +=---=-即2、证明：存在性：设()15-+=x x x f ，显然()x f 在任意区间连续，又()010<-=f ，()011>=f ，由零点定理，方程015=-+x x 在)1,(0内至少有一根，即至少有一正根.唯一性：因()014>+='x x f ，()x f 在()+∞∞-,内单增，故015=-+x x 至多有一正根.3、证明：,ln )(2t t f =令.],[)(理的条件上满足拉格朗日中值定在显然令b a t f),,(b a ∈∴ξ存在.ln 2)(ln ln 22ξξξ='=--f a b a b 满足),,(ln 2)2e e x x x x g ∈=（令可得（由22)ln 1(2ln 22)xx x x x g -=-='∴ .0)(,),(2<'∈x g e e x 时当.)(,),(2单调递减时x g e e x ∈∴,2e b a e <<<<ξ 又.2ln 242e e<<∴ξξ .,4ln ln 222结论得证ea b a b >--∴4、证明：设)0(211)(2>---=x x x e x f x,则0)0(=f 得1)('',1)('-=--=x x e x f x e x f 0)0()(0)(01)('',0='>'∴∞+'>-=∴>f x f x f e x f x x ）单调递增，，在（得 0)0()(0)(=>∴∞+∴f x f x f ）单调递增，，在（∴222110211x x e x x e xx ++>>---即五、解：设),(y x P 到定点)0,2(A 的距离为S .()452)2(2222222+-=-+-=+-=x x x x x y x S ，()542-='x S . 令()02='S ，则45=x ；而()042>="S . 故45=x 为极小值点. P 点坐标为 ），（4545±.六、略.第四章 不定积分一、选择题：1、B2、D3、A4、A5、B6、C二、填空题：1、相互平行，2、C x x +-2213、()C x+18ln 184、C x +arcsin5、C x +)tan arctan(arc三、计算下列不定积分：1、解：令⎰⎰⎰+-=+-===∴=∴=c x c t tdt dt tt dx xx t x t x cos 2cos 2sin 2sin sin ,222、解：原式=dx x x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+--12112121=dx x ⎰-12121dx x ⎰+-12121 =()⎰--1212221x x d()⎰++-1212221x x d =C x x ++-1212ln 221.3、解：原式=()()C x x xd x d x x +==⎰⎰2tan ln 21tan ln tan ln tan tan tan ln .4、解：令t x sin 2=⎰=∴t d ttsin 2cos 2sin 42原式⎰⎰+--=+-=-==C x x x C t t dt t tdt 242arcsin 22sin 2)2cos 22(sin 4225、解：t x tan =令⎰⎰+⋅=+t t td x x dx 2222tan 1tan tan 1⎰⎰⎰⎰+-====⋅=C t t d tdt t t dt t t dt t t t sin 1sin sin 1sin cos tan sec sec tan sec 22222C xx ++-=126、解：t x dx x x x dxsec 2,1)2(13422=+-+=++⎰⎰令C x x x C t t t t d tt dtt t t t t tdt dt t t t t d t +++++=++=++=++==⋅=--=∴⎰⎰⎰⎰⎰342ln tan sec ln )tan (sec tan sec 1tan sec )tan (sec sec sec tan tan sec )2(sec 1sec 122原式7、解：原式=dx x x x x x x xd 1ln 21ln 11ln 22⋅⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰=dx x x x x ⎰+-22ln 2ln 1，仿上法得： C x x x dx x x x dx x x +--=+-=⎰⎰1ln 11ln 1ln 22， 代入可得：dx x x⎰22ln =C x x x+++-]2ln 2[ln 12.8、原式=)(arctan )ln(arctan x d x ⎰=C x x x +-arctan )ln(arctan arctan9、解：原式=du u u de e e dx e e e xx xx xx ⎰⎰⎰-=-=-⋅222222111（设x e u =）=du u u du u u ⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2221arcsin 111. 对于du u ⎰-21用三角代换法得：C u u u du u ++-=-⎰arcsin 21121122. 所以dx e e xx⎰-231=C e e e x x x +--2121arcsin 21.10、解：⎰⎰-=dx x x x dx x )cos(ln )sin(ln )sin(ln])sin(ln )cos(ln [)sin(ln ⎰+-=dx x x x x x ⎰--=dx x x x x x )sin(ln )cos(ln )sin(lnC x x x x dx x +-==∴⎰2)cos(ln )sin(ln )sin(ln四、解： x x sin 是)(x f 的原函数， ∴2sin cos sin )(x x x x x x x f -='⎪⎭⎫⎝⎛=. C xxx x x x x dx x f x xf x xdf dx x f x +--=-=='⎰⎰⎰sin sin cos )()()()(2 C xxx +-=sin 2cos .第五章 定积分一、选择题：1.. B2. D3. D4. C二、填空题：1．)())(()())((x m x m f x g x g f '⋅-'⋅ ; 2. a I = ; 3. 21I I < ; 4. 奇.三、计算题：1. 解：原式=0cos 12232=-ππx .2. 解： ⎰⎰⎰-====+++-110104)(1111a r c t a n 01|a r c t a n 22πe e de dx dx x x e e e e e x x x x x .3. 解：,sin t x =令⎰⎰=-t td t dx x xsin cos sin 12202210π则dt t t 220cos sin ）（π⎰=16)4sin 32181(4cos 1812sin 412020220π）（πππ=-=-==⎰⎰t t dt t tdt4. 解： ⎰⎰-=⎰⎰==-ππππ0022210022cos 1222]2cos [sin xdx x dx x dx x xdx x I x ，⎰⎰⎰-==ππππ22122122122sin 0|2sin 2sin 2cos xdx x x x d x xdx x=⎰⎰=-=ππππ0022121212cos 0|2cos 2cos xdx x x x xd ，4361ππ-=I.5. 解: 令 2-=t u 则du u f dt t f ⎰⎰-=-1131)()2(1110121137134)1()(------=+-=++=⎰⎰⎰e e du e du u du uf u .6. 解：⎰⎰∞+∞+∞+-==ee e xx d x dx x x ln 1ln )(ln 1ln 1221]ln 1ln 1lim [=--=+∞→ex x7. 解：2121221221arccos1)1(11))1(1(1x x d xdx x x =--=-=⎰⎰原式 4arccos lim 22arccos 1π=-=→x x8. 解：21cos 21lim 2cos lim 2tan cos lim tan cos lim 20220220022002-=-=⋅-=⋅-=++++→→→→⎰⎰x x x x x x x x x dtt dtt t x x x x xx四、综合题：1. 证：令x t -=π则⎰⎰⎰⎰==--=202022sin sin )(sin sin ππππππxdx tdt dt t xdx n nnn所以⎰⎰⎰⎰=+=20220sin 2sin sin sin πππππxdx xdx xdx xdx n nnn2. 证明：.0]0[)(）内可导显然，上连续，在（，在ππx F，时，当0cos )(],0[>='∈-x e x F x x π .)(],0[单调递增时，当x F x π∈∴).0()2(],0[)(F F x F ，最小值为上的最大值为在ππ∴高等数学（上）大作业 参考答案 第 11 页 共 11 页第六章 定积分的应用一、选择题：1. C2. C二、计算题：1．解：对x y 62=两边求导得yy 3='，从而得曲线在点)3,23(处的法线斜率1-=k . 法线方程为:029=-+y x ，故所围图形面积为：dy y y ⎰---392)629(=48.2．解:设所求面积为S ，则有对称性知)2cos 21)sin 2(21(246260⎰⎰+=πππθθθθd d S 23162cos )2cos 1(4660-+=+-=⎰⎰πθθθθπππd d3. 解：dx y S ⎰'+=4021π dx x x ⎰+=4022cos sin 1πdx x ⎰=40sec π40tan sec ln πx x +=40tan sec ln πx x +=)21ln(+=4．解：体积元为dy y dV 2)4(π=，所以πππ12|1161641412=-==⎰y dy yV .5. 解： .1ln xy x y ='∴= .1),(11)1,(ln x e y e x e y e x y =-=-=∴即的切线方程为过曲线 .1ln 轴围成与，直线由曲线x x ey x y D ==∴ 体的体积为轴旋转一周所得的旋转绕x D ∴ dx x e V e ⎰-=12ln 31ππe x x x x x e 12]2ln 2ln [31+--=ππ e ππ322-=。
高等数学大一练习题辅导
高等数学大一练习题辅导一、极限与连续1. 计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$ 2. 判断下列函数在指定点的连续性：(1) $f(x) = \sqrt{x^2 1}$ 在 $x = 1$ 处(2) $f(x) = \frac{1}{x^2 4}$ 在 $x = 2$ 处3. 求下列函数的间断点：(1) $f(x) = \frac{\sin x}{x}$(2) $f(x) = \frac{1}{e^x 1}$二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) $y = x^3 3x + 2$(2) $y = \ln(x^2 + 1)$(3) $y = \frac{1}{\sqrt{1 x^2}}$2. 求下列函数在指定点的微分：(1) $y = e^{2x}$ 在 $x = 0$ 处(2) $y = \arctan x$ 在 $x = 1$ 处3. 判断下列函数的单调性：(1) $f(x) = x^3 3x$(2) $f(x) = e^{x^2}$三、积分与微分方程1. 计算下列不定积分：(1) $\int (3x^2 2x + 1)dx$(2) $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 1}}dx$2. 计算下列定积分：(1) $\int_{0}^{1} (x^2 + 1)dx$(2) $\int_{1}^{e} \ln x dx$3. 求下列微分方程的通解：(1) $y' + y = e^x$(2) $y'' 2y' + y = x^2$四、级数1. 判断下列级数的收敛性：(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1)^n}{n}$ 2. 求下列幂级数的收敛区间：(1) $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$3. 求下列函数的泰勒展开式：(1) $f(x) = e^x$ 在 $x = 0$ 处(2) $f(x) = \sin x$ 在 $x = 0$ 处五、空间解析几何与向量代数1. 求下列向量的模：(1) $\vec{a} = (2, 1, 3)$(2) $\vec{b} = (4, 5, 2)$2. 求下列向量的夹角：(1) $\vec{a} = (1, 2, 3)$ 与 $\vec{b} = (2, 1, 4)$3. 判断下列向量组是否线性相关：(1) $\vec{a} = (1, 0, 1)$，$\vec{b} = (0, 1, 1)$，$\vec{c} = (1, 1, 2)$六、多元函数微分法1. 求下列函数的偏导数：(1) $z = x^2 + y^2$(2) $z = \ln(xy)$2. 求下列函数的全微分：(1) $z = x^2 + 3xy + y^2$(2) $z = \frac{x}{y}$3. 求下列函数在指定点的梯度：(1) $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在点 $(1七、重积分1. 计算下列二重积分：(1) $\iint_D (x + y) dxdy$，其中 $D$ 是由 $y = x$ 和$y = x^2$ 所围成的区域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高数作业及课堂练习注意：（1）没有布置的习题，请利用课余时间自行完成；（2）总习题一定要自行练习。
第一章：函数与极限第一节 映射与函数1、试求下列各题中的()f x 表达式：（1）2211()sin() 2 , 1f x x x xx +=++> （2）22(sin )cos(2)tan , 0<1f x x x x =+< 答案：（1）2()sin(2) 2 , 2f x x x =-+>（2）21()2, 0<sin 11f x x x x=-+<- 2、设满足方程：1()()sin , a af x bf x b x +-=≠ ，求()f x 。
答案：2211()(sin sin )f x a x b a b x=+- 3、 设22(,)+cos() yf x y x y xy x+=- ，求(,)f x y 。
答案：222(1)(,)cos ) , (y 1)1(1)x y x yf x y y y -=+≠++ 4、设() f x 是以T 为周期的函数，证明：() ( a>0 ) f ax 是以Ta为周期的函数。
5、设函数() , (,) f x x ∈-∞+∞的图形关于 , x a x b ==对称（ a b ≠），证明： () y f x =是周期函数，并求其周期。
提示：() () , () ()f a x f a x f b x f b x +=-+=-，于是() [()] [()] (2) =[(2)] f x f a x a f a x a f a x f b a x b =+-=--=-+--=[(2)] =[2()] f b a x b f x b a ---+-所以，() yf x =是周期函数，其周期=2() T b a -6、设2+2 , <0e , <1() = , () = , 1-1 , 0x x x x f x x x x x x ϕ⎧⎧⎨⎨≥≥⎩⎩ ，求(())f x ϕ。
答案：“用分析法”2212e , <-12 , -10(())e , 01 , x x x x x f x x x x ϕ+-⎧⎪+≤<⎪=⎨≤<⎪⎪-≥⎩7、设2 , <01() = () , () = 2 , 0x x f x x x x x x ϕ⎧+⎨≥⎩ ，求(())f x ϕ。
答案：“用图示法” 20 , <0(()) , 0x f x x x ϕ⎧=⎨≥⎩第二节 数列的极限 第三节 函数的极限1、证明：01lim cos x x→不存在。
第四节 无穷小与无穷大 第五节 极限的运算法则1、确定下列各题中的常数,a b ：① 设：)0x ax b →∞+= （答案：1,0a b =-=）② 设：lim (32x x →+∞= （答案：9,12a b ==-）2、求极限：2 limx（答案：2-） 3、求极限：22 lim 23x x x x x e e e e -→+∞++ （答案：12） 4、求函数极限：0lim ()x f x →（1）1111()arctan 1x x e f x x e +=- （2）1,0 2() 0 ,0 ,0x e x x f x x x ⎧->⎪⎪⎪=>⎨<⎩（答案：（1）2π（2）12） 5、求极限：20 x → （答案：43）第六节 极限存在准则 两个重要极限1、求极限：0sin limx xx→。
（答案：不存在）2、求极限：0213sin 2sin lim x x xx x→+。
（答案：2）3、求极限：213sin2sin limx x x x x→∞+。
（答案：3） 第七节 无穷小的比较1、求极限：1 x →（答案：1）第八节 函数的连续性与间断点1、讨论：1 , 1()cos , 12x x f x xx π⎧->⎪=⎨≤⎪⎩的连续性。
提示：1 , 1()cos , 1121 , 1 x x f x x x x x π-<⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩ 所以，函数在(,1)(1,)-∞-+∞ 连续2、讨论函数()n f x =(0)x ≥。
提示：211 , 021()2 , 22 , 2 x f x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪≤<+∞⎪⎩所以，函数()f x 连续3、求函数：32- , 0sin ()1ln(1+)sin , 01x xx x f x x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪-⎩ 的间断点，并指出类型。
提示：1,0,1,2,3,x =--- 4、求函数：2ln ()32xf x x x =-+ 的间断点，并指出类型。
提示：1,2x=5、研究函数()lim (0)1nn x x f x x x →∞=≥+ 的连续性。
6、设函数2122()lim 1n n x x ax bxf x x -→+∞++=+ 处处连续，求,a b 的值。
（答案：0 , 1a b ==）7、求常数,a b 的值，使b ln(1-2), 0() , 0e 1 , 0 x x x x f x a x bx x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪+-⎪>⎪⎩在00x =处连续。
（答案：2,1a b =-=-）8、 证明：若函数()f x 是连续的，则函数 -c , ()() () , () c , ()f x cg x f x f x c f x c <-⎧⎪=≤⎨⎪>⎩也连续，其中c 是常数。
（提示：可以利用“-εδ”定义来证明）第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第十节 闭区间上连续函数的性质1、设() f x 在 [0,2] 上连续，且(0)(2)f f =，证明在[0,1] 上至少存在一点0 x ，使得00()(1) f x f x =+。
2、设() f x 在[0,2] a 上连续，且(0)(2) f f a =，则方程()(1) f x f x =+在[0,] a 内至少有一个实根。
3、证明：三次多项式至少有一个实根。
4、试证：方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根，其中0 , 0a b >>。
5、试证：方程21x x ⋅=至少有一个小于1的正根。
6、设() f x 在[0,1] 上连续，且0() 1 f x ≤≤，证明：至少存在一点[0,1] ξ∈，使得()f ξξ=。
7、设函数() f x 和() g x 均在[,]a b 上连续，且()() , ()()f a g a f b g b <>，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ=。
8、设函数() f x 在[,]a b 上连续，且a c d b <<<，证明：至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()()()() , (>0p f c q f d p q f p q ξ+=+。
第一章：函数与极限第一节 微分中值定理1 、求函数2()2 1 y f x x x ==--在 [1,3] -上满足拉格朗日中值定理中的ξ。
(1)ξ=2 、验证拉格朗日中值定理对于函数23 , 1() 2 , 1x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩在 [0,2]上的正确性。
1(2ξ=3 、设函数()f x 在 [0,1] 上连续，在(0,1)上可导，且(0)(1)0f f ==，试证：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()()0f f ξξξ'+=。
4 、设函数() , ()f x g x 都在 [,] a b 上连续，在(,)a b 上可导，且()0 , [,] , ()()()()g x x a b f a g b f b g a ≠∀∈=，试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()f g f g ξξξξ''=。
5 、设函数()f x 在 [,] a b 上连续，在(,)a b 上可导，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f f a f b ξξξ-'=-成立。
6 、设函数()f x 在 [,] a b 上连续，在(,)a b 上可导，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()[()()](b f b a f a f f b a ξξξ'-=+-。
7 、函数()f x 的一阶导数()f x '在[0,)+∞内为单调递减函数，且(0)0f =，证明：对任何12 , x x ，有1212(+)()()f x x f x f x <+。
8 、设函数()f x 在 [,] a b 上连续，在(,)a b 上可导，且()0 , (,)f x x a b '≠∀∈，证明：存在12 , (a,b)ξξ∈，使212()()b a f e e e f b aξξξ-'-='-。
9 、设函数()f x 在 [,] a b 上连续，在(,)a b 上可导，且0a >，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得222[()()]()()f b f a b a f ξξ'-=-成立。
10、设函数()f x 可导，试证，在()f x 的两个零点之间，一定有()()f x f x '+的零点。
11、设函数()f x 在 [0,1] 上连续，在(0,1)上可导，且0()1,()1f x f x '<<≠，试证：在(0,1)内至少存在唯一的ξ，使得()f ξξ=。
12、证明：方程310x x +-=在区间(0,1)内只有一个实根。
微分中值定理中的释疑解惑：1 、在费马引理中，若函数()f x 在0x 可导并取得极值，则0()0f x '=，这两个条件缺一，费马引理就不一定成立。
例：3() , ()f x x f x x ==。
因此，我们有驻点不一定为函数的极值点；0()0f x '=是可导函数()f x 在点0x 取得极值的必要条件，并非充分条件。
2 、在罗尔（Rolle ）定理中，“函数()f x 在闭区间 [,] a b 上连续，在开区间(,)a b 上可导”这两个条件是否可以合并成“在闭区间 [,] a b 上可导”一个条件，这样不是更简单吗？答：函数()f x “在闭区间 [,] a b 上可导”不仅包含了函数()f x “在闭区间 [,] a b 上连续，在开区间(,)a b 上可导” 这两个条件，还包含着函数()f x 在闭区间两端点 ,a b 的右导数'()f a +和左导数'()f b -也存在。