椭圆性质大全(92条含证明) (1)

椭圆

1.122PF PF a +=

2.标准方程22

221x y a b += 3.

11

1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.

5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.

9．椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点

的轨迹方程是22

221x y a b

-=.

10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y

a b +=.

11．若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是

00221x x y y

a b

+=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2

2OM AB b k k a

?=-.

13．若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.

14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y

x y a b a b

+=+.

15．若PQ 是椭圆22

221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.

16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22

2211A B a b +=+;(2)

42422a A b B L +=. 17．给定椭圆1C ：222222

b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：22222222

2

()a b b x a y ab a b

-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222

02

222(,)a b a b x y a b a b

---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'

P 点.

18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22

221x y a b

+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为

k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2

122

11m b k k m a +?=-

?-. 19．过椭圆22

221x y a b += (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定

向且20

20

BC b x k a y =（常数）.

20．椭圆22

221x y a b

+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的

面积为122

tan 2

F PF S b γ?=，2222(tan ,tan )22a b P c b c c γγ-± . 21．若P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则

tan tan 22

a c a c αβ

-=+. 22．椭圆22

221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).

23．若椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当

211e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

24．P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,

当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.

25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是2222

0222

()a b x a b k -≤+.

26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ??

=??

=?（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2

2

11sin e ?=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22

221x y a b

+=相交于,P Q ,则AP BQ =.

30．在椭圆22221x y a b +=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()

2222222

221()cos sin x y m a b a b αα??=-++???

?,其中

tan bx

ay

α=-

,当0y =时, 90α=. 31．设S 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB

中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,c e a =);当l S <Φ时，有220max ()42a

x b l b

=-0min ()0x =.

32．椭圆22221x y a b

+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222

A a

B b

C +≥.

33．椭圆22

0022

()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 34．设椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,

12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin c

e a

αβγ==+.

35．经过椭圆222222

b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则

2

1122||||P A P A b ?=.

36．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）

2222

1111

||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ

S ?的最小值是22

22

a b

a b +. 37．MN 是经过椭圆222222

b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.

38．MN 是经过椭圆222222

b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则

222

2111

||||a MN OP a b +=+.

39．设椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交

于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2

b y m

=)上.

40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭

圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.

41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

42．设椭圆方程22221x y a b +=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'

2b kk a

=-.

43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22

221x y a b

+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不

在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββ

αα?+=

?+. 44．已知椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、

F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()

2

22222

2

222a y b x x c c y a y b x c ??+±??=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.

46．过椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则

||||2

PF e

MN =.

47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为21

21

b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L

的距离, 12,r r 分别是A 12rr d ab =.

48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和22

22x y a b

λ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则

│AB│=|CD│.

49．已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则

22220a b a b x a a

---<<.

50．设P 点是椭圆22

221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则

(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122

tan 2

PF F S b θ?=.

51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相

应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()2

2

2

2

90()

a n m a m MBN a m

b n a --∠=?=++. 52．L 是经过椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，

若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.

53．L 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L

与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||ab

PH c

=时取等号）.

54．L 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率

为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2

sin arc e α≤（当且仅当22||b PH a c c

=+.

55．已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1

连结起来，则2222

112

(2)||||a b b F A F B a

-≤?≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.

56．设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，

c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2

tan tan 1e αβ=-.(3) 222

2

2cot PAB a b S b a γ?=-. 57．设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、

B x 的横坐标2A B x x a ?=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.

58．设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与

这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ?=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满

足2A B x x a ?=.

59．设'

,A A 是椭圆22221x y a b

+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'

AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线

22

221x y a b

-=.

60．过椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()

||||ab a b AB CD a b a +≤+≤+.

61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a c b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222

()x a y b ±+=.

62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a c

b -（

c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆

222()()a b x y e e

±+=.

63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a c

b -（

c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆

22222()()a b

x y e e

±+=（e 为离心率）.

64．已知P 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上一个动点，'

,A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的

轨迹方程是222

241x b y a a

+=.

65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.

66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121

b x a y -的直线l ，过'

,A A 分

别作垂直于长轴的直线交l 于'

,M M ,则（1）'

'

2

||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .

67．已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,

点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.

68．OA 、OB 是椭圆22

2

2()1x a y a b

-+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点22

22(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22222

2222()()ab ab x y a b a b

-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆22

2

2()1x a y a b

-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点222222222

2()()

(,)ab m a b n b a a b a b +--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是 22224222222222222

[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠).

70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）2

12d d b =，且F 1、F 2在L 同侧?

直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧?直线L 和椭圆相离，（3）2

12d d b <，或F 1、F 2在L 异侧?直

线L 和椭圆相交.

71．AB 是椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则

梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是22

2241(0)x y y a b

+=≠.

72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22

221x y a b

+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当

弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max

2

()(||||)a b a y b x PA PB b -+?=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,

22222200min

2

()(||||)a b a y b x PA PB a

-+?=. 73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.

77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)

78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例. 81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.

82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.

85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.

88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.

89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及b

y x a

=-的平行线，与x 轴

于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222

||||2OQ OR b +=.

90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:b

l y x a

=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若

222

||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b

+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是

22

22

1(0,0)x y a b a b +=>>. 91. 点P 为椭圆22

221(0,0)x y a b a b

+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、

x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ?与ONR ?的面积为12,S S ，则：122

ab

S S +=.

92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b

y x a

=-于,Q R ，记 OMQ

?与ONR ?的面积为12,S S ，已知122

ab

S S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.

椭圆性质92条证明

1.椭圆第一定义。

2.由定义即可得椭圆标准方程。

3.椭圆第二定义。

4. 如图，设00(,)P x y ，切线PT （即l ）的斜率为k ，1PF 所在直线1l 斜率为1k ，2PF 所在直线2l 斜率为2k 。

4图

5图

由两直线夹角公式12

12

tan 1k k k k θ-=

+得：

,0,2

παβαβ??

∈∴= ??

?

同理可证其它情况。故切线PT 平分点P 处的外角。

5.如图，延长F 1P 至A ，使PA=PF 2，则2PAF ?是等腰三角形，AF 2中点即为射影H 2。则122

F A

OH a ==，

同理可得1OH a =，所以射影H 1，H 2的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。

6.设P ，Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为12,d d ，以PQ 中点到准线的距离为d ，以PQ 为直径的圆的半径为r ，则

1222d d PF FQ r

d r

e e

++=

==>，故以PQ 为直径的圆与对应准线相离。 7图 8图

7.如图，两圆圆心距为122

2222

PF a PF PF d OM a a r -==

==-=-，故两圆内切。 8.如图，由切线长定理：11121222FS FT PF PF F F a c +=++=+，11

FS FT a c ==+ 而1

12FT a c F A =+=，T 与2A 重合，故旁切圆与x 轴切于右顶点，同理可证P 在其他位置情况。 9.()()()()22

001210020022

,0,0,,,1x y A a A a P x y P x y a b

--+=易知,设,则()()00112200:,:y y A P y x a A P y x a a x a x =+=-+- 10.

000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上22

00221x y a b ∴+=，对22221x y a b +=求导得：'22220x yy a b +=2'

020

b x y a y ∴=-

∴切线方程为()20

0020

b x y y x x a y -=--即22

000022221x x y y x y a b a b +=+=

11.设()()111222,,,P x y P x y ，由10得：

01010202

22221,1x x y y x x y y a b a b

+=+=，因为点12,P P 在直线12P P 上，且同时满足方程00221x x y y a b +=，所以00212

21:P x y a P x y

b

+= 12.()()()112200,,,,,A x y B x y M x y 设2222112222221,1x y x y a b a b +=+=则有作差得：

2222

1212

22

0x x y y a b --+= 13.由12可得：()202000b x x x a y y y ---=222222

00000a y y a y b x x b x ?-+-=

14. .由12可得：2

200b x x y y y x a

-?-=-222222000a y a y y b x b x x ?-+-=

15.设()()

'

'

cos ,sin ,cos ,sin P a t b t Q a t b t ，则''sin sin 1cos cos OP OQ

b t b t k k a t a t ?=?=-2'

2tan tan a t t b

∴?=- 16.将直线AB 代入椭圆方程中得：()()

222222222210A a B b x Aa x a B b +-+-=

(

)

222

2

2

22

41a B b

A a

B b ?=+-，22

222222

22

21ab A B AB A a B b A a B b +=+-+设()()1122,,,A x y B x y 则2

1222222Aa x x A a B b +=+，()2221222221a B b x x A a B b -=+，()

222122222

1b A a y y A a B b

-=+ OA OB ⊥

17.()I 设椭圆内直角弦AB 的方程为：()y x m k n -=-即y kx m kn =+-。 当斜率k 存在时，代入椭圆C 1方程中得：(

)()()2

222

222220a k b

x a k m kn x a m kn b ??++-+--=??

设()()1122,,,A x y B x y 得()122

2222a k m x x kn a k b +=+--，()2

2122222

a m kn

b a k b

x x ??--=??+

则()()()()01020102PA PB x x x x y y y y ?=--+--

即直线AB 过定点2222002222,a b b a x y a b a b ??

-- ?++??

，此点在C 2上。当直线斜率不存在时，直线AB 也过C 2上的定点。 ()II 由上可知C 1和C 2上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。

18.必要性：设P 1P 2：()00k x m m y y x =-+。k 存在时，代入椭圆方程中得：

设()()111222,,,P x y P x y 得()202222102a km y kx b x a x k +++=，()2

2222

0012222

a m y kx a

b a k b

x x +-+= k 不存在时，P 1P 2：x=mx 0则2220b y a m x a

=-，

必要性得证。

充分性：设P 1P 2过定点(),q p ，则P 1P 2：y kx p kq =+-。代入椭圆方程得：

设()()111222,,,P x y P x y 得()1

222222a k p x x kq a k b +=+--，()2

22

22

1222a p kq a x b a b x k --+= 则()()()()

()()()()2

21020120120122

1020120120y y y y k x x k p kq y x x p kq y k k x x x x x x x x x x --+--++--?==---++

注意到m≠1，解（1）（3）得00,p my q mx =-=，代入（2）式，成立。

验证k 不存在的情况，也得到此结论。故l 过定点()()00,1mx my m -≠，充分性得证。 19. 设AB ：()00k y x y x =--即00y kx y kx =+-

20.由余弦定理：()()

()2

2

2

2

2121212122cos 242cos 1PF PF PF PF c PF PF c PF PF γγ+-=?+=++

21.由34：

()()

sin sin sin 1sin sin sin 1sin sin sin sin sin sin a c e a c e βααββαγβαγβααβ+-+--+-===

+++++++ 22.由第二定义得：22100200,a a MF e x a ex MF e x a ex c c ??

??=+=+=-=- ? ?????

23.

()1221000211PF PF e

e PF e PF a ex e a ex x a d PF e e

-==?=??-=+?=+ 24.22222APF PF AF PA PF AF ?-≤≤+在中,有

25.设椭圆上的点()()1122,,,A x y B x y 关于:l y kx m =+对称，()

'

'

00,M x y 。

由12得：()2'

2'2'220''00002'2'2'

220001,AB

a kx m

b x a y a m b m k k x y a y k b x b x

c k c

+=-=-?==?=-=- 又

M 在椭圆内，()2

2222222

422424

42

222

1a b k m a m b m

c k m c k c

c k a b k <

+∴

+=

2

2

24

2

222222

a b c x a b k a b k <-=

++

26.由5即可得证。

27.设P ()cos ,sin a b ??，则切线cos sin :1l x y a b ??

+=，A 2cos ,1sin a b a c c ??????- ? ??

???

27图

30图

28.()()()22222cos ,sin ,:sin cos cos cos P a b b c a c a c a ??????=-+=-设由射影定理有

29.设()()2222

122222:1,:1,:0x y x y C C k k AB l Ax By C a b a b +=+=>++=。联立1,C l 得：

()2

2

22

2

2

2

2

22

2

20A a B b x Aa Cx a C a b B +++-=，由韦达定理：222222A B Aa C

x x A a B b +=-+

同理22222

2P Q Aa C x x A a B b +=-+。则AP -)

222

222111A P B Q A P B Q A A A x x x x x x B B B

+-+-=+--- 而,A P B Q x x x x --的符号一定相反，故A P B Q x x x x ---=()

A B P Q x x x x +-+=0。所以AP=BQ 30.设()()cos ,sin ,cos ,sin A a b B a b θθ??，()00,M x y 为AB 中点。 则()

()2

2

2

2

222

2

22

2

2cos cos sin sin 4sin sin 4cos sin 42222

AB a

b a b m θ?

θ?

θ?

θ?

θ?θ?+-+-=-+-=+=

而00cos cos sin sin cos cos ,sin cos

222222

a a

b b x a y b θ?θ?θ?θ?θ?θ?++-++-==== 设22

sin ,sin 22

A B θ?θ?-+==，则()()()()2222222

0011,1,1x a A B y b A B m a AB b A B =--=-=+- 解得2

0222

00222200221,y x y b A B x y a b a b ??=-+= ???+，代入m 2得：2222

00

22222002

22222000022221a y b x x y b a m x y x y a b a

b a b ?? ?????=-++ ??? ? ?????++ ???

令00tan bx ay α=-得：()2222

222220000222

222222

tan cos sin tan tan 1111x y x y a b m a b a

b a b ααααα???????????=-++=-++???? ? ? ?++?????????? 所以定长为2m （0＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()222

2222

221()cos sin x y m a b a b αα??=-++???

?。

其中tan bx

ay

α=-

,当0y =时, 90α=。 31. 设()()cos ,sin ,cos ,sin A a b B a b ααββ，()00,M x y 为AB 中点。则：

二次函数y=e 2x 2

-mx+a 2

与24l y =在[]0,a 内的交点即为x 0的值。由图易知y=e 2x 2-mx+a 2

与2

4

l y =的左交点为x 0的值。当m

增大时，x 0减小。要使x 0最大，则要使m 最小。

2

22

02

cos 22

cos 2

x c cx αβ

αβ

++≥+，此时等号成立时2

0max

0max cos 12

x x c c

αβ

+=

≤?≤ 31图

35图

当此式成立时2222

2

2

222

0max 0max 0max 0max 244222l l l a l a l y e x mx a e x cx a ex a x e e c e

=-+=?-+=?-=-?=-

=- 当20max

22a l a l x c e e c e =-=-=时：()()()222

242=b l ce a l a ce a =-?=-=Φ通径 当0max

x c ≤时：22=b l a ≥Φ∴当22=b l a ≥Φ时0max x c ≤，20max 2a l x c e

=

-。 当0max x c >时，当2

cos

12

αβ

+=，即AB 垂直于x 轴时x 0最大。

考虑到对称性0min 0x =对任意情况均成立。

0min 0x ∴=，22200max 0max

2

2220max 2,=,cos 2224,=cos 122x a l b x c l AB c e a c x a b b l x c l AB x b a αβαβ???+-≤≥Φ=? ?

??

?=?+?-><Φ⊥=???过焦点，，轴， 32.()()222222

2222222222200

b x a y a b A a B b x a ACx a C B b Ax By C ?+=?+++-=?

++=? 33. ()()222222000

b x x a y y a b

Ax By C ?-+-=??++=??

当000x y ==时，即为32：22222A a B b C +≥

34.由正弦定理得

1221

sin sin sin F F PF PF αβγ

==，所以

1212sin 2sin sin 2F F c c e PF PF a a αβγ====++。 35. 设()cos ,sin P a b ??，则P 点处的切线为

cos sin 1x y a b

??

+=， 由此可得：()()121cos ,1cos sin sin P P b b

y y ????=+=-()22211222

1cos sin b P A P A b ??

-∴?== 36.（1）同15.

（2）由15,36（3）：222222

22222

2211||||||||||||||||4OPQ OP OQ OP OQ a b OP OQ OP OQ S a b

?++++=== （3）设()()cos ,sin ,cos ,sin P a b Q a b θθ??，2

2

2

2cos cos sin sin 0tan tan a OP OQ a b b

θ?θ?θ?=-?=+=?

37.设cos ,:sin x t MFx AB y t θθθ=?∠=?=?

，椭圆21cos p b p e a ρθ??

== ?+??

37图 38图

则22

2222222222221cos 1cos 1cos cos sin cos p p p ab ab MN e e e a c a b θθθθθθ=+===+---+

将AB 的方程代入椭圆的标准方程中得：22

2

2222

sin cos a b t a b θθ

=+，由参数t 的几何意义可知： 38.作半弦OQ ⊥OP ，由37得：2

2

a

OQ MN =

，由15：2222

2111211||||||OP OQ OP a MN a b +=+=+ 39.设()()1122:,,,,l x ty m P x y Q x y =+，将l 的方程代入椭圆得：(

)()2

22

2

222220a b t

y

b mty b m a +++-=

由韦达定理得：()22221212222222

2,b m a b mt

y y y y a b t a b t -+=-=++，直线A 1P 的方程为()11

y y x a x a =++，直线A 2Q 的方程为()2

2y y x a x a =

--，联立A 1P 和A 2Q 得交点N 的横坐标()()()()12

2121

2ty y a m y m a y x a a m y a m y +++-=++-，代入化简： 所以交点一定在直线2

a x m

=上。同理可证M 在y 轴上的情况。

引理（张角定理）：A,C,B 三点按顺序排列在一条直线上。直线外一点P 对AC 的张角为α，对CB 的张角为β。 则：

()sin sin sin PC PB PA

αβαβ

+=+

40图 41图

40.如图，A 为左顶点时，设,PFH MFH θ?∠=∠=，则,AFP PFM πθθ?∠=-∠=-

2222,cos a b b p p b FH c FM p c c ae e e a ???

=-===== ???

。 对F-APM 由张角定理：

()()()sin sin sin FP FM FA π?πθθ?---=+ 0θπ?θ?<<∴=-即FM 平分PFH ∠，同理FN 平分QFH ∠。90MFN ∴∠=即MF ⊥NF

当A 为右顶点时，由39可知左顶点A’与P 、M ；Q 、N 分别共线，于是回到上一种情况。 41.如图，设22,PFA MFA θ?∠=∠=，则12,A FP PFM A FQ πθθ?,πθ∠=-∠=-∠=- 对F-QA 2M 和F-A 1PM 由张角定理：

()()()()()12sin sin sin sin sin sin ,FP FM FA FA FM FQ

π?πθθ?πθ?πθ?

----+-=+=+

两式相减并化简得：

()()()12

sin sin sin sin sin sin FP FQ FA FA θ?θ????θ?--+=+?=-

0θπ?θ?<<∴=-即FM 平分2PFA ∠，同理FN 平分2QFA ∠。90MFN ∴∠=即MF ⊥NF

42.由12即可证得。 43.设()00,P x y ，AB ：00cos sin x x t y y t αα=+??

=+?，CD ：00cos sin x x t y y t β

β

=+??=+?，将AB 的方程代入椭圆得：

由参数t 的几何意义可知：2222

22

00122222

cos sin b x a y a b PA PB t t b a αα

+-?==

+，同理2222

22

002222

cos sin b x a y a b PC PD b a ββ

+-?=

+

44. 对于外角平分线的情况由5即可证得，下仅证l 为内角平分线的情况。 设P ()cos ,sin a b ??，则0cos sin :

1cos sin 0l x y b a ab a b

??

??+=?+-= 则2

:sin cos sin cos 0l a x b y c ????--=，1:cos sin cos 0l b x a y bc ???++=

2:cos sin cos 0l b x a y bc ???+-=。分别联立l 、1l 和l 、2l 得：

()2212222cos sin cos sin cos ,sin cos cos c ac b bc H a b a c ??????????- ?- ?+-??，()2222222cos sin cos sin cos ,

sin cos cos c ac b bc H a b a c ??????????

+ ? ?++??

则12sin cos H ac x c a c ??+=-，22sin cos H ac x c a c ?

?-=-+ 对1H 点：()()tan tan b x c b x c ay ay

??++=-?=-

()

()

2

2

2

2

2

2

2

2

sin b x c a y b

x c a y b

x c ??+∴==

++++，代回1H x c +式得：

同理对2H 点得()()2

222222222a y b x x c c y a y b x c ??+-??=+-。故1H 点、2H 点的轨迹方程为()()

2

222

22

2

222a y b x x c c y a y b x c ??+±??=+± 45.由伸缩变换'

a

y y b

=

将椭圆（左图）变为圆（右图）

，椭圆中的共轭直径变为圆中相互垂直的直径。所证命题变为证CD 与圆O 相切的充要条件是D 为EF 中点。

充分性：若D 为EF 中点 ∵C 在圆上，AB ⊥OE ∴FC ⊥CE ，OF ⊥OB ∴CD=DE=DF ∴∠DCF=∠OFB=∠OAC=∠OCA ∴∠OCD=∠OCA+∠ECD=∠ECD+∠DCF=∠ECF=90°∴OC ⊥CD ∴CD 与圆相切。 必要性：若CD 与圆相切，则∠OCD=∠ACB=∠FOB=90°∴∠DCF=∠OCA=∠OAC=∠CFD ∴DF=DC ∵∠ECF=90° ∴∠DEC=90°－∠CFD=90°－∠DCF=∠DCE ∴CD=DE=DF 即D 为EF 中点。 46.设MFx ?∠=，由椭圆极坐标方程：2221cos 1cos 1cos p p p

MN e e e ???

=

+=-+-

22cos 1cos 1cos 21cos p p

ep e e HF e ????

-

-+==

-，22cos 1cos HF ep PF e ??==- 2PF e

MN ∴= 47.由10可知l 为切线2

2

22

11:0l b x x a y y a b +-= 224242

11d b x a y ∴=+ 由22:222

121r r a e x =-

48.同29。

49.()()222000

0000222000

,,:AB MP b x a y a y AB M x y k k MP y y x x a y b x b x =-∴=∴-=-设中点为则

50.同20。

51.设()()1122:,,,,l x ty m P x y Q x y =+，代入椭圆方程得：(

)()2

22

2

222220a b t

y

b mty b m a +++-=

由韦达定理得：()22221212222222

2,b m a b mt

y y y y a b t a b t -+=-=

++ 由A 、P 、M 三点共线得()1111M n a y n a

y y x a ty m a ++=

=+++，同理()22N

n a y y ty m a

+=++ 52,53,54为同一类题（最佳观画位置问题），现给出公式：若有两定点A (),0k -，B (),0k ，点P (),m y 在直线x=m 上（m>k ），

则当()()222y m k m k m k =+-=-时，∠APB 最大，其正弦值为

k m

。 52.k=c,m=a ∴sinα≤e,当且仅当PH=b 时取等号。 53. k=a,m=2a c ∴sinα≤e,当且仅当PH=ab

c 时取等号。

54. k=c,m=2a c ∴sinα≤e 2,当且仅当22

b a

c c

+时取等号。

55.设∠AF 2x=θ，()2

1122

42241cos 1cos 1cos p p a p p F A F B a a a e e e θθ

θ-?

??

??=--=+ ??

?+--????

∴当θ=0°时，()

211min

F A F B

b ?=；当θ=90°

时，()()

2

22112

max

2a b F A F B a

-?= ∴()

2

222

112

2a b b F A F B a -≤?≤

56.（1）设cos :sin x t a

AP y t αα

=-??=?，代入椭圆方程得：()222222cos sin 2cos b a t ab t ααα+= ∵AP=t ≠0

∴AP=2222222222cos 2cos cos sin cos ab ab t b a a c αα

ααα

==+-

（2）设()00,P x y 则22

2022

20tan tan 1y b e a x a

αβ===-- （3）2222222222

12sin cos 2tan sin 2cos tan a b a b S PA AB a c a b ααα

ααα=?==-+

由（2）：()2

22222

222222

tan tan tan tan tan tan cot tan tan 1b a b c a b c a b a

αααααβγγαα+++===-?=-+-

57.由58可证。

58.（1）易知PQ 的斜率为0和斜率不存在时，对任意x 轴上的点A 都成立。设:PQ x ty m =+，A （m ，0）

代入椭圆方程得：()()22222222

20a b t y b mty b m a +++-=，则()22221212

222222

2,b m a b mt y y y y a b t a b t -+=-=++ 若PBA QBA ∠=∠，则()()12

122112000BQ BP B B B B

y y k k y ty m x y ty m x x x x x +=?

+=?+-++-=--

（2）作P 关于x 轴的对称点'

P ，由（1）即证。 59.同9。

60.设椭圆21cos cos p b e a c ρ??==--，0,2π???

∈????

。

则()2

222

3cos cos cos cos 22b b b b AB CD a c a c a c a c ππ?

?π??+=+

++--+???

?

-+-+

? ????

?

当4π

?=时，AB CD +有最小值222

8ab a b +；当0?=或2π

时，AB CD +有最大值()222a b a

+ 61,62,63为同一类问题，现给出公式：若点P 到两定点A (),0m -，B (),0m 的距离之比

()0,1PA

k k k PB

=>≠，则P 点的轨迹为一个圆，圆心坐标为221,01k m k ??+ ?-??

，圆的半径为2

21km

k -。 下三个题的比值k 均为

a c

b -，代入上述公式得：圆心坐标为,0m e ??

???

，圆的半径为b m c 。 61.m=c ，圆心坐标为(),0a ±，圆的半径为b 。轨迹方程是姊妹圆()2

2

2

x a y b ±+=。

62.m=a ，圆心坐标为,0a e ??± ???，圆的半径为b e 。轨迹方程是姊妹圆22

2a b x y e e ????

±+= ? ?????。

63.m=2a c ，圆心坐标为2,0a e ??± ???，圆的半径为2b e 。轨迹方程是姊妹圆2

2

222x y a b e e ????

? ????+?

±=。

64.设()()()()'

cos ,sin ,,,,0,,0P a b Q x y A a A a ??-，由'

'

0AP AQ A P AQ ?=?=得2sin cos ,a Q a b ????-- ??

?

消去参数?得Q 点的轨迹方程：222

241x b y a a

+=

65.同37。 66.（1）同35（2）由基本不等式''2AM A M b +≥，则梯形'

'

MAA M 面积的最小值为

1

2222

a b ab ??=。 67.设AC 交x 轴于M ，AD ⊥l 于D 。由椭圆第二定义：1AM BC FM AM BC AF BC e AC CM AD EM CM AD BF AD e

AC

???=

====??? ∴AC 过EF 的中点。

68.（1）由17可知当椭圆方程为22221x y a b +=时，AB 过定点222

2

,0a b a a b ??-?- ?+??。当椭圆方程变为22

22()1x a y a b -+= 时，椭圆向右平移了a 个单位，定点也应向右平移了a 个单位，故此时AB 过定点2222

,0a b a a a b ??-?-+ ?+??即2222,0ab a b ??

?+??

（2）由69（2）P 为原点，即m=n=0时Q 点的轨迹方程是2

2

2222222ab ab x y a b a b ????

-+= ? ?++????

()0x ≠。

69.（1）由17可知当椭圆方程为22221x y a b +=时，AB 过定点()2222

2222

,a b b a m a n a b a b ??--- ?++??

。当椭圆方程变为22

2

2()1x a y a b -+= 时，椭圆向右平移了a 个单位，定点也应向右平移了a 个单位，故此时AB 过定点()2222

2222

,a b b a m a a n a b a b ??

---+ ?++??

即2222222

222()(),ab m a b n b a a b a b ??

+-- ?++?

?。 （2）先证椭圆中心在原点的情况。椭圆方程为：22

221x y a b

+=，()00,P x y ，AB 的斜率为tan k θ=。

由17（1）：AB 过定点2222002222,a b b a x y a b a b ??-- ?++??，设AB ：2222002222b a a b y y k x x a b a b ??---=- ?++??

，PQ ：()001

y y x x k -=-- 两者联立得()()()()()2222000222222221211Q a k y b kx b y y a b k a b k a b -=+++++++，()()()()()2222000

22222222

1211Q b k x a ky a x x a b k a b k a b -=+++++++ 则()()()()()()()()()()

22222220000022222222222222

11tan 22tan 11tan 1tan 1Q b k x b x a x a ky a y x a b k a b k a b a b a b θθ

θθ---=+=++++++++++ 当椭圆方程变为22

2

2()1x a y a b

-+=时，椭圆向右平移了a 个单位，圆心也应向右平移了a 个单位，而半径不变。故此时圆心的坐标为()2222

22,a m a b n a a b a b ??-+ ?++??即2222222,ab a m b n a b a b ??+ ?++??，半径的平方仍为()()

24222

0222a b y a b a b ??+-??+。

∴Q 点的轨迹方程为()()

242222222202222222Q Q a b y a b ab a m b n x y a b a b a b ??+-????+??-+-= ? ?++????+()x m y n ≠≠且。

70.设L:Ax+By+C=0,则1222

2

2

C Ac C Ac d d A B

A B

-+=

=

++ 2221222

C A c d d A B -∴=

+

将L 代入椭圆方程得：(

)22

22

2

22222220A a B b

y

BCb y b C A a b +++-=，()222222224a b A A a B b C ?=+-

212d d b > ?直线L 和椭圆相离，且F 1、F 2在L 同侧。 212d d b = ?直线L 和椭圆相切，且F 1、F 2在L 同侧。 212d d b < ?直线L 和椭圆相交，或F 1、F 2在L 异侧。

71.由35：()()1cos ,1cos sin sin C D b b

y y ????

=

+=-()()111sin sin 21cos 1cos sin M C D y y y b b b ?????∴=+=

+=+-

sin 2

M b y ?

∴=

由2M M D x a y a y +=得cos M x a ?=，消去参数?得M 点的轨迹方程为：()2222410x y y a b +=≠ 72.由43：()

222222

222222

00002222222cos sin sin a b b x a y b x a y a b PA PB b a b c θθ

θ

-++-?=

=

++。当0θ=即AB 与椭圆长轴平行时，

()()

222222

002

max a b b x a y PA PB b

-+?=

；当2

π

θ=

即AB 与椭圆短轴平行时，()()

222222

002

min a b b x a y PA PB a

-+?=

73.同7。 74.同8。 75.由8可知，2F 处的切线长22F T a c c a c =+-=-，同理可证P 在其他位置情况。 76. 如图，由切线长定理PS=PT ，PS+PT=PF 1+PF 2-F 1S-F 2T= PF 1+PF 2-F 1Q-F 2Q= 2a-2c ，所以PS=PT=a-c

76图

77图

77. 设P ()cos ,sin a b ??，由79中得到的内点坐标和22中的焦半径公式：21cos cos M c c x c a e PF a c ?

?

++==+，

22cos cos M c c c x a e PF a c ??--==- 78.

112112222221MF NF MF MF MN F MF F I MF N MF NF NF NF ∠∴

=?=∠平分,同理平分21221221

2MF MF MF MI a NI NF NF NF c e

+∴====+ 79. 设P ()cos ,sin a b ??，则12F PF ∠外角平分线（即切线）cos sin :

1l x y a b ??

+=，由此得外点,0cos a N ??? ???

同理12F PF ∠内角平分线（即法线）2

sin cos ':sin cos 0c l x y b a ab ????--=，由此得内点2cos ,0c M a ??? ??? 80.由79中得到的内外点坐标可得：22cos cos cos c c a

c c c a a ???????-=- ? ?????，即证。 81.由79中得到的内外点坐标可得：2cos cos cos a c a c c c a ???????-=- ? ???

??，即证。

82.同5。 83.同5。 84.由5,7即证。

85. 设P ()cos ,sin a b ??，则12F PF ∠外角平分线（即切线）cos sin :1l x y a b ??+=，cos tan sin tan b

a a b

?

β??=-=-

由50得：2

sin sin tan cot 2bc c b b π??αα??-=== ???

，tan sin b c α?=则

86.由4即证。 87.同4。 88.由71：()()1cos ,1cos sin sin C D b b y y ????

=

+=-，()()12,0,,0F c F c - ()()()22112

1cos 0sin b CF F D a c a c ??

-∴?=+--

= 同理：()()()22222

1cos 0sin b CF F D a c a c ??

-∴?=+--

=

1122,CF F D CF F D ∴⊥⊥，即两焦点在以两交点为直径的圆上。

89. 设P ()cos ,sin a b ??，则()()1:sin cos sin cos b b

l y b x a y x b a a

????-=

-?=+- 同理()2:sin cos b l y x b a ??=-++ ∴()()()2

22

22cos sin cos sin 1sin 2b OM a a b a ???????

??-==-=-????

??

同理()()2

222cos sin 1sin 2ON

a a ???=+=+()()22

2221sin 21sin 22OM ON a a a ??∴+=++-=

同理()()2

2

2

2

2

1sin 21sin 22OQ OR b b b ??+=++-= 90.设P ()00,x y ，则100200:,:b b b b

l y x y x l y x y x a a a a

=

+-=-++ 同理：2

2

2

20000,b b OQ x y OR x y a a ????=-=+ ? ?????2

2

222222

000000222b b b OQ OR x y x y x y b a a a ??????∴+=-++=+= ? ? ???????

均推出P 点的轨迹方程为22

221x y a b

+=。

91.

()()(),,//,//0,,,0,,,,a b P x y PMQ x PNR y M y N x Q y y R x x b a ???

?∴-- ? ????

?轴轴

92. 设P ()00,x y ，则00,Q R a b

x y y x b a =-=- 22

0012122

ay bx ab S S b a ??∴+=+= ??? 由此得P 点的轨迹方程为22221x y a b +=。