不等式复习总结学案
不等式复习学案
1．理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；
2.能用一元二次不等式组表示平面区域，并尝试解决简单的二元线性规划问题，认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的关系。 ◆本章应着重注意的问题
1.不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式性质进行论证时，要注意每一个性质的条件。
2.一元二次不等式的解法是根据一元二次方程根与二次函数图像求解的，在求解含参数的一元二次不等式时，要注意相应方程根的情况的讨论。
3.应用基本不等式求函数最值时，有三个条件：一是a 、b 为正；二是a+b 与ab 有一个为正值；三是等号要取到。这三个条件缺一不可，为了达到使用基本不等式的目的，常常需要对函数式（代数式）进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型。 ◆知识梳理及针对性练习： （Ⅰ）不等式的性质：
1．（对称性）a b b a >?< 2．（传递性）,a b b c a c >>?> 3．（加法法则）c b c a b a ++? 4.（同向不等式相加）,a b c d a c b d >>?+>+
5.（乘法法则）,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >
6.（同向均正可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?>
7.（乘方法则）0,,2n n a b n N n a b >>∈≥?> 8.（开方法则）0,,2a b n N n >>∈≥?>比较两个实数（代数式）的大小——做差法：
第一步：作差并化简，其目标应是化成几个因式之积或几个完全平方式的和或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时进行讨论； 第三步：得出结论。 练习：
1.已知c b a ,,满足,a b c <<且0
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 3.已知a,b,c ∈R,下列命题中正确的是
A 、22bc ac b a >?>
B 、b a bc ac >?>22
C 、b
a
b a 1133 D 、||22b a b a >?>
4. 已知12 b a 的取值范围分别是__________、______________。 5．设,26,37,2-=-==c b a 则c b a ,,的大小顺序是（ ） A ．c b a >> B.b c a >> C.b a c >>. D.a c b >> 6．若f(n)=)(21 )(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈= --=-+?,用不等号连结起来为____________. 7．已知0x ≠，比较22(1)x +与421x x ++的大小 （Ⅱ）一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程 20(0)ax bx c a ++=>之间的关系： （1）二次项系数化为正数； （2）解对应的一元二次方程； （3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图； （4）写出不等式的解集 ②分式不等式的求解可等价转化为整式不等式： 0)()(0)()( x g x f x g x f ? ???≠≥?≥0 )(0)()(0)() (x g x g x f x g x f 0)()(0)()( x g x f x g x f ? ???≠≤?≤0)(0)()(0)() (x g x g x f x g x f ③一元二次不等式恒成立情况小结： 20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立?00a >??? a )(x f a 恒成立max )(x f a ? )(x f a 恒成立min )(x f a ? ④对于含参数的不等式求解时的注意事项及分类讨论的原则： 当二次项系数含参数时，按参数符号进行分类讨论：二次项系数000 ，，= 当二次项系数不含参数时，且能因式分解，但两根大小无法判断时，按两根的大小进行讨论： ，，= 当二次项系数不含参数，且不能因式分解时，按?进行讨论：000 ??=?，， 不论哪类讨论，最后一定要“综述” ⑤一元二次方程根的分布问题 练习：1.不等式0)12(22<+++-a a x a x 的解集为 ( ) A. {}1+< B.{} 1+> 2a x a x << 2. 不等式 2)1(5 2 ≥-+x x 的解集是 ( ) A. ????? ? -21,3 B. ?? ? ???-3,21 C. (]3,11,21??? ? ??? D. (]3,11,21 ?? ? ???- 3. 关于x 的方程02)1(2=-+--m x m x 的两根为正数，则m 的取值范围是 （ ） A. {} 221221+-≥--≤m m m 或 B. {}21< C. { }122-≥m m D. {} 2221<≤+-m m 4．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是( ) A ．31a -<< B ．20a -<< C ．10a -<< D ．02a << 5．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a -+>的解集． 6． 关于x 的不等式2680kx kx k -++<的解集为空集，求k 的取值范围. 7．解关于x 的不等式： （1）0)(322>++-a x a a x ； （2）04)1(22>++-x a ax （Ⅲ）基本不等式： (1)重要不等式： 如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+．（当且仅当b a =时取“=”） (2)均值不等式（基本不等式） ≤2a b +(0,0)a b >>． （当且仅当b a =时取“=”） (3)均值定理的应用 若a,b ,+∈R 且a+b=p(p 为常数)，则ab 存在最____值为_______________ 若ab=s(s 为常数)，则a+b 存在最___________值为________________ 应用均值不等式求函数最值应满足的条件是____________________________ 题型一应用均值定理证明不等式 例1：已知a,b +∈R ,且a+b=1,求证9)11 )(11(≥++b a 对应练习：1. 设a,b 为不相等的正数,那么式子ab 、2b a +、2 2 2b a +、b a ab +2中最小者与最大 者分别是( ) A. b a ab +2与2b a + B.b a ab +2与222b a + C.ab 与2b a + D.ab 与2 2 2b a + 2. 已知ab R ab ∈≠,0,则下列式子总能成立的是（ ） A. 2≥+b a a b B.2-≥+b a a b C.2-≤+b a a b D.2≥+b a a b 3.设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a+b=2，则下列不等式成立的是 （ ） A 、2b a ab 122+<< B 、2b a 1ab 22+<< C 、12 b a ab 22<+< D 、1ab 2b a 2 2<<+ 题型二利用均值不等式求最值 例2：（1）求函数y=x(a-2x)(x>0,a 为大于2x 的常数)的最大值； （2）设x>-1,求函数1 ) 2)(5(+++=x x x y 的最值 对应练习：4．设x >0,则133y x x =--的最大值为（ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 5．设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. 6、下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π ∈ C ．2y = D ．1y x =+ 7. （1）设x 、y ∈R ＋ 且 y x 4 1+＝1,则x ＋y 的最小值为________. （2）若,0x y >,且21x y +=，则11 x y +的最小值为_______ 8. 已知x ＞0,y ＞0且x+2y+xy=30,求xy 的最大值 9、已知圆C ：x 2＋y 2＋bx ＋ay －3＝0 (a ，b 为正实数)上任意一点关于直线l ：x ＋y ＋2＝0的对称 点都在圆C 上，则1a ＋3 b 的最小值为 。 10、 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11 ()()x y x y ++的最小值为 。 11、若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有 正确命题的编号). ①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3 ≥3；⑤1a ＋1b ≥2. 题型三利用均值定理解应用题 例3：某种汽车，购车费用为10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，他的平均费用最少？ （Ⅳ）二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：y kx b >+表示直线上方的平面区域； y kx b <+表示直线下方的平面区域． 练习：1.不等式2x-y-6>0表示的区域在直线2x-y-6=0的（ ） A ．左上方 B.右下方 C.左下方 D.右下方 2. 若点（1,3）和（-4,-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m 的取值范围是：（ ） A.m<-5或m>10 B.m=-5或m=10 C.-5 x-y+2≥0, 5x-y-10≤0, 3.（08年山东）设x,y 满足约束条件 x ≥0, 则z=2x+y 的最大值为 y ≥0, 4.给出平面区域如图所示，若目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值 为（ ） A:41 B:53 C:4 D:35 x-y+2≤0 5.已知变量x,y 满足约束条件 x ≥1 ,则x y 的取值范围是( ) x+y-7≤0 A:[59,6] B:(-∞, ]5 9 [6,+∞) C:]6,3[ D: (-∞,3] [6,+∞) 6、已知y x ,满足?? ? ??≤++≤+≥041 c by x y x x ，目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为1，则c b ,的值为（ ） A 、-1，-4 B. -1，-3 C 、 -2，-1 D 、-1，-2 7、如果点P 在平面区域?? ? ??≤-≤≥021y x y x 内，点)0,3(M ，则PM 最小值为 8、某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下： 问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？ ◆知识巩固练习： 一、选择题 1．对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题：①bc ac c b a >≠>则若,0,；②22,bc ac b a >>则若 ③b a bc ac >>则若,22；④b a b a 11,<>则若；⑤bd a c d c b a >>>>则若,,0． 其中真命题的个数（ ） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 2．不等式x x 283)3 1(2 -->的解集是 （ ） A ．(-2, 4) B ．(-∞, -2) C ．(4, +∞) D ．(-∞, -2)∪(4, +∞) 3．设不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x) ≥0的解集为Φ，则不等式0) () (>x g x f 的解集是 ( ) A . Φ B .+∞-∞,2()1,( ) C . [1，2] D . R 4．已知不等式22210x x k -+->对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是 （ ） A . ( B .(,(2,)-∞+∞ C .)+∞ D .(2,2)- 5. 满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 二、填空题． 6．已知x ＞2，则y ＝2 1 -+x x 的最小值是 ． 7．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图象上运动，则9x ＋3y 的最小值为________． 8．已知0 1 ,则函数y=x(1-3x)的最大值是 ． 9、已知变量y x ,满足约束条件?? ? ??≤-+≤≤+3511535y x x y y x ，若使ky x z +=最小的最优解有无穷多个，则k = 10、若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号). ①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1 b ≥2. 三、解答题 11、 已知：1 >-x ax ． 12、某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜批发加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设)(n f 表示前n 年的纯利润总和（)(n f =前n 年总收入-前n 年总支出-投资额） （1）该厂从第几年开始盈利 （2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案： ①年平均利润达到最大时，以48万元出售该厂 ②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂 问哪种方案更合算？ 13、本公司计划2014年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元。甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟。假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元。问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 14、已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）. （1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围. 基本不等式(导学案) ab，3.4 ab,2 1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等 号“?”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 a，b2、理解利用基本不等式ab 证明不等式的方法 ,2 ab，3、进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决ab,2 一些简单的实际问题 ab，应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式的证明过程；ab,2 理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵 1、回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2、如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案 中找出一些相等关系或不等关系吗？ 1、重要不等式： 22如果a,b,R,那么a，b,2ab(当且仅当a,b时取","号) 1 a，b2、基本不等式：如果a,b是正数，那么 ,ab(当且仅当a,b时取","号).2 a，b3、我们称ab为a,b的算术平均数，称的几何平均数为a,b2 a，b224、a，b,2ab和,ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，2 而后者要求a,b都是正数。 1、已知x、y都是正数，求证： 223333yx(1)?2； (2)（＋）（＋）（＋）?８. xyxyxyxy，xy 92、求(x>5)的最小值. fxx()4,，x,5 283、若x>0,y>0,且,求xy的最小值. ，,1xy 11，4、设a、b?R且a＋b＝1,求＋的最小值 1,a1,b 1、两正数a、b的算术平均数与几何平均数成立的条件。?理解“当且仅当a=b 时取等 号”的数学内涵。 2、当两个正数之积为定值时，其和有最小值 当两个正数之和为定值时，其积有最大值 3、利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等. 4、用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 2 2.1 不等式的基本性质 随堂练习1 姓名 不等式的一个等价关系（充要条件） 从实数与数轴上的点一一对应谈起 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-? 例2 求证：x 2 + 3 > 3x 证：∵(x 2 + 3) - 3x = 04 3 )23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x 2 + 3 > 3x 例3 解关于x 的不等式（m-1）x >x+m 练习 解关于x 的不等式：)1(232≠+>+-a x a a ax ． 2.1 不等式的基本性质 课后巩固1 姓名 1 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小 2 已知0>>b a ，试比较2 222b a b a -+与b a b a -+的值的大小 此题作差后x 分大于0 ，等于0 ，小于0三种情况讨论差的符号 1． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？ 解：设从出发地到指定地点的路程为S ， 甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2， 则 ： 21122,22t n S m S S n t m t =+=+ 可得： mn n m S t n m S t 2) (,221+= += ∴) (2)()(2])(4[2)(22 221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2 从而：甲先到到达指定地点。 3 设 x ∈R 且x ≠－1，比较1 1＋x 与1－x 的大小． 第2讲选修4－5：不等式选讲 JIE TI CE LUE MING FANG XIANG 解题策略·明方向 ⊙︱考情分析︱ 主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点． ⊙︱真题分布︱ (理科) 年份卷别题号考查角度分值 2020Ⅰ卷23分段函数的图象，以及利用图象解不等式10 Ⅱ卷23 绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最 值的问题 10 Ⅲ卷23不等式的基本性质以及基本不等式的应用10 2019Ⅰ卷23重要不等式、基本不等式、证明10 Ⅱ卷23绝对值不等式的解法、分类讨论10 Ⅲ卷23柯西不等式求最值10 2018Ⅰ卷23 含绝对值的不等式的求解、利用不等式恒成立求参数 范围 10 Ⅱ卷23 含绝对值不等式的求解、利用不等式恒成立求参数的 取值范围 10 Ⅲ卷23 含绝对值的函数的图象，利用不等式恒成立求两参数 和的最值 10 年份卷别题号考查角度分值 2020 Ⅰ卷23分段函数的图象，以及利用图象解不等式10 Ⅱ卷23 绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解 最值的问题 10 Ⅲ卷23不等式的基本性质以及基本不等式的应用10 2019 Ⅰ卷23重要不等式、基本不等式、证明10 Ⅱ卷23绝对值不等式的解法、分类讨论10 Ⅲ卷23柯西不等式求最值10 2018 Ⅰ卷23 含绝对值的不等式的求解、利用不等式恒成立求参 数范围 10 Ⅱ卷23 含绝对值不等式的求解、利用不等式恒成立求参数 的取值范围 10 Ⅲ卷23 含绝对值的函数的图象，利用不等式恒成立求两参 数和的最值 10 KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN 考点分类·析重点 考点一绝对值不等式的解法 知识再现 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|＞a(a＞0)?f(x)＞a或f(x)＜－a； (2)|f(x)|＜a(a＞0)?－a＜f(x)＜a； (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 典例悟通 典例1 (2020·沙坪坝区校级模拟)设函数f(x)＝|x－1|＋|2x＋a|. (1)若a＝2，求f(x)≤8的解集； 一 不等式 1不等式的基本性质 知识梳理 1.两个实数大小的比较 a>b ?_____________; a=b_____________a-b=0; _____________?a-b<0. 2.不等式的基本性质 （1）如果a>b ，那么bb,b>c ，那么__________，即a>b,b>c ?__________. (3)如果a>b ，那么a+c__________b+c. (4)如果a>b,c>0，那么ac__________bc;如果a>b,c<0,那么ac__________bc. （5）如果a>b>0，那么a n __________b n (n ∈N ,n≥2). (6)如果__________,那么n n b a >(n ∈N ,n≥2). 3.作差比较法 （1）理论依据：____________________________________. (2)方法步骤:①_________;②_________;③_________;④_________. 知识导学 1.实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是推导不等式性质的依据.与等式相比,主要区别在数乘这一性质上,对于不等式a=b ?ac=bc,不论c 是正数,负数还是零,都是成立的,而对于不等式a>b,两边同乘以c 之后,ac 与bc 的大小关系就需对c 加以讨论确定. 2.学习不等式的概念与性质应着重从如下三方面去思考: (1)不等式及其变形的不等号中有无等号. 理解严格不等号“>”“<”或“≠”与严格不等号“≥”或“≤”的意义，养成有区别使用它们的习惯. （2）不等式的传递变形中应注意不等号方向的一致性. （3）适度地放大或缩小是不等式变形的关键. 3.不等式的一些性质在应用时可以适当延伸，如将“>”改为“≥”，将正数改为非负数等等,下面列举几个例子: a≥b,b≥c ?a≥c. a≥b,c≥d ?a+c≥b+d. a>b≥0,c>d≥0?ac>bd. a>b>0,c>d>0? c b d a >. a>b,ab>0?b a 11<. 4.方法与规律: (1)同向不等式相加,异向不等式相减. (2)不等式的“乘与除”，看了“大小”看“正负”. (3)要说明一个不等式不成立，只要举一个反例即可. 疑难突破 1.使用不等式性质的前提条件 在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件.例如：（1）在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的.如 2.2.4 均值不等式及其应用 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 1．了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义． 2．会运用均值不等式解决最值、范围、不等式证明等相关问题． 3．掌握运用均值不等式a ＋b 2≥ab (a ，b >0) 求最值的常用方法及需注意的问题. 1．注意从数与形的角度来审视均值不等式，体会数形结合思想的应用． 2．通过“积定”与“和定”来把握均值不等式并研究最值，加深对“一正、二定、三相等”的理解． 3．注重均值不等式的变形，体会其特征，强化记忆. 必备知识·探新知 基础知识 1．均值不等式(基本不等式) (1)算术平均值与几何平均值. 前提 给定两个正数a ，b 结论 数 a ＋b 2 称为a ，b 的__算术平均值__ 数ab 称为a ，b 的几何平均值 (2)前提 __a ，b __都是正数 结论 a ＋b 2 ≥ab 等号成立的条件 当且仅当a ＝b 时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 提示：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b >0. (2)两者都带有等号，等号成立的等件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值． 2．均值不等式与最值 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 思考2：应用上述两个结论时，要注意哪些事项？ 提示：应用上述性质时注意三点：(1)各项或各因式均为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”． 基础自测 1．下列不等式中正确的是( D ) A ．a ＋4 a ≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C ．ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3 x 2≥2 3 解析：a <0，则a ＋4 a ≥4不成立，故A 错；a ＝1， b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4， b ＝16，则ab 2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号 C ．x ≤2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号 D ．x <2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号 解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，且等号成立时(x －2y )2＝1，即x －2y ＝1，故选B ． 3．如果a >0，那么a ＋1 a ＋2的最小值是__4__. 解析：因为a >0，所以a ＋1 a ＋2≥2 a ·1a ＋2＝2＋2＝4，当且仅当a ＝1 a ，即a ＝1(－1舍)时取等号． 4．已知0 《7.3 不等式的性质》学案 【学习目标】 1．掌握不等式的两条基本性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形；2．理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别. 【学习过程】 1、请调动你聪明的大脑，回忆一下等式的性质！（共有两条哟） 等式基本性质1： 在等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；等式基本性质2： 等式的两边都乘以或除以同一个数不等于0的数，所得的结果仍是等式. 2、探索1： （1）电梯里两人身高分别为：a米、b米，且a＞b，都升高6米后的高度后的不等式关系：a＋6＞b＋6；同理：a－3 b－3（填写“＜”、“＞”号？） （2）一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然有a＞b）, 不等式的性质1： 符号表示： 探索2： 问题：如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数, 不等号的方向是否也不变呢？ 将不等式7＞4两边都乘以同一个数，比较所得数的大小，用“＞”，“＜”或“＝”填空： 7×3 ______4×3，7×2 ______4×2 ，7×1______ 4×1，…… 7×（－1）______4×（－1），7×（－2）______4×（－2）， 7×（－3）______4×（－3），…… 从中你能发现什么？ 不等式的性质2： 用数学式子表示： 如果a＞b，并且c＞0，那么；如果a＞b，并且c＜0，那么. 思考：不等式的两边都乘0，结果又怎样？ 如：7 4 而 7×0______ 4×0. 3 【检测反馈】 1、设a ＜b ，用“＜”或“＞”号填空： （1）a －3 b －3；（2）a －b 0.（3）―4a ―4b ；（4）5 a - 5- b . 2、根据不等式的性质，将不等式变形成x ＞a 或x ＜a 的形式。 (1)x －3＞2； (2)3x ＜2x －3 3、判断下列语句是否正确： （1）若m ＜0,则5m ＞4m ； （2）若x 为有理数，则4x 2 ＞-3x 2； （3）若y 为有理数，则4+y 2＞0； （4）若3a ＜-2a ，则a ＜0； （5）若y x 11<,则x ＜y . 4、已知x ＜y ，用“＜”或“＞”号填空： （1）22++y x ； （2）y x 3131； （3）y x --； （4）m y m x --； 5.（1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由 ① 6+2 -3+2； ② 6×（-2） -3×（-2）； ③ 6÷2 -3÷2； ④ 6÷（-2） -3÷（-2） （2）如果a ＞b ，则 ① b a + c b + ② b a - c b - ③ ac c bc (＞0） ④ c a c b （ c ＜0） 【学习反思】 2013年高考数学一轮复习精品教学案14.4 不等式选讲（新课标人教 版，学生版） 【考纲解读】 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ① a b a b +≤+. ② a b a c c b -≤-+-. 2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ;;.ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥ 3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法． 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.不等式选讲是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，又经常与其它知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力. 2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持在选择题、填空题中考查,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1. 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|＞a (a ＞0)?f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)?－a ＜f (x )＜a ； (3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 3．基本不等式 定理1：设a ，b ∈R ，则a 2 ＋b 2 ≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则 a ＋b 2 ≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则 a ＋ b ＋c 3 ≥3 abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则 a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1 n a 2i )(∑i ＝1 n b 2i )≥(∑i ＝1 n a i b i )2，当且仅当 b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝k b i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立． 不等式的基本性质导学案 知识导引 不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型，在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式． 本讲的主要知识点： 1、不等号有“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”。“≥”表示大于或等于；“≤”表示小于或等于． 2、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，即不等式的解集． 3、不等式性质1：不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号方向不变； 不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变； 不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变； 4、在数轴上表示解集，必须注意空心圈与实心点表示的不同含义． 5、不等式解集口诀：大大取大，小小取小，小大大小连起写，大大小小题无解． 6、解决与不等式相关的问题，常用到分类讨论、数形结合等相关概念和方法． 典例精析 例1：下列四个命题中，正确的有（ ） ①若a ＞b ，则a ＋1＞b ＋1；②若a ＞b ，则a －1＞b －1；③若a ＞b ，则－2a ＜－2b ；④若a ＞b ，则2a ＜2b ． A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 例1—1：已知a ，b ，c 是有理数，且a ＞b ＞c ，则下列式子中正确的是（ ） A 、ab ＞bc B 、a ＋b ＞b ＋c C 、a －b ＞b －c D 、 c b c a > 例2：若实数a ＞1，则实数a M =，32+=a N ，3 12+=a P 的大小关系为（ ） A 、P ＞N ＞M B 、M ＞N ＞P C 、N ＞P ＞M D 、M ＞P ＞N 例3：解不等式54 56110312-≥+--x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来． 例3—1：请你写出一个满足不等式2x －1＜6的正整数x 的值： ． 例3—2：若关于x 的不等式3m －2x ＜5的解集是x ＞2，则实数m 的值为 ． 例4：某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的 一、复习回顾:等式的性质1:（文字语言和符号语言） 等式的性质2: 二、探究新知：1：用“＞”或“＜”完成下列两组填空．你能发现其中的规律吗？（1）5 >3 ； 5＋2 3+2； 5+（-2） 3+（-2）； 5+0 3+0 (2) －1 < 3；－1＋2 3＋2 ； －1+（－3） 3+（－3）；-1+0 3+0 猜想不等式的性质1： 举例验证：: 2、用“＞”或“＜”完成下列两组填空．并总结其中的规律 (3) 6 > 2 ，6×5 2×5， 6×（－5） 2×（－5） (4) －2 < 3，（－2）×6 3×6，（－2）×（－6） 3×（一6） （5）－4 ＞－6 ，（－4）÷2 （－6）÷2 （－4）÷（－2）（－6）÷（－2） 猜想不等式的性质2： 举例验证：: 猜想不等式的性质3： 举例验证： 三、运用新知 例1、设a＞b，用“＜”或“＞”填空并口答是根据哪一条不等式基本性质 (1)3a 3b (2)a-8 b-8 (3)-2a -2b (4)a/2 b/2 (5)-3.5b+1 -3.5a+1 (6)-b-2 -a-2 例2、若a>b,则下列不等式中，成立的是（） A、a-6 （5）ac bc （6）ac+c bc+c 四：目标检测 1、用“＜”或“＞”填空 （1）如果a>b 那么a ±c b ±c （2）如果a>b 且c>0那么ac bc （3）如果a>b 且c<0 那么c a c b 2、若a>b,则下列不等式中不成立的是（ ） A 、a-3>b-3 B 、-3a>-3b C 、a/3>b/3 D 、-a<-b 3、根据下列已知条件，说出x 与y 的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质。 （1）x-1/3>y-1/3 （2）-x/8<-y/8 （3）-1.25x+3>-1.25y+3 （4）8(x-y)<0 4、按下列要求，写出仍能成立的不等式 （1）x+2>-6, 两边都减去2，得 （2）x+5<0, 两边都加上-5，得 （3）3/5m>2, 两边都除以3/5,得 （4）-7/8x ≥1, 两边都乘-8/7,得 选修4-5 不等式选讲 [最新考纲][考情分析][核心素养] 1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对 值不等式的几何意义证明以下不等式：|a＋ b|≤|a|＋|b|； |a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型 的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a| ＋|x－b|≥c. 3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它 们的几何意义，并会证明. 4.了解证明不等式的基本方法：比较法、综 合法、分析法、反证法、放缩法. 1.绝对值不等式的解法，绝对 值不等式的性质，与绝对值相 关的参数问题是2021年高考 考查的热点，题型为解答题， 分值为10分. 2.综合法、分析法、比较法证 明不等式是2021年高考考查 的热点，题型为解答题，分值 为10分. 1.逻辑推理 2.数学运算 ‖知识梳理‖ 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|1|a|＋|b|，当且仅当2ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，3|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当4(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x| ②利用零点分段法求解． ③构造函数，利用函数的图象求解． ?常用结论 如果把实数a ，b 改为向量也成立，即|a ＋b |≤|a |＋|b |，这里|a ＋b |，|a|，|b|均为向量的模，当且仅当a 与b 方向相同或至少有一个向量为零时等号成立． 3．基本不等式 定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2 定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b 2 ≥的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均． 定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥立． 4．比较法 (1)比差法的依据是：a －b >0号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号． (2)比商法：若B >0，只需证A B ≥1. 5．综合法与分析法 (1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的15 推理、论证而得出命题 (2)已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立． ‖基础自测‖ 一、疑误辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为?.( ) (3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 平均值不等式导学案2 ☆学习目标： 1.理解并掌握重要的基本不等式; 2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广; 3.初步掌握不等式证明和应用 一、课前准备（请在上课之前自主完成） 1．定理1 如果,a b R ∈, 那么22 2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 2. 定理2(基本不等式) 如果+∈R b a ,, 那么 . 当且仅当 时, 等号成立. 利用基本不等式求最值的三个条件 推论10. 两个正数的算术平均数 , 几何平均数 , 平方平均数 ,调和平均数 ， 从小到大的排列是: ☆课前热身： (1) 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利 润y （单位：10万元）与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2* ∈+--=N x x y 则每辆客车 营运多少年，其运 营的年平均利润最大（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 (2) 在算式“4130??+?O =”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最步， 则这两个数构成的数对（△，〇）应为 . (3) 设+∈R x 且12 22 =+y x ，求21y x +的最大值. 二、新课导学 请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式： 如果+ ∈R b a ,, 那么2a b +≥.当且仅当a b =时, 等号成立. 如果,,a b c R +∈,那么 .当且仅当 时, 等号成立. ?建构新知： 问题：已知,,a b c R +∈, 求证：3333.a b c abc ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 证明: ∵3333a b c abc ++-= 定理3 如果,,a b c R +∈, 那么3 a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 语言表述：3个数的 平均数不小于它们的 平均数 推论 对于n 个正数12,,,n a a a L , 它们的 § 3.2 均值不等式 本节内容是选自人教版高中数学B 版必修五第三章第二节——均值不等式。它在不等式这一章中占有非常重要的地位，在不等式的证明中尤其突出。 一、教学目标 知识与技能：均值不等式的基本表达式；均值不等式所表达的几何意 义；能够应用均值不等式进行简单的证明 过程与方法：掌握数形结合的数学思想方法 情感态度价值观：数学来源于生活，善于从生活中去探索数学的奥秘 二、重难点 重点：均值不等式的证明与应用；“=”成立的条件 难点：均值不等式的几何意义；在怎样的情况下应用均值不等式 三、教学方法 讲授法 四、教学过程 （一）情境引入 某一届国际数学家大会的会标，我们将其中的几何图形抽象出来得到这样一个图形：已知的是直角三角形的两直角边分别为a ，b ，那我们能否从其中找出一些不等关系？ 解答：图中四个直角三角形的面积总和为：1 42 ab 大的正方形的面积为：22a b + 我们可以很直观地得出：22a b +>2ab 问：同学们再想一想，这个“>”可以换成“≥”吗？ 当直角三角形变为等腰直角三角形的时候，也即是a b =时，这时，正方形EFGH 变为一点，可以得到222a b ab +=。 （二）得出结论并证明（基础） 一般地，,a b R ∈,则222a b ab +≥. 证明： 2222()a b ab a b +-=- 当a b ≠时，()2 0a b ->；当a b =时，2()0a b -=. 综上所述，可得222a b ab +≥. （三）均值不等式的变式（重点） 若0,0,a b >>则 2 a b ab +≥（当a b =时，“=”取到） 需明确的两个概念：2 a b +表示a 与b 的算术平均数 ； ab 表示a 与b 的几何平均数 。 证明（几何意义）： 如图：AC 是圆O 的直径，点D 是AC 上任一点，AD a =，CD b =，过点D 做BD AC ⊥交圆周于B ， 连接OB . 则22 AC a b OB += = 又Rt ADB Rt BDC ?? ，则AD AB DB BD BC DC == 所以2BD AD DC ab =?=，也即BD ab = 又OB BD ≥，所以 2 a b ab +≥. 不等式选讲 1.绝对值不等式： 例1.（2013年高考福建）设不等式2x a -<（*a N ∈）的解集为A ，且 32A ∈，12 A ?. （1）求a 的值； （2）求函数()2f x x a x =++-的最小值. 演变1.（2011年高考福建）设不等式|21|1x -<的解集为M ． （1）求集合M ； （2）若a b M ∈、，试比较1ab +与a b +的大小． 演变2.（2014年高考辽宁）设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N . （1）求M ； （2）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤. 例2.设函数()|24|1f x x =-+ （1）若关于x 的不等式()f x t ≥恒成立，求t 的取值范围； （2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围 演变1.（2012年高考辽宁）已知()|1|f x ax =+（a R ∈），不等式()3f x ≤的解集为 {|21}x x -≤≤. （1）求a 的值； （2）若|()2()|2 x f x f k -≤恒成立，求k 的取值范围. 例3.设函数()||3f x x a x =-+，其中0a ≠ （1）当2a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （2）若不等式()0f x ≤的解集包含{|1}x x ≤-，求a 的取值范围 演变1.（2012年高考新课标）已知函数()|||2|f x x a x =++- （1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围 例4.（2013年高考新课标1）已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+ （1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集； （2）设1a >-，且当1[,)22 a x ∈- 时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围. 演变1.设函数()|2||2|f x x x a =++- （1）当2a =时，求函数()f x 的值域； （2）当4a <-时，若存在2x ≤-，使得()4f x x -≤成立，求实数a 的取值范围 例5.已知函数()|1||23|f x x x =--+ （1）若()f x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （2）对于任意非零实数m ，不等式|21||1|||()m m m f x -+-≥?恒成立，求实数x 的取值范围 演变1.设函数()12f x x x =-+- （1）求不等式()2f x ≤的解集； （2）若不等式||||||()a b a b a f x ++-≥?（0a ≠，a b R ∈，）恒成立，求实数x 的取值范围 第九章 不等式与不等式组 9.1 不等式 9.1.2 不等式的性质 第1课时 不等式的性质 1、2、3，并能灵活运用它们来解决问题，以提升. . 1、2、3. 3. （或减） ，不等号的方向 . a+c b+c ，a －c b －c. （或除以）同一个 ，不等号的方向 . ac bc ，或 ____a b c c . （或除以）同一个 ，不等号的方向 . ac bc ，或 ____a b c c . a+3 b+3,a+x b+x ； a-3 b-3,a-x b-x ； 3a 3b ； -3a -3b. ） 一、要点探究 探究点1：不等式的性质问题1：比较-3与-5 问题2：-3+2 -5+2问题3：由问题2 问题4：35； 问题5：由问题4 问题6： 例1. (1)若x＋3＞6，则 (2)若a－2＜3，则 探究点2：不等式的性质问题1：比较-4与6 问题2：-4×2______6×2 问题3：由问题2 问题4：4-8；4问题5：由问题4 问题6： 例2.用“>”或“<”填空： （1）已知 a>b ，则3a 3b ； （2）已知 a>b ，则-a -b . （3）已知 a 明目标、知重点 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题． 1．用均值不等式求最值的结论 (1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值为s 2 4. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值为2p . 2．均值不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数； (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 前一节课我们已经学习了均值不等式，我们常把a ＋b 2叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫 做正数a 、b 的几何平均数．本节我们就最值问题及生活中的实际例子研究它的重要作用． 探究点一 均值不等式与最值 思考1 已知x ，y 都是正数，若x ＋y ＝s (和为定值)，那么xy 有最大值还是最小值？如何求？ 答 xy 有最大值．由均值不等式，得s ＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤s 2 4，当x ＝y 时，积xy 取得最 大值s 2 4 . 思考2 已知x ，y 都是正数，若xy ＝p (积为定值)，那么x ＋y 有最大值还是最小值？如何求？ 答 x ＋y 有最小值．由均值不等式，得x ＋y ≥2xy ＝2p .当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p . 例1 求函数f (x )＝－2x 2＋x －3 x (x >0)的最大值，及此时x 的值． 解 f (x )＝1－(2x ＋3 x )． 因为x >0，所以2x ＋3 x ≥2 2x ·3 x ＝26， 得－(2x ＋3 x )≤－2 6.因此f (x )≤1－2 6. 当且仅当2x ＝3x ，即x 2＝3 2时，式中等号成立． 由于x >0，因而x ＝ 6 2 时，式中等号成立． 因此f (x )max ＝1－26，此时x ＝ 62 . 反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4 x 的最小值，并求此时x 的值； (2)设0 7.3不等式的性质 【学习目标】 1．掌握不等式的两条基本性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形； 2．理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别； 3.体会类比的学习方法，提高新旧知识的迁移学习能力. 【学习重点】掌握不等式的两条基本性质，尤其是不等式的基本性质2； 【学习难点】不等式的基本性质2的理解和熟练运用； 【学习过程】 一.情境创设 1.水果店的小王从水果批发市场购进100千克梨和84千克苹果，你能用“<”或“>”号连接梨和苹果的进货量吗？ 100千克________84千克 2.几天后，小王卖出梨和苹果各a千克，你能用“<”或“>”号连接梨和苹果的剩余量吗？ 100-a________84-a 二.新知学习 1.在不等式5>3 两边同时加上或减去2，在横线上填上“<”或“>”号。 5+2_____3+2 5-2______3-2 2.自已写一个不等式，在它的两边同时加上.减去同一个数，看看有什么样的结果？ 不等式的性质1： 符号表示： 3.完成下列填空： 2＜3 2 ×5 ____ 3 ×5 2＜3 2 ×0.5 ____3 ×0.5 2＜3 2 ×（-1）____3×（-1）2＜3 2 ×（-5）____3 ×（-5）2＜3 2 ×（-0.5）_____ 3 ×(-0.5) 你发现了什么？ 不等式的性质2： 符号表示： 4想一想： （1）.不等式的两边都乘0，结果怎样？ (2).不等式的性质与等式的性质有什么相同点和不同点？ 三.例题讲解 1.已知x ＞ y ，下列不等式一定成吗？ （1）x-6＜y-6 (2) 3x ＜3y (3) -2x ＜-2y （4）x+9＞y+9 （5）2x+1＞2y+1 （6）-3x-1＞-3y-1 2.在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质． (1)若a-3＜9， 则 a ______12； (2)若-a ＜10， 则 a______ -10； (3)若4a ＞-1, 则 a ______-4 ； (4)若23 a -＞0， 则 a _______ 0 ； 3.将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： （1）x - 5＞-1 （2）-2x ＞3 （3）2x- 1＜2 （4）-x ＜ 56 四.新知运用 1.（口答）已知a ＜b,用“＜”或“＞”号填空： （1）a-3___b-3 (2) 6a____6b (3) –a___-b (4) a-b____0 2.判断下列各题的推导是否正确？为什么？ (1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7； (2)因为a+8＞4，所以a ＞-4； (3)因为4a ＞4b ，所以a ＞b ； (4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2； (5)因为3＞2，所以3a ＞2a ． 3.已知a ＜0，用“＜”或“＞”号填空： (1)a+2 ______ 2； (2)a-1 ______ -1； (3)3a______ 0； (4)4a - ______0; (5)2a _____0; (6)3a ______0 (7)a-1______0； (8) |a|______0． 五.拓展延伸 1.将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式 2.思考：-a 一定小于a 吗？为什么？ 7.3不等式的性质 课后作业 班级 姓名 评价 一.选择题： 1.已知a ＜b ，下列式子中，错误的是( ) 3 4312 高考数学大二轮复习层级二专题七系列4选考第2讲不等式选讲 教学案（选修45） [考情考向·高考导航] 高考主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点． [真题体验] 1．(2019·全国Ⅱ卷)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＜0的解集； (2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )＜0，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)． 当x ＜1时，f (x )＝－2(x －1)2 ＜0；当x ≥1时， f (x )≥0. 所以，不等式f (x )＜0的解集为(－∞，1)． (2)因为f (a )＝0，所以a ≥1. 当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)＜0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞)． 2．(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝－x 2 ＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集； (2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2 －x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.① 当x ＜－1时，①式化为x 2 －3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x ＞1时，①式化为x 2 ＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172. 所以f (x )≥g (x )的解集为 ?????? ????x |－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2. 所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.基本不等式(导学案)
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