不同定义下周期函数探幽
(函数的周期性)：周期函数的定义
（函数的周期性）：周期函数的定义周期函数是高中阶段需要掌握的一种重要函数类型，最常见的为三角函数，而除去三角函数，还有很多具有周期性的函数，今天我们就借助几个例子一起来看一看。
同学们要着重思考的是：如何通过定义判断一个函数是周期函数？周期函数有哪些性质？先看例题：例1：设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，242,10(),01x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩ ，则3()2f =__________.由题意有：(2)()f x f x +=23111()(2)()4()212222f f f =-+=-=-⨯-+= 所以3()12f =注意：分段函数中，要注意函数的取值范围。
再看一个例题： 例2：设函数3,05()(),55f x f x x x x ⎧≤<=⎨≥-⎩，则(2015)()f =解：当x ≥5 ()(5)f x f x =-，即T =5(2015)(5403)(0)f f f =⨯=所以(2015)0f =总结：1.周期函数性质()()x T f x f +=()()x T f x f -=2.若()()()f x a f x b a b ++≠＝则f (x )是周期函数，其中一个周期是.||T a b ＝－3.对比：若()()f x a f x b -＋＝＋则函数f (x )图象的对称轴2a b x +=同号看周期，异号看对称练习：1.设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数 则下列结论错误的是( )A.D (x )的值域为{0,1}B. D (x )是偶函数C. D (x )不是周期函数D. D (x )不是单调函数。
周期函数的定义(老黄学高数第41讲)
第41讲 周期函数的定义
设f为定义在D上的函数。若存在T>0，使得 对一切x∈D有f(x±T)=f(x)，则称f为周期函数， T为f的一个周期。 在所有正周期中最小的周期，称为基本周期， 或最小正周期，简单称为周期。 常量函数没有基本周期。 三角函数是最常见的周期函数。
设f是定义在R上的以h为周期的函数，a为实数.
1、若周期函数在一个周期内有界，则在整个定义域 上也有界，而且确界也是一致的；
2、若周期函数在任一周期内有增减性，则在其它周 期内也会有相同的增减性，但在整个定义域内没有增 减性；
3、若周期函数在原点所在的周期内有奇偶性，则在 整个定义域内也有相同的奇偶性.
求下列函数的周期：
(1)cos2x；(2)tan3x；(3)cos(x/2)+2sin(x/3). 解：(1)cos2x= (1+cos2x)/2. ∵cos2x的周期为π，∴cos2x的周期为π. 若f(x)以T为周期，则f(ωx)以T/ω为周期(ω≠0). (2)∵tanx的周期为π ，∴tan3x的周期为π/3. (3)∵cos(x/2)的周期为4π，sin(x/3)的周期为6π， ∴cos(x/2)+2sin(x/3)的周期为12π.
证明：若f在[a,a+h]上有界，则f在R上有界. 证：∵f在[a,a+h]上有界， ∴对任意的x0∈[a,a+h]，存在M>0，使|f(x0)|≤M， 对任意的x∈R，一定存在整数k，使x=kh+x0， 于是|f(x)|=|f(kh+x0)|=|f(x0)|≤M， ∴f在R上有界.
周期函数在每个周期内的图象性状相同.
设周期函数f, f1, f2的周期分别为T, T1, T2, 若f=f1±f2，T是T1和T2的最小公倍数.
函数的周期性解读
函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.2、y =sin （ωx ）的最小正周期设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有ωωπ2π2=⇒=L L例如 sin2x 的最小正周期为π2π2= sin2x 的最小正周期为π421π2=3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ωπ2=L .如⎪⎭⎫⎝⎛+=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2.于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx后者周期变为)0(π2>ωω而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ωπ2.而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f （sin x ） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sin x ； （2）x sin（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】 （1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，xsin 1， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.2、y = sin 3 x 的周期性对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y = sin 2 x 的周期性对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】 求 y =|sin x |的最小正周期.【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.【例2】 35)(sin x y =求的最小正周期.【解答】 5335)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.【例3】 求52)(sin x y =的最小正周期.【解答】5252)(sin )(sin x x =最小正周期为π.【说明】 正弦函数sin x 的幂复合函数pq x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？)4πsin(2cos sin +=+x x x和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sin x + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.2、函数 sin x + sin2x 的周期性依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x +sin32x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 32x 的最小正周期是3π. 它们之间的和sin x + sin 32x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设2π0=x 则x 0 +3π=π32π+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+因此3π不是sin x + sin32x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x +sin32x 的最小正周期为6π，即sin x 和sin 32x 最小正周期的最小倍数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. （1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.1、求正弦函数的周期【例1】 函数 y =|sin 2x|的最小正周期为 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【解答】 2sin |2sin |2x x y == 最小正周期是2sinx最小正周期的一半，即2π. 答案为（C ） 【说明】 图象法判定最简便，|sin x |的图象是将sin x 的图象在x 轴下方部分折到x 轴上方去. 倍角法定判定最麻烦 x xy cos 212sin2-== 【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x 决定2、求正弦函数的周期【例2】 （1）y =2cos 2x +1的最小正周期为 .（2）y =|sin x + cos x |的最小正周期为 .【解答】 （1）y = 2cos 2x + 1的最小正周期由cos 2x 决定，故答案为π.（2）)(sin 2|)sin(|2|cos sin |2ϕϕ+=+=+x x x x 故答案为π.【说明】 )(sin cos 22ϕ+x x 都可看作sin x 的幂函数的复合函数.3、函数周期性应用于求值【例题】 f (x )是R 上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.【解答】 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛3π 3π 32π 35π f f f f 233πsin == 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若 时 f (x ) = si nx 试求 的值.4、函数周期性应用于求单调区间【例题】 x ∈R ，求函数 y =sin 2x + 3sin x cos x +2cos 2x 的单调增区间.【解答】 )2cos 1(2sin 2322cos 1x x x y +++-=23)6π2sin(232cos 212sin 23++=++=x x x 函数的最小正周期为π. 令 2π6π22π≤+≤-x 得 6π3π≤≤-x 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6ππ ,3ππk k .【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中5、周期性应用于求函数零点【例题】 已知函数412sin 2cos sin cos sin )(2244--++=x x x x x x f .【解答】 41)cos sin 1(2cos sin 1412sin 2cos sin cos sin )(222244---=--++=x x x x x x x x x x fx x 2sin 4141412sin 4121+=-+=令 02s i n4141=+x 得 4π=x 故交点横坐标的值的集合为4π=x .【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数)3π5πsin()(+=k x f ，其中k ≠0.（1）写出 f (x )极大值M 、极小值m 与最小正周期;（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x )至少有一个值是M 与一个值是m .【解答】 （1） M =1，m = -1，k k T π10π25=⨯=.（2）f (x )在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m .而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f (x )至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使 f (x )的周期≤1即：k =32就是这样的最小正整数. .4.31 π10 ,1 π10 =≥≤k k六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】 f (x )周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0f (x )为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x )的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x )的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的. 高考史上的周期大错题【实验检验】 f (x )同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x )的一个具体例子：x x x f 3π4sin 3π2sin)(+= 并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数x x x f 3π4sin 3π2sin)(+=在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.。
浅谈周期函数的定义域特征
浅谈周期函数的定义域特征
周期函数是数学中一类特殊的函数，一般来说，它的定义域是一定的区间或无
限区间，其特征是它的值在该定义域上反复出现。
换句话说，该函数每运行一次都会获得相同的值。
它的主要特性就是周期反复，也就是说，它的定义域上反复出现同样的值，而且这种反复会持续一段时间，一般可以称为周期T。
由此可见，一般周期函数都存在一定的定义域，这一定义域包括输入和输出空间，输入和输出空间中的数据是有序的。
实际的应用中，一般用函数的“周期元素”来表示它的定义域，如三角函数的定义域就体现在其一个周期中的2π，而正弦函
数一个周期中的π，余弦函数一个周期也是π，所以可以总结出，所有周期函数
都具有一定的定义域，其输入输出值都有一已定的模式。
此外，这类函数也具有不断重复的属性，它等于自身一定周期内重复性值，这种性质叫做周期性，周期T就表示这种重复性值持续的时间。
同时，我们还可以将周期函数的定义域表示为一组实数，在其定义域内，在任
意定义域输入值都可以得到一个实数输出结果，可以说，定义域可以将它们抽象为一个函数空间，用来表示一般函数的输入输出行为且一定范围内具有相同的模式。
总之，周期函数是一种特殊的函数，其定义域是一定的区间或无限区间，它的
主要特性就是周期反复，还具有不断重复的属性。
此外，这类函数的定义域可以抽象为一组实数，表示一个函数空间，用来表示一般函数的输入输出行为，并且一定范围内具有相同的模式。
当然，这种周期函数对科学研究和发展起到了很大的作用，是计算机编程中具有重要意义的学科之一。
高一必修二数学周期函数知识点
高一必修二数学周期函数知识点一、引言周期函数是数学中的一个重要概念，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍高一必修二数学课程中的周期函数知识点，包括周期函数的定义、性质及常见的周期函数类型。
二、周期函数的定义与性质周期函数是指函数在某一段长度的自变量上有某种规律地重复出现的函数。
周期函数的周期是指最小正周期，即在一个完整周期内，函数值重复出现且函数值随自变量变化的规律相同。
周期函数具有以下性质：1. 周期函数的函数值在一个完整周期内重复出现；2. 周期函数的图像以某一点对称；3. 周期函数的奇偶性：如果一个周期函数满足 f(x+T)=f(x)，其中 T表示周期，那么函数是偶函数；如果一个周期函数满足 f(x+T)=-f(x)，那么函数是奇函数。
三、正弦函数与余弦函数正弦函数和余弦函数是最常见的周期函数类型。
在高一必修二的数学课程中，我们学习到了正弦函数和余弦函数的基本性质和图像特点。
1. 正弦函数正弦函数的基本形式为 y = A sin(Bx + C) + D，其中 A、B、C、D都是常数。
其中 A 表示振幅，B 表示频率，C 表示相位差，D 表示纵向平移。
正弦函数的图像呈现出波形，振幅决定了波浪的高度，频率决定了波浪的密度和间距，相位差和纵向平移决定了波浪在坐标系中的位置。
2. 余弦函数余弦函数的基本形式为 y = A cos(Bx + C) + D，其中 A、B、C、D都是常数。
余弦函数和正弦函数非常相似，只是在相位差上有所差异。
余弦函数的图像也呈现出波形，与正弦函数相比，余弦函数的波峰和波谷的位置与振幅决定的相位差有关。
四、切线方程与图像变换在周期函数中，切线方程和图像变换是我们经常需要处理的问题。
下面我们详细讨论一下这两个问题。
1. 切线方程在周期函数图像中，切线方程是确定切线斜率的关键。
对于任意一点 P(x,y)，切线的斜率等于函数在该点的导数值。
在函数 y = A sin(Bx + C) + D 中，求得的导数为 f'(x) = AB cos(Bx + C)，因此切线的斜率为 AB cos(Bx + C)。
对周期函数的进一步探索
周期函数是一类具有周期性的函数，通常可以用来描述周期性的物理过程。
在进行周期函数的进一步探索时，你可以尝试以下方法：
1 了解周期函数的性质。
周期函数通常具有周期性、对称性和平移
性等性质。
通过了解这些性质，你可以更好地理解周期函数的特点。
2 掌握周期函数的基本形式。
常见的周期函数包括正弦函数、余弦
函数、三角函数等。
通过掌握这些函数的基本形式，你可以快速确定某个函数是否是周期函数。
3 利用数学工具求解周期函数问题。
周期函数通常可以使用数学工
具如图像、导数、积分等来求解。
通过这些工具，你可以解决周期函数的许多实际问题。
4实验验证周期函数的性质。
你可以通过实验来验证周期函数的性质，加深对周期函数的理解。
周期函数在日常生活中广泛应用，如：
1 在天文学中，周期函数可以用来描述行星运动的轨迹。
2 在声学中，周期函数可以用来描述声波的传播。
3在经济学中，周期函数可以用来描述经济指标的波动趋势。
4 在生物学中，周期函数可以用来描述生物体内某些生理过程的周
期性变化。
例如，体温计的工作原理就是利用周期函数描述人体体温的变化。
5 在电子技术中，周期函数可以用来描述电子电路中电流或电压的
变化。
6 在建筑工程中，周期函数可以用来描述建筑物的振动情况。
周期函数在许多领域都有广泛应用，它们对于我们理解自然界和技术领域中的许多现象至关重要。
希望以上信息能够帮助你了解周期函数的应用情况。
周期函数专题
周期函数专题 一、周期函数的定义 对于函数)(xfy，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
)()(xfTxf，那么函数)(xfy叫做周期函数，非零常数T叫函数)(xfy的周期.如果所
有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫)(xfy的最小正周期. 注：周期函数不一定有最小正周期，若0T是)(xfy的周期，则)0(kZkkT，也一定是函数)(xfy的周期，周期函数的定义域无上、下界. 二、周期函数的判定 设a为非零常数，若对)(xfy定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立，则函数)(xfy是周期函数. （1）)(-)(xfaxf （2）)-()(axfaxf
（3）)(1)(xfaxf （4）)(1-)(xfaxf （5）Maxfxf)()( （6）Maxfxf)()( （7）)(1)(-1)(xfxfaxf （8）1-)(1)()(xfxfaxf
（9）)(11-)()(xfxfaxf （10）)(-11)()(xfxfaxf （11）)()()(axfxfaxf 三、例题解析 例1、已知函数)(xfy的图像关于直线ax和直线bx)(ba对称，求函数)(xfy的周期.
例2、已知函数)(xfy的图像关于直线ax和点)0,(b)(ba对称，求函数)(xfy的周期. 例3、已知函数)(xfy的图像关于点)0,(a和点)0,(b)(ba对称，求函数)(xfy的周期. 四、专题训练 1、设)(xf是定义在R上的奇函数，且)(xfy的图像关于直线21x对称，则)1(f
)5()4()3()2(ffff等于····················································（ ）
、A2- 、B2 、C0 、D4 2、已知)(xf是定义在R上的函数，且对任意的Rx，)1-()1()(xfxfxf恒成立，则函
函数周期性分类解析
函数周期性分类解析一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立恒成立则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论二．重要结论1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以Ta=为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
是它的一个周期。
3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
是它的一个周期。
5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)= )(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。
一个周期。
10、函数()y f x =()x R Î的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R Î的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x是以()4b a -为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
函数的周期性与奇偶性
函数的周期性与奇偶性函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了一种规律性的映射关系。
函数的周期性和奇偶性是函数性质中的两个重要方面。
本文将就函数的周期性和奇偶性展开论述。
一、函数的周期性周期性是函数在某个区间内具有相似性质的重复性。
若对于函数f(x)存在一个正数T，使得对于任意的x∈R，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)是周期函数，T称为函数的周期。
周期函数是一类具有固定重复规律的函数。
常见的周期函数有三角函数和指数函数。
以三角函数为例，正弦函数和余弦函数就是周期为2π的函数。
它们的图像在每个周期内重复出现相同的形状。
在数学中，我们可以通过函数图像的观察或者计算来确定周期。
对于三角函数而言，周期往往是已知的，如正弦函数的周期为2π。
而对于其他函数，我们可以观察函数图像是否在一个特定区间内重复。
函数的周期性可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
很多实际问题中的规律性变化都可以用周期函数来描述，比如天体运动、电流的变化等。
二、函数的奇偶性奇偶性是函数在坐标系中对称性的一种表现。
若对于任意的x∈R，有f(-x) = f(x) 或者f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)是偶函数或奇函数。
偶函数的图像关于y轴对称，即在y轴上的每个点关于原点有对应的相等点。
典型的偶函数有多项式中的偶次幂函数，如x²、x⁴等。
奇函数的图像关于坐标原点对称，即在原点关于x轴和y轴的每个点有对应的相等点。
典型的奇函数有多项式中的奇次幂函数，如x³、x⁵等。
在数学中，我们可以通过对函数进行代数计算来判断函数的奇偶性。
比如，若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则可以判定f(x)是偶函数；若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则可以判定f(x)是奇函数。
同时，我们也可以通过观察函数图像来确定函数的奇偶性。
函数的奇偶性是函数图像的一种对称性，它在数学运算和函数性质研究中有重要的应用。
函数周期性的五类特性分析
函数周期性的五类特性分析函数的周期性是指函数在一定范围内以一定的规律重复出现。
下面将对函数周期性的五类特性进行分析。
1. 周期长度周期长度是指函数的一个周期所占据的长度或时间跨度。
对于周期函数，其周期长度是固定的。
周期函数中常见的周期长度有：常数周期、正弦周期、余弦周期等。
2. 周期性的数学表示周期函数可以用数学表达式进行表示，从而体现其周期性。
常见的周期函数的数学表达式有：- 常数周期函数：$f(x) = C$，其中C为常数。
- 正弦函数：$f(x) = A\sin(Bx + C)$，其中A为振幅，B为角频率，C为相位。
- 余弦函数：$f(x) = A\cos(Bx + C)$，其中A为振幅，B为角频率，C为相位。
3. 周期性的图像特点周期函数的图像在一个周期内具有一定的规律性。
常见的周期函数的图像特点有：- 常数周期函数：图像为一条水平线段。
- 正弦函数：图像为连续的波形，振幅决定了波形的高度，角频率决定了波形的周期。
- 余弦函数：图像也为连续的波形，振幅决定了波形的高度，角频率决定了波形的周期，相位决定了波形在横向上的位置。
4. 周期性的应用周期函数的周期性特点在许多应用中起到重要作用。
例如，在物理学中，周期函数可以用来描述物体的振动或波动；在电子技术中，周期函数可以用来描述电流和电压的变化。
5. 周期性的拓展除了常见的周期函数外，还存在其他类型的周期函数，如三角函数的变种，指数函数的周期性等。
这些拓展的周期函数在实际问题的模型建立中也会起到重要作用。
以上是对函数周期性的五类特性的分析。
通过理解函数的周期性特点，我们可以更好地理解和应用周期函数。
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不同定义下周期函数探幽
一张振伟
函数是中学数学的核心内容，它贯穿在整个中学数学课
程之中，并且在中学数学课程各部分知识中充当着纽带作用， 也为以后更高层次的数学学习奠定了基础．函数性质是高考 考查的重点内容之一，周期性是函数的一条特殊而有趣的性 质，高考常常把函数的周期性与其他性质结合起来考查，但中 学数学课程中只在三角函数与周期数列的通项公式中涉及到 周期函数，对一般性的周期函数未作研究，这就为解决高考试 题中函数的周期性问题埋下了隐患，为解决这一困难，我们有 必要对周期函数的定义、性质等作一些研究． 本文目的就是通过对各种形式的定义进行必要的分析， 弄清其相互关系，纠正一些常见错误，以利于高中师生今后的 教学和高考． 首先我给出一些不同版本的周期函数的定义作为下面研 究的依据，同时也供大家参考． 定义１：（来源于高中数学新课标人教版必修４２００７年２ 月第２版，Ｐ３４）． 对于函数．，’（ｚ），如果存在一个非零常数Ｔ，使得当 取 定义域内的每一个值时，都有ｆ（ ＋Ｔ）一ｆ（ ），那么函数 ＿厂（ ）就叫做周期函数，非零常数Ｔ叫做这个函数的周期．如 果在周期函数 （ｚ）的所有周期中有一个最小的正数，那么这 个最小正数就叫做厂（ ）的最小正周期． 定义２：（来源于《初等数学研究》高等教育出版社１９９５年 ６月第一版Ｐ１６０）． 设＿，（ ）是定义在数集Ｄ上的函数，若存在常数Ｔ≠０，使 对于任何３２Ｅ Ｄ都有 ±ＴＥ Ｄ，且，’（ ±Ｔ）一厂（，９２）总能成 立，则称／’（ ）为周期函数．常数丁叫做／（ ）的一个周期．在 周期函数的正周期中最小的一个，叫做函数的最小正周期． 定义３：（来源于《数学分析讲义》高等教育出版社１９９２年 ６月第ｉ版Ｐ１８）． 设函数＿，（ ）定义在数集Ａ上，若存在Ｌ＞０，对于任意 。∈Ａ，有 ±ＴＥＡ，且，（ ±Ｌ）＝ｌ，（ ），则称函数 厂（ ）为周 期函数．Ｌ为函数．，（ ）的一个周期．若函数 厂（ ）有最小正周 期，通常将这个最小正周期称为函数，（ ）的基本周期，简称 周期． 我们知道高考数学试题的各个知识点，必定是来源于相 应的高中数学课本，本文着重在高中数学新课标人教版必修 ４中周期函数定义的基础上，对周期函数的定义、性质等，进 行一些研究． 一、周期函数定义的认识 由定义１的内涵我们可得： １．周期函数厂（ ）的周期Ｔ是与 无关的非零常数定义 中“存在一个非零常数丁”，其意是（１）可只存在正数Ｔ，（２）可 只存在负数Ｔ，（３）既可以存在一个正数Ｔ也可以存在一个负 数丁． ２．定义中“，（ ＋ ｒ）一／（ ）”意味着（１ Ｊ当 在定义域则 ＋丁一定也在定义域，由递推可得定义域是无界的． 由周期函数定义可以得出周期函数的周期和定义域有不 同的 种形式，
（１）只有正周期而没有负周期，定义域上无界．
例如：函数厂（ ）一ｓｉｎ．ｒＣｒ≥Ｏ）有正周期丁：２ ，而没有负
周期．
（２）只有负周期而没有正周期，定义域为下无界．
例如：函数，’（ｚ）一ｓｉｎ３ｃ（ｘ≤０）有负周期Ｔ一一２７ｒ，而没有
正周期．
（３）既有正周期又有负周期，定义域上下无界．
例如：函数，’（ｚ）一ｓｉｎｘ（ ＥＲ）既有正周期Ｔ一２ｒｒ，又有
负周期Ｔ一一２ ７ｃ．
３．周期函数不一定有最小正周期，其有两种情形．
（１）有些周期函数因只有负周期而没有正周期，导致周期
函数没有最小正周期．
例如：函数ｌ厂（ ）一ｓｉｎ￣ｒ（ ≤０）有负周期Ｔ：一２Ⅱ没有正
周期，当然没有最小正周期．
（２）有些周期函数虽有正周期，但因在所有的正周期中找
不到一个最小正数，所以没有最小正周期．
例ｌ 常数值函数，（ ）一Ｃ（Ｃ是常数）是实数集Ｒ上以
任意非零实数为周期的周期函数．
二、周期函数性质的认识
１．若丁（Ｔ≠０）是，（ ）的周期，则 Ｔ不一定是ｆ（一）的
周期．
例如：函数，（ ）一ｓｉｎｘ（ ’≥０）有正周期丁一２ ，但是一２
不是它的周期．
２．若丁（，厂≠Ｏ）是，Ｃｒ）的周期，则ｎＴ（ｎ为任意正整数，这
里不可以说”为任意整数）也是，（一『）的周期．
例如：函数，（ ）一ｓｉｎｘＣｒ≥０）有正周期Ｔ＝２ｒｒ，但是当，ｚ
为任意负整数时ｎＴ不是它的周期．
３．若Ｔ（Ｔ￣－Ｏ）是ｌ厂（Ｔ）的周期，则／（ 十 ）是周期函数，
其周期为Ｔ ，不一定是１１／ｊ ｝．
例如：当函数ｆ（ ）一ｓｉｎ￣ｒ（ ≥ｏ）有正周期Ｔ一２ｒｒ，而
，（一２ ）一ｓｉｎ（一２：ｒ）（ ≤０）其周期Ｔ一２ ／一２一一 ，不是
Ｔ一２Ⅱ／ ２ １一 ．
４．若丁（Ｔ≠０）是，（，７２）的周期，则Ａｆ（ ）＋ 是周期函
数，其周期还为丁．
对于周期函数的性质与判断还有很多，那么哪些适用于
我们高中阶段呢．这就要严格按照高中教材中周期函数的定
义来推导和判断，不能随便引用，谨防张冠李戴．但有一点是
当周期函数的定义域上下无界时，本文中的定义１与定义２、３
是统一的．
这就是笔者在高中数学新课标人教版必修４中周期函数
定义的基础上，对周期函数的定义、性质等的认识，希望对高
巾师生今后的教学和高考能有所帮助，并且希望能和大家共
同探讨．
作者单位：山西省河曲县巡镇中学
中掌生数理亿．掌研版