等差等比概念
小学等差等比数列知识点归纳总结
小学等差等比数列知识点归纳总结【小学等差等比数列知识点归纳总结】数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按照特定规律排列的数所组成。
在小学阶段，学生们将接触到两种常见的数列，即等差数列和等比数列。
本文将对小学等差等比数列的知识点进行归纳总结。
一、等差数列（Arithmetic Progression）等差数列是指数列中相邻两项之差相等的一种数列。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
1. 公差等差数列中，相邻两项之差称为公差。
公差可以是正数、负数或零。
2. 首项等差数列中的第一项称为首项，通常表示为a1。
3. 通项公式等差数列中的通项公式可以通过首项和公差来计算任意一项的值。
4. 前n项和公式等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和。
二、等比数列（Geometric Progression）等比数列是指数列中相邻两项之比相等的一种数列。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
1. 公比等比数列中，相邻两项之比称为公比。
公比可以是正数或负数，但不能为零。
2. 首项等比数列中的第一项称为首项，通常表示为a1。
3. 通项公式等比数列中的通项公式可以通过首项和公比来计算任意一项的值。
4. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn = (a1 * (r^n - 1))/(r - 1)，其中Sn表示前n项和。
三、等差数列与等比数列的关系等差数列和等比数列都是数学中常见的数列形式。
它们之间存在一定的联系。
1. 等差数列的前n项和与等差数列的平均数等差数列的前n项和可以表示为Sn = n * (a1 + an)/2，其中an表示第n项。
而等差数列的平均数可以表示为(a1 + an)/2，即首项与末项的平均值。
2. 等差数列的前n项和与等比数列的前n项和之比当等比数列的公比为1时，等比数列变为等差数列。
单招等差等比数列知识点归纳总结
单招等差等比数列知识点归纳总结数列是数学中一种常见的数值序列，而等差数列和等比数列是数列中较为常见和重要的两种类型。
对于学习数学的同学来说，掌握等差数列和等比数列的概念、性质以及求解方法非常重要。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、常见性质和解题方法进行归纳总结。
一、等差数列的概念和性质等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的一般形式为an = a₁ + (n-1)d。
(n≥1)等差数列常见的性质有：1. 通项公式：an = a₁ + (n-1)d2. 首项和末项的求解：a₁ = an - (n-1)d，an = a₁ + (n-1)d3. 前n项和的求解：Sn = (n/2)[2a₁ + (n-1)d]4. 累加求和公式：Sn = (n/2)(a₁ + an)5. 通项之和为定值：an + an-1 = a₁ + ∑(n-1) + d = 2a₁ + (n-1)d6. 通项相等时的和：Sn = n(a₁ + an)/2二、等比数列的概念和性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则等比数列的一般形式为an = a₁ * r^(n-1)。
(n≥1)等比数列常见的性质有：1. 通项公式：an = a₁ * r^(n-1)2. 首项和末项的求解：a₁ = an / r^(n-1)，an = a₁ * r^(n-1)3. 前n项和的求解：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)，当|r|<1时，Sn = (a₁ - an * r) / (1 - r)4. 累乘求积公式：Sn = a₁ * a₂ * a₃ * ... * an = a₁^n * r^(1+2+...+n-1) = a₁^n * r^(n(n-1)/2)5. 通项之和为定值：an * r - an₋₁ = a₁ * (r - 1) * (r^(n-1) - 1) / (r - 1) = a₁ * (r^n - 1) / (r - 1)6. 通项相等时的和：Sn = a₁n三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列是数学中非常重要的概念，它们不仅在数学中有着广泛的应用，而且在实际生活中也随处可见。
等差等比
一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳： 1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a n n n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°通项公式：;11k n k n n q a qa a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A += 2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±=③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=n k n n k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2ndS S =-奇偶【例1】解答下述问题：（Ⅰ）已知cb a 1,1,1成等差数列，求证： （1）c b a b a c a c b +++,,成等差数列； （2）2,2,2bc b b a ---成等比数列.【例2】等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为2128，求项数n.【例3】等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列 求数列.}{项和的前n k n[例4]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.一、选择题7、数列{}n a 的前n 项和1-=nn a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为（ ）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--nn n （D ）212112+--+n n n 9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为 （ ）（A ）97 （B ）78 （C ）2019 （D ）87 10、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}na 的前10项和为（ ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为 （ ）（A ）2)133(+n n （B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12、下列命题中是真命题的是( )A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p )B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n abaD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S nn +=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a 家庭作业1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ）（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则ycx a +的值为 （ ）（A ）21（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ）（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ）（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a（D ）n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（ ）（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ）zy x 1,1,1成等差数列 （D ）zy x 1,1,1成等比数列20、已知{}n a 为等比数列，324202,3a a a =+=，求{}n a 的通项式。
等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点
由题意可得
解得
∵等差数列 的各项为正，∴
∴∴Biblioteka 22（I）：是以 为首项，2为公比的等比数列。
即
（II）证法一：
①
②
②－①，得
即
④－③，得
即
是等差数列。
19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。
20、已知 为等比数列， ，求 的通项式。
21、数列 的前 项和记为
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）等差数列 的各项为正，其前 项和为 ，且 ，又 成等比数列，求
22、已知数列 满足
（I）求数列 的通项公式；
（A） （B） （C） （D）不确定
4、互不相等的三个正数 成等差数列， 是a,b的等比中项， 是b,c的等比中项，那么 ， ， 三个数（）
（A）成等差数列不成等比数列（B）成等比数列不成等差数列
（C）既成等差数列又成等比数列（D）既不成等差数列，又不成等比数列
5、已知数列 的前 项和为 , ,则此数列的通项公式为（）
2°.若 是公差为q的等比数列， 组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）
⑤若 是等比数列，
则顺次n项的乘积： 组成公比这 的等比数列.
⑥若 是公差为d的等差数列,
1°.若n为奇数，则 而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；
2°.若n为偶数，则
（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
数列的规律等差数列与等比数列的区别与应用
数列的规律等差数列与等比数列的区别与应用数列的规律：等差数列与等比数列的区别与应用数列是数学中的一个重要概念，是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
在数列中，我们常常会遇到两种特殊的数列：等差数列和等比数列。
本文将对这两种数列的规律进行比较，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、等差数列等差数列是指数列中的每个数与它前面的数之差都相等的数列。
我们可以用以下公式来表示等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列中的第n项，a1表示第一项，d表示公差（等差数列中的任意两项之间的差值）。
等差数列的特点是每一项与它前面的一项之差相等。
例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，公差d为2。
等差数列在各种实际问题中有广泛的应用，比如时间、距离等的变化规律。
二、等比数列等比数列是指数列中的每个数与它前面的数之比都相等的数列。
我们可以用以下公式来表示等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示等比数列中的第n项，a1表示第一项，r表示公比（等比数列中的任意两项之比）。
等比数列的特点是每一项与它前面的一项之比相等。
例如，1, 2, 4, 8, 16就是一个等比数列，公比r为2。
等比数列在不断增长或者不断衰减的情况下有广泛的应用，比如金融领域的利率增长、细胞的增殖等。
三、等差数列与等比数列的区别等差数列和等比数列虽然都是由一系列按照一定规律排列的数所组成，但它们之间有一些明显的区别。
首先，等差数列的规律是每一项与它前面的一项之差相等，而等比数列的规律是每一项与它前面的一项之比相等。
这是两者的核心区别。
其次，等差数列中的公差通常是常数，而等比数列中的公比常常是不同的。
公差是等差数列中任意两项之差的差值，公比是等比数列中任意两项之比的比值。
最后，等差数列的增长速度是固定的，而等比数列的增长速度会随着公比的大小而改变。
等差数列的增长是线性的，等比数列的增长则是指数的。
高一数学等差等比知识点
高一数学等差等比知识点等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的知识点，它们在各个数学分支以及实际应用中都有着广泛的应用。
本文将从基本概念、性质、应用等方面介绍等差数列和等比数列的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。
一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻项的差值都相等的数列。
数列中的每一项称为等差数列的项，差值称为公差。
1. 基本概念等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
通过这个通项公式，可以方便地求解等差数列的任意一项。
2. 性质等差数列具有以下性质：- 任意三项可以构成一个等差数列；- 等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn=(a1+an)n/2来计算；- 等差数列的前n项和与项数n成正比；- 等差数列的项数n与首项a1、末项an、公差d之间满足关系式an=a1+(n-1)d。
3. 应用等差数列广泛应用于数学和实际问题中，如等差数列在数列求和、数学推理、金融利息计算、物理学运动学、经济学等方面都有应用。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻项的比值都相等的数列。
数列中的每一项称为等比数列的项，比值称为公比。
1. 基本概念等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。
通过这个通项公式，可以方便地求解等比数列的任意一项。
2. 性质等比数列具有以下性质：- 任意三项可以构成一个等比数列；- 等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来计算；- 等比数列的前n项和与项数n成正比；- 等比数列的项数n与首项a1、末项an、公比r之间满足关系式an=a1*r^(n-1)。
3. 应用等比数列也具有广泛的应用，常见的应用包括复利计算、几何级数求和、生物学种群增长模型、物理学波动模型等。
综上所述，等差数列和等比数列是高中数学中重要且实用的概念。
通过了解它们的基本概念、性质和应用，我们可以在解决各种数学问题的过程中更加灵活和高效。
小学数学中的等差数列与等比数列
小学数学中的等差数列与等比数列数学在小学阶段的学习是非常重要的，其中包括了等差数列和等比数列的学习。
等差数列和等比数列是数学中常见的序列形式，对于数学知识的理解和应用有着重要的作用。
本文将介绍小学数学中的等差数列和等比数列的概念、性质以及应用。
一、等差数列等差数列是指一组数字按照相等的差值逐次增加（或递减）的数列。
其中，首项为a，公差为d。
等差数列的通项公式为An=a+(n-1)d。
在小学阶段，对于等差数列的学习主要包括以下几个方面：1. 概念理解首先，学生需要理解等差数列的概念，即一组数字按照相等的差值逐次增加（或递减）。
可以通过具体的数列例子来帮助学生理解，比如2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中差值为3。
2. 判断等差数列学生需要学会判断给定的数列是否为等差数列。
可以通过观察相邻两项的差值是否相等来判断，如果相等则为等差数列。
同时，学生需要注意等差数列的公差是固定的，也就是说差值是保持不变的。
3. 求和公式学生需要了解等差数列的求和公式，即Sn=n/2(a+l)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，l表示末项。
通过掌握求和公式，可以简化对等差数列求和的计算。
二、等比数列等比数列是指一组数字按照相等的比值逐次增加（或递减）的数列。
其中，首项为a，公比为r。
等比数列的通项公式为An=a*r^(n-1)。
在小学阶段，对于等比数列的学习主要包括以下几个方面：1. 概念理解同样，学生需要理解等比数列的概念，即一组数字按照相等的比值逐次增加（或递减）。
可以通过具体的数列例子来帮助学生理解，比如2，4，8，16，32就是一个等比数列，其中比值为2。
2. 判断等比数列学生需要学会判断给定的数列是否为等比数列。
可以通过观察相邻两项的比值是否相等来判断，如果相等则为等比数列。
同时，学生需要注意等比数列的公比是固定的，也就是说比值是保持不变的。
3. 求和公式学生需要了解等比数列的求和公式，即Sn=a(1-r^n)/(1-r)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。
高一等比等差知识点
高一等比等差知识点等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的知识点，它们在解决数学问题、推导公式以及实际应用中起到了重要的作用。
本文将详细介绍高一等比等差知识点，包括定义、性质、公式推导以及应用实例等内容。
一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差保持不变的数列。
用数学符号来表示，设数列为{a1, a2, a3, ...}，其中a1为首项，d为公差，则有：a2 - a1 = d,a3 - a2 = d,....通项公式：an = a1 + (n-1)d等差数列的性质：1. 公差：等差数列中相邻两项的差值称为公差，记为d。
2. 首项：等差数列中的第一项称为首项，记为a1。
3. 末项：等差数列中的最后一项称为末项，记为an。
4. 项数：等差数列中的项的个数称为项数，记为n。
5. 总和：等差数列的前n项和可表示为Sn = n/2 * (a1 + an)。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比保持不变的数列。
用数学符号来表示，设数列为{a1, a2, a3, ...}，其中a1为首项，r为公比，则有：a2 / a1 = a3 / a2 = r,a3 / a2 = a4 / a3 = r,....通项公式：an = a1 * r^(n-1)等比数列的性质：1. 公比：等比数列中相邻两项的比值称为公比，记为r。
2. 首项：等比数列中的第一项称为首项，记为a1。
3. 末项：等比数列中的最后一项称为末项，记为an。
4. 项数：等比数列中的项的个数称为项数，记为n。
5. 总和：等比数列的前n项和可表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列在各个领域中都有广泛的应用，下面以几个常见的实例进行说明。
1. 财务问题：等差数列和等比数列可以用来计算投资、借贷、存款等金融问题。
例如，年底固定存入一定金额的存款，假设每年存款增加10%，求未来5年的总存款金额。
等差等比原理的应用
等差等比原理的应用1. 简介等差等比原理是高中数学中常见的概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将介绍等差等比原理的基本概念，并探讨其在几个具体领域中的应用。
2. 等差数列的应用2.1. 薪资计算等差数列的概念可以应用于薪资计算中。
假设某公司的初始工资为5000元，每年递增1000元，我们可以使用等差数列的公式来计算未来几年的工资。
假设我们需要计算未来5年的工资，可以使用以下公式：工资 = 初始工资 + (年份 - 初始年份) * 递增值根据这个公式，我们可以计算出未来5年的工资，并对其进行列点展示：•第1年：6000元•第2年：7000元•第3年：8000元•第4年：9000元•第5年：10000元2.2. 运动距离计算等差数列的概念还可以应用于计算运动距离。
假设一个人每天步行1000米，每天比前一天增加200米，我们可以使用等差数列的公式来计算未来几天的步行距离。
假设我们需要计算未来7天的步行距离，可以使用以下公式：步行距离 = 初始距离 + (天数 - 初始天数) * 递增值根据这个公式，我们可以计算出未来7天的步行距离，并对其进行列点展示：•第1天：1000米•第2天：1200米•第3天：1400米•第4天：1600米•第5天：1800米•第6天：2000米•第7天：2200米3. 等比数列的应用3.1. 利润计算等比数列的概念可以应用于利润的计算中。
假设某公司的初始利润为100万元，每年增长10%，我们可以使用等比数列的公式来计算未来几年的利润。
假设我们需要计算未来5年的利润，可以使用以下公式：利润 = 初始利润 * (增长率)^年数根据这个公式，我们可以计算出未来5年的利润，并对其进行列点展示：•第1年：110万元•第2年：121万元•第3年：133.1万元•第4年：146.41万元•第5年：161.05万元3.2. 折旧计算等比数列的概念还可以应用于折旧的计算中。
假设某机器的初始价值为50000元，每年折旧率为20%，我们可以使用等比数列的公式来计算未来几年的机器价值。
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.数列(1)定义：按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()y f x =中,当自变量x N *∈时,所对应的函数值(1),(2),(3),f f f 就构成一数列,通常记为{}n a ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2.等差数列 (1)定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d 表示,即1()n n a a d n N *+-=∈.(2)等差数列的通项公式.若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则其通项公式为11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-,是关于n 的一次型函数.或()n m a a n m d =+-,公差n m a a d n m-=-(直线的斜率)(,,m n m n N *≠∈).(3)等差中项.若,,x A y 成等差数列,那么A 叫做x 与y 的等差中项,即2x yA +=或2A x y =+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前n 项和2111()2(1)2222n n a a n a dn n d d S na n n +--==+=+(类似于2n S An Bn =+),是关于n 的二次型函数(二次项系数为2d且常数项为0).n S 的图像在过原点的直线(0)d =上或在过原点的抛物线(0)d ≠上.3.等比数列(1)定义.：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q 表示,即1(q 0,)n na q n N a *+=≠∈. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项1111()(,0)n n n a a a qc q c a q q-==⋅=≠,是不含常数项的指数型函数. (3)m n mna q a -=. (4)等比中项如果,,x G y 成等比数列,那么G 叫做x 与y 的等比中项,即2G xy =或G =两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前n 项和111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩注①等比数列的前n 项和公式有两种形式,在求等比数列的前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q 是否为1时,要分1q =与1q ≠两种情况讨论求解.②已知1,(1),a q q n ≠(项数),则利用1(1)1n n a q S q -=-求解;已知1,,(1)n a a q q ≠,则利用11n n a a qS q-=-求解.③111(1)(0,1)111n n n n a q a aS q kq k k q q q q--==⋅+=-≠≠---,n S 为关于n q 的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列{}n a ,前n 项和为212n n S t +=+,则t =.解:等比数列前n 项和21224n n n S t t +=+=⋅+,则2t =-.二、基本性质1.等差数列的性质 (1)等差中项的推广.当(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时,则有m n p q a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.(2)等差数列线性组合.①设{}n a 是等差数列,则{}(,)n a b b R λλ+∈也是等差数列.②设{},{b }n n a 是等差数列,则1212{}(,)n n a b R λλλλ+∈也是等差数列. (3)有限数列.①对于项数为2n 的等差数列,有: (Ⅰ)21()n n n S n a a +=+.(Ⅱ)11,,,n n n nS a S na S na S S nd S a ++==-==偶奇奇偶偶奇. ②对于项数为21n -的等差数列,有; (Ⅰ)21(21)n n S n a -=-.(Ⅱ),(1),,1n n n S nS na S n a S S a S n ==--==-奇奇奇偶偶偶.(4)等差数列的单调性及前n 项和n S 的最值. 公差0{}n d a >⇔为递增等差数列,n S 有最小值; 公差0{}n d a <⇔为递减等差数列,n S 有最大值; 公差0{}n d a =⇔为常数列. 特别地 若10a d >⎧⎨<⎩,则n S 有最大值(所有正项或非负项之和);若100a d <⎧⎨>⎩,则n S 有最小值(所有负项或非正项之和).(5)其他衍生等差数列.若已知等差数列{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等差数列,公差为td . ②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等差数列,公差为2m d .③算术平均值312,,,123S S S 为等差数列,公差为2d . 2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m a m a n m n m n N *==≠∈,则0m n a +=. (2)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m S m S n m n m n N *==≠∈,则()m n S m n +=-+. (3)等差数列{}n a 中,若(,,)n m S S m n m n N *=≠∈,则0m n S +=.(4)若{}n a 与{b }n 为等差数列,且前n 项和为n S 与n T ,则2121m m m m a S b T --=. 3.等比数列的性质 (1)等比中项的推广.若m n p q +=+时,则m n p q a a a a =,特别地,当2m n p +=时,2m n p a a a =.(2)①设{}n a 为等比数列,则{}n a λ(λ为非零常数),{}n a ,{}mn a 仍为等比数列.②设{}n a 与{b }n 为等比数列,则{b }n n a 也为等比数列.(3)等比数列{}n a 的单调性(等比数列的单调性由首项1a 与公比q 决定).当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时,{}n a 为递增数列;当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时,{}n a 为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等比数列,公比为tq .②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等比数列,公比为mq (当1q =-时,m 不为偶数).4.等差数列与等比数列的转化(1)若{}n a 为正项等比数列,则{log }(c 0,c 1)c n a >≠为等差数列. (2)若{}n a 为等差数列,则{c }(c 0,c 1)n a>≠为等比数列. (3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列{)n a ⇔是非零常数列. 题型归纳及思路提示题型1 等差、等比数列的通项及基本量的求解 思路提示利用等差(比)数列的通项公式或前n 项和公式,列出关于1,()a d q 基本量的方程或不等式从而求出所求的量.一、求等差数列的公差及公差的取值范围例6.1 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则该数列的公差d =( ). A.7 B.6 C.3 D.2解析 212124S a a a d =+=+= ①414620S a d =+= ②由式①②可解得3d =,故选C.评注 求解基本量用的是方程思想.变式1 (2012福建理2)等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==则数列{}n a 的公差为( ). A.1 B.2 C.3 D.4变式2 已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d 的取值范围是( ). A.(,2)-∞- B.15,27⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.(2,)-+∞ D.15,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、求等比数列的公比例6.2 在等比数列{}n a 中,201320108a a =,则公比q 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.8 解析 因为201320108a a =,所以3201320108,a q a ==则2q =,故选A. 变式1 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1234,2,a a a 成等差数列,若11a =,则4S =( ). A.7 B.8 C.15 D.16变式2 (2012浙江理13)设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若224432,32S a S a =+=+,则q =.变式3 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123,2,3S S S 成等差数列,则{}n a 的公比为.三、求数列的通项n a例6.3 (1)(2012广东理11)已知递增等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则n a =.(2)(2012辽宁理14)已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列{}n a 的通项公式n a =.解析 (1)利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d ,则由2324a a =-得,212(1)4d d +=+-,所以24d =,得2d =±,又该数列为递增的等差数列,所以2d =.故1(1)21()n a a n d n n N *=+-=-∈.(2)由数列{}n a 为等比数列,设公比为q ,由212()5n n n a a a +++=,得22()5n n n a a q a q +=,即22(1)5q q +=,解得12q =或2.又25100a a =>,且数列{}n a 为递增数列,则2q =. 因此5532q a ==,所以2()n n a n N *=∈.变式1 n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,264,1S S a ==,则n a =.变式2 已知两个等比数列{},{b }n n a ,满足11122331,1,2,4a b a b a b a =-=-=-=,求数列{}n a 的通项公式.例6.4 在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的前n 项和为n S .解析 设该数列的公差为d ,前n 项和为n S .由已知,得211228,(3)a d a d +=+=11()(8)a d a d ++,所以114,(3)0a d d d a +=-=,解得14,0a d ==或11,3a d ==,即数列{}n a 的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n 项和为4n S n =或232n n nS -=.变式1 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,则其通项n a =;若它的第k 项满足58k a <<,则k =.变式2 已知数列{}n a 的前n 项和1(nn S a a =-为非零实数),那么{}n a ( ).A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列题型2 等差、等比数列的求和 思路提示求解等差或等比数列的前n 项和n S ,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数n 的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从n 为奇数、偶数,项n a 的正、负进行分类.一、公式法(准确记忆公式,合理选取公式)例6.5 在等比数列{}()n a n N *∈中,若1411,8a a ==,则该数列的前10项和为( ). 8910111111.2.2 C.2 D.22222A B ----解析 由334111,82a a q q q ====得,所以1010911()1221212S -==--,故选B. 变式1 {}n a 是由正数组成的等比数列,n S 为前n 项和,已知2431,7a a S ==,则n S =.变式2 设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()()f n =.1342222.(81).(81).(81).(81)7777n n n n A B C D +++----二、关于等比数列求和公式中q 的讨论例6.6 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若396,,S S S 成等差数列,求数列的公比q .解析 若1q =,则3161913,6,9S a S a S a ===,因为10a ≠,所以3692S S S +≠,与396,,S S S 成等差数列矛盾,故1q ≠.由题意可得3692S S S +=,即有369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---,整理得363(21)0q q q --=,又0q ≠,故63210q q --=,即33(21)(1)0q q +-=.因为31q ≠,所以312q =-,所以q ==变式1 设数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为n S ,且333S a =,则其公比q =.变式2 求和2311357(21)(2,,)n n S x x x n x n n N x R -*=+++++-≥∈∈.三、关于奇偶项求和问题的讨论例6.7 已知数列{}n a 的通项公式为12(1)n n a n -=-,求其前n 项和为n S . 解析 (1)当n 为偶数时,222221234(1)n S n n =-+-++--22222(12)(34)[(1)]n n =-+-++--[37(21)]n =-+++-(321)(1)222nn n n +-+=-=-. (2)当n 为奇数时,则1n +为偶数,所以211(1)(2)(1)(1)22n n n n n n n S S a n +++++=-=-++=. 综上,(1)()2(1)()2n n n n S n n n +⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为正偶数为正奇数.评注：本题中，将n 为奇数的情形转化为n 为偶数的情形，可以避免不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。