超弹性本构模型对橡胶隔振器静态特性预测影响的研究

超弹性本构模型对橡胶隔振器静态特性预测影响的研究王文涛;上官文斌;段小成【摘要】The stress-strain data in uniaxial, planar and biaxial tension tests of standard rubber specimen are measured, based on which the parameters of 5 common hyperelastic constitutive models are identified with least square principle, and the fitting accuracies of different models are compared. Then taking the rubber isolator of a real vehicle as an example, its force-displacement curves under three typical engineering strains with different constitutive models are calculated and compared with measured data. The results show that in dealing with smaller strain values, Mooney-Rivlin model has the highest accuracy and computational stability among all the models, while in dealing with large strain values, Van der Waals model and 0gden3 model have better accuracies than other models.%通过对某橡胶材料标准试件的单轴拉伸、平面拉伸和等双轴拉伸的应力-应变数据的测试,并利用最小二乘原理识别了5种常见橡胶超弹性本构模型的参数,对比了不同模型间的拟合精度.以某款车型的橡胶隔振器为实例,计算不同本构模型在3种典型工程应变下的力-位移曲线,并与实测数据进行对比.结果表明,MooneyRivlin模型在处理较小应变数据时具有较好的计算精度和计算稳定性,Van der Waals模型和3阶Ogden模型在处理较大应变数据时具有较好的计算精度.【期刊名称】《汽车工程》【年(卷),期】2012(034)006【总页数】8页(P544-550,539)【关键词】橡胶;超弹性本构模型;力-位移特性;计算精度与稳定性;模型参数识别【作者】王文涛;上官文斌;段小成【作者单位】华南理工大学机械与汽车工程学院,广州510640;广州城市职业学院机电工程系,广州510405;华南理工大学机械与汽车工程学院,广州510640;宁波拓普集团股份有限公司,宁波315800;华南理工大学机械与汽车工程学院,广州510640;宁波拓普集团股份有限公司,宁波315800【正文语种】中文前言橡胶材料是由长链、大分子和网状交连结构所构成的超弹性材料，具有良好的减振和隔振作用，因此广泛应用于汽车隔振器、轮胎和密封件等［1］。

橡胶材料具有很强的非线性特征，准确描述其力-位移的非线性性质并建立相应的数学模型有较大的难度，因此橡胶材料超弹性本构模型的恰当选取及其参数的识别引起了学术界和工业界的广泛关注。

目前，可用于橡胶隔振器力-位移分析的本构模型较多，常见的有Mooney-Rivlin(MR)模型、Van der Waals(VDW)模型等［2］。

在不同的激振幅值、激振频率和初始条件下，这些本构模型对橡胶件(如汽车隔振器等)的力-位移计算值与实测值的误差较大。

因此，研究橡胶材料本构模型在常见承载工况下的计算精度及其模型参数的识别方法对汽车隔振器的应力-应变分析具有重要的工程意义。

国内外对橡胶本构模型的研究主要集中于模型的推导或在某一应变载荷下的计算精度［3－4］。

文献［5］和文献［6］中研究了MR模型处理橡胶试件大变形的精度问题，发现其具有较高的精度。

文献［7］中在轮胎滚动阻力研究中得出Yeoh模型适应范围较广的结论。

文献［8］中基于单轴试验材料参数对比研究了Arruda-Boyce(A-B)模型、VDW模型和Yeoh模型的相对计算精度。

文献［9］中研究了多项式模型及1阶、2阶和3阶Ogden模型的稳定计算区间问题。

上述研究尚未对不同本构模型在不同材料应变组合下的拟合精度做出探讨;在不同加载条件下，不同橡胶本构模型在汽车橡胶隔振器静态预测计算中的计算精度研究及其材料应变大小组合选择的研究尚不多见。

本文中选取汽车橡胶隔振器静态预测计算广泛使用的MR模型、Yeoh模型、3阶Ogden(Ogden3)模型、A-B模型和VDW模型5种橡胶本构模型进行静态预测计算精度的研究。

为保证汽车橡胶隔振器静态预测计算精度，获取较为精确的橡胶材料本构模型参数是关键。

因此，进行了橡胶材料的单轴拉伸、平面拉伸和等双轴拉伸的工程应力-工程应变测试工作，利用最小二乘法识别不同本构模型的模型参数。

选取某车型橡胶隔振器进行力-位移静态特性和材料应变组合选择原则的研究。

分析了橡胶隔振器在3种加载条件下实测与计算的力-位移数据，结果发现:橡胶材料本构模型的拟合精度与其计算精度的变化趋势基本一致;橡胶隔振器在力-位移计算中，为提高其计算精度，橡胶材料应变组合最大工程应变水平应≥计算试件最大工程应变水平;在所选工程应变范围内，MR模型的计算稳定性最好，计算值与实测值误差最小，VDW模型与Ogden3模型在较大工程应变范围内也具有较好的计算精度。

1 橡胶超弹性本构模型就橡胶材料力学特性而言，其应力-应变关系较金属材料具有更强的非线性。

为描述橡胶材料的应力-应变非线性特性，一般假设其外部载荷所做的功全部存储于弹性体内，通常将反映其变形梯度与应变势能函数关系的模型称为超弹性本构模型［10］。

通过对应变能密度函数的应变不变量求导，可得橡胶材料的工程应力与工程应变之间的本构关系［11］。

目前橡胶材料本构模型主要有基于分子统计理论和基于唯象理论两大类［12］。

上述两种理论的本构模型种类较多，在不同应变范围内的计算精度差别较大。

汽车橡胶隔振器受载工况复杂，故仅讨论在工程计算中应用较多、且在各应变区间计算精度不同的5种本构模型:基于唯象理论的MR模型、Yeoh模型与Ogden3模型和基于热力学或分子统计理论结构的A-B模型与VDW模型。

应变势能函数U 的一般形式［13］为式中:I1、I2、J分别为1阶、2阶、3阶应变不变量，它们为3个主拉伸比的函数;C1、C2、…、Cm为m个超弹性材料的剪切特性常数;d1、d2、…、dn为n个超弹性材料的压缩特性常数。

I1、I2、J与超弹性材料的3个主拉伸比λ1、λ2、λ3的关系为1.1 MR模型MR模型的应变势能函数［14］为式中:W为单位体积的应变势能;C10、C01和D1均为依赖于温度的模型参数，当D1=0时，该材料为完全不可压缩;J el为弹性体积应变比。

1.2 Yeoh模型Yeoh模型的应变势能函数［15］为式中:Ci0为依赖于温度的模型参数，i=1，2，3。

1.3 Ogden3模型Ogden模型的应变势能函数［16］为式中μi、αi均为描述温度函数的模型参数。

1.4 A-B模型A-B模型又称八链模型［17］，其应变势能函数为式中:C1=，C5=，这些模型参数通过热力学统计方法得到，具有明确的物理含义;λm为锁死伸长率;D=2/K，K为体积模量。

1.5 VDW模型VDW模型的应变势能函数［6］为式中为初始剪切模量;a为全局相互作用参数;β为不变量混合参数。

2 橡胶材料试验和模型参数识别方法2.1 橡胶材料试验若要精确的识别橡胶材料本构模型的参数，通常须进行单轴拉伸、平面拉伸和等双轴拉伸材料试验，平面拉伸对应纯剪切变形、等双轴拉伸对应单轴压缩［18］。

图1为3种材料应力-应变测试装置和加载方向。

根据汽车橡胶减振器的实际变形和选材情况，选取某种橡胶材料作为测试对象，测量标准试件在0.5、1和2的3种典型工程应变下的材料数据。

标准试件工程应变的计算式为式中:εC为工程应变;l0为试件初始长度;l为试件承载后长度;Δl为试件伸长量。

因此0.5、1和2的工程应变分别相当于标准试件伸长量为原有试件长度的0.5倍、1倍和2倍。

图1 材料实验装置和加载方向试片在初始几个加载循环时，其应力-应变曲线与稳定时区别较大，随着加载次数的增加，同一应变下的应力最大值减小，这种应力减少现象称为马林斯效应(Mullin effect)，如图2所示。

为保证计算精度，工程计算中一般选用3次加载循环以后加载段的材料数据进行模型参数拟合［19］。

图2 实测橡胶材料工程应力-工程应变关系2.2 本构模型参数识别方法假设橡胶为不可压缩材料，对其势能函数在单轴拉伸、等双轴拉伸和平面拉伸3种状态下的拉伸率求导，可求得对应拉伸状态理论工程应力［20］:式中:λU、λB和λP分别为单轴、等双轴和平面拉伸的拉伸率;σthi为理论工程应力。

式(9)中不同拉伸状态下的应变不变量I1和I2分别为利用最小二乘法拟合实测材料的应力-应变数据，进而求取唯一的本构模型参数。

本构模型的拟合误差为式中:σtesti为实验测试应力;E为实测应力与计算工程应力的相对误差平方和。

3 橡胶本构模型参数识别与拟合精度3.1 应力-应变组合工程计算中一般利用橡胶材料的单轴、等双轴和平面拉伸实验数据识别其模型参数［4，21］。

对3种应变水平0.5、1和2的材料数据进行组合，如表1所示。

汽车橡胶隔振器在实际应用中单轴压缩变形和纯剪切变形(相当于等双轴拉伸变形)相对较小，因此，在材料应变组合中以单轴拉伸工程应变最大，平面拉伸工程应变次之，等双轴拉伸工程应变最小。

表1 材料应变组合方式组合编号单轴拉伸最大工程应变等双轴拉伸最大工程应变平面拉伸最大工程应变1# 0.5 0.5 0.5 2# 1 0.5 1 3# 2 1 2表1中1#、2#和3#应变组合分别对应橡胶材料承载较小、中等和较大的应变状况。

3.2 模型参数及其拟合误差表2～表6为利用实测工程应力-工程应变数据识别的模型参数和不同模型的拟合误差。

表2 Yeoh模型参数及拟合误差拟合参数1#材料应变组合拟合误差2#材料应变组合拟合误差3#材料应变组合拟合误差C10 0.404 0.351 0.422 C20 3.15%0.053 5.96%0.017 11.73%0.082 C30 0.037 0.014 0.002表3 Ogden3模型参数及拟合误差拟合参数1#材料应变组合拟合误差2#材料应变组合拟合误差3#材料应变组合拟合误差μ1 2.861 0.698 3.817 μ2 0.001 0.005 2.976 μ3 2.072 0.000 0.000 α1 9.98%0.265 10.68%0.680 9.82%3.188 α2 12.878 7.262 3.706 α3 11.979 0.635 7.619表4 A-B模型参数及拟合误差拟合参数1#材料应变组合拟合误差2#材料应变组合拟合误差3#材料应变组合拟合误差μ 0.7 0.6 0.786 λm 0.8 μ0 11.78%0.723 14.24%0.647 16.06%1099.32 2111.23 1211.98表5 VDW模型参数及拟合误差常数 1#材料应变组合拟合误差2#材料应变组合拟合误差3#材料应变组合拟合误差μ 0.877 0.776 0.914 λm 3.741 5.015 3.842 a 9.19%0.941 10.15%0.665 10.37%0.196 D 0.951 β 0.190 0.133 0 0 0表6 MR模型不同应变组合下拟合参数及拟合误差拟合参数1#材料应变组合拟合误差2#材料应变组合拟合误差3#材料应变组合拟合误差C10 0.352 0.290 0.278 C01 0.027 2.56%0.060 3.39%0.040 9.15%综合分析各表可知，就拟合误差而言，最大工程应变为0.5的1#材料应变组合中MR和Yeoh模型的拟合精度较高，其拟合误差约为3%;其余3种本构模型的拟合误差均在10%左右。