高三文科数学概率与统计复习学案

高三数学（文科）概率与统计

一 选择题

1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )

A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

2.为了解某社区居民的家庭收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )

A ．11.4万元

B ．11.8万元

C ．12.0万元

D ．12.2万元

3.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为( )

A ．15

B ．16

C ．17

D ．19

4. 【2015高考新课标文】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） （A ）

310 （B ）15 （C ）110 （D ）1

20

5． 设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ）

A ．

3142π+ B ． 112π+ C ．1142π- D ． 112π

- 6.某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50号，并按编号顺序平均分成10组（1～5号，6～10号，…，46～50号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是（ ）

A ．23

B ．33

C ．43

D ．53 7.在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形面积和的

2

5

，且样本容量为140，则中间一组的频数为（ ） A ．28 B ．40 C ．56 D ．60

二、填空题

8．某高中共有学生1 000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于_______．

9．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是_______．

10．样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m .若该样本的平均值为1，则其样本方差为_______．

三、解答题

11．【2015高考新课标1，文19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量

()1,2,,8i y i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中i w

，w

=

18

8

1

i

i w

=∑

（I ）根据散点图判断，

y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回

归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题：

（i ）当年宣传费90x

=时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润

的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v

u αβ=+的斜率和

截距的最小二乘估计分别为：

1

2

1

()()=()n

i

i i n

i

i u

u v v u

u β

==---∑∑， =v u α

β-

12.．为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市市法制办组织了普法知识竞赛．统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表：

(1)更稳定；

(2)用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差至少是4的概率．

13．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如下图．

(1)求直方图中x的值；

(2)求月平均用电量的众数和中位数；

(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？

14. 空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：3

/g m

μ）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年１月某日某省x个监测点数据统计如下：

（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,x y 的值，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，２个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是多少？

15．对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查，根据调查得到的数据，所绘制的二维条形图如图．

(1)根据图中的数据，填好2×2列联表，并计算在多大的程度上可以认为性别与是否爱好体育有关系；

(2)若已从男生中选出相同的概率． （3/g m ）

参考数据：

参考公式：K 2

＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

16.某班为了调查同学们周末的运动时间，随机对该班级50名同学进行了不记名的问卷调查，得到了如下表所示的统计结果：

运动时间不超过2小时 运动时间超过2小时 合计 男生 10 20 30 女生 13 7 20 合计

23

27

50

（1）根据统计结果，能否在犯错误概率不超过0．05的前提下，认为该班同学周末的运动时间与性别有关？

（2）用分层抽样的方法，从男生中抽取6名同学，再从这6名同学中随机抽取2名同学，求这两名同学中恰有一位同学运动时间超过2小时的概率．

附：)

)()()(()(2

2

d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中n a b c d =+++．

17. 国际滑联世界花样滑冰锦标赛将在中国举行，为调查市民喜欢这项赛事是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到如下数据表：

（I）判断是否有99.5%的把握认为喜欢这项赛事与年龄有关？

（II）用分层抽样的方法从喜欢这项赛事的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．下面的临界值表供参考：

（参考公式：

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n a b c d

=+++）

18．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

(1) (2)已知在被调查的北方学生中有

5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：K 2

＝n (ac －bd )2(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )(b ＋d )

.

19.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：

(1)求y 关于t 的回归方程y ＝b t ＋a ；

(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ^＝b ^

t ＋a ^

中，

b ^＝

∑n

i ＝1

t i y i －n t － y

－

∑n

i ＝1

t 2i －n t

－

2

，a ^＝y －

－b ^t －

.

20．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：

(1)求(2)利用(1)中的回归方程，预测t ＝8时，细菌繁殖个数．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^

＝

∑n

i ＝1

(t i －t )(y i －y )

∑n

i ＝1

(t i －t )2

，a ^＝y －b ^

t .

高三数学（文科）

概率与统计答案

一 选择题

1.[解析] 根据柱形图易得选项A ，B ，C 正确，2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，选项D 错误．故选D.[答案] D

2.[解析] ∵x ＝10.0，y ＝8.0，b ^

＝0.76，∴a ^

＝8－0.76×10＝0.4，∴回归方程为y ^

＝0.76x ＋0.4，把x ＝

15代入上式得，y ^

＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)，故选B.[答案] B

3.[解析] 估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为30×0.8－4－5＝15，故选A.[答案] A

4【答案】C 5【答案】C

6.【答案】B 【解析】抽样间隔为

50

510

=，由系统抽样的特点，可得所抽编号成等差数列，由等差数列性质知734533a a =+?=，故选B ． 7.【答案】B

二、填空题

8. [答案] 25

9.[解析] 由题意可知，这35名运动员的分组情况为，第一组(130,130,133,134,135)，第二组(136,136,138,138,138)，第三组(139,141,141,141,142)，第四组(142,142,143,143,144)，第五组(144,145,145,145,146)，第六组(146,147,148,150,151)，第七组(152,152,153,153,153)，故成绩在区间[139,151]上的运动员恰有4组，故运动员人数为4.[答案] 4

10.[解析] 依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝1

5(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样

本方差为2.[答案] 2

三、解答题

11.

事件A 是由7个基本事件组成，因而P (A )＝

710

. 12[解] (1)x －

甲＝15(87＋88＋91＋91＋93)＝90，x －

乙＝1

5

(85＋89＋91＋92＋93)＝90，

s 2甲＝15[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2

]＝245， s 2乙＝15

[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8， 因为24

5

<8，所以甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定．

(2)从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件(用数对表示)：(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)，共10个，

则抽取的2名职工的分数差至少是4的基本事件：(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,93)，共5个．由古典概型的概率计算公式可知，抽取的2名职工的分数差至少是4的概率P ＝

510＝1

2

. 13.[解] (1)依题意，20×(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)＝1，解得x ＝0.007 5. (2)由图可知，最高矩形的数据组为[220,240)，∴众数为

220＋240

2

＝230. ∵[160,220)的频率之和为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45，∴依题意，设中位数为y ，∴0.45＋(y －220)×0.012 5＝0.5.解得y ＝224.∴中位数为224.

(3)月平均用电量在[220,240)的用户在四组用户中所占比例为

0.012 50.012 5＋0.007 5＋0.005＋0.002 5＝5

11

，

∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取11×5

11

＝5(户)．

14【解析】（Ⅰ）10015

50003.0=∴=

?x x

，35100104015=∴=+++y y .

008.05010040=?，007.050

10035

=? ，

002.050

10010

=?，根据以上数值画出频率分布直方图如下：

15[解] (1)根据共调查了40人，其中男生25人，女生15人．男生中有15人爱好体育，另外10人爱好文娱．女生中有5人爱好体育，另外10人爱好文娱，得到列联表.

K 2

＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝40×(150－50)220×20×25×15＝8

3

≈2.667>2.072，而P (K 2>2.072)＝0.15，∴有85%的

把握可以认为性别与是否喜欢体育有关系．

(2)从男生中选出3人记为A ，B ，C ，从女生中选出2人记为a ，b ，从这5人中选出2人的基本事件为(A ，B )、(A ，C )、(A ，a )、(A ，b )、(B ，C )、(B ，a )、(B ，b )、(C ，a )、(C ，b )、(a ，b )共10种，两人性别相

同的情形有(A ，B )、(A ，C )、(B ，C )、(a ，b )共4种，故概率P ＝410＝2

5.

16

恰

好有一位同学的运动时间超过2小时的，共有8个基本事件， 所以所求概率15

8=

P ． 17【解析】（I ）由公式得()

2

255202010511.9787.87930252530

K ?-?=≈>???，所以有99.5%的

把握认为喜欢这项赛事与年龄有关．

18[解] (1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

K 2

＝n (ac －bd )2(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(60×10－20×10)270×30×80×20

＝100

21≈4.762.由于4.762>3.841，

所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．

(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1,2；b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．

19[解] (1)列表计算如下这里n ＝5，t －

＝1n ∑n

i ＝1

t i ＝155＝3，y －

＝1n ∑n i ＝1

y i ＝365

＝7.2.又l tt ＝∑n

i ＝1

t 2i －n t －

2＝55－5×32

＝10，l ty ＝∑n

i ＝1

t i y i －n t －y －＝120－5×3×7.2＝12，从而b ^＝l ty l tt ＝12

10

＝1.2，a ^＝y －－b ^t －

＝7.2－1.2×3＝3.6，故

所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^

＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．

20.[解] (1)由表中数据计算得，t ＝5，y ＝4，∑n

i ＝1

(t i －t )(y i －y )＝8.5，∑n

i ＝1

(t i －t )2＝10，

b ^＝

∑n

i ＝1

(t i －t )(y i －y )

∑n

i ＝1

(t i －t )2

＝0.85，a ^＝y －b ^t ＝－0.25.所以回归方程为y ^

＝0.85t －0.25.

(2)将t ＝8代入(1)的回归方程中得y ^

＝0.85×8－0.25＝6.55.故预测t ＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个．