高二理科学生圆锥曲线理解水平的研究——以概念维度为例

高二理科学生圆锥曲线理解水平的研究　——以概念维度为例　许迟　（黔南民族幼儿师范高等专科学校贵州・黔南５５８２００）　摘要　圆锥曲线作为高中数学的一个重要知识模块，蕴含着数形结合、类比等重要数学思想方法，又“天然”的和不　等式、函数、平面向量、三角函数等知识模块紧密联系，笔者研究学生对圆锥曲线概念维度的理解水平，以达到提高教　学质量的目的。　关键词　圆锥曲线理解水平维度划分　中图分类号：Ｇ６３３．６　文献标识码：Ａ　

１圆锥曲线理解水平的划分以及研究标准的界定　１．１　ＳＯＬＯ分类评价理论及基本观点　ＳＯＬＯ分类评价理论是香港大学教育心理学教授比格斯　（Ｂｉｇｇｓ）首创的一种学生学业评价方法，是一种以等级描述为　特征的质性评价方法。Ｓ０ＬＯ是英文“Ｓｔｍｃｍｒｅ　ｏｆｔｈｅ　Ｏｂｓｅｒｖｅｄ　Ｌｅａｒｎｉｎｇ　Ｏｕｔｃｏｍｅ”首字母的缩写，意为“观察到的学习结果　的结构”。对于ＳＯＬＯ分类理论的系统描述，始见于比格斯　（Ｂｉｇｇｓ）和科利斯（Ｃｏｌｌｉｓ）于１９８２年出版的《评价学习的质量　一ｓＯＬＯ分类法》。２０世纪７Ｏ年代，比格斯和科利斯在以小　学、中学和大学的数百名学生为样本，对学生在历史、数学、阅　读、地理、外语、化学等学科领域里的学习反应情况进行了系　统的实证研究，发现了一个相似的由低级到高级的反应结构。　基于前人的相关研究，比格斯提出的ＳＯＬＯ分类评价法的理　论基础：一个人的总体认知结构是一个纯理论性的概念，是不　可测的；但一个人在回答某个问题时所表现出来的思维结构　是可以检测的，一个人在回答某个问题时所表现出来的思维　结构与这个人总体认知结构没有直接关联的。通过ＳＯＬＯ分　类评价法，可以判断学生在回答某一具体问题时的思维结构　处在哪一层次。这种分析学生解决一个问题时所达到的思维　高度的评价方法就称为ＳＯＬＯ分析评价法。　具体来说，Ｓ０ＬＯ分类理论认为学生对某一具体问题的反　应水平可以分为以下５个不同的层次　表１　层次　划分　前结构层次（Ｐｒｅｓｔｒｕｃｔｕｒａ１）　学生对问题基本上没有理解　单结构层次（Ｕｎｉｓｔｒｕｃｔｕｒａ１）　学生对问题有了一点理解，但只是略之一二　多点结构水平（Ｍｕｌｔｉｓｔｒｕｃｔａｒａ１）　学生对问题有了更多的理解．但仍不全面　关联结构水平（Ｒｅｌａｔｉｏｎａ１）　学生对问题有了整体把握，并能独立解决问题　抽象拓展水平（Ｅｘｔｅｎｄｅｄ　Ａｂｓｔｒａｃｔ）　行抽象概括．使之适用于新的问题情境　其中，单点结构水平和多点结构水平主要表征学生学习　的数量特征；关联结构水平和拓展抽象水平侧重于表征学生　学习的结构即质量特征。　１．２圆锥曲线理解的水平划分　在圆锥曲线的学习过程中，关键是让学生感受圆锥曲线　数与形的统一；圆锥曲线内容与其它数学知识如不等式、向量、　函数、平面几何的联系；圆锥曲线有很多类似的优美性质，而　且有些性质可以自己发现，推导。　结合参考文献，笔者把学生圆锥曲线的理解分为４个维　度，详细分类见表２。　为深入了解高二学生圆锥曲线的理解水平，设计四份数　学测试卷，分别考察学生圆锥曲线概念的理解、思想方法的理　解、圆锥曲线与其它知识交汇的理解、圆锥曲线综合问题的理　解。再根据学生的解答过程，把学生的理解水平按照ＳＯＬＯ　划分为以上的５个思维层次。　表２　

维度　测试内容　圆锥曲线概念理解　１：学生对圆锥曲线第二定义的理解　２：学生对圆锥曲线轨迹的理解　圆锥曲线思想方法理解　１：数形结合方法的理解　２：化归转化方法的理解　圆锥曲线交汇理解　１：圆锥曲线与不等式的结合（离心率”ｅ”的范围）　２：圆锥曲线与平面几何的综合（思维的优化和灵活性）　３：圆锥曲线引参、消参问题的理解（化归为函数模型）　圆锥曲线性质拓展理解　以圆锥曲线为载体　考察学生综合应用数学知识、思想　

方法、解决数学问题的水平。　

笔者以武汉市两所高中的学生为研究对象（含重点和非　重点），代码Ａ为重点，Ｂ为非重点。先对试题进行预测试，检　验其效度和信度，并根据学生的解答进行相应的调整，完成了　正式的试题。根据这４个维度的正式测试卷，就学生的解答，　根据ＳＯＬＯ分类理论完成以下的研究。以下就圆锥曲线概念　维度，提出学生理解水平的划分。　２圆锥曲线概念维度理解水平的研究　２．１　ＳＯＬＯ划分圆锥曲线概念维度理解水平　设点Ｐ到Ｍ（一１，０）、Ｎ（１，０）的距离之差为２ｍ，到ｘ轴，Ｙ轴　的距离之比为２，求ｍ的取值范围。　根据学生的解答情况，把学生的思维水平分为以下的结构：　（１）前结构（Ｐ）：　依据ＳＯＬＯ分类理论，处在这～水平的回答只包含了一　些不相关的信息。　如空白解答、完全无关的回答、不合逻辑的解答，我们认　定这样的解答水平处在前结构水平。　（２）单结构（Ｕ）：　依据ＳＯＬＯ分类理论，处在这一水平的解答只从问题的　

一个侧面去思考，能从问题的条件得到某个结论，但结论是单　

一的。如以下解答：　

一科教导刊ｒ电子版Ｊ・２０１４年第６期ｆｒ中ｊ一　５９　解答①：当０＜Ｉｍｌ＜１时，Ｐ的轨迹方程是：寺一ｒ兰　解答②：点Ｐ在直线Ｙ＝２ｘ或ｙ＝一２ｘ上。　评析：第一类学生对双曲线的第一定义掌握牢固，能讨论　参数ｉｎ在某一范围下，Ｐ的轨迹是双曲线；第二类学生对直线　的几何特征敏感，抓住了点Ｐ在直线Ｙ＝＋２ｘ上。两类学生只　抓住了一个要点，理解是孤立的、单一的。所以笔者认定此类　学生的思维水平处在单一结构。　（３）多元结构（Ｍ）：　多元结构水平的回答可以理解到Ｐ点既在双曲线上也在　直线上，有的学生进一步尝试联立直线和双曲线的方程，得到　关于Ｘ的一元二次方程，把结果“摆”在那里，说明学生对联立　直线和曲线方程的方法有所了解，但理解是肤浅的，存在着盲　目“模仿”的痕迹，如以下的解答：　解答①：当０＜ｌｍＩ＜１时，Ｐ的轨迹方程是　ｘ－一　１又Ｐ点到ｘ轴，Ｙ轴的距离之比为２，所　

以Ｐ点也在直线Ｙ＝＋２ｘ上。　解答②：０＜Ｉｍｌ＜１时，Ｐ点在寺一南　１上，同时　Ｐ在直线ｙ＝＋２ｘ上，联立直线与双曲线方程，消去Ｙ，得：（１　—５ｍ　）　＝ｍ　（１一ｍ２）　评析：此类学生得出参数ｍ满足某范围下，Ｐ的轨迹是双　曲线的结论，也得出了Ｐ在直线Ｙ＝＋２ｘ上的结论，但学生并　没有理解到这两个结论之间的实质联系，要点之间是孤立的。　（４）关联结构（Ｒ）：　关联结构的解答中能把Ｐ点既在双曲线上也在直线上的　条件转化为一个关于Ｐ点横坐标Ｘ的方程，然后利用方程的　思想用含有参数ｍ的式子表示出）【２的关系，利用　恒大于零　来求出参数ｍ的范围，表明学生解决问题时包含着抽象的思　维。如解答①：　解答①：当０＜Ｉｍｌ＜１时，Ｐ的轨迹方程是寺一ｒ＝兰＿　＝Ｉ，又因Ｐ点到ｘ轴，ｙ轴的距离之比为２，所以Ｐ点也在直　线ｙ　＋２ｘ，即Ｐ点是双曲线寺一　ｌ和直线Ｙ＝±２ｘ　的交点，联立吾一　＝１和ｙ＝￣２ｘ得ｘ　；　ｍ２　（１－ｍ２），因　为Ｐ到ｘ轴、Ｙ轴的距离比为２，所以ｘ≠０　则ｘ２＝　＞０，得ＩＩｌ２＞１或ＩＩｌ２＜了１。又因为０＜Ｉ　

ｍｌ＜ｌ，所以ｍ的取值范围是：（　，ｏ）Ｕ（０．　Ｊ＿）　评析：学生从隐性的条件中分析出Ｐ点在双曲线上也在直　线上，因此Ｐ点是双曲线和直线的交点，因此联立直线与双曲　线的方程，根据Ｐ点横坐标的取值范围，得到参数ｒｌｌ的范围，　学生把多个要点整合成一个有机整体，因此笔者认定此类学生　的思维水平处于关联结构。　（５）抽象拓展结构（Ｅ）：　这一水平的回答纯粹是抽象思维的结果，学生从已有的　信息中发现到更为隐蔽的条件：点Ｐ在双曲线专一告＝１上，　必满足不等关系：ｌ　ｘｐＩ≥ａ。如以下解答：　解答①：当０＜Ｉｍｌ＜１时，Ｐ点的轨迹方程是寺一　＝１　又Ｐ点也在直线上ｙ＝±２ｘ（ｘ≠０），即Ｐ点是直线和双曲　

线的交点，所以　＝　，在双曲线　Ｘ２一ｒ　：１上的　

点Ｐ满足：Ｉｘｐｌ　＞　，所以ｘｐ２　＞　，所以可得ｍ　的取值范围是：（—孚，ｏ）ｕ（０．孚）　

评析：学生在得到Ｐ点满足ｘ　＝　后，利用的是双　曲线上点的有界性：ｌＸｐｌ＞ｌｍｌ进行放缩。笔者认为此类学生　的思维水平处在抽象拓展结构。　２．２　ＳＯＬＯ分类理论下圆锥曲线理解水平的统计分析　笔者以匕圆锥曲线概念题及相应的ＳＯＬＯ分类理论下的　思维水平划分标准，得到以下的统计结果：　ｌ　表３　Ａ校圆锥曲线概念维度理解水平统计　思维　男　女　合计　水平　人数　百分比　人数　百分比　人数　百分比　

Ｐ　１　２　８５％　Ｏ　０％　１　２　００％　Ｕ　６　１７．１％　２　１３．３％　８　１６　０％　Ｍ　８　２２　８％　３　２０　０％　Ｉ１　２２．Ｏ％　Ｒ　１２　３４　３％　７　４６　７％　１９　３８　Ｏ％　Ｅ　８　２２　８％　３　２０　Ｏ％　１１　２２　０％　表４　Ｂ校圆锥曲线概念维度理解水平统计　思维　男　女　合计　水平　人数　百分比　人数　百分比　人数　百分比　

Ｐ　２　６　２５％　２　８　３３％　４　７　１４％　Ｕ　６　１８　７５％　５　２Ｏ　８％　ｌ１　１９　６％　Ｍ　１０　３１　２５％　６　２５　０％　１６　２８　６％　Ｒ　８　２５　０％　７　２９　２％　ｌ５　２６．８％　Ｅ　６　１８　７５％　４　１６．７％　１０　ｌ７　８％　

从表３．４分析知，有近６０％的重点高中学生和近４４％的　普通高中学生在圆锥曲线概念维度的思维水平达到了关联结　构和抽象拓展结构，其中，无论是重点高中还是一般高中，处　于关联结构水平的学生所占人数比例都是最高的，即大部分　学生处于较高的思维水平。我们可以认为，重点高中学生在　圆锥曲线概念维度的理解水平较普通高中的学生稍高。　不管是重点高中还是普通高中，男、女生思维水平的分布　较为一致，并无明显的差别。　

参考文献　［１】Ｂｉｇｇｓ．Ｊ．＆Ｃｏｌｌｉｓ．Ｋ．Ｅｖａｌｕａｔｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｑｕａｌｉｔｙ　ｏｆｌｅａｒｎｉｎｇ　Ｓｏｌｏ　Ｔａｘｏｎｏｍｙ。Ｎｅｗ　ｙｏｒｋ：Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｒｅｓｓ．１９８２．１３—１５。　【２】ＢｉｇｇｓｌＪ．＆Ｗａｔｋｉｎｓ．Ｄ．Ｃｌａｓｓｒｏｏｍ　Ｌｅａｒｎｉｎｇ。Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ：Ｐｒｅｎｔｉｃｅ　Ｈａｌｌ。１９９５。　１７６．　［３】于新华，杨之．数学理解的层次性及其教学意义【Ｊ】．数学教育学报，２００５，１４　（２）．　

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