3.2第2课时 一元二次不等式的应用 秋学期高中数学必修5(人教A版)学案

A级 基础巩固
一、选择题
1．设集合P＝{m|－4＜m＜0}，Q＝{mx2－mx－1＜0，x∈R}，
则下列关系式成立的是( )
A．PQ B．QP
C．P＝Q D．P∩Q＝Q
解析：对Q：若mx2－mx－1＜0对x∈R恒成立，
则：①当m＝0时⇒－1＜0恒成立．

②当m≠0时⇒m＜0，Δ＝m2＋4m＜0，
解得－4＜m＜0.
由①②得Q＝{m|－4＜m≤0}，
所以P Q.
答案：A
2．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x
＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．－1

C．－12解析：因为(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
所以不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，
即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得－12答案：C
3．若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则实数a的
取值范围为( )
A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．[－2，2]
解析：由题意知，x2＋ax＋1≥0的解集为R，所以Δ≤0，即a
2

－4≤0，所以－2≤a≤2.
答案：D
4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围为
( )
A．(0，4) B．[0，4) C．(0，4] D．[0，4]

解析：由题意得，当a＝0时，满足条件．

当a≠0时，由a>0，Δ＝a2－4a≤0，得0范围是[0，4]．
答案：D
5．若关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，则关于x的
不等式ax＋bx－2>0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(1，2)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1，2)
解析：x＝1为ax－b＝0的根，所以a－b＝0，即a＝b，
因为ax－b>0的解集为(1，＋∞)，所以a>0，

故ax＋bx－2＝a（x＋1）x－2>0，
转化为(x＋1)(x－2)>0.
所以x>2或x<－1.
答案：C
二、填空题
6．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0的解集为R，则m的
取值范围为________．
解析：①若m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1，
m＝3时，原式化为－1<0，显然成立，
m＝－1时，原式不恒成立，故m≠－1.
②若m2－2m－3≠0，则




m2－2m－3<0，

Δ＝（m－3）
2＋4（m2
－2m－3）<0，

解得－15答案：－15，3
7．若关于x的不等式x－ax＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，
则实数a＝________．

解析：因为(x－a)(x＋1)>0与x－ax＋1>0同解，
所以(x－a)(x＋1)>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，
所以4，－1是(x－a)(x＋1)＝0的根，
所以a＝4.
答案：4
8．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都
有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
解析：若二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，
都有f(x)<0成立，

则f（m）＝m2＋m2－1<0，f（m＋1）＝（m＋1）2＋m（m＋1）－1<0，
解得－22答案：－22，0
三、解答题
9．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，
每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了
使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制订这批台灯
的销售价格？
解：设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－
2(x－15)]元，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]>400，解得
15≤x<20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制订
这批台灯的销售价格区间为x∈[15，20)．
10．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.对于任意的x∈[0，
2]，均有不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
解：因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“∀x∈[0，2]，不等
式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0，2]上恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0，2]上恒成立即可．

所以g（0）≤0，g（2）≤0，即0－0－1≤0，4－4a－1≤0，解得a≥34.
故a的取值范围为34，＋∞.
B级 能力提升
1．已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，
则x的取值范围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3)
解析：把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a
＋x2－4x＋4，则由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，可得f(－
1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0，解得x<1或x>3.
答案：C
2．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈(1，3)恒成立，则a的取值
范围是________．
解析：原不等式x2－2x＋a－8≤0转化为a≤－x2＋2x＋8对任
意x∈(1，3)恒成立，设f(x)＝－x2＋2x＋8，易知f(x)在[1，3]上的最
小值为f(3)＝5.
所以a∈(－∞，5]．
答案：(－∞，5]
3．当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集是全
体实数？
解：(1)当a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立；
若a＝－1，则原不等式为2x－1＜0，
即x＜12，不符合题目要求，舍去．
(2)当a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是




a2－1＜0，

Δ＝（a－1）
2＋4（a2
－1）＜0，
解得－35＜a＜1.
综上所述，当－35＜a≤1时，原不等式的解集为全体实数．