动量定理
16.2动量定理 (共40张PPT)
解：小球在碰撞斜面前做平抛运动．设刚要碰撞斜面时小球速度为v． 由题意，v 的方向与竖直线的夹角为30°，且水平分量仍为v0，如右图．
Δp
课堂练习
2、质量为m的钢球自高处落下，以速率v1碰地，竖直向上弹回，与水平地面碰撞时间极短，离地时速率为v2，在碰撞过程中，钢球动量变化为多少？
课堂练习
思考与讨论？
在前面所学的动能定理中，我们知道，动能的变化是由于力的位移积累即合外力做功的结果，那么，动量的变化又是什么原因引起的呢？
思考与讨论
动量定理解释生活现象
①△P一定，t短则F大，t长则F小；
由Ft=ΔP可知：
②t一定，F大则△P大，F小则△P小；
③F一定，t长则△P大，t短则△P小。
——缓冲装置
生活中的应用
包装用的泡沫材料
船靠岸时边缘上的废旧轮胎
生活中的应用
生活中的应用
例4．质量为m的物体放在水平地面上，在与水平面成角的拉力F作用下由静止开始运动，经时间t速度达到v，在这段时间内拉力F和重力mg冲量大小分别是 ( ) A．Ft，0 B．Ftcos, 0 C．mv, 0 D．Ft, mgt
标量
Ek= mv2/2
动能
若速度变化, 则Δp一定不为零
kg·m/s （N·S）
矢量
p=mv
动量
动量与动能有什么区别？
动量与动能间量值关系：
思考与讨论
例1．两小球的质量分别是m1和m2，且m1=2m2，当它们的动能相等时，它们的动量大小之比是 .
高中物理关于动量定理的所有公式
高中物理关于动量定理的所有公式1.动量和冲量：动量：P = mV 冲量：I = F t2.动量定理：物体所受合外力的冲量等于它的动量的变化.公式：F合t = mv’ 一mv 解题时受力分析和正方向的规定是关键3.动量守恒定律：相互作用的物体系统,如果不受外力,或它们所受的外力之和为零,它们的总动量保持不变.（研究对象：相互作用的两个物体或多个物体）公式：m1v1 + m2v2 = m1 v1‘+ m2v2’或?p1 =一?p2 或?p1 +?p2=O适用条件：（1）系统不受外力作用.（2）系统受外力作用,但合外力为零.（3）系统受外力作用,合外力也不为零,但合外力远小于物体间的相互作用力.（4）系统在某一个方向的合外力为零,在这个方向的动量守恒.4.功：W = Fs cos? 适用于恒力的功的计算）（1）理解正功、零功、负功（2）功是能量转化的量度重力的功------量度------重力势能的变化电场力的功-----量度------电势能的变化分子力的功-----量度------分子势能的变化合外力的功------量度-------动能的变化5.动能和势能：动能：Ek =重力势能：Ep = mgh 与零势能面的选择有关6.动能定理：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化（增量）.公式：W合= ?Ek = Ek2 一Ek1 = 21 机械能守恒定律：机械能 = 动能+重力势能+弹性势能条件：系统只有内部的重力或弹力做功.公式：mgh1 + 或者 Ep减 = Ek增（1）内容：物体所受合力的冲量等于物体的动量变化.表达式：Ft=mv′－mv=p′－p,或Ft=△p动量定理公式中的F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力.它可以是恒力,也可以是变力.当合外力为变力时,F是合外力对作用时间的平均值.p为物体初动量,p′为物体末动量,t为合外力的作用时间.（2）F△t=△mv是矢量式.在应用动量定理时,应该遵循矢量运算的平行四边表法则,也可以采用正交分解法,把矢量运算转化为标量运算.假设用Fx（或Fy）表示合外力在x （或y）轴上的分量.（或）和vx（或vy）表示物体的初速度和末速度在x（或y）轴上的分量,则Fx△t=mvx－mvx0Fy△t=mvy－mvy0上述两式表明,合外力的冲量在某一坐标轴上的分量等于物体动量的增量在同一坐标轴上的分量.在写动量定理的分量方程式时,对于已知量,凡是与坐标轴正方向同向者取正值,凡是与坐标轴正方向反向者取负值；对于未知量,一般先假设为正方向,若计算结果为正值.说明实际方向与坐标轴正方向一致,若计算结果为负值,说明实际方向与坐标轴正方向相反.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
动量定理
这道题，能给你带来怎样的思考呢？在我 们的天空中飘浮着很多的太空垃圾，如火 箭的碎片，卫星的残骸等等，这些人类文 明的产物也在危险着人类，所以我们面临 的问题就是如何治理宇宙空间的这些垃圾？
平均冲力
t2
F dt F (t2 t1)
t1
F
t2
Fdt
t1
mv2 mv1
t2 t1
t2 t1
结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长，物 体受到的平均冲力越小；在平均冲力一定的情况下，作 用时间越长，动量增量越大
海绵垫子可以延长运动员下落时与 其接触的时间，这样就减小了地面 对人的冲击力。
运动员在投掷标枪时，伸直 手臂，尽可能的延长手对标 枪的作用时间，以提高标枪 出手时的速度。
动量定理
二、动量定理在生 活中的应用
动量定理
包装用的泡沫材料
动量定理
摩托车头盔里的衬垫
动量定理
动量定理
船靠岸时边缘上的废旧轮胎
思考与讨论
动量定理
报道1：1962年，一架“子爵号”客机，在美国的伊利奥 特市上空与一只天鹅相撞，客机坠毁，十七人丧生。
报道2、1980年，一 架英国的“鸽式”战 斗机在威夫士地区上 空与一只秃鹰相撞， 飞机坠毁，飞行员弹 射逃生……
问题：小小飞禽何以能撞毁飞机这样的庞然大物？
动量定理
课后思考
动量定理
已 知 鸟 的 质 量 为 1kg ， 身 长 为 1 5 cm， 鸟与飞机相撞面积S=0.01m2，飞机的速度 为600m/s，试求鸟对飞机的撞击所产生压 强的大小。
力的冲量： dI Fdt
I
t2
F
(t)
dt
t1
恒力的冲量： I F (t2 t1)
动量定理
动量定理动量定理是力对时间的积累效应，使物体的动量发生改变，是高中物理学科学习的重点。
下面就为大家介绍动量定理，希望对大家有所帮助。
【动量定理知识点】1、动量定理:物体受到合外力的冲量等于物体动量的变化.Ft=mv/一mv或Ft=p/-p;该定理由牛顿第二定律推导出来:(质点m在短时间Δt内受合力为F合，合力的冲量是F合Δt;质点的初、未动量是mv0、mvt，动量的变化量是ΔP=Δ(mv)=mvt-mv0.根据动量定理得:F合=Δ(mv)/Δt)2.单位:牛·秒与千克米/秒统一:l千克米/秒=1千克米/秒2·秒=牛·秒;3.理解:(1)上式中F为研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。
(2)动量定理中的冲量和动量都是矢量。
定理的表达式为一矢量式，等号的两边不但大小相同，而且方向相同，在高中阶段，动量定理的应用只限于一维的情况。
这时可规定一个正方向，注意力和速度的正负，这样就把大量运算转化为代数运算。
(3)动量定理的研究对象一般是单个质点。
求变力的冲量时，可借助动量定理求，不可直接用冲量定义式。
4.应用动量定理的思路:(1)明确研究对象和受力的时间(明确质量m和时间t);(2)分析对象受力和对象初、末速度(明确冲量I合，和初、未动量P0，Pt);(3)规定正方向，目的是将矢量运算转化为代数运算;(4)根据动量定理列方程(5)解方程。
【动量定理的内容】动量定理反应的是力在时间维度上的积累效果。
(1)基本概念描述:物体所受合外力的冲量，等于物体的动量变化量。
即F合t=I=Δp;(2)我们还可以这样来表述:对作用在物体上的各个力的冲量的代数和，等于动量的改变量。
在外力不恒定，或者各个力作用时间不同时，优先选择后者。
提醒:动量与冲量都是矢量，是有方向的，因此在解题时首先要规定好正方向。
【动量定理的表达式】基本表达式:F合t=I=Δp;当存在多个力做冲量时，还可以写成分力冲量代数和的形式: F1t1+F2t2+F3t3+……=I1+I2+I3+……=Δp【动量定理的表达式推广】当存在多个力做冲量时，动量定理的表达式还可以写成分力冲量代数和的形式:F1t1+F2t2+F3t3+……=I1+I2+I3+……=Δp这与动能定理的非常类似的。
动量定理
铁锤钉钉子，在铁锤的敲打下，钉子被钉进去；
再回顾：？？
鸡蛋从一米多高的地方落到地板上，肯 定会被打破，现在，在地板上放一块泡沫 塑料垫，让鸡蛋落到泡沫塑料上，会看到 什么现象？你能解释这种现象吗？
课外作业：
• 1.整理：动量定理与动能定理的区别。
• 2.收集一或两个有关两者解法的题，并完 成在作业本上。
2、动量定理
推 导：
• 一个质量为m的物体，初速度为v0，在 合力F的作用下做匀变速直线运动，经 过时间t，速度变为v， • 求：①物体的初动量p0和末动量p？ ②物体的加速度a=? ③据牛顿第二定律F=ma可推导出 一个什么表达式？
一、动量定理：
物体在一个过程始末的动量变化量 1、内容：
等于它在这个过程中所受力的冲量。
求 I 的方法：
3、 质量为m的物体以速率v沿半
径为R的圆做匀速圆周运动，求物体 法（一）： I=Ft,方向与合力方向一致； 受到的合外力及物体运动半周所受 合外力的冲量。 法（二）： I= △P,方向与△P方向一致；
I
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v F m R
2
I 2mv, 方向与末速度方向一致
教材P12，4题：
教材P11，3题：
• 1、一个质量m=10kg的物体，以 v=10m/s的速度做直线运动，受到一 个反方向的作用力F,经过4s，速度变 为反向2m/s。这个力是多大？ m
F v F=-30N
求△P 的方法：
• 2、将质量m=0.2kg的小球以水平速度 v0=3m/s抛出，不计空气阻力，g=10m/s2, 法（一）： △P=P2-P1,方向与较大动量方向一致 求： （1）抛出后0.4s重力对小球的冲量； 法（二）： △P=F △t，方向与合力方向一致， （2）抛出后0.4s内小球动量的变化量。
动量动量定理课件
实验结论
实验结果表明，一个物体所受合外力的冲量等于物体 动量的变化量，验证了动量定理的正确性。通过实验， 学生可以更加深入地理解动量定理，掌握其应用方法， 提高物理实验能力和科学素养。
06
动量定理的扩展与深化
动量定理的推广
推广到多维空间
动量定理不仅适用于一维空间，还可以推广 到多维空间，描述物体在任意方向上的动量 变化。
2. 在滑块上加砝码，使滑块具有一定质量。
实验器材与步骤
3. 用橡皮筋拉动滑块 加速，使滑块受到合 外力的作用。
5. 记录实验数据并分 析。
4. 测量滑块加速过程 中的合外力和作用时 间。
实验结果与结论
实验结果
通过实验测量和计算，得到合外力、作用时间和动量 变化量的数值关系，验证了动量定理的正确性。
动量的计算
总结词
动量的计算公式是 $p = mv$。
详细描述
动量的计算公式是 $p = mv$，其中 $m$ 是物体的质量，$v$ 是物体的速度。 这个公式适用于任何惯性参考系中的质点。
动量的单位
总结词
在国际单位制中，动量的单位是千克· 米/秒（kg·m/s）。
详细描述
根据国际单位制的规定，动量的单位 是千克·米/秒（kg·m/s）。这个单位 是由质量单位千克（kg）和速度单位 米/秒（m/s）相乘得来的。
定义
物体的质量m、速度v和动量p之间的关系为 p=mv。
推导过程
根据牛顿第二定律，物体受到的合外力等于 其质量与加速度的乘积，即F=ma。对时间 进行积分，得到冲量I=∫Fdt。根据定义， 动量的变化量等于冲量，即Δp=I。将F=ma 代入积分式，得到Δp=∫ma dt=m∫adt=mat=mv2-v1。
动量定理及应用知识点
动量定理及应用知识点什么是动量定理？动量定理是物理学中的一个重要定理，它描述了物体在外力作用下的运动及其与力的关系。
动量定理的数学表达式为：Δp=F⋅Δt其中，Δp表示物体的动量变化，F表示作用在物体上的力，Δt表示力的作用时间。
根据动量定理，如果一个物体受到一个力的作用，它的动量将随时间变化。
当力作用时间很短的时候，动量的变化量也很小；当力作用时间很长的时候，动量的变化量也相应增大。
动量定理的应用动量定理在物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.交通事故分析：动量定理可以用来分析交通事故中的碰撞情况。
当两个车辆发生碰撞时，根据动量定理可以计算出碰撞前后车辆的动量变化，从而判断事故的严重程度。
2.火箭升空：动量定理被用来解释火箭升空的原理。
火箭喷射出来的燃料气体具有一定的质量和速度，根据动量定理，喷射气体的动量变化会导致火箭的动量变化，从而推动火箭升空。
3.运动员跳水：运动员在跳水时，通过采用特定的蹬脚和撑手动作，可以改变身体的动量。
运用动量定理，可以计算出运动员跳水时所需的动作力度和角度。
4.物体的运动轨迹：动量定理可以用来预测物体在外力作用下的运动轨迹。
通过计算物体的动量变化和外力的作用时间，可以得出物体在特定条件下的运动情况。
动量定理的局限性尽管动量定理在描述物体运动方面有着广泛的应用，但也存在一些局限性。
以下是一些动量定理的局限性：1.不考虑摩擦力：动量定理没有考虑摩擦力对物体运动的影响。
在实际情况下，物体运动时往往会受到摩擦力的作用，这会导致动量的损失。
2.不考虑外力变化：动量定理假设外力的大小和方向在整个过程中保持不变。
然而，在实际情况下，外力的大小和方向可能会发生变化，这会对动量定理的应用带来一定的限制。
3.仅适用于经典力学：动量定理是经典力学中的一个定理，适用于描述宏观物体的运动。
对于微观领域，如原子和分子的运动，需要使用量子力学等其他理论。
结论动量定理是物理学中重要的定理之一，它描述了物体在外力作用下的运动情况。
动量定理
动力学的普遍定理之一。
动量定理的内容为：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为FΔt=mΔv。
公式中的冲量为所有外力的冲量的矢量和。
动量定理是一个由实验观测总结的规律，也可由牛顿第二定律和运动学公式推导出来，其物理实质也与牛顿第二定律相同，这也意味着它仅能在经典力学范围内适用。
而与动量定理相关的定律——动量守恒定律，大到接近光速的高速，小到分子原子的尺度，它依然成立。
动量守恒定律的定义为：如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变。
由此可见，动量定理和动量守恒定律是两个不同的概念，不能混为一谈。
常见表达式（1）（2）含义动量定理的含义为：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量。
F指合外力，如果为变力，可以使用平均值；=既表示数值一致，又表示方向一致；矢量求和，可以使用正交分解法；适用条件（1）在牛顿力学适用的条件下才可适用动量定理，即动量定理仅适用于宏观低速的研究对象。
对于微观粒子和以光速运动的物体，动量定理不再适用；（2）只适用于惯性参考系，若对于非惯性参考系，必须加上惯性力的冲量。
且v1，v2必须相对于同一惯性系。
应用由于动量定理只涉及研究对象的初末两个状态，故对复杂的物理过程有时合理地应用动量定理可以极大地优化解决过程；对于题干中不涉及物体加速度a和物体位移x的运动和力的问题，应用动量定理可能会更为简便；应用于部分流体问题：假设有一段持续的水柱打在某固定不动的物体上后，水流沿其原来运动方向的速度减为0，设水流打在该物体上对该物体的力为F，水的密度为ρ，水流的初速度大小为v，水的流量为Q，忽略空气阻力和水的重力，则取在很短的一段时间t内打在该物体上的水的体积，设其为V，并设体积为V 的水的质量为m，由动量定理：Ft=mv，①由密度公式:m=ρV，②由液体流量公式：V=Qt，③由①②③式得：F=ρQv.(此公式可作为二级结论记忆).。
动量动量定理
动量动量定理
动量定理是物理学中的一个基本原理，它描述了质点或系统的总动量如何随时间变化。
动量定理的数学表达式为：
力 = 质点或系统的质量× 加速度
即F = m × a
其中，F表示力，m表示质量，a表示加速度。
根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度。
因此，该定理指出，当一个物体受到一个力时，它将具有一个加速度，从而改变其速度和动量。
根据动量定理，如果一个物体受到一个力，在相同的时间内，质量越大，它的加速度越小。
这意味着质量较大的物体更难改变其速度和动量。
动量定理也可以用积分形式表示：
质点或系统的总动量的变化 = 力在时间上的积分
即Δp = ∫ F dt
这个方程表明，质点或系统的总动量的变化等于力在时间上的积分。
这意味着如果一个物体在一段时间内受到持续的力，它的总动量将会改变。
动量定理知识点总结
动量定理知识点总结
嘿，朋友们！今天咱们要来好好唠唠动量定理这个知识点啦！
啥是动量定理呢？简单来说呀，就是力在一段时间内的积累效果会让物体的动量发生变化。
比如说，你扔一个篮球，你使的劲儿和扔的时间，就会决定篮球飞出去的速度和力量，这就是动量定理在起作用呢！就像你努力学习一段时间，成绩肯定会有变化呀，对吧！
咱再具体点说，动量定理表达式是FΔt = mΔv。
这里的 F 就是力啦，
Δt 是时间间隔，m 是物体质量，Δv 就是速度的变化量哟。
想象一下，一辆大卡车急刹车，那得多大的摩擦力才能让它很快停下来呀，这不就是动量定理么！就好像你跑累了，得花很大力气才能让自己停下来一样。
动量定理在生活中用处可大了去啦！比如说，为什么安全气囊能保护我们？不就是因为它能延长撞击时间，减小冲击力嘛，这都是动量定理帮忙呀！“哎呀，如果没有动量定理，那可不得乱套了呀！”
还有啊，在体育运动中，动量定理也无处不在呢！像拳击运动员，他们出拳的力量和速度，都是根据动量定理来练的呢。
教练会告诉他们怎么发力，怎么掌握时间，才能打出有力的一拳，“这多有意思啊！”
总之，动量定理真的特别重要，它就像我们生活中的一个小秘密武器，能帮我们理解好多现象呢！所以呀，大家一定要好好掌握这个知识点，它能让我们更明白这个世界是怎么运转的哟！。
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第四章 冲量和动量习题解答4-1用棒打击质量为0.3kg 、速度为20m/s 水平飞来的球，球飞到竖直上方10m 的高度。
求棒给予球的冲量。
设球与棒的接触时间为0.2s ，球受到的平均冲力多大？解：按动量定理，棒给球的冲量等于球的动量的增量，即0V m m t -=∆⋅= 由图中可见棒给球的冲量大小为[][][][]35=∴==⨯⨯==⋅=⨯⨯+⨯=+=+=∆⋅=αα 7.020/1420/108.92/)(3.7108.92203.02)()(21022120212202mv mv tg S N ghv m mv mv t I v球受的平均冲力为 )(36502.0/3.7/N t I ==∆=4-2一质量为m 的子弹，水平地穿过摆锤或速度由v 减为V/2。
摆的质量为M ，摆线的长度为L ，如果摆锤能在铅直平面内完成一个完全的圆周运动，子弹速度的最小值应为多少？解：子弹与摆锤碰撞过程动量守恒，有：mg/2M V 2/=∴+=MV mv mv摆锤获得速度V 后摆动过程机械能守恒有： MgI M MV rEV 2212122+= 在顶点处有：I M T Mg R v /2=+T=0为摆能完成圆周运动的最小速度条件，即：gI MgI MgI gI V Rv 5m2MV 221 ,2=∴+∴= 4-3两辆质量相等的汽车在十字路口迎面相撞，相撞后二者扣在一起又沿直线滑动了S=18m 才停下来。
设滑动时路面与车轮之间的摩擦系数为0.80=μ，撞后两个司机都声名在撞车前集资的车速未限制（14m/s ）。
他们的话都可信吗？解：两车速率差V ∆,撞后两车总动量V m ∆2由功能原理mgs v m μ=∆⨯2221s m gs V /8.16188.980.022=⨯⨯⨯==∆μ 车速差大于14m/s,必有一辆车速大于14m/s 。
4-4三个物体A 、B 、C 每个质量都是M ，B 、C 靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者间有一段长为L 的细绳，原先放松着，B 的另一侧用一跨过桌边的定滑轮的细绳与A 相连。
滑轮和绳子的质量及轮轴上的摩擦不计，绳子不可伸m V F Δtm V长。
求A 、B 起动后，经多长时间C 也开始运动？C 开始运动时的速度是多少？解：设A 、B 间绳中张力为T ，分别A 、B 列动力学方程gM M M M M g M aM a M T g M B A B A A B A A 21a a T =∴==+=∴==-固B 、C 之间绳长为 L ，在时间t 内B 物体作匀加速运动，有：g 4L t 42122=∴==gt at L 即A 、B 起动后，经 g4Lt =时C 开始运动。
B 和C 之间绳子刚拉紧时，A 和B 所达到的速度为 gL gL g at V ===4211 令B 、C 间绳子拉紧后，C 开始运动时A 、B 、C 三者的速度大小均为2V ，由动量定理（AB T 为AB 间绳中的张力，BC T 为BC 间绳中张力）1B A 2B A BC 2C BC 1B 2B AB 1A 2A )M M ()M (M -T 0-V M T -V M -V M -T V M -V M V V M T T M C AB AB Ag +=++====<<ττττ 解出C 开始运动时的速度大小为gL V V M V C 3232)M (M )M (M 11B A B A 2==+++=4-5一质量为1kg 的质点，在XY 平面上运动，受到外力)(2442SI j t i F -=的作用，t=0时，它的初速度为时质点受到的法向力n F 的大小和方向。
解：当 s t 1= 时 ()N a m F a a n n y n 24 24-==-==4-6质量为m 的物体A ，以速度在光滑平台等高的、静止的质量为M 的平板车B 上，A 、B 间的摩擦系数为，设平板小车可在光滑的平面D 上运动。
A 的体积不计，要使A 在B 上不滑下来，试证平板小车的长度至少应为)/1(220M m g v L +=μ 解：设A 相对B 的加速度为1a 则必有 l a v 12020=-t t t v dt t d dtt dt t mFt v v )8t -(8 )43(84 )244()244( 24433002220++=-+=-=-==-==⎰⎰A 对地面参考系的加速度为 1a a a M += 式中M a 是B 对地面的加速度,对A 用牛顿第二定律)(1a a m mg M +=-μ 对B 用牛顿第二定律)/1(2v l 20M m g Ma mg M +=∴=μμ 证毕 4-7一个质量为m ，半径为R 的球放在一个质量相同， 内半径为2R 的大空球内。
最初两者在图示位置静止于光滑桌面上。
小球放开后，就在空球内滚动，最后停在低部,试问在这个过程中大球运动多远？解： 初两球静止建立坐标平行于两圆心连线，小圆心坐标O ，大圆心坐标R ，滚动停止后，大圆心向左移动距离L 质心坐标，初始m m L R m L R m X R m m mR X c c +-+-==+=)()( 2水平方向不受力，质心不动可得L=R/2。
4-8如图所示，在地面上固定一半径R 的光滑球面，球面正上方A 处放一质量M 的滑块B ，一质量为m 的子弹以水平速度0v 射向滑块B 而不复出，两者一起沿球面下滑,问（1） 它们滑至何处(?=θ)脱离球面？（2） 如欲使二者在A 处就脱离球面，则子弹的入射速率至少为多少？ 解：设m 与M 碰后的共同速度为1v ，它们脱离球面的速度为2v 。
（1） 子弹与滑块碰撞，满足动量守恒定律，得到)/(01m M mv v += m 与M 沿固定光滑球面滑下过程中机械能守恒，在任一位置θ时，有 Rv m M N g m M v m M gR m M v m M /)(cos )()(21)cos 1()()(21222221+=-++=-+++θθ 当物体脱离球面时，N=0，代入上式，可以解出：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=+=-32)(3cos 32)(332cos 22021220221m M gR v m m M gR v m gR gR v θθ (2)若要在A 处使物体脱离球面，必须满足条件：Rg v )(/)(2A 2>+≥+g m M R v m M A所以子弹的速度至少应为 Rg mmM v +=0 4-9如图，一辆小车上装有光滑的弧形回到，总质量为M ，放在光滑水平面上而静止。
今有质量为m ，速度为 的铁球，从轨道下端水平射入，试证（1） 球沿弧形轨道上升的最大高度为)(220M m g Mv h +=（2） 此后下降离开时的速度为)/()(0M m v M m v +-=证明：（1）以1v 表示球上升到最大高度时m 和M 的共同速度，则由动量定理和机械能守恒可得到如下结论：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=mgh v M m mv v M m mv 212010)(2121)( )(220M m g Mv h +=∴ (2)以2v 表示球离开小车时的速度，则对小求射入到离开的整个过程用动量守恒和机械能守恒，可得到如下结论： ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2222020212121Mv mv mv Mv mv mv 00)/()(v M m v M m v +-=∴4-10如图所示，一质量M 的木板置于倔强系数为K 的弹簧上，系统处于静止状态，若一质量为m 的物体自木块h 高处自由下落，与木块发生完全非弹性碰撞，试证明弹簧的最大弹性势能为k g M m M gh m E P 2222max ++> 证明：由gh M m mv M m gh m 2)( v )(200+=+=设碰后M 又下降x 而停止，则 2020202max max 2202021)(21)(21)(21 )(0)(2121)(21kx v m M gx M m kx v m M E E gx M m m M kx v m M P P ++>++++=++-⋅+=++得 其中 k Mg x /0= 则>maxP E kg M m M gh m 2222++, 证毕.4-11质量分别为m 和M 的两个粒子，最初处于静止状态，并且彼此相距无穷远。
以后，由于万有引力定律的作用，它们的相对速度为 （其中G 为引力常数）证明:由动量守恒得m m MV mv =根据机械能守恒0212122=-+dMm GMV mv M m 由上两式得)(2m M d Gm V M += )(2m M d G M v m +=M 和m 相对速度为r vM m r V v v-=d m M G V v v M m r /)(2+=+= 证毕。
4-12如图，两个理想弹簧缓冲器的小车A 和B ，质量均为m ，B 不动，A 以速度与B 碰撞，如已知两车的缓冲弹簧的倔强系数均为K ，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，期间的作用力为多大？（弹簧质量忽略不计） 解：两小车碰撞为弹性碰撞，在碰撞过程中当两车相对静止时，两车速度相等。
在碰撞过程中，以两车弹簧为系统，动量守恒、机械能守恒 v m m mv )(0+= 22202121)(2121kx kx v m m mv +++= 由上两式解得：kmv x 20=相对静止时两小车间的相互作用力大小为km vkx F 20==4-13如图所示，一圆弧形的光滑槽，质量为M ，半径R ，放在光滑的桌面上。
一小物体，质量为m ，可在槽内滑动。
开始时，半圆槽静止，小物体静止于与圆心同高的A 处。
求小物体滑到任意位置C 处时，小物体对圆弧形槽及圆弧形槽对地的速度各为多少？解：以小物体及圆弧形槽为系统，水平方向动量守恒 。
设小物体对圆弧形槽速度为v, 槽对地速度为Ｖ，选取坐标见图，得 0)sin (=--MV V v m θ以小物体、圆弧形槽、地球为系统，机械能守恒 θθθsin 21)cos (21)sin (21222mgR MV v m V v m =++- 由上两式解得θθθθθ22sin )(sin 2)(msin v sin )(sin 2)(m m M gR m M m M m m M R m M v -+++=-++= 4-14在光滑的水平面上，平放有如图所示的固定41圆形屏幕，质量为m 的滑块以初速度 沿切线方向进入屏幕内，滑块与屏幕间的摩擦系数为μ， 试证明当滑块从屏幕另一端滑出时，摩擦力所作的功为2/)1(20-=-μπe mv W 证明：滑块作圆周运动 R mV N /2=dtdvm N f r =-=μ由上两式得 θθθμd dVR V dt d d dV dt dV R V ===-2 V d dV μθ-=∴ ⎰⎰-=v v d V dV 020πθμ 得μπ20-=e V V 再由动能定理解摩擦力所作的功为()121212120202-=-=-μπe mV mV mV W 证毕。