北师大版九年级数学上册4.6：利用相似三角形测高导学案（含答案）
2015-2016学年北师大版九年级数学上册第四章4.6利用相似三角形测高导学案
2015-2016学年北师大版九年级数学上册第四章4.6利用相似三角形测高导学案1. 导学目标•了解相似三角形的定义和性质•学会利用相似三角形测量高度的方法•掌握相似三角形的实际应用2. 导学内容2.1 相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形。
相似三角形的定义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
性质： - 如果两个三角形相似，那么它们对应的角相等。
- 如果两个三角形对应的角相等，并且对应边成比例，那么它们相似。
2.2 利用相似三角形测量高度的方法假设有一个垂直于地面的高楼和一个固定点A，我们想要测量高楼的高度。
可以利用相似三角形的性质来测算。
步骤： 1. 在离高楼一段距离的地方选取一个位置B，站在此处可以看到高楼的顶部。
2. 标记在地面上的A点和B点，并测量出AB的长度。
3. 移动到另一个位置C，使得AC和AB在同一直线上。
并测量出AC的长度。
4. 在C点站立，观察高楼的顶部，此时AB和AC的角度一致，因此可以得出高楼顶部与C点的距离。
5. 利用相似三角形的比例关系，可以计算出高楼的高度。
2.3 相似三角形的实际应用相似三角形在实际生活中广泛应用，如建筑物、塔楼等的高度测量、地图比例尺计算、影视特效等等。
3. 预习问题1.相似三角形的定义是什么？2.相似三角形的性质有哪些？3.如何利用相似三角形测量高度？4.相似三角形有哪些实际应用场景？4. 参考答案1.相似三角形的定义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
2.相似三角形的性质有：–如果两个三角形相似，那么它们对应的角相等。
–如果两个三角形对应的角相等，并且对应边成比例，那么它们相似。
3.利用相似三角形测量高度的方法：–在离高楼一段距离的地方选取一个位置B，站在此处可以看到高楼的顶部。
–标记在地面上的A点和B点，并测量出AB的长度。
–移动到另一个位置C，使得AC和AB在同一直线上。
并测量出AC的长度。
2019-2020学年九年级数学上册-4.6-利用相似三角形测高导学案(新版)北师大版
2019-2020学年九年级数学上册 4.6 利用相似三角形测高导学案（新版）北师大版【学习目标】1、通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验．2、熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理【学习重难点】重点：综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题难点：解决学生在操作过程中如何与课本中有关知识相联系．【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾1、相似三角形：对应角，对应边的三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的性质：对应角，对应边。
3、平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段。
二、自主学习1、利用阳光下的影子来测量旗杆的高度原理：同一时刻，某物体的实际高度：某物体的影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长。
如图，测得AB=a，BE=b,BD=c，求CD的高度。
2、标杆测量旗杆的高度原理：三点共线如图，测得AB=a，EF=b,BF=c，BD=d求CD的高度。
3、镜子的反射原理：入射角=反射角如图，测得AB=a，BE=b,BD=c，求CD的高度。
模块二合作探究1、小明欲测量一古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与古塔的影子的顶端重叠，此时他距离古塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长为2m，①△ABC与△ADE是否相似？为什么？②求古塔的高度。
2、如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离D F=2m，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线，求旗杆AB的高度．模块三、小结反思讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？1.知识：2.方法：模块四形成提升1、小明为了测量一高楼MN 的高,在离N 点20m 处放了一个平面镜,小明沿NA 后退到C 点，正好从镜子中看到楼顶M ，若AC ＝1.5m,小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度。
北师大版数学九年级上册《6 利用相似三角形测高》教案
北师大版数学九年级上册《6 利用相似三角形测高》教案一. 教材分析北师大版数学九年级上册《6 利用相似三角形测高》这一节主要让学生了解利用相似三角形测高的原理和方法。
通过本节课的学习，学生能够掌握相似三角形的性质，并能够运用相似三角形解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质和判定方法，但实际应用能力有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的实际操作能力，引导学生将理论知识运用到实际问题中。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握利用相似三角形测高的方法，能够解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神。
四. 教学重难点1.重点：利用相似三角形测高的方法。
2.难点：将相似三角形测高的理论知识运用到实际问题中。
五. 教学方法1.讲授法：讲解相似三角形的性质和测高的原理。
2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用相似三角形解决实际问题。
3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
2.学具：练习本、尺子、三角板。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾相似三角形的性质，为新课的学习做好铺垫。
2. 呈现（10分钟）教师利用多媒体课件展示实际问题，引导学生发现其中隐含的相似三角形。
例如，展示一个直角三角形和一个与其相似的直角三角形，让学生观察它们的边长关系。
3. 操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，如何利用相似三角形测高。
每组学生通过实际操作，用尺子和三角板测量高。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4. 巩固（10分钟）教师挑选几组学生进行成果分享，让学生讲解他们是如何利用相似三角形测高的。
其他学生认真听讲，对比自己的方法，吸取优点。
5. 拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生思考如何将相似三角形测高的方法应用到实际生活中。
北师大版-数学-九年级上册- 4.6利用相似三角形测高 学案
三年级数学学科导学案课题：利用相似三角形测高（第课时）【学习目标】课标要求：1、知识与技能：使学生掌握和综合运用三角形相似的判定条件和性质．2、过程与方法：通过测量旗杆的高度，使学生运用所学知识解决问题，以课后分组合作活动的方法进行实践以及进行全班交流，进一步积累数学活动经验．3、情感与态度：通过问题情境的设置，培养学生积极的进取精神，增强学生数学学习的自信心．实现学生之间的交流合作，体现数学知识解决实际问题的价值．目标达成：1综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题2解决学生在操作过程中如何与课本中有关知识相联系．3抓住测量方法，结合所学，进行问题的解决．学习流程：【课前展示】1．利用阳光下的影子来测量旗杆的高度，如图1：【创境激趣】操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．【自学导航】选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆项端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．点拨：入射角＝反射角【合作探究】将全班学生分成五人小组，选出组长，分头进行户外自行寻找测量对象进行实际测量，被测物不一定是旗杆，也可以选择楼房、树等进行测量．活动目的：通过实践，使学生运用所学知识解决问题．【展示提升】典例分析 知识迁移 1、图2∵太阳的光线是平行的，∴AE ∥CB ，∴∠AEB ＝∠CBD ， ∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE ＝∠CDB ，∴△ABE ∽△CBD ∴BDBE CD AB = 即CD=BE BD AB ⋅2、如图，过点A 作AN ⊥DC 于N ，交EF 于M ．图3点拨：∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝90°∴人、标杆和旗杆是互相平行的．∵EF ∥CN ，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠3，△AME ∽△ANC ，∴CNEM AN AM = ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出，∴能求出CN ，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四边形ABND 为矩形．∴DN ＝AB ，∴能求出旗杆CD 的长度．图4∵入射角＝反射角 ∴∠AEB ＝∠CED ∵人、旗杆都垂直于地面∴∠B ＝∠D ＝90°∴DEBE CD AB 因此，测量出人与镜子的距离BE ，旗杆与镜子的距离DE ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度．【强化训练】活动内容： 通过以下问题的解决，充分发挥学生的聪明才智．同学们经历了上述三种方法，你还能想出哪些测量旗杆高度的方法？你认为最优化的方法是哪种？思路点拔：1、如果旗杆周围有足够地空地使旗杆在太阳光照射下影子都在平地上，并能测出影子的长度，那么，可以在平地垂直树一根小棒，等到小棒的影子恰好等于棒高时，再量旗杆的影子，此时旗杆的影子长度就是这个旗杆的高度．2、可以采用立一个已知长度的参照物在旗杆旁照相后量出照片中旗杆与参照物的长度根据线段成比例来进行计算．3、拿一根知道长度的直棒，手臂伸直，不断调整自己的位置，使直棒刚好完全挡住旗杆，量出此时人到旗杆的距离、人手臂的长度和棒长，就可以利用三角形相似来进行计算．等等．【归纳总结 】问题：1、本节课你学到了哪些知识？2、在运用科学知识进行实践过程中，你是否想到最优的方法？3、在与同伴合作交流中，你对自己的表现满意吗？4、你的同伴中你认为最值得你学习的是哪几个人？【板书设计】6.利用相似三角形测高【教学反思】。
第四章4.6利用相似三角形测高(教案)2023-2024学年九年级上册数学北师大版(安徽)
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。它是解决实际测量问题的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用相似三角形测量建筑物的高度，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调相似三角形的判定和相似比的计算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
此外，在总结回顾环节，我尝试让同学们自己总结今天的学习内容，发现他们对相似三角形的认识有了明显提高。但同时，我也意识到，有些同学对知识点的掌握还不够扎实，需要通过课后辅导和巩固练习来加强。
1.加强对相似比计算部分的讲解和练习，确保学生们能够熟练掌握。
2.在实践活动和小组讨论中，关注每个学生的参与度，引导他们独立思考、提出观点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解相似三角形的性质及其应用：掌握相似三角形的判定方法，如AA、SAS、SSS相似定理；了解相似三角形对应边、对应角的比例关系。
举例：在测高问题中，通过观察和判定两个三角形是否相似，进而利用相似比进行计算。
（2）掌握利用相似三角形测高的步骤和方法：在实际测量中，如何选择测量点、构建相似三角形模型，以及如何运用相似比进行计算。
第四章4.6利用相似三角形测高（教案）2023-2024学年九年级上册数学北师大版（安徽）
一、教学内容
本节课选自《数学》（北师大版）九年级上册第四章“三角形”中的4.6节“利用相似三角形测高”。教学内容主要包括：1.掌握相似三角形的性质及其应用；2.学会利用相似三角形解决实际问题，如测量高度；3.通过实例，理解实际测量中如何选择测量点，以及如何运用相似三角形的比例关系进行计算。具体内容包括：相似三角形的判定、相似比的应用、实际测量中运用相似三角形测高的步骤及方法。通过对本节课的学习，使学生能够运用相似三角形的性质解决实际问题，增强数学知识的应用能力。
第四章4.6利用相似三角形测高习题练 2021-2022学年九年级数学北师大版上册(含答案)
北师大版九年级第四章4.6利用相似三角形测高习题精练一、选择题1.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有()A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个2.已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是()A. B.C. D.3.如图，P是Rt△ABC斜边BC上一点，不与B，C重合，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样的直线共有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的是()A. B.C. D.5.如图，为了测量旗杆DE的高度，小明在地面上的C处水平放置了一个小平面镜，他沿着EC方向移动，当移动到点B时，他刚好在平面镜中看到旗杆的顶端D的像，此时测得BC=2m，CE=16m.若小明的眼睛与地面的距离AB=1.5m，则旗杆DE的高度为()A. 163m B. 9m C. 12m D. 643m6.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得该影子的长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为()A. 11.5米B. 11.75米C. 11.8米D. 12.25米7.如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物CD的高是()A. 17.5mB. 17mC. 16.5mD. 18m8.已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h应为()第2页，共9页A. 2.7mB. 1.8mC. 0.9mD. 6m9.下列平移作图错误的是()A. B. C. D.二、填空题10.如图，P为Rt△ABC斜边AB上任意一点(除A、B外)，过点P作直线截△ABC，使截得的新三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线的作法共有________种．11.如图，球从A处射出，经球台边挡板CD反射到B处.已知AC=10cm，BD=15cm，CD=50cm，则点E到点C的距离是cm．12.如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像CD的高度为1.5cm，OA=48cm，OC=16cm，则火焰AB的高度是cm．13.如图是一名同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2m，BP=3m，PD=12m，那么该古城墙CD的高度是．三、解答题14.如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶端E;再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶端E(点O，点A，点B，点C，点D在同一条直线上)，测得AC=2m，BD=2.1m.如果小明的眼睛距地面的高度BF，DG均为1.6m，试求出楼的高度OE．15.在公园里有两个垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两个圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120cm.敏敏观察到高度为90cm矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60cm;而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：第4页，共9页(1)若敏敏的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少厘米⋅(2)若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150cm，则高圆柱的高度为多少厘米⋅请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．16.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】如图，所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形ADE一共有6个．2.【答案】A【解析】解：如图，点E即为所求作的点．故选：A．3.【答案】C【解析】解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故答案选C．第6页，共9页【解析】解：A、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；B、由作图可知：∠CAD=∠B，可以推出∠C=∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；D、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；故选：A．5.【答案】C【解析】略6.【答案】C【解析】解：如图，设AB为树高，BC为树在地面上的影子，CD和DE为树在台阶上的影子．如果我们把BC平移到FD的位置，易知四边形FBCD是矩形，因此FD=BC，则EF=FD+DE=4.6米．设AB=x(x>0)米，则AF=(x−0.3)米．根据题意，得10.4=x−0.34.6，解得x=11.8．则树高为11.8米．故选C．7.【答案】A【解析】略8.【答案】A【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ACB，即DE BC =AEAB，则55+10=0.9ℎ，∴ℎ=2.7m．故选：A．【解析】解：A，B，D符合平移变换，C是轴对称变换．故选C．10.【答案】3【解析】解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．如下图：故答案为3．11【答案】20【解析】略12.【答案】4.5【解析】略13.【答案】8m【解析】略14.【答案】解：楼的高度OE为32m．【解析】略15.【答案】解：(1)设敏敏的影长为xcm．由题意得150x =9060，解得x=100．经检验，x=100是分式方程的解．答：敏敏的影长为100cm．(2)如图，连接AE，作FB//EA，交AC于B．第8页，共9页∵AB//EF，∴四边形ABFE是平行四边形．∴AB=EF=150cm．设BC=ycm，由题意知BC落在地面上的影长为120cm，∴y120=9060，解得y=180．∴AC=AB+BC=150+180=330(cm)．答：高圆柱的高度为330cm．16【答案】解：∵EFCG是正方形，∴EF//BC，∴△AEF∽ABC，∴EFBC =AKAD，又AD⊥BC，EF=EG=KD，设正方形边长为X，则AK=8−x，∴x12=8−x8，解得：x=4.8，答：这个正方形零件的边长为4.8cm．。
北师大版九年级数学上册导学案-利用相似三角形测高
4.6利用相似三角形测高【教学目标】知识与技能.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验. 熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.过程与方法能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量物体高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．情感、态度与价值观通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．【教学重难点】教学重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．教学难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．【导学过程】【创设情景，引入新课】今天我们要做一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度.请同学们回答如何判定两三角形相似的有关条件.【自主探究】外边阳光明媚,天公做美,助我们顺利完成我们今天的活动课目——测量旗杆的高度.首先我们应该清楚测量原理.请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理.甲组:利用阳光下的影子.图4－34从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图4－36）,即△EAD ∽△ABC ，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据BC AD AB EA =可得BC =EAAD BA ⋅，代入测量数据即可求出旗杆BC 的高度.因为可以量得AE 、AB ,观测者身高AD 、标杆长EF ,且DH =AE DG =AB我认为还可以这样做.过D 、F 分别作EF 、BC 的垂线交EF 于H ，交BC 于M ，因标杆与旗杆平行，容易证明△DHF ∽△FMC ∴由DH M FH MC = 可求得MC 的长.于是旗杆的长BC =MC +MB =MC +EF . 乙组代表：如果这样的话，我认为测量观测者的脚到标杆底部距离与标杆底部到旗杆底部距离适合同学A 的做法.这样可以减少运算量.【课堂探究】利用镜子的反射.这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C ′，∵△EAD ∽△EBC ′且△EBC ′≌△EBC ∴△EAD ∽△EBC ,测出AE 、EB与观测者身高AD ，根据BC AD EB AE =，可求得BC =AEAD EB ⋅. 三大组进行活动，为节省时间，每组分出三个小组分别实施三种方法，要求每小组中有观测员，测量员，记录员，运算员，复查员.活动内容是：测量我校操场上地旗杆高度.通过大家的精诚合作与共同努力，现在各组都得到了要求数据和最后结果，请各组出示结果，并讨论下列问题：1.你还有哪些测量旗杆高度的方法？2.今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点？【当堂训练】1、高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长6 m ，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m ，求该建筑物的高度.图4－372、活动与探究雨后初晴，同学们在操场上玩耍，可看到积水中的影子，你能否利用积水测量旗杆的高度？其中原理是什么？4.6 利用相似三角形测高教学目标：1、知识与技能：使学生掌握和综合运用三角形相似的判定条件和性质．2、过程与方法：通过测量旗杆的高度，使学生运用所学知识解决问题，以课后分组合作活动的方法进行实践以及进行全班交流，进一步积累数学活动经验．3、情感与态度：通过问题情境的设置，培养学生积极的进取精神，增强学生数学学习的自信心．实现学生之间的交流合作，体现数学知识解决实际问题的价值． 重点、难点重点：综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题难点：解决学生在操作过程中如何与课本中有关知识相联系．关键：抓住测量方法，结合所学，进行问题的解决．第一环节 自学互助活动内容：学生课前预习、教师课堂引导、学生课上讨论，归纳总结出测量一些不能直接测量的物体的高度的方法：1．利用阳光下的影子来测量旗杆的高度，如图1：图1 操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长． 点拨：把太阳的光线看成是平行的．图2∵太阳的光线是平行的，∴AE ∥CB ，∴∠AEB ＝∠CBD ， ∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE ＝∠CDB ，∴△ABE ∽△CBD ∴BDBE CD AB 即CD=BE BD AB ⋅ 因此，只要测量出人的影长BE ，旗杆的影长DB ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度了．2．利用标杆测量旗杆的高度操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．如图，过点A 作AN ⊥DC 于N ，交EF 于M ．图3点拨：∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝90°∴人、标杆和旗杆是互相平行的．∵EF ∥CN ，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠3，△AME ∽△ANC ，∴CNEM AN AM = ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出，∴能求出CN ，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四边形ABND 为矩形．∴DN ＝AB ，∴能求出旗杆CD 的长度．3．利用镜子的反射操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆项端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．点拨：入射角＝反射角图4∵入射角＝反射角 ∴∠AEB ＝∠CED ∵人、旗杆都垂直于地面∴∠B ＝∠D ＝90°∴DE BE CD AB 因此，测量出人与镜子的距离BE ，旗杆与镜子的距离DE ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度．活动目的：本节课的主要任务是通过测量某些不能直接测量的物体的高度，培养学生学数学的兴趣和用数学的意识．因此首先要明确测量方法．活动的注意事项：1、对学生在讨论中的可能的想法要及时予以点评、指导．2、在总结测量方法时要注意以下几点：运用方法1时可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高． 运用方法2时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度． 运用方法3时应注意向学生解释光线的入射角等于反射角的现象．第二环节 展示点拔活动内容：将全班学生分成五人小组，选出组长，分头进行户外自行寻找测量对象进行实际测量，被测物不一定是旗杆，也可以选择楼房、树等进行测量．第三环节 巩固提高 活动内容： 通过以下问题的解决，充分发挥学生的聪明才智．[想一想]同学们经历了上述三种方法，你还能想出哪些测量旗杆高度的方法？你认为最优化的方法是哪种？思路点拔：1、如果旗杆周围有足够地空地使旗杆在太阳光照射下影子都在平地上，并能测出影子的长度，那么，可以在平地垂直树一根小棒，等到小棒的影子恰好等于棒高时，再量旗杆的影子，此时旗杆的影子长度就是这个旗杆的高度．2、可以采用立一个已知长度的参照物在旗杆旁照相后量出照片中旗杆与参照物的长度根据线段成比例来进行计算．3、拿一根知道长度的直棒，手臂伸直，不断调整自己的位置，使直棒刚好完全挡住旗杆，量出此时人到旗杆的距离、人手臂的长度和棒长，就可以利用三角形相似来进行计算．等等． 第四环节 课堂小结1、本节课你学到了哪些知识？2、在运用科学知识进行实践过程中，你是否想到最优的方法？3、在与同伴合作交流中，你对自己的表现满意吗？第五环节布置作业，反思提炼4.6 利用相似三角形测高●课题利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度●教学目标（一）教学知识点1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.2.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.（二）能力训练要求1.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法.2.提高综合运用知识的能力.（三）情感与价值观要求在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.●教学重点1.测量旗杆高度的数学依据.2.有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.●教学难点1.方法2中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.2.方法3中镜子的适当调节.●教学方法1.分组活动.2.交流研讨作报告.●工具准备小镜子、标杆、皮尺等测量工具各3套.●教具准备投影片一:（记作§4.6 A）投影片二:（记作§4.6 B）投影片三:（记作§4.6 C）投影片四:调查数据表.（记作§4.6 D）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引出课题［师］今天我们要做一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度.请同学们回忆判定两三角形相似的有关条件.［生］两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似.Ⅱ.新课讲解［师］好,外边阳光明媚,天公作美,助我们顺利完成我们今天的活动课目——测量旗杆的高度.首先我们应该清楚测量原理.请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理.甲组:利用阳光下的影子.（出示投影片§4.6 A）图①从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图①）,即△EAD ∽△ABC ，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据BC AD AB EA =可得BC =EAAD BA ⋅，代入测量数据即可求出旗杆BC 的高度.［师］有理有据.你们讨论得很成功.请乙组出代表说明方法2.乙组:利用标杆.（出示投影片§4.6 B ）图②如图②，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D 作旗杆BC 的垂线交旗杆BC 于G ,交标杆EF 于H ,于是得△DHF ∽△DGC .因为可以量得AE 、AB ,观测者身高AD 、标杆长EF ,且DH =AE ， DG =AB由DG DH GC FH =得GC =DH DG FH ⋅.∴旗杆高度BC =GC +GB =GC +AD .［同学A ］我认为还可以这样做.过D 、F 分别作EF 、BC 的垂线交EF 于H ，交BC 于M ，因标杆与旗杆平行，容易证明 △DHF ∽△FMC∴由DHM FH MC = 可求得MC 的长.于是旗杆的长BC =MC +MB =MC +EF . 乙组代表：如果这样的话，我认为测量观测者的脚到标杆底部距离与标杆底部到旗杆底部距离适合同学A 的做法.这样可以减少运算量.［师］你想得很周到，大家有如此出色的表现，老师感到骄傲，请丙组同学出代表讲解.图③ ［丙组］利用镜子的反射.（出示投影片§4.6 C ）这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C ′，∵△EAD ∽△EBC ′且△EBC ′≌△EBC ∴△EAD ∽△EBC ,测出AE 、EB 与观测者身高AD ，根据BC AD EB AE =，可求得BC =AEAD EB ⋅. ［师］同学们清楚原理后，请按我们事先分好的三大组进行活动，为节省时间，每组分出三个小组分别实施三种方法，要求每小组中有观测员，测量员，记录员，运算员，复查员.活动内容是：测量我校操场上的旗杆高度.［同学们紧张有序的进行测量］［师］通过大家的精诚合作与共同努力，现在各组都得到了要求数据和最后结果，请各组出示结果，并讨论下列问题：1.你还有哪些测量旗杆高度的方法？2.今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点？通过下表对照说明测量数据的误差情况，以及测量方法的优劣性.（出示投影片§4.6 D ）对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论.1.测量中允许有正常的误差.我校旗杆高度为20 m ，同学们本次测量获得成功.2.方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确.3.大家一致认为方法一简单易行，是个好办法.4.方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力.5.同学们提出“通过测量角度能否求得旗杆的高度呢”.有大胆的设想，老师很佩服，在大家学习了三角函数后相信会有更多的测量方法呢.Ⅲ.课堂练习高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长6 m ，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m ，求该建筑物的高度.图4－37分析：画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB ''=C B BC '' 于是得，BC =6424⨯=''''⋅B A C B AB =16 （m ）. 即该建筑物的高度是16 m.Ⅳ.课时小结这节课我们通过分组活动，交流研讨，学会了测量旗杆高度的几种常用方法，并且明白了它的数学原理——相似三角形的有关知识，初步积累了一些数学建模的经验.Ⅴ.课后作业习题4.101.该建筑物的高度是16 m.2.小树高4 m.3.参考方案：选取罪犯直立时的影像并量取长度，再选当时室内一参照物并量取参照物实际高度和它影像的高度，由罪犯实际身高∶罪犯影像长=参照物实际高度∶参照物影像高度.可得罪犯实际身高.Ⅵ.活动与探究雨后初晴，同学们在操场上玩耍，可看到积水中的影子，你能否利用积水测量旗杆的高度？其中原理是什么？（借鉴课本中测量旗杆的高度的方法2）.●板书设计 §4.6 利用相似三角形测高一、测量原理：相似三角形对应边成比例.二、三种测量方法的优缺点三、课堂练习（学生画示意图）四、小结。
北师大版九年级数学上4.6利用三角形相似测高导学案
北师大版九年级数学上4.6利用三角形相似测高导学案二,合作探究 ;互动探究一知识点2：利用标杆测量旗杆的高度操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在____________时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．如图，过点A作AN⊥DC于N，交EF于M．点拨：∵人、标杆和旗杆都_______于地面，∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝_______°∴人、标杆和旗杆是互相独立思考2分钟四人小组作交流、各队2号进行板书_______的．∵EF ∥CN ，∴∠_____＝∠_____，∵∠3＝∠3，∴△______∽△______，∴CNEM ANAM ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出，∴能求出CN ，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四边形ABND 为________．∴DN ＝_______，∴能求出旗杆CD 的长度．知识点3：利用镜子的反射操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆_______．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．点拨：入射角＝反射角∵入射角＝反射角 ∴∠________＝∠________∵人、旗杆都_________于地面 ∴∠B ＝∠D ＝_______°∴△________∽△________，∴DEBECD AB因此，测量出人与镜子的距离BE ，旗杆与镜子的距离DE ，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度．板书设计：活动的注意事项：①运用方法1时可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高．②运用方法2时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度．③运用方法3时应注意向学生解释光线的入射角等于反射角的现象．教学反思：4.6当堂（8分钟）检测：姓名：等级:1．小明的身高是1.6m，他的影长是2m，同一时刻一古塔的影长是18m，则该古塔的高度是多少？2．旗杆的影子长6m，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10m，如果此时附近小树的影子长3m，那么小树有多高？3．如图，AB表示一个窗户的高，AM 和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m，已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5m，AC 在地面的影长CM=4.5m，求窗户的高学生独立完成度？ABCMN。
九年级数学上册 4.6 利用相似三角形测高教案 (新版)北师大版
4.6利用相似三角形测高教学目标：1．通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，提高综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题的能力，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．2．在分组合作活动以及全班交流的过程中，进一步积累数学活动经验和成功的体验，增强学习数学的自信心．3．情感与态度：理解数学模型来源生活，又为解决生活中的某一问题而服务，体会数学与实际生活的紧密联系，培养学生积极的进取精神，增强学生数学学习的自信心．实现学生之间的交流合作，体现数学知识解决实际问题的价值.教学重点与难点：重点：1．综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题.2．有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.难点：把生活中的问题转化为数学问题，利用工具构造相似三角形模型.关键：抓住测量方法，结合所学，进行问题的解决．课前准备：多媒体课件．教学过程:复习回顾，引出课题活动内容：问题：请同学们回忆判定两三角形相似的条件有哪些？处理方式：由一名学生口答：对应角相等，两三角形相似；对应边成比例，两三角形相似；有两组对应边成比例且其夹角相等，两三角形相似．今天我们要学一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度、大树的树高、楼房等——板书课题.活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度．活动方式：分组活动、全班交流研讨．活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具．设计意图：回顾复习三角形相似判定定理，为本节课奠定基础，同时揭示本节课课题，明确目标．活动探究，体验方法方法1：利用阳光下的影子（原理：这是直接运用相似三角形的方法）．操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．处理方式：由小组交流、体会操作方法，把生活中的问题转为数学模型．教师注意点拨：把太阳的光线看成是平行的，构造出相似三角形进而利用三角形相似得出比例式．示意图：说明：AE 、BC 表示光线，DC 表示旗杆，EB 表示人影长，AB 表示身高，BD 表示杆影长． ∵太阳的光线是平行的，∴AE ∥CB ．∴∠AEB ＝∠CBD ．∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE ＝∠CDB ．∴△ABE ∽△C BD ．∴BDBE CD AB =． 即CD =BE BD AB ⋅． 因此，只要测量出人的影长BE ，旗杆的影长BD ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度了． 设计意图：设置贴近学生生活的情景问题，使学生置身其中，提高学生的注意力，从而达到更有效的激发学生的情趣，使学生很快的进入学习状态．方法2:利用标杆测量旗杆的高度（原理：这是间接运用相似三角形的方法）操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．处理方式：由小组交流、理解、体会操作方法，在教师引导下构造出相似三角形，了解可测出的数量，并完成解题过程．教师提醒用此方法时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直．示意图：如图，过点A 作AN ⊥DC 于N ，交EF 于M ．点拨：∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝90°．∴人、标杆和旗杆是互相平行的．∵EF ∥CN ，∴∠1＝∠2．∵∠3＝∠3，△AME ∽△ANC ， ∴CNEM AN AM ． ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出，∴能求出CN ．∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四边形ABND 为矩形．∴DN ＝AB ．∴能求出旗杆CD 的长度．设计意图：学生从中感受到相似三角形的构造方法，同时复习应用了相似三角形的判定方法．体会数学来源于生活并服务于生活．方法3：利用镜子的反射（原理：这是直接运用相似三角形的方法）．操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆项端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．处理方式：学生先独立思考体会操作方法，在教师引导下理解“入射角＝反射角”这一物理知识，并根据相似三角形完成解题过程．教师引导学生如何根据测量的数据及相似三角形的知识求解，代入测量数据即可求出CD 的长度示意图：∵入射角＝反射角， ∴∠AEB ＝∠CED ．∵人、旗杆都垂直于地面，∴∠B ＝∠D ＝90°．∴△EAB ∽△ECD ． ∴DEBE CD AB =． 即 CD =BE DE AB ⋅． 因此，测量出人与镜子的距离BE ，旗杆与镜子的距离DE ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度．设计意图：结合物理上的知识“入射角＝反射角”得到相似三角形，将物理与数学相结合，体会知识服务于生活这一理念．活动内容1：我们在应用以上几种测量方法时要注意哪几点？处理方式：学生总结归纳．运用方法1时可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高．运用方法2时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度．运用方法3时应注意光线的入射角等于反射角的现象．活动内容2：同学们经历了上述三种方法，你还能想出哪些测量旗杆高度的方法？处理方式：引导学生积极参与，在各人独立思考的基础上，充分交流，集思广益．思路点拔：1．一名同学作为观测者水平拖着一个含有45°角的直角三角板，适当调整自己所处位置，当旗杆的顶端、三角板的斜面与眼睛恰好在同一条直线上时其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底部的距离以及观测者的高度，就能求出旗杆的高度．2．拿一根知道长度的直棒，手臂伸直，不断调整自己的位置，使直棒刚好完全挡住旗杆，量出此时人到旗杆的距离、人手臂的长度和棒长，就可以利用三角形相似来进行计算．活动内容3：上述几种测量方法各有哪些优缺点？处理方式：交流、补充，归纳总结．参考答案：三种测量方法的优点是简单易行，无需复杂的测量工具．方法1最好操作，只受太阳光的限制，在有太阳光的前提下选择方法1较好，方法2与方法3相比，操作过程相差不多，但从计算过程来看，选择方法3较好．缺点：误差较大、需多人合作．设计意图：通过动手实践、合作探究、交流讨论，使学生经历发现知识的过程，获得分析和解决问题的能力，变“学会”为“会学”，获得广泛的数学活动经验，从而成为学习的主人．三、应用新知，解决问题1．高4米的旗杆在水平地面上的影子长为6米，此时测得附近一个建筑物的影长为24米，则该建筑物的高度是______________米．2．如图是小明设计用手电筒测量某建筑物高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到该建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该建筑物的高度是（）A．6米 B．8米 C．18米 D．24米第2题图3．如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M、颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D.然后测出两人之间的距CD＝1.25 m，颖颖与楼之间的距离DN＝30 m，颖颖的身高BD＝1.6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8m．你能根据以上测量数据帮助他们求出该住宅楼的高度吗？第3题图处理方式：学生对于1、2两题学生较容易得出答案，第3题有难度，要求学生先独立思考，再合作交流，集思广益．师生共同完成第3题的书写过程教师找学生口述过程．解：过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F．由已知可得FN＝ED＝AC＝0.8 m，AE＝CD＝1.25 m，EF＝DN＝30 m，∠AEB＝∠AFM＝90°．又∠BAE＝∠MAF，∴△ABE∽△AMF．∴BEMF＝AEAF.．即1.6－0.8MF＝1.251.25＋30.解得MF＝20.∴MN＝MF＋FN＝20＋0.8＝20.8(m)．所以该住宅楼的高度为20.8 m.设计意图：本题组注重知识点的直接应用，通过练习，巩固对本节课知识的理解，更好的应用相似三角形的有关知识解决相关问题.四、盘点收获，总结串联通过本节课的学习，你有哪些收获？有何感想？你学会了哪些方法？设计意图：过让学生积极反思所学，大胆发言，谈收获或困惑，目的是让学生对本节课所学的几个方面的专题作一个条理的，清晰的认识，从而揭示问题的本质，养成数学思考和反思总结的习惯．五、达标检测，反馈矫正1．旗杆的影子长6米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10米，如果此时附近小树的影子长为3米，那么小树的高是___________米．2．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5米，AC在地面的影长CM=4.5米，求窗户的高度．处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、布置作业，落实目标基础题：助学4.6不带星号的．提高题：助学4.6带星号的．实践题：任务：全班同学每五人一个小组，选出组长，分头到户外自行选择你感兴趣的测量对象进行实际的测量，如旗杆、楼房、树、电线杆等并将结果记录下来．编外侦探：一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程．请你为警方设计一个方案，估计该盗窃犯的身高．设计意图：通过做题加深对知识的理解，进一步巩固本节知识．课外习题提升学生动手实践能力，更好的将知识应用于生活．板书设计：。
北师大版九年级上册 4.6 利用相似三角形测高专题(包含答案)
2019-2020利用相似三角形测高专题（含答案）一、单选题1．如图，小雅同学在利用标杆BE 测量建筑物的高度时，测得标杆BE 高1.2m ，又知:1:8AB BC =，则建筑物CD 的高是( )A ．9.6mB ．10.8mC ．12mD ．14m2．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根 长为 1 米的竹竿的影长为 0.4 米，同时另一名同学测量树的高度时， 发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台 阶水平面上，测得此影子长为 0.2 米，一级台阶高为 0.3 米，如图 所示，若此时落在地面上的影长为 4.4 米，则树高为( )A.11.8 米B.11.75 米C.12.3 米D.12.25 米3．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其下卷有题如下：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问竿长几何？”译文：“有一根竹竿不知道它的长短，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长是五寸，则这根竹竿的长度为多少尺？”可得这根竹竿的长度为（ ） （提示：1丈10=尺，1尺10=寸）A．五丈B．四丈五尺C．五尺D．四尺五寸4．如图，为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离树底B端8．4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3．2米，观察者目高CD=1．6米，则树AB的高度约为（）A．4．2米B．4．8米C．6．4米D．16．8米5．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（）A.4.5mB.4.8mC.5.5mD.6 m二、填空题6．某同学要测量某烟囱的高度，他将一面镜子放在他与烟囱之间的地面上某一位置，然后站到与镜子、烟囱成一条直线的地方，刚好从镜中看到烟囱的顶部，如果这名同学身高为1.65米，他到镜子的距离是2米，测得镜面到烟囱的距离为20米，烟囱的高度_____ 米.7．如图，小明想利用太阳光测量楼高，发现对面墙上有这栋楼的影子，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠且高度恰好相同．此时测得墙上影子高CD =1.2m ，CE =0.6m ，CA =30m （点A 、E 、C 在同一直线上）．已知小明身高EF 是1.6m ，则楼高AB 为______m ．8．如图，在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆2AB m =，它的影子1.6BC m =，木杆PQ 的影子有一部分落在了墙上， 1.2PM m =，0.8MN m =，则木杆PQ 的长度为______m ．9．为了测量校园水平地面上一棵树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B ）8．4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE=2．4米，观察者目高CD=1．6米，则树AB 的高度为 米．三、解答题10．如图，晚上小明由路灯AD走向路灯BC，当他行至点P处时，发现他在路灯BC下的影长为2m，且影子的顶端恰好在A点，接着他又走了6.5m至点Q处，此时他在路灯AD下的影子的顶端恰好在B点，已知小明的身高为1.8m，路灯BC的高度为9m.（1）计算小明站在点Q处时在路灯AD下影子的长度；（2）计算路灯AD的高度。
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北师大版九年级数学上册4.6：利用相似三角形测高导学案
（含答案）
北师大版九年级数学上册第四章 4.6利用相似三角形测高导学案
一、预习目标
1．本节介绍了三种测量旗杆高度的方法，分别是利用阳光下的影子，利用标杆，利用镜子的反射．
2．上述测量旗杆高度的方法都是依据相似三角形的性质的原理而设计的．
3．同一时刻，物高与影长成正比．
二、课堂精讲精练
【例1】如图，小华用长为3.2 m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8 m与旗杆相距22 m，则旗杆的高为(A)
A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m
【跟踪训练1】如图，身高为1.7 m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12 m，BE＝3 m，那么这棵树CD的高为5.1m.
【例2】《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图)．已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．
解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，
由题意可得：AN＝2米，CN＝2－1.65＝0.35(米)，MN＝40米，AM＝AN＋MN＝42米．MF ＝1.65米．
∵CN ∥EM ，∴△ACN ∽△AEM. ∴CN EM ＝AN AM . ∴242＝0.35EM . 解得EM ＝7.35.
∴EF ＝EM ＋MF ＝7.35＋1.65＝9(米)．∴城楼的高度为9－1.7＝7.3(米)．
【跟踪训练2】如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板DEF 的斜边DF 保持水平，并且边DE 与树顶B 在同一直线上，已知两条边DE ＝0.2 m ，EF ＝0.1 m ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝4 m ，则树高AB 为3.5m.
【例3】如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上)，测得AC ＝2 m ，BD ＝2.1 m ，如果小明眼睛距地面高度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE.
解：令OE ＝a m ，AO ＝b m ，CB ＝x m ，则由△GDC ∽△EOC ，得GD EO ＝CD
OC ，
即
1.6a ＝
2.1－x 2＋b
，整理，得3.2＋1.6b ＝2.1a －ax ①，由△FBA ∽△EOA ，得FB EO ＝AB OA
，
即
1.6a ＝2－x b
，整理，得1.6b ＝2a －ax ②，
将②代入①，得3.2＋2a －ax ＝2.1a －ax ，∴a ＝32，即OE ＝32，答：楼的高度OE 为32 m.
【跟踪训练3】如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后
他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20 m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部．已知丁轩同学的身高是1.5 m ，两个路灯的高度都是9 m ，则两路灯之间的距离是30m.
三、课堂巩固训练
1．如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高1.2 m ，测得AB ＝1.6 m ，BC ＝12.4 m ，则建筑物CD 的高是(B)
A ．9.3 m
B ．10.5 m
C ．12.4 m
D ．14 m
2．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A ，D 两个端点之间的距离为10 m ，AO BO ＝DO CO ＝2
3
，则容器的内径是(C)
A ．5 cm
B ．10 cm
C ．15 cm
D ．20 cm
3．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图
所示．若a1＝1米，a2＝10米，h＝1.5米，则这个学校教学楼的高度为15米．
4．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10 cm，已知AC与BC之比为5∶1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压50cm.
5．如图，小超想要测量窗外的路灯PH的高度．星期天晚上，他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上，窗户的最高点C落在地板B 处，窗户的最低点落在地板A处，小超测得窗户距地面的高度QD＝1 m，窗高CD＝1.5 m，并测得AQ＝1 m，AB＝2 m．请根据以上测量数据，求窗外的路灯PH的高度．
解：∵DQ⊥BP，
∴∠CQB＝90°.
∵QD＝1 m，QA＝1 m，
∴∠QAD＝45°.
∵PH⊥PB，
∴∠HAP＝∠HPA＝45°.
∴PH＝PA，
设PH＝PA＝x m，
∵PH⊥PB，CQ⊥PB，
∴PH∥CQ，
∴△PBH∽△QBC，
∴HP
CQ
＝
PB
QB
，即
x
1＋1.5
＝
x＋2
1＋2
.
解得x＝10.
答：窗外的路灯PH的高度是10 m.
四、课堂总结
1．测量旗杆的高度有三种方法：
(1)利用阳光下的影子；
(2)利用标杆(对应“A”字形)；
(3)利用镜子反射(对应“8”字形)．
它们都利用相似三角形的性质，在练习时一定要重视两个三角形为什么相似．
2．对影子没“落地”问题的两种处理方法：①人为“抬高地平
线”；②设法消除“障碍物”，让光线与水平地面相交，转化为常规影长问题．。