北师大版九年级数学上册4.6：利用相似三角形测高导学案（含答案）

北师大版九年级数学上册4.6：利用相似三角形测高导学案

（含答案）

北师大版九年级数学上册第四章 4.6利用相似三角形测高导学案

一、预习目标

1．本节介绍了三种测量旗杆高度的方法，分别是利用阳光下的影子，利用标杆，利用镜子的反射．

2．上述测量旗杆高度的方法都是依据相似三角形的性质的原理而设计的．

3．同一时刻，物高与影长成正比．

二、课堂精讲精练

【例1】如图，小华用长为3.2 m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8 m与旗杆相距22 m，则旗杆的高为(A)

A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m

【跟踪训练1】如图，身高为1.7 m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12 m，BE＝3 m，那么这棵树CD的高为5.1m.

【例2】《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图)．已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．

解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，

由题意可得：AN＝2米，CN＝2－1.65＝0.35(米)，MN＝40米，AM＝AN＋MN＝42米．MF ＝1.65米．

∵CN ∥EM ，∴△ACN ∽△AEM. ∴CN EM ＝AN AM . ∴242＝0.35EM . 解得EM ＝7.35.

∴EF ＝EM ＋MF ＝7.35＋1.65＝9(米)．∴城楼的高度为9－1.7＝7.3(米)．

【跟踪训练2】如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板DEF 的斜边DF 保持水平，并且边DE 与树顶B 在同一直线上，已知两条边DE ＝0.2 m ，EF ＝0.1 m ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝4 m ，则树高AB 为3.5m.

【例3】如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上)，测得AC ＝2 m ，BD ＝2.1 m ，如果小明眼睛距地面高度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE.

解：令OE ＝a m ，AO ＝b m ，CB ＝x m ，则由△GDC ∽△EOC ，得GD EO ＝CD

OC ，

即

1.6a ＝

2.1－x 2＋b

，整理，得3.2＋1.6b ＝2.1a －ax ①，由△FBA ∽△EOA ，得FB EO ＝AB OA

，

即

1.6a ＝2－x b

，整理，得1.6b ＝2a －ax ②，

将②代入①，得3.2＋2a －ax ＝2.1a －ax ，∴a ＝32，即OE ＝32，答：楼的高度OE 为32 m.

【跟踪训练3】如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后

他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20 m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部．已知丁轩同学的身高是1.5 m ，两个路灯的高度都是9 m ，则两路灯之间的距离是30m.

三、课堂巩固训练

1．如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高1.2 m ，测得AB ＝1.6 m ，BC ＝12.4 m ，则建筑物CD 的高是(B)

A ．9.3 m

B ．10.5 m

C ．12.4 m

D ．14 m

2．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A ，D 两个端点之间的距离为10 m ，AO BO ＝DO CO ＝2

3

，则容器的内径是(C)

A ．5 cm

B ．10 cm

C ．15 cm

D ．20 cm

3．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图

所示．若a1＝1米，a2＝10米，h＝1.5米，则这个学校教学楼的高度为15米．

4．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10 cm，已知AC与BC之比为5∶1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压50cm.

5．如图，小超想要测量窗外的路灯PH的高度．星期天晚上，他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上，窗户的最高点C落在地板B 处，窗户的最低点落在地板A处，小超测得窗户距地面的高度QD＝1 m，窗高CD＝1.5 m，并测得AQ＝1 m，AB＝2 m．请根据以上测量数据，求窗外的路灯PH的高度．

解：∵DQ⊥BP，

∴∠CQB＝90°.

∵QD＝1 m，QA＝1 m，

∴∠QAD＝45°.

∵PH⊥PB，

∴∠HAP＝∠HPA＝45°.

∴PH＝PA，

设PH＝PA＝x m，

∵PH⊥PB，CQ⊥PB，

∴PH∥CQ，

∴△PBH∽△QBC，

∴HP

CQ

＝

PB

QB

，即

x

1＋1.5

＝

x＋2

1＋2

.

解得x＝10.

答：窗外的路灯PH的高度是10 m.

四、课堂总结

1．测量旗杆的高度有三种方法：

(1)利用阳光下的影子；

(2)利用标杆(对应“A”字形)；

(3)利用镜子反射(对应“8”字形)．

它们都利用相似三角形的性质，在练习时一定要重视两个三角形为什么相似．

2．对影子没“落地”问题的两种处理方法：①人为“抬高地平