导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用PPT课件
是减函数，求a的取值范围.
例4（09年宁夏/海南卷）已知函数 3 2 x f ( x) ( x 3x ax b)e . （1）若a＝b＝－3，求f(x)的单调区间 （2）若f(x)在(－∞，α )，(2，β )内 单调递增，在(α ，2)，(β ，＋∞)单调 递减，证明：β －α ＞6. 【解题要点】 求导后要指出定义域→由导数大于0得递 增开区间，定义域内其余区间为递减区 间→单调递增条件转化为导数非负.
考点2 导数在函数极值问题中的应用 3 x 2 例5 求函数 f ( x) 的极值 . 2 ( x 1) 例6 已知函数 f ( x) ( x ax a)e 有极小值0，求实数a的值.
2 x
例7（09年湖南卷文）已知函数 3 2 f ( x) x bx cx 的导函数的图象关于 直线x＝2对称，且函数f(x)在x＝t处取 得极小值g(t)，求函数g(t)的定义域和 值域.
10.2
导数在研究函数中的应用
知识梳理
1 5730 p 2
t
1.导数与函数的单调性： f ′(x)≥0 Ûf(x)单调递增； f ′(x)≤0 Û f(x)单调递减， 其中f ′(x)不恒等于0.
2.函数极值的概念： 函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近 的所有的点，都有 （1）f(x)＞f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的 极小值； （2）f(x)＜f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的 极大值.
例8（09年全国卷）已知函数 2 x 1和x 2， f x x aIn 1 有两个极值点 x 且x 1＜x 2. （1）求实数a的取值范围；
1 2 In2 （2）证明 f x2 . 4
【解题要点】 由导函数的变号零点确定极值点→结合 图象确定极值类型.
导数在研究函数中的应用 课件
【训练 1】 证明：函数 f(x)＝lnxx在区间(0，e)上是增函数.
证明
∵f(x)＝lnx
x，∴f′(x)＝x·1xx－2 ln
x＝1－xl2n
x .
又 0<x<e，∴ln x<ln e＝1.
∴f′(x)＝1－xl2n x>0，
故 f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数.
类型二 利用导数求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间：
此时函数的增区间是(－∞，＋∞).
当 t>0 时，解 x2≥t 得 x≥ t或 x≤－ t；
由 f′(x)≤0 解得－ t≤x≤ t.
此时函数 f(x)的增区间是(－∞，－ t)和( t，＋∞)，
减区间是(－ t， t). 综上可知，当 t≤0 时，函数 f(x)的增区间是(－∞，＋∞)，无减 区间； 当 t＞0 时，函数 f(x)的增区间是(－∞，－ t)和( t，＋∞)，减区
又∵x＞0，∴x＞
3 3.
令 f′(x)＜0，即 2·3x2x－1＜0，
解得 x＜－ 33或 0＜x＜ 33.又∵x＞0，∴0＜x＜ 33.
∴f(x)的单调递增区间为
33，＋∞，
单调递减区间为0，
3
3
.
(4)f′(x)＝3x2－3t，令 f′(x) ≥0，得 3x2－3t≥0，
即 x2≥t.∴当 t≤0 时，f′(x) ≥0 恒成立，
2.函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是( )
A.增函数
B.减函数
C.先增后减
D.不确定
解析 f′(x)＝2－cos x＞0.
答案 A
3.函数y＝ex＋x在R上是________函数. 解析 y′＝ex＋1＞1＞0，故函数y＝ex＋x在R上是增函数. 答案 增
导数在研究函数中的应用教案
1.3导数在研究函数中的应用教案一、教学目标：知识与技能：1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．过程与方法：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：掌握函数的单调性与导数的关系．难点：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.（二）新知探究探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．思考2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1x2<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．思考4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1 已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．反思与感悟本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1 函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．解f′(x)图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一．例2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sin x－x(0<x<π)；(3)f(x)＝3x2－2ln x；(4)f(x)＝3tx－x3单调递减区间是(－3,2)．(2)f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)(3)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－2x＝2·3x2－1x.令f′(x)>0，即2·3x2－1x>0，解得－33<x<0或x>33.又∵x>0，∴x>33.令f′(x)<0，即2·3x2－1x<0，解得x<－33或0<x<33.又∵x>0，∴0<x<33.∴f(x)的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33)．(4)f′(x)＝3t－3x2.令f′(x)≥0时，得3t－3x2≥0，即t≥x2，∴当t≤0时，无解；当t>0时，函数的单调递增区间是[－t，t]．令f′(x)≤0时，得3t－3x2≤0，即t≤x2，当t≤0时，f′(x)≤0恒成立，函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数的单调递减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数的单调增区间是[－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x .又∵x >0，∴x >22，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞；由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22，又∵x >0，∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22.(2)f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．解(1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.反思与感悟通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．跟踪训练3 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )【答案】 D（三）当堂达标1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数【答案】 A【解析】 ∵f ′(x )＝1＋1x>0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确． 3．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.4．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( )．A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)【答案】 A5．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为 6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．【解析】 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2. 故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．6．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x ) <0，解得－1<x <3. 所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数． 五、小结（1）函数导数与单调性的关系：0)(>'x f 时，增函数；0)(<'x f 时，减函数．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便．（2）本节课中，用导数方法去研究函数单调性问题是中心，灵活应用导数法去解题是目的，适当的见识与练习是达到目的最佳手段，数形结合是应使学生养成的良好思维习惯． 六、作业。
2015高三数学(人教A·理)课件：2.11导数在研究函数中的应用
利用导数研究函数的单调性
【例 1】 (2013· 广东卷改编)设函数 f(x)＝(x－1)ex－kx2. (1)当 k＝1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在 x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数 k 的取值范围．
(2)易知 f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝x(ex－2k)． ∵f(x)在 x∈[0，＋∞)上是增函数， ∴当 x≥0 时，f′(x)＝x(ex－2k)≥0 恒成立．
2.导数与极值的关系问题
(4)函数的极大值不一定比极小值大．( ) (5)对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0 为极值点的充要条件．( ) (6)(2012· 陕西卷改编)函数 f(x)＝xex 在 x＝－1 处取得极小值．( )
3.关于闭区间上函数的最值问题
(7)函数在开区间一定不存在最大值和最小值．( ) (8)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( ) (9)(2014· 郑州调研改编)函数 f(x)＝ex－x(e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上 的最大值是 e－1.( )
利用导数研究函数的单调性
【训练 1】 已知函数 f(x)＝x3－ax2－3x. (1)若 f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若 x＝3 是 f(x)的极值点，求 f(x)的单调区间．
(1)对 f(x)求导，得 f′(x)＝3x2－2ax－3. 3 1 由 f′(x)≥0，得 a≤ x－x . 2 解 1 1 3 3 记 t(x)＝ x－x，则 t′(x)＝ 1＋x2， 2 2 所以当 x≥1 时，t(x)是增函数， 3 ∴t(x)min＝ (1－1)＝0. 2 ∴a≤0. 故实数 a 的取值范围是(－∞，0]．
高中数学《导数在研究函数中的应用-函数的单调性与导数》教案
1.3.1函数的单调性与导数（一）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程（一）复习引入1．增函数、减函数的定义一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．2．函数的单调性如果函数y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x) 的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性．解：取x1＜x2，x1、x2∈R，取值f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)，定号∴y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减．判断当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增。
能否利用导数的符号来判断函数单调性？一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f (x )'＞0，则f (x )为增函数； 如果f (x )'＜0，则f (x )为减函数． 例2．教材P24面的例1。
例3．确定函数f(x)＝x 2－2x ＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解： f(x)'＝2x －2．令2x －2＞0，解得x ＞1．因此，当x ∈(1, +∞)时，f (x )是增函数． 令2x －2＜0，解得x ＜1．因此，当x ∈(－∞, 1)时，f (x )是减函数．例4．确定函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解：f (x )'＝6x 2－12x ．令6x 2－12x ＞0，解得x ＜0或x ＞2．因此，当x ∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数，当x ∈(2, ＋∞)时，f (x )也是增函数． 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2．因此，当x ∈(0, 2)时，f (x )是减函数． 利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．练习1：教材P24面的例2 利用导数的符号来判断函数单调性: 设函数y ＝f (x )在某个区间内可导(1)如果f '(x )＞0 ，则f (x )为严格增函数； (2)如果f '(x )＜0 ，则f (x )为严格减函数． 思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的充分而非必要条件．例如 f (x )＝x 3，当x =0，f'(x )=0，x ≠0时，f'(x )>0，函数f (x )＝x 3在(－∞,＋∞)上是增函数．（2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数？若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为常数函数．练习2. 教科书P.26练习(1)（三）课堂小结1．判断函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系； 3．证明单调性的方法. （四）作业《习案》作业七。
导数在研究函数中的应用单元教学设计
导数在研究函数中的应用单元教学设计【教学设计】课题名称：导数在研究函数中的应用一、教学目标：1.知识与能力：a)掌握导数的概念；b)理解导数的几何意义；c)理解导数与函数的关系，明确导数为函数在其中一点处的变化率；d)理解导数在函数研究中的应用，并能解决与导数相关的问题；e)初步培养学生分析问题、解决问题的思维能力。
2.过程与方法：a)培养学生分析、归纳、推理和解决问题的能力；b)鼓励学生思考和提问，积极参与课堂讨论；c)培养学生合作学习和团队合作的能力。
二、教学内容：1.导数的概念及其几何意义；2.导数与函数的关系；3.导数在函数研究中的应用。
三、教学过程：1.导入（10分钟）教师通过提问和展示一些实际问题，引出函数与导数的关系，激发学生对导数应用的思考和兴趣。
2.导数的概念及其几何意义（25分钟）a)导数的定义：引导学生回顾变化率的概念，由此引出导数的定义，并帮助学生理解导数的物理意义（函数变化率）和几何意义（切线斜率）。
b)导数的计算：通过具体函数示例，引导学生运用导数的定义计算导数，并与导数公式进行关联。
c)给出一些练习题，巩固导数的概念和计算方法。
3.导数与函数的关系（25分钟）a)导数与函数图像：通过绘制不同函数的图像，引导学生发现导数与函数图像的关系，区分函数图像的变化趋势与导数的正负值。
b)导数与函数性质：通过导数与函数的关系，解释函数的凸凹性、极值和拐点等性质的判定方法。
辅以实例进行讲解。
4.导数在函数研究中的应用（30分钟）a)表达式的优化：通过使用导数求解函数的极值问题，帮助学生理解导数在最值问题中的应用，并引导学生解决一些具体的优化问题。
c)引导学生思考和讨论导数在其他实际问题中的应用，并进行展示和分享。
5.小结与拓展（10分钟）对本节课的内容进行小结，并提出拓展问题或布置作业。
鼓励学生通过实际问题思考导数的应用，拓宽对导数的理解和运用。
四、教学资源与评价：1.教学资源：a)钢琴与芦笛（展示变化率的概念）；b)多媒体课件（演示导数的定义、公式和应用）；c)函数绘图软件（辅助绘制函数图像）；d)题目练习册。
导数在研究函数中的应用单调性教案
导数在研究函数中的应用——单调性教学目标：①能探索并应用函数的单调性与导数的关系；②求一些简单的非初等函数的单调区间；③能由函数的单调性绘制函数图象．教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求一些简单的非初等函数的单调区间．教学难点：导数与单调性之间的联系，利用导数绘制函数的大致图象．教学设计：一、问题情境问题一 求函数342+-=x x y 的单调区间．问题二 判断或证明函数的单调性常用方法有那些？问题三 你能确定函数762)(23+-=x x x f 的单调区间吗？问题四 除了单调性是对函数变化趋势（上升或下降的陡峭程度）的刻画，还有什么知识也刻画了函数变化的趋势？设计意图：以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：三次函数或非初等函数判断单调性，在用定义法、图象法很不方便时，如何思考、化未知为已知，让学生积极主动地参与到学习中来．二、数学建构问题五 能不能利用导数研究函数的单调性呢？问题六 导数与单调性有何联系？如何寻找？导数与函数的单调性的关系一般地， 对于函数y ＝f （x ），如果在某区间上f ′(x )＞0，那么f （x ）为该区间上的增函数；如果在某区间上f ′(x )＜0，那么f （x ）为该区间上的减函数．设计意图：通过观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．三、数学应用例1.确定下列函数的单调区间：（1）x x y ln -= （2）xx y ln =（3）x xe y =总结利用导数讨论函数单调性的步骤：①求函数的定义域；②求函数f (x )的导数f ′(x )；③令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.④书写答案注意连接词.问题六 确定函数762)(23+-=x x x f 的单调区间，并作出草图.问题七 画出下列函数的草图①71862)(23++-=x x x x f ②7662)(23++-=x x x x f设计意图：通过具有开放性问题的设计，可以拓展学生思维，有利于学生对函数单调性与导数关系的更深层次的理解，进一步培养学生作函数图象与使用数形结合解决问题的意识．课后思考题 ①求函数xa x y +=)(R a ∈的单调区间. ②画出3x y =的图象，试问导函数0)(>'x f 是函数)(x f y =单调递增的 的条件.设计意图：这个问题是个难点，课上如果讲是讲不透的，课后让学生思考，可以有足够的时间去理解．另外，在给定函数下思考，可以使得问题的针对性更强，否则学生不知如何入手．对由已知单调增（减）的导数应该大于（小于）或等于零这个结论，只要让学生通过实例感受到为什么，在以后的使用中不漏解即可，而不必要做理论上的论证．四、课堂小结；通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？能解决哪些问题？本节课我们用到了哪些数学思想方法？设计意图：通过小结，培养学生学习——总结——反思的良好习惯，使学习更上一个台阶．五、课堂练习1.确定下列函数的单调区间（1）2x x y -= （2）3x y -=2.讨论函数的单调性（1）b kx y += （2）xk y =（3）)0(2≠++=a c bx ax y 3.用导数证明：（1）x e x f =)(在区间()+∞∞-,上是增函数； （2）x e x f x-=)(在区间()0,∞-上是减函数.。
导数在研究函数单调性中的应用
导数在研究函数单调性中的应用
导数在研究函数单调性中的应用在数学中，单调性是由函数的变化来衡量的，根据函数的变化特征可以判断函数的单调性特点。
若函数在某一区间上单调递增或单调递减，则称该函数为单调函数。
这种函数的单调性有着十分重要的意义，它可以帮助我们更好地理解数学问题，因此，单调性研究是数学中一个重要的课题。
在研究函数单调性时，导数可以发挥重要作用。
导数表示函数在某一点变化率，如果函数在某一区间上单调递增或单调递减，那么该函数在该区间上的导数都应该是正数或负数，而不能是零。
因此，导数可以用来判断函数的单调性特点。
另外，导数也可以用来求解函数的极值问题，极值是指函数在某一区间上的最大值或最小值，如果函数在某一点处的导数为零，这就表明该点处可能是函数的极值点，也就是说，该函数在该点可能是最大值或最小值。
同时，导数还可以用来判断函数在某一点处是最大值还是最小值，如果函数在某一点处的导数为正，表明该点处可能是函数的最大值，反之，函数在某一点处的导数为负，表明该点处可能是函数的最小值。
总之，导数在研究函数单调性中发挥着重要的作用，它可以用来判断函数的单调性特点，也可以用来求解函数的极值问题，同时还可以用来判断函数在某一点处是最大值还是最小值。
因此，导数在研究函数单调性中有着十分重要的作用，是必不可少的数学工具。
人教版高中选修2-21.3导数在研究函数中的应用教学设计
人教版高中选修2-21.3导数在研究函数中的应用教学设计一、教学目标•了解导数的意义，能够熟练求解函数的导数；•掌握导数在研究函数中的应用，能够运用导数求解函数的最值、拐点；•培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维能力和创新意识。
二、教学重难点重点：•导数的概念及其计算方法；•导数在研究函数中的应用。
难点：•高中生对导数概念的理解和运用能力较弱；•对于复杂函数求导和应用需要较高的数学思维。
三、教学过程设计1. 导入（5分钟）通过引出一个实际问题，如小车行驶路线是直线还是曲线，为什么能够判断出来？引导学生思考导数的作用。
2. 讲解（30分钟）（1）导数的概念及计算方法•讲解导数的定义及图像解释；•用图像解释导数与函数单调性的关系；•通过例题教授导数的计算方法。
（2）导数在研究函数中的应用•拐点的概念及其求解方法；•函数最值的概念及其求解方法。
3. 实践操作（50分钟）（1）小组讨论将学生分成小组，提供一组函数，让学生探究这个函数的变化规律，寻找其最值、拐点等特殊点，引导学生使用导数计算。
（2）导数图形练习提供一些导数的图像，让学生寻找对应函数的特点。
（3）课堂演示选出优秀的代表进行课堂演示，分享各自组的成果。
4. 总结反馈（15分钟）根据学生对导数的认识程度和掌握情况，进行统一的总结和反馈。
四、教学评估1. 作业布置：•提供一些函数，让学生自主选取进行计算；•给出一些应用题，让学生通过导数求解。
2. 综合评价：•课堂表现（包括课堂发言、讨论贡献等）；•作业完成情况；•实验操作结果。
五、教学建议•更好地组织小组讨论，提高学生思维的创新性；•根据学生实际情况调整授课难度，使其更容易理解和掌握知识点；•强调导数在实际问题中的应用，激发学生的兴趣和动力。
导数在研究函数中的应用教学设计(秦霞)
普通高中课程标准实验教科书数学选修2-21.3.1单调性江苏省南通中学秦霞【教学内容解析】1．导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一。
2．单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时，能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性.3．这节课我们是在学习了导数的平均变化率、瞬时变化率、导数的定义和几何意义之后，试图通过导数来研究函数的单调性，为研究单调性提供了更一般的方法，是后面学习函数的极值、最值的知识铺垫、能力基础和方法指导。
起到了承上启下、完善建构、拓展提升的作用。
4．教学重点：导数与函数单调性的关系的探索和发现；利用导数研究函数的单调性.这节课将结合例题研究二次函数、三次函数以及三角函数的单调性。
【教学目标设置】1．借助几何直观，通过实例归纳函数的单调性与导数的关系；2．理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数单调区间；3．通过用定义与用导数在研究函数单调性时的两种方法的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和感悟数学自身发展的一般规律．【学生学情分析】1. 已有的知识储备：（1）本节课的授课对象是南通中学高二年级的学生，他们在经历了高一一学年的数学学习后，已经基本了解高中数学的基本思想和研究方法，具备了一定的发现问题、探究问题、分析问题和解决问题的能力。
（2）学生已经掌握了基本初等函数的图象特征和基本性质，而且已经掌握了导数的定义、导数的计算以及其几何意义，已经具备了用导数探究函数单调性的知识储备。
存在问题：将导数与函数单调性联系起来，学生的抽象概括能力还不够；解决方法：需引导学生通过不断探究，数学联想，逐步得出导数研究函数单调性的结论。
2. 教学难点：发现和揭示导数与函数单调性的关系；并利用导数研究函数的单调性．突破策略：课堂中引导学生通过探究、验证、回归逐步得出导数研究函数单调性的结论，再结合例题研究二次函数、三次函数以及三角函数的单调性。
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导数在研究函数中的应用
基础练习：
1. f(x)＝3x－x3的单调减区间为_____________________________________________.
2.函数f(x)＝ex－x在区间(－∞，0)内是单调__________(填“增函数”或“减函数”).
3.函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.
4.如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断：①f(x)在[－2，－1]上是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；
④x＝3是f(x)的极小值点.其中正确的判断是________.(填序号)
5.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则 ( )
A.a<－1 B.a>－1 C.a>－1e D.a<－1e
例题1 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取得极值－2.
(1)试用c表示a，b；(2)求f(x)的单调递减区间.
例2 已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.
(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围.
例3若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－43.
(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．
练习设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
例3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，记f(x)的导数为f′(x).
(1)若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝23时y＝f(x)有极值，求函数f(x)的解析式；2)在(1)的条
件下，求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值.
例4设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.(1)若f(x)在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围； 练习：知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 5.已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值12.(1)求a，b的值；
(2)当0
练习：1.函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是 ( )
A.－2 B.0 C.2 D.4
2.已知f(x)＝2x3－6x2＋m (m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________.
3.已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递
减，则实数m＝________.
4.已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3、最小值－29？若存
在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由.
(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间.