湖北省各地2016届高三最新数学文试题分类汇编：三角函数
湖北省各地2016届高三最新数学文试题分类汇编：数列 含答案
湖北省各地2016届高三最新数学文试题分类汇编 数列 一、选择题1、（黄冈市2016高三3月质量检测）已知正项数列{a n }中，a 1=l ，a 2=2，2221112n n n a a a ++-=+（n ≥2）则a 6=A ．16B ．4 D ．45 2、（荆、荆、襄、宜四地七校联盟2016届高三2月联考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里3、（荆州市2016届高三第一次质量检测）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，且39108a a a a +=-，则5a ＝A 、－1B 、0C 、1D 、2 4、（荆州市2016届高三第一次质量检测）数列{}n a 满足112,2(*,1)n n a a a n N n -==∈>，则数列{}2log n a 的前10项和S 10＝A 、55B 、50C 、45D 、405、（湖北省七市（州）2016届高三3月联合调研）公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6+a 4a 7=18，若a 1a m =9，则m 的值为(A)8 (B)9 (C) 10 (D) 116、（武汉市武昌区2016届高三元月调研）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知222,,a b c 成等差数列，则cosB 的最小值为（A ）12 （B（C ）34 （D7、（襄阳市普通高中2016届高三统一调研）已知等比数列{a n }的公比为3，且1310a a +=，则234a a a 的值为A ．27B ．81C ．243D ．7298、（孝感市六校教学联盟2016届高三上学期期末联考）已知等差数列{a n }，满足a 1＋a 5＝2，a 2＋a 14＝12，则此数列的前10项和S 10＝（ ）A.7B. 14C.21D.359、（宜昌市2016届高三1月调研）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S ＝A 、5B 、7C 、9D 、11 10、（宜昌市2016届高三1月调研）数列{}n a 满足1a ＝1，对任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则122016111a a a ++⋅⋅⋅+学科网＝ A 、20152016 B 、40322017 C 、40342017 D 、2016201711、（湖北省优质高中2016届高三下学期联考）已知{}n a 是等差数列，1017a =，其前10项的和1080S =，则其公差d =（ ）A ． 1-B ． 2-C ． 2D ． 1 12、（湖北省八校2016届高三第一次（12月）联考）设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论错误的是A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值13、（湖北省部分重点中学2016届高三第一次联考）函数()f x 由以下表定义若015,()()n n a a f a n N +==∈，则2016a 的值为A. 1B. 2C. 4D. 5 参考答案：1、B2、B3、B4、A5、C6、A7、D8、D9、A 10、B 11、C 12、C 13、D 二、填空题1、（荆、荆、襄、宜四地七校联盟2016届高三2月联考）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若42-=-k S ，0=k S ，82=+k S ，则k ＝ ．2、（荆门市2016届高三元月调考）已知公比为q 的等比数列{}n a 前n 项之积为Tn ，且T 3=14，T 6 =32，则q 的值为 ．[3、（荆州市2016届高三第一次质量检测）在等比数列{}中，1241,16a a a ==，则7a ＝4、（孝感市六校教学联盟2016届高三上学期期末联考）已知等比数列前n 项和为n S ，若42=S ,164=S ，则=6S _______5、（湖北省优质高中2016届高三下学期联考）已知数列{}n a的通项公式为111893842n n nn a =-+-（）（）（） （其中n N *∈）,若第m 项是数列{}n a 中的最小项，则m a = ． 参考答案：。
湖北省各地2016届高三最新数学理试题分类汇编：不等式
湖北省各地2016届高三最新数学理试题分类汇编不等式1、（黄冈市2016高三3月质量检测）已知不等式组341004,3x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2+ y 2 =1的两条切线且切点分别为A ，B ，当∠PAB 最小时，cos ∠PAB= A ．32 B ．12 C ．一32 D 一122、（荆门市2016届高三元月调考）已知变量x ，y 满足约束条件422,1y x x y -=⎧⎪-≤<⎨⎪≥⎩，则z ＝x －2y的最小值是A ．0B ． 6C ． 10D ． 123、（荆州市2016届高三第一次质量检测）设a>b>0,当取得最小值时，函数f (x )=的最小值为A.3B.2C.5D. 44、（湖北省七市（州）2016届高三3月联合调研）设向量a=(1，k)，b=(x ，y)，记a 与b 的夹角为θ．若对所有满足不等式|x 一2|≤y ≤l的x ，y ，都有θ∈（0，2π），则实数k 的取值范围是 (A)（一l ，+∞） (B)（一l ，0）U (0，-∞)(C)(1,+∞) (D)（一l,0) U (1,+∞)5、（武汉市2016届高中毕业班二月调研）设1>a ，x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥22y x ax y x y ，若目标函数ay x z +=的最大值不小于23，则实数a 的取值范围为A.0≥aB. 23≥aC.453+≥aD.45≥a6、（襄阳市普通高中2016届高三统一调研）实数x 、y 满足条件104312020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥，则211x y z x -+=+的最大值为A ．45B ．54C ．916D ．127、（宜昌市2016届高三1月调研）若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+02203066my x y x y x ,且y x +的最大值是9,则实数=m ( ) A.34 B. 329- C. 34- D.3298、（湖北省优质高中2016届高三下学期联考）设实数x ，y 满足约束条件202x y y x -≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，则2z x y =+的最大值为________9、（湖北省部分重点中学2016届高三第一次联考）若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数a ∈ .10、（黄冈市2016高三3月质量检测）已知函数f(x) =ln(x+21x +），若正实数a ，b 满足f (2a)+f (b-l)=0，则11a b+的最小值是____。
2016年高考理科数学三角函数分类汇编
2016年高考理科数学三角函数分类解析1.（山东）7函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π 【答案】B()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B.2.（山东）（16）（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12()∏由()I 知2a bc +=,所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 3.(北京)15在∆ABC 中，2222a c b ac +=+ （I ）求B ∠ 的大小（II ）求2cos cos A C + 的最大值4.（全国卷1）()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 答案B5（17）（全国卷1）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若7,c ABC =的面积为332，求ABC 的周长． 解：（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =， 即()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =．可得1cosC 2=，所以C 3π=．（II ）由已知，133sin C 22ab =．又C 3π=，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=，从而()225a b +=． 所以C ∆AB 的周长为57+．6.（全国卷2）（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）x =62k ππ- (k ∈Z ) （B ）x=62ππ+k (k ∈Z ) （C ）x=122k ππ- (k ∈Z ) （D ）x =122k ππ+ (k ∈Z )答案B7.（全国卷2）（9）若cos(4π–α)= 53，则sin 2α= （A ）257（B ）51（C ）51- （D ）257-答案D8.（全国卷2）（13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =，cos C =，a =1，则b = .答案9.（全国卷3）（5）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625答案A10.（全国卷3）（8）在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A（A ）31010 （B ）1010 （C ）1010（D ）31010答案C11.（全国卷3）（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。
专题05 三角函数与解三角形-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(解析版)
专题05三角函数与解三角形历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 三角函数2019年新课标1理科11 单选题2017 三角函数2017年新课标1理科09 单选题2016 三角函数2016年新课标1理科12 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科02 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科08 单选题2014 三角函数2014年新课标1理科08 单选题2012 三角函数2012年新课标1理科09 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科05 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科11 单选题2010 三角函数2010年新课标1理科09 填空题2018 三角函数2018年新课标1理科16 填空题2015 解三角形2015年新课标1理科16 填空题2014 解三角形2014年新课标1理科16 填空题2013 三角函数2013年新课标1理科15 填空题2011 解三角形2011年新课标1理科16 填空题2010 解三角形2010年新课标1理科16 解答题2019 解三角形2019年新课标1理科17 解答题2018 解三角形2018年新课标1理科17 解答题2017 解三角形2017年新课标1理科17 解答题2016 解三角形2016年新课标1理科17 解答题2013 解三角形2013年新课标1理科17 解答题2012 解三角形2012年新课标1理科17历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．2．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x）＝cos（2x）＝sin（2x）的图象，即曲线C2，故选：D．3．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．4．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin30°．故选：D．5．【2015年新课标1理科08】函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ，kπ），k∈z B．（2kπ，2kπ），k∈zC．（k，k），k∈z D．（，2k），k∈z【解答】解：由函数f（x）＝cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2（）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得ϕ，k∈z，即ϕ，f（x）＝cos（πx）．由2kπ≤πx2kπ+π，求得2k x≤2k，故f（x）的单调递减区间为（，2k），k∈z，故选：D．6．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（）A．3α﹣βB．3α+βC．2α﹣βD．2α+β【解答】解：由tanα，得：，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．故选：C．7．【2012年新课标1理科09】已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．8．【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x 上，则cos2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．故选：B．9．【2011年新课标1理科11】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ），由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φkπ（k∈Z），以及|φ|，得出φ．因此，f（x）cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．10．【2010年新课标1理科09】若，α是第三象限的角，则（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．11．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x或cos x＝﹣1，可得此时x，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（），f（π）＝0，f（），f（0）＝0，∴函数的最小值为，故答案为：．12．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD x，AE x，DE x，CD＝m，∵BC＝2，∴（x+m）sin15°＝1，∴x+m，∴0＜x＜4，而AB x+m x x，∴AB的取值范围是（，）．故答案为：（，）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为；故答案为：（，）．13．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．14．【2013年新课标1理科15】设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则cosθ＝．【解答】解：f（x）＝sin x﹣2cos x（sin x cos x）sin（x﹣α）（其中cosα，sinα），∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得（2cosθ）2+cos2θ＝1，解得cosθ．故答案为：15．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0 故m≤2当m＝2时，此时a，c符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin Acos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：216．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，，则．故∠BAC＝60°．17．【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A ﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C＝sin2A﹣sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A，∵0＜A＜π，∴A．（2）∵a+b＝2c，A，∴由正弦定理得，∴解得sin（C），∴C，C，∴sin C＝sin（）＝sin cos cos sin．18．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：，即，∴sin∠ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB，∵DC＝2，∴BC5．19．【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C，∴cos B cos C﹣sin B sin C，∴cos（B+C），∴cos A，∵0＜A＜π，∴A，∵2R2，∴sin B sin C•，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c∴周长a+b+c＝3．20．【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C，∴C；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S ab sin C ab，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5．21．【2013年新课标1理科17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（1）若PB，求P A；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，，∴∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°．在△PBA中，由余弦定理得P A2＝PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°．∴P A．（II）设∠PBA＝α，在Rt△PBC中，PB＝BC cos（90°﹣α）＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．22．【2012年新课标1理科17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C a sin C﹣b﹣c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）由正弦定理得：a cos C a sin C﹣b﹣c＝0，即sin A cos C sin A sin C＝sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C＝sin（A+C）+sin C，即sin A﹣cos A＝1∴sin（A﹣30°）．∴A﹣30°＝30°∴A＝60°；（2）若a＝2，△ABC的面积，∴bc＝4．①再利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝（b+c）2﹣3×4＝4，∴b+c＝4．②结合①②求得b＝c＝2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象， 可得：332113441264T ππππω=⋅=-=， 解得：2ω=， 由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<， 可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ．2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( ) A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 【答案】C 【解析】由题意，函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象， 若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-， 则()()123g x g x ==，则22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，因为12,[2,2]x x ππ∈-，所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--， 当12711,66x x ππ==-时，122x x -取得最大值，最大值为711252()666πππ⨯--=， 故选C.3．将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-【答案】A 【解析】 因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++， 将其图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像， 所以()cos()13g x x πϕ=-++，又()(4)g x g x π=-，所以()g x 关于2x π=对称， 所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈，即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈，因为0πϕ-<<，所以易得23πϕ=-.故选A4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,),(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（ ） A ．sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以3()sin()4f x x πω=+， 因为3()sin()0444f πππω=+=，由图可知，3244k ππωππ+=+，解得18,k k Z ω=+∈， 又因为24T ππω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=， 所以3()sin(9)4f x x π=+， 故答案选D.5．已知函数()cos 3f x x x =-，则下列结论中正确的个数是（ ）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A由题意，函数1()cos 2cos 2cos 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①中，由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值，则()f x 的图象不关于直线3x π=对称，故①错； ②中，将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象，故②对； ③中，由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心，故③错； ④中，由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤，解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤，即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈， 由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④错． 故选：A ．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -++=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程，则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-V24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…，故若使得方程有解，则只有△0=，此时6B π=，b =代入方程可得，2440a a -+=，由余弦定理可得，2428cos3022c c+-︒=⨯，解可得，c =∴111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选：C ．7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（ ）． A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B 【解析】由题意，因为672sinCcosA sin A =，可得：614sinCcosA sinAcosA =， 即(614)0sinC sinA cosA -⋅=，可得∴614sinC sinA =或0cosA =， 又由a b <，则A 为锐角，所以0cosA =不符合舍去， 又由正弦定理可得：37c a =，即：73a c =， 由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， ∵(0,)C π∈，∴23C π=． 故选：B ．9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：110．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.411．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．【答案】(3π，+∞) 【解析】不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，由图可知210()33x x ππ->--=．故答案为：(3π，+∞) 12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 2sin()3a πααα==+，因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2]13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___． 【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______【答案】65123-【解析】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o，如图：故在Rt ABC∆中，sin4141θθ==，()131343cos120cos22224141241θθθ-=-+=-=oQ，又Q在ACD∆中由余弦定理有()(222413435cos1202341241ADθ+---==⨯⨯o,解得265123AD=-即65123AD=-65123-15．在锐角ABC∆中，角A B C，，的对边分别为a b c，，．且cos cosA Ba b+=23sin C23b=．则a c+的取值范围为_____．【答案】(6,3]【解析】cos cos233A B Ca b a+=Q23cos cos sin3b A a B C∴+=∴由正弦定理可得：23sin cos sin cos sinB A A B B C+=，可得：sin()sin sin A B C B C +==，sin B ∴=， 又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-Q 均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,a c ∴+∈.故答案为： (6,.16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v=+， 所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解c =即AB 的长为3.17．在ABC ∆中，A B C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos 3B =，∴sin 3B =， ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==， 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DCCAD∠， 因为AD 平分BAC ∠，所以sin 4sin DC BBD C ===.（Ⅱ）由cos cos 2c B b C +=，即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以sin sin a b A B =，∴sin sin 3a Bb A ==，故11sin 222ABC S ab C ==⨯=V 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积.【答案】（1）⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）【解析】（1）()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称， ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且()0f =，5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理，2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABC S bc ==V 19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos 10B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.【答案】（1）5BC =（2【解析】解：（1）因为cos B =，0B π<<，所以sin B ===在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC AB A C=，所以4sin sin 552AB BC A C =⨯==. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )5B C B C =--=-=⎝⎭，于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225250-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．【答案】（Ⅰ）64（Ⅱ）1BC = 【解析】（Ⅰ）在ABD V 中，由正弦定理，得sin sin AD BD ABD A =∠∠． 因为60,3,6A AD BD ︒∠=== 所以36sin sin sin 6046AD ABD A BD ︒∠=⨯∠== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6sin ABD ∠=， 因为90ABC ︒∠=，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=． 在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2,6CD BD ==所以264626BC BC =+-，即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =．21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos2sin 22A b b a B =+. （1）求cos A ；（2）若a =5c =，求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解：（1）由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+， 化简得4cos 3sin b A a B =，由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =， 因为sin 0B ≠， 所以4tan 3A =，且A 为ABC ∆的内角， 即3cos 5A =. （2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 所以220256b b =+-，所以2650b b -+=，所以1b =或5.22．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）1. 【解析】 （Ⅰ）由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠=（Ⅱ）由（Ⅰ）可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅++1sin cos 2C C +⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 203C π<<Q 5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。
2016年新课标全国卷试题汇编：解三角形--老师专用
2016年新课标全国卷试题汇编：解三角形1.（2016全国高考新课标Ⅰ卷· 文数4T ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2cos 3A =，则b= （A（B（C ）2 （D ）3答案：D2.（2016全国高考新课标Ⅲ卷· 文数9T ）在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则sinA(A)310(B) (C) (D)答案：D3.（2016全国高考新课标Ⅲ卷· 理数8T ）在中，，BC 边上的高等于,则（A （B （C ） （D ）答案:C 试题分析：设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C ． 4.（2016全国高考新课标Ⅱ卷· 理数13T ）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 答案：21135.（2016全国高考新课标Ⅰ卷· 理数17T ）(本题满分为12分)ABC △π4B 13BC cos A 101031010BC AD 3BC AD =AC =AB =222222cos 210AB AC BC A AB AC +-===-⋅△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）若7=c ，△ABC的面积为2，求△ABC 的周长． 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得，， 即．故．可得，所以． （II ）由已知，． 又，所以．由已知及余弦定理得，．故，从而． 所以的周长为．()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =()2cosCsin sinC A+B =2sinCcosC sinC =1cosC 2=C 3π=1sin C 22ab =C 3π=6ab =222cosC 7a b ab +-=2213a b +=()225a b +=C∆AB 5+。
2016届湖北省武汉六中国际部高考数学一轮复习ppt课件31三角函数定义
Approxi
Exact value: 270˚
270 3
1 8 0 180 2
3
Approximate:
4.71
2
该工程施工按成都市施工现场标准化 工地管 理，工 地以内 的所有 文明标 准化用 工材料 转运， 局部工 程或主 体完工 后的周 转材料 应将分 类分规 格堆放 整齐。
tan30 3
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Example 2
• (a) Determine the value of csc 25 to 4 decimal places
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Example 2: Solution
(b) Because there is no “sec” button on your calculator,
1
We now flip these to get the reciprocal ratios
sin 60 3 2
csc 60 2 3
cos 60 1 2
sec602
30˚
3
tan60 3 cot 60 1
3
sin 30 1 2
csc302
cos 30 3 2
sec 30 2 3
tan 30 1 3
65
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专题13—三角函数的图像与性质-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习
专题13—三角函数的图像与性质考试说明：1、能画 sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图像，了解三角函数的周期性；2、理解正弦函数、余弦函数在区间[]0,2π上的性质，理解正切函数在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调性； 3、了解函数sin()y A x ωφ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωφ=+的图像，了解,,A ωφ对函数图像变化的影响；4、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。
高频考点：1、三角函数的图像及其变换；2、三角函数的性质；3、三角函数的最值及值域；4、三角函数图像与性质的综合应用。
三角函数的图象与性质是高考的必考点，多以选择题、填空题的形式考查，也常常与三角恒等变换综合以解答题形式出现或以解答题形式考查三角函数图像与性质的综合应用。
一、典例分析1．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数()7sin()6f x x π=-单调递增的区间是( )A ．(0,)2πB ．(2π，)π C ．3(,)2ππ D ．3(2π，2)π 分析：本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解． 解答：解：令22262k x k πππππ-+-+，k Z ∈．则22233k xk ππππ-++，k Z ∈．当0k =时，[3x π∈-，2]3π， (0,)[23ππ⊆-，2]3π， 故选：A ．点评：本题考查正弦函数单调性，是简单题．2．（2021•乙卷）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是( )A ．3π和2B ．3π和2C ．6π和2D ．6π和2分析：化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可． 解答：解：()sin cos 2sin()3334x x x f x π=+=+，2613T ππ∴==． 当sin()134x π+=时，函数()f x 取得最大值2；∴函数()f x 的周期为6π，最大值2．故选：C ．点评：本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2020•新课标Ⅰ）设函数()cos()6f x x πω=+在[π-，]π的图象大致如图，则()f x 的最小正周期为( )A ．109πB ．76π C ．43π D ．32π 分析：由图象观察可得最小正周期小于139π，大于109π，排除A ，D ；再由4()09f π-=，求得ω，对照选项B ，C ，代入计算，即可得到结论． 解答：解：由图象可得最小正周期小于413()99πππ--=，大于4102()99πππ⨯-=，排除A ，D ；由图象可得44()cos()0996f πππω-=-+=， 即为4962k πππωπ-+=+，k Z ∈，(*) 若选B ，即有212776πωπ==，由4129762k ππππ-⨯+=+，可得k 不为整数，排除B ； 若选C ，即有23423πωπ==，由439262k ππππ-⨯+=+，可得1k =-，成立． 故选：C ．点评：本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题．4.（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以2π为最小正周期且在区间(4π，)2π单调递增的是( )A ．()|cos2|f x x =B ．()|sin 2|f x x =C ．()cos ||f x x =D ．()sin ||f x x =分析：根据正弦函数，余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解． 解答：解：()sin ||f x x =不是周期函数，可排除D 选项； ()cos ||f x x =的周期为2π，可排除C 选项； ()|sin 2|f x x =在4π处取得最大值，不可能在区间(4π，)2π单调递增，可排除B ． 故选：A ．点评：本题主要考查了正弦函数，余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，属于基础题．5．（2019•新课标Ⅲ）设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点； ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点； ③()f x 在(0,)10π单调递增；④ω的取值范围是12[5，29)10．其中所有正确结论的编号是( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【分析】依题意作出()sin()5f x x πω=+ 的图象，可判断①和②，根据()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点，可得5265πππωπ+<，解出ω，然后判断③是否正确即可得到答案．解答：解：依题意作出()sin()5f x x πω=+ 的图象如图，其中2m n π<，显然①正确，②错误；当[0x ∈，2]π时，[55x ππω+∈，2]5ππω+， ()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点，5265πππωπ∴+<，∴1229510ω<，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,)10x π∈时，[55x ππω+∈，(2)]10ωπ+， 若()f x 在(0,)10π单调递增，则(2)102ωππ+<，即3ω<， 1229510ω<，故③正确． 故选：D ．点评：本题考查了三角函数的图象与性质，关键是数形结合的应用，属中档题． 6．（2018•新课标Ⅰ）已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则( ) A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4分析：首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果．解答：解：函数22()2cos sin 2f x x x =-+ 22222cos sin 2sin 2cos x x x x =-++ 224cos sin x x =+ 23cos 1x =+cos21312x +=+ 3cos2522x =+， 故函数的最小正周期为π， 函数的最大值为35422+=，故选：B ．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用． 7．（2017•天津）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x R ∈，其中0ω>，||ϕπ<．若5()28f π=，11()08f π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则( ) A ．23ω=，12πϕ= B ．23ω=，1112πϕ=-C ．13ω=，1124πϕ=-D ．13ω=，724πϕ=分析：由题意求得4T ，再由周期公式求得ω，最后由若5()28f π=求得ϕ值． 解答：解：由()f x 的最小正周期大于2π，得42T π>， 又5()28f π=，11()08f π=，得11534884T πππ=-=， 3T π∴=，则23ππω=，即23ω=． 2()2sin()2sin()3f x x x ωϕϕ∴=+=+，由525()2sin()2838f ππϕ=⨯+=，得5sin()112πϕ+=． 52122k ππϕπ∴+=+，k Z ∈． 取0k =，得12πϕπ=<．∴23ω=，12πϕ=． 故选：A ．点评：本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的性质，是中档题．8．（2016•新课标Ⅰ）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在(18π，5)36π上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5分析：根据已知可得ω为正奇数，且12ω，结合4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合()f x 在(18π，5)36π上单调，可得ω的最大值． 解答：解：4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，∴2142n T π+=，即212()42n n N ππω+=∈ 即21()n n N ω=+∈即ω为正奇数，()f x 在(18π，5)36π上单调，则53618122T πππ-=， 即26T ππω=，解得：12ω， 当11ω=时，114k πϕπ-+=，k Z ∈， ||2πϕ，4πϕ∴=-，此时()f x 在(18π，5)36π不单调，不满足题意；当9ω=时，94k πϕπ-+=，k Z ∈， ||2πϕ，4πϕ∴=，此时()f x 在(18π，5)36π单调，满足题意；故ω的最大值为9， 故选：B ．点评：本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大． 9．（2015•新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．分析：根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可． 解答：解：当04xπ时，tan BP x =，2224AP AB BP tan x =+=+，此时2()4tan f x tan x x =++，04xπ，此时单调递增，当P 在CD 边上运动时，344xππ且2x π≠时，如图所示，1tan tan()tan tan PQ POB POQ x POQ OQ OQπ∠=-∠==-∠=-=-， 1tan OQ x∴=-， 11tan PD AO OQ x ∴=-=+，11tan PC BO OQ x=+=-， 2211(1)1(1)1tan tan PA PB x x∴+=-+++ 当2x π=时，22PA PB +=当P 在AD 边上运动时，34x ππ，24tan PA PB tan x x ++，由对称性可知函数()f x 关于2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹为非线型，排除A ，C ，D ， 故选：B ．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出04x π时的解析式是解决本题的关键．10．（2019•浙江）设函数()sin f x x =，x R ∈．（Ⅰ）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （Ⅱ）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．分析：（1）函数()f x θ+是偶函数，则()2k k Z πθπ=+∈，根据θ的范围可得结果；（2）化简函数得3)16y x π=-+，然后根据x 的范围求值域即可． 解答：解：（1）由()sin f x x =，得 ()sin()f x x θθ+=+， ()f x θ+为偶函数，∴()2k k Z πθπ=+∈， [0θ∈，2)π，∴2πθ=或32πθ=， （2）22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 22sin ()sin ()124x x ππ=+++ 1cos(2)1cos(2)6222x x ππ-+-+=+11(cos2cos sin 2sin sin 2)266x x x ππ=---33sin 2214x x =+ 3)16x π=-+，x R ∈，∴sin(2)[1,1]6x π-∈-，∴333sin(2)1[1,1]2622y x π=-+∈-+， ∴函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域为：33[1,1]22-+． 点评：本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属基础题．二、真题集训1．（2018•新课标Ⅲ）函数2tan ()1xf x tan x=+的最小正周期为( )A ．4π B ．2π C ．π D ．2π2．（2016•浙江）设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关3．（2015•新课标Ⅰ）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．1(4k π-，3)4k π+，k z ∈B ．1(24k π-，32)4k π+，k z ∈ C ．1(4k -，3)4k +，k z ∈ D ．1(24k -，32)4k +，k z ∈ 4．（2015•安徽）已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f （2）(2)(0)f f <-< B ．(0)f f <（2）(2)f <-C ．(2)(0)f f f -<<（2）D ．f （2）(0)(2)f f <<-5．（2014•全国）使函数()sin(2)f x x ϕ=+为偶函数的最小正数(ϕ= )A ．πB ．2π C ．4π D ．8π 6．（2014•新课标Ⅱ）设函数()3sinxf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是( )A ．(-∞，6)(6-⋃，)+∞B ．(-∞，4)(4-⋃，)+∞C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞7．（2013•大纲版）已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中不正确的是( ) A ．()y f x =的图象关于(,0)π中心对称B ．()y f x =的图象关于2x π=对称C ．()f x 的最大值为32D ．()f x 既是奇函数，又是周期函数8．（2012•全国）设0ω>，函数()sin cos f x x x ωω=在区间[6π-，]3π单调增加，则ω的最大值为( ) A ．32B ．54C ．43D ．349．（2011•辽宁）已知函数()tan()(0,||)2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图象如图，则()(24f π= )A ．23B 3C 3D ．2310．（2020•上海）已知函数()sin f x x ω=，0ω>． （1）()f x 的周期是4π，求ω，并求1()2f x =的解集； （2）已知1ω=，2()()3()()2g x f x x f x π=--，[0x ∈，]4π，求()g x 的值域．11．（2015•山东）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()02Af =，1a =，求ABC∆面积的最大值．真题集训答案1．解：函数222tan sin cos 1()sin 21cos sin 2x x x f x xtan x x x ===++的最小正周期为22ππ=， 故选：C ．2．解：设函数2()sin sin f x x b x c =++，()f x ∴图象的纵坐标增加了c ，横坐标不变，故周期与c 无关，当0b =时，211()sin sin cos222f x x b x c x c =++=-++的最小正周期为22T ππ==，当0b ≠时，11()cos2sin 22f x x b x c =-+++，cos 2y x =的最小正周期为π，sin y b x =的最小正周期为2π，()f x ∴的最小正周期为2π，故()f x 的最小正周期与b 有关， 故选：B ．3．解：由函数()cos()f x x ωφ=+的部分图象，可得函数的周期为2512()244πω=-=，ωπ∴=，()cos()f x x πφ=+．再根据函数的图象以及五点法作图，可得42ππφ+=，k z ∈，即4πφ=，()cos()4f x x ππ=+． 由224k x k πππππ++，求得132244k x k -+，故()f x 的单调递减区间为1(24k -，32)4k +，k z ∈，故选：D ．4．解：依题意得，函数()f x 的周期为π， 0ω>，22πωπ∴==．又当23x π=时，函数()f x 取得最小值，232232k ππϕπ∴⨯+=+，k Z ∈，可解得：26k πϕπ=+，k Z ∈， ()sin(22)sin(2)66f x A x k A x πππ∴=++=+．(2)sin(4)sin(42)066f A A πππ∴-=-+=-+>． f （2）sin(4)06A π=+<， 5(0)sinsin066f A A ππ==>， 又35422662πππππ>-+>>，而()sin f x A x =在区间(2π，3)2π是单调递减的，f ∴（2）(2)(0)f f <-<．故选：A ．5．解：函数()sin(2)f x x ϕ=+为偶函数， 2k πϕπ∴=+，k Z ∈，∴使函数()sin(2)f x x ϕ=+为偶函数的最小正数2πϕ=．故选：B ．6．解：由题意可得，0()f x =，即2x k mπππ=+，k z ∈，即0212k x m +=． 再由22200[()]x f x m +<，即2203x m +<，即2203x m <-， 即22221[]32k m m +⋅<-，即2212123443m k k >--，故24m >， 求得2m >，或2m <-， 故选：C ．7．解：对于A ，因为()cos()sin(22)cos sin 2f x x x x x πππ+=++=-， ()cos()sin(22)cos sin 2f x x x x x πππ-=--=，所以()()0f x f x ππ++-=，可得()y f x =的图象关于(,0)π中心对称，故A 正确；对于B ，因为()cos()sin(2)sin (sin 2)sin sin 222f x x x x x x x πππ+=++=--=，()cos()sin(2)sin sin 222f x x x x x πππ-=--=，所以()()22f x f x ππ+=-，可得()y f x =的图象关于直线2x π=对称，故B 正确；对于C ，化简得22()cos sin 22cos sin 2sin (1sin )f x x x x x x x ===-，令sin t x =，2()()2(1)f x g t t t ==-，11t -，2()2(1)g t t t =-的导数2()262(1)(1)g t t '=-=∴当(1,t ∈-时或t ∈1)时()0g t '<，函数()g t 为减函数；当(t ∈时()0g t '>，函数()g t 为增函数． 因此函数()g t 的最大值为1t =-时或t =时的函数值，结合(1)0g g -=<=，可得()g t． 由此可得()f x，故C 不正确；对于D ，因为()cos()sin(2)cos sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 是奇函数． 因为(2)cos(2)sin(42)cos sin 2()f x x x x x f x πππ+=++==，所以2π为函数的一个周期，得()f x 为周期函数．可得()f x 既是奇函数，又是周期函数，得D 正确．综上所述，只有C 项不正确． 故选：C ．8．解：0ω>，函数()sin cos f x x x ωω=在区间[6π-，]3π单调增加， 0ω>，函数1()sin cos sin 22f x x x x ωωω==，()f x ∴的增区间满足：22222k xk πππωπ-++，k Z ∈，解得44k kx ππππωωωω-++，k Z ∈， 当0k =时，()f x 的增区间为[4πω-，]4πω，函数()sin cos f x x x ωω=在区间[6π-，]3π单调增加，∴4643ππωππω⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得3324ω-， ω∴的最大值为34． 故选：D ．9．（解：由题意可知32()882T πππ=⨯-=，所以22πωπ==，函数的解析式为：()tan(2)f x A x ϕ=+， 因为函数过3(8π，0)，可得：30tan()4A πϕ=+， 又||2πϕ<，所以解得：4πϕ=，又图象经过(0,1)，可得：1tan 4A π=，所以：1A =，所以：()tan(2)4f x x π=+，则()tan()tan 241243f ππππ=+== 故选：B ．10．解：（1）由于()f x 的周期是4π，所以2142πωπ==，所以1()sin 2f x x =． 令11sin 22x =，故1226x k ππ=+或526k ππ+，整理得43x k ππ=+或543x k ππ=+．故解集为{|43x x k ππ=+或543x k ππ=+，}k Z ∈． （2）由于1ω=， 所以()sin f x x =． 所以21cos 2111()sin )sin()22cos 2sin(2)222226x g x x x x x x x x ππ-=+--==-+=-+．由于[0x ∈，]4π，所以22663x πππ+． 1sin(2)126x π+， 故11sin(2)62x π--+-，故1()02g x -．所以函数()g x 的值域为1[,0]2-．11．解：（Ⅰ）由题意可知，1cos(2)12()sin 222x f x x π++=-11sin 2sin 222xx -=-1sin 22x =-由22222k x k ππππ-+，k Z ∈可解得：44k x k ππππ-+，k Z ∈；由322222k x k ππππ++，k Z ∈可解得：344k x k ππππ++，k Z ∈； 所以()f x 的单调递增区间是[4k ππ-，]4k ππ+，()k Z ∈；单调递减区间是：[4k ππ+，3]4k ππ+，()k Z ∈； （Ⅱ）由1()sin 022A f A =-=，可得1sin 2A =，由题意知A 为锐角，所以cos A =， 由余弦定理2222cosa b c bc A =+-，可得：2212b c bc =+，即23bc +，且当b c =时等号成立． 因此123sin 24S bcA +=，所以ABC ∆．。
全国高考数学试题分类汇编三角函数
历年全国高考数学试题分类汇编——三角函数1.（200全国卷Ⅰ理第7题，文第7题）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（A ）2（B ）32（C ）4（D ）342.（2005全国卷Ⅰ理第11题，文第11题）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 （A ）①③（B ）②④ （C ）①④ （D ）②③3.（2005全国卷Ⅱ理第1题，文第1题）函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是 (A)4π (B)2π（C ）π （D ）2π4.（2005全国卷Ⅱ理第4题，文第4题）已知函数y =tan x ω 在（-2π，2π）内是减函数，则 （A ）0 <ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -15.（2005全国卷Ⅱ理第7题）锐角三角形的内角A 、B 满足tan A -A2sin 1= tan B,则有（A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 06.（2005全国卷Ⅱ理第14题）设a 为第四象限的角，若513sin 3sin =a a ，则tan 2a =______________.7.（2005全国卷Ⅲ理第1题，文第1题）已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 （A ）第一或第二象限 （B ）第二或第三象限 （C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 (A) 0x π≤≤ (B)744x ππ≤≤(C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤9.（2005全国卷Ⅲ理第8题，文第8题）22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αααα(A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)1210．（2005辽宁卷第8题）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是 （ ） A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）11．（2005辽宁卷第16题）ω是正实数，设)](cos[)(|{θωθω+==x x f S 是奇函数}，若对每个实数a ，)1,(+⋂a a S ω的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，则ω的取值范围是 .12．（2005江苏卷第5题）ABC BC A ABC ∆==∆则中,3,3,π的周长为（ ）A ．3)3sin(34++πB B ．3)6sin(34++πBC ．3)3sin(6++πBD ．3)6sin(6++πB13、（2005江苏卷第10题）若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =（ ） A ．97- B ．31- C ．31 D ．97对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 （A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D ）cos(α+β)<cosα＋cosβ15.（2005北京卷理第8题）函数f (x（A ）在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减 （B ）在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减 （C ）在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减 （D ）在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减16.（2005北京卷理第10题）已知tan 2α=2，则tanα的值为－34，tan ()4πα+的值为 ．17.（2005北京卷文第12题）在△ABC 中，AC =3，∠A =45°，∠C =75°，则BC 的长为 ．18.（2005天津卷理第8题） 要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ ）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度19（2005天津卷文第8题）函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）（A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y （C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)48sin(4π+π=x y20.（2005上海卷文第5题）函数x x x y cos sin 2cos +=的最小正周期T=__________。
2023届全国高考数学真题分类专项(三角函数)汇编解析(附答案)
2023届全国高考数学真题分类专项（三角函数）汇编解析第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1 ”是“sin cos 0 ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【详细分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解. 【过程解析】当2，0 时，有22sin sin 1 ，但sin cos 0 ， 即22sin sin 1 推不出sin cos 0 ；当sin cos 0 时， 2222sin sin cos sin 1 ，即sin cos 0 能推出22sin sin 1 .综上可知，22sin sin 1 是sin cos 0 成立的必要不充分条件. 故选B.2.（2023北京卷13）已知命题:p 若, 为第一象限角，且 ，则tan tan .能说明p 为假命题的一组, 的值为 ； .【详细分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义详细分析求解.【过程解析】因为 tan f x x 在π0,2上单调递增，若00π02 ，则00tan tan ，取1020122π,2π,,k k k k Z ，则 100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k ，即tan tan ， 令12k k ，则 102012002π2π2πk k k k ， 因为 1200π2π2π,02k k ，则 12003π2π02k k ， 即12k k ，则 . 不妨取1200ππ1,0,,43k k ，即9ππ,43满足题意. 故答案为：9ππ;43.第二节 三角恒等变换1.（2023新高考I 卷6）过点 0,2 与圆22410x y x 相切的两条直线的夹角为 ，则sin （ ）A.1B.4C.4D.4【过程解析】 222241025x y x x y ，所以圆心为 2,0B ， 记 0,2A ，设切点为,M N ，如图所示.因为AB ，BM，故AMcos cos2AM MAB AB，sin 2，sin 2sincos2224.故选B.2.（2023新高考I 卷8）已知 1sin 3，1cos sin 6，则 cos 22 （ ） A.79B.19C.19D.79【过程解析】 1sin sin cos cos sin 3，1cos sin 6， 所以1sin cos 2，所以 112sin sin cos cos sin 263， 2221cos 22cos 212sin 1239.故选B.3.（2023新高考II 卷7）已知 为锐角，1cos 4，则sin 2 （ ）A.38 B.18 C.34 D.14【过程解析】21cos 12sin 24，所以2231sin 284，则1sin24或1sin 24.因为 为锐角，所以sin02，sin2sin 2故选D. 第三节 三角函数的图像与性质1.（2023新高考II 卷16）已知函数 sin f x x ，如图所示，A ，B 是直线12y 与曲线 y f x 的两个交点，若π=6AB ，则 πf _______.【过程解析】sin y x 的图象与直线12y两个相邻交点的最近距离为2π3，占周期2π的13，所以12ππ36，解得4 ，所以 sin 4f x x . 再将2π,03代入 sin 4f x x 得 的一个值为2π3 ，即 2πsin 43f x x.所以 2ππsin 4π32f. 2.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知 f x 为函数cos 26y x向左平移6 个单位所得函数，则 y f x 与1122y x交点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【过程解析】因为函数πcos 26y x向左平移π6个单位可得 sin 2.f x x而1122y x 过10,2 与 1,0两点，分别作出 f x 与1122y x 的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x，即3π3π7π,,444x x x 处 f x 与1122y x 的大小关系，结合图像可知有3个交点. 故选C.3.（2023全国乙卷理科6，文科10）已知函数 sin f x x 在区间2,63单调递增，直线6x和23x 为函数 y f x 的图像的两条对称轴，则512f（ ）A. B.12 C.12 【过程解析】2222362T T，所以 sin 2.f x x又222,32k k Z ，则52,6k k Z .所以5555sin 22sin 121263f k故选D.【评注】本题考查了三角函数图像与性质，当然此题也可以通过画图快速来做，读者可以自行体会.4.（2023全国乙卷理科10）已知等差数列 n a 的公差为23，集合*cos n S a n N ，若 ,S a b ，则ab （ ）A.1B.12C.0D.12【过程解析】解法一（利用三角函数图像与性质） 因为公差为23，所以只考虑123,,a a a ，即一个周期内的情形即可. 依题意， cos ,n S a a b ，即S 中只有2个元素， 则123cos ,cos ,cos a a a 中必有且仅有2个相等.如图所示，设横坐标为123,,a a a 的点对应图像中123,,A A A 点.①当12cos cos a a 时，且2123a a， 所以图像上点的位置必为如图1所示，12,A A 关于x 对称，且1223A A ， 则1233a，2433a，32a . 所以11122ab.②当13cos cos a a 时，3143a a， 所以图像上点的位置必为如图2所示，13,A A 关于x 对称，且1343A A ， 则133a，3533a，2a .图1图2所以 11122ab. 综上所述，12ab .故选B.解法二（代数法） 11113n a a n d a n， 21cos cos 3a a ，31cos cos 3a a， 由于*cos ,n S a n a b N ，故123cos ,cos ,cos a a a 中必有2个相等.①若121111cos cos cos cos 322a a a a a，即113cos 22a a ， 解得11cos 2a 或11cos 2a .若11cos 2a ，则1sin a ，3111113cos cos cos 132244a a a a，若11cos 2a，则1sin a ，3111113cos cos cos 13244a a a a， 故131cos cos 2a a ab .②若131111cos cos cos cos sin 322a a a a a，得113cos 22a a ， 解得11cos 2a 或11cos 2a .当11cos 2a 时，1sin a ，2111113cos cos cos 132244a a a a，当11cos 2a 时，1sin a ，213cos 144a ， 故121cos cos 2a a ab .③若23cos cos a a ，与①类似有121cos cos 2a a ab .综上，故选B.5.（2023北京卷17）已知函数 sin cos cos sin ,0,2f x x x .（1）若 0f ，求 的值； （2）若 f x 在区间2,33上单调递增，且213f，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 f x 存在，求, 的值.条件①：3f；条件②：13f；条件③： f x 在,23上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【详细分析】（1）把0x 代入()f x 的过程解析式求出sin ，再由π||2即可求出 的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的过程解析式化简，根据() f x 在π2π,33上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出 的值；把 的值代入()f x 的过程解析式，由π13f和π||2 即可求出 的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x 处取得最小值1 ，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【过程解析】（1）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x所以 (0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ， 因为π||2，所以π3. （2）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ， 所以 π()sin ,0,||2f x x，所以() f x 的最大值为1，最小值为1 .若选条件①：因为 ()sin f x x 最大值为1，最小值为1，所以π3f无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33上单调递增，且2π13f，π13f， 所以2πππ233T ,所以2πT ,2π1T,所以 ()sin f x x ， 又因为π13f ，所以πsin 13，所以ππ2π,32k k Z ，所以π2π,6k kZ ，因为||2 ，所以π6 .所以1 ，π6； 若选条件③：因为() f x 在π2π,33 上单调递增，在ππ,23上单调递减，所以() f x 在π3x处取得最小值1 ，即π13f. 以下与条件②相同．的故选B.第四节 解三角形1.（2023全国甲卷理科16）在ABC △中，2AB ，60BAC，BC D 为BC 上一点，AD 平分BAC ，则AD .【过程解析】如图所示，记,,,AB c AC b BC a由余弦定理可得22222cos606b b，解得1b （负值舍去）.由ABC ABD ACD S S S △△△可得，1112sin602sin30sin30222b AD AD b ，解得1212AD b . 2.（2023全国甲卷文科17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A.（1）求bc . （2）若cos cos 1a Bb A b，求ABC △面积 .3.（2023全国乙卷理科18）在ABC △中，120BAC ，2AB ，1AC. （1）求sin ABC；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ，求ADC △的面积. 【过程解析】（1）利用余弦定理可得2222cos 14212cos120527BCAC AB AC AB BAC.故BC .又由正弦定理可知sin sin BC ACBAC ABC.故sin sin 14AC BAC ABC BC. （2）由（1）可知tan 5ABC， 在Rt BAD △中，tan 2ADAB ABC故11222ABD S AB AD△， 又11sin 21sin120222ABC S AB AC BAC△， 所以ADC ABC ABD S S S△△△. C5.（2023新高考I 卷17）已知在ABC △中，3A B C ， 2sin sin A C B . （1）求sin A ；（2）设=5AB ，求AB 边上的高.【过程解析】（1）解法一 因为3A B C ，所以4A B C C ，所以4C ， 2sin()sin()A C A C2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A Csin cos 3cos sin A C A Ctan 3tan 3sin 10A C A . 解法二 因为3ABC ，所以4A B C C ，所以4C ， 所以4A B ，所以4B A ， 故2sin()sin()4A C A ，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin 4444A A A A ，得sin 3cos A A .又22sin cos 1A A ， 0,A ，得sin 10A. （2） 若||5AB . 如图所示，设AC 边上的高为BG ，AB 边上的高为CH ， ||CH h ，由（1）可得cos 10A ，||||cos ||102AG AB A AB ，||||2BG CG ，所以||AC ，||||2||6||5AC BGCHAB.6.（2023新高考II卷17）记ABC△的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，已知ABC△的面，D为BC的中点，且1AD .（1）若π3ADC，求tan B；（2）若228b c，求,b c.【过程解析】（1）依题意，122ADC ABCS S△△，1sin242ADCS AD DC ADC DC△，解得2DC ，2BD .如图所示，过点A作AE BC于点E.因为60ADC，所以12DE,2AE ,则15222BE，所以tan5AEBBE.（2）设ABc，ACb，由极化恒等式得2214AB AC AD BC=，即2114b c=b c，化简得22244b c=b c，GHCBA即cos cos 2BAC bc BAC b c =b c ①，又1sin 2ABC S bc BAC △，即sin bc BAC . ②①得tan BAC 0πBAC 得2π3BAC ， 代入①得4bc =，与228b c 联立可得2b c .7.（2023北京卷7）在ABC △中， sin sin sin sin a c A C b A B ，则C （ ） A.6 B.3 C.3 D.6【详细分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【过程解析】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B ，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b ，即222a c ab b ，则222a b c ab ，故2221cos 222a b c ab C ab ab ， 又0πC ，所以π3C . 故选B.。
2016年高考真题解答题专项训练：三角函数
2016年高考真题解答题专项训练：三角函数1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，（Ⅰ）证明：a+b=2c ； （Ⅱ）求cosC 的最小值.试题解析：化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+， 即()2sin sin sin A B A B +=+. 因为A B C ++=π,所以()()sin sin sin A B C C +=π-=.2 则a=ksinA ，b=ksinB ，c=ksinC ．sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)．在△ABC 中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sinC ， 所以sinAsinB=sinC ． （Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2，根据余弦定理，有所以由（Ⅰ），sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB ，， 故．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b，c.已知b+c=2acosB. （Ⅰ）证明：A=2B ；（Ⅱ）若△ABC A 的大小.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是()sin sin ΒA Β=-．又A ，()0,πB ∈，故0πA B <-<，所以()πB A B =--或B A B =-， 因此πA =（舍去）或2A B =， 所以，2AB =．4（1）求AB 的长； （2. 试题解析：解（1），0B <<π，（25（Ⅰ）求f （x ）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f （x ）在区间上的单调性. 试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，研究函数f （x ）在区间上单调性. 试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为所以,()f x 的最小正周期函数2sin y z =的单调递增区间是所以,,()f x 在区间,调递减.6．在△ABC （Ⅰ）求B ∠的大小；.试题解析：取得最大值1. ．7．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （Ⅰ）求C ；，求ABC △的周长． 试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=．故2sin cos sin C C C =．，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=． 故2213a b +=，从而()225a b +=．所以ΑΒC △的周长为。
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湖北省各地2016届高三最新数学文试题分类汇编 三角函数 一、选择题 1、（黄冈市2016高三3月质量检测）已知f(x) =Asin(x)(A>0，>0，0<<)，函数
f(x)的图象如图所示，则f（2016）的值为
A. 2
B. -2 C．3 D．-3 2、（荆、荆、襄、宜四地七校联盟2016届高三2月联考）已知函数)2sin()(xxf，
)2cos()(xxg，则下列结论中正确的是（ ） A．函数)()(xgxfy的最小正周期为2 B．函数)()(xgxfy的最大值为2 C．将函数)(xfy的图象向左平移2单位后得)(xgy的图象 D．将函数)(xfy的图象向右平移2单位后得)(xgy的图象 3、（荆门市2016届高三元月调考）在△ABC中，若sin C(cosA+cosB) =sinA+sinB，则△ABC的形状是 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
4、（荆州市2016届高三第一次质量检测）已知33cos()25，且||2，则tan＝
A、－43 B、43 C、－34 D、34 5、（荆州市2016届高三第一次质量检测）△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且
,则b+c的值为
A.12 B.8 C.8 D.8 6、（武汉市2016届高中毕业班二月调研）将函数y=x2sin的图像向下平移1个单位，再向右平移4个单位，则所得图像的函数解析式为
A.xy2cos B.xy2sin C.xy2cos2 D.1)42sin(xy 7、（武汉市武昌区2016届高三元月调研）已知4cos()5，且α为第三象限角，则tan2的值
等于 (A) 34 (B)－34 (C)247 （D)－247
8、（襄阳市普通高中2016届高三统一调研）同时具有性质“①最小正周期是4；②3x是图像的一条对称轴；③在区间25()36，上是减函数”的一个函数是 A．sin(2)6yx B．cos(2)6yx C．cos()23xy D．sin()23xy
9、（孝感市六校教学联盟2016届高三上学期期末联考）已知232cos，且2，则tan＝（ ） A．33- B．33 C．3- D．3 10、（宜昌市2016届高三1月调研）15sin45sin105sin45sin错误！未找到引用源。=（ ）
A. 0 B.21 C. 错误！未找到引用源。 D.1
11、（湖北省优质高中2016届高三下学期联考） 若函数cos(2)6fxx的图像向右平移(0)
个单位后所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A． 12 B． 6 C． 3 D． 23 12、（湖北省八校2016届高三第一次（12月）联考）要得到函数)32cos()(xxf的图象，只需将函数)32sin()(xxg的图象 A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向左平移4个单位长度 D．向右平移4个单位长度 13、（湖北省部分重点中学2016届高三第一次联考）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知60,43,42Aab，则B=（ ） A. 45或135 B. 135 C. 45 D. 以上都不对 14、（荆州市2016届高三第一次质量检测）已知函数()sin()(0)fxx，若()fx的图象
现左平移3个单位所得的图象与()fx的图象向右平移6个单位所得的图象重合，则的最小值为 A、2 B、3 C、4 D、5 15、（宜昌市2016届高三1月调研）函数2()2sincos2cos1fxxxx的单调递增区间为
A、3(2,2)()88kkkZ B、37(2,2)()88kkkZ
C、3(,)()88kkkZ D、37(,)()88kkkZ
参考答案： 1、A 2、D 3、B 4、C 5、D 6、C 7、C 8、D 9、D 10、C 11、C 12、C 13、C 14、C 15、C
二、解答题 1、（黄冈市2016高三3月质量检测）已知函数f(x)=2cos(2x +3)一2cos2x +1(>0)的最小正周期为亿 (I)求f(x)的对称中心； (Ⅱ)在△ABC中，内角A.B、C的对边长分别为a、b、c，若△ABC为锐角三角形且
f(A)=0，求bc的取值范围．
2、（荆、荆、襄、宜四地七校联盟2016届高三2月联考）在ABC中，cba,,分别是角CBA,,的
对边，且caCbB2coscos． （1）求角B的大小； （2）若13b，4ca，求ABC的面积
3、（荆门市2016届高三元月调考）已知向量m=(3sin x，cos x)，n=（- cos x，cos x），f(x)=m·n -32． (I)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值； (Ⅱ)若方程f(x)=a在区间[0，2]上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围
4、（荆州市2016届高三第一次质量检测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为,,abc，且sinsinsincoscoscosCABCAB
，
sin()cos()0BAAB。
（1）求sinB的值； （2）若△ABC的面积为3＋3，求,ac的值。
5、（湖北省七市（州）2016届高三3月联合调研） 已知函数f(x)= 2sinx+6cosx(x∈R）． (I)若a∈[0，]且f(a)=2，求a； (II)先将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再 将得到的图象上所有点向右平行移动（>0）个单位长度，得鬻的图象关于直 线x=34对称，求的最小值．
6、（荆州市2016届高三第一次质量检测）已知函数f(x)=. （1）当时，求函数f(x)的取值范围； （2）将f(x)的图像向左平移 个单位得到函数g(x)的图像，求g(x)的单调递增区间. 7、（襄阳市普通高中2016届高三统一调研）已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且b2、c2是关于x的一元二次方程22()0xabcxm的两根． (1)求角A的值； (2)若3a，设角B，△ABC周长为y，求()yf的最大值．
8、（孝感市六校教学联盟2016届高三上学期期末联考）在锐角ABC中，三内角A，B，C的对边分别为cba,,，若1,cos,3ABA 5,3abc. （Ⅰ）求,ab的值； （Ⅱ）求cos()AB的值．
9、（宜昌市2016届高三1月调研）ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且3sincoscaCcA. （1）求A；
（2）若1a，ABC的面积为43，求cb,. 10、（湖北省优质高中2016届高三下学期联考）已知(3sin,2)mx，2(2cos,cos)nxx，函数． （1）求函数()fx的值域；
（2）在△ABC中，角,,ABC和边,,abc满足2,2,sin2sinafABC,求边c．
11、（湖北省八校2016届高三第一次（12月）联考）在平面直角坐标系xOy中，60CAB,4,27ACBC.
(Ⅰ)求△ABC的面积； (Ⅱ)若函数,0,0)(sin()(MxMxf||)2的图像经过
A、C、Ｂ三点，且A、B为()fx的图像与x轴相邻的两个交点，求()fx的解析式 ．
12、（湖北省部分重点中学2016届高三第一次联考）已知函数2()sin()sin()2cos(,)662xfxxxaaRa为常数
（1）求函数()fx的最小正周期；
（2）若()fx在,22上的最大值与最小值之和为3，求a的值。
参考答案： 1、解: (1)由条件得12cos2)32cos(2)(xxxf
1)62sin(212cos2sin3xxx…………3分 由)(62Zkkx解得212kx 故所求对称中心为)1,212(k)(Zk…………6分 （2）由01)62sin(2)(AAf解得3A，32CB
所以21tan23sin)32sin(sinsinCCCCBcb 又ABC为锐角三角形，故26C 所以221tan2321Ccb，即cb的取值范围是)2,21(………………12分 2、（1）∵caCbB2coscos，由正弦定理得:CACBBsinsin2cossincos，2分 ∴0sincoscossincossin2BCBCBA,
∵CBA, ∴0sincossin2ABA， 4分 ∵,0sinA，∴21cosB， 5分
∵B0，∴32B． 6分 （2）将13b，4ca,32B代入Baccabcos2222， 即Bacaccabcos22)(22， 8分 ∴)211(21613ac，可得3ac， 10分 于是， 343sin21BacSABC 12分 3、