高中数学第四讲数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式教材梳理素材

4.2 用数学归纳法证明不等式庖丁巧解牛知识·巧学一、数学归纳法证明不等式的基本步骤(1）证明当n取第一个值n0(如n0=1或n0=2等等）时，命题正确；（2）证明如下事实:假设当n=k（k∈N且k≥n0）时，命题正确，由此推出当n=k+1时命题也正确。

完成了以上两步后，就可断定命题对于从n0开始的所有自然数都正确。

用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的。

但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设,做好命题从n=k到n=k+1的转化,这个转化要求在变化过程中结构不变，先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异，以决定n=k时不等式做何种变形。

一般地，只能变出n=k+1等式的一边,然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由n=k 成立推出n=k+1不等式成立的证明。

辨析比较数学归纳法与其他证明不等式的方法数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与自然数有关的不等式.而其他证明不等式的方法运用比较广泛.但具体运用时，各自都有自己的具体要求，比如数学归纳法就有严格的两个步骤，反证法就有严格的格式(必须先假设结论的否命题，再推出矛盾，最后否定假设，肯定原命题），分析法也有自己的格式(综合法的逆过程)，综合法是广泛运用已知的定理、性质、推论等来证明。

但是与自然数有关的不等式其他方法不如数学归纳法来得简洁,在数学归纳法的第二步中，也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为辅助手段.二、数学归纳法证明不等式的重点和难点1。

重点：巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程,以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路.2。

难点：在证明中，对于n=k+1时的证明是整个数学归纳法证明过程中的难点。

要注意分离出该命题中，可以使用归纳假设的部分（没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明)，即假设f(k）>g（k)成立，证明f(k+1)>g(k+1）成立。

对这个条件不等式的证明，除了灵活运用作差比较法、作商比较法、综合法、分析法等常用的不等式证明方法外；放缩法作为证明不等式的特有技巧，在用数学归纳法证明不等式时，更被经常使用.误区警示数学归纳法证明不等式,不能简单套用两个基本步骤，一定要用到归纳假设，对于n=k+1时的证明注意以下几点：（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地进行放缩、分析；(3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换。

三、数学归纳法证明不等式的运用范围数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的一种有效方法，在我们高中数学中,经常会以数列和函数为知识载体，构造一些与自然数有关的命题，数学归纳法是证明它们的有效手段，但不是唯一手段。

联想发散在上一节中，我们还学习了归纳猜想证明的方法,在数学归纳法证明不等式的运用中,可不可以也先根据题目的条件归纳出一般规律，大胆猜想出一个不等式的命题，然后运用数学归纳法来证明呢? 典题·热题知识点一： 命题的结构特征 例1 求证:6531312111>+++++++n n n n ，n≥2,n ∈N . 思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，k31不是第k 项，应是第2k 项,数列各项分母是连续的自然数,最后一项是以3k 收尾。

根据此分母的特点，在3k 后面还有3k+1、3k+2,最后才为3k+3，即3（k+1）。

不等式左端增加了131+k ,231+k ,331+k 共三项，而不是只增加)1(31+k 一项。

证明:（Ⅰ）当n=2时，右边=31+41+51+61>65，不等式成立.（Ⅱ）假设当n=k(k≥2，k ∈N ）时命题成立，即65312111>+++++k k k . 则当n=k+1时，)1(31231131312)1(11)1(1+++++++++++++k k k k k k=)11331231131(312111+-+++++++++++k k k k k k k 〉)11331231131(65+-++++++k k k k〉65)113313(65)11331331331(65=+-+⨯+=+-++++++k k k k k k 。

所以当n=k+1时，不等式也成立。

由（Ⅰ)(Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2，n ∈N *均成立。

误区警示错误的思维定式认为从n=k 到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，所以一定要认清不等式的结构特征. 例2 已知,S n =1+21+31+…+n1,n ∈N ，用数学归纳法证明：nS 2>1+2n ，n≥2,n ∈N .思路分析:本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，不等式左端增加了2k 项,而不是只增加了121+k 这一项，否则证题思路必然受阻。

证明:（Ⅰ）当n=2时,22S =1+21+31+41=1+>12131+22， ∴命题成立。

(Ⅱ）假设当n=k （k≥2,k ∈N ）时命题成立，即k S 2=1+21+31+…+2121k k +>. 则当n=k+1时，12+k S =1+21+31+…+12122112121+++++++k k k k >1+111121212121212211212++++++++>++++++k k k k k k k k 2112121212211++=++=⨯++=+k k k k k 所以当n=k+1时，不等式也成立。

由（Ⅰ）(Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2，n ∈N 均成立。

方法归纳本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由n=k 到n=k+1时不等式左端项数的增减情况. 知识点二： 比较法例3 求证：1+21+31+…+n 1≥12+n n .思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，关键的是证明1)1()1(2112+++>++k k k k ，为证此，我们采用了不等式证明方法中的比较法. 证明：（Ⅰ）当n=1时,左式=1,右式=1112+⨯，左式=右式; 当n=2时，左式=1+21=23,右式=1222+⨯=34;23>34,左式>右式. ∴当n=1或n=2时，不等式成立.(Ⅱ）假设当n=k （k≥1）时，不等式成立，即 1+21+31+…+121+≥k kk. 则当n=k+1时， 左式=1+21+31+…+1121112111++=+++≥++k k k k k k k。

∵)2)(1(1)1()1(2112++=+++-++k k kk k k k 〉0,∴1)1()1(2112+++>++k k k k =右式。

由不等式的传递性，可得左式〉右式， ∴当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）可得，对一切n ∈N ,不等式都成立. 误区警示在用数学归纳法证明不等式的过程中,我们经常因思维定式认为只能做代数变形,比较法是一种综合证明法，不能在数学归纳法中使用,这是一种错误的认识。

证明不等式的基本方法在数学归纳法的第二步中都可以使用，究竟选择哪种方法要因具体题目而定.知识点三： 放缩法 例4 证明：n n21312111<++++，n≥2,n ∈N 。

思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中,在证明12112+<++k k k 时,使用了均值定理进行放缩.证明：(Ⅰ)当n=2时，左边=223212211=+<+，右边=22. ∴左边<右边，∴n=2时，原不等式成立.（Ⅱ)假设当n=k 时，不等式成立，即kk21312111<++++。

当n=k+1时，112111312111++<++++++k k k k1211)]1([1112112+=++++<+++•=+=<k k k k k k k k k ∴n=k+1时，原不等式成立.由(Ⅰ)（Ⅱ)知对n≥2的任何自然数，原不等式成立。

知识点四: 转化等价命题例5 数列｛a n ｝的通项公式为a n =3n+2，将数列{a n }中的第2,4,8，…,2n 项依次取出,按原来的顺序组成一个新数列{b n ｝，记其前n 项和为S n ,T n =n(9+a n )，当n≥4时，证明S n 〉T n .思路分析：要证S n >T n ，只需证3×2n+1+2n —6>3n 2+11n ，即证2n+1>n 2+3n+2.这就证明了原不等式的等价不等式，从而将命题简化. 证明：∵a n =3n+2， ∴na 2=3×2n +2,∴S n=a2+a4+a8+…+a n a=3(2+4+8+…+2n)+2n=3×2n+1+2n—6。

2而T n=n(9+a n）=3n2+11n.要证S n>T n，只需证3×2n+1+2n—6>3n2+11n,即证2n+1>n2+3n+2.用数学归纳法来证明：(Ⅰ)当n=4时，S4=98,T4=92,S4〉T4成立。

(Ⅱ）假设当n=k(k≥4）时，结论成立，就是2k+1〉k2+3k+2，那么2k+2—［（k+1)2+3(k+1）+2］>2(k2+3k+2）—(k2+5k+6)=k2+k-2=(k+2)(k—1)。

∵k≥4，∴(k+2)（k-1)〉0.∴2k+2>（k+1）2+3(k+1）+2.这就是说，当n=k+1时，S n〉T n也成立。

由(Ⅰ)（Ⅱ)知，对n≥4，S n〉T n都成立。

方法归纳本题用数学归纳法证明2n+1〉n2+3n+2,第二步采用的是作差比较法：作差--利用归纳假设-—变形（因式分解）-—定号.这比通常的“作差—-变形-—定号"多了利用归纳假设这一步，这是因为归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的.巧解提示也可不用数学归纳法来证明2n+1〉n2+3n+2(n≥4),而是利用二项展开式和放缩法直接证得.当n≥4时，2n+1=2·2n =2(1+1）n =2(11210n n n n n nC C C C C+++++- ) ≥2（11210n n n n n nC C C C C++++-）=n 2+3n+4 〉n 2+3n+2.知识点五： 单调性例6 已知数列{a n ｝中,所有项都是正数，且a n+1≤a n —a 2n ，求证：a n <n1。

思路分析：(Ⅰ)当n=1时,由a 2≤a 1—a 12=a 1(1—a 1),且a 1〉0,a 2>0,可得a 1〈1,命题成立.（Ⅱ)假设当n=k （k≥1）时命题成立，即a k 〈k1。