微分流形课程基本内容

微分流形课程基本内容

一、流形的基本概念：流形的定义和基本例子，子流形，切空间和切丛，光滑函数、光滑映射及切映射。要求了解球面、环面、射影空间等基本例子，并了解一维、二维流形的分类。要求了解浸入（immersion）、嵌入（embedding）、淹没（submersion）和微分同胚的概念。

二、正则性、奇异性及其应用：正则点和正则值，临界点和临界值，Sard定理，Morse引理，Thom横截性定理。要求了解映射度的概念，并能运用正则值的概念验证某些空间是流形。

三、光滑向量场和可积性定理：光滑向量场及其奇点的定义，Lie括号，积分曲线和动力系统，Euler-Poincare公式，Frobenius可积性定理。

四、 Lie群和Lie 群作用初步：Lie群和Lie代数的定义和基本例子，单参数子群，指数映射，Lie群在流形上的作用，基本向量场，齐性空间等。要求能够验证一些常见的矩阵群为Lie群并计算它们的Lie代数，并对一些低维Lie群的流形结构较为熟悉。要求能将一些常见流形写成齐性流形。

五、微分形式和积分：微分形式和外积的定义和性质，外微分，内积，Lie 导数，Cartan公式，de Rham上同调，Poincare对偶，Laplace算子，Hodge理论初步，定向和微分形式的积分，带边流形和Stokes定理。要求掌握单位分解的技巧，要求了解外微分和Stokes定理的古典形式。要求能够计算常见流形和二维流形的上同调环。

六、 Riemann 几何初步：Riemann度量，Levi-Civita联络，Christoffel符号，Rieman曲率，截曲率，常截曲率流形的模型。要求能够从给定的Riemann度量计算Riemann曲率。要求对向量丛的概念和张量运算较为熟悉。

微分流形课程预备知识

最基本要求：多元微积分，线性代数，常微分方程。

需要用到：点集拓扑学，抽象代数，复变函数论，曲线曲面的微分几何。

微分流形相关课程和后续课程

微分流形参考书目

?第一节，微分流形概念的引入：Riemann在哥廷根大学讲演的英译本可见

M.Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. II.,Publish or Perish, Berkeley, 1979.

?第二节，关于Morse理论，可参看

J. Milnor, Morse theory.

?第三节，引进tangent space和1-form时采用了代数几何中的做法，可参看R. Hartshorne, Algebraic geometry.

其中用到局部化等代数方法，可参看

M.Atiyah and I.G.Mcdonald, Commutative Algebra.

?第四节、第五节，可参看

Brocker and Janich, Introduction to differential topology.

关于Frobenius integrablity theorem, 可参看

F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups.

?第六节、第七节，可参看

F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups.

?第八节，可参看

微分流形的知识为进一步学习现代数学和物理提供了准备知识。这里列出一些研究方向用到微分流形的部分课程。

?对Riemann几何、几何分析感兴趣的：Riemann几何，极小子流形，调和映照， Hodge理论。

?对表示论感兴趣的：Lie群及其表示，代数拓扑，代数几何。

?对流形的拓扑感兴趣的：微分拓扑，代数拓扑，Morse理论，示性类理论，Lie群及其表示，联络理论，Chern-Weil理论，等变上同调理论。

?对指标理论感兴趣的：代数拓扑，联络理论，Chern-Weil理论，指标理论。?对可积系统感兴趣的：Riemann面, 联络理论, 辛几何，椭圆函数。

?对动力系统感兴趣的：辛几何，Morse理论。

?对复几何、代数几何、代数数论感兴趣的：Riemann面，复流形，形变理论，复曲面，代数拓扑，联络理论，Chern-Weil理论，指标理论，椭圆函数，模形式， Lie群及其表示。

?对低维拓扑学感兴趣的：以上全部。

?对超弦理论感兴趣的：以上全部。

微分几何学历史简介

我们借用杨振宁先生的以下诗句来开始对几何学的一个简介：

天衣岂无缝，匠心剪接成。

浑然归一体，广邃妙绝伦。

造化爱几何，四力纤维能。

千古寸心事，欧高黎嘉陈。

最后一句诗提到了五位伟大的几何学家：Euclid, Gauss, Riemann, Cartan, 和陈省身。其中，Euclid为古希腊人，Gauss和Riemann为十九世纪德国人，Cartan 为二十世纪法国人。陈省身先生二十世纪三十年代在清华大学数学系读硕士，抗日战争中在西南联大任教授，现定居于南开大学。下文参考了他写的“九十初度说数学”。

几何是geometry的音译。其词头geo是“土地”的意思,词尾metry是“测量学”的意思, 合起来是“土地测量学”的意思。这反映了几何学起源于实际问题。

Euclid写了一本书“Elements”,中文译名为“几何原本”，内容包含平面几何学、空间几何学和数论，总结了古希腊的很多数学知识，可能是从古至今影响最大的科学著作。

中学课本中的平面几何学内容大都来源于“Elements”, 从中可以学到古希腊人用以逻辑为基础的理性思维进行科学研究的方法。Einstein认为一个人如果在年轻时对平面几何从没产生过兴趣的话，恐怕很难在科学上做出重要发现。

几何学的下一个进展由哲学家Descarte取得，据说他身体不好，经常需要卧床休息，有一次看到在墙角织网的蜘蛛，受启发引进了坐标的概念。由此产生了解

析几何学，使得代数方法可以在几何问题中应用。例如，圆周、椭圆、双曲线、抛物线等古希腊人即开始研究的几何对象有很简单的代数描述。

解析几何学促进了微积分的诞生。由Newton和Leibnitz创立的这门学问在现代科学中的重要性是不用赘述的。将微积分应用于几何问题的研究就是所谓微分几何。最初研究的是三维空间中的曲线、曲面。Gauss于1827年写了一本50页左右的小书，研究曲面的微分几何，包括大学学的微分几何的主要内容。这本书标志着微分几何学的诞生。Gauss当时主持一项土地测量的的项目，他写这本是为了给这项工作一个理论基础。Gauss也是非欧几何学（non-Euclidean geometry)的创始人之一。需要指出的是Gauss工作的主要领域是数论。

同Gauss一样，Riemann工作的主要领域也不是几何学，而是单复变函数，但他是现代微分几何与解析数论的创始人。在他为取得大学教授资格的公开讲演中，Riemann提出了微分几何学发展的新思想，其中包括流形、Riemann度量、Riemann 曲率等重要概念。简单的说，就是用局部坐标和坐标变换来描述一个空间，用Riemann度量做最基本的几何量，空间的几何性质如弯曲程度由度量用特定方式决定。

Riemann的工作由Christoffel、Ricci、Levi-Civita等人发展，后来成为Einstein创立的广义相对论的数学基础。简单的说，广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说，空间和时间结合在一起由一个流形描述：不同的参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出曲率等几何量。Einstein方程说：时空的物理量（能量动量张量）等于时空的几何量（Ricci曲率张量）。

Einstein的工作激发了数学家对微分几何的兴趣，从而极大地促进了这门学科的发展。数学家和物理学家当时关心的自然的问题是Maxwell的电磁理论的几何化和引力理论与电磁理论的统一。Einstein后期致力于大统一理论的研究没有取得有意义的进展，一个重要的原因可能是他没有利用广义相对论出现以后发展的几何学。

数学家Hilbert、Weyl和Cartan都对以上问题做过研究。他们的工作突出了流形上联络的重要性，他们都对数学上用来描述连续对称性的Lie群的研究做出过重大贡献。Cartan的工作为现代微分几何的发展奠定了基础。他引进的微分形式理论是研究流形的代数拓扑的基本工具，纤维丛及其联络成为几何学的基本研究对象。Weyl提出的规范原理后来被杨振宁等人发展为规范场论，成为各种统一理论的基础。杨振宁先生上一世纪五十年代提出规范场论时并不清楚与几何学的关系，后来人们逐渐认识到了它与几何学的一致性，引发了理论物理和微分几何的深入交流，产生了Donaldson理论，Seiberg-Witten理论、Gromov-Witten 理论等。

陈省身先生的工作建立了流形的局部几何性质与整体的拓扑性质的关系。他引进的陈示性类是几何学发展的一个里程碑，以后的重要进展无不建立在其基础上，例如高维Riemann-Roch定理、指标理论等等。陈先生1984年度的Wolf奖的证书上写到：“他在整体微分几何上的卓越成就，其影响遍及整个数学。”

这里我们简单介绍了微分几何早期的一些历史发展（到二十世纪四十年代），我写的综述文章有更多的信息。完备准确的微分几何史只能等待陈先生这样的大师来写。对代数几何因为与本课程的内容相差较远则完全没有提及。但我想指出微分几何与代数几何是密切相关的学科，陈先生的工作也是代数几何的基本工具。Fields奖获得者丘成桐先生的得奖工作一个在广义相对论领域(正质量猜想），一个在代数几何（Calabi猜想）。后者在超弦理论中起关键的作用。有趣的是其他得过Fields奖的亚洲数学家如Kodaira、Hironaka、Mori都是代数几何学家。

对于有志于理论物理特别是超弦理论的研究的学生来说，微分几何与代数几何是必修的学科。对这一点有疑问的话，可以参看Brian Greene的通俗读物“宇宙的琴弦”(The Elegant Universe)，特别是第十章。去年夏天来到中国引起轰动的Hawking的重要结果之一是与Penrose利用微分拓扑证明的黑洞存在性。丘成桐先生认为Hawking在微分几何上的贡献胜过大部分的微分几何学家。见他的讲话稿。

最后抄录我一次通俗讲演时所作的打油诗《场论有感》作结：

宇宙无穷秘，

万物皆是场。

百代谁奠基，

法麦爱外杨。

最后一句中五人为：Faraday, Maxwell, Einstein, Weyl和杨振宁。对他们的工作与几何学的关系感兴趣的话可以参看我的文章。

20年前一次讲话

陈省身

1980年春天，我先后应邀在北京大学、南开大学和暨南大学讲话，题目都是"对中国数学的展望"。1981年，《自然科学》4卷1期刊载了这篇讲话的增订稿。今天看来，20年前的这篇讲话依然有它存在的价值，爰录于此，作为现在这篇讲演的开场白。

数学是一门古老的学问。在现代社会中，因为科学技术的进展和社会组织的日趋复杂，数学便成为整个教育的一个重要组成部分。计算机的普遍应用，也引起了

许多新的数学问题。从几千年的数学史来看，当前是数学的黄金时代。工作者人数空前：可以说，健在的数学家人数超过了历史上出现过的数学家人数总和。国家社会供养着许多专门从事数学工作，这是史无前例的。这一现象的结果引起数学的巨大进展，真到了日新月异的地步。现在第一流大学或研究院所讲的数学，往往是几十年前所不存在的。

不同于音乐或美术，数学的弱点是一般人无法了解。在这方面，数学家所做通俗化工作很值得赞扬，但一般人总与这门学问隔着一段距离，这是不利于发展的。数学是一个有机体，要靠长久不断的进展才能生存，进一步停止便会死亡。

为什么要搞数学呢？答案很简单：其他的科学要用数学。我在后面还会专门谈到这个问题。

在中国，通常把实现现代化喻为第二次长征。数学在这个长征中是小小的一环。法国大数学家庞加莱（Henri Poincare）说，在科学的斗争中，敌人是永远在退却的。因此，这次长征比第一次幸运多了。但困难在于近代科学浩如烟海，又是不断在进展；胜利将是遥远的，同样需要艰苦的工作。

在向现代化进军中，数学是占一些便宜的：第一，设备需要极少；第二，研究方向不很集中。因此小国家和小的学校都可以有活跃的数学环境和受人尊敬的数学家。波兰、芬兰都是有名的例子。

通常把数学分为纯粹的和应用的，其实这条分界线是很不确定的。好的纯粹数学往往有意想不到的应用。广义相对论所需的微分几何，黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）在60多年前已经发展了。量子力学所需的算子论，希尔伯特（David Hilbert）早已奠定了它的数学基础。近年来理论物理的研究中，统一场论是一个热门。1979年萨拉姆（Abdus Salam）和温伯格（Steven Weinberg）因为统一了电磁场与弱作用场而获得诺贝尔奖。它的数学基础是杨振宁和米尔斯（Robert Laurence Mills）的规范场论。后者在微分几何中叫做联络，它的几何与拓扑性质，是近30多年来微分几何研究的主要对象之一。

微分几何是微积分在几何上的应用。我不能不提它的曲线论在分子生物学上的作用。我们知道，DNA的构造是双螺旋线。对它的研究引到当今实验分子生物学的一个基本公式，即詹姆斯.怀特（James White）的公式。

这些贡献在纯粹数学上有开创性，在应用上成为基本的工具，是第一流的应用数学。

中国的近代数学，发展较日本为晚。但中国数学家的工作，有广泛的范围，有杰出的成就。缺点是人数太少。相比而言，美国数学会的会员多达近万人！

要使中国数学异军突起，宜注意以下两点：

第一，要培养一支年轻的队伍。成员要有抱负，有信心，肯牺牲，不求个人名誉和利益。要超过前人，青出于蓝，后胜于前，中国数学如在世界取得领导地位，则工作者的名字必然是现在大家所未闻的。

第二，要国家的支持。数学固然不需要大量的设备，但以亦需要适当的物质条件，包括图书的充实，研究空间的完善，以及国内和国际交流的扩大。一人所知所能有限，必须和衷共济，共同达成使命。

我的希望是在21世纪看见中国成为数学大国。

纤维丛支持了规范场

杨振宁

研究场论的物理学家必须学习纤维丛的数学概念，这一点越来越清楚了。1975年出，我邀请Jim Simons给我和同事们做一系列的午餐报告，讲授微分形式及纤维丛。他友好地接受了邀请。于是，我们学到了Stokes定理、de Rham定理等等。学到的东西使我们理解了Bohm-Aharonov实验的数学意义，以及Dirac

的电单极和磁单极的量子化规则。吴大峻和我后来还懂得了深奥而非常普遍的陈省身-Weil定理。我们意识到规范场具有全局性的几何内涵（不应同物理学的全局相因子混为一谈）。这种内涵是自然而然地用纤维丛概念表示出来的。

在论文[75c]中，吴大峻和我探讨了这些全局性的内涵。我们证明了，规范相因子给了电磁学一种内在的完整描述。这种描述既不会过分，也不会不足。一旦接受了这一点，该文的其余部分便只不过介绍了纤维丛的概念而已；这些概念支撑了规范理论物理学中那些含混笼统的观念。