2011届高考数学第一轮点拨复习之直线系方程及其应用测试题
2011届高考数学第一轮复习立体几何专题题库24
291. 给出下列命题，错误的命题是（ ）．A ．若直线a平面α ，且α ∥平面β ，则直线a 与平面β 的距离等于平面α 、β 间的距离 B ．若平面α ∥平面β ，点A ∈α ，则点A 到平面β 的距离等于平面α 、β 间的距离C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离解析：C ．以下按顺序说明，对A 中，在a 上任取一点P ，作PH ⊥β ，PH 为直线a 与平面β 的距离．∵ α ∥β ，PH ⊥α ，∴ PH 又为α 、β 间的距离．对于B ，作AH ⊥β ，AH 的长为点A 到β 的距离．又∵ α ∥β ，∴ AH ⊥α ，于是AH 的长是α 、β 两个平行平面间的距离．对于C ，设a ∥b ，a α ，b β ，过a 上任一点P 作PQ ⊥b 于Q ，则PQ 的长为a 、b 两平行直线间的距离．因为PQ 与α 、β 不一定垂直，所以PQ 的长一般不是α 、β 间的距离，一般地说，a 、b 间的距离不小于α 、β 间的距离．对于D ．设1AA 是异面直线a 、b 的公垂线段，A ∈a ，b A ∈'，a α ，b β ，过A和b 的平面与α 相交于b '，则b b //'，于是b A A '⊥'．∴ α⊥'A A ．同理β⊥'A A ．故A A '的长又是α 、β 两个平面间的距离（如图答9-30）．292. 设α 、β 是两个平面，l 和m 是两条直线，那么α ∥β 的一个充分条件是（ ）．A ．l α ，m α ，且l ∥β ，m ∥βB ．l α ，m β ，且l ∥mC ．l ⊥α ，m ⊥β ，且l ∥mD ．l ∥α ，m ∥β ，且l ∥m解析：C ．可参看图答9-31．图答9-31293. 平面α ∥平面β ，过平面α 、β 外一点P 引直线P AB 分别交α 、β 于A 、B 两点，P A =6，AB =2，引直线PCD 分别交α 、β 于C 、D 两点．已知BD =12，则AC 的长等于（ ）．A ．10B ．9C ．8D ．7解析：B ．如图答9-32，平面PBD ∩α =AC ，平面PBD ∩β =BD ，∵ α ∥β ，∴ AC ∥BD ．由平面几何知识知，BD AC PD PC PB PA ==．∵ P A =6，AB =2，BD =12，∴ 12266AC =+，∴ AC =9．294. 已知AC ，BD 是夹在两平行平面α 、β 间的线段，A ∈α ，B ∈α ，C ∈β ，D ∈β ，且AC =25cm ，BD =30cm ，AC 、BD 在平面β 内的射影的和为25cm ，则AC 、BD 在平面β 内的射影长分别为________，AC 与平面β 所成的角的正切值为________，BD 与平面β 所成的角的正切值为________．解析：设α 、β 间的距离为h ，AC 在平面β 内的射影x C A ='，BD 在平面β 内的射影y D B ='，根据已知条件可得②-①得22222530-=-x y ，即222530))((-=-+x y y x ，把③代入得y -x =11，∴ ⎩⎨⎧=-=+．，1125x y y x 解得⎩⎨⎧==．，187y x 即cm 7='C A ，cm 18='D B ．又h =24cm ，AC 与平面β 所成的角为A AC '∠，='∠A AC tan 724='C A h ，同理．341824tan =='='∠D B h D BD 295. 已知空间不共面的四个点，与此四个点距离都相等的平面有________个．解析：与不共面的四个点距离相等的平面分为两类，一类是四个点中一个点位于平面的一侧，另外三个点在平面的另一侧，这样的平面有4个；另一类是四个点中的两个点位于平面一侧，另外两个点在平面的另一侧，这样的平面有3个，故一共7个平面到这四个点距离相等． 296. 如图9-35，平面α ∥平面β ，△ABC 、△C B A '''的分别在α 、β 内，线段A A '、B B '、C C '相交于点O ，O 在α 、β 之间．若AB =2，AC =1，∠ABC =60°，OA ∶A O '=3∶2，则△C B A '''的面积为________．解析：图9-35∵ O B B A A ='' ，∴ A A '、B B '确定平面B A AB ''，平面B A AB ''∩α =AB ，平面B A B A AB ''=''β ，∵ α ∥β ，∴B A AB ''//，同理C B BC ''//，A C CA ''//．由于方向相反，∴ △ABC 与△C B A '''的三内角相等，∴ △ABC ∽△C B A '''．且32='=''OA A O AB B A ． ∵2360sin 1221=︒⨯⨯⨯=∆ABC S ，∴ ．39223322=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛='''∆C B A S 297. 如图9-37，两条异面直线AB 、CD 与三个平行平面α 、β 、γ 分别相交于A 、E 、B ，及C 、F 、D ，又AD 、BC 与平面β 的交点为H 、G ．求证：EHFG 为平行四边形．解析：．同理平面平面．HF AC EG ABC AC ABC EG AC ////// ⇒⎪⎭⎪⎬⎫==βαβα 是平行四边形．故同理．．EHFG FG EH HF EG HF AC FG AC ////////⇒⎭⎬⎫ 298. 如图9-38，已知平面α ∥平面β ，A 、C ∈α ，B 、D ∈β ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：EF ∥α ，EF ∥β ．解析：当AB 、CD 共面时，平面ABCD ∩α =AC ，平面ABCD ∩β =BD ．∵ α ∥β ，∴ AC∥BD ．∵ E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴ EF ∥AC ．∵ AC α ，EF α ，∴ EF ∥α ，同理EF ∥β ．当AB 、CD 异面时，∵ CD E ∉，∴ 可在平面ECD 内过点E 作CD D C //''，与α ，β 分别交于C '，D '．平面C A D B C A '=''α ，平面D B D B C A '=''β ，∵ α ∥β ，∴ D B C A ''//．∵ E 是AB 中点，∴ E 也是D C ''的中点．平面C C D D C C '=''α ，平面D D D D C C '=''β ，∵ α ∥β ，∴ D D C C ''//，∵ E 、F分别为D C ''、CD 中点，∴ C C EF '//，D D EF '//．∵ C C 'α ，EF α ，∴ EF∥α ，同理EF ∥β ．299. 已知矩形ABCD ，过A 作SA ⊥平面AC ，再过A 作AE ⊥SB 交SB 于E ，过E 作EF ⊥SC 交SC 于F(1)求证：AF ⊥SC(2)若平面AEF 交SD 于G ，求证：AG ⊥SD解析： 如图，欲证AF ⊥SC ，只需证SC 垂直于AF 所在平面，即SC ⊥平面AEF ，由已知，欲证SC ⊥平面AEF ，只需证AE 垂直于SC 所在平面，即AE ⊥平面ABC ，再由已知只需证AE ⊥BC ，而要证AE ⊥BC ，只需证BC ⊥平面SAB ，而这可由已知得证证明 (1)∵SA ⊥平面AC ，BC ⊂平面AC ，∴SA ⊥BC∵矩形ABCD ，∴AB ⊥BC∴BC ⊥平面SAB∴BC⊥AE又SB⊥AE ∴AE⊥平面SBC∴SC⊥平面AEF∴AF⊥SC(2)∵SA⊥平面AC ∴SA⊥DC，又AD⊥DC∴DC⊥平面SAD ∴DC⊥AG又由(1)有SC⊥平面AEF，AG 平面AEF∴SC⊥AG ∴AG⊥平面SDC ∴AG⊥SD300.已知四面体A—BCD，AO1⊥平面BCD，且O1为ΔBCD的垂心.BO2⊥平面ACD，求证：O2是ΔACD的垂心.证明如图所示，连结BO1，AO2，∵AO1⊥平面BCD，O1为ΔBCD的垂心，∴BO1⊥CD，由三垂线定理得AB⊥CD.又BO2⊥平面ACD，由三垂线逆定理得AO2⊥CD.同理连结DO1，CO2可证BC⊥AD，即CO2⊥AD.∴O2是ΔACD垂心.。
2011届高考数学第一轮复习测试题16
高考一轮复习训练：不等式1.不等式112x x +≥+的实数解为 ；2.若0x >，则2x x+的最小值为 ； 3.已知关于x 的不等式21ax x -+＜0的解集是1(,1)(,)2-∞--+∞.则a = ；4.已知0,0a b >>，则11a b++的最小值是 ；5.不等式0212<---x x 的解集为 ；6.设0,0.a b >>若1133a ba b+与的等比中项，则的最小值为 ； 7.已知符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x ，则不等式2sgn )1(>+x x 的解集是 ；8.设yx b a b a b a R y x yx11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为 ； 9.当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sin π成立，则实数k 的取值范围是 ；k ≤110.若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为 ；11.已知D 是由不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩，所确定的平面区域，则圆 224x y +=在区域D 内的弧长为 ；12.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最大值为12，则23a b+的最小值为 ； 13.若不等式0lg ])1[(<--a a n a 对任意的正整数n 都成立,则a 的取值范围是 ；14.设x ，y 均为正实数，且312121=+++y x ，则xy 的最小值为 ；15.某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB 至少长2.8m ，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5m ，060BCD ∠=，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计,AB CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？16.如图，有一块四边形BCED 绿化区域，其中090=∠=∠D C ，3==BD BC ，1==DE CE ，现准备经过DB 上一点P 和EC 上一点Q 铺设水管PQ ，且PQ 将四边形BCED 分成面积相等的两部分，设x DP =，y EQ =．①求,x y 的关系式；②求水管PQ 的长的最小值．BACD 地面ECQ不等式1.不等式112x x +≥+的实数解为 ；32x ≤-且2-≠x2.若0x >，则2x x+的最小值为；3.已知关于x 的不等式21ax x -+＜0的解集是1(,1)(,)2-∞--+∞.则a = ；-44.已知0,0a b >>，则11a b++的最小值是 ；45.不等式0212<---x x 的解集为 ；{|11}x x -<<6.设0,0.a b >>若1133a ba b+与的等比中项，则的最小值为 ；4 7.已知符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x ，则不等式2sgn )1(>+x x 的解集是 ；}13{>-<x x x 或8.设yx b a b a b a R y x yx11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为 ；1 9.当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sin π成立，则实数k 的取值范围是 ；k ≤110.若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为 ；[]3,1-11.已知D 是由不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩，所确定的平面区域，则圆 224x y +=在区域D 内的弧长为 ；2π 12.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最大值为12，则23a b +的最小值为 ；62513.若不等式0lg ])1[(<--a a n a 对任意的正整数n 都成立,则a 的取值范围是 ；),1()21,0(+∞⋃ 14.设x ，y 均为正实数，且312121=+++y x ，则xy 的最小值为 ；16 15.某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB 至少长2.8m ，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5m ，060BCD ∠=，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计,AB CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？ 解析：设(1,4),.BC am a CD bm =≥=连结BD. 则在CDB ∆中，2221()2cos60.2b b a ab -=+-214.1a b a -∴=- 21422.1a b a a a -∴+=+- 设 2.81,10.4,2t a t =-≥-=则21(1)3422(1)347,4t b a t t t t+-+=++=++≥ 等号成立时0.50.4, 1.5, 4.t a b =>==答：当3,4AB m CD m ==时，建造这个支架的成本最低.16.如图，有一块四边形BCED 绿化区域，其中090=∠=∠D C ，3==BD BC ，1==DE CE ，现准备经过DB 上一点P 和EC 上一点Q 铺设水管PQ ，且PQ 将四边形BCED 分成面积相等的两部分，设x DP =，y EQ =．①求,x y 的关系式；②求水管PQ 的长的最小值． 解析：①延长BD 、CE 交于A ，则AD=3，AE=2则S △ADE = S △BDE = S △BCE =2∵S △APQ =3， ∴3)2)(3(41=++y x ∴(2)4x y +=3 ②AQ AP AQ AP PQ ⋅-+=2222︒30cos =223342)334()3(22≥⨯⨯-+++x x ·12381234-=- . 当22)334()3(+=+x x ，即时3324-=x ， 33221238min -=-=PQBA CD 地面 ECQ。
2011届高考数学第一轮复习立体几何专题题库5
81.有三个几何事实(a，b表示直线，α表示平面)，①a∥b，②a∥α，③b∥α．其中，a，b在面α外．用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪．正确的给出证明，错误的举出反例．解析：Ⅰ：a∥ba∥α⇒b∥αb在α外Ⅱ：a∥bb∥α⇒a∥αa在α外Ⅰ、Ⅱ是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行．证明：过a作平面β与α交于a'∵a∥α∵a∥a'而a∥b∴b∥a'且b在α外，a'在α内∴b∥α．Ⅲ：a∥α⇒a∥bb∥α命题：平行于同一个平面的两条直线平行，这是错的，如右图82.两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行．b已知： 、 是两个平面，直线l ⊥ ，l ⊥ ，垂足分别为A 、B ． 求证： ∥ 思路1：根据判定定理证．证法1：过l 作平面 ，∩ ＝AC ， ∩ ＝BD ，过l 作平面 ，∩ ＝AE ， ∩ ＝BF ， l ⊥ ⇒ll ⊥ ⇒l l 、AC 、BD 同理AE ∥思路2证法2：设则l 与P 且 ∩ l ⊥ ⇒l l ⊥ ⇒l l 、AP 、BP故 、 83. 已知：a 、b 是异面直线，a ⊂平面 ，b ⊂平面 ，a ∥ ，b ∥ ． 求证： ∥ ．证法1：在a 上任取点P ， 显然P ∈b ．于是b 和点P 确定平面 ． 且 与 有公共点Pαβ γδDCBAEFl∴ ∩ ＝b′且b′和a交于P，∵b∥ ，∴b∥b′∴b′∥而a∥这样 内相交直线a和b′都平行于∴ ∥ ．证法2：设AB是a、b的公垂线段，过AB和b作平面 ，∩α＝b′，过AB和a作平面 ，δ∩ ＝a′．a∥β⇒a∥a′b∥α⇒b∥b′∴AB⊥a⇒AB⊥a′，AB⊥b⇒AB⊥b′于是AB⊥ 且AB⊥ ，∴ ∥ ．84.已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题：①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥r，b∥r⇒a∥b；③α∥c，β∥c⇒α∥β；④α∥r，β∥r⇒α∥β；⑤a∥c，α∥c⇒a∥α；⑥a ∥r ，α∥r ⇒a ∥α． 其中正确的命题是( )(A) ①④ (B) ①④⑤ (C) ①②③(D) ①⑤⑥解析：由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确；若两条不重合的直线同平行于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题②错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，也可能相交，命题③错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题④正确；若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在该平面内，因此命题⑤、⑥都是错的，答案选A ．85. 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC =BC ，M 、N 分别是A 1B 1，AB 的中点，P 点在线段B 1C 上，则NP 与平面AMC 1的位置关系是 ( )(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 要依P 点的位置而定 解析：由题设知B 1M ∥AN 且B 1M =AN ， 四边形ANB 1M 是平行四边形， 故B 1N ∥AM ，B 1N ∥AMC 1平面．又C 1M ∥CN ，得CN ∥平面AMC 1，则平面B 1NC ∥AMC 1，NP ⊂平面B 1NC ， ∴ NP ∥平面AMC 1． 答案选B ．86. 已知：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为a ． (1) 求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2) 求平面A 1BD 和平面B 1D 1C 的距离． 证明：(1) 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P∵ BB 1平行且等于DD 1， ∴ 四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴ BD ∥B 1D 1， ∴ BD ∥平面B 1D 1C ． 同理 A 1B ∥平面B 1D 1C ， 又A 1B ∩BD =B ，∴ 平面A 1BD ∥平面B 1D 1C解：(2) 连AC 1交平面A 1BD 于M ，交平面B 1D 1C 于N ．AC 是AC 1在平面AC 上的射影，又AC ⊥BD ，∴ AC 1⊥BD ， 同理可证，AC 1⊥A 1B ，∴ AC 1⊥平面A 1BD ，即MN ⊥平面A 1BD ， 同理可证MN ⊥平面B 1D 1C ．∴ MN 的长是平面A 1BD 到平面B 1D 1C 的距离，设AC 、BD 交于E ，则平面A 1BD 与平面A 1C 交于直线A 1E ． ∵ M ∈平面A 1BD ，M ∈AC 1⊂平面A 1C ， ∴ M ∈A 1E ． 同理N ∈CF ．在矩形AA 1C 1C 中，见图9－21(2)，由平面几何知识得131AC MN =， ∴ a MN 33=． 评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系．证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法．87. 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面边长为8，对角线B 1C =10，D 为AC 的中点． (1) 求证AB 1∥平面C 1BD ；(2) 求直线AB 1到平面C 1BD 的距离． 证明：(1) 设B 1C ∩BC 1=O ． 连DO ，则O 是B 1C 的中点．在△ACB 1中，D 是AC 中点，O 是B 1C 中点． ∴ DO ∥AB 1，又DO ⊂平面C 1BD ，AB 1⊄平面C 1BD ， ∴ AB 1∥平面C 1BD ．解：(2) 由于三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，D 是AC 中点， ∴ BD ⊥AC ，且BD ⊥CC 1， ∴ BD ⊥平面AC 1，平面C 1BD ⊥平面AC 1，C 1D 是交线． 在平面AC 1内作AH ⊥C 1D ，垂足是H ， ∴ AH ⊥平面C 1BD ，又AB 1∥平面C 1BD ，故AH 的长是直线AB 1到平面C 1BD 的距离． 由BC =8，B 1C =10，得CC 1=6， 在Rt △C 1DC 中，DC =4，CC 1=6，133646sin 221=+=∠DC C在Rt △DAH 中，∠ADH =∠C 1DC∴ 131312sin 1=∠⋅=DC C AD AH ． 即AB 1到平面C 1BD 的距离是131312． 评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的DO ．本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB 1∥平面C 1BD ，把求直线到平面的距离变换为求点A 到平面的距离．88. 已知：直线a ∥平面α．求证：经过a 和平面α平行的平面有且仅有一个．证：过a 作平面与α交于a '，在α内作直线b '与a '相交，在a 上任取一点P ，在b '和P 确定的平面内，过P 作b ∥b '．b 在α外，b '在α内， ∴ b ∥α 而a ∥α∴ a ，b 确定的平面β过a 且平行于α．∵ 过a ，b 的平面只有一个，∴ 过a 平行于平面α的平面也只有一个89. 已知平面α、β、γ、δ．其中γ∩δ=l ，α∩γ=a ，β∩γ=a '，a ∥a '，α∩δ=b ，β∩δ=b '，b ∥b '上述条件能否保证有α∥β？若能，给出证明，若不能给出一个反例，并添加适当的条件，保证有α∥β．不足以保证α∥β．如右图．如果添加条件a 与b 是相交直线，那么α∥β．βa ＇l证明如下：a∥a'⇒a∥βb∥b'⇒b∥β∵a，b是α内两条相交直线，∴α∥β．90.三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行. 已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c.求证：a、b、c相交于同一点，或a∥b∥c.证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b∴a、b⊂β∴a、b相交或a∥b.(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b而a、b⊂β，a⊂α∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点又∵α∩γ＝c由公理2知P∈c∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当a∥b时∵α∩γ＝c且a⊂α，a⊄γ∴a∥c且a∥b∴a∥b∥c故a、b、c两两平行.由此可知a 、b 、c 相交于一点或两两平行.说明：此结论常常作为定理使用，在判断问题中经常被使用.91. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在BD 上，且B 1E ＝BF . 求证：EF ∥平面BB 1C 1C.证法一：连AF 延长交BC 于M ，连结B 1M .∵AD ∥BC ∴△AFD ∴FM AF =又∵BD ＝∴DF ＝AE ∴FM AF ∴EF ∥B 1∴EF ∵AD ∥BC ∴FH ∥BC ∴FH ∥平面BB 1C 1C 由FH ∥AD 可得BABHBD BF = 又BF ＝B 1E ，BD ＝AB 1∴BABHAB E B =11∴EH ∥B 1B ，B 1B ⊂平面BB 1C 1C ∴EH ∥平面BB 1C 1C ，EH ∩FH ＝H∴平面FHE ∥平面BB 1C 1CEF ⊂平面FHE∴EF ∥平面BB 1C 1C92. 于点C 、D ；线段求：END 的面积解析：故MC ∥∠FMC ∴ND ∶S △END ∶S △得S △END ＝mp m p n n +⋅+·(m +p )(n +p )=m n (m +p )2∴△END 的面积为mn (m +p )2平方单位. 93. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM =DN .求证:MN∥平面AA1B1B.解析：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在平面ABB1A1内找一条直线与MN 平行，除上面的证法外，还可以连CN并延长交直线BA于点P，连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MN∥B1P.分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”，因此，本题也可设法过MN作一个平面，使此平面与平面ABB1A1平行，从而证得MN∥平面ABB1A1.94.已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．（1）求证：EF⊥平面GMC．（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．解析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题．解：（1）连结BD交AC于O，∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD，∴EF⊥AC．∵AC∩GC＝C，∴EF⊥平面GMC．（2）可证BD∥平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG95.已知：ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．求证：BE不可能垂直于平面SCD．解析：用到反证法，假设BE⊥平面SCD，∵ AB∥CD；∴AB⊥BE．∴ AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾．∴ BE不可能垂直于平面SCD．96.已知PA，PB，PC与平面α所成的角分别为60°，45°，30°，PO⊥平面α，O为垂足，又斜足A，B，C三点在同一直线上，且AB＝BC＝10cm，求PO的长．解析：97.已知：如图，AS⊥平面SBC，SO⊥平面ABC于O，求证：AO⊥BC．解析：连结AO，证明BC⊥平面ASO．98.已知ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，M、N分别是SC、AB的中点．求证：MN⊥AB．解析：连结MB、MA，证明MB＝MA．99.已知：如图，平面 ∩平面 ＝直线l，A∈ ，AB⊥ ，B∈ ，BC⊥ ，C∈ ，求证：AC⊥l．证明：∵ AB⊥ ，l⊂∴l⊥AB∵BC⊥ ，l⊂∴l⊥BC∵AB∩BC＝B∴l⊥平面ABC∵AC⊂平面ABC∴l⊥AC100.已知：如图，P是∠BAC所在平面外一点，PD⊥AB，D为垂足，PE⊥AC，E为垂足，在平面BAC内过D作DF⊥AB，过E作EF⊥AC，使得EF∩DF＝F．连结PF，求证：PF⊥平面BAC．证明：∵PD⊥AB，DF⊥AB，PD DF＝D ∴AB⊥平面PDF∵PF 平面PDF∴AB⊥PF同理，AC⊥PF∵PF⊥AB，PF⊥AC，BA AC＝A∴PF⊥平面BAC。
2011届高考数学第一轮课时精练测试题6
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交，当α∥β时，a与b一定无公共点，∴q⇒p，但p⇒/ q.【答案】 B2．已知△ABC的两个顶点A，B∈平面α，下面四个点：①△ABC的内心②△ABC的外心③△ABC的垂心④△ABC的重心其中因其在α内而可判定C在α内的是()A．②③B．②④C．①③D．①④【解析】①△ABC内心O1在α内，由内心定义CO1与AB交点D(与A、B不重合)．∵AB⊂α，∴D∈α，∴CO1⊂α；∴C∈α；②△ABC的外心O2可以在直线AB上(如Rt△ABC中，角C为直角时)，故由AB⊂α，O2∈α，不能确定C在α内；③△ABC的垂心O3，可以是线段AB的一个端点，如Rt△ABC，∠A为直角，垂心O3为A点，不能得出C∈α；④△ABC的重心O4，设AB中点为E，则由O4E⊂α，C∈O4E，∴C∈α.∴①④符合题意．【答案】 D3．(2008年辽宁)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条【解析】先说明“对于空间内任意三条两两异面的直线a、b、c，与直线a、b、c都相交的直线有无数条”这个结论的正确性．无论两两异面的三条直线a、b、c的相对位置如何，总可以构造一个平行六面体ABCD—A1B1C1D1，使直线AB、B1C1、DD1分别作为直线a、b、c，在棱DD1的延长线上任取一点M，由点M与直线a确定一个平面α，平面α与直线B1C1交于点P，与直线A1D1交于点Q，则PQ在平面α内，直线PM不与a平行，设直线PM与a交于点N.这样的直线MN就同时与直线a、b、c相交．由于点M的取法有无穷多种，因此在空间同时与直线a、b、c相交的直线有无数条．依题意，不难得知题中的直线A1D1、EF、CD是两两异面的三条直线，由以上结论可知，在空间与直线A1D1、EF、CD都相交的直线有无数条，选D.【答案】 D4．如图是正方体或四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )【解析】 在A 图中分别连接PS 、QR ，易证PS ∥QR ，∴P 、S 、R 、Q 共面；在C 图中分别连接PQ 、RS ，易证PQ ∥RS ，∴P 、Q 、R 、S 共面．如图，在B 图中过P 、Q 、R 、S 可作一正六边形，故四点共面，D 图中PS 与RQ 为异面直线，∴四点不共面，故选D.【答案】 D5．正四面体P ABC 中，M 为棱AB 的中点，则P A 与CM 所成角的余弦值为( ) A.32 B.34C.36D.33【解析】 如图，取PB 中点N ，连接CM 、CN 、MN .∠CMN 为P A 与CM 所成的角(或所成角的补角)，设P A =2，则CM =3)，MN =1， CN =3)，∴cos ∠CMN =36.故选C. 【答案】 C6．以下四个命题中，正确命题的个数是( )①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面；③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ①中若有三点共线，则四点共面，所以①正确；②中，当A 、B 、C 三点不共线时，正确；当A 、B 、C 三点共线时，A 、B 、C 、D 、E 不一定共面；③中，b 、c 可能共面，也可能异面；④中以空间四边形为例知其错误．综上，只有①正确．【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．在图中，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)【解析】 如题干图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G 、H 、N 三点共面，但M ∉面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G 、M 、N 共面，但H ∉面GMN ，∴GH 与MN 异面．所以图②、④中GH 与MN 异面．【答案】 ②、④8．(2010年云南模拟)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．【解析】 在平面ABC 内，过A 作DB 的平行线AE ，过B 作BH ⊥AE于H ，连接B 1H ，则在Rt △AHB 1中，∠B 1AH 为AB 1与BD 所成角，设AB ＝1，则A 1A ＝2，∴B 1A ＝3，AH ＝BD ＝32， ∴cos ∠B 1AH ＝AH AB 1＝12， ∴∠B 1AH ＝60°.【答案】 60°9．空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若BD ＝1，则AC 的取值范围是________．【解析】 如图①所示，△ABD 与△BCD 均为边长为1的正三角形，当△ABD 与△CBD 重合时，AC ＝0，将△ABD 以BD 为轴转动，到A ，B ，C ，D 四点再共面时，AC ＝3，如图②，故AC 的取值范围是0<AC < 3.【答案】 (0，3)三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为AA 1中点，求证：E 、C 、D 1、F 四点共面．【证明】 分别连结EF 、A 1B 、D 1C ， ∵E 、F 分别是AB 和A 1A 中点，∴EF ∥A 1B 且EF=12A 1B . 又∵A 1D 1綊B1C1綊BC ， ∴四边形A 1D 1CB 是平行四边形．∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1.由推论3，EF与CD1确定一个平面．∴E、F、C、D1四点共面．11．已知空间四边形ABCD的对角线AC、BD，点E、F、G、H、M、N分别是AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点．求证：三线段EG、FH、MN交于一点且被该点平分．【证明】如图所示，连结EF、FG、GH、HE.∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．设EG∩FH＝O，则O平分EG、FH.同理，四边形MFNH是平行四边形，设MN∩FH＝O′，则O′平分MN、FH.∵点O、O′都平分线段FH，∴点O与点O′重合，∴MN过EG和FH的交点，即三线段EG、FH、MN交于一点且被该点平分．12．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．【解析】(1)不是异面直线．理由：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面，假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．。
2011届高考数学第一轮复习全套系列专项测试题(含详解)：32
·高三数学·单元测试卷(十一)第十一单元 排列组合、二项式定理(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共18小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为 A ．120B ．324C ．720D ．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A ．40B ．74C ．84D ．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是 A ．512B ．968C ．1013D ．1024更多成套系列资源请您访问： （请按ctrl 键单击网址） 成套资源仅2元，以最低成本为您服务，谢谢您的大力支持，欢迎您的宝贵意见！5．如果(n x +的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是A ．6810C xB ．5710C xC ．468C xD ．611C x6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A ．36B ．32C ．24D ．207．若n 是奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋯⋯+被9除的余数是A ．0B ．2C ．7D ．88．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 A ．20个B ．60个C ．120个D ．90个9．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 A ．504B ．210C ．336D ．12010．在342005(1)(1)(1)x x x ++++⋯⋯++的展开式中，x 3的系数等于A ．42005CB ．42006CC ．32005CD ．32006C11．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是 A ．2男6女B ．3男5女C ．5男3女D ．6男2女12．若x ∈R ，n ∈N ＋ ，定义nx M ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如55M -＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数199()x f x xM -=的奇偶性为A ．是偶函数而不是奇函数B ．是奇函数而不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数13．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于 A ．（1，2，3，4）B ．（0，3，4，0）C ．（－1，0，2，－2）D ．（0，－3，4，－1）14．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，从A 到B 的映射f (x )，B 中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为 A ．8B ．9C ．24D ．2715．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有A．24种B．36种C．60种D．66种16．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为A．8 B．9 C．10 D．11 17．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有A．36种B．42种C．50种D．72种18．若1021022 012100210139 ),()()x a a x a x a x a a a a a a =+++⋯+++⋯+-++⋯+则的值为A．0 B．2 C．－1 D．1答题卡二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在横线上．19．某电子器件的电路中，在A，B之间有C，D，E，F四个焊点（如图），如果焊点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B间电路不通，则焊点脱落的不同情况有种．20．设f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x＋1,则f(x)的反函数f－1(x)＝．21．正整数a1a2…a n…a2n－2a2n－1称为凹数，如果a1>a2>…a n，且a2n－1>a2n－2>…>a n，其中a i（i＝1,2,3,…）∈{0,1,2,…,9}，请回答三位凹数a1a2a3（a1≠a3）共有个（用数字作答）．22．如果a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，那么a2－a3＋a4．23．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有．24．已知（x＋1）6（ax－1）2的展开式中，x3的系数是56，则实数a的值为．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（本小题满分12分）将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？26．（本小题满分12分）已知(41x＋3x2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含x3的项；⑵系数最大的项．27．（本小题满分12分）求证：123114710(31)(32)2.n n n n n n C C C n C n -++++⋯++=+⋅第十一单元 排列组合、二项式定理参考答案一、选择题（每小题5分，共90分）：2．B 分三步：33425154545474.C C C C C C ++=3．C 46312.C -=4．B 分8类：34510121012101010101010101010101010()2(11045)968.C C C C C C C C C C C +++⋯+=+++⋯+-++=-++=5．B 12512,10,n n -=∴=中间项为555561010T C x C x==6．D 按首位数字的奇偶性分两类：2332223322()20A A A A A +-=7．C 原式＝（7＋1）n －1＝(9－1)2－1＝9k －2＝9k ’＋7（k 和k ’均为正整数）．8．B 分三步：12365360C C C =9．A 939966504,504.A A A ==或10．B 原式＝32003320062006442006(1)[1(1)](1)(1)(1).1(1)x x x x x x C x x+-+-+++=+-+即求中的系数为11．B 设有男生x 人，则2138390,(1)(8)30x x C C A x x x -=--=即，检验知B 正确．12．A 2222()(9)(8)(9191)(1)(4)(81).f x x x x x x x x x =--⋯-+-=--⋯- 13．D 比较等式两边x 3的系数，得4＝4＋b 1,则b 1＝0，故排除A ，C ；再比较等式两边的常数项，有1＝1＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4,∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝0． 14．D 223327.C =15．B 先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12 ，故所求不同和站法有3234136().2A A =种16．C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10种．17．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有2212264544242().C C A C A -+=种 18．D 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2＋1)10(2－1)10＝1。
高考数学专题《直线与直线方程》习题含答案解析
专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x −ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（ ） A BC ．D 【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-===故选C. 3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （ ）． A ．过点)2-B C ．倾斜角为60° D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解 【详解】 点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l 的斜率tan k θ=60°，故B ，C 正确； 由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误． 故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =- 【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误. 【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m 或m =B 选项正确； 直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误； 当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在， 当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-， 令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确． 故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（ ）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0° 【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确； 对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确； 对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误； 对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确． 故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______. 【答案】32- 43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距. 【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43. 故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y = 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可. 【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒， 又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2， 所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =． 故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________． 【答案】-4； 2 【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案. 【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //， 334a -∴=，解得4a =-； ∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________. 【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34. 因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=， 所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310=.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|P A |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________． 【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围. 【详解】因为||AB ==||||PA PB += 由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1）， 画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3， 所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解. 【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=， 又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取“=”，练提升由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,)2N ，那么||MN 的最小值为（ ） A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3）， 所以动点M 在以PQ5,2= 圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=， 所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，， 则直线方程为：故选4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线l θ1sin()22l 20y --=40y +-=0x -=360y 122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-2 3πθ=tan θ=1y x -=40y +-=B30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+=+=+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________. 【答案】240x y -+= (0,1)- 【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行， 所以设方程为()201x y n n -+=≠， 因为直线过点(2,1)M -， 代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '， 则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程； （2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24 【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ==，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+， 则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=. 7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1) 求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ； (2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程． 【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2. 【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求. 【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2）， 即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意， 综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，4,B n 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值； （2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式. 【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+ 【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4）， 把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8， 所以反比例函数解析式为8y x=， 把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2； （2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上， 所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ， 所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==， 在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==， 而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1， 所以144m n-+=， 而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2， 则A （2，4），B （﹣4，﹣2）， 设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -. （1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2） 不存在这样的直线；理由见解析． 【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解 【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2=，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=． （2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，OP =而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||AB =动直线l 过点(1,1)P 与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标； （2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标； (2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMNS的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解. 【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k+=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. (2)当1k 时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭， 1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭. 当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，当1k 时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+. 综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当练真题k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5， 故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（ ）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=． 故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（ ） A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d ==， 故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1， 由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0）， 由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故ba-≤0，故点M 在射线OA 上． 设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（12，12），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b13 =．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b13＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于12，即1122NMB y⋅⋅=，即111212b a ba a+⎛⎫⨯+⋅=⎪+⎝⎭，可得a212bb=-＞0，求得b12＜，故有13＜b12＜．③若点M在点A的左侧，则b13＜，由点M的横坐标ba--＜1，求得b＞a．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=， 即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ． 两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞12-， 故有1b 13＜． 综上可得b 的取值范围应是1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①③⑤ 【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线为：，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得： 即直线经过整点直线经过无穷多个整点，③正确；x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --∴l④令直线为：，则不过整点，④错误； ⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤l 1132y x =+ll y =()0,0。
2011高考数学专题复习测试 第8单元《直线与圆》
2011年高考专题复习——直线与圆1.【2010•某某理数】直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若23MN ≥k 的取值X 围是（ ）A.304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B.[]304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，， C.33⎡⎢⎣⎦， D.203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】A【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y 轴相切.当|MN |3=时，由点到直线距离公式，解得3[,0]4-； 解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B ，考虑区间不对称，排除C ，利用斜率估值，选A2.【2010•某某文数】过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0 【答案】A【解析】设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=. 【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为20x y c -+=，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.3. 【2010•某某文数】若直线y x b =-与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（[0,2)θπ∈）有两个不同的公共点，则实数b 的取值X 围为( )A. (22,1)-B. [22,22]C.(,22)(22,)-∞++∞D.(22,22)+【答案】D 【解析】2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩化为普通方程22(2)1x y -+=，表示圆，因为直线与圆有两个不同21,2b -<解得2222b <<法2：利用数形结合进行分析得22,22AC b b =-=∴=同理分析，可知2222b <<4. 【2010•某某理数】直线32x +D 的圆33,13x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩())0,2θπ⎡∈⎣交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ） A. 76π B. 54π C. 43π D. 53π 【答案】C【解析】数形结合301-=∠αβπ-+=∠ 302由圆的性质可知21∠=∠βπα-+=-∴ 3030故=+βα43π 5. 【2010•全国卷1理数】已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •的最小值为（ ）A. 42-B.32-C. 422-+322-+ 【答案】D6. 【2010•某某理数】动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。
2011届高考数学第一轮复习章节练习题51
高三数学章节训练题36《点、直线、平面之间的位置关系》时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）Ａ．16π Ｂ．20π Ｃ．24π Ｄ．32π2．已知在四面体ABCD 中，,E F 分别是,AC BD 的中点，若2,4,AB CD EF AB ==⊥，则EF 与CD 所成的角的度数为（ ）Ａ．90 Ｂ．45Ｃ．60 Ｄ．303．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（ ）Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．1条或2条4．在长方体1111ABCD A BC D -，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A 到截面11AB D 的距离为( )A ．83 B ． 38 C ．43 D ． 345．直三棱柱111ABC A B C -中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是1CC 上任意一点，连接11,,,A B BD A D AD ，则三棱锥1A A BD -的体积为（ ）A ．361a B ．3123a C ．363a D ．3121a 6．下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B ．同一平面的两条垂线一定共面；C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分) 1．正方体各面所在的平面将空间分成_____________部分。
2．空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，则BC 与AD 的位置关系是_____________；四边形EFGH 是__________形；当___________时，四边形EFGH 是菱形；当___________时，四边形EFGH 是矩形；当___________时，四边形EFGH 是正方形3．四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V AB C --的平面角为_____________。
2011届高考数学第一轮课时精练测试题16
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( )A.14 B ．－14C ．4D ．－4【解析】 抛物线方程为x 2＝1ay ， 其准线方程为y ＝－14a， ∴－14a ＝1，∴a ＝－14. 【答案】 B2．抛物线y 2＝24ax (a ＞0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝20x【解析】 由题意知，3＋6a ＝5，∴a ＝13， ∴抛物线方程为y 2＝8x .【答案】 A3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的经过焦点的弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( ) A ．4 B ．－4C ．p 2D ．－p 2【解析】 设AB 的方程为x ＝my ＋p 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px x ＝my ＋p 2得y 2－2pmy －p 2＝0. ∴y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝14p 2y 21y 22＝p 24. ∴y 1y 2x 1x 2＝－p 2p 24＝－4. 【答案】 B4．(2008年辽宁高考)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5 D.92【解析】 如图：设A (0,2)，抛物线焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，根据抛物线的定义，P 点到A 点的距离与P 点到准线的距离之和可转化为P 点到A 点的距离与P 点到焦点F 的距离之和|P A |＋|PF |，显然和最小时，应有A 、P 、F 共线，且P 在A 、F 之间，∴所求最小值为|AF |＝22＋⎝⎛⎭⎫122＝174＝172. 【答案】 A5．已知直线y ＝kx －k 和抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则( )A ．直线和抛物线有一个公共点B ．直线和抛物线有两个公共点C ．直线和抛物线有一个或两个公共点D ．直线和抛物线可能没有公共点【解析】 因直线y ＝kx －k 过定点(1,0)，∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．【答案】 C6．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作两弦AB 和CD ，其所在直线的倾斜角分别为π6与π3，则|AB |与|CD |的大小关系是( ) A ．|AB |＞|CD |B ．|AB |＝|CD |C ．|AB |＜|CD | D ．|AB |≠|CD |【解析】 设过焦点F 的直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，交抛物线于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2， 得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 24p 2＝0， ∴x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2. ∴|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝p (k 2＋2)k 2＋p ＝2pk 2＋2p k 2＝2p (k 2＋1)k 2＝2p (tan 2θ＋1)tan 2θ＝2p sin 2θ(θ为直线MN 的倾斜角)， ∴|AB |＝2p sin 2π6＝8p ，|CD |＝2p sin 2π3＝83p ， ∴|AB |＞|CD |.【答案】 A二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点，设|F A |＞|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．【解析】 ∵y 2＝4x 的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，∴过F 且斜率为1的直线方程为y ＝x －1，将其代入y 2＝4x 得x 2－6x ＋1＝0， 解得x ＝6±36－42＝3±22， ∵|F A |＞|FB |，∴x A ＝3＋22，x B ＝3－22，又|F A |＝x A ＋1，|FB |＝x B ＋1，∴|F A ||FB |＝4＋224－22＝3＋2 2.【答案】 3＋2 28．在抛物线y ＝4x 2上求一点，使该点到直线y ＝4x －5的距离最短，该点的坐标是________．【解析】 设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋b ，当直线y ＝4x ＋b 与y ＝4x 2相切时，切点到直线y ＝4x －5的距离最短．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x ＋b y ＝4x 2得4x 2－4x －b ＝0① Δ＝16＋16b ＝0，∴b ＝－1，代入①式得x ＝12， y ＝4×⎝⎛⎭⎫122＝1，故切点为⎝⎛⎭⎫12，1. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫12，19．(2010年湖南模拟)已知A (x 1，y 1)是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，B (x 2，y 2)是椭圆x 24＋y 23＝1上的一个动点，N (1,0)是一定点，若AB ∥x 轴，且x 1＜x 2，则△NAB 的周长l 的取值范围是________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x x 24＋y 23＝1得⎩⎨⎧x ＝23y ＝±263， ∵AB ∥x 轴，且x 1＜x 2，∴0＜x 1＜23，23＜x 2＜2， 又N (1,0)是抛物线的焦点，∴|AN |＝x 1＋1，|AB |＝x 2－x 1，又|BN |2＝(x 2－1)2＋y 22＝(x 2－1)2＋3⎝⎛⎭⎫1－x 224 ＝14(4－x 2)2， ∴|BN |＝12(4－x 2)＝2－12x 2， ∴周长l ＝3＋12x 2，而23＜x 2＜2， ∴103＜l ＜4. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫103，4三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10如图所示，已知F (0,1)，直线l ：y＝－2，圆C ：x 2＋(y －3)2＝1.(1)若动点M 到点F 的距离比它到直线l 的距离小1，求动点M 的轨迹方程E ；(2)过轨迹E 上一点P 作圆C 的切线，切点为A 、B ，要使四边形P ACB 的面积S 最小，求点P 的坐标及S 的最小值．【解析】 (1)设M (x ，y )，得x 2＋(y －1)2＝|y ＋2|－1.当y ≥－2时，化简得x 2＝4y ；当y ＜－2时，有x 2＝8y ＋8，则y ≥－1与y ＜－2矛盾，故舍去．∴点M 的轨迹E 的方程为x 2＝4y .(2)设P (x ，y )，∵S ＝2S △P AC ，|AC |＝1，∴若要S 最小，则要S △P AC 最小．要S △P AC ＝12|P A |最小，即|P A |最小． ∵|PC |2＝1＋|P A |2，又∵|PC |2＝x 2＋(y －3)2＝4y ＋(y －3)2＝(y －1)2＋8，当y ＝1时，|PC |2min ＝8，∴S min ＝7，此时点P 的坐标为(±2,1)．11．(2010年青岛模拟)已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，且满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 的斜率为k ，且与曲线C 相交于点S 、T ，若S 、T 两点只在第二象限内运动，线段ST 的垂直平分线交x 轴于Q 点，求Q 点横坐标的取值范围．【解析】 (1)设点P (x ，y )，根据题意则有：MN →＝(4,0)，|MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2，NP →＝(x －2，y )，代入|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0得：4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0.整理得点P 的轨迹C 的方程：y 2＝－8x .(2)设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，由题意得：ST 的方程为y ＝k (x －2)(显然k ≠0)与y 2＝－8x 联立消元得：ky 2＋8y ＋16k ＝0，则有：y 1＋y 2＝－8k，y 1y 2＝16. 因为直线交轨迹C 于两点，则Δ＝b 2－4ac ＝64－64k 2＞0，再由y 1＞0，y 2＞0，则－8k＞0，故－1＜k ＜0. 可求得线段ST 中点B 的坐标为(－4k 2＋2，－4k )， 所以线段ST 的垂直平分线方程为 y ＋4k ＝－1k (x ＋4k2－2)． 令y ＝0得点Q 横坐标为x Q ＝－2－4k2， x Q ＝－2－4k2＜－6. 所以Q 点横坐标的取值范围为(－∞，－6)．12．若在抛物线y 2＝4x 上恒有两点关于直线l ：y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围．【解析】 设B 、C 关于直线y ＝kx ＋3对称，直线BC 方程为x ＝－ky ＋m ，代入y 2＝4x ，得y 2＋4ky －4m ＝0，设B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，BC 中点M (x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22＝－2k ， x 0＝2k 2＋m .∵点M (x 0，y 0)在直线l 上，∴－2k ＝k (2k 2＋m )＋3.∴m ＝－2k 3＋2k ＋3k， 因M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝4x 内部，则y 20＜4x 0，把m 代入化简得k 3＋2k ＋3k＜0. 即(k ＋1)(k 2－k ＋3)k＜0，解得－1＜k ＜0.。
2011届高考数学 直线、平面垂直判定及其性质复习好题精选
直线、平面垂直判定及其性质1.(2010·宣武模拟)若a⊥α的一个充分条件是()A．a∥β，α⊥βB．a⊂β，α⊥βC．a⊥b，b∥αD．a⊥β，α∥β解析：只有选项D，a⊥β，α∥β⇒a⊥α.答案：D2．(2010·烟台模拟)如图在斜三棱柱ABC－AB1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面AB C上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1，AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在面ABC上的射影H必在二平面交线AB上．答案：A3．m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.解析：①显然正确；②错误，n还可能在β内；③错误，n可能与β相交但不垂直；④正确．答案：①④平面与平面垂直的判定与性质4.且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由三垂线定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)5．(2009·苏北模拟)在四棱锥S－ABCD中，已知AB∥CD，[来源:学.科.网] SA＝SB，SC＝SD，E、F分别为AB、CD的中点．(1)求证：平面SEF⊥平面ABCD；(2)若平面SAB∩平面SCD＝l，求证：AB∥l.解：(1)证明：由SA＝SB，E为AB中点得SE⊥AB.由SC＝SD，F为CD中点得SF⊥DC.又AB∥DC，∴AB⊥SF.又SF∩SE＝S，∴AB⊥平面SEF.又∵AB⊂平面ABCD，∴平面SEF⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD⊂面SCD，∴AB∥平面SCD.又∵平面SAB∩平面SCD＝l，根据直线与平面平行的性质定理得AB∥l.6.(2010·岳阳模拟)不成立的是()A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥cC．b⊂β，若b⊥α，则β⊥αD．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a解析：C选项的逆命题为b⊂β，若β⊥α则b⊥α.不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直交线的才垂直另一个平面．答案：C7．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则下列命题中错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析：因为三棱锥A－A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A 正确；平面A1BD∥平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确．答案：D8．(文)(2009·天津高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2 2.(1)证明P A∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；解：(1)证明：设AC∩BD＝H，连结EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥P A.又EH⊂平面BDE且P A⊄平面BDE，所以P A∥平面BDE.(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.(理)(2009·北京高考)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D 、E分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成的角的正弦值；(3)是否存在点E 使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由．解：(1)∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC .[又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC .又由(1)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC ，垂足为点E ，∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角．∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AB .又P A ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形，∴AD ＝12AB .在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∴BC ＝12AB ，∴在Rt △ADE 中，sin ∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24，即AD 与平面P AC 所成角的正弦值为24.(3)∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC .又∵AE ⊂平面P AC ，PE ⊂平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角．∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∴∠P AC ＝90°，∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC .这时，∠AEP ＝90°，故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角．9．(2009·浙江高考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：如图，取BC 中点E ，连结DE 、AE 、AD ，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE ⊥平面BB 1C 1C ，故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为1，则AE ＝32，DE ＝12， tan ∠ADE ＝AE DE ＝3212＝3， ∴∠ADE ＝60°.答案：C10．设P 是60°的二面角α－l －β内一点，P A ⊥α，PB ⊥β，A 、B 分别为垂足，P A ＝2，PB ＝4，则AB 的长是________．解析：如图所示，P A 与PB 确定平面γ，与l 交于点E ，则BE ⊥l ，AE ⊥l ，∴∠BEA 即为二面角的平面角，∴∠BEA ＝60°，从而∠BP A ＝120°，∴AB ＝P A 2＋PB 2－2P A ·PB cos ∠BPA＝4＋16＋8＝27.答案：27。
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直线系方程及其应用
直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族
表示成一个含参数的方程，然后根据直线族所满足的其它条件确定出参数的值，进而求出直
线方程。
一、直线系方程的定义
具有某一个共同性质的直线的集合叫做直线系，它的方程叫做直线系方程。
二、直线系方程的常见类型
1、过定点),(00yxP的直线系方程是：)(00xxkyy（k是参数，直线系中未包
括直线0xx），也就是平常所提到的直线的点斜式方程；
2、平行于已经直线0CByAx的直线系方程是：0ByAx（是参数）；
3、垂直于已经直线0CByAx的直线系方程是：0AyBx（是参数）；
4、过两条已知直线1l：0111CyBxA和2l：0222CyBxA的交点的直线
系方程是：0)(222111CyBxACyBxA（是参数，当0时，方程变为
0111CyBxA，恰好表示直线1l；当0时，方程表示过直线1l和2l
的交点，但不
含直线1l和2l的任一条直线）。
三、直线系方程的应用
由于两个独立条件确定一条直线，因此，在求直线方程时，可根据直线系概念，先写
出满足其中一个条件的直线系方程，然后用另一个条件求出直线系方程中的参数，即得我们
所要求解的直线方程。平常实际教学中，直线系方程第一、第二和第三种常见类型我们用的
比较多，而直线系方程第四种常见类型也有很好的用处。下面主要阐述直线系方程第四种常
见类型的应用。
例1、已知三角形三边所在的直线方程分别为：042yx，07yx，
01472yx，求边01472yx
上的高所在的直线方程。
分析：此题解题方法比较多，常规方法计算较多，若引入直线系方程，则运算简便，
解法精彩。
解析：设所求高所在的直线方程为0)7(42yxyx，
即0)74()1()2(yx，
则由0)74()1()2(yx与01472yx垂直，
可得0)7()1(2)2(，解得511，
所以所求高所在的直线方程为01927yx。
例2、求过直线0472yx与01217yx的交点，且和)1,3(A、)7,5(B等
距离的直线方程。
分析：此题解题常规方法为设点斜式直线方程，但这样默认了所求直线的斜率存在的
情况，往往遗漏了斜率不存在时的直线方程。若引入对应的直线系方程，则避免了这种情况
的发生，解法非常巧妙。
解析：设所求直线方程为0)1217(472yxyx，
即0)4()217()72(yx，
由点)1,3(A、)7,5(B到所求直线等距离，可得
22)217()72(|41)217()3()72(|22)217()72(|47)217(5)72(|
，
整理可得|55113||343|，
解得3529或31，
所以所求高所在的直线方程为0132821yx或1x。
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