§8.3 非齐次边界条件的处理§8.4 泊松方程
泊松方程
泊松方程泊松方程只得是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。
在数学以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（Laplace operator 或Laplacian）是一个微分算子，通常写成Δ或；这是为了纪念皮埃尔-西蒙·拉普拉斯而命名的。
拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。
在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。
在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。
在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。
在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。
泊松方程成立的条件泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程,△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时,有▽Φ=f（f为引力场的质量分布）.后推广至电场磁场,以及热场分布.该方程通常用格林函数法求解,也可以分离变量法,特征线法求解.泊松方程的物理内涵泊松方程可以看做是不可压缩的流体运动方程。
方程的意义相当于穿过任意封闭曲面的液体的流量等于曲面内所包含的流体源产生液体的总量。
对于电动力学中静电场，电场强度相当于流密度，净电荷相当于流体源电动力学中电场对空间坐标的二次导数与空间内电荷量成正比。
半导体中的泊松方程泊松方程表明电荷产生电场：电位的二阶导数与电荷密度成正比。
近似条件：PIN结中无载流子即全部耗尽，施主和受主完全电离。
PIN结的泊松方程：(0<x<Xn)d^2V(x)/dx^2=-Nd/ε，(-Xp<x<0)d^2V(x)/dx^2=-Na/ε边界条件E(0)=E(Xn)=-dV(x)/dx(x=-Xp,Xn)=0，V(x=-Xp)=0,V(x=Xn)=0 将上面的式子一次积分（注意符号）带入边界条件就能得出电场的分布，再次积分就能得出电势的分布。
高数泊松方程
高数泊松方程
泊松方程（Poisson's equation）是一个在物理学和数学中常见的偏微分方程，它描述了静电场、引力场或热传导等物理现象。
在二维或三维空间中，泊松方程可以表示为：
Δf = ρ
其中，Δ 是拉普拉斯算子（Laplacian operator），f 是某个标量场（如电势、温度等），ρ 是该场的源（如电荷密度、热源等）。
在高等数学中，泊松方程通常用于求解具有特定边界条件的偏微分方程。
例如，在静电学中，给定电荷分布ρ，我们可以使用泊松方程来求解电势 f 的分布。
为了求解泊松方程，我们可以使用分离变量法、有限差分法、有限元法或谱方法等数值方法。
这些方法可以帮助我们找到满足方程和边界条件的近似解。
需要注意的是，泊松方程是一个椭圆型偏微分方程，这意味着它的解在整个定义域内都是光滑的。
此外，泊松方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，如电磁学、流体力学、热力学等领域。
数学物理方法19
2
d
2
m 的解为 A cos m B sin m
2
其隐含边界条件决定了m为非负整数。
第九章 常微分方程的级数解法
iv)
sin d d (sin d d ) l ( l 1 ) sin m
2 2
在做自变量变换 x cos
(1 x )
2
v x(a x)
第八章 分离变数法
因此对于w=u-v，满足
w 0
w |x0 0, w |xa 0
w | y 0 x ( x a ), w | y b x ( x a )
以下可仿照前面例题求解。
第八章 分离变数法
如何在齐次化泊松方程的同时保持边界条件的齐次性？
1、对于极坐标，存在隐藏的齐次边界条件：
u ( ) u ( 2 )
2、采取特解法在齐次化泊松方程的同时保持边界条件的齐 次性。
3、对于矩形边界，可令 w w 1 w 2 ，并使w1满足x边界 的齐次性，w2满足y方向的齐次性。
第八章 分离变数法
$8.5 小结
1、线性方程满足叠加原理，使各个方程的非齐次部分可得 到单独解决。即线性系统中各种因素的影响独立作用于系统。
cos 2
4
4
12
第八章 分离变数法
对于 w u v ，满足
w 0
w | c
0
a 4
0
2
b 12
0 cos 2
4
在极坐标系中有隐含齐次边界条件和一般解：
u ( , ) C 0 D 0 ln
m 1
( A m cos m B m sin m )
具有非齐次边界条件的问题
nx sin (n 1, 2, ); l (2n 1)x sin (n 1, 2, ); 2l (2n 1)x cos (n 1, 2, ); 2l nx cos (n 0, 1, 2, ); l
和 w(r, ) 分别满足
1 1 vrr vr 2 v F (r , ),(0 r r0 ), r r
v | r r0 0.
(P1)
1
补充
对于如下泊松方程的边值问题而言：
1 1 u rr u r 2 u F (r , ), (0 r r0 ), r r
u ( x,0) ( x), u t ( x,0) ( x).
(82) w(0, t ) u1 (t ), w(l , t ) u 2 (t ), (84) 其实满足(84)中两个条件的函数 w( x, t ) 是很多的， 为了以后计算方便起见，通常取w( x, t ) 为 x 的一次 式， 即设 w( x, t ) A(t ) x B(t ), 由条件(84)确定 A(t ), B(t ) 得
2
2 v n (t ) n
e
0
t
(
na 2 ) ( t ) l
d
(90) 可得
( na ) 2 t 2l nx v ( x, t ) e l 1 sin . 3 2 l n 1 ( n ) a
u(0, t ) t , u(l , t ) 0,
(87) 令
u( x,0) 0,.
t w( x, t ) x t. 解 选取辅助函数 l
则问题(87)化成 x 2 vt a v xx - 1 (0 x l , t 0), l v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, (88) v( x,0) 0.
泊松方程推导
泊松方程推导泊松方程（Poisson's Equation）是数学中的一种偏微分方程，描述了标量场在无源情况下的分布。
它在物理学、工程学和其他领域中有着广泛的应用，尤其在电场和重力场的研究中起着重要的作用。
泊松方程是由法国数学家西蒙·泊松（Siméon Denis Poisson）于19世纪初提出的，它描述了一个标量函数在空间中的分布情况。
泊松方程可以用来解决各种物理问题，如电场分布、热传导等。
它的一般形式可以表示为：∇²φ = -ρ/ε₀其中，φ是待求的标量场，ρ是源项，ε₀是真空介电常数。
这个方程描述了标量场的拉普拉斯算子（Laplacian）与源项之间的关系。
泊松方程的解可以通过数值计算或解析解得到。
在一些简单的情况下，可以通过分离变量法、格林函数法等方法求解。
然而，在实际问题中，往往需要借助计算机进行数值求解。
泊松方程的数值求解方法包括有限差分法、有限元法等。
其中，有限差分法是一种常用的数值求解方法。
它将空间离散化为网格，并通过近似计算网格点上的函数值和导数值。
有限差分法的核心思想是将微分方程转化为代数方程，通过求解代数方程组得到解。
在有限差分法中，泊松方程的离散形式可以表示为：φᵢ₊₁ⱼ + φᵢ₋₁ⱼ + φᵢⱼ₊₁ + φᵢⱼ₋₁ - 4φᵢⱼ = -ρᵢⱼ/ε₀其中，i和j分别表示网格点的索引，φᵢⱼ表示网格点上的函数值，ρᵢⱼ表示源项的值。
通过求解代数方程组，可以得到网格点上的函数值，从而得到整个空间中的标量场分布。
泊松方程的求解涉及到边界条件的选择。
边界条件是指在边界上给定的条件，用于确定解的唯一性。
常见的边界条件有：第一类边界条件（Dirichlet边界条件）和第二类边界条件（Neumann边界条件）。
第一类边界条件是指在边界上给定函数值，第二类边界条件是指在边界上给定导数值。
根据具体问题的要求和边界条件的给定，可以选择合适的边界条件进行求解。
泊松方程
泊松方程
泊松方程（法语：Équation de Poisson）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。
泊松方程为
在这里代表的是拉普拉斯算子，而和可以是在流形上的实数或复数值的方程。
当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成
在三维直角坐标系，可以写成
如果有恒等于0，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。
泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。
现在也发展出很多种数值解，如松弛法（一种迭代法）。
通常泊松方程表示为
这里代表拉普拉斯算子，为已知函数，而为未知函数。
当时，这个方程被称为拉普拉斯方程。
为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:
其中为有界开集。
这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:
其中为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积得到的解。
为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数
为一个校正函数，它满足
通常情况下是依赖于。
通过可以给出上述边界条件的解
其中表示上的曲面测度。
此方程的解也可通过变分法得到。
数理方程第二章 非齐次边界条件的处理-5
深圳大学电子科学与技术学院
W
W W
x 0 xl
u1 ( t ) u2 ( t )
W1
W2
( 2.59)
l
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
如，可取直线
W ( x, t ) A(t ) x B(t )
2 2
1 ( x )
t 0
将U的边界条件代入 u( x, t ) V ( x, t ) u1 (t ) u2 (t ) u1 (t ) x
L
由 u x L u2 (t )，得
u (t ) u1 (t ) u (0, t ) V ( L, t ) u1 (t ) 2 L L
x
孙子兵法中，称之为 “偷梁换柱”法。
就能使新的未知函数 V ( x , t ) ，满足齐次的边界条件。
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然后来解决关于新的函数V(x,t)——（齐次）的定解问题. 2 2 u u 2 u V W a f ( x, t ) 2 代入 t 2 x
( 2.59)
就能合乎要求。可是，满足（2.59）要求的函数 W(x,t) 是很多的，例如
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W
l , (u2 (t ))
0
l
W
W W
x 0 xL
u1 (t ) u2 (t )
0, (u1 (t ))
W1
W2
( 2.59)
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
分离变量法非齐次边界条件的处理
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第 7 章 分离变量法
令 w(x,t) = A(t)x + B(t)
则 w(x, t) = h(t) − g(t) x + g(t) (7) l
(3) 求解 v (x, t)的定解问题
{ (1) − (3) →
v tt − a 2v xx = −(wtt − a 2wxx ) (8)
10/26/2015
DENG S.H
4/13
13:07:16
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第 7 章 分离变量法
四、例题 研究一端固定，一端按 sinωt 周期运动的弦运动。
utt − a2u= xx 0 , 0 < = u(0, t ) 0= , u(l, t )
x<l
sin ω t
(1) (2)
u( x, 0=) 0 , ut ( x, 0=) 0 , 0 < x < l (3)
13:07:14
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第 7 章 分离变量法
§7.3 非齐次边界条件的处理
Inhomogeneous boundary Conditions
已知对于齐次边界条件情形，可用本征函数法等求解。
utt = u
x=0
a2 =
uxx g(t
+ ),
f (x,t) , 0 < u = h(t)
x=l
v |x=0 = 0, v |x=l = 0
(9)
v v
|t = t |t
0 =
= ϕ( 0=ψ
x) (x
− w( x,0) ) − wt ( x,0)
(10)
§7.1,§7.2
(4) 定解问题（1）-（3）的解
第二章分离变量法非齐次边界
比较系数 V ( x, t ) v0 (t ).
A
sin t
2 a B v0 '' t A sin t l v (0) 0, v ' (0) 0, 0 0
2 na vn '' t vn t 0; l v 0 0, v ' 0 0 n n
思路: 作代换 u 选取w(x,t)使v(x,t)的边界条件化为齐次
x, t v( x, t ) w( x, t ) 解得
A(t ) x B(t )
2
解： 取 w x, t 故
[ 2 ( t ) 1 ( t )] A( t ) l B( t ) 1 t
2）将问题分解为两个定解问题。设
U x, t V x, t W x, t
其中 W ( x, t ) 满足定解问题
2 2W W 2 t 2 a x 2 , 0 x l , t 0; ( I ) Wx |x 0 0, Wx |x l 0; B 2 W |t 0 x , Wt |t 0 0 2l
2.5 非齐次边界条件的处理
处理非齐次边界条件问题的基本原则是: 选取 一个辅助函数
u x, t v x, t wห้องสมุดไป่ตู้x, t
w x, t , 通过函数之间的代换:
使得对新的未知函数 v x, t 边界条件为齐次的.
例1．振动问题
utt a 2u xx f ( x, t ) （I） u (I)的 x 0 1 (t ) u x l 2 (t ) 要求满足 边界条件，即 A( t )0 B( t ) 1 ( t ) u ( x ) u ( x ) t t 0 t 0 A( t )l B( t ) ( t )
泊松方程的推导
泊松方程的推导泊松方程是数学中的一类偏微分方程，描述了物理系统中的势能分布。
它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有重要的应用。
本文将从基本概念出发，逐步推导泊松方程的表达式和求解方法。
我们来了解一下泊松方程的定义。
泊松方程是指具有以下形式的偏微分方程：∇²φ = f，其中∇²表示拉普拉斯算子，φ是待求解的函数，f是已知的函数。
泊松方程可以用来描述许多物理系统中的平衡状态，比如电势、温度和流体静压力等。
为了推导泊松方程，我们首先考虑一个二维情形。
假设我们有一个平面上的区域Ω，且函数φ在Ω上满足泊松方程。
我们希望找到一个函数u(x, y)，使得u满足以下条件：1. u在Ω上连续可微；2. u在Ω的边界上满足一定的边界条件。
为了满足这些条件，我们引入一个辅助函数v(x, y)，定义为：v(x, y) = u(x, y) - φ(x, y)。
根据辅助函数v的定义，我们可以得到以下两个结论：1. 辅助函数v满足拉普拉斯方程∇²v = 0；2. 辅助函数v在Ω的边界上满足边界条件v = 0。
现在，我们的目标是找到满足上述条件的辅助函数v。
为此，我们可以利用格林公式，将拉普拉斯方程在Ω内部积分，得到：∫∫Ω(∇²v)dxdy = ∫∫∂Ω(∇v·n)dS，其中∂Ω表示Ω的边界，n表示边界的外法向量，dS表示面积元素。
根据边界条件v = 0，上式右侧为0。
因此，我们得到：∫∫Ω(∇²v)dxdy = 0。
为了进一步推导，我们可以将拉普拉斯算子表示为二阶偏导数的形式，即∇²v = ∂²v/∂x² + ∂²v/∂y²。
将这个表达式代入上式，得到：∫∫Ω(∂²v/∂x² + ∂²v/∂y²)dxdy = 0。
根据积分的线性性质，我们可以将上式分解为两个积分：∫∫Ω(∂²v/∂x²)dxdy + ∫∫Ω(∂²v/∂y²)dxdy = 0。