烟台一模试卷讲评
山东省烟台市高三数学3月诊断性测试试题 理(烟台一模,含解析)新人教A版
数学（理）试题注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑龟墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔．要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。
3．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1．已知i 是虚数单位，若(1)z i i +=，则|z|等于A ．1B ．2C ．2D ．12【答案】C【解析】由(1)z i i +=，得2(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i i --====+++-，所以2z ==，选C.2．若集合M={x∈N *| x<6}，N={}||1|2x x -≤，则M ()R N =A ．（-∞，-1）B ．[)1,3C ．（3,6）D ．{4,5}【答案】D 【解析】{1,2,3,4,5}M =,{212}{13}N x x x x =-≤-≤=-≤≤，所以(){13}R N x x x =<->或，3．已知幂函数y=f （x ）的图象过点（122），则log 2f （2）的值为 A ．12B ．-12C ．2D ．-2【答案】【解析】设幂函数为()f x x α=，则11()()222f α==，解得12α=，所以()f x =以(2)f =221log (2)log 2f ==，选A. 4．已知函数221()x f x e -=，若[cos()]12f πθ+=，则θ的值为A ．4k ππ+B ．4k ππ-C ．24k ππ+ D ．4k ππ-（其中k∈Z） 4 4 2 4【答案】C【解析】由221()1xf x e -==，得2210x -=，即22cos ()102πθ+-=，所以cos 2()cos(2)cos 202πθπθθ+=+=-=，所以2,2k k Z πθπ=+∈，即,24k k Z ππθ=+∈，选C.5．下列说法错误的是：A ．命题“若x 2—4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x 2－4x+3≠0” B ．“x>l”是“|x|>0”的充分不必要条件 C ．若p∧q 为假命题，则p 、g 均为假命题D ．命题P ：″x R ∃∈，使得x 2+x+1<0”，则2:",10"P x R x x ⌝∀∈++≥【答案】C【解析】若p∧q 为假命题，则p 、g 至少有一个为假命题，所以C 错误。
山东烟台市 2019年高考一模数学文科试题解析卷
山东烟台市 2019年高考一模数学文科试题解析卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z 满足(1i)2i z -=（i 为虚数单位），则z =（ ）A.1i --B.1i -+ C.1i +D.1i -【答案】B 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由()12i z i -=，得()()()2121111i i iz i i i i +===-+--+， ∴1zi =--．故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.若集合{|1}M x x =>，{|04}N x Z x =∈≤≤，则()R C M N =（ ）A.{}0B. {0,1}C. {0,1,2}D. {2,3,4}【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合N ，然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】N ＝{0，1，2，3，4}，∁R M ＝{x|x≤1}； ∴（∁R M ）∩N ＝{0，1}． 故选：B ．【点睛】本题考查补集、交集的运算，描述法、列举法的定义，熟记交集，补集的定义是关键，是基础题．3.在矩形ABCD 中，4AB =uu u r,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】本题可以以AD ，AB 两个向量作为基底向量用来表示所要求的AM ，MN ，然后根据向量的性质来运算，从而得出结果．【详解】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=. 故选：C ．【点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．4.若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A.1-B. 0C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 是奇函数，即可求出114f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，而根据0x <时，2()l o g ()f x x m=-+即可得出1214f m ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，从而求出1m =． 【详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，且0x <时，2()log ()f x x m =-+；∴211log 2144f m m ⎛⎫-=+=-+=- ⎪⎝⎭； ∴1m =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型.5.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,1-，则c o s2θ=（ ） A.35-B.35C. 45-D.45【答案】D 【解析】 【分析】由任意角的三角函数的定义求得sin θ，然后展开二倍角公式求cos2θ． 【详解】解：∵角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,1-，∴OP =∴sin 10θ=则224cos212sin 125θθ=-=-⨯=⎝⎭. 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 8B. 16C. 32D. 64【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图进行模拟计算即可． 【详解】解：当1a =，2b =时，2Sab ==，100S <成立， 则2a =，2b =，224S ab ==⨯=，100S <成立， 则2a =，4b =，248S ab ==⨯=，100S <成立， 则4a =，8b =，4832S ab ==⨯=，100S <成立，则8a =，32b =，832256S ab ==⨯=，100S <不成立， 输出32b =，故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．7.已知,a b ∈R ，则“0ab >”是“2b aa b+>”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】B 【解析】 【分析】结合充分必要条件判定，相互互推，即可得出答案。
2021年山东省烟台市中考物理一模试卷及解析
2021年山东省烟台市中考物理一模试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．下列说法正确的是....................................................................................................... （）A．移动电话的声音信号是由超声波传递的B．车胎上有凹凸不平的花纹是为了减小摩擦C．“闻其声而知其人”，这是依据声音的响度不同来判断的D．糖在热水中溶解得快，说明温度越高，分子的热运动越激烈2．关于热机，下列说法错误的是（）A 热机性能好坏的重要标志之一是热机效率B 在四冲程内燃机中减少废气带走的大量热量可以大大提高热机效率C柴油机的效率比汽油机的高，这是因为柴油的热值比汽油的大D 在压缩冲程中内燃机将机械能转化为内能3．关于图3中的能量转化，下列说法中正确的是:（）A．甲图中小孩把橡皮筋拉长，势能转化为动能;B．乙图中小孩从滑梯上滑下，势能转化为动能与内能;C．丙图中人搓手取暖，内能转化为机械能;D．丁图中液化气燃烧加热铁锅，化学能转化为机械能.4．（09河南）．如所示的四个实验现象中，能够说明分子在不停地运动的是5．下图中，属于费力杠杆的是....................................................................................... （）A．开啤酒瓶盖的开瓶器; B．剥核桃壳的核桃钳;C．钩鱼者手中的鱼杆; D．撬钉子的钉锤.6．关于运动和力，下列说法中正确的是................................................................................ () A．力是使物体保持静止的原因B．力是使物体运动状态发生改变的原因C．力是维持物体运动的原因D．物体受到力的作用就一定运动7．下列说法中，哪些是正确的.............................................................................................. （）A．物体受力，运动状态一定改变B．物体不受力，运动状态一定不改变C．物体运动状态不变，说明它不动D．物体运动过程中速度大小不变，则它受到的力是平衡力8．在学校运动会中测量跳高成绩时，应选取的合适的测量工具是:（）A．分度值是1cm的15cm皮卷尺;B．分度值是1mm的1.5m钢卷尺;C．分度值是1mm的米尺;D．自制一根分度值是1cm的硬杆长尺.9．坐在汽车里的乘客、司机和路旁的孩子们有如图所示的对话，以下分析正确的是:（）A．孩子们认为汽车前进得快，是以汽车为参照物的;B．不论选什么作为参照物，乘客都是不动的;C．司机说乘客没动，是以汽车为参照物的;D．图画中的人物都是以地面为参照物来判断运动与否的.10．下面是某同学进行相关实验时对有关物理量的测量及结果，其中有明显错误的是（）11．如图2所示，电源、电压恒定不变，当S闭合后，滑动变阻器的滑片P向右端移动的过程中，下列说法正确的是（）A．灯光亮度不变，电压表示数变大B．灯光变亮，电压表示数变大C．灯光变暗，电压表示数变小D．灯光变暗，电压表示数变大.12．在图所示的电路中，两个灯泡完全相同，电压表的读数是3 V，关于电源电压和灯L2两端的电压，下列说法中正确的是（）A．3 V，3 V B.1.5 V，3 V C．3 V，1.5 V D.6 V，3 V.13．站在山洞里说话听不到回声是因为: （）A．山洞狭小不产生回声;B．山洞狭小回声与原声混在一起;C．山洞反射的回声由洞口传出;D．山洞两侧反射的回声相互抵消.二、填空题14．图（a）所示仪器的名称是，用来测量物体的；在电学实验中，电流表应该在电路中（选填“串联’’或“并联”），图（b）中电流表的示数为安。
2022年山东省烟台市高考物理一模试卷+答案解析(附后)
2022年山东省烟台市高考物理一模试卷1. 有些元素的原子核有可能从很靠近它的核外电子中“俘获”一个电子形成一个新原子核，从离原子核最近的K层电子中俘获电子，叫“K俘获”。
现有一个铍原子核发生了“K俘获”，生成一个新的原子核，并放出一个不带电的、质量接近于零的中微子，核反应方程为：。
关于铍原子核的“K俘获”的过程，下列说法正确的是( )A. 新原子核带负电B. 新原子核比原来的铍原子核少一个中子C. 新原子核比原来的铍原子核少一个质子D. 新原子核与原来的铍原子核的核子数不同2. 如图所示，在“用双缝干涉测量光的波长”的实验中，将实验仪器按要求安装在光具座上，某同学观察到清晰的干涉条纹。
若他对实验装置进行改动后，在毛玻璃屏上仍能观察到清晰的干涉条纹，但条纹间距变窄。
下列改动可能会实现这个效果的是( )A. 仅将滤光片向右移动靠近单缝B. 仅减小双缝间的距离C. 仅增大双缝与毛玻璃屏间的距离D. 仅将红色滤光片换成绿色滤光片3. 甲、乙两车在同一直线上运动，它们运动的位移x随时间t变化的关系如图所示，已知甲车的图像为抛物线的一部分，时刻对应图像的最高点，乙车的图像为直线，下列说法正确的是( )A. 甲车的初速度为B. 甲车的加速度大小为C. 到内甲车的位移为70mD. 在到时间内的某时刻，甲、乙两车的速度大小相等4. 人造地球卫星与地心间距离为r时，若取无穷远处为势能零点，引力势能可以表示为，其中G为引力常量，M为地球质量，m为卫星质量。
卫星原来在半径为的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于稀薄空气等因素的影响，飞行一段时间后其圆周运动的半径减小为此过程中损失的机械能为( )A. B. C. D.5. 如图所示电路中，理想变压器原线圈两接线柱间的交流电压的有效值不变，两灯泡、规格完全相同，在以下各种操作中各电路元件都没有损坏，下列说法正确的是( )A. 仅使滑片M下移，电流表示数变大B. 仅使滑片M下移，变压器原线圈中的电流变大C. 仅使滑片N自变阻器a端向b端移动，灯泡中的电流一直增大D. 仅使滑片N自变阻器a端向b端移动，电流表示数一直增大6. 如图所示，山坡上两相邻高压线塔之间架有粗细均匀的导线，静止时导线呈曲线形下垂，最低点在C处。
2024年山东省烟台市高三一模卷数学试题及答案
2024年高考诊断性测试数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合R U =，集合{}{}2230,02A xx x B x x =+−<=≤≤∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.()3,0−B.()1,0−C.()0,1D.()2,32.若5250125(12)x a a x a x a x −=++++L ，则24a a +=（ ）A.100B.110C.120D.1303.若点()1,2A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，则AF =（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.若π1cos 43α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A.59−B.59C.79− D.795.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）A.3B.6C.10D.156.设,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A.若a ∥,b α∥α，则a ∥b B.若,a b 与α所成的角相等，则a ∥bC.若,a αβ⊥∥,b α∥β，则a b ⊥D.若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a b ⊥7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()21xf x =−，则()2log 12f =（ ） A.13−B.14− C.13 D.128.在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B −，向量OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，且40m n −−=.若P 为椭圆2217y x +=上一点，则PC u u u r 的最小值为（ ）D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知12,z z 为复数，下列结论正确的有（ ） A.1212z z z z +=+ B.1212z z z z ⋅=⋅C.若12z z ⋅∈R ，则12z z =D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为,x y ，设事件A =“(1)log x y +为整数”，B =“x y +为偶数”，C =“2x y +为奇数”，则（ ） A.()16P A =B.()112P AB = C.事件B 与事件C 相互独立 D.()718P AC =∣ 11.给定数列{}n a ，定义差分运算：2*11Δ,ΔΔΔ,n n n n n n a a a a a a n N ++=−=−∈.若数列{}n a 满足2n a n n =+，数列{}n b 的首项为1，且()1*Δ22,n n b n n N −=+⋅∈，则（ ）A.存在0M >，使得Δn a M <恒成立B.存在0M >，使得2Δn a M <恒成立C.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得n b M >D.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得2Δnnb M b > 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆22()(1)1x m y −+−=关于直线y x =对称的圆恰好过点()0,4，则实数m 的值为__________. 13.在三棱锥P ABC −中，2PB PC ===，且,,APB BPC CPA E F ∠∠∠==分别是,PC AC 的中点，90BEF ∠=o ，则三棱锥P ABC −外接球的表面积为__________，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为__________.（本小题第一空2分，第二空3分.）14.若函数()sin 1f x x x ωω=+−在[]0,2π上佮有5个零点，且在ππ,415⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，则正实数ω的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已如曲线()()22ln ,f x ax x x b a b =+−+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.（1）求a 的值：（2）若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，,3,2AB AC AB AD DB ⊥===，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .（1）求证：1AA OD ⊥；（2）若1AA =1B AA O −−的余弦值.17.（15分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分：两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别41,53，乙答对两道题的概率分别为21,32，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为12，甲答对任意一题的概率为512，乙答对任意一题的概率为34，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立（1）在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率： （2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率：（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X 道题抢答后比赛结束，求随机变量X 的分布列及数学期望.18.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>经过点()2,0A −l 过点()3,0D 且与双曲线C 交于两点,P Q （异于点A ）.（1）求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值.并求出该定值：（2）过点D 分别作直线,AP AQ 的垂线.垂足分别为,M N ，记,ADM ADN V V 的面积分别为12,S S ，求12S S ⋅的最大值.19.（17分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点,O t 为AM 绕点A 转过的角度（单位：弧度，0t ≥）.（1）用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ：（2）设点M 的轨迹在点()()0000,0M x y y ≠处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1cos2y θ+为定值： （3）若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为()()()[],,,x t y t t αβ∈，则该光滑曲线长度为()()F F βα−，其中函数()F t 满足()F t ='.当点M 自点O 滚动到点E时，其轨迹»OE为一条光滑曲线，求»OE 的长度.2024年高考诊断性测试数学参考答案及评分标准一、选择题A CBC BD A A 二、选择题9.ABD 10.BCD 11.BC 三、填空题12.4 13.10π214.95[,]42四、解答题15.解：（1）x ax x f 212)('−+=, ··································· 2分 直线210x y ++=的斜率21−=k ,由题意知2)2('=f ， ··································· 4分 即2114=−+a ，所以21=a . ···································· 5分 （2）)(x f 的定义域为)0(∞+，. ··································· 6分 因为()0f x ≥，所以x x x b ln 2212+−−≥.设),0(,ln 221)(2+∞∈+−−=x x x x x g ，则max ()b g x ≥.························ 8分 xx x x x x x x x g )2)(1(221)('2++−=+−−=+−−= ··················· 9分 当)1,0(∈x 时，0)('>x g ，所以)(x g 在)1,0(单调递增，当),1(+∞∈x 时，0)('<x g ，所以)(x g 在),1(+∞单调递减， ··············· 11分 所以max 3()(1)2g x g ==−. 所以23−≥b . ······························· 13分16.解：（1）因为AB AC ⊥，3AB ==，所以60ACB ∠=，12OA BC == ············································ 1分因为3AB =，2AD DB =，所以1DB =.在DBO 中，30DBO ∠=，1DB =，OB =，由余弦定理222121cos301OD ︒=+−⨯=，所以1OD =. ········· 3分在ADO 中，1OD =，2AD =，AO =AO OD ⊥. ····· 4分因为1AO ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ABC ， 所以1A O OD ⊥. ····················································· 5分因为1AOAO O =，所以OD ⊥平面1AOA . ······································ 6分 因为1AA ⊂平面1AOA ，所以1AA OD ⊥； ····································· 7分 （2）由（1）可知，1,,OA OD OA 两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OA OD OA 方向分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −. ······ 8分因为1AA =AO =13AO =. ············· 9分则A ， 1(0,0,3)A，3(,,0)22B −. ··········· 10分可得133(,,3)22BA =−，333(,,0)22BA =−， 设(,,)x y z =m 为平面1ABA 的一个法向量，则33023022x y z x y −+=⎨⎪−=⎪⎩，取x =，则3y =，1z =， 故=m ， ····························· 12分 由题意可知，(0,1,0)=n 为平面 ······················· 13分因为3cos ,||||13<>===m n m n m n ，所以二面角1B AA O −−的余弦值为13. ······························· 15分17.解：（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率112141114121753325332533245p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ·························· 4分（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率15111212243p =⨯+⨯=. ············ 7分 （3）X 的可能取值为2,3,4,5.因为甲任意一题得15分的概率为13，所以任意一题乙得15分的概率为23. ····· 8分 211(2)()39P X ===， 121214(3)33327P X C ==⨯⨯⨯=， 1243121228(4)()()333381P X C ==⨯⨯⨯+=， 13334412121232(5)()()33333381P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ··················· 12分所以的分布列为·································· 13分所以142832326()2345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ····················· 15分 18.解：（1）由题意知，2a =，c a= 又因为222=+c a b ， ··················· 2分解得4=b .所以，双曲线C 的方程为221416x y −=. ············································· 3分 设直线l 的方程为3x my =+，联立2214163x y x my ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得，22(41)24200m y my −++=. ··············· 4分不妨设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12m ≠±，且1222441m y y m −+=−，1222041y y m =−. ························· 5分 所以12122121212225()25AP AQ y y y y k k x x m y y m y y =⋅=+++++ ····················· 7分 45=−. ····························· 9分 （2）设直线AP 的方程为(2)y k x =+，则直线1:(3)DM y x k=−−，联立(2)1(3)y k x y x k =+⎧⎪⎨=−−⎪⎩，解得251M k y k =+， ····································· 11分 用45k −替换上式中的k 可得21002516N ky k −=+. ······························· 13分 故21222253125||4(1)(2516)M N k S S y y k k ⋅==++ ································· 15分 223125162541k k=++.因为22162540k k +≥=，当且仅当5k =±时，“=”成立，所以12312581S S ⋅≤， 故12S S ⋅的最大值为312581. ························· 17分 19.解：（1）由题意可得1cos y t =−，||OB BM t ==，所以||sin sin x OB t t t =−=−， ································ 2分所以sin x t t =−，1cos y t =−. ································ 4分（2）证明：由复合函数求导公式t x t y y x '''=⋅，所以sin 1cos x tt x t t y x y t y x x t '''⋅'===''−. ·········································· 7分 所以sin tan 1cos ttθ=−，因为222222cos 21cos 22cos sin cos tan 1θθθθθθ+===++ 20222(1cos )1cos sin 22cos ()11cos t t y t t t −===−=−+−，所以01+cos2y θ为定值1. ········································· 10分（3）由题意，()2|sin |2t F t '===. ·········· 13分因为02t ≤≤π，sin 02≥所以()2sin 2tF t '=，所以()4cos 2tF t c =−+（c 为常数）， ······································ 15分(2)(0)(4cos )(4cos0)8F F c c π−=−π+−−+=,所以OE 的长度为8. ································· 17分。
2020年山东省烟台市福山区中考数学一模试卷 解析版
2020年山东省烟台市福山区中考数学一模试卷一、选择题（本题共12个小题每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的.1．如果a与3互为相反数，那么a的倒数等于（）A．3B．﹣3C．D．2．下列扑克牌中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图所示物体的左视图是（）A．B．C．D．4．某种冠状病毒的直径是110纳米，已知1纳米＝0.000 000 001米，用科学记数法将110纳米表示为（）A．1.1×10﹣7米B．1.1×10﹣8米C．1.1×10﹣9米D．1.1×10﹣10米5．利用科学计算器求一组数据的平均数，其按键顺序如下：则输出结果为（）A．1.5B．6.75C．2D．76．通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（）A．B．C．D．7．在2019年中考体育测试中，我区有6名学生的成绩如表，则这6名学生成绩的平均数、中位数、方差依次为（）成绩（分）353639人数321 A．36，35，1B．1，2.5，5C．36，35.5，1D．36，35.5，2 8．如图，直线y＝2x+1和y＝kx+3相交于点A（m，），则不等式关于x的不等式kx+3≤2x+1的解集为（）A．x≥B．x≥C．x≤D．x≤9．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝78°，则∠EAC的度数为（）A．22°B．24°C．27°D．30°10．如图，在同一直角坐标系中，y1＝ax2+bx+c与双曲线y2＝交于A（x a，y a），B（x b，y b），C（x c，y c）三点，则满足y1＜y2的自变量x的取值范围是（）A．x＞x a或x b＜x＜x c B．x a＜x＜0或x b＜x＜x cC．x＜x a或x＜x b或x＜x c D．x＜x a或0＜x＜x b或x＞x c11．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．其中正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个12．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，0），△OAB是等边三角形，一动点P从O点开始，以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B→O→A……规则作循环运动，那么第2020秒结束后，点P的坐标为（）A．（1，）B．（2，0）C．（，）D．（﹣，）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）13．（sin60°）﹣2+|﹣2|﹣（tan30°﹣1）0＝．14．两个最简二次根式3与是同类二次根式，则a＝．15．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k＝．16．如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，若△BDE的面积为3，则k＝．17．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为2的⊙O，点M为BC的中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在DE上．把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，此圆锥的高为．18．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，则sin∠GFE＝．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）19．（6分）先化简：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．20．（8分）为阻断新冠疫情向校园蔓延，确保师生生命安全和身体健康，教育部通知，2020年春季学期延期开学，利用网上平台，停课不停学”，我区某校对初四全体学生数学线上学习情况进行调查，随机抽取部分学生的3月月诊断性测试成绩，按由高到低分为A，B，C，D四个等级，根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）该校共抽查了名同学的数学测试成绩，扇形统计图中A等级所占的百分比a＝；（2）补全条形统计图；（3）若该校初四共有1180名同学，请估计该校初四学生数学测试成绩优秀（测试成绩B 级以上为优秀，含B级）约有名；（4）该校老师想从两男、两女四位学生中随机选择两位了解平时线上学习情况，请用列表或画树形图的方法求出恰好选中一男一女的概率．21．（8分）某太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示，已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直，AC＝60cm，∠ADE＝30°，DE＝280cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）22．（9分）“小口罩，大温暖”为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A，B两种不同款型，其中A型口罩单价100元/盒，B型口罩单价80元/盒．（1）先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A型口罩和B型口罩各多少盒？（2）我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m 盒，B型口罩（3m﹣28）盒．求该街道社区人口总数．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，PB⊥AB，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M．（1）求证：PM是⊙O的切线；（2）若，求的值．24．（11分）已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN ⊥CE．25．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y 轴交于点C．过点B的直线y＝kx+分别与y轴及抛物线交于点D，E．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）如图2，将直线BE沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于M，N两点．直线AC与线段EM交于点G．①四边形CGMN是平行四边形吗？请说明理由．②抛物线的对称轴上是否存在一点F．使|F A﹣FD|的值最大？若存在，求出其最大值及点F的坐标；若不存在，请说明理由．2020年山东省烟台市福山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的.1．如果a与3互为相反数，那么a的倒数等于（）A．3B．﹣3C．D．【分析】先根据只有符号不同的两个数互为相反数求出a，再根据乘积是1的两个数互为倒数解答．【解答】解：∵a与3互为相反数，∴a＝﹣3，∵（﹣3）×（﹣）＝1，∴a的倒数是﹣．故选：D．2．下列扑克牌中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．3．如图所示物体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据左视图是矩形，左视图中间有横着的实线进行选择即可．【解答】解：左视图为：，故选：B．4．某种冠状病毒的直径是110纳米，已知1纳米＝0.000 000 001米，用科学记数法将110纳米表示为（）A．1.1×10﹣7米B．1.1×10﹣8米C．1.1×10﹣9米D．1.1×10﹣10米【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：110纳米×0.000 000 001＝1.1×10﹣7（m）．故选：A．5．利用科学计算器求一组数据的平均数，其按键顺序如下：则输出结果为（）A．1.5B．6.75C．2D．7【分析】根据题意，求的是3、3、0、2的平均数是多少，用3、3、0、2的和除以4即可．【解答】解：（3+3+0+2）÷4＝8÷4＝2∴输出结果为2．故选：C．6．通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（）A．B．C．D．【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．【解答】解：作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．由此可知：选项A符合条件，故选：A．7．在2019年中考体育测试中，我区有6名学生的成绩如表，则这6名学生成绩的平均数、中位数、方差依次为（）成绩（分）353639人数321 A．36，35，1B．1，2.5，5C．36，35.5，1D．36，35.5，2【分析】根据平均数、中位数和方差的计算公式分别进行解答，即可得出答案．【解答】解：这组数据的平均数是：（35×3+36×2+39）＝36（分）；把这些数从小到大排列为：35，35，35，36，36，39，则中位数是＝35.5（分）；方差是：[3×（35﹣36）2+2×（36﹣36）2+（39﹣36）2]＝2；故选：D．8．如图，直线y＝2x+1和y＝kx+3相交于点A（m，），则不等式关于x的不等式kx+3≤2x+1的解集为（）A．x≥B．x≥C．x≤D．x≤【分析】先把点A（m，）代入直线y＝2x+1求出m的值，故可得出A点坐标，再根据函数图象进行解答即可．【解答】解：∵直线y＝2x+1和y＝kx+3相交于点A（m，），∴＝2m+1，解得m＝，∴A（，），由函数图象可知，当x≥时，直线y＝2x+1的图象不在直线y＝kx+3的图象的下方，∵当x≥时，kx+3≤2x+1．故选：B．9．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝78°，则∠EAC的度数为（）A．22°B．24°C．27°D．30°【分析】根据菱形的性质、圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理计算即可；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣78°）＝51°，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAC＝51°，∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，∴∠AEC＝180°﹣78°＝102°，∴∠EAC＝180°﹣102°﹣51°＝27°，故选：C．10．如图，在同一直角坐标系中，y1＝ax2+bx+c与双曲线y2＝交于A（x a，y a），B（x b，y b），C（x c，y c）三点，则满足y1＜y2的自变量x的取值范围是（）A．x＞x a或x b＜x＜x c B．x a＜x＜0或x b＜x＜x cC．x＜x a或x＜x b或x＜x c D．x＜x a或0＜x＜x b或x＞x c【分析】利用函数图象，写出抛物线在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：观察函数图象，当x＜x a或0＜x＜x b或x＞x c时，y1＜y2．故选：D．11．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．其中正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，∴b＝2a，c＝﹣3a，∵a＜0，∴b＜0，c＞0，∴ab＞0且c＞0，故①错误，∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称，∴x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故②正确，∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），∴x＝﹣4时，y＜0，∴16a﹣4b+c＜0，∵b＝2a，∴16a﹣8a+c＜0，即8a+c＜0，故③错误，∵c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a，∴c＝3a﹣3b，故④正确，∵直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，∴方程ax2+（b﹣2）x+c﹣2＝0的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴x1+x2+x1x2＝﹣+＝﹣+＝﹣5，故⑤错误，故选：D．12．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，0），△OAB是等边三角形，一动点P从O点开始，以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B→O→A……规则作循环运动，那么第2020秒结束后，点P的坐标为（）A．（1，）B．（2，0）C．（，）D．（﹣，）【分析】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可．【解答】解：由题意得，第1秒结束时P点的坐标为P1（1，0）；第2秒结束时P点的坐标为P2（2，0）；第3秒结束时P点的坐标为P3（2﹣1×cos60°，1×sin60°），即；第4秒结束时P点的坐标为P4（1，2×sin60°），即；第5秒结束时P点的坐标为；第6秒结束时P点的坐标为P6（0，0）；第7秒结束时P点的坐标为P7（1，0），与P1相同；……由上可知，P点的坐标按每6秒进行循环，∵2020÷6＝336……4，∴第2020秒结束后，点P的坐标与P4相同为（1，），故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）13．（sin60°）﹣2+|﹣2|﹣（tan30°﹣1）0＝﹣．【分析】先代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂，再计算负整数指数幂，最后计算加减可得．【解答】解：原式＝（）﹣2+（2﹣）﹣1＝+2﹣﹣1＝﹣，故答案为：﹣．14．两个最简二次根式3与是同类二次根式，则a＝3．【分析】根据同类二次根式的定义，可得a＝a2﹣6a+12，解出a的值．【解答】解：由题意得，a＝a2﹣6a+12，整理得：a2﹣7a+12＝0，解得：a＝3或a＝4，∵3与是最简二次根式，当a＝4时，二次根式3与不是最简二次根式，∴a＝3．故答案为3．15．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k＝2．【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的可能值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，解得：k＝±2．∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，∴k＝2．故答案为：2．16．如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，若△BDE的面积为3，则k＝12．【分析】设出AD的长，表示出其横坐标，再根据D、E在反比例函数的图象上，表示出其纵坐标，进而表示BE，利用三角形的面积列方程求解即可．【解答】解：设AD＝a，则BD＝a，AB＝OC＝2a，∵点D、E在反比例函数的图象上，∴D（a，），E（2a，）∴BE＝﹣＝，又∵S△BDE＝3，∴BD•BE＝3，即×a×＝3，解得，k＝12，故答案为：12．17．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为2的⊙O，点M为BC的中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在DE上．把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，此圆锥的高为．【分析】连接OC，作OP⊥CD于P，由垂径定理得出OM⊥BC，求出∠MOC＝30°，由直角三角形的性质得出OM＝CM＝，求出∠MON＝120°，由弧长公式得出的长＝，2πr＝，得出r＝，再由勾股定理即可得出答案．【解答】解：连接OC，作OP⊥CD于P，如图1所示：则∠OPC＝∠OPD＝90°，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠C＝∠D＝120°，∠OCM＝60°，∵点M为BC的中点，∴OM⊥BC，∴∠MOC＝30°，∴CM＝OC＝1，∴OM＝CM＝，∵以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，∴ON＝OM，∴ON⊥DE，由四边形内角和定理得：∠MOP＝∠NOP＝60°，∴∠MON＝120°，∴的长＝＝，围成的圆锥如图2所示：圆锥的高为OQ，底面半径为QM＝r，则2πr＝，∴r＝，由勾股定理得：OQ＝＝＝；故答案为：．18．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，则sin∠GFE＝．【分析】过F作FH⊥CD于H，过A作AP⊥CD于P，连接AG交EF于Q，依据勾股定理即可得到AG的长，进而得出GQ的长；再根据菱形的性质以及勾股定理即可得到FG的长，进而得到sin∠GFE的值．【解答】解：如图所示，过F作FH⊥CD于H，过A作AP⊥CD于P，连接AG交EF 于Q，由题可得，∠P AD＝30°，AD＝2，DG＝1，∴PD＝AD＝1，AP＝，∴Rt△APG中，AG＝＝＝，由折叠可得，EF垂直平分AG，∴GQ＝AG＝，由题可得，∠HDF＝60°，∴∠HFD＝30°，设HD＝x，则DF＝2x，FH＝x，AF＝GF＝2﹣2x，∵DG＝DC＝1，∴HG＝x+1，∵Rt△FGH中，（x+1）2+（x）2＝（2﹣2x）2，解得：x＝0.3，∴AF＝FG＝2﹣0.6＝，∴Rt△FGQ中，sin∠GFE＝＝＝，故答案为：．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）19．（6分）先化简：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从不等式组的整数解中选取使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝＝，由不等式组，得﹣2≤x＜3，∵x＝1，0时，原分式无意义，∴x可以取的整数为﹣2，﹣1，2，当x＝﹣2时，原式＝＝﹣，当x＝﹣1时，原式＝＝﹣，当x＝2时，原式＝＝4．20．（8分）为阻断新冠疫情向校园蔓延，确保师生生命安全和身体健康，教育部通知，2020年春季学期延期开学，利用网上平台，停课不停学”，我区某校对初四全体学生数学线上学习情况进行调查，随机抽取部分学生的3月月诊断性测试成绩，按由高到低分为A，B，C，D四个等级，根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）该校共抽查了100名同学的数学测试成绩，扇形统计图中A等级所占的百分比a＝20%；（2）补全条形统计图；（3）若该校初四共有1180名同学，请估计该校初四学生数学测试成绩优秀（测试成绩B 级以上为优秀，含B级）约有590名；（4）该校老师想从两男、两女四位学生中随机选择两位了解平时线上学习情况，请用列表或画树形图的方法求出恰好选中一男一女的概率．【分析】（1）根据C级的人数是40，所占的百分比，据此即可求得总人数；进而可求出扇形统计图中A等级所占的百分比a的值；（2）由（1）中的数据可求出B级的人数即可补全条形统计图；（3）求出A级和B级共占的百分比即可根据该校初四学生数学测试成绩优秀；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）本次抽样数学测试的学生人数是：40÷×100%＝100（名）；a＝×100%＝20%，故答案为：100，20%；（2）B级的人数＝100﹣20﹣40﹣10＝30（名），补全条形统计图如图所示：（3）该校初四共有1180名同学，估计该校初四学生数学测试成绩优秀人数＝1180×（30%+20%）＝590（名），故答案为：590；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率＝＝．21．（8分）某太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示，已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直，AC＝60cm，∠ADE＝30°，DE＝280cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【分析】设OE＝OB＝2xcm，在直角△OCD中，根据含30度角的直角三角形的性质得出OC＝OD＝140+x，那么BC＝OC﹣OB＝140﹣x．然后在直角△ABC中，利用正切函数的定义列出关于x的方程，求出x即可得到答案．【解答】解：设OE＝OB＝2xcm，∴OD＝DE+OE＝280+2x，∵∠ADE＝30°，∴OC＝OD＝140+x，∴BC＝OC﹣OB＝140+x﹣2x＝140﹣x，∵tan∠BAD＝，∴2.14≈，解得：x≈11.6，∴OB＝2x≈23（cm）．故OB的长度约为23cm．22．（9分）“小口罩，大温暖”为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A，B两种不同款型，其中A型口罩单价100元/盒，B型口罩单价80元/盒．（1）先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A型口罩和B型口罩各多少盒？（2）我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m 盒，B型口罩（3m﹣28）盒．求该街道社区人口总数．【分析】（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，根据“该社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由发放数量比为试点发放中A，B两种款型的数量比，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，将其代入（m+3m﹣28）中可求出该社区平均每500人发放的口罩数量，再结合整个街道社区共发放2000盒，即可求出该街道社区人口总数．【解答】解：（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，依题意得：，解得：．答：免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒．（2）依题意得：＝，解得：m＝12，∴m+3m﹣28＝20．∴该街道社区人口总数＝×500＝50000（人）．答：该街道社区人口总数为50000人．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，PB⊥AB，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M．（1）求证：PM是⊙O的切线；（2）若，求的值．【分析】（1）连接OC，根据全等三角形的性质得到∠OCP＝∠OBP，求得∠OCP＝90°，于是得到PM是⊙O的切线；（2）连接OC，根据余角的性质得到OCD＝∠CPO，根据相似三角形的性质得到OC2＝OD•OP，设OD＝x，PD＝9x，根据勾股定理得到AC＝＝2x，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵OC＝OB，BC⊥OP，∴∠COP＝∠BOP，∵OP＝OP，∴△PBO≌△PCO（SAS），∴∠OCP＝∠OBP，∵PB⊥AB，∴∠ABP＝90°，∴∠OCP＝90°，∴PM是⊙O的切线；（2）解：连接OC，∵∠OCP＝∠CDO＝90°，∴∠OCD＝∠CPO，∴△OCD∽△OPC，∴＝，∴OC2＝OD•OP，∵，∴设OD＝x，PD＝9x，∴OP＝10x，∴OC＝x，∴BC＝6x，∴AC＝＝2x，∵∠ACM+∠ACO＝∠OCD+∠ACO＝90°，∴∠ACM＝∠OCD，∴∠ACM＝∠CPO，∴AC∥OP，∴△ACM∽△OPM，∴＝＝，∴＝．24．（11分）已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN ⊥CE．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可求AB＝AC＝4，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，可求BE＝2，由勾股定理可求CE＝2，由直角三角形的性质可求解；（2）由“SAS”可证△AMN≌△DME，可得AN＝DE＝BE，∠MAN＝∠ADE，再由“SAS”可证△ACN≌△BCE，可得∠ACN＝∠BCE，可得结论．【解答】解：（1）∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，∴AC＝BC＝4，AB＝AC＝4，DE＝BE，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，∵AB＝2BD，∴AD＝BD＝2，∴BE＝2，∵∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝90°，∴CE＝＝＝2，∵点F是CE的中点，∴BF＝CE＝；（2）如图，连接AN，设DE与AB交于点H，∵点M是AD中点，∴AM＝MD，又∵MN＝ME，∠AMN＝∠DME，∴△AMN≌△DME（SAS），∴AN＝DE，∠MAN＝∠ADE，∴AN∥DE，∴∠NAH+∠DHA＝180°，∵∠NAH＝∠NAC+∠CAB＝∠NAC+45°，∠DHA＝∠EDB+∠DBH＝45°+∠DBH，∴∠NAC+45°+45°+∠DBH＝180°，∴∠NAC+∠DBH＝90°，∵∠CBA+∠DBE＝45°+45°＝90°，∴∠CBE+∠DBH＝90°，∴∠CBE＝∠NAC，又∵AC＝BC，AN＝DE＝BE，∴△ACN≌△BCE（SAS），∴∠ACN＝∠BCE，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠ACN+∠ACE＝90°＝∠NCE，∴CN⊥CE．25．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y 轴交于点C．过点B的直线y＝kx+分别与y轴及抛物线交于点D，E．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）如图2，将直线BE沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于M，N两点．直线AC与线段EM交于点G．①四边形CGMN是平行四边形吗？请说明理由．②抛物线的对称轴上是否存在一点F．使|F A﹣FD|的值最大？若存在，求出其最大值及点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点B的坐标（1，0）代入y＝kx+可以求出直线的解析式，把点A、B 的坐标分别代入y＝ax2+2x+c可以求得抛物线的解析式；（2）①通过计算得到直线AC与直线MN的解析式中自变量的系数相等，故AC∥MN，通过计算得出点M与点E的横坐标相同，故ME∥y轴，即GM∥CN，从而得到结论；②因为F A＝FB，通过对进行转化并通过勾股定理进行计算可以得到答案．【解答】解：（1）由于直线y＝kx+过点B，把点B的坐标（1，0）代入y＝kx+，得：k+＝0，∴k＝﹣，∴直线的解析式为y＝，由于抛物线y＝ax2+2x+c过点A、B，把点A、B的坐标分别代入y＝ax2+2x+c，得：，解得：，∴拋物线的解析式为；（2）①解方程组得：或，∴点E的坐标为（﹣5，4），在中，令x＝0得：y＝﹣，∴C（0，），设直线AC的解析式为y＝mx+b，把A、C两点的坐标分别代入y＝mx+b得：，解得：，∴直线AC的解析式为，将直线BE沿y轴向下平移4个单位后得到的直线MN的解析式为y＝﹣4，即，由于直线AC与直线MN的解析式中自变量的系数相等，∴AC∥MN，在中，令y＝0得x＝﹣5，∴M（﹣5，0），由于点M与点E的横坐标相同，∴ME∥y轴，即GM∥CN，∴四边形CGMN是平行四边形；②抛物线的对称轴上存在点F，使得的值最大，如图，设抛物线的对称轴与直线BE交于点H，连接FB，由于A、B两点关于抛物线的对称轴对称，即拋物线的对称轴垂直平分线段AB，故F A＝FB，∴≤BD，即的最大值为线段BD的长，此时点F在线段BD的延长线上，且与点H重合，在中，∵，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣，把x＝﹣代入y＝得：y＝，即点H的坐标为（），∴点F的坐标为（），在y＝中，令x＝0得y＝，∴D（0，），∴OD＝，∵B（1，0），∴OB＝1，在Rt△OBD中，由勾股定理得：，所以抛物线的对称轴上存在点F，使得的值最大，且最大值为，此时点F的坐标为（）．。