文科立体几何真题

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2014文科立体几何专题训练

1.一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（）A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱2.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a 且长为a的棱异面，则a 的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）3、在空间，下列命题正确的是（）（A ）平行直线的平行投影重合（B ）平行于同一直线的两个平面平行（C ）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行5、给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行， ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是（） A.4 B. 3 C. 2 D. 16、一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中A.CD AB //B. AB 与CD 相交C.CD AB ⊥D. AB 与CD 所成的角为 607、关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③若,m n α⊥则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ；其中真命题的序号是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③8、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2a π (B) 273a π (C) 2113a π (D) 25a π 9、若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（）（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件10、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,, D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,11、、某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（） A ．28+ B ．30+ C ．56+D ．60+12、设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面α内，则“l ⊥α”是“l m l n ⊥⊥且”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 13. 已知一个底面边长为2的正四棱锥的内切球的半径为12，则此正四棱锥的体积是 A. 163 B. 83 C. 329D. 169 14. 已知A 、B 是平面α外的两个定点，则在平面α内与点A 、B 等距离的点的集合不可能是A.空集 B. 单元素集 C. 一条直线D. 一个平面15、在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PDABCD ⊥底面，且 ,PD a PA PC===，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为A. (2a -B. (2aC. 1(22aD. 1(22a 1 6．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为对角线1BD 的三等分点,则P 到各顶点的距离的不同取值有（）A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个17. 四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，点E为PC 的中点，则异面直线BE 与PA 所成角的余弦值等于A. 2B. 2C. 3D. 318. 半径为R 的球面上有A 、B 、C 、D 四点，且直线AB 、AC 、AD 两两垂直，若,,ABC ACD ADB 的面积之和72ABC ACD ADB S S S ++= ，则R 的最小值为A. 4B. 6C. 8D. 1019. 如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过P作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M 、N 两点，设||,BP x BMN = 的面积为y ，则函数()y f x =的大致图像为20. 正四棱锥S-ABCD 中，侧面与底面所成角为3π，则该正四棱锥的外接球的半径R 与内切球半径r 的比值为A. 5B. 32C. 10D. 5221、如图甲所示，三棱锥P ABC -的高8,3,30,PO AC BC ACB M N ===∠=︒、分别在BC 和PO 上，且,2((0,3])CM x PN x x ==∈，图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥N AMC -的体积V 与x 的变化关系，其中正确的是（）填空题1、设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。

2010—2014高考文科立体几何大题汇总—老师专用

2010—2014高考文科立体几何大题汇总1.(2014年课标全国Ⅰ文.19) (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C 的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高．分析：在第(1)问中，要证B1C⊥AB，应证明B1C与AB所在的某个平面垂直．结合已知条件知应考虑平面ABO.这是因为由BB1C1C为菱形可知B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，必有AO⊥B1C，即得证；在第(2)问中，三棱柱的高即为两底面ABC与A1B1C1之间的距离，可转化为点B1到平面ABC 的距离求解，又考虑到O为B1C的中点，因此可先求点O到平面ABC的距离，这时只需根据面面垂直的性质作出点O到平面ABC的垂线，结合已知即可求出点O到平面ABC的距离，从而可得三棱柱的高．解：(1)连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又BC ＝1，可得OD =. 由于AC ⊥AB 1，所以11122OA B C ==.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ==14OH =.又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC .故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为7. 2.(2014课标全国Ⅱ文.18) (本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD =P －ABD 的体积V =，求A 到平面PBC 的距离．分析：在第(1)问中，欲证PB ∥平面AEC ，可根据线面平行的判定定理，只需在平面AEC 中找一条直线与PB 平行即可．又E 是PD 的中点，联想到三角形中位线定理，可找BD 的中点，又ABCD 为矩形，利用对角线互相平分从而可证．对于第(2)问，由已知棱锥P －ABD 的体积V 及AP ，AD 的长，可得底面矩形ABCD 的另一边AB 的长，欲求A 到平面PBC 的距离，可由A 向平面PBC 引垂线，关键是垂足的几何位置，再由条件知BC ⊥平面PAB ，故过A 作垂直于平面PBC 的垂线的垂足应在PB 上，而△PAB 为直角三角形，可利用等面积法求得斜边PB 上的高，从而求得答案．解：(1)设BD 与AC 的交点为O ，连结EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)166V PA AB AD AB =⋅⋅=，由V =，可得32AB =. 作AH ⊥PB 交PB 于H ，由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH . 故AH ⊥平面PBC .又PA AB AH PB ⋅==所以A 到平面PBC 3.(2014北京文.17) (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E －ABC 的体积．分析：(1)首先利用侧棱垂直于底面得到BB 1⊥AB ，然后结合已知即可证得AB ⊥平面BCC 1B 1，最后利用面面垂直的判定定理即得结论．(2)取AB 的中点G ，然后利用三棱柱的性质和三角形中位线性质可得GF 綉EC 1，进而转化为C 1F ∥EG ，最后利用线面平行的判定定理证得结论．(3)先求出△ABC 的三边长，由已知可得该三棱锥的高等于AA 1，然后代入锥体体积公式即得结果． (1)证明：在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC .所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且12FG AC =. 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)解：因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB =所以三棱锥E －ABC 的体积111112332ABC V S AA ∆=⋅=⨯⨯=. 4.(2014福建文.19) (本小题满分12分)如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积．分析：(1)线面垂直的证法有线线垂直与面面垂直两种，结合本题条件，可证明CD垂直于平面ABD内的两条相交直线即可证得CD垂直于平面ABD.(2)三棱锥体积13V Sh=，但要注意转换顶点和底面，对于本题，可将S△ABM求出，高即为CD＝h，代入公式可求得，也可借助图中关系，利用V A－MBC＝V A－BCD－V M－BCD求得．解法一：(1)∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，∵AB＝BD＝1，∴12ABDS∆=.∵M是AD的中点，∴1124 ABM ABDS S∆∆==.由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1，因此三棱锥A－MBC的体积V A－MBC＝V C－ABM＝13ABMS h∆⋅＝112.解法二：(1)同解法一．(2)由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，如图，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ，则MN ⊥平面BCD ，且1122MN AB ==. 又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴12BCD S ∆=. ∴三棱锥A －MBC 的体积V A －MBC ＝V A －BCD －V M －BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112. 5.(2014重庆文.20) (本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，π3BAD ∠=，M 为BC 上一点，且12BM =.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P －ABMO 的体积．分析：先利用平面几何的方法，求出OB ，然后在△OBM 中，借助余弦定理求出OM 的值，运用勾股定理的逆定理，得出线线垂直，再结合已知条件，利用线面垂直的判定定理，得出BC ⊥平面POM ；在第(2)问中，充分利用第(1)问的结论，得到OA 的长度，然后分别在△POM ，△ABM ，△POA 中借助余弦定理得到关于PO 的方程，求出PO 的长度，再分别计算△AOB 与△OMB 的面积得出四边形ABMO 的面积，最后根据棱锥的体积公式求出四棱锥P －ABMO 的体积． (1)证明：如图，因ABCD 为菱形，O 为菱形中心，连结OB ，则AO ⊥OB .因π3BAD ∠=，故OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝π2sin6＝1，又因12BM =，且π3OBM ∠=，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝2211π31()21cos 2234+-⋅⋅⋅=.所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM . 又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .(2)解：由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝π2cos6⋅=设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD 知，△POA 为直角三角形，故PA 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.由△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝234a +. 连结AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22112π212()22cos 2234+-⋅⋅⋅=. 由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形，则PA 2＋PM 2＝AM 2，即22321344a a +=++，得a =a =(舍去)，即PO =.此时S ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝1122AO OB BM OM ⋅⋅+⋅⋅＝111122228+⨯⨯=.所以四棱锥P－ABMO的体积115·338216 P ABMO ABMOV S PO-=⋅=⨯=.6.(2014广东文.18) (本小题满分13分)如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2.作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.图1图2(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M－CDE的体积．(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，且PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥面ABCD，交线为CD.又∵四边形ABCD 为矩形，AD ⊥CD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴MD ⊥平面PCD . 又由于CF ⊂平面PCD ， ∴MD ⊥CF .∵MF ⊥CF ，且MD ∩MF ＝M ， ∴CF ⊥平面MDF .(2)解：∵MD ⊥平面PCD ，∴V M －CDE ＝13·S △CDE ·MD . ∵CF ⊥平面MDF ，DF ⊂平面MDF ， ∴CF ⊥DF .∵在Rt △PCD 中，CD ＝1，PC ＝2， ∴∠PCD ＝60°，且CD ＝1，∴12CF =，故13222PF =-=. ∴32MF =.又∵CF ⊥MF ，故利用勾股定理得：2CM =，∴在Rt △MDC 中，2CM =，CD ＝1，得2DM =又∵F 点位于CP 的四等分点，且PD =∴E 为PD 的四等分点，故DE =，∴1112248CDE S CD DE ∆=⋅=⨯⨯=，∴V M －CDE ＝13S △CDE ·DM ＝16.7.(2014辽宁文.19) (本小题满分12分)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D －BCG 的体积．附：锥体的体积公式13V Sh，其中S 为底面面积，h 为高．分析：(1)由三角形全等证出AC ＝DC ，再由等腰三角形的性质(三线合一)得线线垂直，最后由线面垂直的判定定理及推论可证得结论．(2)由面面垂直得线面垂直，从而确定出点到平面的距离，即三棱锥G －BCD 的高，由等体积法可求三棱锥D －BCG 的体积． (1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC .又G 为AD 中点，所以CG ⊥AD ；同理BG ⊥AD ；因此AD ⊥面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥面BCG .(2)解：在平面ABC 内，作AO ⊥CB ，交CB 延长线于O . 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 距离h 是AO 长度的一半．在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝11131·sin 12033222DBC S h BD BC ∆⋅=⋅⋅⋅⋅︒⋅=. 8.【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥,BC ⊥AC ，,∴面, 又∵面，∴,由题设知,∴=,即,又∵, ∴⊥面, ∵面，∴面⊥面；1CC 1CC AC C ⋂=BC ⊥11ACC A 1DC ⊂11ACC A 1DC BC ⊥01145A DC ADC ∠=∠=1CDC ∠0901DC DC ⊥DC BC C ⋂=1DC BDC 1DC ⊂1BDC BDC 1BDCCB A DC 1 A 1（Ⅱ）设棱锥的体积为，=1，由题意得，==，由三棱柱的体积=1，∴=1:1， ∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1.9.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD.（Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.【答案】【解析】（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，所以BD ⊥平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥.（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=.由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥.1B DACC -1V AC 1V 1121132+⨯⨯⨯12111ABC A B C -V 11():V V V -1BDC在Rt POD 中，由DPO ∠30=，得PD=2OD.因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 1(42)39.2S =⨯+⨯=在等腰三角形ＡＯＤ中，2OD AD ==所以2 4.PD OD PA ====故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC 即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA =⨯⨯算得体积. 10.【2012高考广东文18】如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，AD =1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥。

文科高考数学立体几何大题求各类体积方法

A BCD PA B CDP文科高考数学立体几何大题求各类体积方法【三年真题重温】1.【2011⋅新课标全国理，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． (Ⅰ) 证明：PA ⊥BD ；(Ⅱ) 若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值． 2.【2011 新课标全国文，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形．60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥底面ABCD ．(Ⅰ) 证明：PA BD ⊥；(Ⅱ) 设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．根据DE PB PD BD ⋅=⋅，得32DE =．即棱锥D PBC -的高为32．3.【2010 新课标全国理，18】如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点.（1）证明：PE ⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值【解析】命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.4.【2010 新课标全国文，18】如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。

5.【2012 新课标全国理】（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1（1）证明：BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小。

6.【2012 新课标全国文】（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

立体几何文科经典题证明线面平行精选题

线面平行一“线线平行”与“线面平行”的转化问题（一）中位线法：当直线上没有中点，平面内有一个中点的时候，(如例1求证：//PB 平面AEC P 、B 为顶点，平面AEC 内E 为中点）采用中位线法。

具体做法：如例1，平面AEC 的三个顶点，除中点E 外，取AC 的中点O ，连接EO ，再确定由直线PB 和中点E 、O 、D 确定的∆PBD （连接∆PBD 的第三边BD ），在∆PBD 中，EO 为PB 的中位线。

规范写法：ααα//,,,//b b a b a ∴⊂⊄例1如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点. 求证：//PB 平面AEC ；例2三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 边中点。

求证：1AC ∥平面1CDB ；【习题巩固一】1.（2011天津文）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，O 为AC 中点M 为PD 中点．（Ⅰ）证明：PB ACMDCAPMO11) 证明:a bαC 1B 1A 1D CBABC12011四川文）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；（二）平行四边形法：当直线上有一个中点(如例1证明：FO CDE∆∆ααα//,,,//,,//EHFGEHFGEHEFGHGHEFGHEF∴⊂⊄∴∴=是平行四边形ABCDEF O ABCD CDE//1 2EF BC=FO CDE P ABCD-//AB DC M PA//DM PBC面Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；（II）若H是AD的中点，证明：EA∥平面PHC；【习题巩固二】1.【2010·北京文数】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EF 22013年高考山东卷（文））如图,四棱锥P ABCD-中,,2AB CD AB CD =∥,E 为 PB 的中点(Ⅰ)求证:CE PAD ∥平面;3.（2012广东）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//,AB CD PD AD =，E 是PB 中点，F 是DC 上的点，且12DF AB =，PH 为PAD ∆中AD 边上的高。

立体几何试题及答案

立体几何试题及答案一、选择题1. 已知一个正方体的体积为8立方厘米，那么它的棱长为多少厘米？A. 2B. 4C. 3D. 2√2答案：C2. 一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、4厘米、5厘米，那么它的表面积是多少平方厘米？A. 62B. 94C. 96D. 100答案：B3. 一个圆锥的底面半径为3厘米，高为4厘米，那么它的体积是多少立方厘米？A. 36πB. 48πC. 72πD. 96π答案：B二、填空题4. 如果一个圆柱的底面半径为5厘米，高为10厘米，那么它的体积是_____立方厘米。

答案：7855. 一个球的体积是4/3π立方厘米，那么它的半径是_____厘米。

答案：16. 一个棱锥的底面是边长为4厘米的正方形，高为5厘米，那么它的体积是_____立方厘米。

答案：32三、解答题7. 已知一个圆锥的底面半径为3厘米，高为5厘米，求圆锥的体积。

解：圆锥的体积公式为V = 1/3πr²h，代入数据得：V = 1/3 × π × 3² × 5 = 15π（立方厘米）答：圆锥的体积为15π立方厘米。

8. 一个正四面体的棱长为a厘米，求它的体积。

解：正四面体的体积公式为V = a³√2/12，代入数据得：V = a³√2/12（立方厘米）答：正四面体的体积为a³√2/12立方厘米。

9. 一个长方体的长、宽、高分别为2a厘米、a厘米、a厘米，求它的体积。

解：长方体的体积公式为V = 长× 宽× 高，代入数据得：V = 2a × a × a = 2a³（立方厘米）答：长方体的体积为2a³立方厘米。

立体几何高考题

1、一个正方体的棱长为2cm，其体对角线的长度为？
A. 2cm
B. 2√2cm
C. 4cm
D. 2√3cm
（答案）B
2、一个圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，其母线长为？
A. 3cm
B. 4cm
C. 5cm
D. 6cm
（答案）C
3、一个球的内接正方体的棱长为6cm，则该球的半径为？
A. 3cm
B. 3√2cm
C. 3√3cm
D. 6cm
（答案）C
4、一个直三棱柱的底面为等腰直角三角形，且直角边长为2cm，高为3cm，其体积为？
A. 3cm³
B. 6cm³
C. 9cm³
D. 12cm³
（答案）B
5、一个圆柱的底面半径为2cm，高为5cm，其侧面积为？
A. 10π cm²
B. 20π cm²
C. 40π cm²
D. 50π cm²
（答案）B
6、一个正四棱锥的底面边长为4cm，高为3cm，其体积为？
A. 8cm³
B. 12cm³
C. 16cm³
D. 24cm³
（答案）C
7、一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，且该半圆的半径为5cm，则该圆锥的高为？
A. √15cm
B. √20cm
C. √25cm
D. 5cm
（答案）C
8、一个正方体的内切球半径为2cm，则该正方体的体积为？
A. 8cm³
B. 32cm³
C. 64cm³
D. 128cm³
（答案）C。

专题20 立体几何解答题

(2)若，求四棱锥的体积．
11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科·第19题)如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)设DO= ，圆锥侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积．
12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科·第20题)如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1 底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
(Ⅱ)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．
27．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科·第18题)(本小题满分12分)如图四边形ABCD 为菱形，为与交点，，
( )证明：平面平面；
( )若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．
28．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科·第18题)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
( )证明G是AB的中点；
( )在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．
26．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科·第19题)(本小题满分12分)如图,长方体中，点分别在上, 过点的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由)；
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离．
17．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科·第19题)(12分)如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．

高考复习立体几何大题第一问精练(文科)

高考复习立体几何大题第一问精练题型1 线线平行、垂直1.（2016新课标Ⅱ卷）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置.（1）证明：AC ⊥HD ′.(1)证明由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ，折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.2.（2015新课标Ⅱ卷）如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由).解 (1)交线围成的正方形EHGF 如图：题型2 线面平行3.（2017新课标Ⅱ卷）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC=21AD ，∠BAD=∠ABC=90°.（1）证明：直线BC ∥平面PAD.4.（2016新课标Ⅲ卷）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.（I ）证明MN ∥平面PAB.解析 (Ⅰ)由已知得AM=32AD=2.取BP 的中点T ，连结AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN=21BC=2.(3分) 又AD ∥BC ，故TN ∥AM ，故四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT.因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB.(6分)5.（2016四川卷）如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝21AD.（1）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由.（2）证明：平面PAB ⊥平面PBD.(1)解取棱AD 的中点M(M ∈平面PAD)，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM.所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB. 又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ，所以CM ∥平面PAB.(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)6.（2014新课标Ⅱ卷）如图，四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：PB∥平面AEC.(1)证明设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.又因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.题型3 线面垂直7.（2017新课标Ⅲ卷）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．（1）证明：AC⊥BD.[解析] (1)证明：取AC中点O，连OD，OB，∵AD＝CD，O为AC中点，∴AC⊥OD，又∵△ABC是等边三角形，∴AC⊥OB，又∵OB∩OD＝O，∴AC⊥平面OBD，BD 平面OBD，∴AC⊥BD；8.（2018新课标Ⅱ卷）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC.（1）证明：∵AB=BC=22，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三角形，又O为AC的中点，∴OA=OB=OC，∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC；9.（2015广东卷）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.（1）证明：BC ∥平面PDA ；（2）证明：BC ⊥PD ．解 (1)因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ∥AD ，因为BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以BC ∥平面PDA.(2)因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥PD.10.（2016北京卷）如图，在四棱锥PABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC.（1）求证：DC ⊥平面PAC ；（2）求证：平面PAB ⊥平面PAC.(1)证明 ∵PC ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PC ⊥DC.又AC ⊥DC ，PC ∩AC ＝C ，PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴CD ⊥平面PAC.(2)证明 ∵AB ∥CD ，CD ⊥平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ，又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAC.11.（2014山东卷）如图，四棱锥PABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝21AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BEF ；（2）求证：BE ⊥平面PAC.证明 (1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC.由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，所以四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点．又F为PC的中点，所以在△PAC中，可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP、AC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC.12.（2016新课标Ⅰ卷）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明：G是AB的中点.解：(Ⅰ)证明：∵P−ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；题型4 面面垂直13.（2018新课标Ⅲ卷）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D 的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC.解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC，∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，∴AD⊥平面BCM，则AD⊥MC，∵AD∩DM=D，∴MC⊥平面ADM，∵MC⊂平面MBC，∴平面AMD⊥平面BMC．14.（2018新课标Ⅰ卷）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D 的位置，且AB ⊥DA ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC.解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM 中，∠ACM=90°，∴AB ⊥AC ，又AB ⊥DA ．且AD ∩AB=A ，∴AB ⊥面ADC ，∴AB ⊂面ABC ，∴平面ACD ⊥平面ABC ；15.（2017新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥中，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD .（1）证明：∵90BAP CDP ∠=∠=︒∴PA AB ⊥，PD CD ⊥又∵AB CD ∥，∴PD AB ⊥又∵PD PA P =，PD 、PA ⊂平面PAD ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ∴平面PAB ⊥平面PAD16.（2015新课标Ⅰ卷）如图，四边形ABCD 为菱形，G 是AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD.（1）证明：平面AEC ⊥平面BED.解 (1)因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD.因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE.所以AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED.17.（2015湖南卷）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点．（1）证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1．(1)证明∵△ABC为正三角形，E为BC中点，∴AE⊥BC，∴又B1B⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴B1B⊥AE，∴由B1B∩BC＝B知，AE⊥平面B1BCC1，又由AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1.。

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第 1 页
类型一：三视图
1、某几何体的三视图如题(8)所示,那么该几何体的外表积为
A．180 B．200 C．220 D
．
240

2、某几何函数的三视图如下图,那么该几何的体积为
A．168 B．88 C．1616 D．
816

3、〔2021年高考四川卷〔文〕〕一个几何体的三视图如下图,那么该

几何体可以是〔〕
A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台
4、某三棱锥的三视图如图2所示,那么该三棱锥的体积是
A．16 B．13 C．23 D．
1

5、一几何体的三视图如右所示,那么该几何体的体积为
A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π
6、某四棱锥的三视图如下图,该四棱锥的体积为__________.

7、〔2021年高考陕西卷〔文〕〕某几何体的三视图如下图, 那么其
外表积为________.
8、某几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积是____________.
类型二：求体积，外表积
9、四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心,

1
俯视
侧〔左〕正〔主〕
2 1 1

2
第 2 页

A1O⊥平面ABCD
,

1
2ABAA
.

(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.
10、如图,在四棱锥
PABCD

中,PDABCD面,//ABDC,ABAD,5BC,
(3)求三棱锥DPBC的体积.
11、〔2021年高考广东卷〔文〕〕如图4,在边长为1的等边三角形
ABC

中,,DE分别是,ABAC边上的点,ADAE,F是BC的中点,AF与

DE交于点G,将ABF沿AF
折起,得到如图5所示的三棱锥

ABCF
,其中22BC.
(1) 证明:DE//平面BCF;
(2) 证明:CF平面ABF;
(3) 当23AD时,求三棱锥FDEG的体积FDEGV.
12、〔2021年高考课标Ⅰ卷〔文〕〕如图,三棱柱
111
ABCABC

中,CACB,
1
ABAA
,160BAA.

(Ⅰ)证明:
1
ABAC
;

(Ⅱ)假设2ABCB,
1
6AC
,求三棱柱111ABCABC的体积.

13、〔2021年高考课标Ⅱ卷〔文〕〕如图,直三棱柱ABC-A1B1C
1

中,D,E分别是AB,BB1的中点.

(1) 证明: BC1//平面A1CD;
(2) 设AA1= AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C一A1DE的体积.
14、〔2021年高考安徽〔文〕〕如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是
边长为2的菱形,60BAD.2,6PBPDPA .
第 3 页

(Ⅰ)证明:
PCBD

(Ⅱ)假设E为PA的中点,求三菱锥PBCE的体积.
15、〔2021年上海高考数学试题〔文科〕〕如图,正三棱锥OABC底
面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及外表积.
2021年全国各地高考文科数学试题分类汇编：平面解析几何
一、选择题
1 ．〔2021年高考重庆卷〔文〕〕设P是圆
22
(3)(1)4xy

上的动点,

是直线3x上的动点,那么PQ的最小值为〔〕

A．6 B． 4 C．3 D．2
2 ．〔2021年高考江西卷〔文〕〕如图.l1⊥l2,圆心在l1上、半径为
1m的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1m/s的速度
匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cosx,那么
y与时间t(0≤x≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为
3 ．〔2021年高考天津卷〔文〕〕过点P(2,2) 的直线与圆
22
5(1)xy

相切, 且与直线10axy垂直, 那么a 〔〕
A．12 B．1 C．2 D．12
4 ．〔2021年高考陕西卷〔文〕〕点M(a,b)在圆
22
1:Oxy

外, 那么

直线ax + by = 1与圆O的位置关系是〔〕
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
5 ．〔2021年高考广东卷〔文〕〕垂直于直线1yx且与圆
22
1xy

相切于第一象限的直线方程是〔〕
A．20xy B．10xy
第 4 页

C．10xy D．
20xy

二、填空题
6 ．〔2021年高考湖北卷〔文〕〕圆O:
22
5xy

,直线

l:cossin1xy(π02).设圆O上到直线l
的距离等于1的点的个
数为k,那么k________.
7 ．〔2021年高考四川卷〔文〕〕在平面直角坐标系内,到点
(1,2)A,(1,5)B,(3,6)C,(7,1)D
的距离之与最小的点的坐标是
__________
8 ．〔2021年高考江西卷〔文〕〕假设圆C经过坐标原点与点(4,0),
且与直线y=1相切,那么圆C的方程是_________.
9．〔2021年高考浙江卷〔文〕〕直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0
所截得的弦长等于__________.
10．〔2021年高考山东卷〔文〕〕过点(3,1)作圆
22
(2)(2)4xy

的

弦,其中最短的弦长为__________
三、解答题
11．〔2021年高考四川卷〔文〕〕
圆C的方程为
22
(4)4xy

,点O:lykx与圆C交于,MN两点.

(Ⅰ)求k的取值范围;

答案：
1-5 B B C B A
7.〔2,4〕
8.
22

325

(2)()24xy

9.
45
第 5 页

10.
22

11. ),3()3,(