平面与平面垂直的判定教学设计#精选.
《平面与平面垂直的判定》教学设计.
《平面与平面垂直的判定》教学设计一、教材分析:平面与平面垂直的判定是人教版模块二第三节的内容,平面与平面的垂直是两个平面的一种重要的位置关系。
是对教材直线与直线的垂直、直线与平面的垂直内容的延续和拓展.这一节的学习对理顺学生的知识架构体系、提高学生的綜合能力起着重要的作用. 而本节内容又是后续学习的基础，因此，本节的学习有着极其重要的地位。
二、教学目标分析:1、知识与技能：掌握平面与平面垂直的判定定理，能利用它们解决相关的问题。
2、方法与过程：从空间的线面垂直过渡到面面垂直，培养和发展了学生的几何直观和空间想象能力；在面面关系与线面关系、线线关系的转化过程中，体现出转化的思想方法；通过判定定理应用，加强了对学生逻辑思维能力和推论能力的培养。
3、情感、态度、价值观：1）通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学习热情和求知欲，培养同学们的探索精神2）通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系和研究事物从低维到高维的一般方法.三、重点、难点：重点：平面与平面垂直的定义、判定定理难点：判定定理的应用四、教学方法和教学媒体设计教学方法: 启发、探究、讲解法学习方法: 类比法教学媒体设计: 适时应用PPT课件,帮助学生理解概念并且增加课堂容量. 五、学生分析:学生通过学习直线与直线的垂直、直线与平面的垂直,已经初步掌握了线线直线与线面垂直的判定和性质.这为学生学习平面与平面垂直的判定定理与性质定理打下了良好的基础.但是,有一部分学生的空间象想能力和逻辑思维能力较差，因此，在学习的过程仍有一定的难度,教学中必须注意这一点.六、教学过程设计：1、类比推想、引出定义问题一、我们已经学习直线与直线的垂直,直线与平面的垂直,那么,是否也有平面与平面的垂直?它是怎样一种形态?又应怎样定义呢?1)展示模具：让学生从感性上对面与面相交的一种特殊情形—垂直有一个初步的认识2)类比定义：初中两条直线垂直的定义：两条直线相交，如果所成的角是直角，则称这两条直线相互垂直引导学生猜想面面垂直的定义：两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,则称这两个平面相互垂直2、注重画法，暗示原理问题二、对于两个相互垂直的平面，应该如何作图，才能使得垂直的立体感较强呢?(请几位学生上黑板试着画，其余的同学在下面画)通过比较，我们发现，类似于右图的几种画法，两个平面垂直的立体感比较强.在画两个垂直平面的时候，要保持直立平面的竖边垂直于水平平面的横边.3、情景引入，探究定理问题三、如何判定两个平面相互垂直?两个平面相互垂直的判定定理是什么? 情景一、将门随意地转动，门所在的平面总与地面垂直，是什么原因保持门所在平面总与地面垂直的呢？情景二、将课本打开后直立在桌面上，每页纸所在的平面都与桌面垂直，这是为什么呢？问题四、在这两个实例中，它们有什么共性的地方呢？现在你们能从中总结出什么样的结论出来呢？在教师的引导下，同学们不难发现它们的共性的地方在于都有一个平面和它的一条垂线,而另外的平面通过了这条垂线,然后得到面面垂直了.判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。
《平面与平面垂直的判定定理》教学设计
《平面与平面垂直的判定定理》教学设计一、本节内容分析本节内容按照直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的研究过程展开.对于直线与直线的垂直,首先定义异面直线所成的角,两条直线垂直包括共面垂直与异面垂直对于直线与平面的垂直、平面与平面的垂直主要研究它们的判定定理和性质定理.直线与平面垂直的判定定理是指一条直线与构成该平面的基本元素—直线满足什么条件才能使此直线与该平面垂直,而平面与平面垂直的判定定理是指构成其中一个平面的直线与另平面或这个平面内的直线具备什么条件才能使两个平面垂直,实际上是在寻找平面与平面垂直的充分条件.性质是指直线与平面垂直、平面与平面垂直时,其基本构成要素具有怎样的确定不变的关系,实际上是必要条件,性质和判定之间具有互逆的关系,这也是我们研究问题的一个自然的起点.本节内容的处理继续遵循“直观感知—操作确认—思辨论证”的认识过程展开.通过本节课的学习与研究,可进步完善学生的知识结构,更好地培养学生观察记忆、空间想象及推测解释能力,使其体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想,提升直观想象、数学运算和逻辑推理核心素养.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析上一节,我们研究了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,本节在上一节基础上研究空间直线、平面间的另一特殊位置关系——垂直.由于学生的知识积累、解决问题的方法都已较为丰富,所以本节内容的学习既要继续加强从“一般观念”上的引导,让学生明确“什么是空间直线、平面的垂直”以及“空间直线、平面垂直时,其要素(直线、平面)有什么确定的不变关系”;又要充分类比对空间直线、平面平行关系的研究方式,引导学生研究空间直线、平面之间的垂直关系.研究的对象尽量由学生去提出,研究的内容要学生去确定,研究的方法启发学生去寻找.学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备【任务专题设计】1.平面与平面垂直【教学目标设计】1.通过实例直观感知“二面角”概念的形成过程,理解二面角的概念,掌握二面角的作法,理解并掌握两个平面互相垂直的概念,两个平面垂直的判定定理及其应用方法.2.发展学生的推测解释能力、观察记忆能力和空间想象力,培养学生的质疑思辨、创新的精神.【教学策略设计】1.在平面与平面垂直的实际教学中,建议采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法,使学生形成“直观感知—操作确认—数学抽象—归纳猜想—严谨证明—灵活应用”的探究式学习方法,从而达到以学生为主体、教师为主导、师生共同发展的课堂教学效果.【教学方法建议】启发教学法、探究教学法、情境教学法,还有________________________________【教学重点难点】重点1.直观感知、操作确认,概括出平面与平面垂直的判定定理难点3.平面与平面垂直的判定定理的应用.【教学材料准备】1.常用材料:多媒体课件、计算机、实物模型、__________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入探究1 平面与平面垂直的判定定理师:在工程建设中,建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直,如果系有铅锤的细线紧贴墙面,则确定墙面与地面垂直,否则不垂直.为什么线要紧贴墙面?生:为了说明细线在墙面内,细线与地面垂直,墙面就和地面垂直.师:满足什么条件的时候,才能使平面与平面互相垂直?【师生活动】教师组织学生思考、讨论,归纳出下面的结论.生:如果一个平面内有一条直线垂直于另一个平面,则这两个平面垂直.师:如何用图形语言和符号语言描述平面与平面垂直的判定定理.【师生活动】教师指导学生画出图形并将文字语言转化成符号语言,并出示多媒体.【推测解释能力】通过对实际问题观察和理解,使学生形成面面垂直的判定定理,通过学生交流讨论,把实际问题抽象成数学符号的表达方式,培养学生严谨的数学思维习惯【要点知识】平面与平面垂直的判定定理⊥⎫lα【教师总结】这个定理说明,可以由直线与平面垂直,证明平面与平面垂直.师:门所在平面与地面始终垂直吗?大家将课本打开,直立放在桌面上,每页纸张与桌面是否垂直?为什么?【师生活动】教师组织学生讨论、交流,用面面垂直判定定理来解释现象.师:下面请看如何利用平面与平面垂直的判定定理来解决实际问题.【活动学习】通过用判定定理解释生活中的常见现象,让学生意识到数学来源于生活,服务于生活,也体现了从特殊到一般,再到特殊的知识认知过程,促进学生数学思想方法的形成,引导学生确实掌握“降维”的转化与化归的数学思想方法【说明论证能力】通过学生尝试用定理解决问题,从而加强对面面垂直判定定理的理解和掌握,巩固所学知识,进一步体会由证明面面垂直转化为证明线面垂直,提升学生的逻辑思维和分析问题、解决问題的说明论证能力【典型例题】平面与平面垂直的判定定理的应用例1 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面A'BD⊥平面ACC'A'【师生活动】教师出示多媒体并读题,引导学生分析题意,梳理解题思路,得到要用面面垂直的判定定理证明两个平面垂直,关键是找到一个平面内有一条直线垂直于另一个平面.学生独立完成例题证明,教师巡视课堂,并适时给予学生指导,教师出示规范解答.【典例解析】平面与平面垂直的判定定理的应用分析:要证平面A'BD ⊥平面ACC'A',根据两个平面垂直的判定定理,只需证明平面A'BD 经过平面ACC'A'的一条垂线即可.这需要利用AC,BD 是正方形ABCD 的对角线.证明:ABCD-A'B'C'D'是正方体,AA'⊥平面ABCD ,AA'BD ⊥又BD AC ⊥,AA'AC=A ⋂，∴BD ⊥平面ACC'A',又BD ⊂平面A'BD ,平面A'BD ⊥平面ACC'A'.师:请看下一道例题.【意义学习】通过教师对证明过程进行规范、完整的板书,引导学生注意证明过程的规范性和严谨性,帮助学生养成良好的学习习惯【典型例题】平面与平面垂直的判定定理的应用例2 如图,AB 是O 的直径,PA 垂直于O 所在的平面,C 是圆周上不同于,A B 的任意一点.求证:平面PAC ⊥平面PBC .【师生活动】教师引导学生分析解题思路,鼓励学生交流、讨论,并请学生做板演,教师对学生的解答过程做评价,随后教师给出规范性解答.【典例解析】平面与平面垂直的判定定理的应用分析:要证明两个平面垂直,根据两个平面垂直的判定定理,只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面,而由直线和平面垂直的判定定理,还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中,由题意可知BC AC ⊥,,BC PA AC PA A ⊥⋂=,从而BC ⊥平面PAC ,进而平面PAC ⊥平面PBC .证明:∵PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面,ABC PA BC ∴⊥.∵点C 是圆周上不同于,A B 的任意一点,AB 是O 的直径,∴90BCA ∠=︒,即BC AC ⊥. 又∵,PA AC A PA ⋂=⊂平面,PAC AC ⊂平面,PAC BC ∴⊥平面PAC .又∵BC ⊂平面,PBC ∴平面PAC ⊥平面PBC .【深度学习】通过教师引导学生分析解题思路,使学生掌握判断面面垂直有两种方法:一种是定义法(证二面角的平面角是直角),一种是判定定理法(证一个平面过另个平面的一条垂线),深化学生对两种方法的掌握能力【说明论证能力】通过例题巩固所学知识,使学生能够熟练应用知识解决说明论证的问题【教师总结】从本节的讨论可以看到,由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直;由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直;而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直,这进一步揭示了直线平面之间的位置关系可以相互转化.师:通过这节课的学习,同学们都学到了哪些知识?【师生活动】教师引导学生归纳总结、完善本节课所学知识.【整体学习】引导学生学习直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系,进一步体会空间中直线与平面的位置关系之间的相互转化,培养学生对转化与化归数学思想方法的理解,发展学生的逻辑推理学科核心素养【课堂小结】平面与平面垂直1.判定平面与平面垂直的方法有哪些?判定平面与平面垂直的方法体现了什么数学思想?2.平面与平面垂直的判定定理是什么?能够解决哪些问题?3.如何实现空间垂直关系的相互转化?请指出下面图中空间垂直关系转化的依据.【设计意图】通过理解和掌握面面垂直的判定和性质,能够证明面面垂直和线面垂直,培养学生的推测解释、说明论证能力,提升逻辑推理核心素养【课后作业】教材P235练习3、4题教学评价垂直关系的相互转化:线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的,能够相互转化,转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理在解决问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论探求所需的关系,从而架起条件与结论的桥梁.空间平行、垂直关系之间的转化:【设计意图】引导学生对线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质探究分析,帮助学生体会知识的生成、发展、完善的过程.通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、推理解释、说明论证、猜想探究等)分析问题、解决问题,从而达到直观想象、逻辑推理、数学抽象核心素养目标要求【以学定教】根据学情,因材施教,以人为本,以生为本,根据学生逐步掌握的知识点和定理,依据生活实例和模型,采取不同探究式教学法,让学生逐步掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直的知识教学反思本节的知识(直线与直线的垂直关系、直线与平面的垂直关系、平面与平面的垂直关系)与学生学习的生活联系密切,教师一方面引导学生从生活实际出发,把知识与周围的事物联系起来;另一方面,教师引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程,注重探索空间图形位置关系的判定与性质的过程本节课教师特别注重数学中的文字语言与符号语言的相互转化,将空间问题向平面问题转化,有效地体现了转化与化归的数学思想.在判定定理的教学中,遵循了“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程,学生通过观察分析、自主探究,在教师的引导下,进行适当推理而归纳出判定定理关于判定和性质定理的应用,教师没有简单直接讲解,而是由学生先行自主探究,教师适时点拨,以增强学生自主学习的意识,再通过实物投影,来规范学生的解答过程,提高学生数学表达能力.【以学论教】对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果使学生通过观察分析、自主探究学习和掌握空间线面的垂直关系。
《平面与平面垂直的判定与性质》教学设计与教学反思.doc
《平面与平面垂直的判定与性质》教学设计与教学反思一、教材分析两个平面垂直的判定定理及性质定理是平面与平面位置关系的重要内容.通过这节的学习可以发现：直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定和性质定理形成了一套完整的证明体系，而且可以实现利用低维位置关系推导高维位置关系，利用高维位置关系也能推导低维位置关系，充分体现了转化思想在立体几何111的重要地位。
这节课的重点是判定定理及性质定理，难点是定理的发现及证明。
二、教学目标1.掌握两平面垂直的有关概念，以及两个平面垂直的判定定理和性质定理, 能运用概念和定理进行有关计算与证明。
2.培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力，知识迁移能力，运用数学知识和数学方法观察、研究现实现象的能力，整理知识、解决问题的能力。
3.通过对实际问题的分析和探究，激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神。
任务分析判定定理证明的难点是画辅助线.为了突破这一难点，可引导学生这样分析: 在没有得到判定定理时，只有根据两平面互相垂直的定义來证明，那么，哪个平而与这两个平而都垂直呢？对性质定理的引入，不是采取平铺直叙，血是根据数学定理的教学是由发现与论证这两个过程组成的，所以应把“引出命题”和“猜想”作为本部分的重要活动内容。
教学设计（一）问题情境1、建筑工人在砌墙时，常用一根铅垂的线吊在墙角上，这是为什么？（为了使墙面与地面垂直）2、什么叫两个平面垂直？怎样判定两平面垂直，两平面垂直有哪些性质？（二）建立模型如图19-1,两个平面a , p相交，交线为CD,在CD上任取一点B,过点B 分别在a , P内作直线BA和BE,使BA丄CD, BE±CD.于是，直线CD丄平面ABE.图19・】容易看到，ZABE为直角时，给我们两平面垂直的印象，于是有定义:BACaa 丄P ’ 如果两个相交平而的交线与第三个平而垂直，并且这两个平而与第三个平面 和交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.平面a, P 互相垂直，记作a 丄0 •［问题］1. 建筑工人在砌墙时，铅垂线在墙面内，墙面与地面就垂直吗？如图19-1,只要a 经过P 的垂线BA,则BA 丄B,.・.BA 丄BE, ZABE = Rt Z ・依定义，矢l 【a 丄0・于是，有判定定理：定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直.2. 如果交换判定定理屮的条件“BA 丄B ”和结论“ Q 丄B ” •即,也就是从平而与平而垂直出发，能否推出直线与平面垂直?平面a 内满足什么条件的直线才能垂直于平面0呢？让学生用教科书、桌 面、笔摆模型.通过模型发现：当a 丄B 吋，只有在一个平面（如a ）内，垂 直于两平面交线的直线（如BA ）才会垂直于另一个平面（如0）。
高中数学必修二《平面与平面垂直的判定》优秀教学设计
课 题：平面与平面垂直的判定【学情分析】平面与平面垂直的判定是立体几何中点、线、面的位置关系最后一节内容，在此之前，学生已经研究过线面、面面平行的判定和性质以及线面垂直的判定，能够较熟练地运用相关定理对线线、线面、面面的平行的判定和性质、线面垂直的判定进行研究与论证。
【教学目标】知识技能目标1．结合实际问题使学生了解二面角及二面角的平面角的定义； 2．学生通过具体情境分析、探索平面与平面垂直的判定定理；3．利用判定定理判定或证明简单的平面与平面垂直问题，初步掌握平面与平面垂直的判定方法。
能力目标1．结合情境，通过自主探究逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，着重培养学生的认知能力；2．引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力。
【教学重点、难点】 判定定理的证明及应用． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】一、复习旧知，温故知新师:初中我们学过角的概念是什么？生：由一点引两条射线所组成的几何图形叫做角。
记作：AOB ∠师:什么是斜线与平面所成的角？生：斜线与斜线在平面内的射影所成的角。
师: 也就是说将线面角转化为线线角。
BAO〖设计意图〗复习旧知识，为新知识学习埋下伏笔。
二、创设情境，引入新课师:取一张纸，任意一折，这样一个平面就变成两个…… 生：相交平面师:此时这两个平面就成一定的…… 生：角度师:为此，我们需要引进二面角的概念，研究两个平面所成的角。
〖设计意图〗从现实生活中，学生所熟悉的简单直观的实际问题引入，使学生易于接受。
三、类比知新，了解概念师:如何定义两个平面所成的角呢？（引导学生类比初中学的角的定义） 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的几何图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。
记作：二面角βα--l 、二面角βα--AB 或者二面角D BC A -- 师:生活中有许多的二面角，你能举出一些实例吗？ 生：折纸，书打开，门打开等。
平面与平面垂直的判定教学设计
课堂教学设计评选2.3.2平面与平面垂直的判定的教学设计高一数学徐坡2.3.2平面与平面垂直的判定的教学设计普通高中课程标准实验教科书学2必修人民教育出版社A版【授课教师】徐坡【教学目标】知识与技能①体会二面角的概念与度量；②归纳两个平面垂直的判定定理；③应用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.过程与方法①通过二面角的概念的探索过程，渗透类比迁移的思想；②通过归纳两个平面垂直的判定定理内容，提高学生抽象概括能力；③通过运用定理的过程，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想.情感态度与价值观直观感知，操作确认数学定理，通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.教学重点：两个平面垂直的判定定理及应用；教学难点：二面角角的概念及度量方法，两个平面垂直的判定定理的归纳概括.【学法与教学用具】学法：实物观察，直观感知，操作确认，类比归纳，语言表达.教学用一:二面角模型长方体模型折叠纸，多媒体软硬件设备等.【教学基本流程（总体设计）】从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念!构建二面角的的平面角概念!二面角的平面角!探究平面与平面垂直的判定方法!平面与平面垂直的判定定理的应用!课堂梳理!布置作业【教学情景设计】角的平面角的概念吗？在二面角。
一1—6的棱l上任取一点O,以点O为垂足，在半平面。
和B内分别作垂直于棱1的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的NAOB叫做二面角的平面角。
4.提高学生数学表达、归纳能力.问题4：二面角的平面角所确定的平面和二面角的棱的关系？注：（1）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。
（2）平面角是直角的二面角叫做直二面角。
探究两个平面垂直的判定定理观察：教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.问题1：类比线线垂直的定义，如何用二面角的平面角的大小给面面垂直下一个定义？（用多媒体展示线线垂直的定义）引导学生归纳面面垂直的定义。
平面与平面垂直的判定教学设计
空间直线、平面的垂直第4课时平面与平面垂直的判定（一）教学内容二面角及相关概念、两个平面互相垂直的定义、判定定理．（二）教学目标1.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小．2.理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理；并能用文字、符号和图形语言描述定理，并能运用其证明有关的垂直问题．3.在发现、推导和应用两个平面垂直的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养．（三）教学重点与难点教学重点：两平面垂直的判定定理．教学难点：两平面垂直的判定定理的应用．（四）教学过程设计一、引入新课情境：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度．为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．设计意图：通过实际的问题背景，让学生感知研究两个平面所成的角的必要性，为讲解新知铺垫．二、课堂探究问题1：如何刻画两个平面所形成的角呢？答案：引入二面角的概念．一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面．当其中一个半平面绕着这条直线旋转时，两个半平面就形成了一定的“角度”．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．如图，以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角α−AB−β．有时为了方便，也可以在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P−AB−Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α−l−β，P−l−Q．问题2：日常生活中，我们常说：“把门开大一些”是指哪个角大一些？答案：通过观察可以得到，随着门开口的增大，∠POQ在逐渐的增大，当二面角α−AB−β确定时，∠POQ也随之确定．追问1：受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？答案：在二面角α−l−β的棱l上任取一点O，以点O垂足，在半平面α，β内分别作垂直于棱l的射线OA，OB，则射线OA，OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．追问2：∠AOB的大小与点O在直线l上的位置有关吗？为什么？答案：如图，∠AOB是二面角α−l−β的平面角，在l上任取异于O的点O′，分别作A′O′和B′O′与l垂直．∵A′O′⊥l，AO⊥l，∴AO∥A′O′，同理BO∥B′O′．又∠AOB与∠A′O′B′方向相同，∴∠AOB=∠A′O′B′．故二面角的平面角的大小，与棱上点的选择无关．追问3：二面角的棱与其平面角所在平面之间是什么关系？答案：如图，∠AOB是二面角α−l−β的平面角，∴AO⊥l，BO⊥l，又AO∩BO=O，AO⊂α，BO⊂β，∴l⊥平面ABO．追问4：二面角的平面角的取值范围是多少？答案：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是0°≤α≤180°．当平面角为0°时，两半平面重合；当平面角为180°时，两半平面共面，组成整个平面．说一说：教室的墙面与地面构成二面角，分别指出构成二面角的面、棱、平面角及其度数．答案：二面角的面：墙面和地面；二面角的棱：墙面与地面的交线；二面角的平面角：如图，∠AOB；∠AOB的度数：90°．一般地，两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β．注意：画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成互相垂直的．设计意图：结合实际场景，引出二面角的概念，并进一步讨论二面角的平面角及其取值范围，并用二面角的平面角定义两个平面互相垂直．问题3：除了根据定义外，还有其他方法判断两个平面互相垂直吗？探究：建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面，这种方法说明了什么道理？答案：这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直．类似的结论也可以在长方体中发现，如上图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，平面ABB′A′经过平面ABCD的一条垂线AA′，此时，平面ABB′A′垂直于平面ABCD．由此，我们就得到了：两个平面互相垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．符号语言：若l⊥α，l⊂β，则α⊥β．这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直．追问：你能解释为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直吗？答案：不管门如何旋转，门所在的平面始终经过地面的垂线(门轴所在的直线)，由面面垂直的判定定理可得，门所在的平面始终与底面垂直．设计意图：通过观察生活实例及常见的长方体，让学生理解两个平面互相垂直的判定定理，并用其解释生活中的现象，加深理解．三、知识应用例1 如图，在正方体ABCD − A′B′C′D′中，求证：平面A′BD⊥平面ACC′A′．分析：要证平面A′BD⊥平面ACC′A′，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面A′BD经过平面ACC′A′的一条垂线即可，这需要利用AC，BD是正方形ABCD的对角线．例2 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直，在本题中，由题意可知BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA=A，从而BC⊥平面PAC，进而平面PAC⊥平面PBC．证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⊙O的直径，∴∠BCA =90°，即BC⊥AC．又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC．又BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．总结：证明平面与平面垂直的两种常用方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直．(2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：①定思路：分析题意，根据题目条件选择证明哪个平面的垂线；②证线面：选择恰当的方法证明线面垂直；③证面面：根据面面垂直的判定定理证明．设计意图：通过例题，考查学生对两个平面互相垂直的判定定理的应用，加深对知识的理解．四、课堂练习1.如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中：（1）求二面角D′−AB−D的大小；（2）求二面角A′−AB−D的大小．2.如图，在四棱锥PABCD中，若P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD是菱形．求证：平面P AC⊥平面PBD．3.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）P A∥平面BDE；（2）平面P AC⊥平面PBD．参考答案：1.解：（1）在正方体ABCD−A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD．因此，∠D′AD为二面角D′−AB−D的平面角．在Rt△D′AD中，∠D′AD=45°，所以二面角D′−AB−D的大小为45°．（2）同理，∠A′AD为二面角A′−AB−D的平面角．因为∠A′AD=90°，所以二面角A′−AB−D的大小为90°．2.证明：∵P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥P A．∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC．又BD⊂平面PBD，∴平面P AC⊥平面PBD．3.（1）连接AC、OE．∵底面ABCD是正方形，∴AC与BD交于中心O点，O为AC、BD中点．又点E是PC的中点，∴OE∥AP．又OE⊂平面BDE，AP⊄平面BDE，∴P A∥平面BDE．（2）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC．∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又AC⊂平面P AC，PO⊂平面P AC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面P AC．又BD⊂平面PBD，∴平面P AC⊥平面PBD．五、归纳总结回顾本节课的内容，你都学到了什么？1.两个平面互相垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．2.判定两个平面垂直的方法：①利用定义，证明二面角为直角；②利用判定定理．。
【市级公开课教案】《平面与平面垂直的判定》教学设计
《平面与平面垂直的判定》的教学设计学科课题设计理念数学授课班级高一（1）授课教师授课日期平面与平面垂直的判定学生是学习和发展的主体,教师是学习活动积极的组织者和引导者.立体几何的学习主要培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力,因此在学习与教学过程中应充分发挥学生在学习中的主动性和创造性,通过探究性的学习方法,使学生在不断的探究学习的过程中积极参与、独立思考.多媒体与教具的应用是教学情景的设置、表现立体几何中丰富多彩的线面关系、加深定理与性质理解的一个重要手段.也是教师调动学生的情感体验、关注学生的学习兴趣和诱导学生积极独立思考的重要方法，为实现学生的主体地位起着重要的作用.教材分析平面与平面的垂直是两个平面的一种重要的位置关系.是继教材直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展.这一节的学习对理顺学生的知识架构体系、提高学生的綜合能力起着重要的作用.学情分析学生通过学习直线与直线的垂直、直线与平面的垂直,已经初步掌握了线线垂直与线面垂直的判定.这为学生学习平面与平面垂直的判定定理与性质定理打下了良好的基础.但是,有一部分学生的空间象想能力和逻辑思维能力较差，因此，在学习的过程仍有一定的难度教学中必须注意这一点.教学目标1．知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2．过程与方法通过实例让学生直观感知两个平面垂直的判定定理.3．情感、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展过程，使学生理会教学存在于现实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.教学重点平面与平面垂直的判定及应用教学难点平面与平面垂直的判定教学方法本节课采用“问题探究式”教学法，通过观察、归纳、启发探究，讲练结合法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动．教学过程教学环节问题情境师生互动设计意图创设情境，引入新课问题1：二面角是怎么定义的？问题2：怎样的二面角是直二面角？师：引导学生复习巩固，回忆上节的内以旧导新。
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1 / 7word. 2.3.2平面与平面垂直的判定的 教学设计
高一数学 徐 坡
课 堂 教 学 设 计 评 选 2 / 7word. 2.3.2平面与平面垂直的判定的教学设计
普通高中课程标准实验教科书 数学2 必修 人民教育出版社 A版
【授课教师】 徐坡 【教学目标】 知识与技能 ① 体会二面角的概念与度量； ② 归纳两个平面垂直的判定定理； ③ 应用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．
过程与方法
① 通过二面角的概念的探索过程，渗透类比迁移的思想； ② 通过归纳两个平面垂直的判定定理内容，提高学生抽象概括能力； ③ 通过运用定理的过程，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想．
情感态度与价值观
直观感知，操作确认数学定理，通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力. 教学重点：两个平面垂直的判定定理及应用；
教学难点：二面角角的概念及度量方法，两个平面垂直的判定定理的归纳概括． 【学法与教学用具】 学法：实物观察，直观感知，操作确认，类比归纳，语言表达. 教学用具：二面角模型 长方体模型 折叠纸，多媒体软硬件设备等.
【教学基本流程(总体设计)】 从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念 ↓ 构建二面角的的平面角概念 ↓ 二面角的平面角 ↓ 探究平面与平面垂直的判定方法 ↓ 平面与平面垂直的判定定理的应用 ↓ 课堂梳理 ↓ 布置作业 3 / 7word.
【教学情景设计】 环节 教学程序及设计 设计意图
二 面 角 的 引 入 和 构 建
问题1：直线与直线相交成一定的角，那么平面与平面相交是否也成一定角？ 利用课本“修筑水坝、发射人造卫星”两个实例，实际是两个平面相交，它们的相对位置可由两个平面所成的“角”确定.(借助多媒体动态演示) 问题2: 阅读教科书第68页，类比初中所学角的概念（借助多媒体展示角的概念），归纳二面角的概念. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角， 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 问题3：举出实际生活中一些二面角的例子. 问题4：如何表示二面角？ 1.从实际背景出发，增加学生对二面角的感性认识.让学生感受生活中处处有数学,数学用途广泛,增强学数学的兴趣. 2. 概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，对已有知识的归纳总结,设置学生的最近思维发展区，不将书中的定义生硬地教给学生，而是通过自制模具的演示，采用类比的思想将二面角的概念移植过来。 3.让学生在此基础上再举一些平面成角的例子.如教室的门在打开的过程中与墙面成一定的角度；书本翻开的过程中，两张纸面呈一定的角度等. 4.以知识填空的形式呈现，使学生了解二面角的数学符号表述。
探 索 思 考 二 面 角 的 度 量
问题1：我们常说“把门开得大些”，是指哪个角大些，我们应该怎样刻画二面角的大小？让学生回忆定义两条异面直线所成角的做法得到启发，能否用“平面角”来度量“二面角”? 引导学生动手操作------翻开教科书成二面角形状,观察书页底部边沿所成的平面角随着翻动幅度的改变(二面角)而改变的情况. 引导学生进分析书页底部边沿所成的平面角的特点. 一是平面角的顶点在棱上； 二是平面角的两边分别在二面角的两个平面内； 三是两边分别垂直于棱。 问题2:对于确定的二面角而言,满足上述特点的平面角有多少个?请在二面角模型上任意作两个平面角, 平面角的大小与顶点在棱上的位置有无关系? 平面角与顶点在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。 问题3:根据平面角的特点与作法,你能归纳出二面1.引导学生用“平面化”的思想来思考问题.
2.捕捉创造适宜于学生领悟的问题情境，让学生动手操作，直观感受数学过程形象而生动的特点，生成知识．
3.让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深化。 4 / 7word.
角的平面角的概念吗? 在二面角α―l―β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。 问题4：二面角的平面角所确定的平面和二面角的棱的关系？ 注: （1）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。 （2）平面角是直角的二面角叫做直二面角。 4.提高学生数学表达、归纳能力.
探 究 两 个 平 面 垂 直 的 判 定 定 理
观察：教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数. 问题1：类比线线垂直的定义，如何用二面角的平面角的大小给面面垂直下一个定义？ （用多媒体展示线线垂直的定义）引导学生归纳面面垂直的定义。 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直. 问题2：在工程建设中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直，即若紧贴墙面的铅锤的线，如垂直地面，则确定墙面与地面垂直，否则不垂直。 紧贴墙面的线？这句话的实质意义是什么？（学生讨论，期望回答：即此线在墙所在平面） 由此实际问题如何抽象为数学问题呢？（学生交流讨论，期望回答：若平面过另一平面的垂线，则平面垂直） 引导学生，画出图形。 1.采用类比迁移的思想归纳面面垂直的定义，提高学生的抽象概括能力和知识迁移能力。
2.教师站在稍稍超前于学生智力发展的边界上通过问题引领，来促成学生形成面面垂直的判定定理。
3.强调本质，注意适度形式化，数学的本质是生动活泼的数学思维活动。通过学生交流讨论，把实际问题抽象成数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达方式。
4.尽可能地揭示出知识生成的全貌，使学生从整体上把握问题
l O
A
B 5 / 7word. ，每页纸张与桌面是否垂直？为什么？（用判定定理解释） 探究长方体模型中的面面垂直关系 追问（1）如何用判定定理证明长方体的侧面与底面垂直？ 追问（2）在侧面内有多少条线与底面垂直？只需要几条？ 追问（3）只局限于在侧面找关根据已有的结论与图形，继续追问。 (1)如何证明上述命题呢？从已学过知识可知，只能从定义出发。 (2)定义的实质是什么呢？即证明两平面垂直的根据是什么？期望回答：即证二面角的平面是直角。 (3)二面角的平面角如何做出呢？关键在哪里？（学生交流）期望回答：已知平面的垂线故此垂线必垂直于两平面的交线，所以关键在于在已知平面做与公共棱垂直的直线。 (4)过已知平面的垂线再作一个面与已知面是否垂直？引导学生再次经历上述探究过程。 归纳生成两个平面垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 问题3：演示开门、关门的过程：门与地面始终垂直吗？为什么？将课本打开，直立放在桌面上键的垂线吗？ 问题4：判定面面垂直的本质和关键是什么？ 的解决方法。
5.用判定定理解释生活中的常见现象，让学生意识到数学来源于生活，服务于生活，也体现了从特殊到一般再到特殊的知识认知过程。 6.促进学生数学思想方法的形成，引导学生确实掌握"降维"的转化与化归的数学思想方法。让学生对教学思想方法，及其应情境达到较为纯熟的认识，并将这种认识思维地贮存在大脑中，随时提取和应用。
两 个 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 应 用
过渡题： CBADD'C'B'A' 如图,在正方体''''ABCDABCD中 证明:平面''ACCA⊥平面'ABD。 变式（1）若M是''AC的中点，平面MBD⊥平面1.教学中若直接加入例题，又有一部分人不知所措，有时还会失去学好数学信心。若只讲课本例题，大部分人会有“吃不饱”的现象，针对这一现象教学中主要是立足课本例题，抓住重点的同时进行过渡训练，变式训练，由浅入深，为学生提供差异发展的舞台。使学困生巩固基础，中等生开扩思路，优秀生创新思维。 6 / 7word.
''ACCA吗？
变式（2）若M是''AC的任一动点，平面MBD⊥平面''ACCA吗？ 例题:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC 证明：设⊙O所在平面为α， 由已知条件，有 PA⊥α，BC在α内， 所以，PA⊥BC， 因为，点C是不同于A，B的任意 一点，AB为⊙O的直径， 所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA 又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条相交直线， 所以，BC⊥平面PAC， 又因为BC在平面PBC内， 所以，平面PAC⊥平面PBC。 思考1：在四面体PABC中你还能发现哪些面互相垂直？为什么？ 思考2：四面体PABC中四个面的形状怎样？ 课本P.69练习 如图，正方形123SGGG中,EF中分别是的1223,GGGG中点D中点是EF的中点，现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使123,,GGG三点重合，重合后的点记为G，则在四面体SEFG中必有（ ） (A)SG⊥△EFG所在平面 （B）SD⊥△EFG所在平面 (C)GF⊥△SEF所在平面 (D)GD⊥△SEF所在平面 2. 虽然多媒体的使用方便快捷，但不能完全代替板书，因此教师一定要对证明过程进行规范、完整的板书，引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯。
3.通过自制模具的演示，创设问题情境，让学生自己从中自主探索，经历直观感知，操作确认，思维论证的过程。