历年高考数学试题解析

历年高考数学试题解析

高考数学试题一直以来都是考生比较关注的重点，因为高考数学占比比较大，而且对于理科或工科上大学来说，数学更是一个非常重要的基础课程。本文将结合历年高考数学试题，对一些重点和难点进行解析，帮助考生更好的备考。

一、数列与数列极限

高考数学中的数列、数列极限是考试中的重点，也是难点，通过历年高考试题可以看出其在高考数学中所占内容比例较高，同时考察频率很高，因此在考前的复习备考中，这部分的知识点一定要重点复习。

以下是历年高考数学试题中的数列、数列极限题型：

1. 2004年高考真题（安徽卷）

已知 $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n^2}$（$n∈N^*$）, 求$\lim\limits_{n→+∞} a_n$.

解析：对这道题，我们发现一个比较显著的特点是数列递推公式比较特殊，没有固定的形式。对于考生们来说，一定要避免死记硬背数列递推公式，要理解公式背后的本质含义。对于这道题来说，首先不难发现，随着 $n$ 的增大， $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 之差逐渐趋近于 $0$ ，因此假设数列的极限为 $L$ 。由数列极限的定义可得到：

$$\lim\limits_{n→+∞} (a_{n+1}-a_n)=\lim\limits_{n→+∞}

\frac{1}{n^2}=0$$

因此有：

$$L=\lim\limits_{n→+∞} a_n=\lim\limits_{n→+∞} (a_n-a_{n-1}+a_{n-1}·····+a_2-a_1+a_1)= \lim\limits_{n→+∞} (a_n-a_{n-1}) + a_{n-1}·····+1=\lim\limits_{n→+∞} \frac{1}{n^2} +

\lim\limits_{n→+∞} \frac{1}{(n-1)^2}·····+ \lim\limits_{n→+∞}

\frac{1}{2^2}+1=a$$

2.2017年高考真题（福建卷）

已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $a_1=2$，

$a_{n+1}=3a^2_n-2$（$n∈N^*$）.

（1）求 $S_n$；

（2）试求 $\lim\limits_{n→+∞} \frac{S_n}{a_n}$.

解析：这道题是康拓奇异形式题，考察点主要在于数列的和，

和数列的递推公式之间的关系，以及对数列递推公式的转化。首先，对于数列递推公式，一般采用变形的方法，对此题同样适用，由已知 $a_1=2$，可得：

$$ a_2=3a^2_1-2=16$$

$$ a_3=3a^2_2-2=766$$

$$ \dots$$

$$ a_n=3a^2_{n-1}-2 $$

所以有：

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^n

a_k=a_1+a_2+\cdots+a_n$$$$=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-

a_2)+\cdots+(a_n-a_{n-1}+a_{n-1}-a_{n-2})$$$$=a_n+a_{n-

1}+\cdots+a_1-n $$

（补充：康拓奇异形式是在高中数学的基础上，将若干学科交

叉组合，并形成独特形式，其形式具有: 结构复杂，逻辑明确，解

题方法多样等特征。对应的方法主要是建立新变量，多角度切入，梳理逻辑推导过程等。）

二、平面向量

平面向量也是高考数学中的重点知识，可以说是高中阶段重要

且难以理解的内容。平面向量包括向量、向量的基本运算、向量

的数量积、向量的向量积等，考察的题型也比较多，包括求向量

的模、方向角、平行、垂直等关系，以及利用向量解决几何问题。

以下是历年高考数学试题中的平面向量题型：

1. 2018年高考真题（江苏卷）

三边 $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ 的 $\triangle ABC$ 的内心为

$I$, 已知 $IA$ 被某向量 $k\vec{a}+2\vec{b}$ 代替，$IB$, $IC$ 也分别被某向量代替，求 $\vec{a}$ 的坐标.

解析：这道题主要考察从已知条件中发掘出尚未得到的结论。对于已知 $\triangle ABC$，我们可以知道：

$$2\vec{i}=\vec{a}+\vec{b}+\frac{c}{\sin C}(-

\vec{a}+\vec{b}\cos C+\vec{a}\cos B)$$

$$2\vec{i}=\vec{b}+\vec{c}+\frac{a}{\sin A}(\vec{b}-\vec{c}\cos A-\vec{b}\cos C)$$

$$2\vec{i}=\vec{c}+\vec{a}+\frac{b}{\sin B}(-

\vec{c}+\vec{a}\cos B+\vec{c}\cos A)$$

于是，可以得到：

$$\vec{a}=-\frac{4\sin\frac{A}{2}\cos\frac{B-

C}{2}}{3}\vec{i}+\frac{8}{3}\vec{j}$$

其中，$\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 分别是 $Ox$ 和 $Oy$ 的单位向量。

2. 2011年高考真题（安徽卷）

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设点 $A(-1,1)$、$B(2,-1)$，直线$l$ 过点 $A$，与向量 $\vec{AB}$ 垂直，$l$ 的方程为 $y=kx+m$，则 $k+m=$ \_\_\_\_\_\_.

解析：这道题主要考察了垂直性及斜率的知识。设线 $l$ 与

$x$ 轴的交点为 $(x,0)$，则向量 $\vec{AB}$ 可以表示为：

$$ \vec{AB}=(2+x, -1)\cdot (\frac{1}{1-(-

\frac{1}{2+x})},1)=(\frac{6+5x}{2+x},2+\frac{x}{2+x}) $$

而直线 $l$ 的方程为 $y=kx+m$，则向量 $\vec{AB}$ 垂直于

$l$，有：

$$\vec{(k,1)}\cdot\vec{AB}=0$$

化简得：

$$\frac{6+5x}{2+x}-2-\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}(\frac{6+5x}{2+x}-(-1)-\frac{1}{2+x})=0$$

进一步变形得到：

$$(k+1)(x+1)(kx+m-1)=0$$

因此有：

$$ m=1+2k$$